最新2020年中考数学一轮复习课件：与圆有关的概念及性质
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2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—圆的相关概念及性质
3）圆周角定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.
考点二 圆的性质
题型01 由垂径定理及推论判断正误
【例1】（2023·浙江·模拟预测）如图，是⊙ 是直径，是弦且不是直径， ⊥ ，则下列结论不一定正
【详解】解：如图，连接，
∵线段是⊙ 的直径， ⊥ 于点E， = 16，
1
1
∴ = = 2 = 2 × 16 = 8，
∴在Rt △ 中，可有 = 2 + 2 = 62 + 82 = 10，
∴⊙ 半径是10．
故选：D．
考点二 圆的性质
题型03 根据垂径定理与全等三角形综合求解
直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简
称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt △，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
考点二 圆的性质
3. 弧、弦、圆心角的关系
即的最小值是8．故选：C．
考点二 圆的性质
1. 圆的对称性
内容
补充
圆的轴对称 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线圆对折,直线两旁的部分能够 ①圆的旋转不变性是其他中心对称图形所
性
完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的 没有的性质.
对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它
①圆心，它确定圆的位置.
②半径，它确定圆的大小.
的点组成的图形.
2024年中考数学一轮复习课件--圆的性质
成立，则其余对应的两项也成立.如图，①∠AOB＝∠COD，
②弧AB＝弧CD，③AB＝CD，“知一推二”.
注意点
①进一步拓展，在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距
这四个量中，有一个量相等，则其余三个量都相等.
②一条弦所对的圆心角只有一个，而所对的弧有两条.
圆周角的概念与性质
1.圆周角
顶点在
圆周 上，角的两边都与圆 相交
可以A为圆心，AB长为半
径作圆
图形
模型
特征
①共斜边的两个直角三角形的四
个顶点共圆，圆心为斜边中点，
四点 如图
共圆
②共边三角形且边所对角相等的
四个顶点共圆，如图
图形
模型
特征
四点 ③对角互补四边形的四个顶
共圆 点共圆，如图
图形
特征
模型
在☉O中，AB的长度为定值（即定
弦），C为动点，且∠C为定值，根
圆心
，并且平
分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦
所对的另一条弧；
（3）圆的两条平行弦所夹的弧 相等 .
注意点
（1）根据圆的对称性，在以下5个结论中：①过圆心；②垂直
于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
如果满足其中的2个结论，那么可推出其余3个结论，注意解题
径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若
∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ D ）
第8题图
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
9.（2023·泰安模拟）如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，
②弧AB＝弧CD，③AB＝CD，“知一推二”.
注意点
①进一步拓展，在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距
这四个量中，有一个量相等，则其余三个量都相等.
②一条弦所对的圆心角只有一个，而所对的弧有两条.
圆周角的概念与性质
1.圆周角
顶点在
圆周 上，角的两边都与圆 相交
可以A为圆心，AB长为半
径作圆
图形
模型
特征
①共斜边的两个直角三角形的四
个顶点共圆，圆心为斜边中点，
四点 如图
共圆
②共边三角形且边所对角相等的
四个顶点共圆，如图
图形
模型
特征
四点 ③对角互补四边形的四个顶
共圆 点共圆，如图
图形
特征
模型
在☉O中，AB的长度为定值（即定
弦），C为动点，且∠C为定值，根
圆心
，并且平
分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦
所对的另一条弧；
（3）圆的两条平行弦所夹的弧 相等 .
注意点
（1）根据圆的对称性，在以下5个结论中：①过圆心；②垂直
于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
如果满足其中的2个结论，那么可推出其余3个结论，注意解题
径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若
∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ D ）
第8题图
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
9.（2023·泰安模拟）如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，
2020年中考复习第一轮专题：圆的有关概念和性质 课件(共22张PPT)
A．30° B．45° C．55° D．60°
类型二：圆周角定理及推论 ︵
例 2 (2019·聊城)如图，BC 是半圆 O 的直径，D，E 是BC上两点，连接 BD，CE 并延长交于点 A，连接 OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE 的度数为( C )
A．35° C．40°
B．38° D．42°
人教版九年级数学
中考复习第一轮
专题：圆的有关概念和性质
课标解读：
1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等 弧的概念。
2.掌握垂径定理，圆心角、弧、弦相等关系定理，圆周角定 理，以及它们的推论，能够运用这些定理和推论解决问题。
3.掌握圆内接四边形性质，了解圆内接四边形与圆的关系。
考情分析：中考对圆的有关基础知识的考查，形式是以填空，
∴∠COD＝∠BOD．∴C︵D＝B︵D.
同步练习
1 .如图，点A,B,C,D 在☉O上,∠AOC=120°,点B是弧AC的 中点,则∠D的度数是( )D
A.60° B.35° C.30.5°D.30°
2．(2019·吉林)如图，在⊙O中，弧AB所对
的圆周角∠ACB＝50°.若P为弧AB上一点， ∠AOP＝55°，则∠POB的度数为( B )
2．等圆和等弧：能够互相重合的两个圆叫做等圆；在 同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
3．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、圆周角之间的 数量关系可以相互转化，能准确地从图中识别出相关的基本 图形及其等量关系．但要注意的是，遇到“一条弦所对的圆 周角”时，要注意分类讨论：若圆周角在这条弦的同侧，则 两个圆周角相等；若圆周角在这条弦的异侧，则两个圆周角 互补(实质上是圆内接四边形的对角).
垂足分别为 M，N，BA，DC 的延长线交于点 P，连接 OP.下列结论：①AB＝CD；②OM ＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，其中正确的个数是( D )
类型二：圆周角定理及推论 ︵
例 2 (2019·聊城)如图，BC 是半圆 O 的直径，D，E 是BC上两点，连接 BD，CE 并延长交于点 A，连接 OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE 的度数为( C )
A．35° C．40°
B．38° D．42°
人教版九年级数学
中考复习第一轮
专题：圆的有关概念和性质
课标解读：
1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等 弧的概念。
2.掌握垂径定理，圆心角、弧、弦相等关系定理，圆周角定 理，以及它们的推论，能够运用这些定理和推论解决问题。
3.掌握圆内接四边形性质，了解圆内接四边形与圆的关系。
考情分析：中考对圆的有关基础知识的考查，形式是以填空，
∴∠COD＝∠BOD．∴C︵D＝B︵D.
同步练习
1 .如图，点A,B,C,D 在☉O上,∠AOC=120°,点B是弧AC的 中点,则∠D的度数是( )D
A.60° B.35° C.30.5°D.30°
2．(2019·吉林)如图，在⊙O中，弧AB所对
的圆周角∠ACB＝50°.若P为弧AB上一点， ∠AOP＝55°，则∠POB的度数为( B )
2．等圆和等弧：能够互相重合的两个圆叫做等圆；在 同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
3．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、圆周角之间的 数量关系可以相互转化，能准确地从图中识别出相关的基本 图形及其等量关系．但要注意的是，遇到“一条弦所对的圆 周角”时，要注意分类讨论：若圆周角在这条弦的同侧，则 两个圆周角相等；若圆周角在这条弦的异侧，则两个圆周角 互补(实质上是圆内接四边形的对角).
垂足分别为 M，N，BA，DC 的延长线交于点 P，连接 OP.下列结论：①AB＝CD；②OM ＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，其中正确的个数是( D )
人教版初中数学总复习第六章圆第20课时圆的有关概念及性质课件
角形,外接圆的圆心叫做三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交
点.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心是斜边的中点;
钝角三角形的外心在三角形的外部.
3.圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多
边形,这个圆叫做多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.
第20课时 圆的有关概念及性质
基础自主导学
考点一 圆的有关概念及其对称性
1.圆的定义
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形,这个定点叫
做圆心,定长叫做半径;
(2)平面内一条线段绕着它一个固定端点旋转一周,另一个端点所形成的图
形叫做圆,固定的端点叫做圆心,这条线段叫做半径.
2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;弧用符号“ ”表示.圆的任意
答案:A
)
命题点2
圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2】 如图,已知A,B,C,D是☉O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接
CD,AD.
(1)求证:DB平分∠ADC;
(2)若BE=3,ED=6,求AB的长.
(1)证明:∵AB=BC,∴ = .
∴∠ADB=∠BDC,∴DB平分∠ADC.
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
2.推论
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦
相等;在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对
的优弧和劣弧分别相等.
考点三 垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
周角.
2.圆周角定理及推论
【人教版】中考数学一轮复习课件第一节 圆的基本性质
圆心角
[练对点三]
5.如图，等腰三角形 的顶角 为 ，以腰 为直径作半圆，交 于点 ，交 于点 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
考点四 圆周角定理及其推论
9.定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角.如 和 .
10.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______，如图， _ _ .
[练对点五]
第8题图
8.（2022·自贡）如第8题图所示，四边形 内接于 ， 是 的直径， ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
第9题图
9.（2022·内江）如第9题图所示，正六边形 内接于 ，半径为6，则这个正六边形的边心距 和 的长分别为( )
3.圆的有关概念
（1）同心圆：圆心相同、半径不相等的圆.
（2）等圆：能够重合的两个圆.
（3）半圆：圆的任意一条______的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做______，小于半圆的弧叫做______.
（5）弦：连接圆上任意两点的______.
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
续表
[练对点二]
3.点 是 内一点，过点 的最长弦的长为 ,最短弦的长为 ,则 的长为( )
A. B. C. D.
B
4.在直径为 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽 ，则油的最大深度为( )
【方法归纳】 利用圆周角定理在解答具体问题时，找准同弧所对的圆周角及圆心角，然后利用圆周角定理进行角度的相关计算，常作的辅助线：已知直径，作其所对的圆周角；已知 圆周角作其所对弦，即直径.同圆的半径相等，有时需要连接半径，用它来构造等腰三角形，再根据等腰三角形等边对等角以及三线合一来进行证明和计算.
第一部分 第四章 第4讲 第1课时 圆的基本性质-2020中考数学一轮复习课件(共26张PPT)
4.如图 4-4-6，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点D，且AB ＝8 cm，DC＝2 cm，则 OC＝____5____ cm.
图 4-4-6
图 4-4-7
5.如图4-4-7，C是劣弧AB 的中点，过点C 分别作 CD⊥OA， CE⊥OB ，点D，E分别是垂 足 ， 则CD____＝____CE.( 填 “>”“＝”“<”)
【题型过关】 1.在直径为 200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如 图 4-4-9.若油面的宽 AB＝160 cm，则油的最大深度为( )
A.40 cm 答案：A
B.60 cm
图 4-4-9 C.80 cm
D.100 cm
2.(2019 年四川凉山州)如图 4-4-10，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB 于 H，∠A＝30°，CD＝2 3，则⊙O 的半径是___2___.
思路点拨：根据题意，可以推出 AD＝BD＝20 m，若设半径 为 r，则 OD＝r－10，OA＝r，结合勾股定理可推出半径 r 的值. 解析：由题意得 O，D，C 共线， 则 OC⊥AB，AD＝BD＝20 m. 在 Rt△AOD 中，OA2＝OD2＋AD2， 设半径为 r，得 r2＝(r－10)2＋202.解得 r＝25 m. ∴这段弯路所在圆的半径为25 m. 答案：A
答案：50°
例 3 (2016 年广东)如图 4-4-12，点 P 是四边形 ABCD 外接 圆⊙O 上任意一点，且不与四边形顶点重合，若 AD 是⊙O 的直径，AB＝BC＝CD，连接 PA ，PB，PC，若 PA ＝a，则 点 A 到 PB 和 PC 的距离之和 AE＋AF＝__________.
图 4-4-2
1.如图 4-4-3，点 A，B，C 在圆 O 上，∠A＝64°，则∠BOC 的度数是( )
2020深圳中考数学一轮复习宝典课件 第1部分 第6章 第1讲 圆的有关概念与性质
A．直径相等的两个圆是等圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆中最长的弦是直径 D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
2．★(2019·深圳光明新区期中)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB
于点 E，若 AB＝10，AE＝2，则弦 CD 的长是( C )
A．4
B．6
C．8
D．10
3．★(2018 广州)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，交⊙O 于点 C，
思路分析：∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠C＋∠A＝180°， ∴∠C＝180°－40°＝140°.
2．如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，若∠BOD＝150°，
则∠A＝ 101505 °.
——基于全国中考的 13 道过关强化题 基础训练
1．★下列说法中，结论错误的是( B )
谢谢您的观看与聆听
O、C，点 C 在 y 轴上，点 E 在 x 轴上，点 A 的坐标为(－2，
1)，则 sin∠OBC 的值是
5 5
．
12．★★如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，且 AD 为直径，如果
∠BAD＝70°，∠CDA＝50°，BC＝2 5，那么 AD＝ 4 45 ．
中考预测 13．★★如图，以△ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其它两边 AC，
A．4 cm C．8 cm
B．6 cm D．10 cm
思路分析：如图，连接 OA， ∵⊙O 的直径 CD＝10 cm，AB⊥CD， ∴OA＝5 cm，AM＝BM， ∴AM＝ OA2－OM2＝ 52－32＝4(cm)， ∴AB＝2AM＝8 cm.
2．(2016·深圳竹林中学月考)如图，半径为 10 的⊙O 中，弦 AB 的
是优弧 AB 上的一点(不与点 A、B 重合)，若∠AOC＝50°，则
2．★(2019·深圳光明新区期中)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB
于点 E，若 AB＝10，AE＝2，则弦 CD 的长是( C )
A．4
B．6
C．8
D．10
3．★(2018 广州)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB，交⊙O 于点 C，
思路分析：∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠C＋∠A＝180°， ∴∠C＝180°－40°＝140°.
2．如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，若∠BOD＝150°，
则∠A＝ 101505 °.
——基于全国中考的 13 道过关强化题 基础训练
1．★下列说法中，结论错误的是( B )
谢谢您的观看与聆听
O、C，点 C 在 y 轴上，点 E 在 x 轴上，点 A 的坐标为(－2，
1)，则 sin∠OBC 的值是
5 5
．
12．★★如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，且 AD 为直径，如果
∠BAD＝70°，∠CDA＝50°，BC＝2 5，那么 AD＝ 4 45 ．
中考预测 13．★★如图，以△ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其它两边 AC，
A．4 cm C．8 cm
B．6 cm D．10 cm
思路分析：如图，连接 OA， ∵⊙O 的直径 CD＝10 cm，AB⊥CD， ∴OA＝5 cm，AM＝BM， ∴AM＝ OA2－OM2＝ 52－32＝4(cm)， ∴AB＝2AM＝8 cm.
2．(2016·深圳竹林中学月考)如图，半径为 10 的⊙O 中，弦 AB 的
是优弧 AB 上的一点(不与点 A、B 重合)，若∠AOC＝50°，则
圆的有关概念及性质 中考数学一轮复习 教学PPT课件
2．圆上任意两点间的部分叫做弧；小于半圆的 弧叫劣弧；大于半圆的弧叫优弧．
3．连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心 的弦叫做直径；直径是圆内最长的弦；直径等于半径 的2倍．
4．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴． (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． (3)圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重 合，这就是圆的旋转不变性．
本题考查了圆心角弧弦的关系等边三角形的判定与性质以及菱形的判定解题的关键是根据圆的性质得出特殊三角形等边三角形和直角三角形再根据其性质进行求解
圆的有关概念及性质
考点一 圆的有关概念及性质 1．圆的概念有两种方式 (1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定 的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
答案：3 3
5．在直径为52 cm的圆柱形油槽内装入一些油 后，截面如图所示，如果油的最大深度为16 cm，那 么油面宽度AB是 cm.
解析：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于点 D，并延长交⊙O于点C，
则
AD
＝
BD
＝
1 2
AB.
根
据
题
意
可
知
OB＝ OC＝
26 cm，CD＝16 cm，∴OD＝10 cm.在 Rt△BOD 中，
BD＝ OB2－OD2＝ 262－102＝24(cm)，∴AB＝2BD
＝48 (cm)．
答案：48
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直 径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.
(1)求证：BD平分∠ABC； (2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.
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证明：连接AC， ∵AB＝CD，
∴ »AB C»D ， ∴ »AB B»D B»D C»D ， 即 »AD C»B ，
∴∠C＝∠A， ∴PA＝PC.
三、中考实战
A组
15．(2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，
∠OAC＝32°，则∠B的度数是___5_8_°___．
16．(2019·甘肃)如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上 两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝( C ) A．54° B．64° C．27° D．37°
若P为»AB上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为(B ) A．30° B．45° C．55° D．60°
13．如图，四边形ABCD内接⊙O，AB经过圆心， 2019·南京)如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交 于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.
解：连接CO并延长，与AB交于点D，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝ 1 AB＝3(米)， 2
又是中心对称图形的是_矩__形__、__菱__形__、__圆_.
3.垂径定理及其推论 (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的两条弧． (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于
弦，并且平分弦所对的两条弧.
3.如图，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为C， OC＝3 cm，则⊙O的半径为___5_____cm.
6.圆内接四边形对角互补． 6.(2018·曲靖)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC
延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝___n_____°.
二、核心考题 考点1 圆心角、弦、弧之间的关系 7．如图，AB，CD是⊙O的直径，»AE＝B»D，若∠AOE＝32°，
则∠COE的度数是( D ) A．32° B．60° C．68° D．64°
17．(2017·金华)如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下 一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( C ) A. 10 cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26 cm
18．(2019·天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过 点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝80°， 则∠EAC度数为( C ) A．20° B．25° C．30° D．35°
8．如图，D，A，C，B为⊙O上的点，DC＝AB，则AD 与BC的大小关系是( B ) A．AD＞BC B．AD＝BC C．AD＜BC D．不能确定
考点2 垂径定理及其推论 9．(2018·广州)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，
连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是( D ) A．40° B．50° C．70° D．80°
10．(2018·朝阳区)如图，⊙O的半径OC⊥AB，垂足为点E，
∠BOE＝60°，OB＝6，求∠D的度数及AB的长． 解：∵OC⊥AB，
∴∠OEB＝90°，»AC＝B»C ，AB＝2EB，
∵∠BOE＝60°，
∴∠D＝ 1 ∠BOE＝30°，∠OBE＝30°，
2
∵OB＝6，∴OE＝
1
OB＝3，
2 由勾股定理得：BE＝ 62 32 3 3 ，
(4)劣弧B»C对应的优弧是__B_¼_A_C___，它们刚好拼成一个完
整的圆.
2.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任意一条直线． (2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
2.(1)下列图形中对称轴最多的是( D )
A. 等边三角形
B. 线段
C. 正方形
D. 圆
(2)等边三角形、矩形、菱形和圆四种图形中，既是轴对称图形，
∴AB＝2BE＝6 3.
考点3 圆的内接四边形 11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E是DC延长线上
一点，且CB＝CE，连接BE，若∠E＝40°， 则∠A的度数为( B ) A．90° B．100° C．110° D．80°
考点4 圆周角定理及其推论 12．(2019·吉林)如图，在⊙O中，»AB所对的圆周角∠ACB＝50°，
与圆有关的概念及性质中考复习课件
一、知识要点 1．圆中的有关概念 (1)弦：连接圆周上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦
是直径． (2)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆的弧叫优弧；
小于半圆的弧叫做劣弧．半圆也是弧． (3)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧.
1．如图，在⊙O中， (1)半径有：_O__A_，__O__B. (2)直径有：___A_B____. (3)弦有：_A_B_，__A__C_，__B_C_____.
5.圆周角定理及其推论 (1)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等
的圆周角所对的弧也相等． ②半圆或直径所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是 直径，所对的弧是半圆.
5.如图，在⊙O中，已知∠AOB＝120°， 则∠ACB＝___6_0_°___.
4.弧、弦、圆心角的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相
等，所对的弦也相等． (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各
组量也分别相等.
4.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是 B»E上的三等分点， ∠AOE＝60°，则∠COE等于( C ) A. 40° B. 60° C. 80° D. 120°
19．(2019·安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工 具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图描绘 了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴 心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的 弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高 点(C，O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距 离．(参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75， tan41.3°≈0.88)
∴ »AB C»D ， ∴ »AB B»D B»D C»D ， 即 »AD C»B ，
∴∠C＝∠A， ∴PA＝PC.
三、中考实战
A组
15．(2018·南充)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，
∠OAC＝32°，则∠B的度数是___5_8_°___．
16．(2019·甘肃)如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上 两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝( C ) A．54° B．64° C．27° D．37°
若P为»AB上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为(B ) A．30° B．45° C．55° D．60°
13．如图，四边形ABCD内接⊙O，AB经过圆心， 2019·南京)如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交 于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.
解：连接CO并延长，与AB交于点D，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝ 1 AB＝3(米)， 2
又是中心对称图形的是_矩__形__、__菱__形__、__圆_.
3.垂径定理及其推论 (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的两条弧． (2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于
弦，并且平分弦所对的两条弧.
3.如图，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为C， OC＝3 cm，则⊙O的半径为___5_____cm.
6.圆内接四边形对角互补． 6.(2018·曲靖)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC
延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝___n_____°.
二、核心考题 考点1 圆心角、弦、弧之间的关系 7．如图，AB，CD是⊙O的直径，»AE＝B»D，若∠AOE＝32°，
则∠COE的度数是( D ) A．32° B．60° C．68° D．64°
17．(2017·金华)如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下 一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( C ) A. 10 cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26 cm
18．(2019·天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过 点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝80°， 则∠EAC度数为( C ) A．20° B．25° C．30° D．35°
8．如图，D，A，C，B为⊙O上的点，DC＝AB，则AD 与BC的大小关系是( B ) A．AD＞BC B．AD＝BC C．AD＜BC D．不能确定
考点2 垂径定理及其推论 9．(2018·广州)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，
连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是( D ) A．40° B．50° C．70° D．80°
10．(2018·朝阳区)如图，⊙O的半径OC⊥AB，垂足为点E，
∠BOE＝60°，OB＝6，求∠D的度数及AB的长． 解：∵OC⊥AB，
∴∠OEB＝90°，»AC＝B»C ，AB＝2EB，
∵∠BOE＝60°，
∴∠D＝ 1 ∠BOE＝30°，∠OBE＝30°，
2
∵OB＝6，∴OE＝
1
OB＝3，
2 由勾股定理得：BE＝ 62 32 3 3 ，
(4)劣弧B»C对应的优弧是__B_¼_A_C___，它们刚好拼成一个完
整的圆.
2.圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任意一条直线． (2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
2.(1)下列图形中对称轴最多的是( D )
A. 等边三角形
B. 线段
C. 正方形
D. 圆
(2)等边三角形、矩形、菱形和圆四种图形中，既是轴对称图形，
∴AB＝2BE＝6 3.
考点3 圆的内接四边形 11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E是DC延长线上
一点，且CB＝CE，连接BE，若∠E＝40°， 则∠A的度数为( B ) A．90° B．100° C．110° D．80°
考点4 圆周角定理及其推论 12．(2019·吉林)如图，在⊙O中，»AB所对的圆周角∠ACB＝50°，
与圆有关的概念及性质中考复习课件
一、知识要点 1．圆中的有关概念 (1)弦：连接圆周上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦
是直径． (2)弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；大于半圆的弧叫优弧；
小于半圆的弧叫做劣弧．半圆也是弧． (3)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧.
1．如图，在⊙O中， (1)半径有：_O__A_，__O__B. (2)直径有：___A_B____. (3)弦有：_A_B_，__A__C_，__B_C_____.
5.圆周角定理及其推论 (1)定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等
的圆周角所对的弧也相等． ②半圆或直径所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是 直径，所对的弧是半圆.
5.如图，在⊙O中，已知∠AOB＝120°， 则∠ACB＝___6_0_°___.
4.弧、弦、圆心角的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相
等，所对的弦也相等． (2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各
组量也分别相等.
4.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是 B»E上的三等分点， ∠AOE＝60°，则∠COE等于( C ) A. 40° B. 60° C. 80° D. 120°
19．(2019·安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工 具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图描绘 了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴 心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的 弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高 点(C，O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距 离．(参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75， tan41.3°≈0.88)