21.2二次函数的图象和性质
21.2 二次函数的图像和性质
新课标沪科版·数学 九年级上
第21章 二次函数与 反比例函数
21.2 二次函数的图像和性质
知识点 二次函数y=ax²的图象和性质
投篮命中率是衡量一名篮球运动员得分能力 的重要标志,要提高投篮命中率,应该将球的运动路 线想象成抛物线,在心中建立如图所示的抛物线模 型,这种类型的抛物线表达式为y=ax²(a≠0),尽量向 高处抛出篮球,落点就是篮筐,这样投篮命中率会高 一些,同学们不妨多尝试几次,效果会不错的呦!
精度最高的望远镜,用来探测来自太空的无线电波.根
据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径
AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米,若按
图(2)中方式建立平面直角坐标系,则抛物线的表达式
就是y=
1 625
x²-100.
知识点 二次函数y=a(x+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)²的图象和性质
太阳镜,也称遮阳镜,作遮阳之用.人在阳光下 通常要靠调节瞳孔大小来调节光通量,当光线强 度超过人眼调节能力时,就会对人眼造成伤害.所 以在户外活动场所,特别是在夏天,需要采用遮阳 镜来遮挡阳光,以减轻眼睛调节造成的疲劳或强 光刺激造成的伤害.如图所示的是一副太阳镜,
知识点 用待定系数法求二次函数表达式
跳台滑雪简称“跳雪”.就是运动员脚着特 制的滑雪板,沿着跳台的倾斜助滑道下滑.跳雪是 冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行 路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后 的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似 满足函数关系y=ax²+bx+c(a≠0).下图记录了某 运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数 模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最 高点时的水平距离.
九年级上册(沪科版)数学教学课件：21.2.2 第1课时
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题： （1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
三 二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究
解析式 y=2x2-1
-1
y=2x2
+1
y=2x2+1
点的坐标 (x,2x2-1 ) 函数对应值表
(x, 2x2 )
x y=2x2-1 y=2x2 y=2x2+1
… -1.5 -1 … x
… 3.5 1 … 4.5 2 … 5.5 3
… 2x2-1
6
5
y=2x2+1
4
3
y=2x2
2
1
y=2x2-1
-6
-4
-2
o
2
-1
4
x6
y
5
4
y 2x2 1
3
解析式
2
y 2x2
1
y=2x2-1
-6
-4
-2
o
2
4
6x
对称轴右侧y随x增大而增大.
-1
形状 开口方向 对称轴 顶点坐标 顶点高低 函数最值 函数的增减性
y=2x2-1 抛
y=2x2
物
y=2x2+1 线
y1
1 3
x2
2
y 1 x2 3
对称轴右侧y随x增大而减小 _____________________________
数学沪科版九年级(上册)21.2二次函数的图象和性质课件(共17张PPT)
04:09
17
14
小
结 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
y=ax2+bx+c(a>0)
顶点坐标 对称轴 开口方向
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向下
增减性 最值
04:09
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2(x2 4x 4) 7 8
a x
b
2
c
b2
2a
4a
a x
b
2
4ac
b2
.
2(x 2)2 1
2a
4a
一半的平 方
整理:前三项 化为平方形 式
化简
9
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函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点
坐标是什么？
例1.y写出a下x2列函b数x 的c开的口对方向称、轴对是称轴:x、顶点b坐标：
04:09
13
达标测评
1、若二次函数y =ax2-4x-6的图象的顶点横坐标 是 2__、-_2抛_，_物_则平线a移=_y______12__x_2_个_3_单x_位25是，由再抛向物_线__y平移- 12_x_2 先_个向 单位得到的。 3、已知抛物线y=x2-4x+h的顶点在直线y =4x-1 上，求抛物线的顶点坐标。
沪科九年级数学上册第21章2 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
(1)列表；(2)描点；
解：列表；
(3)连线.
x
…
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
…
y=x²
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
y=(x–1) 2
…
25
16
9
4
1
0
1
4
9
…
y=(x+1) 2
…
9
4
1
0
1
4
9
16
25
…
观察
在同一平面直角坐标系中，怎样画出函数y=x2、y=(x–1) 2和y=(x+1) 2的函数图象？
2
2
– (x–1) 和y=– (x+1) 三
(3)当x分别取何值时，这三个函数取得最小值？最小值分别是多少？
个函数的图象，并说一
说它们有什么特征？
y=x²
y=(x+1) 2
y
y=(x–1) 2
求最小值也就是先找
9
到图象上的最低点
8
7
6
5
4
3
2
1
–3 –2 –1O 1 2 3
–1
–2
y=x2的最低点坐标是(0，0)，所以
根据图形在坐标系中的平移规律可知，
对应的图象应该是向右平移一个单位
或向左平移一个单位.
–3 –2 –1O 1 2 3
x
–1
左移1个
2
–1 +1 –2 y–1（
+1x +1）
21.2 二次函数的图象和性质(3)
x=0时,y最大=c
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
1、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+k和 二次函数y=ax2+k的图象大致是如图中的（ B ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
2、已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
a＜0 a＞0
向下 向上 向下
（0,c） （0,c）
最小值 Y随x的增 是C 大而减小 最大值 是C
Y随x的增 大而增大
y=ax2+c
a＜0
如图所示，直线L过A（4，0）和B（0，4）两点， 它与二次函数y=ax2• 的图象在第一象限内交于P点， 若△AOP的面积为 4 . （1）求P点的坐标；（2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y=ax2上下平移，使平移后的抛 物线经过点A？
C(x3,y3), D(x4,y4)在其图象上,且x2< x4<0,
0<x3< x1, |x2|>|x1|, |x3|>|x4|, 则 A.y1>y2>y3>y4 B.y2>y1>y3>y4 C.y3>y2>y4>y1 (B )
y2
y1 y3 y4 x2 x4 x3 x1
D.y4>y2>y3>y1
3、已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ D） A. a+c B. a-c C. –c D. c
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第5课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第5课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》是沪教版数学九年级上册第21章第2节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。
本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的实例和练习来理解和掌握。
教材中提供了丰富的例题和练习题，以及一些探究活动，帮助学生逐步深入理解二次函数的图象和性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。
同时，学生对于数学的兴趣和积极性也需要教师的激发和引导。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的图象和性质，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
2.培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。
3.激发学生对数学的兴趣和积极性，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和运用。
2.二次函数的图象和性质的推导和证明。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。
2.运用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质的实例，帮助学生直观地理解和掌握。
3.学生进行小组讨论和探究活动，培养学生的合作意识和探究精神。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关的教学PPT或投影片。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象和性质的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示一些二次函数的图象和性质的实例，让学生直观地感受和理解二次函数的图象和性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析，找出二次函数的图象和性质的特点，并进行推理和证明。
沪教版九年级数学上册第21章课件：21.2.2 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_1 _＞__y_2_＞__y_3___.
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线 开口方向
y 2 x 32 向上
y 2 x 22
y 3 x 12
4
向上 向下
对称轴 直线x=3 直线x=2 直线x=1
2
···
－8
－4.5
－2
1 2
y
0
1 2
－2
···
－4 －2 0 －2 －4
2 4x
－6
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线 开口方向
y 1 x 12
2
y 1 x2 2
y 1 x 12
2
向下 向下 向下
对称轴 直线x=-1 直线x=0 直线x=1
顶点坐标 ( -1 , 0 ) (0,0) ( 1, 0)
练一练
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物 线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函 数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
与 y 1 (x 2)2 的图象．
2
解：先列表：
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x2 2
9 ··· 2
2
1 20
1 2
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计1
沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计1一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2节的内容。
这部分教材主要介绍二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性等。
教材通过例题和练习题帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质，并能够运用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了二次函数的定义和一般形式，对二次函数有一定的了解。
但是，学生可能对二次函数的图象和性质的概念和规律还不够清晰，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性等。
2.过程与方法：学生能够通过观察、分析和归纳二次函数的图象和性质，培养数形结合的能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与学习活动，克服困难，增强对数学学习的信心和兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：二次函数的图象和性质的概念和规律。
2.教学难点：开口方向、对称轴、顶点、增减性的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题和情境，引发学生的兴趣和思考，引导学生观察和分析二次函数的图象和性质。
2.引导发现法：教师引导学生通过观察、分析和归纳，自主发现二次函数的图象和性质的规律。
3.练习法：通过适量的练习题，巩固学生对二次函数的图象和性质的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质的实例和规律。
2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的理解和掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引入二次函数的图象和性质的概念。
例如，可以提出一个关于抛物线的问题，让学生思考抛物线的开口方向和顶点位置。
2.呈现（15分钟）教师通过课件展示一些二次函数的图象，让学生观察和分析开口方向、对称轴、顶点等特征。
同时，教师引导学生通过观察和分析，归纳出二次函数的增减性规律。
3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
21.2)y=a(x+h)2的图象和性质
位置
开口方向 增减性 最值
当x=-h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=-h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
开口大小
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2（x-3）2 y= −2（x+3）2 y= −2（x-2）2
y= 3（x+1）2
二次函数的图像和性质
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
上节复习
y＝ax2+k
图象
a>0
a<0
k>0
k<0
k>0
k<0
开口向下 开口向上 开口 ︱a︱越大，开口越小；︱a︱越小，开口越大 关于y轴对称 对称性 顶点
(0,k)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
X=-1
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
二次函数y=a(x+h)2的性质：
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x+h)2 (a>0) 抛物线
在对称轴(直线:x=-1)左侧 (即x<-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而减少,. 顶点是最低点,函数 有最小值.当x=-1时, 最小值是0..
y 3x 2
y 3x 1
2
在对称轴(直线:x=-1)右侧 (即x>-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而增大,.
九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计
21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
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练习：
1．将抛物线y＝-8x2先向左平移2个单位，再向下平移4个 单位后，得到抛物线的解析式为_________________．
2．抛物线y＝－9(x＋2)2-5的开口方向是___________，对
称轴是___________，当x＝_______时，y有最_____值 ________，当___________时，y随x的增大而增大，当 ___________时，y随x的增大而减小。 3. 若一抛物线形状与y＝2x2＋7x相同，顶点坐标是（4，2）则其解析式为_____________________.
1 2 y x 2 2 –5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 顶点从(0,0)移到了 –3 (0,–2)，开口方向 –4 和对称轴没变。 –5
5 4 3 2 1
y
1 2 y x 2
x 1 2 3 4 5
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，开口方向 和对称轴没变。
1 1 2 2 抛物线 y x 如何平移得到抛物线 y x 2 2 2 1 2 y x 2 ？平移前后它们的开口方向、对称轴 2
复习：
1. 抛物线y＝7(x-4)2对称轴是_______,顶点坐 标是______,开口方向____。 2.抛物线y＝-6x2＋1对称轴是________,顶点 坐标是______,开口方向____。
1 2 1 2 3. 抛物线y＝ x 如何平移得到抛物线y＝ x ＋1？ 2 2 1 如何平移得到抛物线y＝ (x-2)2？ 2 1 1
归纳反思：
y ax k
2
2 1. y
y a x h
2
2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，二次项系数a决定 抛物线的形状。
1 2 y x 2
3 2 1 1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 –3
x
–4 –5
1 2 向上平移1 1 2 向右平移2 y x y x 1 个单位 个单位 2 2
顶点(0,0) 顶点(0,0)
1 y ( x 2) 2 1 2
顶点(2,0)
对称轴:y轴 即直线: x=0
直线x=0
直线x=2
2 2 y a ( x h ) k y ax 抛物线 与 之间的关系：
y ax 2 k
y ax2
y a( x h) 2 k
y a x h
2
二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值 向上
和顶点坐标发生了什么变化？
1 2 y x 2 2
1 2 y y2x 5 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 顶点从(0,0)移到了 –2 (–2,0)，对称轴由y –3 轴变成直线x=-2,开 –4 口方向没变。 –5
1 2 y x 2 2 x 1 2 3 4 5
4.抛物线y＝ (x-2)2+1与抛物线y＝ (x-2)2有什 2 2 1 2 么位置关系？与抛物线y＝ x ＋1呢？ 2
1 2 1 2 抛物线 y x 如何平移得到抛物线 y x 2 2 2 1 2 y x 2 ？平移前后它们的开口方向、对称轴和 2
顶点坐标发生了什么变化？
1 2 y x 2 2
顶点从(0,0)移到了 (2,0)，对称轴由y 轴变成直线x=2,开 口方向没变。
1 1 2 抛物线 y ( x 2) 1 可以通过抛物线 y x 2 2 2
平移得到吗？平移前后它们的开口方向、对称轴 和顶点坐标发生了什么变化？
1 2 y x 1 2
5 4
y
1 y ( x 2) 2 1 2
当x<-h时,y随着x的增大而减小. 当x>-h时, y随着x的增大而增大.
y=a(x+h)2+k(a>0)
y=a(x+h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向下
当x<-h时,y随着x的增大而增大. 当x>-h时，y随着x的增大而减小.
当x h时, 最小值为 k
当x h时，最大值为 k