实验八(窗函数)
窗函数的基本介绍
窗函数的基本介绍
窗函数是信号处理和时域滤波等应用领域中经常使用的一类函数。
它们的本质是一段有限型的信号，可用来分析信号的时域特性，计算相关性和协方差，从而实现有效的时域滤波，以及广义的系统估计和信号分离。
窗函数有很多种，比如加窗（矩形窗）、Triangular窗、Hann窗、Hamming窗等，在不同场景下选择不同的窗函数，必要时可以综合利用多种窗函数，共同完成信号处理任务。
窗函数最初是由波形采样的要求而被引入的，其用法是为了减少采样不足时产生的波形“非线性”失真的影响。
窗函数也可用于消除信号中的时域非均匀度，改善信号中噪声比率的性能，以及减少抽取信号帧的时域干扰。
窗函数的基本原理是，把信号按时间截断到一定的长度，然后以窗函数为模板乘上一定的系数，从而达到信号变换的目的。
在实现时域滤波的过程中，窗函数也起到抑制时域响应边界波形的作用，有效抑制了滤波器的失真，改善了滤波器的时域性能。
根据使用的不同时域窗函数，可将窗函数分为加窗（矩形窗）、Triangular窗、Hann窗、Hamming窗等几种。
加窗是最简单的一种窗函数，它不具有任何时域特性，但在输出信号上有一定的影响。
它实际上是一个正的宽带，满足条件：w(n)>0,n=[-M,M]。
窗函数的实现与分析
目录摘要 (I)1.窗函数 (1)2.窗函数的种类 (2)2.1 基本窗函数 (4)2.2 广义余弦窗 (5)3.基于matlab的实现 (9)3.1MATLAB软件简介 (9)3.2各窗函数的图形 (11)3.3各窗函数的幅频特性 (13)4.频谱泄露 (15)4.1频谱泄漏原理 (15)4.2 产生机理 (15)4.3窗函数的频谱泄漏的抑制方法 (16)4.4窗函数的选择 (18)5．实验结果分析 (19)6．心得体会 (20)参考文献 (21)摘要现代图像、语声、数据通信对线性相位的要求是普遍的。
正是此原因，使得具有线性相位的FIR数字滤波器得到大力发展和广泛应用。
在实际进行数字信号处理时，往往需要把信号的观察时间限制在一定的时间间隔内，只需要选择一段时间信号对其进行分析。
这样，取用有限个数据，即将信号数据截断的过程，就等于将信号进行加窗函数操作。
而这样操作以后，常常会发生频谱分量从其正常频谱扩展开来的现象，即所谓的“频谱泄漏”。
当进行离散傅立叶变换时，时域中的截断是必需的，因此泄漏效应也是离散傅立叶变换所固有的，必须进行抑制。
而要对频谱泄漏进行抑制，可以通过窗函数加权抑制DFT的等效滤波器的振幅特性的副瓣，或用窗函数加权使有限长度的输入信号周期延拓后在边界上尽量减少不连续程度的方法实现。
而在后面的FIR滤波器的设计中，为获得有限长单位取样响应，需要用窗函数截断无限长单位取样响应序列。
另外，在功率谱估计中也要遇到窗函数加权问题。
由此可见，窗函数加权技术在数字信号处理中的重要地位。
1.窗函数1.1基本概念在实际进行数字信号处理时，往往需要把信号的观察时间限制在一定的时间间隔内，只需要选择一段时间信号对其进行分析。
这样，取用有限个数据，即将信号数据截断的过程，就等于将信号进行加窗函数操作。
而这样操作以后，常常会发生频谱分量从其正常频谱扩展开来的现象，即所谓的“频谱泄漏”。
当进行离散傅立叶变换时，时域中的截断是必需的，因此泄漏效应也是离散傅立叶变换所固有的，必须进行抑制。
窗函数
窗函数(window function)窗函数是频谱分析中一个重要的部分，CoCo包含了所有通用的窗函数以及冲击测试中的受迫/指数(force/exponential)窗。
窗函数修正了由于信号的非周期性并减小了频谱中由于泄露而带来的测量不准确性。
快速傅里叶变换假定了时间信号是周期无限的。
但在分析时，我们往往只截取其中的一部分，因此需要加窗以减小泄露。
窗函数可以加在时域，也可以加在频域上，但在时域上加窗更为普遍。
截断效应带来了泄漏，窗函数是为了减小这个截断效应，其设计成一组加权系数。
例如，一个窗函数可以定义为：w(t)=g(t) -T/2<t<T/2w(t)=0 其他g(t)是窗函数，T是窗函数的时间待分析的数据x(t)则表示为：x(t)=w(t)*x(t)'x(t)'表示原始信号x(t)表示待分析信号。
加窗在时域上表现的是点乘，因此在频域上则表现为卷积。
卷积可以被看成是一个平滑的过程。
这个平滑过程可以被看出是由一组具有特定函数形状的滤波器，因此，原始信号中在某一频率点上的能量会结合滤波器的形状表现出来，从而减小泄漏。
基于这个原理，人们通常在时域上直接加窗。
大多数的信号分析仪一般使用矩形窗（rectangular），汉宁（hann），flattop和其他的一些窗函数。
矩形窗函数：w(k)=1汉宁窗：w(k)=0.5*(1-cos(2*pi*k/(N-1))) 0<=k<=N-1由于加窗计算中衰减了原始信号的部分能量，因此对于最后的结果还需要加上修正系数。
在线性谱分析中，一般使用幅度系数（amplitude correction），在功率谱中，一般使用能量系数（energy correction）。
具体请看下以章节。
泄露效应对于简单的信号，比如一个单频率的正弦波，泄露就表现为不在其频率点上仍然会有能量的出现。
离其本身的频率越近的频率，泄露的情况越严重，而离的越远，则情况则会好一些。
MATLAB窗函数
4.3 实验原理数字滤波器的设计是数字信号处理中的一个重要内容。
数字滤波器设计包括FIR（有限单位脉冲响应）滤波器与IIR（无限单位脉冲响应）滤波器两种。
与IIR滤波器相比，FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到严格的线性相位特性。
设FIR滤波器单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H（z）为：H（z）是z－1的N－1次多项式，它在z平面上有N－1个零点，原点z=0是N－1阶重极点，因此H（z）是永远稳定的。
稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点。
FIR滤波器的设计任务是选择有限长度的h(n)。
使传输函数H( )满足技术要求。
FIR滤波器的设计方法有多种，如窗函数法、频率采样法及其它各种优化设计方法，本实验介绍窗函数法的FIR滤波器设计。
窗函数法是使用矩形窗、三角窗、巴特利特窗、汉明窗、汉宁窗和布莱克曼窗等设计出标准响应的高通、低通、带通和带阻FIR滤波器。
一、firl函数的使用在MA TLAB 下设计标准响应FIR滤波器可使用firl函数。
firl函数以经典方法实现加窗线性相位FIR滤波器设计，它可以设计出标准的低通、带通、高通和带阻滤波器。
firl函数的用法为：b=firl(n,Wn,/ftype/,Window)各个参数的含义如下：b—滤波器系数。
对于一个n阶的FIR滤波器，其n+1个滤波器系数可表示为：b(z)=b(1)+b(2)z－1+…+b(n+1)z－n。
n—滤波器阶数。
Wn—截止频率，0≤Wn≤1，Wn=1对应于采样频率的一半。
当设计带通和带阻滤波器时，Wn=[W1 W2],W1≤ω≤W2。
ftype—当指定ftype时，可设计高通和带阻滤波器。
Ftype=high时，设计高通FIR滤波器；ftype=stop时设计带阻FIR滤波器。
低通和带通FIR滤波器无需输入ftype参数。
Window—窗函数。
窗函数的长度应等于FIR滤波器系数个数，即阶数n+1。
二、窗函数的使用在MA TLAB下，这些窗函数分别为：1．矩形窗：w=boxcar(n)，产生一个n点的矩形窗函数。
用窗函数设计FIR滤波器实验报告
实验 用窗函数设计FIR 滤波器一、实验目的1、熟悉FIR 滤波器设计的基本方法。
2、熟悉线性相位FIR 滤波器的幅频特性和相位特性。
3、掌握用窗函数设计FIR 数字滤波器的原理及方法，了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。
二、实验原理1、FIR 滤波器的设计 在前面的实验中，我们介绍了IIR 滤波器的设计方法并实践了其中的双线性变换法，IIR 具有许多诱人的特性；但与此同时，也具有一些缺点。
例如：若想利用快速傅立叶变换技术进行快速卷积实现滤波器，则要求单位脉冲响应是有限长的。
此外，IIR 滤波器的优异幅度响应，一般是以相位的非线性为代价的，非线性相位会引起频率色散。
FIR 滤波器具有严格的相位特性，这对于许多信号的处理和数据传输是很重要的。
目前FIR 滤波器的设计方法主要有三种：窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。
窗函数法比较简单，可应用现成的窗函数公式，在技术指标要求不高的时候是比较灵活方便的。
它是从时域出发，用一个窗函数截取理想的[]d h n 得到[]h n ，以有限长序列[]h n 近似理想的[]d h n ；如果从频域出发，用理想的[]j d h e ω在单位圆上等角度取样得到[]H k ，根据[]H k 得到[]H z 将逼近理想的[]d h z ，这就是频率采样法。
2 、窗函数设计法同其他的数字滤波器的设计方法一样，用窗函数设计滤波器也是首先要对滤波器提出性能指标。
一般是给定一个理想的频率响应[]j d H e ω，使所设计的FIR 滤波器的频率响应[]j H e ω去逼近所要求的理性的滤波器的响应[]j d H e ω。
窗函数法设计的任务在于寻找一个可实现（有限长单位脉冲响应）的传递函数1()[]N j j nn H e h n e ωω--==∑ （4.1）去逼近[]j d H e ω。
我们知道，一个理想的频率响应[]j d H e ω的傅立叶反变换201[]()2j j n d d h n H e e d πωωωπ=⎰（4.2）所得到的理想单位脉冲响应[]d h n 往往是一个无限长序列。
窗函数的实现与分析
窗函数的实现与分析窗函数是一种在数字信号处理中常用的技术，用于对信号进行加窗处理。
加窗处理的目的是在频域上对信号进行平滑，以减少频谱泄漏或者减小窗口边界效应。
窗函数广泛应用于傅里叶变换、滤波器设计、频谱分析、信号重构等领域。
窗函数实现的原理是在信号的时域上对原始信号进行截断，即乘以一个截断窗口函数。
截断窗口函数通常是一个平滑、有限的、具有零边界值的函数。
这样可以使得信号在窗口内部逐渐减小，并在窗口外部变为零，从而达到减少频谱泄漏的效果。
常用的窗函数有矩形窗、汉明窗、汉宁窗、布莱克曼窗、海明窗等。
下面以汉明窗为例，介绍窗函数的实现与分析。
汉明窗是一种常用的窗函数，其定义为：w(n) = 0.54 - 0.46 * cos(2πn/N)，其中0 <= n <= N-1假设需要对长度为N的信号x(n)进行加窗处理，实现过程如下：1.初始化窗口长度N。
2.初始化一个长度为N的空数组w，用于存储窗函数的值。
3.对n从0到N-1循环，计算w(n)的值，并存储到w中。
4.对信号x(n)和窗函数w(n)进行逐点乘法运算，得到加窗后的信号y(n)。
y(n)=x(n)*w(n)，其中0<=n<=N-15.返回加窗后的信号y(n)。
分析：1.汉明窗的定义表明，在窗口中心附近，窗函数的值最大，逐渐向窗口两端减小，直至为零。
这样可以对信号进行平滑处理，减少频谱泄漏。
2.汉明窗的参数0.54和0.46是经验值，具体值的选择可以根据应用场景进行调整，以达到最佳的效果。
3.窗口长度N的选择也很重要。
如果窗口长度过短，会导致频谱分辨率降低，无法准确表示高频成分；如果窗口长度过长，会导致频域分辨率提高，但时间分辨率降低。
4.窗函数的选择也是根据应用场景的不同而不同。
汉明窗适用于大多数信号分析场景，但对于具有突变的信号，如短时能量突变的语音信号，汉明窗可能会引入较大的误差。
5.窗函数的性能可以通过计算频谱泄漏、主瓣宽度、旁瓣幅度等指标来评估。
概率密度函数的窗函数估计
By: Mamba Never Out
1
类概密的非参数估计
参数估计要求类概密的函数形式是已知的 （如正态分布），但是常见的一些函数形 式很难拟合实际的类概密。这时候就要用 到非参数估计，也称为总体推断。即直接 用已知样本去估计总体密度分布。它适用 于类概密的函数形式和相关参数均未知的 情况，此时就要用给定的样本确定类概密 的函数形式和参数。
7
Parzen窗法
8
在n维特征空间中，取区域Rn是一个n维 的超立方体， 是它的棱长，则它的体积 为
在单位超立方体内取值1，其他为0
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一个样本 落入 为中心， 为棱长的超立方 体Rn内计数为1，否则为0。则落入该立方 体Rn的样本数
代入 得到 这种方法称为Parzon窗估计法。
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Parzen窗估计法特点
适用范围广，无论概密是规则的或不规则 的、单峰的或多峰的。 但它要求样本分布较好且数量要大，显然 这也是一个良好估计所必须的，但它的取 样过程的操作增加了取样工作的复杂性。 窗函数选取得当有利于提高估计的精度和 减少样本的数量。
11
-近邻估计
基本思想： 预先确定 是N的某个函数，把含有 点的序 列区域的体积 作为 中 的函数，而不 是直接作为实验样本N 的函数。方法是在 点附近选择最小的区域，让他只含 个样本。 如果 点附近概密较大，则包含 个样本的区 域体积就相对小。显然，当区域为含有 个 邻近样本而扩展到高密度区时，扩展过程 必然停止。
3
设 在R内连续变化，当R逐渐减少的时候，小到 在R上几乎没有变化时，则：
V是R包围的体积。 所以得到：
窗函数设计法课程设计
窗函数设计法课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解窗函数的基本概念，掌握窗函数的种类及其特性；2. 学生能运用窗函数设计法对信号进行处理，并解释处理过程；3. 学生能推导窗函数设计法在频率域和时域的关系。
技能目标：1. 学生能够独立操作窗函数设计软件，进行信号的窗函数设计；2. 学生能够分析实际信号处理问题，选择合适的窗函数，并解释选择理由；3. 学生能够运用窗函数设计法解决实际问题，形成实验报告。
情感态度价值观目标：1. 学生能够认识到窗函数设计法在信号处理领域的重要意义，培养对信号处理技术的兴趣；2. 学生在学习过程中，培养合作意识，学会分享和交流；3. 学生能够通过本课程的学习，培养科学严谨、勤奋钻研的学习态度。
课程性质分析：本课程为电子信息类学科的基础课程，旨在使学生掌握窗函数设计法的基本原理和应用，培养学生解决实际信号处理问题的能力。
学生特点分析：学生处于高年级阶段，已具备一定的信号处理基础，具有较强的逻辑思维能力和实际操作能力。
教学要求：结合学生特点和课程性质，注重理论与实践相结合，鼓励学生参与课堂讨论，提高学生解决问题的能力。
在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和进度，确保课程目标的实现。
通过本课程的学习，使学生能够达到上述具体的学习成果。
二、教学内容1. 窗函数基本概念及分类：- 窗函数的定义及作用- 常见窗函数（矩形窗、汉明窗、汉宁窗等）的特点及适用场景2. 窗函数设计法原理：- 窗函数设计法的数学表达式- 窗函数设计法在时域和频域的关系- 窗函数设计法的误差分析3. 窗函数设计法应用实例：- 信号处理中的窗函数设计法应用- 不同窗函数设计法在实际信号处理中的性能比较4. 教学实验：- 窗函数设计软件的使用方法- 实际信号处理问题的窗函数设计法应用- 实验报告撰写及成果展示教学大纲安排：1. 引言：窗函数在信号处理中的应用（1课时）2. 窗函数基本概念及分类（2课时）3. 窗函数设计法原理（3课时）4. 窗函数设计法应用实例（2课时）5. 教学实验（4课时）教材章节关联：本教学内容与教材第3章“窗函数设计法”相关，涵盖了教材中3.1节至3.5节的内容。
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实验思考题
1. 什么是信号截短？什么是吉布斯(Gibbs)现象？
增加长度N能消除吉布斯现象吗？应该如何解决？ 2. 非矩形窗有哪些？相比矩形窗，其优缺点有哪些？ 3. 怎样选择凯塞窗(Kaiser)的参数？ 4. 在信号谱分析中，如何合理地选择窗函数？
5. 在数字滤波器设计中，如何合理地选择窗函数？
实验八
三、实验内容
4. 序列 x[k ] 窗截短该序列, N分别为 20,40,160，观察不同长度N的窗对谱分析结果的影响；
11π 9π k cos k ，分析其频谱。 20 20
(2) 利用哈明窗重做 (1)； (3) 利用凯塞窗重做 (1)； (4) 比较和分析三种窗的结果； (5) 总结不同长度或类型的窗函数对谱分析结果的影响。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30 60 40 20 0 -150 -100 -50 0
35
40
45
50
50
100
150
实验八
三、实验内容
窗函数的特性分析
1. 分析并绘出常用窗函数的时域特性波形。
2. 利用fft函数分析常用窗函数的频域特性, 并从主瓣宽度和 旁瓣相对幅度两个角度进行比较分析。 3. 研究凯塞窗(Kaiser)的参数选择对其时域和频域的影响。 (1) 固定beta=4，分别取N=20, 60, 110； (2) 固定N=60，分别取beta=1,5,11。
0.54 0.46cos
2πk N 1
2πk 4πk 0.42 0.5 cos 0.08cos N 1 N 1
2k 1
I 0
N 1 2 N 1
2
2k 1 1 N 1 I 0 ( )
w=Kaiser(N,beta) beta控制kaiser窗形状的参数
实验八
一、实验目的
窗函数的特性分析
分析常用窗函数的时域和频域特性，灵活运 用窗函数分析信号频谱和设计FIR数字滤波器。
实验八
二、 实验原理
窗函数的特性分析
在确定信号谱分析、随机信号功率谱估计以及FIR数字
滤波器设计中，窗函数的选择起着重要的作用。在信号的频 谱分析中，截短无穷长的序列会造成频率泄漏，影响频谱分 析的精度和质量。合理选取窗函数的类型，可以改善泄漏现 象。在FIR数字滤波器设计中，截短无穷长的系统单位脉冲
实验八
窗函数的特性分析
例 分析长度N=51点矩形窗的时域波形及频谱 N=51; w=boxcar(N); Y=fft(w,256); subplot(2,1,1); stem([0:N-1],w); subplot(2,1,2); Y0= abs(fftshift(W)); plot([-128:127], Y0) 运算结果如图所示。
序列会造成FIR滤波器幅度特性的波动，且出现过渡带。
实验八
窗函数名称
矩形窗 (Rectangle) (Hanning)
窗函数的特性分析
时域表示式 MATLAB实现
1
0.5(1 cos 2πk ) N 1
w=boxcar(N) 或 w=ones(N,1)
w=1/2*(1-cos(2*pi*k/(N-1))或 w=hannning(N) w=0.54-0.46*cos(2*pi*k/(N-1))或 w=hamming(N)
w=0.42-0.5*cos(2*pi*k/(N1))+0.08*cos(4*pi*k/(N-1))或 w=blackman(N) w=1-abs(2*(k-(N-1)/2)/(N-1))或 w=bartlett(N)
哈明窗 (Hamming)
布拉克曼窗 (Blackman) (一种三角形窗) (Kaiser)