2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习课件：第七章 第2讲 一元二次不等式及其解法
__________． 【解析】 当 a－2＝0，即 a＝2 时，不等式为－4<0， 对一切 x∈R 恒成立．
当 a≠2 时，则aΔ－＝2<4（0，a－2）2＋16（a－2）<0，
即a－<22<a<2，解得－2<a<2. 所以实数 a 的取值范围是(－2，2]． 【答案】 (－2，2]
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤 ①二次项若含有参数应讨论参数是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一 次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式； ②判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式 Δ 与 0 的关系； ③确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时， 要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．
【解】 将原不等式整理为形式上是关于 a 的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0. 令 f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，则－1≤a≤1. 因为 f(a)>0 在|a|≤1 时恒成立，所以 (1)若 x＝3，则 f(a)＝0，不符合题意，应舍去．
(2)若 x≠3，则由一次函数的单调性， 可得ff（（－1）1）>0>，0，即xx22－ －75xx＋ ＋162>>0， 0， 解得 x<2 或 x>4. 则实数 x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
2．已知函数 f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数 x 都有 f(1－x)＝f(1＋ x)成立，若当 x∈[－1，1]时，f(x)>0 恒成立，求实数 b 的取值范围． 解：由 f(1－x)＝f(1＋x)知 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称，即a2＝1，解得 a＝2. 又因为 f(x)的图象开口向下， 所以当 x∈[－1，1]时，f(x)为增函数， 所以当 x∈[－1，1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， 若当 x∈[－1，1]时，f(x)>0 恒成立， 则 b2－b－2>0 恒成立，解得 b<－1 或 b>2. 所以实数 b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
形如 f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)恒成立问题的求解思路 (1)根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于 0，从而求出参数的范围； (2)数形结合，利用二次函数在端点 a，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．
角度三 形如 f(x)≥0(f(x)≤0)(参数 m∈[a，b])确定 x 的范围 求使不等式 x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围．
一元二次不等式在 R 上恒成立的条件
不等式类型
恒成立条件
ax2＋bx＋c>0
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0
角度二 形如 f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围 (2020·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的 x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有 x2
选项可知选 C.
【答案】 C
本例利用了转化思想，其思路为： (1)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的 根(如本例)，也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由不等式 ax2＋bx＋c>0 的 x 的 值构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式 ax2＋bx＋c<0 的 x 的值构成的，三者之 间相互依存、相互转化．
第七章 不等式
第2讲 一元二次不等式及其解法
数学
01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
方法素养 助学培优
04
高效演练 分层突破
一、知识梳理
1．一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集 b
(1)当 a>0 时，解集为___x__x_>_a___． b
(2)当 a<0 时，解集为___x__x_<_a___．
__{x_|_x_>_x_2___ _或___x_<_x_1_} __
__{x_|_x_1_<_x_<_x_2_} _
_x__x_≠__－__2_ba_ ____∅______
_____R_____ _____∅_____
常用结论 1．分式不等式的解法 (1)gf（（xx））>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)． (2)gf（（xx））≥0(≤0)⇔fg（（xx））g≠（0x. ）≥0（≤0），
③当 a<0 时，－a4>a3， 解集为xx<a3或x>－a4. 综上所述，当 a>0 时，不等式的解集为xx<－a4或x>a3；当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x ∈R，且 x≠0}；当 a<0 时，不等式的解集为xx<a3或x>－a4.
－2(a－2)x＋a>0，则实数 a 的取值范围是__________．
【解析】 设 f(x)＝x2－2(a－2)x＋a. 因为对于任意的 x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有 f(x)＝x2－2(a－2)x＋a>0，
Δ≥0， 1≤a－2≤5， 所以 Δ<0 或f（1）≥0， 解得 1<a<4 或 4≤a≤5，即 1<a≤5. f（5）≥0， 【答案】 (1，5]
【解】 (1)由题意xx≥2＋02，x>3或x－<x02，＋2x>3，解得 x>1.故填{x|x>1}．
(2)
由
题
意
，
知
－
1 2
，
－
1 3
是
方
程
ax2 － bx － 1 ＝ 0
的两个根，且
a<0 ， 所 以
－ －1212＋ ×（ （－ －1313））＝＝ba－，a1，解得ab＝＝－5. 6，故不等式 x2－bx－a≥0 为 x2－5x＋6≥0，
2．记住两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 对任意实数 x 恒成立⇔ba2>－0，4ac<0. (2)一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔ba2<－0，4ac<0.
二、教材衍化 1．不等式 2x2－x－3>0 的解集为__________． 答案：xx>32或x<－1 2．若关于 x 的一元二次方程 x2－(m＋1)x＋m＋1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取 值范围是__________． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
原不等式的解集为{x|－2≤x<－1 或 2<x≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2，3]
2．解不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解：因为 a>0，原不等式等价于x－1a(x－1)<0.
①当 a＝1 时，1a＝1，x－1a(x－1)<0 无解；
②当 a>1 时，1a<1，解x－1a(x－1)<0 得1a<x<1；
形如 f(x)>0 或 f(x)<0(参数 m∈[a，b])的不等式确定 x 的范围时，要注意变换主元，一般 地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
1．若函数 y＝ mx2－（1－m）x＋m的定义域为 R，则 m 的取值范围是__________． 解析：要使 y＝ mx2－（1－m）x＋m有意义，即 mx2－(1－m)x＋m≥0 对∀x∈R 恒成立， 则m（>10－，m）2－4m2≤0，解得 m≥13. 答案：13，＋∞
1．(2020·河南开封模拟)不等式 0<x2－x－2≤4 的解集为__________． 解析：原不等式等价于 xx22－－xx－－22>≤04，，即xx22－－xx－－26>≤00，， 即（（xx－－23））（（xx＋＋12））>≤00，，解得x－>22≤或xx≤<－3.1， 借助于数轴，如图所示，
思想方法系列 12 转化与化归思想在不等式中的应用
(2020·安徽马鞍山模拟)不等式 f(x)＝ax2－x－c>0 的解集为{x|－2<x<1}，则函数 y
＝f(－x)的图象为
()
【解析】
a<0， 由题意得－ －22＋ ×11＝ ＝1a－，ac，解得ac＝＝－－21，，则函数 y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，结合
2．三个“二次”间的关系
判别式 Δ>0
Δ＝b2－4ac
二次函数 y＝
ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝
0(a>0)的根
有两个相异实 根 x1，x2(x1<x2)
Δ＝0
有两个相等实 根 x1＝x2＝－2ba
Δ<0 没有实数根
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
2．不等式 2x(x－7)>3(x－7)的解集为__________． 解析：2x(x－7)>3(x－7)⇔2x(x－7)－3(x－7)>0⇔(x－7)(2x－3)>0，解得 x<32或 x>7，所以 原不等式的解集为x|x<32或x>7. 答案：x|x<32或x>7
2021高考数学一轮复习第7章不等式推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式课件文北师大版
1.若 a，b，c∈R，且 a＞b，则下列不等式一定成立的
是( )
A．a＋c≥b－c
B．(a－b)c2≥0
C．ac＞bc
D.ba≤ba＋＋cc
B [(不等式的性质法)a，b，c∈R，且 a＞b，可得 a－b＞0，因 为 c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选 B.]
则 3x－x2≥0，
即 x2－3x≤0，
解得 0≤x≤3.]
2．设 A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则 A 与 B 的大小关系为( )
A．A≥B
B．A＞B
C．A≤B
D．A＜B
B [∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝x2－6x＋9－x24．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成 立⇒a≤f(x)max.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a＞b⇔ac2＞bc2.
()
(2)若不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集为(x1，x2)，则必有 a＞0.( )
(3)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋
课堂考点探究
⊙考点 1 比较大小与不等式的性质 比较大小的五种常用方法
(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、 配方、有理化、通分等)．
(2)作商法：直接作商与 1 的大小比较，注意两式的符号．
(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值， 根据函数的单调性比较．
法二： (特殊值排除法)令 a＝b＝－1，则 p＝q＝－2，排除选项 A、C; 令 a＝－1，b＝－2，则 p<q，排除选项 D.故选 B.]
2021届高考数学一轮必备 7.2《一元二次不等式及其解法》考情分析学案(1)
一元二次不等式及其解法考情分析1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题．3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．基础知识1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左侧化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确信一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集的确信受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有紧密联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．假设一元二次不等式通过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)(现在Δ＝b 2－4ac ＞0)，那么可依照“大于取两边，小于夹中间”求解集．2.(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号阻碍不等式的解集；不要忘了二次项系数是不是为零的情形；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；假设不能因式分解，那么可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 题型一 一元二次不等式的解法【例1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，那么x 0的取值范围是( )A. (－∞，－ 1)∪(1，＋∞)B. (－∞，－1)∪[1，＋∞)C. (－∞，－3)∪(1，＋∞)D. (－∞，－3)∪[1，＋∞) 答案：B解析：f (x 0)>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥1，2x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1⇔x 0≥1，或x 0<－1.【变式1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的概念域为________．解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的概念域为[1,3)． 答案 [1,3)考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】7. 假设不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，那么a 的取值范围是________．答案：a ≥－5解析：由题意，分离参数后得，a ≥－(x ＋4x)，设f (x )＝－(x ＋4x)，x ∈(0,1]，那么只要a ≥[f (x )]max 即可，由于函数f (x )在(0,1]上单调递增，因此[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5. 【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0， 当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＜0， 即0＜x ＜2a.当a ＜0时，2a＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜0.题型三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4a ＋2a －1＜0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞－2，a －2a ＋3＞0，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3或a ＞2，因此a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．【变式3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g －1≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]． 重难点冲破【例4】设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R . (1)假设x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f (x )≤4e 2成立． 注：e 为自然对数的底数． [解析] (1)求导得f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋x －a 2x＝(x －a )(2ln x ＋1－a x)．因为x ＝e 是f (x )的极值点，因此f ′(e)＝(e －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a e ＝0，解得a ＝e 或a ＝3e.经查验，符合题意，因此a ＝e 或a ＝3e(2)①当0＜x ≤1时，关于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立． ②当1＜x ≤3e 时，由题意，第一有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2， 解得3e －2e ln 3e≤a ≤3e＋2e ln 3e由(1)知f ′(x )＝x －a ⎝⎛⎭⎪⎫2ln x ＋1－a x .令h (x )＝2ln x ＋1－a x，那么h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且h (3e)＝2ln(3e)＋1－a3e≥2 ln(3e)＋1－3e ＋2e ln 3e 3e＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln 3e －13ln 3e ＞0.又h (x)在(0，＋∞)内单调递增，因此函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，那么1＜x 0＜3e,1＜x 0＜a .从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增． 因此要使f (x )≤4e 2对x ∈(1,3e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f x 0＝x 0－a 2ln x 0≤4e 2，1f 3e ＝3e －a 2ln 3e ≤4e 2，2成立．由h (x 0)＝2ln x 0＋1－ax 0＝0，知a ＝2x 0ln x 0＋x 0.(3)将(3)代入(1)得4x 20ln 3x 0≤4e 2.又x 0＞1，注意到函数x 2ln 3x 在(1，＋∞)内单调递增，故1＜x 0≤e.再由(3)和函数2x ln x ＋x 在(1，＋∞)内单调递增，可得1＜a ≤3e. 由(2)解得，3e －2e ln3e≤a ≤3e＋2e ln 3e.因此3e －2e ln 3e≤a ≤3e.综上，a 的取值范围为3e －2e ln 3e≤a ≤3e.巩固提高一、选择题1.已知集合M ＝{y |y ＝2x ，x >0}，N ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，那么M ∩N 为( ) A. (1,2) B. (1，＋∞) C. [2，＋∞) D. [1，＋∞)答案：A解析：集合M ＝{y |y >1}，集合N ＝{x |0<x <2}，因此M ∩N ＝(1,2)． 2. 不等式x 2－4>3|x |的解集是( )B. (－∞，－1)∪(4，＋∞)C. (－∞，－4)∪(1，＋∞)答案：A解析：∵|x |2－3|x |－4>0， ∴(|x |－4)(|x |＋1)>0，∴|x |>4，x >4或x <－4，选A 项．3. 在R 上概念运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )⊗(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A. 1B. 2C. 4D. 8答案：C解析：(x －a )⊗(x －b )>0，即(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，该不等式的解集为[2,3]，说明方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.4.不等式x －2x 2－1<0的解集为( )A. {x |1<x <2}B. {x |x <2且x ≠1}C. {x |－1<x <2且x ≠1}D. {x |x <－1或1<x <2} 答案：D解析：(x －2)(x 2－1)<0， (x ＋1)(x －1)(x －2)<0，数轴标根可得，x <－1或1<x <2，应选D 项．5.已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，那么实数a 的取值范围是( ) A. a <－35或a >1B. －35<a <1C. －35<a ≤1或a ＝－1D. －35<a ≤1答案：D解析：①当a ＝1时，原不等式化为－1<0，恒成立， 故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1<0，不恒成立， ∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0. 解得－35<a <1. 综合①②③可知，a 的取值范围是－35<a ≤1.。
2021届高考数学一轮总复习第7章不等式第2节一元二次不等式及其解法跟踪检测文含解析
第七章 不等式第二节 一元二次不等式及其解法A 级·基础过关|固根基|1.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{1，2} B ．{0，1，2} C ．{1}D ．{1，2，3}解析：选A ∵A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x|0<x≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}．故选A.2．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x<2，则m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．(－∞，0)解析：选D 由不等式的解集形式知m<0.故选D.3．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a≤4即可，解得－1≤a≤4.4．(2019届内蒙古包头模拟)不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图象为( )解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，则函数f(x)＝－x 2－x ＋2，那么y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2，结合选项可知选C.5．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，5) B ．(－2，4) C ．[－3，5]D ．[－2，4]解析：选D 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0可化为(x －1)(x －a)<0， 当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}； 当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a 的取值范围是a∈[－2，4]，故选D.6．不等式2x ＋1<1的解集是________．解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0⇒x －1x ＋1>0⇒x>1或x<－1.答案：{x|x>1或x<－1}7．已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，则实数c 的值为________．解析：因为函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b∈R)的值域为[0，＋∞)，所以函数的最小值为0，可得Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝14a 2.又因为关于x 的不等式f(x)<c 可化成x 2＋ax ＋b －c<0，所以x 2＋ax ＋14a 2－c<0，若不等式f(x)<c 的解集为(m ，m ＋8)，也就是方程x 2＋ax ＋14a 2－c ＝0的两根分别为x 1＝m ，x 2＝m ＋8，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝14a 2－c ， 可得|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64，即(－a)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2－c ＝64，解得c ＝16.答案：168．已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则a ＝________，b 的取值范围是________．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min ＝f(－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2. 又因为f(x)>0恒成立，即b 2－b －2>0成立， 解得b<－1或b>2.答案：2 (－∞，－1)∪(2，＋∞)9．已知函数f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0；当x∈(－3，2)时，f(x)>0.(1)求f(x)在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 当x∈(－3，2)时，f(x)>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－ba ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5，所以f(x)＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f(x)在[0，1]上为减函数，所以f(x)max ＝f(0)＝18，f(x)min ＝f(1)＝12，故f(x)在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c≤0，要使－3x 2＋5x ＋c≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512. 10．解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0.解：对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ<0，即－2<a< 2 时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0时，即a ＝± 2 时，x 2－2ax ＋2＝0有两个相等的实根，当a ＝2时，原不等式的解集为{x|x ＝2}，当a ＝－2时，原不等式的解集为{x|x ＝－2}；当Δ>0，即a>2或a<－ 2 时，x 2－2ax ＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为{x|a －a 2－2≤x ≤a ＋ a 2－2}．综上，当a>2或a<－ 2 时，解集为{x|a －a 2－2≤x ≤a ＋ a 2－2}；当a ＝ 2 时，解集为{x|x ＝2}；当a ＝－2时，解集为{x|x ＝－2}；当－2<a<2时，解集为∅.B 级·素养提升|练能力|11.设f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]，当a∈[－1，1]时都成立，则t 的取值范围是( )A ．－12≤t ≤12B ．t ≥2或t≤－2或t ＝0C ．t ≥12或t≤－12或t ＝0D ．－2≤t≤2解析：选B 若函数f(x)≤t 2－2at ＋1对所有的x∈[－1，1]时都成立，由已知易得f(x)的最大值是1，∴1≤t 2－2at ＋1对a∈[－1，1]时都成立，即2ta －t 2≤0对a ∈[－1，1]都成立．设g(a)＝2ta －t 2(－1≤a≤1)，欲使2ta －t 2≤0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≤0，g （1）≤0⇒t ≥2或t ＝0或t≤－2.故选B.12．(一题多解)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 恒成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：选C 解法一：令f(x)＝x 2＋ax ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1－a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.当0<－a 2<12，即－1<a<0时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1－a 24，要使不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，只需1－a 24≥0，显然成立．当－a 2≥12，即a≤－1时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝54＋a2，同理，要使原不等式恒成立，需有54＋a 2≥0，解得a≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a≥0时，函数f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，f(x)>f(0)＝1>0恒成立． 综上，a 的取值范围是a≥－52，其最小值为－52.故选C.解法二：因为x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，所以不等式x 2＋ax ＋1≥0可化为a≥－x －1x ，令f(x)＝－x －1x ，则f′(x)＝－1＋1x 2＝（1－x ）（1＋x ）x 2>0，所以f(x)在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52，由题意得a≥－52，故a 的最小值为－52.故选C.13．(2019届云南昆明适应性检测)关于x 的不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，则b －a ＝________．解析：画出函数f(x)＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象，如图．可得f(x)min ＝f(2)＝1，由图象可知，若a>1，则不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a≤1，此时a≤34x 2－3x ＋4恒成立．又不等式a≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b]，所以a≤1<b，f(a)＝f(b)＝b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b ，34b 2－3b ＋4＝b ，由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝43或b ＝4.当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83，不符合题意，舍去．所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 答案：414．函数f(x)＝x 2＋ax ＋3.(1)当x∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解：(1)因为当x∈R 时，x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立， 只需Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即a 2＋4a －12≤0， 所以实数a 的取值范围是[－6，2]．(2)当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x 2＋ax ＋3－a≥0恒成立，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g(x)的图象恒在x 轴或x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2. ②如图②，g(x)的图象与x 轴有交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g （－2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a≤－6，a≥4，a ≤73，解得a∈∅.③如图③，g(x)的图象与x 轴有交点， 但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a2≥2，7＋a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a≤－6，a≤－4，a≥－7.所以－7≤a≤－6，综上，实数a 的取值范围是[－7，2]．(3)令h(a)＝xa ＋x 2＋3，当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h （4）≥0，h （6）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋ 6.所以实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
高考数学一轮复习 第7章 不等式 第2节 一元二次不等式及其解法课件 文
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4．已知函数 f(x)＝x－2＋x22＋x，2xx，≥x0<，0，解不等式 f(x)>3.
解：由题意xx≥ 2＋02，x>3或x－<x02，＋2x>3，解得 x>1. 故原不等式的解集为{x|x>1}．
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三、易错自纠 4．不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示) 解析：由－x2－3x＋4>0 可知，(x＋4)(x－1)<0，解得－4<x<1. 答案：(－4，1)
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5．设二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，则 ab 的值为________． 解析：由不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，知 a<0 且 ax2＋bx＋1＝0 的两 根为 x1＝－1，x2＝13，由根与系数的关系知－ －113＋ ＝131a＝ ，－ba， 所以 a＝－3，b＝－2，所以 ab＝6. 答案：6
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2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx 有两相异实根 x1，
＋c＝0 (a>0)的根
x2(x1<x2)
有两相等实根 x1＝x2 ＝－2ba
Δ<0 没有实数根
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第七章 不等式
第二节 一元(yī yuán)二次不等式及 其解法
2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第7章 第1讲 不等关系与不等式
第1讲不等关系与不等式一、知识梳理1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b ． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．(3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d . (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ， a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd .(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)． (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)． 常用结论记住不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b ；②a <0<b ⇒1a <1b ；③a >b >0，d >c >0⇒a c >bd .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)； ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． 二、教材衍化1．1(填“>”“<”或“＝”)． 答案：<2．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的 条件．(填“充分不必要”“必要不充分”和“充要”)详细分析：a －b >0⇒a >b ⇒a >b ≥0⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇒/ a －b >0. 答案：充分不必要一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( ) (2)若ab>1，则a >b .( )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)同向不等式具有可加性和可乘性．( )(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√二、易错纠偏常见误区(1)不等号的传递性中同向问题； (2)可乘性中的乘正负数问题．1．设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列结论正确的是( ) A ．ac 2>bc 2 B.a b >1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2详细分析：选C.当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以选项A 错误；当b ＝0时，ab 无意义，所以选项B 错误；因为a >b ，所以a －c >b －c 恒成立，所以选项C 正确；当a ≤0时，a 2<b 2，所以选项D 错误．故选C.2．下列不等式中恒成立的是 ． ①m －3＞m －5；②5－m ＞3－m ； ③5m ＞3m ；④5＋m ＞5－m .详细分析：m －3－m ＋5＝2＞0，故①恒成立； 5－m －3＋m ＝2＞0，故②恒成立；5m －3m ＝2m ，无法判断其符号，故③不恒成立； 5＋m －5＋m ＝2m ，无法判断其符号，故④不恒成立． 答案：①②比较两个数(式)的大小(典例迁移)(1)已知a >b >0，m >0，则( )A.b a ＝b ＋m a ＋mB.b a >b ＋m a ＋mC.b a <b ＋m a ＋mD.b a 与b ＋m a ＋m的大小关系不确定 (2)若a ＝ln 33，b ＝ln 22，比较a 与b 的大小．【解】 (1)选C.b a －b ＋m a ＋m ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）a （a ＋m ）＝m （b －a ）a （a ＋m ）.因为a >b >0，m >0.所以b －a <0，a ＋m >0，所以m （b －a ）a （a ＋m ）<0.即b a －b ＋m a ＋m <0.所以b a <b ＋m a ＋m . (2)因为a ＝ln 33＞0，b ＝ln 22＞0，所以a b ＝ln 33·2ln 2＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log 89＞1， 所以a ＞b .【迁移探究】 若本例(1)的条件不变，试比较b a 与b －ma －m 的大小．解：b a －b －m a －m ＝b （a －m ）－a （b －m ）a （a －m ）＝m （a －b ）a （a －m ）.因为a >b >0，m >0. 所以a －b >0，m (a －b )>0. (1)当a >m 时，a (a －m )>0，所以m （a －b ）a （a －m ）>0，即b a －b －m a －m >0，故b a >b －m a －m .(2)当a <m 时，a (a －m )<0. 所以m （a －b ）a （a －m ）<0，即b a －b －m a －m <0，故b a <b －m a －m.比较两个数(式)大小的3种方法1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B详细分析：选B.由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2．已知a ，b 是实数，且e<a <b ，其中e 是自然对数的底数，则a b 与b a 的大小关系是 ．详细分析：令f (x )＝ln xx ，x >0，则f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，即函数f (x )在x >e 时是减函数． 因为e<a <b ，所以ln a a >ln bb ，即b ln a >a ln b ，所以ln a b >ln b a ， 则a b >b a . 答案：a b >b a不等式的性质(师生共研)(1)(特值法)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c <d <0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc <0；③a －c ＞b －d ；④a (d－c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b >0时，由a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |. 综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C. (2)因为a ＞0＞b ，c <d <0， 所以ad <0，bc ＞0， 所以ad <bc ，故①错误．因为0＞b ＞－a ，所以a ＞－b ＞0， 因为c <d <0，所以－c ＞－d ＞0，所以a(－c)＞(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，所以ad ＋bc＝ac＋bdcd<0，故②正确．因为c<d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，故③正确．因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，故④正确，故选C.【答案】(1)C(2)C判断关于不等式的命题的真假的方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．1．(一题多解)(2020·石家庄质量检测)已知a >0>b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2<－ab B ．|a |<|b | C.1a >1bD ．(12)a >(12)b详细分析：选C.通解：当a ＝1，b ＝－1时，满足a >0>b ，此时a 2＝－ab ，|a |＝|b |，⎝⎛⎭⎫12a<⎝⎛⎭⎫12b，所以A ，B ，D 不一定成立，因为a >0>b ，所以b －a <0，ab <0，所以1a －1b ＝b －a ab>0，所以1a >1b一定成立，故选C.优解：因为a >0>b ，所以1a >0>1b ，所以1a >1b 一定成立．故选C.2．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2 B ．a |b |<c |b | C ．ba <caD ．ca <cb详细分析：选D.因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．不等式性质的应用(典例迁移)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是，3x＋2y的取值范围是．因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.【答案】 (－4，2) (1，18)【迁移探究1】 (变条件)若将本例条件改为“－1<x <y <3”，求x －y 的取值范围． 解：因为－1<x <3，－1<y <3， 所以－3<－y <1，所以－4<x －y <4.又因为x ＜y ，所以x －y <0，所以－4<x －y <0， 故x －y 的取值范围为(－4，0)．【迁移探究2】 (变条件)若将本例条件改为“－1<x ＋y <4，2<x －y <3”，求3x ＋2y 的取值范围．解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )， 则{m ＋n ＝3，m －n ＝2，所以⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又因为－1<x ＋y <4，2<x －y <3， 所以－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32，所以－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，所以3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232.求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能会扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．1．设α∈⎝⎛⎭⎫－π6，π2，β∈[0，π]，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，2π3 B.⎝⎛⎭⎫－π3，2π3 C.⎣⎡⎭⎫－π3，2π3 D ．⎝⎛⎭⎫－2π3，π 详细分析：选D.由题设得－π3<2α<π，0≤β3≤π3，所以－π3≤－β3≤0，所以－2π3<2α－β3＜π.2．(陕西汉中模拟)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是 ．详细分析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π. 答案：(－π，2π)[基础题组练]1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A ．f (x )＝g (x ) B ．f (x )>g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 的值变化而变化详细分析：选B.f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0⇒f (x )>g (x )． 2．已知a ，b ∈R ，若a >b ，1a <1b 同时成立，则( )A ．ab >0B ．ab <0C ．a ＋b >0D ．a ＋b <0详细分析：选A.因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab <0，又a >b ，所以b －a <0，所以ab >0.3．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <nD ．m <－n <n <－m详细分析：选D.法一(取特殊值法)：令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n <0⇒m <－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立．4．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b详细分析：选A.因为c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，所以c ≥b .又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，所以2b ＝2＋2a 2，所以b ＝a 2＋1，所以b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，所以b >a ，所以c ≥b >a .5．(2020·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是 ． 详细分析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 16．已知a ，b ∈R ，则a <b 和1a <1b 同时成立的条件是 ．详细分析：若ab <0，由a <b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a <1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b. 所以a <b 和1a <1b 同时成立的条件是a <0<b .答案：a <0<b7．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是 ．详细分析：因为－π2<α<π，－π2<β<π，所以－π<－β<π2，所以－3π2<α－β<3π2.又因为α<β，所以α－β<0，从而－3π2<α－β<0.答案：⎝⎛⎭⎫－3π2，0 8．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，ab 的取值范围．解：因为15<b <36，所以－36<－b <－15. 又12<a <60，所以12－36<a －b <60－15， 所以－24<a －b <45，即a －b 的取值范围是(－24，45)． 因为136<1b <115，所以1236<a b <6015，所以13<ab<4，即ab的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4. [综合题组练]1．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件详细分析：选A.若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.2．若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( )A ．[9，18]B ．(15，30)C ．[9，30]D ．(9，30)详细分析：选D.因为a 2≤b ≤2a ，所以3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ，因为6<a <10，所以9<c <30.故选D.3．设a >b ，有下列不等式：①a c 2>b c 2；②1a <1b ；③|a |>|b |；④a |c |≥b |c |，其中一定成立的有 ．(填正确的序号)详细分析：对于①，1c 2>0，故①成立；对于②，a >0，b <0时不成立； 对于③，取a ＝1，b ＝－2时不成立； 对于④，|c |≥0，故④成立． 答案：①④4．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是 ． 详细分析：因为ab 2>a >ab ，所以a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1无解． 综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1)。
【走向高考】高三数学一轮总复习 7-1不等关系与不等式课件 北师大版
)
1 1 B．a＋ >b＋ a b 2a＋b a D. > a＋2b b
[解析]
1 1 1 1 解法 1：由 a>b>0⇒0< < ⇒a＋ >b＋ ，故选 C. a b b a
解法 2：(特值法)令 a＝2，b＝1，排除 A、D， 1 1 再令 a＝ ，b＝ ，排除 B. 2 3
4．设 a、b 为非零实数，若 a<b，则下列不等式成立的是 ( ) A．a2<b2 1 1 C.ab2<a2b
课堂典例讲练
比较大小
[例 1] y)的大小；
(1)若 x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋
(2)设 a>0，b>0 且 a≠b，试比较 aabb 与 abba 的大小．
π π 5．已知－ <α<β< ，则 α－β 的取值范围是________． 2 2
[答案] (－π，0)
[解析]
π π π π ∵－ <α<β< ，∴－ <α< ，α－β<0， 2 2 2 2
π π －2<－β<2，∴－π<α－β<0.
6．(2012· 郑州模拟)已知 a<0，－1<b<0，那么 a，ab，ab2 的大小关系是________．
课前自主预习
知识梳理 1．比较两个实数大小的法则 设 a，b∈R，则(1)a>b⇔ a－b>0 (2)a＝b⇔ a－b＝0 ； (3)a<b⇔ a－b<0 . ；
2．不等式的基本性质 (1)a>b⇔ b<a ； (2)a>b，b>c⇒ a>c ； (3)a>b⇔ a＋c>b＋c ； (4)a>b，c>0⇒ ac>bc ；a>b，c<0⇒ac<bc ； (5)a>b，c>d⇒ a＋c>b＋d ；
高考数学(文科,北师大版)一轮复习课件：1.2
不等关系及简单不等式的解法
-2知识梳理 双基自测 自测点评
2
3
4
5
1.两个实数比较大小的方法
������-������ > 0⇔������ > (1)作差法 ������-������ = 0⇔������ = ������-������ < 0⇔������ < (2)作商法
������ ������ ������ ������ ������ ������
)
)
(3)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0. (
(4)不等式
������-2 ≤0 的解集是[-1,2]. ������+1
(
)
(5)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的 解集为R. ( )
关闭
(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
������, ������, ������. ������(������∈R,������ > 0), ������(������∈R,������ > 0), ������(������∈R,������ > 0).
> 1⇔������ > = 1⇔������ = < 1⇔������ <
-3知识梳理 双基自测 自测点评
b+d.
(6)可开方:a>b>0⇒ ������>
n
n
������ (n∈N,n≥2).
-4知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
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2021高三统考北师大版数学一轮：第7章第2讲 一元二次不等式的解法 (1)
课时作业1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0答案 C解析 在C 项中，对于方程x 2＋6x ＋10＝0，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式的解集为R .2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >1m 或x <m C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >m 或x <1m D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m <x <1m 答案 D解析 当0<m <1时，m <1m ，故不等式(x －m )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m <x <1m . 3．(2019·潍坊模拟)函数f (x )＝1ln (－x 2＋4x －3)的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)答案 D解析 由题意知⎩⎨⎧ －x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎨⎧1<x <3，x ≠2，故函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．故选D.4．若集合A ＝{x |x 2－x <0}，B ＝{x |(x －a )(x ＋1)<0}，则“a >1”是“A ∩B ≠∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由题意得A ＝{x |0<x <1}，因为A ∩B ≠∅，所以只需要满足条件a >0即可，所以“a >1”是“A ∩B ≠∅”的充分不必要条件．5．(2019·吉林模拟)不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的充要条件是( )A ．m >2B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1答案 D解析 若不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立，则对于方程x 2－2x ＋m ＝0，Δ＝4－4m <0，解得m >1，所以m >1是不等式x 2－2x ＋m >0对一切实数x 恒成立的充要条件，结合选项知选D.6．(2019·郑州模拟)已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a 的值为( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2答案 D解析 由题意可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0，由解集的特点可得a >0且1a ＝12，故a ＝2.故选D.7．(2019·江西九江模拟)不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2} 答案 B解析 当a ＝2时，不等式变为4x －1≥0，解得x ≥14，不符合题意；当a ＝－2时，不等式的解集为空集；当a ≠±2时，不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，即(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1<0恒成立．∴⎩⎨⎧a 2－4<0，Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得－2<a <65. 综上可知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65.故选B.8．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1<x <12B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12 C.{}x |－2<x <1 D.{}x |x <－2或x >1答案 A解析 由题意，知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－ba ，(－1)×2＝2a⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.解得－1<x <12，故选A.9．若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 答案 A解析 令f (x )＝x 2－ax ＋1，则f (0)＝1>0，由题意可得⎩⎨⎧f (1)≤0，f (2)＞0，解得2≤a ＜52.10．设实数a ∈(1,2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( )A ．(3a ，a 2＋2)B ．(a 2＋2,3a )C ．(3,4)D ．(3,6)答案 B解析 由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1,2)，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2,3a )．故选B.11．(2019·桂林模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又f (x )<c ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c . ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①得2c ＝6，∴c ＝9.12．(2020·广西陆川中学月考)关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．0<a <1D ．a <0答案 B解析 由题意得，当a ＝0时，原不等式化为－2x ＋1<0，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12；当a >0时，要使得关于x 的不等式的解集非空，则Δ＝4－4a >0⇒a <1，即0<a <1；当a <0时，不等式的解集非空恒成立．所以关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空时，实数a 的取值范围是a <1.所以关于x 的不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要不充分条件是a ≤1，故选B.13．不等式2x 2－3|x |－35>0的解集为________． 答案 {x |x <－5或x >5}解析 2x 2－3|x |－35>0⇔2|x |2－3|x |－35>0⇔(|x |－5)(2|x |＋7)>0⇔|x |>5或|x |<－72(舍去)⇔x >5或x <－5.14．若不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，a <2x －x ，x ∈[1,5]有解，显然g (x )＝2x －x 在[1,5]上单调递减，g (x )max ＝g (1)＝1，∴a <1.15．若不等式a ·4x －2x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞解析 不等式可变形为a >2x －14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t >0. ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.16．关于x 的不等式组⎩⎨⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，则实数k 的取值范围是________．答案 [－3,2)解析 由x 2－x －2>0，可得x >2或x <－1，又由2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0，可得(2x ＋5)(x ＋k )<0，如图所示，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧－k >－52，－2<－k ≤3，解得－3≤k <2.17．已知二次函数f (x )满足f (－2)＝0，且2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立． (1)求f (2)的值； (2)求f (x )的解析式．解 (1)∵2x ≤f (x )≤x 2＋42对一切实数x 都成立， ∴4≤f (2)≤4，∴f (2)＝4. (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (－2)＝0，f (2)＝4，∴⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝4，4a －2b ＋c ＝0，⇒⎩⎨⎧b ＝1，c ＝2－4a .∵ax 2＋bx ＋c ≥2x 恒成立，即ax 2－x ＋2－4a ≥0恒成立，∴a >0且Δ＝1－4a (2－4a )≤0⇒(4a －1)2≤0，∴a ＝14，c ＝2－4a ＝1，故f (x )＝x 24＋x ＋1. 18．设函数f (x )＝x 2－ax ＋b .(1)若不等式f (x )<0的解集是{x |2<x <3}，求不等式bx 2－ax ＋1>0的解集； (2)当b ＝3－a 时，对任意的x ∈(－1,0]都有f (x )≥0成立，求实数a 的取值范围．解 (1)因为不等式x 2－ax ＋b <0的解集是{x |2<x <3}，所以x ＝2，x ＝3是方程x 2－ax ＋b ＝0的解．所以⎩⎨⎧ 2＋3＝a ，2×3＝b ，即⎩⎨⎧a ＝5，b ＝6，故不等式bx 2－ax ＋1>0为6x 2－5x ＋1>0.解不等式6x2－5x ＋1>0，得其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >12. (2)当b ＝3－a 时，f (x )≥0在区间(－1,0]上恒成立转化为x 2－ax ＋3－a ≥0在区间(－1,0]上恒成立，即a (x ＋1)≤x 2＋3在区间(－1,0]上恒成立，等价于a ≤x 2＋3x ＋1，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3x ＋1min . 设t ＝x ＋1，t ∈(0,1]，u ＝x 2＋3x ＋1＝(t －1)2＋3t ＝t ＋4t －2，则 u ′＝1－4t 2<0，所以当t ∈(0,1]时，u 关于t 单调递减， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t －2min ＝1＋4－2＝3，即a ≤3.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2021高考一轮总复习课件(北师大版)：第七章 不等式-4.ppt
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命题分析
通过对近三年高考试题的统计和分析可以发现，本节主要考查利用基
本不等式求函数的最值．若单纯考查基本不等式，一般难度不大，通
常出现在选择题和填空题中，若考查基本不等式的变形，即通过对代
数式进行拆添项或配凑因式，构造出基本不等式的形式再进行求解，
难度就会提升．对基本不等式的考查，若以解答题的形式出现时，往
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案] B
第七章 第四节
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[解析]
①②不正确，③正确，x2＋
1 x2＋1
＝(x2＋1)＋
x2＋1 1－1≥2－1＝1.
第七章 第四节
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3．若a>0，b>0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为
[答案] C
第七章 第四节
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[解析] ∵x>0，∴y＝x＋1x≥2， 当且仅当x＝1时取等号．
第七章 第四节
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2．下列不等式：①a2＋1>2a；②
a＋b ab
≤2；③x2＋
1 x2＋1
≥1，其中正确的个数是( )
4．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______时，x＋y有最 ______值是______．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当______时，xy有最 ______值是______．(简记：和定积最大)．
第七章 第四节
北师大版高考数学一轮复习统考第7章不等式第2讲一元二次不等式的解法课件
x2－x－2>0， x2－x－2≤4
⇔xx22－ －xx－ －26>≤00，
⇔xx－－32xx＋＋21≤>00， ⇔x－>22≤或xx≤<－3.1，
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解
借助于数轴，如图所示，
故 原 不 等 式 的 解 集 为 {x| － 2≤x< － 1 或
2<x≤3}．
(2)原不等式化为(ax－1)(x－1)<0.
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2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法 (1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于 0，小于 0， 还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式 Δ 与 0 的关系． (3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的 大小关系，从而确定解集形式．
07 _没__有___实 数根
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判别式 Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ＝0
{x| 08 _x_>_x_2__ _或___x_<_x_1 ______
{x| 09 __x_≠__x_1 __}
{x| 11 _x_1_<_x_<_x_2 }
12 __∅_
Δ<0 10 __R__ 13 __∅_
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1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0 且 b2－4ac<0(x∈R)． 2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0 且 b2－4ac<0(x∈R).