波动的稳定性
波动是否稳定，只要判断Ci是否等于0。
波动发展，波动不稳定
Ci 0
波动不发展，波动稳定
Ci 0
重力内波、惯性波：受力机制很清楚； 一般直接从振荡看是否稳定，由此，可
以得到：静力稳定度、惯性稳定度。
而Rossby波的产生机制是β－效应，
※流体力学侧重的是基本气流是否稳定， （纯粹是动力学问题）；
而气象上侧重的是波动是否稳定， （动力、热力问题）。
如果波动或扰动能发展， 这个波动就是不稳定的；
如果波动或扰动不发展，即始终很小或衰减， 这个波动就是稳定的。
从能量学来讲，如果波动的动能K’增加了， 波动发展了，则不稳定。
具体的，对于天气尺度波动（Rossby波）
如果Ci Ci
0，则A＝A 常量，扰动始终很小 0，不论 0，还是 0 不稳定
稳定
实际波动是有很多简谐波叠加而成， 振荡解都是共轭出现的
如简谐振荡方程，d 2x dt 2
kx
特征根：r i k
振荡解：x Aei kt Bei kt
对于波动，两个特征解都是成对地、 共轭出现的：
Cr i Cr iCi
g T
(
d
)z
N2
g T
(
d
)
g
ln
z
dw N 2z
dt
N 2 0，力作负功，扰动减弱，层结是稳定的；
N
2
0，力不作功，层结是中性的；
N
2
0，力作正功，扰动得到能量而增强，层结不稳定
§4 惯性稳定度
科氏力作用下，惯性振荡的稳定性问题。
如果仅受科氏力作，运动 轨迹是一个惯性圆；由于 科氏力作不作功，K不会增 加，故是稳定的。
A K 斜压不稳定的 K K 正压不稳定的
如：纬向基流时
{K
,
K
}
M
uv
u y
dM
取决于波和流的结构配置
均匀基流
u 0 {K, K} 0 y
波动是正压稳定的
讨论波动传播问题时，均匀基流 讨论波动发展问题时，非均匀基流
§2 波动稳定性的数学表达
简谐波解
Aeik(xct) Aei(kxt)
~ 104 s 1, f0
0, ug y
101 ~ 106
s 1
~ 105 s 1
一般都有
a >0，为稳定的。
要使
a
f0
ug y
0
，不稳定
g
vg x
ug y
ug y
f
ug y
f
g
a
基本气流的绝对涡度。
一般地，实际大气（北半球）：
ug y
f0
0
在急流轴以北： ug 0
y
以南： ug 0
实际大气，振荡发生在基本气流下： 均匀基流：一边振荡，一边向下游运动； 运动的性质不变 切变基流（实际大气）：
基本状态(背景场）： 地转平衡
u g
1 f
y
ug (y)
0
vg
1 f
x
0
一定存在如图所示的气压场：
du dt dv dt
f0v f0u
y
f0 (u
ug
)
★静力稳定度：层结大气中，垂直面内； 考虑重力和垂直向的压力梯度力（浮力） 的合力的方向，与位移的方向的关系。
从涡旋场（涡度方程）讨论Rossby波， 而没有具体讨论其振荡受力情况； 一般从Ci是否等于0判别其稳定性。
§3 静力稳定度 气块法 讨论浮力振荡（层结）稳定性问题
气块受扰离开平衡位置向上扰动。
环境要素：上升 P (z) ，T (z) ， (z) 气块要素：P(z)，T (z)，(z)
上升过程中，气块作干绝热膨胀 准静力过程P(z)＝P (z)
f0 y
dv dt
dt
f0 (u
ug
)
f0 (u0
dv dt
f0( f
f0 y
u g
y
ug (0)
)y
u g y
y)
0 稳定
f
u g y
0 中性 0 不稳定
正如静力惯性度取决于层结
（背景），
惯性稳定度也取决于环境背
景——基本气流的绝对涡度
一般地，实际大气（北半球）：
f0
高等动力气象学 （动力气象学II）
郭品文 大气科学学院
第一章、大气波动的稳定性问题
天气尺度的波动，控制日常天气； 发生、发展、移动的机制、规律
大气波动学： 波动的性质、机制、求解波速 ——讨论传播问题
大气能量学： 天气尺度系统的发生发展问题。
V
V
V ,
V：纬向平均气流，大气环流，基本气流
惯性稳定度：水平面内（南北向）；考 虑科氏力和南北向的压力梯度力的合力 的方向，与位移的方向的关系。
初始环境场：ug (0)
质点速度：u0 ug (0)
受到扰动到y处，环境：
u
g
(
y)
u
g
(0)
u g y
y
y0
质点 ：
u( y)
u0
du ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy
y
du
du dy
dt dy
f0v v
f0
u(y) u0
∵A＝Const，k(x-ct)位相：波动传播 ∴不能讨论波的稳定性问题。 实际上，c或ω可以是复数，
这样：C Cr iCi Ae e ik ( xCrt ) kCit Ae e kCit ik ( xCrt )
记： AekCit A (t)
A* (t)eik(xCrt) 振幅为A*(t), 位相为k(x Crt)
y
§5 正压不稳定 ——Rossby波的正压不稳定问题
V V V
1．描写Rossby波的方程：考虑β－效应
t
u
x
v
y
v
0
&
d dt
(
f
)
0
v x
u y
u
x
v y
0
水平无辐散下的涡度方程；非线性方程。
2．线性化
u u ( y) u(x, y,t), v v(x, y,t)
u ( y) Const
T (z) ，(z)
故z处气团所受的净浮力的方向，取决于
T与T，或与 哪个下降得块。
dw g 1 P
dt
z
P g
z
dw g P
dt
z
dw
g
P RT
P RT
g
T
T
g
dt
P
T
RT
T
T (z0 )
dT dz
z
T
(z0 )
dz
T
T
(
z0
)
T z
z
T (z0 ) z
dw dt
V ：扰动，涡旋运动，波动
波动是叠加在基本 气流上； 或说基本气流受扰 动，会产生波动。
波动发展了——波能增加——波振幅增大 天气系统发生发展——波动振幅变化
§1 波动稳定性的基本概念
波动或者流动稳定性问题首先在《流体 力学》中被讨论和定义：
如果气流受到扰动： 1）扰动发展，（基本气流由层流变为
湍流），即基本气流是不稳定，叠加 在其上的扰动是不稳定； 2）扰动减弱，或始终很小，则基本气 流是稳定的，扰动也是稳定的。
波的周期名词解释
波的周期名词解释波是自然界中常见的现象，它们可以是水波、声波、光波等。
而波的周期则是描述波动特性的一个重要概念。
在本文中，我们将深入探讨波的周期及其相关概念，带领读者了解波动现象的运动规律和本质。
一、波的基本特征波是一种能量传递的方式，它在介质中传播，发出或接受波的物体并不随之移动。
波的基本特征包括振动、传输和周期。
二、周期的概念周期是波动现象中的一个重要概念，它描述了波动的重复性和规律性。
周期是指波动中两个相邻点或相邻波峰之间的时间间隔，也可以定义为振动的重复模式。
在数学上，周期用T表示。
三、频率的定义频率是周期的倒数，也就是单位时间内波动中的周期数。
频率的单位是赫兹（Hz），表示每秒钟发生波动的次数。
频率用f表示，频率和周期之间的关系为：f = 1/T。
四、物理学中的波周期在物理学中，波的周期在不同类型的波动中有不同的含义。
以机械波（例如水波和声波）为例，波的周期表示波动在介质中传播一次所需的时间。
而在光学中，周期则表示电磁波在真空中传播一个完整波长所需的时间。
五、周期与波长的关系波长是波动的另一个重要概念，它是指波动中的相邻点之间的距离或波的一个完整周期所占据的空间。
波的周期和波长之间存在简单且重要的数学关系，即周期T等于波长λ与波速v的商：T = λ/v。
这意味着波长越短，波动的周期就越短，频率就越高。
六、周期在日常生活中的应用周期这一概念不仅在物理学中有重要应用，而且在日常生活中也有很多实际应用。
例如，我们自然生活中常见的钟摆运动就是具有固定周期的周期性振动。
另外，电力的交流电系统也是以特定频率（如50Hz或60Hz）工作的，这使得电力可在各个终端进行传输和应用。
七、周期与波动的稳定性周期对波动的稳定性具有重要影响。
如果波动的周期不稳定或不规则，波动就会失去其特定的模式和规律性。
在自然界中，我们可以观察到很多不稳定的波动现象，如风浪中的海浪、地表震动中的地震波等。
这些不稳定的波动使得我们能够研究和理解自然界中的一些变化和现象。
第五章-车辆跟驰理论.
3、传递性
由制约性可知，第一辆车的运行状态制约着第二辆车的运 行状态，第二辆车又制约着第三辆车，…，第n辆车制约 着第n+1辆。一旦第一辆车改变运行状态，其效应会一辆 接一辆的向后传递，直至车队最后一辆，这就是传递性。
Weidman的研究则认为车头间距小于等于150m时，车辆 处于跟驰状态。
在跟驰理论中，目前常用的判定跟驰状态的方法有两种。
➢ 一种是基于期望速度的判定方法，它是通过判断前车速度 是否小于后随车的期望车速来判定车辆是否处于跟驰状态；
➢ 另一种是基于相对速度绝对值的判定方法，它是利用前后 车速度差的绝对值随车头时距变化规律定量地判定车辆行 驶的状态。
其中，L-1表示拉普拉斯的逆变形。 类似地，可以得到车辆速度和车辆间距的变化情况。
因此，可将拉普拉斯逆变换表示成e a 0 t 、e ib 0 t 。对于不 同的C值，跟驰行驶两车的运动情况可分为四类：
a）如果C≤e-1(≈0.368)，a0≤0，b0=0，间距不发生波 动，振幅呈指数衰减；
b）如果 e-1 ＜C＜π/2， a0 ＜0，b0＞0，间距发生 波动，振幅呈指数衰减；
左图为利用计算机模拟的方
法给出的相关运动参数曲线。 C=e-1，由前面所讲可知，属第一 类，即车头间距不发生波动的情 况。头车先减速行驶，然后加速 到起始速度，采用恒定的加速度 和减速度。实线代表头车，虚线 代表跟车。由于C 在车辆局部稳 定的限制范围内，所以跟车的加 速度和速度以及车头间距都没有 发生波动。
紧随要求、车速条件和间距条件构成了一对汽车跟驰行驶 的制约性，即前车的车速制约着后车的车速和车头间距。
第5章 波动的不稳定理论
2
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
图 5.1 大气扰动与动力不稳定的关系
§2 惯性稳定度
1．定义 地转平衡大气中，基本气流上作南北运动的空气质点形成的扰动其振幅是否随时间增长的问题。表示 惯性振荡或快波的不稳定发展现象。
3
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
2
uc
u c
2
y2 y1
f y dy 0 ，此积分式的几何意义： （面积和）
s1 s2 0 ，
因此 f y 必经过 f ( y ) 0 处，即 f y 在 y1 , y2 内必定至少改变一次符号。所以，正压不稳定的 必要条件为：在 y1 , y2 内至少存在一点 yc ，使得:
又 * ，
2ici 1 1 ，则有： 2 * uc uc u c
2 u 2 y2 y 2 ci dy 0 2 y1 uc
对于正压不稳定， ci 0
2 2
（5.25）
所以
( 0 ，令 f y
2 u ) y 2
§1 波动稳定度的概念
1.波动稳定度的定义 定常的基本气流 u 上有小扰动产生， 若扰动继续保持为小扰动或随时间衰减,则称波动是中性的或波动 是稳定的 ；若扰动随时间增强，则称波动不稳定。
2.稳定度的表达方式 设有波动 q Qe
ik ( x ct )
Qei ( kx t )
(5.1)
6
《动力气象学》电子教案 －编著、主讲：成都信息工程学院大气科学系 李国平教授 制作：林蟒、李国平
波动的性质与波动现象的应用
物质波的应用
物质波在医学成像中的应用，如超声波和核磁共振成像。 物质波在无损检测中的应用，可以检测物体的内部结构和缺陷。 物质波在通信领域的应用，如微波和光波通信。 物质波在雷达和声呐中的应用，可以实现远程探测和定位。
波动现象的未来 发展前景
波动现象在新能源领域的发展前景
添加 标题
波动现象在新能源领域的应用：利用波动现象进行能源转换和利用，例如潮汐能、波浪能等。
添加 标题
未来发展前景：随着新能源技术的不断发展和创新，波动现象在新能源领域的应用将更加广泛，有望成为未 来可持续能源的重要来源。
添加 标题
技术挑战与解决方案：目前波动现象在新能源领域的应用仍面临许多技术挑战，如能效转换、稳定性等。但 随着科研的不断深入和技术进步，相信这些问题将得到有效解决。
波动现象的物理 效应
波动产生的压力和冲击力
波动现象在液体中 产生压力和冲击力， 导致液体内部产生 扰动和流动。
波动产生的压力和 冲击力可以传播到 远处，对周围环境 产生影响。
在声波和地震波中， 波动产生的压力和冲 击力是主要的传播方 式，对人类生活和自 然环境产生重要影响 。
波动产生的压力和 冲击力在海洋工程 、水下探测等领域 有广泛应用。
电磁波的应用
无线通信：手机、 电视、广播等
雷达测速：飞机、 汽车等物体的速 度检测
红外遥感：温度 测量、目标识别 等
微波加热：微波 炉、干燥机等设 备的工作原理
地震波的应用
地震探测：利用地震波探测地球内部结构和地质构造
地震预警：通过地震波传播速度与地震震源的距离关系，提前预测地震并发出预警
§1.6 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
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设 , f 分别为定义在 和(0, T ) 内的函数, 记
L2 ( )
dxdy
2
1 2
f
L2 ((0,T ) )
T 0
f 2 dxdydt
1 2
由能量不等式(或称：能量估计式)
T E ( t ) E 0 ( t ) C E (0) E0 (0) f 2 dxdyd 0 得
3
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物理描述：
①动能：
2
l 0
ut2 dx 表示 t 时刻的动能。
u ②位能（势能） ：T 表示张力在垂直方向的分力， x 2 u u T T 2 为垂直分力线密度。 从而 x x x
u
u
O
4
t t
t
è ³ É ¤Î ª dx µ Ä Ï Ò ´ Ó tÊ ±¿ Ì µ ½ t t Ê ± Ì Ó ¿ É Ô À ´ Î » Ö Ã u( x , t ) · ¢ É ú Á Ë Î ¢ Ð ¡
§6 能量不等式、波动方程解的唯 一性和稳定性
振动的动能和位能 初边值问题解的唯一性与稳定性 柯西问题解的唯一性与稳定性
2015-3-6
1. 振动的动能和位能
考察一维初边值问题：
utt a 2 u xx 0 ( t 0, 0 x l ) (1) u( x ,0) ( x ), ut ( x ,0) ( x ) (0 x l ) ( 2) u(0, t ) u( l , t ) 0 ( 3)
(7) (8) (9)
波动的稳定性
波动是叠加在基本 气流上； 或说基本气流受扰 动，会产生波动。
波动发展了——波能增加——波振幅增大 天气系统发生发展——波动振幅变化
§1 波动稳定性的基本概念
波动或者流动稳定性问题首先在《流体 力学》中被讨论和定义： 如果气流受到扰动： 1）扰动发展，（基本气流由层流变为 湍流），即基本气流是不稳定，叠加 在其上的扰动是不稳定； 2）扰动减弱，或始终很小，则基本气 流是稳定的，扰动也是稳定的。
d 2 i d 2 r d 2u 2 (i r ) ( 2 ) i 0 2 2 dy dy dy
y2
y1 y2
y2 d 2 i d 2 r d 2u 2 (i r )dy ( 2 ) i dy 0 2 2 y1 dy dy dy y2 di dr d d 2u 2 (i r )dy ( 2 ) i dy 0 y1 dy dy dy dy y2
故z处气团所受的净浮力的方向，取决于
T与T ，或与
dw 1 P g dt z
哪个下降得块。
dw P g dt z
P g z
P P dw T T R T RT g g g P dt T RT
dT T T ( z0 ) z T ( z 0 ) d z dz T T T ( z0 ) z T ( z 0 ) z z
虚、实部分开，得到两个方程：
2 2 d 2 r d u d u 2 [k ( 2 ) r ]r ( 2 ) i i 0 (1) 2 dy dy dy
2 2 d 2 i d u d u 2 [k ( 2 ) r ]i ( 2 ) i r 0 (2) 2 dy dy dy
蝶泳波动训练方法(一)
蝶泳波动训练方法(一)蝶泳波动训练概述蝶泳是一项技术难度较高的游泳项目，要求游泳者具备较好的协调能力和力量控制能力。
而蝶泳波动训练是一种针对蝶泳提高技术和力量的训练方法。
本文将详细介绍蝶泳波动训练的各种方法。
方法一：蝶泳臂波动训练蝶泳臂波动是蝶泳动作中最重要的一部分，也是最具挑战性的部分。
以下是一些蝶泳臂波动训练的方法：•蛙泳对接练习：通过进行蛙泳对接，模拟蝶泳臂波动的动作，以提高力量和协调能力。
•单臂波动练习：将一只手臂固定在身体侧面，只使用另一只手臂进行波动动作，以加强单侧手臂的力量和协调能力。
•弹力带辅助训练：使用弹力带绑在手臂上，进行蝶泳臂波动练习，可以增加阻力，加强力量训练效果。
方法二：蝶泳腿波动训练蝶泳腿波动是蝶泳的另一个关键部分，也是需要特别注意的部分。
以下是一些蝶泳腿波动训练的方法：•立趾泳：站立在水中，保持蛙泳姿势，将双腿闭合，用力踢腿，以增强蝶泳腿部力量。
•蛙泳腿波动训练：通过进行蛙泳腿波动训练，模拟蝶泳腿波动的动作，以提高力量和协调能力。
•腿部力量训练：运用跳跃、舞蹈等训练方法，增强腿部肌肉力量，为蝶泳腿波动提供更好的支撑。
方法三：整体协调训练除了蝶泳臂波动和腿波动的专项训练外，整体协调训练也是蝶泳波动训练中不可忽视的一部分。
以下是一些整体协调训练的方法：•全程蛙泳练习：通过进行全程蛙泳训练，加强蝶泳技术的整体协调能力和水下力量。
•泳姿转换训练：通过不同泳姿间的转换训练，提高转换时的协调能力，有利于在比赛中提高速度。
•力量与柔韧性综合训练：结合力量训练和柔韧性训练，加强蝶泳波动时的稳定性和灵活性。
结论蝶泳波动训练是一项综合性的训练，需要针对不同的部位进行专项和整体协调的训练。
通过不断的练习和训练，提高蝶泳技术和力量，将能够在比赛中取得更好的成绩。
以上是关于蝶泳波动训练的详细说明，希望能对游泳爱好者和专业泳者有所帮助。
方法四：呼吸控制训练在蝶泳中，呼吸的控制对于保持正确的姿势和节奏非常重要。
随机功率波动下的电力系统稳定性分析
随机功率波动下的电力系统稳定性分析随着电力需求的不断增长，电力系统的稳定性问题越来越受到关注。
在电力系统中，随机功率波动是一种常见的现象，它可能导致系统的不稳定性，进而引发电力故障。
因此，对于随机功率波动下的电力系统稳定性进行分析和研究是非常重要的。
一、随机功率波动的原因随机功率波动的原因可以是多方面的。
首先，天气因素是导致电力系统功率波动的主要原因之一。
例如，风力发电和太阳能发电是目前比较常见的可再生能源发电方式，但它们的输出功率会受到天气条件的影响，从而导致系统功率的随机波动。
其次，用户需求的变化也是导致功率波动的重要原因。
用户的用电需求会随着时间的变化而变化，这将直接影响到电力系统的负荷水平，进而引起功率的波动。
此外，电力系统中的故障和突发事件也会导致功率的随机波动。
二、随机功率波动对电力系统的影响随机功率波动对电力系统的影响是多方面的。
首先，功率波动会导致电力系统的频率波动。
电力系统的频率是系统稳定运行的重要指标，当频率波动超过一定范围时，会引发系统的不稳定，甚至导致系统崩溃。
其次，功率波动还会对电力系统的电压稳定性产生影响。
功率波动会导致电力系统中的电流和电压变化，从而影响到电力设备的正常运行，甚至引发电力设备的故障。
此外，功率波动还会对电力系统的电能质量产生影响，例如引起电压波动和谐波问题。
三、随机功率波动下的电力系统稳定性分析方法针对随机功率波动下的电力系统稳定性问题，研究人员提出了多种分析方法。
其中，概率分析方法是一种常用的方法。
该方法通过对功率波动的统计特性进行分析，来评估电力系统的稳定性。
概率分析方法可以通过建立概率模型，对系统的功率波动进行模拟和预测，从而得出系统的稳定性指标。
另外，仿真方法也是一种常用的分析方法。
仿真方法可以通过建立电力系统的动态模型，对系统在随机功率波动下的运行状况进行模拟，从而评估系统的稳定性。
此外，还可以利用现代控制理论和优化方法来分析随机功率波动下的电力系统稳定性。
曲线的波动范围-概述说明以及解释
曲线的波动范围-概述说明以及解释1.引言1.1 概述曲线是数学中常见的一种图形表达方式，它可以用于描述各种自然现象、经济趋势、物理运动等等。
然而，在实际应用中，我们往往关注的不仅仅是曲线的形状，更关注曲线的波动范围。
曲线的波动范围指的是曲线在一段时间内的变动情况，可以通过最高点和最低点之间的差值来衡量。
波动范围是衡量曲线变动程度的重要指标之一，它既可以反映曲线的稳定性，也可以反映曲线的活跃程度。
一个波动范围较小的曲线表明其变动较为平稳，可能对应着一个相对稳定的系统或趋势；而一个波动范围较大的曲线则表明其变动幅度较大，可能对应着一个波动较为剧烈的系统或趋势。
曲线的波动范围受多种因素的影响。
首先，曲线本身的特性会直接影响其波动范围。
比如，一个周期性变化的曲线往往具有较大的波动范围，而一个趋势性变化的曲线则可能具有较小的波动范围。
其次，外部环境的影响也会导致曲线的波动范围发生变化。
例如，宏观经济政策的调整、自然灾害的发生等都可能导致曲线的波动范围增大或减小。
对于波动范围的研究和应用具有重要意义。
首先，深入了解曲线的波动范围可以帮助我们更好地理解曲线的变动规律和趋势走向。
其次，通过对波动范围的分析，我们可以对系统或趋势的变动情况进行预测和评估，从而做出相应的决策和调整。
在未来的研究中，我们可以进一步探索曲线波动范围的影响因素以及其与其他指标的关系。
此外，还可以将波动范围应用到更多领域中，如金融市场、能源行业等，以提供更多有关波动范围的实际应用案例和启示。
通过不断深入研究和应用，我们将能更好地理解和利用曲线的波动范围，从而更有效地分析和应对各种变动情况。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述：1. 引言：首先，我们将介绍曲线的波动范围的重要性和研究动机。
我们将概述本文要解决的问题以及论文的结构。
2. 正文：2.1 曲线的定义：在这一部分，我们将对曲线进行定义和解释，包括曲线的基本特征和性质。
第6讲 能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
(6.5)
2 2u 2u 2 u t 2 a ( x 2 + y 2 )+f ( x, y,t ) u | ( x, y ), u | ( x, y ) t 0 t 0 t u | 0 ( x, y,t )
E0 (t ) E (t )
两边同乘 e t 得到
d(et E0 (t )) t e E (t ) dt
两边积分得到
E0 (t ) et ( E (0) e E ( )d )
0
t
结合(6.20)，得到
E (t ) E0 (t ) C ( E (0) E0 (0)
数学物理方程
Equations of mathematical physics 姚志远
南京航空航天大学航空宇航学院
Zyyao@
§ 6
能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性
1、振动的动能和位能 考虑二维情形 其动能表示为
U
为薄膜的投影区域 其中，
1 2 u dxdy t 2
的解在下述意义下是稳定的。
0, 0
使得
L2 ( 0 )
1 2
时，在 0 t
, 1x 2 x , 1 2
L2 ( 0 )
, ,
1 y 2 y
R 时成立 a u1 u2 L2 ( ) , u1x u2 x
(6.30)
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( R at )2
在K内考虑波动方程
2 2 2u u u 2 a ( 2 + 2 ) t 2 x y