1储油罐的变位识别与罐容表标定_王力工指导

储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要加油站都有地下储油罐，一般是通过查看罐容表得知储油罐的剩余油量。

由于地基变形等原因，储油罐会发生变位，从而导致罐容表的改变。

因此研究储油罐的变位识别与罐容表重新标定具有重要意义。

问题一，首先，把求平底椭圆柱储油罐的储油量的问题转化为求体积积分的问题，做三重积分时，利用了平行于椭圆柱母线的截面微元，并利用Maple 软件，求出储油量关于油位高度和倾斜角α的关系表达式；然后通过分析理论值和实验值的相对误差，利用0α= 的实验数据对该表达式进行了误差系数补偿，得到了储油量与罐内油位高度及倾斜角的关系的(,)V h α数学模型，利用 4.1α= 的实验数据对补偿后的模型进行了检验，平均相对误差由补偿前的5%变为不到2%；在分析变位后对罐容表的影响时取定不同油位高度,研究储油量关于倾斜角的变化关系，得到了当油位高度较高、较低及在一定中间范围时不同的变化规律。

然后基于此模型得到了变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值（见14、15页）；问题二，研究了主体为圆柱、两端为球冠的储油罐变位后的罐容问题。

首先将该问题转化为球冠和圆柱所含油的体积积分问题。

圆柱所含油的体积可利用问题一中的模型求解（其中油位高度要经过一定转化）；球冠部分利用三重积分直接运算很难计算；而后我们通过分析球冠采用了近似积分算法，得到了储油量关于显示油位高度、两个变为参数（横向偏转角及纵向倾斜角）的一般关系式；为求αβ、，基于此一般关系式(,,)V h αβ，建立了目标为理论出油量和实际出油量之差的平方和最小的优化模型，利用附表二中的出油量的前半部分数据，并利用逐步减小区间的搜索算法，αβ、同时逐次以10.01 、0.1、为步长，用Matlab 进行了三次搜索，求得 2.13, 4.44αβ== ；然后利用附表二中显示油高和显示储油量两组数据，与αβ、取为0 时显示油高对应的理论出油量进行比较，得到的相对误差的数量级为510-(见24页图)；并利用附表二中出油量后半部分数据，与2.13, 4.44αβ== 时所得出的理论出油量进行比较，得到平均相对误差为0.57%，从而检验了模型的正确性与方法的可靠性。

最后利用此模型得到了变位后油位高度间隔为10cm 的储容表标定值（见23页）。

关键词：储油罐 油位高度 储油量 纵向倾斜角 横向偏转角一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二．基本假设1、注油管、出油管及浮杆所占的体积忽略不计2、问题一中所给的是油桶内径的尺寸（即忽略壁厚对结果的影响）3、问题二中储油罐在没有变位时的罐容表准确无误4、假设在所研究的时间段内纵向倾斜角度α和横向偏转角度β保持不变三、符号说明四、问题的分析4.1概论该题主要是解决解决储油罐的变位识别与罐容表标定两个问题，而核心问题是求储油量关于显示油位高度、储油罐两个方向的转角的关系表达式。

求此表达式的思路是先求油所占的体积关于参量s(参量s为和油高相关的参量)及两角度的关系式，进而利用参量s和显示油高的关系式求得最终表达式；由于问题二中的圆筒具有旋转对称性（旋转时所要积分的体积形状不改变），故问题一和问题二中储油量关于和油高相关的参量s的表达式的求法(实际为三重积分)在本质上是一样的，而区别仅在于参量s和显示油高的的关系表达式。

4.2问题一对于问题一，可通过三重积分和Maple软件先求解储油量关于参量s和倾斜角的一般表达式，然后找到参量s和显示油高h的关系，代入表达式可得到储油量关于显示油高和倾斜角的表达式；然后将理论值与实验值对比，参阅资料得出误差修正方法，利用倾角为0 时的数据进行修正，并利用倾角为4.1 的数据对修正后的表达式进行检验，得到了较理想的模型。

然后基于此模型求出当倾斜角变化时对罐容表的影响，并得到4.1 时的罐容表标定值。

4.3问题二对于问题二，同问题一一样，也需找到储油量关于参量s和两方向倾角的一般表达式，由于积分过程很复杂，有必要对此积分进行近似求解，得到一般表达式后，再找到参量s和显示油高h的关系式，代入即可得到储油量关于参量s和两倾角αβ、的一般关系。

然后利用附表二中出油量和显示油高，基于一般关系式，确立优化目标为理论出油量和实验出油量的误差平方和最小，变量为两偏角的优化模型，利用逐步逼近的搜索算法，得到了两偏角的值。

变位后的罐容表很自然的可利用一般表达式得到。

最后利用附表二中的显示油高和显示油量（实际为无偏角时的油高关于油量的精确对应关系），对模型的准确性验证；利用实验出油量和理论出油量的对比，对模型的可靠性进行验证。

五、模型的建立与求解5.1问题一---两端平头的椭圆柱体5.1.1数据预处理根据附件1，在无变位的情况下，我们根据进油过程和出油过程分别作出储油量V随h变化的图，由上图可以看出，在无变位的情况下，用进油数据求得的()V h 进变化曲线几乎与用出油数据求得的()V h 出变化曲线相同。

此外，在有倾角的时候，同理作出下图。

图2有倾角进出油过程储油量与高度的关系对比同样可以得到上述结论。

这就意味着，进油过程和出油过程地位是相等的（基本是相同的），如果我们可以对所有的进油量和出油量求其对应的储油量V ，即可增加样本容量，减小误差。

因此，在后文的计算过程中，我们会将所有的进油量值和出油量值当做求储油量的样本点。

5.1.2倾斜角为(0)αα≠ 时计算储油量1V 的一般模型1)状态分析讨论先过哪个点：当(0)αα≠ 一定时，桶内油量不同，对应的储油量计算公式不同。

根据储油量的多少，可以将此问题分为5个状态。

如下图另一方面，不同的倾斜角所对应的5种状态有所不同，液面直线可能先过2O，或者先过4O点。

临界条件如下图所示：根据上图，我们可以求出此临界状态下的倾斜角1.2arctan26.12.45α=≈ ，即只要α小于这个角，当储油量增加时，液面直线必定先过2O点。

而在此题中，储油罐的倾角是由于地基变形等原因引起的，角度不可能太大。

在此问题中，我们认为，α不会大于临界值，即液面直线必定先过2O点。

因此，图4所表示的状态即为桶内油量的所有状态。

讨论先求那种状态：通过分析可知，在油罐倾斜的时候，如果运用积分的方法，不同的油位高度h ，储油量的求解公式也不同。

故求出的储油量1V 的公式应当为关于h 的分段函数。

2)储油量1V 的计算---油量特少和油量特多在油量特少的情况下，油面高度h 一直保持为零。

即无法通过h 的变化，求得储油量1V 。

即1V 在此情况下无法计算。

同理，对于油量特多的情况， 1V 无法计算。

3)储油量1V 的计算---油量较少根据已知条件，我们以O 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，示意如下：图5油量较少立体示意图 在图5的基础上，我们设定相关参数，得下图图6油罐yoz 面截面图在上图中，截取在区间[,]z z dz 内的体积元dV 。

然后将dV 在xoz 面的截面图，如下:图7油罐xoz 面的截面图参考图5后，体积元dV 为长方体。

若以xoy 面为底面，其面积为S '底，根据图6中的各个参数，可以求得此矩形底面的长和宽。

长：在图6中，有如下等量关系：tan hAC α=(1) tan hOC c α=+(2)tan tan OD OC h c αα==+ (3) 据几何关系得， tan DE OD OE h c z α=-=+-(4)tan tan tan DE h c zEF ααα+-===长 (5)宽：2P Q ''==宽 (6)底面面积：2S '=底(7)体积元体积：2dV S dz '==底面 (8)积分区间：求储油量须从O 到D 点对z 积分，积分区间为[0,]OD ，其中由(9)式得tan OD h c α=+。

积分模型：储油量1()V h 满足tan tan 110()2h c h c V V h dV αα++===⎰⎰(9)化简结果：用Maple 求解(15)式，化简后得到22213()(2a r c s i n 2)2()6t a n a b s V b b s s b b s b b πα-⎧⎫⎤=----+-⎨⎬⎦⎩⎭(10) 其中，(,)tan s s h OD h c αα===+。

由已知条件得0.89a =，0.6b =，0.4c =。

因此(10)式中，s 只是间接变量，最终唯有h 是自变量，即1111()[(,)](,)V V s V s h V h αα=== (11)4)储油量1V 的计算---油量中等参考图3，延长液面直线，得到油量中等状态的示意图如下：图8油量中等状态示意图由图中几何关系可得11(,)tan s s h h c αα==+(12)22(,)tan s s h h d αα==- (13)根据上图，并联系(16)、(17)式，得到此情况下储油量满足11112()()V V s V s =- (14)解(20)式得此情况下储油量为11122122112222212(,)[(,),(,)]{3[()2()arcsin 2()arcsin ]6tan ()]()]}V h V s h s h a b s b s b s s b s b s b b b b s b b s αααπα=--=----+--+-++- (15)5)储油量1V 的计算---油量较多图9油量较多状态示意图由图中几何关系求得33(,)2tan s s h b h d αα==-- (16) 根据圆柱体积公式得V S L abL π==椭油罐 (17)故可以利用公式(16)、(17)，求得此情况下的储油量113233223(,)[(,)]{3()(2arcsin )6tan 2()}V h V V s h a b s abL b b s b b b b s ααππα=--=+--⎤-+-⎦油罐(18)6)问题一误差修正前模型参考图3，由几何关系易得各条临界线所对应的油位高度h ：1234:0:tan :2()tan :2l h l h d l h b d L l h b αα=⎧⎪=⎨=+-⎪=⎩(19)综上，倾斜角为 4.1α= 时储油量1V 可以分段表示为： ①当h 一直保持0时，1V 无法计算； ②当0tan h d α<≤时，22211(,)[(,)]3()(2arcsin )2()6tan a b s V h V s h b b s b b s b b ααπα-⎧⎫⎤==----+-⎨⎬⎦⎩⎭其中，(,)tan s s h OD h c αα===+ ③当tan 2()tan d h b d L αα<≤+-时，11122122112222212(,)[(,),(,)]{3[()2()arcsin 2()arcsin ]6tan ()]()]}V h V s h s h a b s b s b s s b s b s b b b b s b b s αααπα=--=----+--+-++-其中，11(,)tan s s h h c αα==+，22(,)tan s s h h d αα==- ④当2()tan 2b d L h b α+-<≤时，2313223(,){3()(2arcsin)6tan2()}a b sV h abL b b sb bb b sαππα-=+--⎤-+-⎦其中33(,)2tans s h b h dαα==--⑤当h一直保持0是，1V无法计算5.1.3倾斜角为0α= 时计算储油量V的模型由于在1(,)V hα的分段表达式，总会存在tanα出现在分母上，故0α= ，即无变位的储油量需要单独计算依据题意，在已知参数a、b、、L的前提下，根据微积分的思想，在xoy面[,]z z dz+截取一个体积元dV，厚度为dz。