2019届高考数学一轮复习 第八章 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课中学案(无答案)文
(2)若 · ＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
(3)若把本例条件的“外切”改为“有四条公切线”,则直线x+y-1=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1的位置关系是
★【我能做对】1.(2016·高考山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2 ，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()
A．内切B．相交C ．外切D ．相离
2.．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有()
A．1条B．2条 C．3条D．4条
.★★【我要挑战】(2017·郑州质检)若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x＋m)2＋ y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
A．相交B．相切C．相离D．不确定
(2)若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为()
A．(－∞，＋∞)B．(－∞，0)
C．(0，＋∞)D．(－∞，0)∪(0，＋ ∞)
【我会做】
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()
【课后分层巩固区】
1．.(2016·高考全国卷乙)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2 －2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2 ，则圆C的面积为________．
2.(201 6·高考全国卷丙)已知直线l：mx＋y＋3m－ ＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2 ，则|CD|＝________．
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系
学习目标
目标分解一：掌握直线与圆的位置关系及其应用
目标分解二：理解圆的切线与弦长问题
目标分解三：圆与圆的位置关系及其应用
重点
圆的切线与弦长问题
【课堂互动探究区】
【目标分解一】直线与圆的位置关系及其应用
【例1】(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()
3.(2015·重庆卷)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
4..(2017·石家庄市第一次模考)已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A、B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为()
A． 或－1B．－1
C．1或－1D．1
5..(2017·山西忻州三模)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为________．
6.★.(2017·太原模拟)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．
A．4 B．2 C．6 D．5
2.(2017·重庆一模)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝ 0的一条切线，A是切点，若PA的最小长度为2，则k的值为()
A．3B． C．2 D．2
3．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2 ，则k的取值范围是()
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋ ＝0或2x＋y－ ＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋ ＝0或2x－y－ ＝0
2.已知点P( ＋1，2－ )，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
7★.(2017·天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－ y＋ －2＝0相切．
(1)求圆C的方程；
()若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2 ，求直线MN的方程．
8★★.(本 题满分12分)(2015·高考全国卷Ⅰ)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2 ＝1交于M，N两点．
①求过点P的圆C的切线方程；②求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
★【我能做对】1．已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为 A，则|PA|的最小值为________．
★★【我要挑战】
1．若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csinC＝3asinA＋3bsinB，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为()
C. D．
【目标分解二】圆的切线与弦长问题
【例2】已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4
(1)求过M点的圆的切线方程; (2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;
(3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为2 ,求a的值.
【归纳总结】解决直线与圆综合问题的常用结论
(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与直线l相交的情形：
①圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；
②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；
③过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
【我会做】
A．相切B．相交C．相离D．不确定
2．(2017·聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1 的点的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．4
★【我能做对】若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()
A．[－ ， ]B．(－ ， )
A. B．
C．[－ ， ]D．
【目标分解三】圆与圆的位置关系及其应用
【例3】已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()
A． B． C． D．2
【我会做】
(1)若把例3条件中的“外切”改为“内切”,则ab的最大值为.
(2)若把本例条件的“外切”改为“相交”,则公共弦所在的直线方程为
高考数学全程一轮复习第八章解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系课件
位置关系 相交
相切
几何法 d___<_____r d___＝_____r
代数法 Δ____>____0 Δ___＝_____0
相离
d___>_____r
Δ____<____0
2.圆与圆的位置关系 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r12， C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22，
2．直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，
计算弦长|AB|＝2 r2 − d2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，
N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，
求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝ 1 + k2· xM + xN 2 − 4xM · xN.
2．(教材改编)直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的
弦AB的长为( )
A．
10 2
C．
26 5
B． 10
D．2
26 5
答案：B
解析：由已知可知圆C的圆心为(1，2)，半径r＝ 5，圆心到直线的距离为d＝
3×1−2−6 32+12
＝
210.
∴|AB|＝2 r2 − d2＝2
答案：C
(2)[2024·广东茂名模拟]已知直线l：y＝kx与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝ 1，则“0<k< 33”是“直线l与圆C相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
外切 _d_＝__r1_＋__r_2
图示
公切线条数
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2
圆 C1:x +y
+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与
2
2
C2:x +y +D2x+E2y+F2=0
( + -4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆
3
相交
|r1-r2|<d<r1+r2
2
内切
d=|r1-r2|
1
内含
d<|r1-r2|
0
1.圆的切线方程常用结论
(1) 过 圆 x2+y2=r2(r>0) 上 一 点 P(x0,y0) 的 圆 的 切 线 方 程 为
x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直
C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
2
2
(1)证明:因为 C1:(x-1) +(y-3) =11,
圆心 C1(1,3),半径 r1= ;
2
2
C2:(x-5) +(y-6) =16,
圆心 C2(5,6),半径 r2=4.
所以|C1C2|= (-) + (-) =5,
圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(
高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
题型探究 题型一 直线和圆相交 例 1 已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x ＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)证明：无论 m 取何实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及此时直线 l 的方程．
高中数学
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲点击 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 一、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式 Δ＞0⇔① 判别式 Δ＝0⇔② ――→ 2 Δ＝b －4ac Δ＜0⇔③ (2)几何法： 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关 系 d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 一、圆的切线方程的求法 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为 1 － k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由 图形写出切线方程 x＝x0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 (1)几何方法 当斜率存在时，设为 k，切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径， 即可得出切 线方程． (2)代数方法 设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0，代入 圆方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0，求得 k，切 线方程即可求出． 【说明】 过圆外一点作圆的切线有两条， 若在解题过程中， 只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在．
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系课件文
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系
基础知识过关
[知识梳理] 1．直线与圆的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程， 消元后得到的一元二次方程的判别式为 Δ.
2．教材衍化
(1)(必修 A2P128T3)直线 x－y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位 置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析
圆心(0,0)到直线
x－y＋1＝0
的距离
d＝
1＝ 2
22，而 0< 22<1，故选 B.
(2)(必修 A2P133A 组 T9)圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x ＋4y－12＝0 的公共弦长为__2__2____．
冲关针对训练
已知圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0 与圆 C2：x2＋ y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆 C1 与圆 C2 相外切，则实数 m ＝( )
A．－5
B．－5 或 2
C．－6
D．8
解析 对于圆 C1 与圆 C2 的方程，配方得圆 C1：(x－ m)2＋(y＋2)2＝9，圆 C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则圆 C1 的 圆心 C1(m，－2)，半径 r1＝3，圆 C2 的圆心 C2(－1，m)， 半径 r2＝2.如果圆 C1 与圆 C2 相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2， 即 m＋12＋m＋22＝5，则 m2＋3m－10＝0，解得 m＝－ 5 或 m＝2，所以当 m＝－5 或 m＝2 时，圆 C1 与圆 C2 相外 切．故选 B.
高考数学一轮总复习 8.4直线与圆、圆与圆的位置关系课件
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问题探究 问题 1 如何求解直线与圆的相交弦长？
(1)若求出直线与圆的两交点 A、B 的坐标，则 L＝|AB|. (2)利用勾股定理：若弦心距为 d，圆的半径为 r，则由图可知， 弦长|AB|＝2 r2－d2. (3) 利 用 弦 长 公 式 ： |AB| ＝ 1＋k2 |x1 － x2| ＝ 1＋k2 × x1＋x22－4x1x2(方程联立，消去 y，再利用根与系数的关系)．
一个充分不必要条件是( )
A．－3<m<1 B．－4<m<2
C．0<m<1
D．m<1
听 课 记 录 (1)由点 M 在圆外，得 a2＋b2>1，∴圆心 O 到直
线 ax＋by＝1 的距离 d＝ a21＋b2<1，则直线与圆 O 相交．
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21
(2)根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离 d 小于半径．
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7
对点自测
知识点一
判断直线与圆的位置关 系常用的两种方法
1.已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6 与直线 2x＋y－5＝0 的位置关系
是( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．相交过圆心
D．相离
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8
解析 由题意知圆心(1，－2)到直线 2x＋y－5＝0 的距离 d＝ |2×12－2＋2－1 5|＝ 5＜ 6.且 2×1＋(－2)－5≠0，因此该直线与圆相 交但不过圆心．
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3
备考知考情 直线与圆、圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点，主要 考查： (1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断； (2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围； (3)利用相切或相交求圆的切线或弦长.
一轮复习配套讲义第8篇 第4讲 直线与圆圆与圆的位置关系
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系[最新考纲]1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.理梳知识直线与圆的位置关系1．22，≠＋B0)Ax＋By＋C＝0(Al设直线：222 0)，(r(y－b)＞＝圆：(x－a)r＋的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次到直线la，b)d为圆心(.22211111222对直线与圆位置关系的理解1．22)√恒有公共点．y(＝y＝kx＋1与圆x1＋(1)直线22) (×＝1＝＋k0与圆x相交”的必要不充分条件．＋y(2)“k＝1”是“直线x－y22于长等的弦x6－8y＝)教材习题改编直线y＝2x＋3被圆x0＋y所截得－(3)(25.(×)2．对圆与圆位置关系的理解(4)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(5)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)3．关于圆的切线与公共弦2222.(√r) yxx＋y＝＝r上一点P(x，y)x(6)过圆O：的圆的切线方程是＋y0000(7)两个相交圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(√)2222－4x－2yx＋＋y1＝0的公切线有且仅：圆Cx0＋y2＋x＋2y－2＝与圆C：(8)21有2条．(√)[感悟·提升]1．两个防范一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了2倍，如(3)；二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解，如(4)、(5)，(4)应为两圆外切与内切，(5)应为两圆相交、内切、内含．2．两个重要结论一是两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．22项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在，y二是当两圆相交时，把两圆方程(x 直线的方程.考点一直线与圆的位置关系22＝1外，则直线ax＋by＝1与圆xO)，(已知点1【例】(1)Mab在圆：＋yO的．) (位置关系是D．不确定A．相切B．相交C．相离22则A，过点(3,1)作圆(x－1)，＋yB＝1的两条切线，切点分别为(2)(2013·山东卷) ．)直线AB的方程为(3y－x－y－3＝0 D．4x＋0 －3＝0 B．2x－y－3＝C．4＋A．2xy0 ＝2222到直线＋bO＞＝1外，所以a1解析(1)因为M(a，b)在圆O：xy＋，而圆心1|a|·0＋b·0－1 Oby＝1的距离d相交．＝＝＜1.故直线与圆ax＋2222b＋＋baa0－11，＝(1,1)，又k·k＝－1，且k＝(2)如图，圆心坐标为C(1,0)，易知APCABPC21－32.∴k＝－AB0. ，即2x＋y－3＝2(故直线AB的方程为y－1＝－x－1)(2)A答案(1)B判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表规律方法达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．22相切”的－3)8＝”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)(＋y＝【训练1】(1)“a3 ．() ．必要不充分条件．充分不必要条件BA D．既不充分也不必要条件．充要条件C322在第一象限内有两个不同的y＝)(2)(2014·郑州模拟直线y＝－x＋m与圆x1＋3 ．)(交点，则m取值范围是3) ．(3，B (A．3，2)????33232????D. C. ，，1333????4|＋a－3|22＝83)(＋y－(若直线y＝x＋4与圆x－a)相切，则有(1)，＝22解析2223)－＋((x－a)y与圆＝＝或－，所以＋即|a1|＝4a＝35.但当a3时，直线yx＋422＝8相切3)y)－(4xy“”＝“8＝一定相切，故a3是直线＝＋与圆xa＋(－”的充分不必要条件．；当直线与圆m时，直线与圆有两个不同的交点，此时＝1(2)当直线经过点(0,1)32|m|，所以要使直线＝1d，解得＝m＝相切时有圆心到直线的距离3??32??＋13??32. 1＜m＜与圆在第一象限内有两个不同的交点，则3(2)D答案(1)A考点二圆与圆的位置关系22220. ＝0和x＝＋yx－10－12y＋已知两圆【例2】xm＋yx－2－6y－1 取何值时两圆外切？(1)m 取何值时两圆内切？(2)m (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．2222＝61－y＋(－m解两圆的标准方程为：(x－1)(＋y－3)(＝11，x－5)6)，. NM(1,3)，(5,6)，半径分别为11和61－圆心分别为m 当两圆外切时，(1)22?m，＝1161＋－－?51?3＋?6－11.＋2510解得m＝－m，故只有6111(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离－511. －＝251011＝5，解得m (3)两圆的公共弦所在直线方程为2222，＋45)＝0x＋yy－10x－12－6(x＋y－2x－y－1)( 023＝，4即x＋3y－23|－×3|4×1＋3??22??－?11?＝2∴公共弦长为27. 224＋3??规律方法(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．2222．＝0的位置关系是(2x＝0和圆O：x＋y)－4【训练2】(1)圆O：x＋yy －21C．外切D．内切A．相离B．相交＝都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|CC|(2)设两圆C、C2121 ()．2D．8．C8 A．4 B．42，半(0,2)r＝1，圆O的圆心坐标为解析(1)圆O的圆心坐标为(1,0)，半径为211|O －r＜|O3＝1，r＋r＝，则有r径r＝2，故两圆的圆心距|OO|，＝5而r－r21221222111，故两圆相交．＜r＋r21x(a＞0，因此圆的方程是，其中(a，a)、半径为rr＝(2)依题意，可设圆心坐标为2222222，＋17a＝，即a0－＝a10，由圆过点(4,1)得(4－a)(1＋－a)a－a)－＋(ya)＝2＝×17－24×?－10?则该方程的两根分别是圆心C，C的横坐标，|CC|＝2211C. 8.故选(2)C(1)B答案有关圆的综合问题考点三中，)如图，在平面直角坐标系xOy(2013·【例3】江苏卷，圆心在l上．4.设圆C的半径为1x点A(0,3)，直线l：y＝2－C的切线，求切线的方程；－1上，过点A作圆＝(1)若圆心C也在直线yx a的取值范围．|，求圆心C的横坐标|C上存在点M，使MA|＝2|MO(2)若圆相切的切线方程C?设过点A与圆由两条直线解得圆心审题路线(1)C的坐标)y(x，的方程写出切线方程；(2)设圆C?设点M?由点到直线的距离求斜率?解a的不等式?|得M的轨迹方程?由两圆有公共点，列出关于MO?由|MA|＝2| 不等式可得．，于(3,2)Cx－1的交点，解得点4C是直线y＝2x－和y＝由题设，圆心解(1) 是切线的斜率必存在．，kx＋3的圆设过A(0,3)C的切线方程为y＝1|＋|3k3 或－，，解得1k由题意，得＝0＝421＋k0. 12＝43x＋y－或＝故所求切线方程为y3 上，4－x2＝y 因为圆心在直线(2)．221. ＋[y－2(－a)a－2)]＝所以圆C的方程为(x ，因为x，y)|MA|＝2|MO|，设点M(2222 2x，－3?＋＝y所以xy＋?2222＋(y＋，即x1)，x化简得＝＋y4＋2y－3＝0 为圆心，所以点M在以D(0，－1)2为半径的圆上．2有公共点，则|2－1|≤|CD|≤D 由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆＋1，2220.－12a≤51即a≤a≤＋?2a－3?8≤3.整理得－1222. a≤0，得0≤a＋8≥0，得a∈R；由5a12－a≤由5a－12512??，0??.的取值范围是C所以点的横坐标a5??的距离等于半径，圆心与切点l相切的情形——圆心到圆与直线规律方法(1)l.l的连线垂直于的直l圆心到的距离小于半径，过圆心而垂直于l(2)圆与直线l相交的情形——被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所线平分l 有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，在解有关圆的解析几何题时，主动地、避免冗长的计算．2两Ay引直线l与曲线，＝1－xB相交于【训练3】(2013·江西卷)过点(2，0) 的斜率等于的面积取最大值时，直线点，O 为坐标原点，当△AOBl ．()3333D．－± C B．－． A. 333222的，即该曲线表示圆心在原点，半径为11(＝y1－x得x≥＋y0)解析由＝y 半圆，如图所示．11OB⊥，即＝1OA∠AOB＝sin|OB|·∠AOBsin∠.所以当sinAOB|·|＝OAS故AOB22△2＝设此时直|·|dlO取得最大值，此时点S时，到直线的距离＝OAsin 45°.AOB2△．|2k－0－|02，则有＝－2k＝0＝线l的斜率为k，则方程为yk(x，－2)，即kx－y221＋k33. ＝－k，由图象可知直线l解得k的倾斜角为钝角，故取＝±33B答案与．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”1 “几何法”是从不同的方面和思路来判断的．．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方2 程．注意：斜率不存在的情形．3．圆的弦长的常用求法l??222??；－d＝r，弦心距为(1)几何法：求圆的半径为rd，弦长为l，则2??2＝||xAB|－＝1＋kx运用根与系数的关系及弦长公式：|数(2)代方法：2122].x－4[?x＋x?k?1＋x?2211与圆有关的探索问题答题模板10——22、C上是否存在两点A－4＝0.C：x问在圆＋y4－2x＋y 【典例】(12分)已知圆为直径的圆经过原点？若存在，写出直线对称，且以AB－关于直线y＝kx1B AB 的方程；若不存在，说明理由．22．2)，圆心为C(1＋(y＋2)，－＝9x[规范解答]圆C的方程可化为(－1)A，B满足条件，假设在圆C上存在两点) (2分上，即k＝－1. 在直线则圆心C(1，－2)y＝kx－11.k＝于是可知，AB的方程，C＝x＋b，代入圆：设ly AB22 4＝0，＋1)x＋b＋4b－2整理得x2(＋b2220. ＜6b－9－－8(b＋4b4)＞0，即b＋＋4(Δ则＝b1))分(6 2. 3＋3＜－b＜23－3解得－y)，y)，B(x，设点A，B的坐标分别为A(x，211212 b－x＝b2. ＋2x则＋x＝－b －1，x212120.)＝＋xb)(x＋b也就是xx＋(2211) (8分x由题意知OA⊥OB，则有x＋yy＝0，211220.x)＋b＝＋∴2xx＋b(x22112222) 分(10 －b －b＋b ＝0，化简得b3＋b－4＝0. ∴b－＋4b4) (11分04解得b＝－或b＝1，均满足Δ＞，) (12分0 . ＝0，或x－y＋1＝AB即直线的方程为x－y －4本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质解题，反思感悟] [(2)B关于直线对称，则直线过圆心．解题的关键有两点：(1)假设存在两点A、→→0. OB＝OB.转化为OA·为直径的圆过原点，则若以ABOA⊥第一步：假设符合要求的结论存在．答题模板利用直线与圆的关系求解．(第二步：从条件出发即假设) 第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．第四步：给出明确结果．第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．【自主体验】222＝，若直线ykxy－－8x＋15＝C在平面直角坐标系xOy中，圆的方程为x0＋的最为半径的圆与圆C有公共点，则k上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 大值是________．22上至少存在一点，－2直线1，如图，y＝解析圆C的标准方程为(x－4)＋ykx＝使得以该点为圆心，即2＝ykx－2的距离不大于1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到到直线可．圆心C(4,0)2|2||4k－|4|4k－2|k－2－k，整理得3d＝≤＝，由题意知2－y＝kx2的距离2222＋k11＋k＋?－1?k44k ≤0，解得0≤k≤. 34故k＝.max3．4 答案3基础巩固题组)(建议用时：40分钟一、选择题22)．＋y－2y＝0的位置关系是(y1．(2014·广州二测)直线＝kx ＋1与圆x 的值D．取决于k C．相离．相交B．相切A2222∴直1.得x＝＋(y－y由＝kx＋1知直线过定点(0,1)，由x1)＋y＝－2y0解析线经过圆的圆心，∴直线与圆相交．A答案2222．＝9的位置关系为(＋y(＝4与圆x－2))＋(y－2)2．圆(x＋1) ．相离D ．内切B．相交C．外切A2＝＝4d1＋－解析两圆圆心分别为(2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距2，∴两圆相交．－2<d<3＋17.∵3B答案22的取值范围是a＝2有公共点，则实数＝0与圆(x－a)＋y3．若直线x－y＋1 ．()1,3]B．[－[A．－3，－1])∪[1，＋∞－3,1] D．(－∞，－3]C．[ ，半径为2，解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)－0a＋1||≤2，即|a∴＋1|≤2，解得－3≤a≤1.22?－11?＋答案C22＋2x－4y＋m＝0(m)4．(2014·宝鸡二检若圆x＋y＜3)的一条弦AB的中点为P(0,1)，则垂直于AB的直径所在直线的方程为()．＝1－y＋x．B 0 ＝1＋y－x．A．1＝＋y＋1＝0 D．xC．x－y－，的斜率为－1AB，直线CP(－1,2)，则CP⊥解析由圆的方程得该圆圆心为C0. ＝y－11＝－x，即x＋－故垂直于AB的直径所在直线的方程为yB答案22x2＝－2)1＋y的两个交点关于直线5．(2014·威海期末考试)若直线y＝kx与圆(x ．)k，b的值分别为(＋y＋b＝0对称，则114 ＝，b B．k＝－，A．k ＝b＝－4 22114＝－，b D．k＝－C．k＝，b＝4 2222对0b＝x＋2)y＋y＋＝1的两个交点关于直线2解析因为直线y＝kx与圆(x－1，k＝＝0过圆心，所以解得且2x＋y＋b垂直，称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝024. b＝－A 答案二、填空题22 ________．＝(2,4)向圆x4＋y所引切线的方程为6．过点A4＋kx －yk(x－2)，即－解析显然x＝2为所求切线之一；另设直线方程为y4＝|4－2k|3＝2，解得kk－2＝0＝，那么，42k＋1即3x－4y＋10＝0.答案x＝2或3x－4y＋10＝01??221，??＝4交于A，1)B＋y两点，7．过点MC为圆心，C的直线l与圆：(x －2??当∠ACB最小时，直线l的方程为________．11－2AB时，∠ACB最小，从而直线方程y－1＝－CM解析由题意得，当⊥1－01??x－??，即2x－4y＋3＝0. 2??答案2x－4y＋3＝0 8．(2014·三门峡二模)两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y________.＝c＋m均为实数，则c，m上，且0＝c＋m1＋????的中点1)两点(1,3)和(m，－在直线x解析根据两圆相交的性质可知，1，2?? 0垂直，故有x－y＋c＝－y＋c＝0上，并且过两点的直线与m ＋1?，1－＋c＝0?2?3.m＋c＝m＝5，c＝－2，∴∴?1－?－3?，1＝－1×?m1－3 答案三、解答题2222的交点的圆中面积最小＋4x＋y＝－1，xy＋0＋2x＋2y＋1x9．求过两圆＝＋y 的圆的方程．22①＋y＋4xy＝－1，x＋??由解22②＝0，y＋y＋2x＋2＋1x?1 ，或－1x－y＝0代入①得x＝－①－②得2512??，－－??．1∴两圆两个交点为，(－，－2)55??12??，－－??为端点的线段为直径的圆时，面积最，－2)，(－过两交点圆中，以155??小．36??，－－??∴该圆圆心为，半径为55??21????222＋－－＋1????＋55????52 ＝，25634????22＋yx＋????.圆方程为＋＝555????220. 2＝al：ax＋y＋C：x＋y12－8y＋＝0，直线．已知：圆10 相切；与圆C当(1)a为何值时，直线l l的方程．＝22时，求直线B 与圆C相交于A，两点，且|AB|(2)当直线l2222＝4，则此圆y－4)0y＋y－8＋12＝化成标准方程为x＋(的方程将圆解Cx的圆心为(0,4)，半径为2.|4＋2a|(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，21＋a3.解得a＝－ 4 过圆心C作CDAB，则根据题意和圆的性质，⊥(2)||4＋2a?，|CD|＝?21a＋?22221.得或－解得a＝－7，|DA|＝AC|＝2|CD|＋|?1?2.DA|＝|AB|＝|20.x－y＋2＝7故所求直线方程为x－y＋14＝0或能力提升题组)(建议用时：25分钟一、选择题222：r＞O：x0)＋y，直线＝rl(P1．(2014·安徽宣城六校联考)已知点(x，y)，圆002相切；②O上，则直线lyx＋y＝r与圆，有以下几个结论：①若点P在圆Ox00O与圆O内，则直线lP在圆O外，则直线l与圆O相离；③若点P在圆若点．)l相交；④无论点P在何处，直线与圆O恒相切，其中正确的个数是(4．D C．3 BA．1 ．22r22＝＋y＝，若点P在圆O上，则x解析根据点到直线的距离公式有d0022y＋x002222OP在圆r，d＜r，相交；若点r，d＝r，相切；若点P在圆O外，则x＞＋y00222，相离，故只有①正确．＜r，d＞y内，则x＋r00A答案2222，＝4)9C：(x－3)－＋(x(2013·2．重庆卷)已知圆C：(－2)3)＋(y－y＝1，圆21的最小值为||PNP上的动点，为x轴上的动点，则|PM|＋NM，分别是圆C，C21)．(22 D.1717B.－1 C．6－．A－524解析圆C，C的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC|112－1，同理|PN|的最小值为|PC|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC|＋|PC|－4.作C关于x轴的对1221称点C′，3)，－(21．，根据三角形两边之和大于第三边可知PCC′，与x轴交于点P，连接连接C121 |PC|＋PC|的最小值|21A. 选52－4.PM为|C′C|，则||＋|PN|的最小值为21A 答案二、填空题22在第一象限内＝＋y3．(2014·福建质检)已知直线l：y－＝－3(x1)与圆O：x1 ．MOA的面积等于________l交于点M，且与y轴交于点A，则△．由的坐标为(03)y解析依题意，直线l：，＝－3(x－1)与y轴的交点A22，1y＝x ＋?11?x|×M得点的横坐标x＝，所以△MOA的面积为S＝|OA MM22，1y?＝－3?x－?311. 3×＝＝×4223 答案 4 三、解答题22，M于A＝1，Q是x 轴上的动点，QA，QB．已知圆4M：x－＋(y2)分别切圆B两点．QB的方程；(1)若Q(1,0)，求切线QA，面积的最小值；求四边形(2)QAMB24 MQ(3)若|AB|的方程．＝，求直线3 ，的圆M的切线方程为x＝my＋1解(1)设过点Q 则圆心M到切线的距离为1，1|＋|2m4 ，∴1m＝－或0，∴＝321m＋1. ＝和x3QB，的方程分别为3x＋4y－＝0∴QA2221－|MQ|＝||||QA＝QA＝|MA|－|MQ||·，∴⊥∵(2)MAAQSMA|＝MAQB形边四23.＝1|MO≥|－3. 面积的最小值为QAMB∴四边形，P交于MQ与AB设(3)．1??222??－⊥则MP⊥AB，MBBQ，∴|MP|＝. 1＝33??12 MQ||，|中，MB|||＝|MPMQ|，即1＝Rt在△MBQ3229. 3，∴x－＋(y2)＝＝∴|MQ|22＋2＝9，x,设Q(0)，则x ，(±50)Q＝∴x±5，∴，＝0或2x－55－＋2MQ∴的方程为x5y2y ＋25＝0.。
高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理 新人教版
[由题悟法] 1．圆的切线方程的 2 种求法 (1)代数法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程 组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式 Δ＝0 进而求得 k. (2)几何法：设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，利用点到直 线的距离公式表示出圆心到切线的距离 d，然后令 d＝r，进 而求出 k. [提醒] 若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＝r2 上，则过 M 点的 圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2.
2．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数 a＝________. 答案：±2 5或0
考点一 直线与圆的位置关系 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(2016·湖北七市联考)将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针
方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位
3，
3)．
答案：k∈(－ 3， 3)
[谨记通法] 判断直线与圆的位置关系的 2 大策略 (1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几 何法． (2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较 繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．如“题 组练透”第 2 题、第 3 题．
考点二 切线、弦长问题 重点保分型考点——师生共研
A．－53或－35
B．－32或－23
C．－54或－45
D．－43或－34
解析
考点三 圆与圆的位置关系 题点多变型考点——纵引横联
_d_＝__r1_
_|r_1－__r_2_|＜__ d_＝__|_r_1－__r_2_| d_＜__|_r_1－__r_2_|
_＋__r2_ _d_＜_r_1_＋__r_2
9-4直线与圆、圆与圆的位置关系2019高三一轮复习课件
(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两 圆的公共弦所在的直线方程． ( )
(5)过圆 O： x2＋y2＝r2 上一点 P(x0， y0)的圆的切线方程是 x0x＋y0y ＝r2.
基础诊断
(
考点突破
)
解析 (1)“k＝1”是“直线 x－y＋k＝0 与圆 x2＋y2＝1 相交”的充 分不必要条件． (2)除外切外，还有可能内切． (3)两圆还可能内切或内含． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
基础诊断
考点突破
2．(2015· 安徽卷改编)直线 3x＋4y＝b 与圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0 相 切，则 b 的值是________． 解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)到直线 3x |7－b| ＋4y＝b 的距离为 ＝1，解得 b＝2 或 b＝12. 5 答案 2 或 12
基础诊断
考点突破
(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为 x＝2，此时，圆心到直线的 距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时， 设直线方程为 y－4＝k(x－2)，即 kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相 |k－1＋4－2k| |3－k| 切， ∴圆心到直线的距离等于半径， 即 d＝ ＝ 2 2 ＝ 2 k ＋－1 k ＋1 1，
得 x－y＋2＝0. 2 又圆 x ＋y ＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 ＝ 2. 2
2 2
由勾股定理得弦长的一半为 4－2＝ 2， 所以，所求弦长为 2 2. 答案 2 2
基础诊断 考点突破
考点一
直线与圆的位置关系
【例 1】 (1)“a＝3”是“直线 y＝x＋4 与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8 相 切”的 ________ 条件 ( 从“充分不必要”“必要不充分”“充 要”“既不充分也不必要”中选填一个)． 3 (2)直线 y＝－ 3 x＋m 与圆 x2＋y2＝1 在第一象限内有两个不同的 交点，则 m 的取值范围是________．
新高考一轮复习人教A版8.4 直线与圆圆与圆的位置关系课件(49张)
A. 内切
B. 相交
C. 外切
D. 相离
解：两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d＝ 42＋1＝ 17. 因为 3－2<d<3＋2，所以两圆相交. 故选 B.
若圆 x2＋y2＝a2 与圆 x2＋y2＋ay－6＝0 的公共弦长为 2 3，则 a 的值为
()
A. 2
C.
【点拨】 ①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、 圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点 的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为
1＋k2·|x1－x2|，必要时考虑运用这一公式也可解题.
(2020 天津卷)已知直线 x－ 3y＋8＝0 和圆 x2＋y2＝r2(r>0)相交于 A，B 两点. 若|AB|＝6，则 r 的值为__________.
共点”成立的
()
A. 充分不必要条件
B. 充要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
解：圆心(a，0)到直线 x－y＋1＝0 的距离 d＝|a＋1|，r＝ 2，直线与圆有公共点，则 2
有 d≤r，即|a＋1|≤ 2，解得－3≤a≤1，且[－3，1]⊆[－3，＋∞)，所以“a≥－3” 2
是“直线 y＝x＋1 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公共点”成立的必要不充分条件. 故选 C.
是
()
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 不确定
解：因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，所以 a2＋b2>1，而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝|a·0a＋2＋b·b02－1|＝ a21＋b2<1，所以直线与圆相交. 故选 B.