信号与系统第3章 (3)

信号与系统 第三章课件

Chapter 3 Fourier Series Representation of Periodic Signals 第3章周期信号的傅里叶级数表示

Main content ： 1.The Frequency Analysis of Periodic Siganl(周期信号的频域分析） 2.The Frequency Analysis of LTI（LTI系统的频域分析） 3.Properties of Fourier Series（傅立叶级数的性质）

3.0 Introduction(引言) ?The basis for time domain(chapter2) 1)Signal can be represented as linear combination of shift impulses。 2)System is LTI。 ?Periodic Singal can be represented as linear combination of complex exponentials.

3.1 Historical Perspective (历史的回顾) 1、The concept of using trigonometric sums to describe periodic phenomena goes back to Babylonians 2、Euler examined the motion of Vibrating string is a linear combination of a few normal mode in 1748.

信号与系统课后习题与解答第三章

3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。 图3-1 解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n 2 1120 11201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n E dt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-== = =?? 所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为 T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=?? ? ???+++= Λ 指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为??? ??±±=-±±==-=ΛΛ,3,1,0,,4,2,0, 021n n jE n jb F n n π 所以，指数形式的傅利叶级数为 T e jE e jE e jE e jE t f t j t j t j t j π ωπππ π ωωωω2,33)(11111= ++- + -=--Λ 3-2 周期矩形信号如图3-2所示。若：

图3-2 2 T -2- 重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20= 幅度 V E 10= 求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。 解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数 ?? ? ??=??? ??== = =??--22 sin 12,)(1112212211τωττωππωτ τ ωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F t jn T T t jn n 则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为 ∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =?? ? ? ?== n t jn n t jn n e n Sa T E e F t f 112 )(1ωωτωτ 其直流分量为T E n Sa T E F n ττωτ=?? ? ??=→2lim 100 基波分量的幅度为??? ? ? ?= +-2sin 2111τωπE F F 二次谐波分量的幅度为??? ? ? ?= +-22sin 122τωπE F F 三次谐波分量的幅度为??? ? ? ?=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得

信号与线性系统第三章答案(简)

3-9 求图题3-9所示各信号的傅里叶变换。 解： ()()()() ()()() 1 222 j j j j a j 1Sa e e 12 b j 1j e T F E F T T ττττ---=?=-=--ωωωωωωωωω 3-10 试求下列信号的频谱函数。 ()()()()()()()()sgn()()()() t t f t e t f t t G t f t t f t e t εδε () -=--=-+=-=312234j212122113 4 2 解：() ()()()()()()j j e F F e Sa j ωωπδωω -+-=-=++3 121j 4 2j 223 ωωω ()()()()()() F F j πδ ==-+ - 34113 j j 4 j 22ωωωω ω 3-11 利用傅里叶变换的对称性求下列信号的频谱函数。 (1)) 2(π) 2(π2sin )(1--= t t t f (2)()()f t G t =22 解：()()()()()()F G e F Sa ω-==j2 124π1 j 2 j 2ωωωω 3-12 已知信号f (t )的频谱函数F (j ?)如下，求信号f (t )的表达式。 ()()();()()()(). 0001 j 3 j F F δεε =-=+--ωωωωωωωω 解：()()()()( ).000j 11 3 Sa 2ππ t f t e f t t == ωωω △3-13 利用傅立叶变换的微积分性质求图所示信号的频谱函数F (j ?)。 解：()[()cos()] 2 j 2j F Sa =-ωωωω 3-15 已知f (t )* f '(t )=(1-t )e -t ε(t )，求信号f (t )。 解：()()e t f t t ε-=± (b)

信号与系统课后习题答案

信号与系统课后习题答 案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-

1-1 试分别指出以下波形是属于哪种信号 题图1-1 1-2 试写出题1-1图中信号的函数表达式。 1-3 已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形 图，并加以标注。 题图1-3 ⑴ )2(1-t x ⑵ )1(1t x - ⑶ )22(1+t x ⑷ )3(2+t x ⑸ )22 (2-t x ⑹ )21(2t x - ⑺ )(1t x )(2t x - ⑻ )1(1t x -)1(2-t x ⑼ )2 2(1t x -)4(2+t x 1-4 已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形 图，并加以标注。 题图1-4 ⑴ )12(1+n x ⑵ )4(1n x - ⑶ )2 (1n x ⑷ )2(2n x - ⑸ )2(2+n x ⑹ )1()2(22--++n x n x ⑺)2(1+n x )21(2n x - ⑻ )1(1n x -)4(2+n x ⑼ )1(1-n x )3(2-n x 1-5 已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。 题图1-5 1-6 试画出下列信号的波形图：

⑴ )8sin()sin()(t t t x ΩΩ= ⑵ )8sin()]sin(21 1[)(t t t x ΩΩ+= ⑶ )8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+= ⑷ )2sin(1 )(t t t x = 1-7 试画出下列信号的波形图： ⑴ )(1)(t u e t x t -+= ⑵ )]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π ⑶ )()2()(t u e t x t --= ⑷ )()()1(t u e t x t --= ⑸ )9()(2-=t u t x ⑹ )4()(2-=t t x δ 1-8试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图。 ⑴ )1(1)(2Ω-Ω= Ωj e j X ⑵ )(1 )(Ω-Ω-Ω =Ωj j e e j X ⑶ Ω -Ω---=Ωj j e e j X 11)(4 ⑷ 21 )(+Ω=Ωj j X 1-9 已知信号)]()([sin )(π--=t u t u t t x ，求出下列信号，并画出它们的波形图。 ⑴ )() ()(2 21t x dt t x d t x += ⑵ ττd x t x t ?∞-=)()(2 1-10 试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。 题图1-10 1-11 试求下列积分： ⑴ ?∞ ∞--dt t t t x )()(0δ ⑵ ?∞ ∞ ---dt t t u t t )2()(00δ ⑶ ?∞ ∞---dt t t t e t j )]()([0δδω ⑷ ?∞ ∞--dt t t )2 (sin π δ

【信号与系统(郑君里)课后答案】第三章习题解答

3-1 解题过程： （1）三角形式的傅立叶级数（Fourier Series ，以下简称 FS ） f ( t ) = a + +∞ cos ( n ω t ) + b sin ( n ω t ) a 0 ∑ n 1 n 1 n =1 式中ω1 = 2π ，n 为正整数，T 1 为信号周期 T 1 1 t +T （a ）直流分量 a 0 = 0 ∫ 1 f ( t ) dt T 1 t 2 t +T （b ）余弦分量的幅度 a n = 0 ∫ 1 f ( t ) cos ( n ω1t ) dt T 1 t 0 2 t +T （c ）正弦分量的幅度 b n = 0 ∫ 1 f ( t ) sin ( n ω1t ) dt T 1 t （2）指数形式的傅立叶级数 +∞ f ( t ) = ∑ F ( n ω1 )e jn ω1t n = 其中复数频谱 F n = F ( n ω1 ) = 1 ∫t 0 +T 1 f ( t ) e ? jn ω1 t dt T 1 t 0 F n = 1 ( a n ? jb n ) F ? n = 1 ( a n + jb n ) 2 2 由图 3-1 可知， f ( t ) 为奇函数，因而a 0 = a n = 0 4 T b n = T ∫02 = 2E π n 4 T E ?2E E f ( t ) sin ( n ω t ) dt = sin ( n ω t ) dt = cos ( n ω t = 1 ? cos ( n π 2T 1 ∫0 2 1 n t 1 n ) 1 n = 2, 4, n = 1, 3, 所以，三角形式的 FS 为 2 E 1 1 2π f ( t ) = sin ( ω1t ) + sin ( 3ω1t ) + sin ( 5ω1t ) + ω1 = π 3 5 T 指数形式的 FS 的系数为 1 n = 0, ±2, ±4, F n = ? jb n jE = 2 n = 0, ? ± 1, ±3, n π 1

过程控制系统与仪表习题答案 第三章

第3章 习题与思考题 3-1 什么是控制器的控制规律控制器有哪些基本控制规律 解答： 1）控制规律：是指控制器的输出信号与输入偏差信号之间的关系。 2）基本控制规律：位式控制、比例控制、比例积分控制、比例微分控制和比例积分微分控制。 3-2 双位控制规律是怎样的有何优缺点 解答： 1）双位控制的输出规律是根据输入偏差的正负，控制器的输出为最大或最小。 2）缺点：在位式控制模式下，被控变量持续地在设定值上下作等幅振荡，无法稳定在设定值上。这是由于双位控制器只有两个特定的输出值，相应的控制阀也只有两个极限位置，总是过量调节所致。 3）优点：偏差在中间区内时，控制机构不动作，可以降低控制机构开关的频繁程度，延长控制器中运动部件的使用寿命。 3-3 比例控制为什么会产生余差 解答： 产生余差的原因：比例控制器的输出信号y 与输入偏差e 之间成比例关系： e K y p = 为了克服扰动的影响，控制器必须要有控制作用，即其输出要有变化量，而对于比例控制来讲，只有在偏差不为零时，控制器的输出变化量才不为零，这说明比例控制会永远存在余差。 3-4 试写出积分控制规律的数学表达式。为什么积分控制能消除余差 解答： 1）积分控制作用的输出变化量y 是输入偏差e 的积分：?=edt T y 1 1

2）当有偏差存在时，输出信号将随时间增大（或减小）。当偏差为零时，输出停止变化，保持在某一值上。因而积分控制器组成控制系统可以到达无余差。 3-5 什么是积分时间试述积分时间对控制过程的影响。 解答： 1）? =edt T y 11 积分时间是控制器消除偏差的调整时间，只要有偏差存在，输出信号将随时间增大（或减小）。只有当偏差为零时，输出停止变化，保持在某一值上。 2） 在实际的控制器中，常用积分时间Ti 来表示积分作用的强弱，在数值上，T i =1／K i 。显然，T i 越小，K i 就越大，积分作用就越强，反之亦然。 3-6 某比例积分控制器输入、输出范围均为4～20mA ，若将比例度设为100%、积分时间设为2min 、稳态时输出调为5mA ，某时刻，输入阶跃增加，试问经过5min 后，输出将由5mA 变化为多少 解答： 由比例积分公式：??? ? ??+=?edt T e P y 111分析： 依题意：%1001==p K p ，即K p =1, T I = 2 min , e ＝＋； 稳态时：y 0＝5mA ， 5min 后：mA edt T e P y y )7.05()52.02 12.0(151110±=??±±?+=???? ??++ =? 3-7 比例控制器的比例度对控制过程有什么影响调整比例度时要注意什么问题 解答：P74 1）控制器的比例度P 越小，它的放大倍数p K 就越大，它将偏差放大的能力越

信号与系统第三章习题

一填空（30） 1、=??)2(*)1(k k εε 2、 ∑?∞ ==?δk n n )2( 3、 ∑∞?∞ ==?+?k k k k )1()54(2δ4、卷积和的定义=)(*)(21k f k f 5、任一序列与单位样值序列信号)(k f )(k δ的关系为 6、已知两个序列分别为)()3 1()(1k k f k ε=，)3()()(2??=k k k f εε，，则, = )(*)()(21k f k f k s ==)2(s )4(s 7、 f (k )﹡δ(k ) = 8、 f (k )﹡δ(k – ) = 0k 9、()()1??k k εε= 10、=)(*)(k k εε 12= 13.()()43???k k εε求：= 14设f 1(k )=e -k ε( k )，f 2(k )=ε(k ), f 1(k )*f 2(k )= 15. 已知序列x (k )=(3)-k ε(k ) ，y (k )=1, -∞＜k ＜∞,求= )(*)(k y k x 16，，)()5.0()(1k k f k ε=1)(2=k f ∞<<∞?k ，则=)(*)(21k f k f 17，)()5.0()(1k k f k ε=)()(2k k f ε=，∞<<∞?k ，则 =)(*)(21k f k f 18 f(k)﹡δ(k– 5) = 19 f (k )﹡δ(k – 7) = 6单位阶跃序列与单位取样序列的关系为

20()()23???k k εε求：= 21 ()(47?)??k k εε求：= 22 f (k )﹡δ(5) = 23 f (k )﹡δ(7) = 24. ∑∞?∞==?+?k k k k )1()64(2δ 25 ∑∞?∞==?+?k k k k )2()54(2δ 二选择（20） 1 )2(*)3(?+k k x δ的正确结果是（） A )2()5(?k x δ B )2()1(?k x δ C )1(+k x D )5(+k x 2 序列和等于（） )2(2?∑?∞=i k i i δA 1 B 4 C )(4k ε D )2(4?k ε 3序列和 等于（） ∑∞ ?∞=k k )(δA 1 B ∞ C )(k ε D )()1(k k ε+ 4.)(4 cos n k δπ等于（） A )(n δ B 21 C 4cos πk D 4 πk

信号与系统自测题(第3章 参考答案)

《信号与系统》自测题 第3章 连续时间信号与系统的的频域分析 一、填空题 1、周期信号的傅里叶级数的两种表示形式是 三角函数形式 和 指数形式 。 2、信号的频谱包括两部分，他们分别是 幅度 谱和 相位 谱。 3、从信号频谱的连续性和离散型来考虑，非周期信号的频谱是 连续 的。 4、周期信号的频谱是 离散 的。 5、时域为1的信号傅里叶变换是2()πδω。 6、已知()x t 的傅里叶变换为()X j ω，则1()(3)x t x t =的傅里叶变换为 1()33 X j ω 7、频谱函数1()[(2)(2)]2F u u ωωω=+--的原函数()f t =1(2)Sa t π 。 8、频谱函数()(2)(2)F ωδωδω=-++的傅里叶反变换()f t =cos(2)t π 。 9、已知()f t 的频谱函数为()F j ω，则函数 0()j t df t e dt ω-的频谱函数为0()j F ωωω+。 10、若()f t 的频谱函数为()F j ω，则0()j t f t e ω-的傅里叶变换为0()F ωω+，()df t dt 的傅里叶变换为()j F ωω。 11、()t δ的傅里叶变换是 1 。 12、已知()x t 的傅里叶变换为()X j ω，则1()()3y t x t =的傅里叶变换为3(3)X j ω 。 13、常见的滤波器有 低通 、 高通 和 帯通 。 14、对带宽为20kHz 的信号()f t 进行抽样，其奈奎斯特间隔N T = 25 s μ；信号(2)f t 的带宽为 40 kHz ，其奈奎斯特频率N f = 80 kHz 。 15、人的声音频率为3003400Hz ，若对其无失真采样，则最低采样频率应为6800Hz 。 16、对频带为020kHz 的信号进行抽样，最低抽样频率为40kHz 。 17、无失真传输系统的频率响应函数为0()j t H j Ke ωω-=。

信号与系统习题答案 第三章

信号与系统习题答案 第三章

第三章习题 基础题 3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。它是否是完备集? 解： (积分???)此含数集在(0,2) π为正交集。又有sin()nt 不属于此含数集0 2sin()cos()0nt mt dt π =? ，对于所有的m 和n 。由完备正交函数定义所以此函数集不完备。 3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？ 解： 由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。 3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T -内的能量定义为222 ()T T E f t dt -=?。如有和 信号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22 T T -内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和; (2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。 解：(1)和信号f(t)的能量为 []2 2 222 2 2222212122 2 2 ()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dt f t dt f t dt f t f t dt f t f t -----= = = +++? ? ? ? ? （少乘以2） 由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得 2122 ()()0T T f t f t dt -=?

则有 22221 22 2 ()()T T T T E f t dt f t dt --=+? ? 即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。 和信号的能量为 (2) []2 2 222 2 2222212122 2 2 ()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dt f t dt f t dt f t f t dt f t f t -----===+++?? ? ?? （少乘以2吧？） 由1()f t 与2()f t 在区间(,)22 T T -内不正交可得 2122 ()()0T T f t f t dt K -=≠? 则有222222221 2 122 2 2 2 ()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+? ?? ? 即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。 3.4 求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。 （1）100j t e （2） ]2/)3(cos[-t π （3）)4sin()2cos(t t + （4）cos(2)cos(3)cos(5)t t t πππ++ （5）)4/sin()2/cos(t t ππ+ （6） )5/cos()3/cos()2/cos(t t t πππ++ 解：(1)角频率为Ω＝100rad s ，周期22100 T s ππ ==Ω (2)角频率为2 rad s π Ω= ，周期42 T s π = = (3)角频率为2rad s πΩ=，周期2T s π π= =Ω（先求T ，后求omg 吧？） (4)角频率为rad s πΩ=，周期22T s π ==Ω (5)角频率为4rad s πΩ=，周期28T s π = =Ω

信号与线性系统分析习题答案吴大正_第四版__高等教育出版社

第一章 信号与系统（二） 1-1画出下列各信号的波形【式中)() (t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8） )]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6 sin( )(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε

（8） )]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。 （2）)6 3cos()443cos()(2 π πππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解： 1-6 已知信号 )(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。 （1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5）)21(t f - （6） )25.0(-t f （7）dt t df ) ( （8）dx x f t ?∞-)( 解：各信号波形为 （1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5）)21(t f - （6） )25.0(-t f （7）dt t df )(

信号与系统第三章试题

信号与系统第三章试题 一、单项选择题 1．线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是 （ ） A ．阶跃信号 B ．正弦信号 C ．冲激信号 D ．斜升信号 2. 卷积)()()(t t f t δδ**的结果为( ) A.)(t δ B.)2(t δ C. )(t f D.)2(t f 3．已知连续系统二阶微分方程的零输入响应)(t y zi 的形式为t t Be Ae 2--+，则其2个特征根为( ) A ．－1，－2 B ．－1，2 C ．1，－2 D ．1，2 4．)3()5(21-*+t f t f 等于 ( ) A ．)()(21t f t f * B. )8()(21-*t f t f C ．)8()(21+*t f t f D. )1()3(21-*+t f t f 5. 连续信号)(t f 与)(0t t -δ的卷积，即=-*)()(0t t t f δ( ) A. )(0t t f - B. )(0t f C. )(t δ D. )(0t t -δ 6. 已知两个子系统的冲激响应分别为)(1t h 和)(2t h ，则由这两个子系统级联后 的复合系统的冲激响应为( ) A. )()(21t h t h - B. )()(21t h t h + C. )(*)(21t h t h D. 无法确定

7. 已知两个子系统的冲激响应分别为)(1t h 和)(2t h ，则由这两个子系统并联后的复合系统的冲激响应为( ) A. )()(21t h t h - B. )()(21t h t h + C. )(*)(21t h t h D. 无法确定 8. 已知系统微分方程为)()(2)(t f t y t y =+'，若1)0(=+y ，)()2sin()(t t t f ε=，解得全响应)42sin(4245)(2π-+=-t e t y t ，0≥t 。全响应中)4 2sin(42π-t 为 ( ) A. 零输入响应分量 B. 零状态响应分量 C. 自由响应分量 D. 稳态响应分量 9. 系统结构框图如图示，该系统的单位冲激响应)(t h 满足的方程为 ( ) A. )()()(t f t y t y =+' B. )()()(t y t f t h -= C. )()()(t t h t h δ=+' D. )()()(t y t t h -=δ 10. 线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是 （ ） A. 常数 B. 实数 C. 复数 D. 实数+复数 11. 零输入响应是( )

信号与系统课后习题参考答案

精心整理 1-试分别指出以下波形是属于哪种信号？题图1-1 1-2试写出题1-1图中信号的函数表达式。 1-3已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。 题图1-3 ⑴ (1x ⑷2x ⑺1x 1-4 题图1-4 ⑴(1x ⑷2x ⑺1x 1-51-6⑴(t x 2⑶)8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+=⑷)2sin(1 )(t t t x = 1-7试画出下列信号的波形图： ⑴)(1)(t u e t x t -+=⑵)]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π ⑶)()2()(t u e t x t --=⑷)()()1(t u e t x t --= ⑸)9()(2-=t u t x ⑹)4()(2-=t t x δ

1-8试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图。 ⑴)1(1)(2Ω-Ω= Ωj e j X ⑵)(1 )(Ω-Ω-Ω =Ωj j e e j X ⑶Ω -Ω---=Ωj j e e j X 11)(4⑷21 )(+Ω=Ωj j X 1-9已知信号)]()([sin )(π--=t u t u t t x ，求出下列信号，并画出它们的波形图。 ⑴)() ()(221t x dt t x d t x +=⑵ττd x t x t ?∞-=)()(2 1-101-11⑴?∞ -⑶?∞ -⑸?∞ -1-12⑴x 1⑶x 31-13⑴t y =)(⑶)2()(t x t y =⑷)1()1()(t x t x t y ---= ⑸?∞ -=2)()(t d x t y ττ⑹2 ()(n x n y = ⑺)()(n nx n y =⑻)1()()(-=n x n x n y 1-14如题图1-14中已知一线性时不变系统当输入为)(t x 时，响应为)(t y 。试做出当输入为)(1t x 时， 响应)(1t y 的波形图。

信号与系统第三章总结

第三章连续时间系统的频域分析 一、周期信号的傅里叶级数分析 1、三角傅立叶级数 ● 展开式： ∑∞ =Ω+Ω+=1 0)sin cos (2)(n n n T t n b t n a a t f ● 系数求法： ???---Ω=Ω==22 2222 0sin )(2cos )(2)(2T T T n T T T n T T T tdt n t f T b tdt n t f T a dt t f T a ● 展开式的含义： 各次谐波分量 二次谐波分量 基波分量直流分量-->--=--=--1212 n n n a 2、纯余弦形式 ● 展开式： ∑∞ =+Ω+=1 0)cos(2)(n n n T t n A A t f ? ● 系数求法： 02 2)arctan(a A a b b a A n n n n n n =-=+=? ● 展开式含义： 二次谐波分量 基波分量 直流分量--+Ω=---+Ω=---)2cos(,2)cos(,12 22110 ??t A n t A n A 3、指数傅氏级数

● 展开式： t n )(ωj n T e F t f ∑∞ ∞ -? = ● 系数求法：?-Ω-? =2 2 )(1T T t jn T n dt e t f T F ● 各项含义： ... 2 1212121...)()2(2) (10)(1)2(22112++++++=+Ω+Ω+Ω-+Ω-????t j t j t j t j T e A e A A e A e A t f 二次谐波分量 基波分量 直流分量 --+Ω---+Ω----------)2cos()cos(22110??t A t A A 4、信号的对称性与傅氏级数系数的关系 整个周期 偶函数、奇函数 波形对称 半个周期 奇谐函数、偶谐函数 1) 偶函数f(t)=f(-t) 关于纵轴对称 ?Ω==2 cos )(40 T T n n tdt n t f T a b 2) 奇函数f(t)=-f(-t) 关于原点对称 tdt n t f T b tdt n t f T a dt t f T a T T n T T T n T T T Ω==Ω===???--sin )(40cos )(20 )(220 2222 3) 奇谐函数：平移半个信号和时间轴对称 4) 偶谐函数：平移半个信号后 重合 ) (0) 2 ()(为奇数n b a T t f t f n n T ==±= 二、周期信号的频谱 0)2 ()(0===± -=n n b a a T t f t f

信号与系统习题答案 第三章

第三章习题 基础题 3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。它是否是完备集? 解： (积分???)此含数集在(0,2) π为正交集。又有sin()nt 不属于此含数集0 2sin()cos()0nt mt dt π =? ，对于所有的m 和n 。由完备正交函数定义所以此函数集不完备。 3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？ 解： 由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。 3.3实周期信号()f t 在区间(,)22T T -内的能量定义为222 ()T T E f t dt -=?。如有和信号12()()f t f t +(1)若1()f t 与2()f t 在区间(,)22 T T -内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和; (2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。 解：(1)和信号f(t)的能量为 []2 2 222 2 2222212122 2 2 ()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dt f t dt f t dt f t f t dt f t f t -----= = = +++? ? ? ? ? （少乘以2） 由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得2122 ()()0T T f t f t dt -=? 则有 2222122 2 ()()T T T T E f t dt f t dt --= +? ? 即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。 和信号的能量为 (2)

信号与系统练习题及答案

第一章 习 题 1-1 试分别指出以下波形是属于哪种信号？ 题图1-1 1-2 试写出题1-1图中信号的函数表达式。 1-3 已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以 标注。 题图1-3 ⑴ )2(1-t x ⑵ )1(1t x - ⑶ )22(1+t x ⑷ )3(2+t x ⑸ )22 ( 2-t x ⑹ )21(2t x - t )(a t ) (b t ) (c n t ) (b t )(a

⑺ )(1t x )(2t x - ⑻ )1(1t x -)1(2-t x ⑼ )2 2(1t x - )4(2+t x 1-4 已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以 标注。 题图1-4 ⑴ )12(1+n x ⑵ )4(1n x - ⑶ )2 (1n x ⑷ )2(2n x - ⑸ )2(2+n x ⑹ )1()2(22--++n x n x ⑺)2(1+n x )21(2n x - ⑻ )1(1n x -)4(2+n x ⑼ )1(1-n x )3(2-n x 1-5 已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。 题图1-5 1-6 试画出下列信号的波形图： ⑴ )8sin()sin()(t t t x ΩΩ= ⑵ )8sin()]sin(2 11[)(t t t x ΩΩ+= ⑶ )8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+= ⑷ )2sin(1)(t t t x = n n )(a t

信号与系统习题答案 第三章

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 第三章习题 基础题 3.1 证明cos t , cos(2)t , …, cos()nt (n 为正整数)，在区间(0,2)π的正交集。它是否是完备集? 解： (积分???)此含数集在(0,2)π为 正交集。又有sin()nt 不属于此含数集0 2sin()cos()0nt mt dt π =?，对 于所有的m 和n 。由完备正交函数定义所以此函数集不完备。 3.2 上题的含数集在(0,)π是否为正交集？ 解： 由此可知此含数集在区间(0,)π内是正交的。 3.3实周期信号 () f t 在区间 (,)22 T T - 内的能量定义为222 ()T T E f t dt -=? 。如有和信号 12()()f t f t +(1) 若 1() f t 与2()f t 在区间 (,)22 T T - 内相互正交，证明和信号的总能量等于各信号的能量之和; (2)若1()f t 与2()f t 不是相互正交的，求和信号的总能量。 解：(1)和信号f(t)的能量为

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF []2 2 222 2 2222212122 2 2 ()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dt f t dt f t dt f t f t dt f t f t -----= = = +++? ? ? ? ? （少乘以2） 由1()f t 与2()f t 在区间内正交可得2122 ()()0 T T f t f t dt -=?

AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 则有 2222122 2 ()()T T T T E f t dt f t dt --=+?? 即此时和信号的总能量等于各信号的能量之和。 和信号的能量为 (2) []2 2 222 2 2222212122 2 2 ()12()()()()()()T T T T T T T T T T E f t dt dt f t dt f t dt f t f t dt f t f t -----===+++?? ? ?? （少乘以2吧？） 由1()f t 与2()f t 在区间(,)22 T T -内不正交可得 2122 ()()0T T f t f t dt K -=≠? 则有222222221 2 122 2 2 2 ()()()()T T T T T T T T E f t dt f t dt K f t dt f t dt ----=++≠+? ? ? ? 即此时和信号的总能量不等于各信号的能量之和。 3.4 求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T 。 （1）100j t e （2） ]2/)3(cos[-t π （3）)4sin()2cos(t t + （4）cos(2)cos(3)cos(5)t t t πππ++ （5） ) 4/sin()2/cos(t t ππ+ （6） )5/cos()3/cos()2/cos(t t t πππ++ 解：(1)角频率为Ω＝100rad s ，周期22100 T s π π == Ω

信号与系统课后习题答案

1-1 试分别指出以下波形是属于哪种信号 题图1-1 1-2 试写出题1-1图中信号的函数表达式。 1-3 已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并 加以标注。 题图1-3 ⑴ )2(1-t x ⑵ )1(1t x - ⑶ )22(1+t x ⑷ )3(2+t x ⑸ )22 (2-t x ⑹ )21(2t x - ⑺ )(1t x )(2t x - ⑻ )1(1t x -)1(2-t x ⑼ )2 2(1t x -)4(2+t x 1-4 已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以 标注。 题图1-4 ⑴ )12(1+n x ⑵ )4(1n x - ⑶ )2 (1n x ⑷ )2(2n x - ⑸ )2(2+n x ⑹ )1()2(22--++n x n x ⑺)2(1+n x )21(2n x - ⑻ )1(1n x -)4(2+n x ⑼ )1(1-n x )3(2-n x 1-5 已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。 题图1-5 1-6 试画出下列信号的波形图： ⑴ )8sin()sin()(t t t x ΩΩ= ⑵ )8sin()]sin(2 1 1[)(t t t x ΩΩ+ =

⑶ )8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+= ⑷ )2sin(1)(t t t x = 1-7 试画出下列信号的波形图： ⑴ )(1)(t u e t x t -+= ⑵ )]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π ⑶ )()2()(t u e t x t --= ⑷ )()() 1(t u e t x t --= ⑸ )9()(2 -=t u t x ⑹ )4()(2 -=t t x δ 1-8试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图。 ⑴ )1(1)(2Ω-Ω= Ωj e j X ⑵ )(1 )(Ω-Ω-Ω =Ωj j e e j X ⑶ Ω -Ω---=Ωj j e e j X 11)(4 ⑷ 21 )(+Ω=Ωj j X 1-9 已知信号)]()([sin )(π--=t u t u t t x ，求出下列信号，并画出它们的波形图。 ⑴ )() ()(221t x dt t x d t x += ⑵ ττd x t x t ?∞-=)()(2 1-10 试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。 题图1-10 1-11 试求下列积分： ⑴ ?∞ ∞--dt t t t x )()(0δ ⑵ ? ∞ ∞ ---dt t t u t t )2()(00δ ⑶ ? ∞ ∞---dt t t t e t j )]()([0δδω ⑷ ?∞ ∞--dt t t )2(sin π δ ⑸ ? ∞ ∞ --++dt t t t )1()2(3δ ⑹ ? --11 2)4(dt t δ 1-12试求下列积分： ⑴ ? ∞ -'-=t d t x ττδτ)()1()(1 ⑵ ?∞ --=t d t x ττδτ)()1()(2 ⑶ ? ∞ ---= t d u u t x ττττ)]1()([)(3

(完整版)信号与线性系统分析吴大正习题答案

专业课习题解析课程 第2讲 第一章 信号与系统（二） 1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=

解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=

（5）) t f= r ) (sin (t （7）) f kε = t ) ( 2 (k

（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f

（5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6 sin( )(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f