高斯函数的定义和基本性质
高斯函数
例4：求证：当且仅当存在某个正整数k , 使得n 2k 1 时, 2n1 能整除n !(加拿大数学奥林匹克试题).
分析：由知识要点y [ x]的性质部分定理2及性质4, 不难证明。
解：由定理2, n !中含有质因数2的个数是 n n n p [ ] [ 2 ] ... [ k 1 ],(其中k 满足2k 1 n 2k ) 2 2 2 又由[ x1 x2 ] [ x1 ] [ x2 ], 得 1 1 1 n p [n( 2 +...+ k 1 )] [n k 1 ] n 1 2 2 2 2
(2)当0 lg x 1时, 有[lg x] 0, 代入原方程得 lg x 2, 均不符合题意。
1 但 lg x 1不符合题意, lg x 1, x1 ; 10
(3)当1 lg x 2时, 与[lg x] 1, 代入原方程得 lg x 3, 但 lg x 3不符合题意, lg x 3, x2 10 3 . (4)当 lg x 2时,得x2 100, 原方程共有3个实根。
例5设n0为一个正整数,问方程x1, n0 ] 上有多少个解？
分析采用典型区间法及换元法，可作出解答。
解：易知x n0为方程的一个解，再考虑区间[1, n0 )内的解， 设x为原方程的一个解， 令[ x ] m ,{ x } p, 则x m p, 且0 p 1 即：x 2 m 2 2mp p 2 , 且0 p 1 代入原方程, 有m 2 2mp p 2 [m 2 2mp p 2 ] p 2 , 即2mp [2mp p 2 ]. 这是与原方程等价的方程，这表明，只要 2mp为整数， 则 m p就是一个解。
高斯函数的性质和应用
高斯函数的性质和应用1、对x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，[1]=1，且有性质（1)任意x∈R,0≤x-[x]＜1,性质（2）[x+1]-[x]=1，性质（3）[x]＋[-x]=-1（x∈Z），定义域为R,值域为Z;不单调，无最值，无奇偶性对任意实数x，都有[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x；2、g(x)=x-[x]定义域为R,值域：[0,1)无单调性，最小值0，周期为1.例1、（多选题）高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]=6，[-4.1]=-5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于高斯函数y=[x]的性质叙述正确的是（ABC）A.y=[x]值域为Z B.y=[x]不是奇函数C.y=x-[x]为周期函数 D.y=[x]在R 上单调递增例2、设{x}=x-[x]，则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为？由f(x)=01,由图像可知，两函数除以交点（-1,0)之外，其余的交点关于点（0，1)对称，所以，函数y=f(x)的所有零点之和为-1；故答案为：-1；例3、已知函数f(x)=|x-1|(3-[x])，x∈[0,2),若f(x)=52，则x=；不等式f(x)≤x 的解集为__。
【解析】由题意，得f(x)=3−3s 0≤<12−2s 1≤<1,当0≤x<1时,3-3x=52,当1≤x<252,即x=9/4(舍),综上x=16;当0≤x<134≤x<1,当1≤x＜2时,2x-2≤x,即1≤x＜2,综上，答案为：34≤x<2；例4、高斯函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（B ）A．12e e--B．2-C．12e e--D．2212e e --例5、.设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.已知函数f(x)=22+1，则函数y=[f(x)）]的值域为(D )A.{0,-1} B.{-1,1} C.{0,1} D.{-1,0,1}小练习：条件同上已知函数f(x)=12x 2-x+1(0<x<3)，则函数y=[f(x)]的值域为(?){0,1,2}例6、定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a 的最大整数．加强练习一、选择题1、已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =()A.4 B.5 C.2D.32、函数y=[]x 叫做“取整函数”，][][][2222log 1log 2log 3log 64⎡⎤+++⋯+⎣⎦的值为()A.21B.76C.264D.6423、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）4、我们定义函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）为“下整函数”，定义函数{}y x =（{}x 表示不小于x 的最小整数）为“上整函数”，例如[4.3]4=，[5]5=；{4.3}5=，{5}5=.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费（单位：元）()A.2[1]x + B.2([]1)x + C.2{}x D.{2}x6、已知[]y x =为高斯函数，令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有()A.()2.30.7f -= B.()f x 为奇函数 C.()()1f x f x += D.()f x 的值域为[]0,17、[]y x =高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是()A.[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B.x ∃∈R ，[]1x x ≥+C.,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+ D.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)8、对x ∀∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪,[]y x =被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是()A.x ∃∈R ,[]1x x ≥+B.x ∀,y ∈R ,[][][]x y x y +≤+ C.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1D.若t ∃∈R ,使得31t ⎡⎤=⎣⎦,42t ⎡⎤=⎣⎦,53t ⎡⎤=⋯⎣⎦,2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立,则正整数n 的最大值是5三、填空题9、由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为[]y x =，例如[][]1.210.31=-=-，，则函数[][)21,1,3y x x =+∈-的值域为_________________.10、取整函数y=[x]，x∈R 称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]=1，[-1.1]=-2.则点集P={（x，y）|[x]2+[y]2=1]所表示的平面区域的面积是?4四、解答题10、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]3=，[ 4.2]5-=-，不等式213x ≤+<的解集为A ，不等式2230x x -≤的解集为B .(1)求A B ；(2)已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求11a b+的最小值.11、已知函数()[]f x x =.(1)记()()2h x f x x =-，[)0,3x ∈，求()h x 的解析式，并在坐标系中作出函数()h x 的图像.(2)结合(1)中的图象，解不等式()1524h x <≤直接写出结果.(3)设()3131x x g x -=+，判断()g x 的奇偶性，并求函数()()()()2y f g x f g x =+-的值域.。
高斯函数的导数
高斯函数的导数高斯函数是一种常见的数学函数，它在物理、工程、统计学等领域中都有着广泛的应用。
高斯函数的导数是对高斯函数进行微分得到的新函数，它也具有很多重要的性质和应用。
本文将介绍高斯函数的导数及其主要内容。
一、高斯函数高斯函数又称为正态分布函数，它是一种连续概率分布函数。
在数学上，高斯函数可以表示为：f(x) = (1/σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2 / 2σ^2)其中，μ是均值，σ是标准差。
这个公式描述了一个钟形曲线，在均值处取得最大值，并且随着距离均值越远，曲线下降得越快。
二、高斯函数的导数对于任意一个可微的实值函数f(x)，它在某个点x0处的导数可以表示为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h)-f(x0)] / h同样地，对于高斯函数f(x)，我们也可以求出它在某个点x0处的导数。
具体来说，我们需要使用以下公式：f'(x) = -(x-μ)/σ^2 (1/σ√(2π)) e^(-(x-μ)^2 / 2σ^2)这个公式可以通过对高斯函数进行求导得到。
我们可以发现，高斯函数的导数也是一个高斯函数，它同样具有钟形曲线的特性。
三、高斯函数导数的性质高斯函数的导数具有很多重要的性质，其中一些最基本的性质如下：1. 高斯函数导数在均值处取得最小值。
这是因为在均值处，导数为0，而且随着距离均值越远，导数绝对值越大。
2. 高斯函数导数在两个标准差处取得最大值。
这是因为在两个标准差处，导数绝对值达到最大，而且随着距离两个标准差越远，导数绝对值越小。
3. 高斯函数的二阶导数是一个常数。
这意味着高斯函数的曲率是恒定的，在任意一个点上都相同。
四、高斯函数导数的应用由于高斯函数和它的导数具有很多重要的性质和应用，因此它们被广泛地应用于各种领域中。
以下是一些常见的应用：1. 统计学：高斯函数被用于描述随机变量的分布，它的导数则被用于计算随机变量的概率密度函数。
2. 信号处理：高斯函数和它的导数被用于平滑和滤波信号，以及检测信号中的峰值和谷值。
高斯函数—解答
高斯函数一、基本知识定义：设R x ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则[]x y =称为高斯函数.函数的定义域为R ,值域为Z .任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即[]α+=x x ()10<≤α,因此. [][]1+<≤x x x 。
我们称[]x 为x 的整数部分，称{}[]x x x -=为x 的小数部分。
函数{}x y =的定义域为R ，值域为[)1,0。
二、性质1. 函数[]x y =是不减函数,即当21x x ≤时,有[][]21x x ≤；2. [][]11+<≤<-x x x x ；3. [][]n x n x Z n +=+⇔∈；4. [][][]y x y x +≤+，{}{}{}y x y x +≥+； 推广：（1）[][][][]n n x x x x x x +++≤+++ 2121 （2）[][]nx x n ≤ ()N n ∈5. 若0,0≥≥y x ，则[][][]y x xy ≥；6. 若0,1>≥y x ，则[][]x y x y ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡；7. []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x （其中*N n ∈） 8. （1）若121≥-x x ，则存在整数k ，使[][]12121x k x x k x ≤≤+⇒≤<；（2）[][][][]110212121+==⇒<-≤x x x x x x 或； （3）[][]12121<-⇒=x x x x9. [][]()[]()⎩⎨⎧∉--∈-=-Z x x Z x x x 110. [][]1,,-+=+⇒∈+∉y x y x Z y x Z y x ；11. 若整数b a ,满足r bq a += ()b r r q b <≤>0,,,0是整数，则q b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡；12. [][]x x x 221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++；13. 设1>x ，m 为正整数，则从1到x 的整数中，m 的倍数有⎥⎦⎤⎢⎣⎡m x 个；14. 设为p 任一质数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!n p ，则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m p n p n p n n p 2! ()1+<≤m m p n p例1．求!30的标准分解式。
高斯函数
高斯函数定义：y ＝[x]叫高斯函数，记号[x]表示不超过x 的最大整数，也叫取整函数．如 [－0.128]＝－1，[19.98]＝19等等．含有记号[x]的数学问题，一方面因为它是整数，所以经常与数论问题联系在一起，另一方面因为[x]满足不等式x －1＜[x]≤x ＜[x]＋1，因而借助于不等式又容易使问题得到解决。
性质一：1]x [x (1)[x ]+<≤ x ]x [1-(2)x <<1}x {(2)0<≤ 等号当且仅当x 为整数时成立。
性质二：]x [n ]x n )[1(+=+，n 为整数。
{y }{x}y}(3){x [y][x]y](2)[x +≤++≥+ ]y []x []y x [,0y ,0x )4(⋅≥⋅≥≥则若1、解方程：（1）27]x [2x =- （2）212x ]13x [-=+2、试求])37[(6+的值。
3、已知k 是正整数，且k 11200010021001 ⋅是整数，则k 的最大值是多少？4、求2008！中末尾0的个数。
5、求满足125]x [}x {25=+的所有实数x 的和。
6、已知2003<x<2004，如果要求]x [}x {⨯是正整数，求满足条件的所有实数x 的和。
7、设2222200814131211S +++++= ，求[S]。
8、设992016131211S ++++= ，试求[S]的值。
9、解方程：3]x [x 3=-10、解方程：[x]99]x [x 99x +=+。
11、证明：对于任意实数x ，有]2x []21x []x [=++12、计算和式]10110023[]101223[]101123[⨯++⨯+⨯ 的值。
13、已知0<a<1，且满足18,]3029[a ]302[a ]301[a =++++++求[10a]的值。
14、设x ，y 为正整数，且（x ，y ）=1，求证：2)1y )(1x (]y 1)x -(y []y 2x []y x [--=+++15、设a 、b 、c 是正实数，求]ba c []a cb []c b a [u +++++=的最小值。
高斯函数性质的应用
高斯函数性质的应用作者：勉辉来源：《数学学习与研究》2019年第16期【摘要】在各级各类考试中，高斯函数是一个重要的命题知识点，由它设计出来的题目涉及数学的各个学科.本文在高斯函数定义和性质的基础上，给出了涉及含[x]函数的不等式及含[x]函数的恒等式的应用.【关键词】高斯函数;高斯函数性质;应用一、高斯函数的概念及其性质（一）概念设x∈R，用符号[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[x]称为高斯函数，也叫作取整函数.显然y=[x]的定义域为R，值域为Z.（二）性质（1）[x]≤x（等号成立当且仅当x为整数）.（2）高斯函数[x]是不减函数，即x≤y[x]≤[y].（3）当n∈Z时，[n+x]=n+[x].（4）对于x，y∈R有[x]+[y]=[x+y].一般地，有∑ni=1[Xi]≤∑ni=1Xi，Xi∈R.特别地，n[x]≤[nx]，x∈R.（5）对x，y∈R+∪{0}，有[x·y]≥[x]·[y].一般地，有∏ni=1Xi≥∏ni=1Xi，Xi∈R+∪{0}.（6）我们以y=[x]和y={x}为例画出图像，由图像可知，y=[x]是阶梯形上升的函数，y={x}是以1为周期的周期函数.由图像可知：（ⅰ）x1-x2≥1存在整数k，使x2<k≤x1[x2]+1≤k≤[x1].（ⅱ）[x1]=[x2]且x1≥x20≤x1-x2<1.（ⅲ）0≤x1-x2<1[x1]=[x2]或[x1]=[x2]+1.（ⅳ）|[x]|<|x|+1.二、高斯函数的应用1.不等问题主要涉及含[x]的不等式分析.此类问题的难度一般比较大.例1求所有正整数n使得mink∈N*k2+nk2=1 991.解mink2+nk2=1 991等价于（1）（2）同时成立：（1）存在k∈N*，使1 991≤k2+nk2<1 992.（2）对k∈N*，有k2+nk2≥1 991.由（2）k4-1 991k2+n≥0k2-1 99122+n-1 99124≥0.因mink∈N*k2-1 99122=1024-1 99122，故有1 024-1 99122+n-1 99124≥0.解得n≥1 024×967=990 208.由（1）知，设k0∈N*，使k0-1 992k20+n<0mink∈N*（k2-996）2+n-9962<0.因为（k2-996）2的最小值为282，故n<9962-282=1 024×968=991 232.综上所述，990 208≤n≤991 231（n∈N*）.2.恒等问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式.例2已知n∈N*，求证：[n+n+1]=[4n+1]=[4n+2]=[4n+3].证因为（n+n+1）2=2n+1+2n（n+1）及n<n（n+1）<n+1，所以有4n+1<（n+n+1）2<4n+3.即4n+1<n+n+1<4n+3.①另一方面，設k=[4n+1]，于是有k2≤4n+1<（k+1）2.因为任何一个完全平方数被4除后不可能余2，也不可能余3，所以有k2≤4n+1<4n+2<4n+3<（k+1）2.即k≤4n+1<4n+2<4n+3<k+1.②结合以上两式知k=[n+n+1]=[4n+1]=[4n+2]=[4n+3].【参考文献】[1]秦宗慈.一些取整数列求和公式及应用[J].数学通讯，1996（4）：25-26，27.[2]陈传理，张同君.竞赛数学教程[M].北京：高等教育出版社，2004.[3]吴康.奥赛金牌题典（高中数学）[M].桂林：广西师范大学出版社，2004.。
高斯函数
高斯函数一、知识概要1、定义:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数。
则[]y x =称为高斯函数,也叫取整函数。
显然,[]y x =的定义域就是R ,值域就是Z 。
任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之与,即[]()01x x a a =+≤<,因此,[]x x ≤[]1x <+,这里,[]x 为x 的整数部分,而{}[]x x x =-为x 的小数部分。
2、性质1、函数[]y x =就是一个分段表达的不减的无界函数,即当12x x ≤时,有[][]12x x ≤;2、[][]n x n x +=+,其中n Z ∈;3、[][]11x x x x -<≤<+;4、若[][]x y n ==,则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<;5、对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+;6、若0,0x y ≥≥,则[][][]xy x y ≥;7、[][][]1x x x ⎧--⎪-=⎨-⎪⎩8、若n N +∈,则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦;当1n =时,[][]x x ⎡⎤=⎣⎦; 9、若整数,a b 适合a bq r =+(0,,b q r >就是整数,0r b ≤<),则a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦;10、x 就是正实数,n 就是正整数,则在不超过x 的正整数中,n 的倍数共有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个;下面再来讨论高斯函数[]x 的图像及{}x 的图像与性质、对于函数[]x y =,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数[]x 的图像的基本性质与特征、(1)由[]x y =的性质知[]x 的图形在x y =的图形的下方、(2)由[]x y =的性质知[]x 的图像就是一组阶高为1的平行于x 轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形、可见函数[]x y =就是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下(a )定理2 设[]x x x f -=)(,则)(x f 就是一有界、周期为1的非单调函数,其图像如(b )、例1、方程[]1x x =-实数根的个数例2、函数()f x 定义在R 上,对任意x R ∈,有(1)()f x f x +>,则函数()f x 在R 上就是否为增函数,请说明理由。
10下4高斯函数
x∈ Z, x∉ Z, x∈ Z, x ∉ Z;
探索： 探索： [ x-y]与[ x]-[ y]之间的关系 与 之间的关系 (1)证：∵[ x] ≤ x ≤ y < [ y] ＋1 , ∴ [ x] ≤ [ y].
严格不等式 !
( 4 ) [x] + [y] ≤ [x+y] ≤[x] + [y] ＋1,其中等号有 且仅有一个成立 ; 0≤{x + y}≤{x}+{y }.
n − 1 1 2 [ x] + x + + x + + L + x + = [ nx ]. n n n 这里 x ∈ R + , n ∈ Z + .
( 3)
证明思路1: 凑整： 证明思路 凑整： 等式左边可以分成两部分： 等式左边可以分成两部分：一是 x 的整数部分相 加．二是由 x 的小数部分加上 i / n ( i =1, 2, …, n－ － 1), 然后取整得到的．再与右边比较。 然后取整得到的．再与右边比较。 证明思路2： 证明思路 ：函数思想 ( 构造函数 f(x) 为等式右侧减
末尾连续地有24位全是数字 位全是数字0． 故100! 末尾连续地有 位全是数字 ．
100!=9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859 29638952175999932299156089414639761565182862536979208272237582 ∞ n 51185210916864000000000000000000000000 m m=1 p
第七节 高斯函数[x] 高斯函数[