李伟版高等数学第一章习题答案(天津科技大学)
高等数学第一章总习题及答案
7. 已知 lim
x →0
f ( x) ) sin x = 3 , 求 lim f ( x) . x →0 x 2 2x − 1
解
因为 lim(2 − 1) = 0 , lim
x →0
x
ln(1 +
x →0
f ( x) ) sin x = 3 , 故必有 lim ln(1 + f ( x) ) = 0 , x →0 sin x 2x − 1
2
2
x
1 1 . = ( )2 = 2 2
1
(4) (5) (6)
lim
x →0
1 x sin x 1 = lim 2 2 = . x →0 2 x
1
x
lim(1 + 3tan 2 x)cot
x →0
= [lim(1 + 3tan 2 x) 3tan x ]3 = e3 .
2
x →0
设 k 为任一个大于 2c 的自然数, 则当 n > k 时,
0 < x ≤ e, 在 x = e 处, lim+ f ( x) = ln e = 1 , lim− f ( x) = 1 , x →e x →e x > e,
故 f ( x) 在 x = e 处连续, 故函数连续区间为 (0, + ∞) .
9.
⎧ cos x , x ≥ 0, ⎪ ⎪x + 2 设 f ( x) = ⎨ 要使 f ( x) 在 (−∞, + ∞) 内连续, 应如何选择 ⎪ a − a − x , x < 0, ⎪ x ⎩
n →∞ n →∞
(B) 无界数列必定发散; (D) 单调数列必有极限.
yn . xn
《高等数学》上册习题参考答案(天津科学技术出版社)
· 296 ·习题答案与提示习题1.11.（1）21(12)33，，123x -<；（2）13(1)44-，-，114x +<；（3）41(1)(11)55 ，，，1015x <-<.2.（1）不同；（2）不同；（3）相同.3.（1）1x ≠-且3x ≠，即(1)(13)(3+)-∞- - ∞，，，，，； （2）1≤x ≤3, 即[1,3]；（3）x ≤5且0x ≠，即(0)(05]-∞ ，，，； （4）2x >或2x <-，即(2)(2+-∞- ∞，或，）；（5）2k π≤x ≤(21)()k k π+ 为整数；（6）x ≥1x <与-1≤010]1-∞，即（，与[,+）； （7）110110x x >≠且，即（，），10+∞（，）； （8）300x x <≠∞且，即（-，），03（，）.4.2(2)0(2)4()1a f f f a a -=-=-=+，，.5.1()()()(2)06244πππϕϕϕϕ==-=-=，. 8.（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）非奇非偶函数；（6）偶函数. 9.（1）单调增加；（2）单调增加；（3）单调减少；（4）在22ππ∞（-,-）,(0,)单调增加；在22ππ∞（-,0）,(,+)单调减少.10.（1）周期为π；（2）不是周期函数；（3）周期为4π；（4）不是周期函数；（5）周期为2π； （6）周期为π.11.（1）1102x y -=-；（2）11xy x-=+； （3）dx by cx a-+=-，当0a d +=或0b c ==，0a d =≠时反函数与直接函数相同. 12.（1）0sin 2y x y =，（2）0y y =（3）220x y e y e -==，.· 297 ·13. （1）2u y e u x ==，；（2）2ln 1y u u v x ==+，；（3）2sin y u u x ==，；（4）sin n y u u x ==，；（5）3arcsin 1y u u v v x ===-，，；（6）23sin u y u v v x ===，，. 14. （1）1-≤x ≤1, 即[-1,1]；（2）221)01n n n ππ+=±⋅⋅⋅[，(]，(，)； （3）a -≤x ≤1, 1a a a -- -即[，]； （4）若0a <≤12，则a ≤x ≤1, 1a a a - -即[，]；若12a >，则函数无处有定义. 16. 2f l =.17. 3()0<<45()4107()10<20.x y x x ⎧⎪= ⎨⎪ ⎩角，，角，≤≤，角，≤ 18. 232223[()]r h v r h h r r π=<<+∞--，.19. v 习题1.21.（1）0；（2）1；（3）0；（4）没有极限；（5）没有极限；（6）0. 8.（1）(10)0(10)0f f -=+=，，极限为0；（2）(10)1(10)0(10)(10)f f f f -=+=-≠+，，，极限不存在. 9. 00000()1()1()1x x x lim f x lim x lim x ϕϕ→→-→+==-=，，，极限不存在. 习题1.31. 两个无穷小的商不一定是无穷小，例如：3 x x αβ= =，，当0x →时都是无穷小，但αβ当0x →时不是无穷小.2. 两个无穷大的和不一定是无穷大.5. cos y x x =在()-∞+∞，上无界，但当x →+∞时，此函数不是无穷大.· 298 ·习题1.41.（1）5；（2）34；（3）0；（4）25；（5）∞；（6）3；（7）0；（8）∞；（9）12；（10）23x ； （11）2；（12）203050235⋅；（13）2；（14）3；（15）12；（16）1-；（17）0；（18）0.2.（1）27；（2）k ；（3）1；（4）1；（5）2；（6）π；（7）x ；（8）12；（9）2e -；（10）2e ；（11）2e ；（12）1e -；（13）12；（14）e ；（15）3e . 习题1.51. 等价的.2.（1）同阶，不等价；（2）等价无穷小.3.（1）二阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）一阶；（5）三阶；（6）三阶.4.（1）a b；（2）m n <时为0，m n =时为1，m n >时为∞；（3）12；（4）222b a -.习题1.62.（1）3x =-是第二类间断点；（2）1x =是第一类的可去间断点. 补充123x y ==. 2x =-是第二类间断点； （3）0x =是第一类的跳跃间断点； （4）0x =是连续点； （5）0x =是第二类间断点； （6）0x =是第一类的跳跃间断点； （7）0x =，2x k ππ=+是第一类的可去间断点，(0)x k k π= ≠第二类间断点；（8）0x =是第一类的跳跃间断点. 3. 0a =时，()f x 在其定义域内连续.· 299 ·4. （1）1；（2）0；（3）14；（4）cos a ；（5）1；（6）a ；（7）2-；（8）14；（9）1；（10）e . 总习题一4.（1）(0]-∞，；（2）[1]e ，；（3）[0]4π，；（4）[22+]0122n n n ππππ-=±⋅⋅⋅，，，，.5. 22x -.6. [()]()[()]0[()]0[()]()f f x f x g g x f g x g f x g x ====，，，.9.（1）6π；（2）12e -；（3）116；（4）αβ-；（5）1.10. 0x =是第一类的跳跃间断点.11. 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点. 12.（1）1a =时，()f x 在0x =连续；（2）1a ≠，0a >时，0x =是()f x 的跳跃间断点.13. ln 3a =. 14. 76a b =-=，.习题2.11. 15.2.（1）34x ；（2）99100x ；（3）1x ππ-；（4）（5）32x-；（6）1e ex -. 3.（1）0()f'x -；（2）(0)f'；（3）02()f'x ；（4）0()()f'x αβ+.5. 0gt . 7. 0. 8.1(1)02y +-=；法线方程为102y -+=. 9.21a b ==-，.10.cos 0.()10.x x f'x x <⎧=⎨ ⎩，，≥11.（1）在0x =处连续，不可导；· 300 ·（2）在0x =处连续，不可导； （3）在0x =处连续，不可导； （4）在0x =处连续且可导.习题2.21.（1）310x x +；（2）2tan sec x x x +；（3）32522x x +；（4）22sec tan 2x x x e x x-+；（5）11sin x -+； （6）11n n n nx x-+-；（7）(2cos sin )x x x x -；（8）ln x x a a e +；（9）2(2)x e x x --；（10）sec (2sec tan )x x x +；（11）2212(1)x x x +-++；（12）22(1)x +；（13）3(2)x e x x -；（14）2sec 2cos t t +；（15）2102ln10(101)x x ⋅+；（16）2222csc [(1)cot 2](1)x x x x x ++-+；（171(1)z+； （18）231(2cos cos sin )()2x xe x x x x x x+--；（19）21cos sin (1cos )t t t +++；（20）cos2x . 2.（1）(1)14f'-=-，(1)6f'=；（2)2π+；（3）211x y'ππ==-；（4）123x y'e ==+.3. 08t t ==，.4. 相切.5. 切线方程为220x y --=和220x y -+=.6.（1）38(25)x +；（2）3sin(43)x -；（3）236x xe --；（4）221xx +；（5； （6；（7）；（8）222sec ()x x ；（9）21xx e e +；（10； （11）22tan ln 2xx -；（12）tan x -. 7.（1）144ln 22x --⋅；（2）1cos[ln(3)]3x x ---；（3（4（5）22sec tan csc cot 2222x x x x+；（6）2arcsinx；（7）2222cos(1)1sin (1)x x x +++；（8）222ln 22x x x x ++；· 301 ·（932arcsin 2xx ；（108.（1）()sh shx chx ⋅；（2）2()chxe chx sh x +；（3）2112sh x +；（4（5）2x（6）3th x ；（7）222sin 2sin()2sin cos()x x x x x +；（8）21sin 212sin x e x x -⋅；（9；（10）3232322(12)1ln()x x xe x e x e +++++++；（1122))x x x x ++；（12）21ch t .9..10. （1）22()xf'x ；（2）22sin 2[(sin )(cos )]x f'x f'x -；（3）[()]()f'f x f'x ⋅；（4）()[()()()]f x x x x e f'e e f e f'x +. 习题2.31.（1）214x-；（2）214x e -；（3）2sin cos x x x --；（4）2cos t e t --；（5）23222()a a x --；（6）22sec tan x x ；（7）222sin 2cos 2cos2ln x x x x x x -⋅--；（8）5323484x x --++；（9）23(22)x e x x x -+；（10）222arctan 1x x x ++. 2.（1）2222()4()f'x x f''x +；（2）22()()[()][()]f''x f x f'x f x -.5.（1）(1)nxe --；（2）1(1)(1)!(1)n n n x ---+；（3）12sin[2(1)]2n x n π-+-⋅；（4）1111(1)(1)n n n n x x ++----；（5）!n ；（6）1(2)!(1)nn n x --- （n ≥2）. 6.（1）20222(2095)x e x x ++；（2）50212252(sin 250cos2sin 2)2x x x x x -++； （3）0cos()2ni xn i C e x i π=+⋅∑或22cos()4n x e x n π+⋅；· 302 ·（4）100xshx chx +. 7. 2()a ϕ.习题2.41.（1）(1)(1)y x x y --；（2）cos cos()sin cos()y x y x y x y -+++；（3）y y x -；（4）22ay x y ax --；（5）1yye xe -+；（6）x y e y e x -+.3. 222(5)(10)15x y +++=.4.（1）(ln 1)xx x +；（2）1(ln )[ln(ln )]ln xx x x +；（3）2sin cos cos cos (sin )(sin ln(sin ))sin x x x e x x x x x+-； （4）1()(ln )111x x x x x x⋅++++；（5212[]55(2)xx x --+； （61[cot ]2(1)x x e x x e +--； （7）cot 221(tan 2)(csc ln tan 28cot csc4)222xx x x x x --；（8）21]2(1)1x x x --+. 5.（1）3sin()[cos()1]x y x y ++-；（2）423b a y -；（3）232csc ()cot ()x y x y -++；（4）31y -.6.（1）2312t t-；（2）tan θ-；（3）cos sin cos sin t t t t -+；（4）cos sin 1sin cos θθθθθθ---.7.（1）切线方程为43120x y a +-=，法线方程为3460x y a -+=； （2）切线方程为20y +-=，法线方程为410y --=； （3）切线方程为240x y +-=，法线方程为230x y --=.8.（1）31t ；（2）21(1cos )a t -- （2t n n π≠，为整数）；（3）1()f''t ；（4）322(1)t --.9. 面积变化率为2500平方厘米/秒； 对角线变化率为0.4厘米/秒.· 303 ·10.160.20425π≈米/分. 习题2.61. 0.02，0.0201，0.0001.2.（a ）000y dy y dy ∆>>∆->，，； （b ）000y dy y dy ∆>>∆-<，，； （c ）000y dy y dy ∆<<∆-<，，； （d ）000y dy y dy ∆<<∆->，，.3.（1）(103)x dx + ；（2）2(348)x x dx -- ；（3）(sin 22cos 2)x x x dx + ；（4）1001x x <<⎪<<⎪⎩，；（5）4(ln 1)x dx x + ；（6）[sin(3)cos(3)]x e x x dx ---- ；（7）421xdx x-+；（8）sec t dt . 4.（1）2x c +；（2）arctan x c +；（3）1c x+；（4）x e c --+；（5）1cos 22x c -+；（6c ； （7）414x x e c ++；（8）2x e c +；（9）sin cos sin x x x -，；（10）2sin sin 2x x ，；（11）122323x x ++，； （12）lnsin lnsin sin xe x x，.5.（1）1.0067；（2）0.485； （3）o 3047''； （4）0.01； （5）0.10025；（6）0.77；（7）9.9867；（8）2.0052.7. 0.995.总习题二1.（1（2）211xe +；（3）21cot(1)sec [2csc (1)cot(1)tan ]222x x x x x --+-；· 304 ·（4）(1)(1)[1ln(1)]x x x ---+-；（5）221[1a ；（6）1[1ln ]x x x ++； （7）22ay x y ax --；（8）[1sin()]sin()y xy x xy -+；（9）t te --；（10）sin cos cos sin t t tt t t+-.2.（1）21(dx x - ；（2）2228tan(12)sec (12)x x x dx ++ ；（3）222221arctan 2(1)14x x x dx x x +[-] ++； （4）sin t tdt ；（5）4sec xdx ；（6）2cos sin x x x dx x - ；（7）2ln (1)x dx x -；（8）221(3csc (ln )x dx x x -+) . 3. 函数处处连续，仅在0x =处不可导.4.（1）1(1)2!(1)n n n x +-⋅+；（2）2(1)sin 40cos 380sin x x x x x +--. 5. 6-. 6. 6. 7. 1-. 8. n t αα.9. csc cot (csc )2ln 2(2)x x x xf'x f'-+. 10.()(sin )cos ()cos ()()'x y 'x xdx 'y y 'x y ϕϕϕϕϕ+-⋅ -+.11.2a b ==. 12. 2.习题3.14. 先证存在性（根据介值定理），再证唯一性（根据罗尔定理）反证.5. 对()F x 连续两次应用罗尔定理.6. 因为(1)(1)(2)(3)0f f f f -====，由罗尔定理即证得所需结果.7. 用罗尔定理.10. 设()ln f x x =，区间为[1]x x +，，应用拉格朗日中值定理. 12. 设()()xf x x e ϕ=，先证()x ϕ为常数.· 305 ·13. 令()ln ()x f x ϕ=，又()()()f'x 'x f x ϕ=，应用拉格朗日中值定理即得证. 14. 取1()ln ()0g x x g'x x==≠，，应用柯西中值定理即得证. 习题3.21.（1）1；（2）2；（3）∞；（4）1；（5）∞；（6）1；（7）1；（8）1；（9）1；（10）12；（11）∞；（12）12-；（13）12；（14）1e；（15）1；（16）1；（17）e α；（18）1；（19）1.3. 连续.习题3.31.由21cos 2cos 2xy x +==代入cos2x 展开即可. 2.22x ex 换成x 2即可：242444400[1()][1()]2828x x x x x x o x o x lim x→→+-+-+++= 14=-.3.2321sin (3sin cos )2!3!x x x x ξξξ-=++ 231(3sin cos )3!x x ξξξ=-+ ξ在0与x 之间. 4.234()5621(4)37(4)11(4)(4)f x x x x x =-+-+-+-+-.5.12121(1)[1(1)(1)(1)](1)[1(1)]n n n n x x x x x x θ++++=-+++++⋅⋅⋅+++--++ (01)θ<<.6.23412sin ()tan 3cos ()x x x x x θθ+=+(01)θ<<.7.在x e 的麦克劳林公式中取1x =得111111!2!3!!(1)!e e n n θ=++++⋅⋅⋅+++ (01)θ<< 于是111111!2!3!!e n ≈++++⋅⋅⋅+； 3(1)!(1)!n e R n n <<++，取7n =时， 2.7183e ≈，误差30.00018!n R <<. 8.（1）o sin100.17365≈ 5310R -<；（2 3.10724≈ 53 1.8810R -<⨯. 习题3.41.（1）在(,1]-∞-内，y 单调减少，在[1,)-+∞内，y 单调增加； （2）在(,)-∞+∞内，y 单调增加；（3）在(,1]-∞-，[0,1]内，y 单调减少，在[1,0]-，[1,)+∞内，y 单调增加； （4）在(,0]-∞内，y 单调增加，在[0,)+∞内，y 单调减少；（5）在(,2]-∞-，[0,)+∞内，y 单调增加；在[2,1)--，(1,0]-内，y 单调减少；（6）在1(0,]2内，y 单调减少，在1[,)2+∞内，y 单调增加；（7）在[0,2]π内单调增加；（8）在[0,]n 上单调增加，在[,)n +∞内单调减少.4.（ⅰ）1a e >时没有实根；（ⅱ）10a e <<时有两个实根；（ⅲ）1a e=时只有x e =一个实根.5. 不一定，()sin f x x x =+在(,)-∞+∞内单调，但()f'x 在(,)-∞+∞内不单调.6. 应用拉格朗日中值定理和反证法.习题3.51.（1）极大值07x y==；极小值23x y==；（2）极小值11x y=-=-；极大值11x y==；（3）极大值1232x y==； （4）极小值00x y==；极大值224x ye -==；（5）极小值150x x yy=-===；极大值12x y==（6）极大值23x y==；（7）极大值00x y==；极小值25x y== （8）极小值3274x y ==； （9）极小值00x y==；（10）极大值1ex eye ==；（11）无极值； （12）极小值121ln 22x y==+.3. 2()3a f π==，.4.（1）最小值(1)4y ±=，最大值(2)13y ±=； （2）最大值(4)80y =，最小值(1)5y -=-；（3）最大值3() 1.254y =，最小值(5)5y -=-（4）最小值(0)0y =，最大值11()(1)22y y -==.5.半径:高1:1=.2..9.长为10m ，宽为5m .10. 2.366()m = . 11.当o arctan arctan 0.25142u 'α==≈时可使力F 最小.12.(b 公里. 13.杆长为1.4m .14.ϕ=. 15.最小面积S a b =⋅.习题3.61.（1）在13∞（-，）内是凹的，在1+3∞（，）内是凸的；（2）在∞（-，及0（内是凸的，在0（）及)+∞内是凹的； （3）在1∞-（-，），(1)+∞，内是凸的，在11-（，）内是凹的；（4）在∞（-，0（内是凸的，在（），∞）内是凹的； （5）在2∞-（-，）内是凸的，在2+-∞（，）内是凹的； （6）在∞∞（-，+）内是凹的.2.（1）凹区间为2(0)3-∞∞，，(，+)；凸区间为2(0)3，，拐点为(01),及211()327,； （2）凸区间为(1)-∞，；凹区间为1+∞（，），无拐点；（3）没有拐点，处处是凹的；（4）凸区间为01（，）；凹区间为1+∞（，），拐点为(17)-,.5. 3922a b =-=，.6. 132416a b c d ==-=-=，，，.7. K =.8.（1）水平渐近线0y =； （2）水平渐近线0y =；（3）铅直渐近线0x =；（4）铅直渐近线1x =-；水平渐近线0y =； （5）斜渐近线y x =；（6）铅直渐近线1x =，斜渐近线2y x =+.习题3.71. ds =.2. ds =.3.（1）211ach ；（2）3226(94)t +；（3）2ba ；（4）2；（5）23sin 2a t . 4.（1）cos K x =，sec x ρ=； （2）2K =，12ρ=.5. ln 2)2-处曲率半径有最小值. 7. 约1246（N ），沿曲线运动的物体所受的向心力2mv F ρ=，这里m 为物体的质量，v 为它的速度，ρ为运动轨迹的曲率半径.总习题三1. 先证明在(,)a b 内至少有一点c ，使得()0f c =，然后分别在[,][,]a c c b , 上应用罗尔定理即得证.2. 由罗尔定理即得证.3. 设()()F x xf x =，则(0)()0F F a ==. 应用罗尔定理即可.4. 设()()[()()]x b x f x f a ϕ=--，由()()0a b ϕϕ==，用罗尔定理即可得证.5. 设0()x x a b ∈，，，在0[]x x ，上应用拉格朗日中值定理.6. 由()f x 在(0,)a 内取得最大值有()0f'c =，(0)c a ∈，，在[0,][,]c c a , 上应用拉格朗日公式.7. 先用罗必塔法则，然后应用导数定义. 8.（1）0；（2）13；（3）3；（4）1；（5）12；（6）12n a a a ⋅⋅⋅.9.12212(1)2ln ln 2()()()2222n nn x x x x R x n -----=+-+⋅⋅⋅++111(1)22()()()12n n n n x R x n ξ-++--=+ （ξ在2与x 之间）.10. 利用拉格朗日中值定理. 11. 利用介值定理和泰勒公式. 12.（1）设tan ()xf x x=，用单调性证； （2）令111()(1)()(0)122p p p F x x x F F -=+-==，，，只须证()F x 在[01]，上的最小值为112p -，而最大值为1即可；（3）令312(1)x p x px =-+，则132x x x <<用拉格朗日中值定理即得证； （4）利用单调性. 13. 3个根.14.（1）无极值；（2）最大值121()2f e e-=-. 15. 最大值45，最小值1-.16. 等边三角形.18. (1)2π，处，曲率半径有最小值1.习题4.11．（1）252y x c =+；2552y x =+． 2．（1）42524x x x c -++；（2）3223x c --+；（3）ln 3arcsin +x x c -；（4）31123x x c x-++；（5）53222212523u u u u c +--+； （6）322ln 3x x e x c ---++；（7）tan sec x x c -+； （8）2cos ln 2xx c -+；（9）1arctan x c x-+；（10）cot x x c --+；（11）4cot x c -+；（12）1(cot tan )4c θθ-++.习题4.21．（1）41(32)8x c --+；（2）322(25)15x --；（3）arcsin 2xc +；（4）1cos(12)2x c -++；（5）1ln 522x c --+；（6）()21ln 12x c ++；（7）ln(1cos )x c -++；（8）21ln(1)2x e c ++；（9）1ln 12ln 2x c ++；（10）23e c +；（11）3221(1)3x c --+；（12）c ；（13）c ；（14）1cos c x +；（15）21(arcsin )2x c +；（16）212x e c --+；（17）21arctan 2x c +；（18）4ln 4x x c -++；（19）1)2x c +； （20）121ln 723x c x ++-；（21）233(sin cos )2x x c -+；（22）21tan ln cos 2x x c ++；（23）52cos 5x c -+；（24）11sin 2sin8416x x c ++；（25）1sin 2()24t at b c a+++； （26）cot csc x x c -++；（27）1ln(2)22t t e c -++； （28）12arcsin 23x c .2．（1）c +；（2c ；（3）1ln 2x c ； （4）32221arctan 22()x xc a aa x a +++；（5c +；（6）arcsin x c ；（7）提示：利用倒数代换3222231().3a x x c t a x -=-+；（8）提示：先令sin x t =，原积分=cos sin cos tdt t t+⎰1(cos sin )(sin cos )2sin cos t t t t dt t t-++=+⎰=11arcsin ln 22x x c +.3.（1）32221()3a x c ++；（2c .习题4.31.（1）arccos x x c ；（2）(1)x e x c --++；（3）ln 2x x x c -+；（4）11(sin 2cos 2)22x x x c ++；（5）21tan ln cos 2x x x x c +-+；（6）22111(1)ln(1)242x x x x c ----+；（7）22113(3)22t t t e c -++；（8）32sin cos sin 62x x x x x x c ++-+；（9）21arctan 2ln(14)4x x x c +++；（10）2(ln )2ln 2x x x x x c -++；（11）21(5cos52sin5)29xe x x c --++；（12）321(ln 3ln 6ln 6)x x x c x -++++；（13）1(sin cos )2x e x x c --+；（14）21)c +；（15）[sin(ln )cos(ln )]2xx x c -+；（16）2(arcsin )2x x x x c +-+；（17）2421(1)2x e x x c --+++；（18）提示：换元积分法与分部积分法综合运用. t ，再用分部积分法；或先用分部积分法，再用换元法.2c .2.211ln(22a x c +. 习题4.41.（1）2ln 12x x x c -+++；（2）15ln 27ln 1x x c ---+；（3）2311ln(25)arctan 222x x x c --+++；（4）212(arctan )424x x c x -++；（5）提示：令4x t =. 4481arctan()88(1)x x c x +++； （6）221(1)ln 61x c x x +-+；（7）2211ln(1)ln 121x x x c x -+-++++；（8）提示：令32x t -=.7891114[(32)(32)(32)]27729x x x c -----+-+-+.2.（1）3tan12ln 33tan 2xc x ++-；（2）ln 1tan 2x c ++；（32tan 1x c +； （4）1ln sin cos 22x x x c +++；（5）)x x c +；（6）111cos ln cos 21cos xc x x +-+-；（7）tan sec x x x c -++；（8）532224(32)(32)4527x x c +-++； （9）c ；（10）3ln 1c ； （11）c ；（12）ln 12x c ++.习题4.5（1）1(34ln 34)9x x c -++；（2）31(ln 21)421x c x ++++；（3）1arctan x c x--+； （4）322(4)2arcsin 42x x x c --+；（53ln 2x c ； （6c ；（7）cos ln(1sin )1sin x x x c x -++++； （82tan 32tan 322x xc +++；（9）41(ln )44x x c -+；（10）21(2sin 44cos4)20x e x x c --+；（11）1)c +；（12）)x x c +；（13）12c ；（14）2(1)arcsin 22x x c -.总习题四1. ln 23y x =+.2.（1）26cos v t t =+；（2）32sin 3S t t =+-.3.（1）c ；（2）21ln ln(1)2x x c -++；（3）21tan 2x c +；（4）tan sec x x c ++；（5）3223x c +；（6）ln 2ln x c ++；（7）ln 1x c +；（8）11ln 21x x e c e -++；（9）43c ；（10）c +；（11）arctan(sin )x c +；（12）c -；（13）ln (ln ln 1)x x c -+；（14）a c ；（15）(2xx c -+；（16）ln 1x e x c --+； （17）arcsin()x e c +；（18）ln x x c ；（19）arctan xc x -+； （20）211(1)2u e c --++；（21）c +；（22）221(1)2x x e c -+； （23）12211()(1222x x x c ---；（24）21ln tan csc 2x x c -+；（25）(x c +；（26）1)t c -+；（27）44x c +； （28）tan x x c -+；（29）c ；（30）1arctan 2t c +；（31）2111ln 4824x c x x x -++++；（32）(cos 22sin 2)/5xe x x c ++；（33）csc cot 22x x c -+；（34）ln sin cot x x x c -+；（35）2111sin 2cos2448x x x x c +++； （36）8910111131(1)(1)(1)(1)831011x x x x c -----------+；（37）611ln ln(4)424x x c -++；（38）tan2x x c +；（39）2212)arctan (6)9x x x x c +-++； （40）提示：解法1由于1sin 2sin cos 2sin cos )4x x xx xx π⋅=++原式2cos(2)12sin ()24sin()sin()44x x dx dx x x ππππ+-+-=++csc()cot())444x x x c πππ=+-+++；解法2由于2sin cos 1(sin cos )1sin cos 2sin cos x x x x x x x x⋅+-=++ 原式11(sin cos )2sin cos x x dx x x=+-+⎰()14(sin cos )2sin()4d x x x x ππ+=-+1(sin cos )tan()228x x x c π=-++. 4.1arccos ac a x+. 习题5.11. 12.2.（1）122nn i lim n i→∞=+∑；（2）23231331(7)nn i i i i lim n n n n →∞=---∑.6.13. 7.（1）3-≤2321(23)x x dx -- ⎰≤0； （2）0≤420.5(2)x x dx 1.5--+ ⎰≤2；（3）8≤222.53441x x dx x x 0.5-++ ++⎰≤12.8.（1）2x dx 1 0⎰较大；（2）22x dx 3 1⎰较大；（3）2dx 0⎰较大；（4）x e dx 21⎰较大.习题5.21. 12e -.2.（1（2）222[()]()xf g x g'x .3.41ln t t-.4. y .5. 极小值74-.6.（1）1；（2）0.7.（1）142-；（2）2；（31；（4）13；（5）12；（6）42ln2-；（7）4；（8）211. 8.ln 26π+.9. 0a =，连续.10.31(232)016()1(32)16x x x f x x x ⎧-+ ⎪⎪=⎨⎪- >⎪⎩≤≤ .习题5.31.（1（2）43；（3；（4）1cos1-；（5）arctan()4e π-；（6）42ln 3-；（7）584(31)5-；（8）132ln 417；（9）2315；（10）654；（11）7cos1cos5++；（12）2；（13）336e -；（14）1；（15）11ln 222-；（16）4916；（17）311()232ππ+；（18）21ln 24322ππ--；（19）8ln 24-； （20）0；（21）1(sin1cos11)2e e +-；（22）提示：设sin .x t = 2421115323111422m m m m m I m m m m m π-⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪+-=⎨-⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪+-⎩偶数奇数. 2.（1）23；（2）0；（3）16；（4）ln 2. 4. 提示：（1）利用奇偶性；（2）定积分对积分区间的可加性.6. 4111tan 222e -+-.9. 0.习题5.41.（1）收敛22aa b +； （2）收敛 2； （3）收敛 π；（4）收敛 2； （5）发散；（6）发散； （7）2π-； （8）收敛 1-；（9）收敛 2； （10）发散. 3. 2x =为瑕点，收敛.4. 提示：令2sin x t =，利用公式20sin n tdt π⎰.习题5.51.（1）323；（2）1；（3）2e e -；（4）25(2)4a π-;（5）312π；（6）26a π；（7）238a π.2. a =.3. 23r h π.4.. 5. 0a b A ==，.7.81)27. 8. 8.9.1(28π-.10. 23((,)32a a π. 11. 800ln 2π焦耳. 12. 2214r h ρπ. 13.318rd π. 14. 21[(2)]26a b ch h a b r +++. 15.，方向由质点指向细棒中点.总习题五1.（1）发散； （2）12π-； （3）发散； （4）0； （5）4π； （6）.2. 3.yye x-. 4. 161412e --.5.（1）343；（2）1(43-；（3）34π；（4）8.7. 1). 9.22R h π.10. π.1. 14.213ah γ.15.引力大小为2G ma πρ,方向由质点指向圆环的中心.习题6.11.（1）(2,3,1)-； （2）(2,3,1)-； （3）(2,3,1)-； （4）(2,3,1)--（5）(2,3,1)--；（6）(2,3,1)--； （7）(2,3,1)---.2. 5 . 5. 0,1,2（-）.6.（1）a b ⊥；（2）a 与b 同向；（3）a 与b 同向；（4）a 与b 反向，且b ≤a .8. 1111()()()()2222MA a b MB a b MC a b MD b a =-+=-=+=- ；；；.习题6.21. 模:2；方向角:23343πππ；；；与AB反向的单位向量为1122⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭.2. 0a =或⎧⎨⎩. 3.（1）{}3,8,5；（2）{}8,0,23-；（3）{}32,52,3m n m n n m ++-. 4. (2,3,0)A -.5.（1）垂直于x 轴，平行于yoz 面； （2）指向与y 轴正向一致，垂直于xoz 面； （3）平行于x 轴，垂直于xoy 面.6.;3π;4π;3π01122a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭.7. R αβγ=1.（1）13；（2）61-.2.（1）22；（2）200-；（3）3. 1122i j k +-.4. 43()55j k ±-. 5. 16. 6. 30.7. 8.4π. 9. 提示：a b ⋅≤a b . 10.提示：利用混合积.11.提示：此四面体体积是相应六面体体积的1563⋅.习题6.41.（1）平行于z 轴；（2）垂直于x 轴；（3）通过x 轴；（4）通过原点；（5）yoz 面；（6）过z 轴.2. 281x y z -+=.3. 230x y ++=.4. 20y z +=.5. 5122y z x ++=. 6. 2y =.7. 340x y z +--=. 8. 320x y z -+=. 9. 1.10.(0,7,0);(0,5,0)-.1.123310x y z ---==--. 2.（1）238325x y z -+-==-；（2）238x y z -=+=-. 3. 23,62,1x t y t z t =--=--=+.4.325431x y z +--==---. 5. (1,1,1).6. ϕ=.7.（1）平行；（2）垂直；（3）直线在平面上.8. 20x z --=.9. 提示：过已知直线作一平面与已知平面垂直，该平面与已知平面的交线即为所求. 31020x y z x y z -+-=⎧⎨+-=⎩. 10.提示：过已知点作平面与该直线垂直，平面与直线的交点即为所求. (5,2,4)-.11. 提示：过点P 作平面II 垂直于已知直线，并求它们的交点Q ，则P ，Q 间的距离等于P 到直线的距离d =7.12.提示：参照例题6.26. 202160y z x y +-=⎧⎨++=⎩.习题6.61.222(1)(3)(2)14x y z -+-++=.2.2222y z k x +=；2222()y k x y =+.6.（1）22340x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩；（2）222280x x y z ⎧-+=⎨=⎩. 7. 22x y +≤ax ；22x z +≤2,a x ≥0,z ≥0.8. 22x y +≤4；2x ≤z ≤4；2y ≤z ≤4. 9.（1）3sinx t y t z t == ， ， （0≤t ≤2π）；（2）10x y z θθ== ， ， （0≤θ≤2π）.总习题六1.(0,2,0). 4.5.3)-.6.15W =.7.4z =-；4min πθ=.8.{}2,1,7；S ∆=. 9.（1）103λ>-；（2）103λ<-；（3）103λ=-；（4）6λ=. 10.30.11.5c a b =+. 12.58240x y z -+-=.14.330330x z x z +-= +-=或. 15.14161928x y z +-==. 16.（1）7；（2）2310020x y x z --=⎧⎨+=⎩. 19.220,(1)z x y =-+≤1；0,y =x ≤z ；220,(1)2zx y =-+≤1,z ≥0.。
高等数学第一章课后习题答案(带解析)
第一章函数与极限第一节映射与函数一、填空题1.函数ln(2)y x =+的定义域为[1,)(2,1]+∞-- .2.设函数2(1)f x x x +=+，则=)(x f x x -2.3.设函数()f x 的定义域为[0,1]，则(e )xf 的定义域为(,0]-∞.4.已知()sin f x x =,[]2()1f x x ϕ=-,则()x ϕ=2arcsin(1)x -,其定义域为5.设2,0,()e ,0,x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩()ln x x ϕ=，则复合函数[]()f x ϕ=2ln ,1,01x x x x ⎧-≥⎨<<⎩.6.设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]()f f x =1.7.函数(10)y x =-≤<二、单项选择题1.函数lnarcsin 23x xy x =+-的定义域为C .A．(,3)(3,2)-∞-- B.(0,3)C.[3,0)(2,3]- D.(,)-∞+∞2.设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >，则()f x 的定义域为B.A.[1,1]a +B.[1,1]a -- C.[1,1]a a -+ D.[1,1]a a -+3.函数11x y x -=+的反函数是D .A.11x y x -=+ B.11xy x-=+ C.11x y x +=- D.11x y x+=-4.设()f x 为奇函数，()x ϕ为偶函数，且[()]f x ϕ有意义，则[()]f x ϕ为B.A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不正确三、解答题1.判断函数(ln y x =+的奇偶性，并求其反函数.解：因为()ln(ln(()f x x x f x -=-==-=-，所以()f x 是奇函数.由e yx =，e yx --=，得e e 2y y x --=，所以反函数为e e 2x xy --=2.设)(x f 满足c b a xcx bf x af ,,()1()(=-+均为常数，且)b a ≠,求)(x f .解：x cx bf x af =-+)1()()1(令t x =-1,则t x -=1,故t c t bf t af -=+-1)()1(.xcx bf x af -=+-∴1)()1(.(2)联立(1),(2)得到1(1)(22xbcx ac b a x f ---=.四、证明2()1xf x x =+在其定义域内有界.证明：,x R ∀∈取12M =,使得21()122x x f x M x x =≤==+，所以()f x 在其定义域R 内有界.第二节数列的极限一、单项选择题1.数列极限lim n n y A →∞=的几何意义是D .A．在点A 的某一邻域内部含有{}n y 中的无穷多个点B.在点A 的某一邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点C.在点A 的任何一个邻域外部含有{}n y 中的无穷多个点D.在点A 的任何一个邻域外部至多含有{}n y 中的有限多个点nn n 632-∞→A.65-B.31 C.35 D.13.数列有界是数列收敛的C条件.A.充分B.充要C.必要D.两者没有关系二、利用数列极限的定义证明:1cos lim0n nn→∞+=.证明：对0ε∀>，要使1cos 1cos 20n n n n nε++-=≤<，只需2n ε>.0ε∀>,取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，就有1cos 0n n ε+-<成立，所以1cos lim0n nn→∞+=.第三节函数的极限一、单项选择题1.=+→x x x 1lim2A.A.32 B.1C.21 D.2.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则C.A.()f x 在点0x 的函数值必存在且等于该点极限值B.()f x 在点0x 的函数值必存在,但不一定等于该点极限值C.()f x 在点0x 的函数值可以不存在D.若()f x 在点0x 的函数值存在，必等于该点极限值∞→32x x A.1B.21 C.0D.不存在4.极限0limx x x→=D .A.1B.1- C.0D.不存在二、利用函数极限的定义证明:236lim 53x x x x →--=-.证明：0ε∀>，要使26533x x x x ε---=-<-，只需取δε=，则当03x δ<-<时，就有26533x x x x ε---=-<-成立,所以236lim 53x x x x →--=-.第四节无穷小与无穷大一、单项选择题1.下列命题正确的是C.A.无穷小量的倒数是无穷大量B.无穷小量是绝对值很小很小的数C.无穷小量是以零为极限的变量D.无界变量一定是无穷大量2.下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是C.A.1sin(0)x x→ B.1e (0)xx →C.2ln(1)(0)x x +→ D.21(1)1x x x -→-3.下列命题正确的是D.A.两个无穷小的商仍然是无穷小B.两个无穷大的商仍然是无穷大C.112--x x 是1→x 时的无穷小D.1-x 是1→x 时的无穷小4.(附加题)设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则下列命题正确的是B.A.若{}n x 发散，则{}n y 发散B.若1n x ⎧⎫⎨⎩⎭为无穷小，则{}n y 必为无穷小C.若{}n x 无界，则{}n y 必有界 D.若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小提示：已知n n x y 为无穷小，当1n x 为无穷小时，必有1()n n n ny x y x =⋅为无穷小；否A，例n x n =发散，21n y n=收敛；否C，例1(1),1(1)n n n n x n y n ⎡⎤⎡⎤=+-⋅=--⋅⎣⎦⎣⎦均无界；否D，例21n x n=有界，n y n =非无穷小.第五节极限运算法则一、填空题1.21lim2x x x x →+=++12. 2.121lim1x x x →+=-∞.3.22121lim1x x x x →-+=-0.4.212lim3n n n →∞+++=+ 12.5.若232lim43x x x kx →-+=-，则常数k =3-.提示：由已知，得23lim(2)0x x x k →-+=，3k ∴=-.6.设213lim 112x a x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭，则常数a =2.提示：由已知，222113lim ,lim()012x x a x x a x x x →→--=∴--=-，从而2a =.7.e 1lim e 1n nn →∞-=+1.提示：11e 1e lim lim 11e 11en n n n n n→∞→∞--==++8.=-+++∞→)2324(lim 2x x x x 21.9.11021lim 21xx x-→-=+-1，1121lim 21xx x+→-=+1，所以11021lim21xx x →-+不存在.提示：11lim 20,lim 2x xx x -+→→==+∞10.已知21sin ,0()1,0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=>⎪⎩,则0lim ()x f x →=0.二、计算题1.220()lim h x h x h→+-解：1.2222220000()22limlim lim lim(2)2h h h h x h x x xh h x xh h x h x h h h →→→→+-++-+===+=.2.231lim (2sin )x x x x x→∞-++解：因为2332111lim lim 011x x x x x x x x→∞→∞--==++，而2sin x +为有界函数，所以根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，知231lim (2sin )0x x x x x→∞-+=+.3.322232lim 6x x x x x x →-++--解：32222232(1)(2)(1)2lim lim lim 6(3)(2)35x x x x x x x x x x x x x x x x →-→-→-+++++===----+-.4.21lim1x x →-解：211lim1x x x →→=-1x →=14x →=.5.lim x →+∞解：lim x →+∞=limxlimlimx x ==1=-.6.求)1111(lim 31xx x ---→.解：原式32112lim x x x x --+=→)1)(1()2)(1(lim21x x x x x x ++-+-=→112lim21-=+++-=→x x x x .第六节极限存在准则两个重要极限一、填空题1.0sin lim x x x →=1；sin lim x xx→∞=0.提示：0sin lim1x x x →=；sin 1lim lim sin 0x x x x x x →∞→∞=⋅=.2.0sin limsin x x x x x →-=+0；sin lim sin x x xx x→∞-=+1.提示：00sin 1sin lim lim 0sin sin 1x x x x x x x x x x →→--==++；11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x xx→∞→∞-⋅-==++⋅.3.1lim 1kxx x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭e k-（k 为正整数）.提示：.()11lim 1lim 1e kxx k k x x x x ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4.10lim 12xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭12e-.提示：11221200lim 1lim 1e22xxx x x x ---→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.二、计算题1.30tan sin limx x xx →-解：3200tan sin sin 1cos lim lim cos x x x x x x x x x x →→--=⋅2220002sin sinsin 1122lim lim lim 222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭. 2.011limsin x x→解：000011limlim lim lim sin sin sin 2x x x x x x x x x →→→→-=⋅.3.0x →解：原式2220002sin 1sin cos 1cos 2lim 6lim 6lim 311cos sin 32x x x x x x x x x x x x x →→→---====-⋅.4.lim n →∞⎛⎫+解：<++<，又1,1n n n n ====，所以根据夹逼准则知，lim 1n →∞⎛⎫+++=⎪⎭.第七节无穷小的比较一、填空题1.当0x →时，sin 3x 是2x 的低阶无穷小；2sin x x +是x 的等价（或同阶）无穷小；1cos sin x x -+是2x 的低阶无穷小；cos 1x -是2arcsin x 的同阶无穷小；1(1)1nx +-是x n的等价（或同阶）无穷小；32x x -是22x x -的高阶无穷小.提示：222000sin 32sin 1cos sin lim,lim 2,lim,x x x xx x x xx xx →→→+-+=∞==∞13222000cos 11(1)1lim ,lim 1,lim 0arcsin 22nx x x x x x x x x x x n→→→-+--=-==-.2.已知0x →时，()12311ax+-与cos 1x -为等价无穷小，则常数a =32-.提示：12230021(1)1233lim lim 1,1cos 1322x x axax a a x x →→+-==-==---.二、计算题1．21tan 1limx x x →-解：2000tan 1tan 1122lim lim lim 2x x x x xx x x x →→→--===--.2.2220(sec 1)lim3sin x x x x →-解：22222222240002(sec 1)(1cos )1lim lim lim3sin 3cos 312x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪--⎝⎭===⋅⋅.3.0tan 2tan lim3sin sin 2x x x x x→--解：000sin 2sin sin tan 2tan cos 2cos cos 2cos lim lim lim 13sin sin 23sin sin 2sin (32cos )x x x x x xx xx x x x x x x x x x →→→--⋅===---.4.20sin cos 1limsin 3x x x x x →+--解：200sin cos 11limlim sin 333x x x x x x x x →→+-==-.第八节函数的连续性与间断点一、填空题1.设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续，则常数,a b 应满足的关系为a b =.提示：()2(0)lim (0)x f a bxa f --→=+==，0sin (0)lim x bxf b x-+→==.2.设0()1,0ln(1),0x f x x bx x x <=-=⎨⎪+⎪->⎪⎩在0x =处连续，则常数a =22，b =1.提示：0(0)lim lim lim x x x axf x ----→→→===，(0)1f =-，00ln(1)(0)lim lim x x bx bxf b x x--+→→+=-=-=-.3.()sin xf x x=的可去间断点为0x =；221()32x f x x x -=-+的无穷间断点为2x =.4.若函数e ()(1)x af x x x -=-有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，则常数a =e .提示：由已知，1e lim (1)x x a x x →--存在，所以1lim(e )0xx a →-=，从而e a =.二、单项选择题1.0x =是1()sin f x x x=的A .A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点提示：01lim ()lim sin0x x f x x x→→==2.函数21,0(),012,12x x f x x x x x ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩D.A.在0,1x x ==处都间断B.在0,1x x ==处都连续C.在0x =处连续，1x =处间断D.在0x =处间断，1x =处连续提示：(0)1,(0)0(0)f f f -+=-==；(1)(1)1,(1)1f f f -+===.3.设函数42,0(),0x f x xk x ≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k =B .A.4B.14C.2D.12提示：021lim ()limlim ,(0)4x x x f x f k x →→→===.4.函数111122,0()221,0x x x x x f x x --⎧-⎪≠⎪=⎨+⎪=⎪⎩在0x =处B .A.左连续B.右连续C.左右均不连续D.连续提示：110lim 20,lim 2xxx x -+→→==+∞，从而(0)1(0),(0)1(0)f f f f -+=-≠==.三、讨论函数11e ,0()ln(1),10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩在0x =处的连续性.解：111(0)lim ln(1)0(0),(0)lim ee x x xf x f f -+-+--→→=+====，所以()f x 在0x =处不连续，且0x =是第一类跳跃型间断点.四、若2,0()0e (sin cos ),x x a xf x x x x +≤⎧=⎨>+⎩在-∞(，)∞+内连续，求a .解：由于)(x f 在0=x 处连续,所以)0()0()0(f f f ==-+.(0)lim ()lim e (sin cos )1x x x f f x x x +++→→==+=,a a x x f f x x =+==--→→-)2(lim )(lim )0(0,a f =)0(.故1=a .五、设()f x 在(,)-∞+∞内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩.试讨论()g x 在0x =处的连续性.解：()0011lim ()lim lim 令x x t t x g x f f t a x →→→∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭，(0)0g =，所以当0a =时，()g x 在0x =处连续，当0a ≠时，()g x 在0x =处间断.第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、填空题1.设,0()1,0a x x f x x x +≤⎧=>⎩在(,)-∞+∞内连续，则常数a =12.2.设22,1()1,1x bx x f x x a x ⎧++≠⎪=-⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处连续，则常数a =1，b =-3.提示：由题意知，1lim ()(1)x f x f a →==，则212lim1x x bx a x→++=-21lim(2)0x x bx →∴++=，则3b =-，进而1a =.3.211lim cos1x x x →-=-cos 2. 4.()2cot 2lim 1tan xx x→+=e .5.21lim 1xx x x →∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭4e-.提示：41122412lim lim 1e 11xx x xx x x x x -++--→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-= ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦.6.已知lim 82xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则常数a =ln 2.提示：332233lim lim 1e 822x a x x axx a x aax a a x a x a →∞→∞--⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+== ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3ln 8,ln 2a a ==.7.203sin (1)cos lim (1cos )x x x x x →++=+12.8.0x →=12.提示：原式limx→=0x →=22012limsin 222x x x x x →⋅==⋅.9．函数21()23f x x x =--的连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞．二、单项选择题1.当1→x 时,函数1211e 1x x x ---的极限等于D .A.2B.0C.∞D.不存在但不为∞2.设()f x 在2x =连续，(2)3f =，则2214lim ()24x f x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭D .A.0B.2C.3D.34提示：22222142113lim ()lim ()lim ()(2)244244x x x x f x f x f x f x x x x →→→-⎛⎫-====⎪---+⎝⎭.三、讨论11()1exxf x -=-的连续性，若有间断点，指出其类型.解：()f x 为初等函数，故在其定义区间(,0),(0,1),(1,)-∞+∞内均连续，在其无定义点0,1x x ==间断.据011lim ()lim1ex x x xf x →→-==∞-，知0x =为第二类无穷间断点；据11111111lim ()lim 0,lim ()lim 11e1exx x x x x xxf x f x --++→→→→--====--，知1x =为第一类跳跃间断点.第十节闭区间上连续函数的性质一、单项选择题1.方程sin 2x x +=有实根的区间为A.A.π,32⎛⎫⎪⎝⎭B.π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭提示：令()sin 2f x x x =+-，分别在各个对应的闭区间上验证零点定理是否成立即可.2.方程(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)x x x x x x x x x ---+---+---(2)(3)(4)0x x x +---=有D 个实根.A.0B.1C.2D.3提示：令()(1)(2)(3)(1)(2)(4)(1)(3)(4)f x x x x x x x x x x =---+---+---(2)(3)(4)x x x +---，又(1)0,(2)0,(3)0,(4)0f f f f <><>，则由零点定理知，方程在(1,2),(2,3),(3,4)分别至少存在一个根；又()f x 是三次多项式，则方程至多有三个根，综上可知方程恰好有三个根.二、证明题1.证明方程e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.证明：令()e 2xf x x =--，则()f x 在[0,2]上连续，且2(0)10,(2)e 40f f =-<=->，根据零点定理，至少存在一点(0,2)ξ∈，使()0f ξ=，所以方程()0f x =，即e 2xx -=在区间(0,2)内至少有一实根.2.设()f x 在[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>.证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明：令()()F x f x x =-，则()F x 在[,]a b 上连续，且()()0F a f a a =-<，()()0F b f b b =->，根据零点定理，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0F ξ=，即()f ξξ=.3.附加题设()f x 在[,)a +∞上连续，lim ()0x f x →+∞=.证明()f x 在[,)a +∞上有界.证明：由lim ()0x f x →+∞=，对10,X a ε=>∃>，当x X >时，有()()01f x f x ε=-<=，即()f x 在(,)X +∞上有界；又()f x 在[,]a X 上连续，故()f x 在[,]a X 上有界，所以存在10,M >使[]1(),,f x M x a X ≤∀∈，取{}1max 1,M M =，则对[],x a ∀∈+∞()f x M <，即()f x 在[,)a +∞上有界.第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.()03limsin tan ln 12x x x x →=-+14-.提示：()20003331lim lim lim 4sin tan tan (cos 1)222ln 12x x x xx x x x x x x x →→→-⋅===---+.2.2131lim2x x x →-=+-26-.提示：21lim26x x x x →→==-+-.3.已知212lim31x x ax bx →-++=+，其中b a ,为常数，则a =7，b =5.4.若()2sin 2e 1,0,0ax x x f x xa x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在()+∞∞-,上连续，则a =-2.提示：由题意知，20sin 2e 1lim ax x x x →+-20sin 2e 1lim 22ax x x a a x x →⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，从而2a =-.5.曲线21()43x f x x x -=-+的水平渐近线是0y =，铅直渐近线是3x =.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的C.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,0x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦D .A.22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩ B.22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩ C.22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩ D.22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩3.下列各式中正确的是D.A．01lim 1exx x +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.1lim 1e xx x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.11lim 1e xx x --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4.设0→x 时，tan e 1x-与n x 是等价无穷小，则正整数n =A.A.1B.2C.3D.4提示：由题意知，当0→x 时，tan e 1tan xx x - 从而n 取1.5.曲线221e 1ex x y --+=-D .A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是C.A.1sin ,(0,1]x x x ∈ B.1sin ,(0,)x x x∈+∞C.11sin ,(0,1]x x x∈ D.1sin ,(0,)x x x∈+∞三、计算题（每小题7分，共49分）1.2x →解：2222(1)(2)(413)(1)(413)9limlim 4(2)42x x x x x x x →→→+-+===-.2.()21ln(1)lim cos x x x +→解：()()2211ln(1)ln(1)0limcos lim 1cos 1x x x x x x ++→→=+-222001cos 112limlim ln(1)2eeex x x x x x →→---+===.3.()1lim123nnnn →∞++解：()1312333,31233n n n nnnn<++<⋅∴<++<⋅Q1n =，()1lim 1233nnnn →∞∴++=.4．21sinlimx x x解：2111sinsin sinlim lim limlim 112x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅⋅.5.设函数()()1,0≠>=a a a x f x ，求()()()21lim ln 12n f f f n n →∞⎡⎤⎣⎦ .解：()()()()()()22ln 1ln 2ln 1limln 12lim n n f f f n f f f n n n →∞→∞+++=⎡⎤⎣⎦L L ()()222ln 12ln ln limlim22n n n n a n aan n →∞→∞++++===L .6.1402e sin lim 1e xx x x x →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002e sin 2e sin 2lim lim 1111e 1e x x x x x x x x x x --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ +=-=-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，11114444000e 2e 12e sin 2e sin sin lim lim lim 1e 1e e e 1x x x xx x x x x x x x x x x x x +++-→→→-⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭301lim 1e xx +-→=+=，所以，原式1=.7.已知(lim 1x x →-∞=，求,.a b解：左边22(1)lim limlim x x x x a x b x →-∞→-∞⎡⎤--+⎢==，右边1=，故[]lim (1)1x a x b →-∞--=+，则1,2a b ==-．四、讨论函数,0()(0,0,1,1)0,0x xa b x f x a b a b x x ⎧-≠⎪=>>≠≠⎨⎪=⎩在0x =处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题8分）解：当a b =时，()0f x ≡，此时()f x 在0x =处连续；当a b ≠时，000011lim ()lim lim lim ln (0)0x x x x x x x x a b a b af x f x x x b→→→→---==-=≠=，故()f x 在0x =处不连续，所以0x =为()f x 得第一类（可去）间断点．五、附加题设()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)f f =.证明：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得1()2f f ξξ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（本题7分）证明：设1()()2F x f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，显然()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，而1(0)(0)2F f f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()11110222F f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，211(0)(0)022F F f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--≤ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若1(0)02F F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即(0)0F =或102F ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，此时取0ξ=或12ξ=即可；若1(0)02F F ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，由零点定理知：一定存在一点10,2ξ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使()0Fξ=，即1()2f fξξ⎛⎫=+⎪⎝⎭．。
李伟版高等数学第二章习题答案(天津科技大学)
习题2—1（A ）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限；（2）求分段函数(),,()(),x x a f x x x a ϕφ<⎧=⎨≥⎩在分界点x a =处的导数时，一般利用左、右导数的定义分别求该点处的左、右导数．如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；（3） )(x f y =在0x 点可导的充分必要条件是)(x f y =在0x 点的左、右导数都存在； （4）函数)(x f y =在0x 点连续是它在0x 点可导的充分必要条件. 答：（1）正确．根据导数的定义．（2）正确．一般情况下是这样，但是若已知)(x f '连续时，也可以用)()(00--'='x f x f （即导函数的左极限），)()(00++'='x f x f （即导函数的右极限）求左右导数．（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．（4）不正确．)(x f 在0x 点连续仅是)(x f 在0x 可导的必要条件，而不是充分条件，如x y x y ==、3都在0=x 点连续，但是它们在0=x 点都不可导．2．设函数2x x y +=，用导数定义求它在1-=x 点处的导数.解：1lim 1lim)1(121-==+-+=-'-→-→x x x x y x x ．3．设函数y =10=x 点处的导数． 解：2111lim 11lim)1(11=+=--='→→x x x y x x ． 4．用定义求函数x y ln =在任意一点x (0>x )处的导数．解：xx x x x x x y x x x x x x 1e ln ])1ln[(lim ln )ln(lim1100==∆+=∆-∆+='∆→∆→∆． 5． 对函数x x x f 2)(2-=，分别求出满足下列条件的点0x ： （1）0)(0='x f ； （2）2)(0-='x f ．解：22)22(lim )2()](2)[(lim)(0220-=+-=--+-+='→→x h x hx x h x h x x f h h ， （1）由0)(0='x f ，有0220=-x ，得10=x ； （2）由2)(0-='x f ，有2220-=-x ，得00=x ． 6．已知某物体的运动规律为221gt s =，求时刻t 时物体的运动速度)(t v ，及加速度)(t a ． 解：速度为gt hgt h gt h t g t s t v h h =+=-+='=→→)2(lim 2/2/)(lim)()(0220， 加速度为g g hgth t g t v t a h h ==-+='=→→00lim )(lim)()(． 7．求曲线x y ln =在点)01(，处的切线方程与法线方程． 解：切线斜率11)1(1=='==x xy k ，切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即01=--y x ； 法线方程为：)1(110--=-x y ，即01=-+y x ． 8．若函数)(x f 可导，求下列极限：（1）x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000； （2）x x f x )(lim 0→（其中0)0(=f ）；（3）h h x f h x f h )()(lim000--+→； （4）x x f f x )sin 1()1(lim 0--→．解：（1）=∆--∆--=∆-∆-→∆→∆xx f x x f x x f x x f x x )()(lim )()(lim 000000)(0x f '-．（2）=--=→→0)0()(lim )(lim00x f x f x x f x x )0(f '． （3）hh x f h x f h )()(lim000--+→='+'=---+-+=→→)()()()(lim )()(lim00000000x f x f h x f h x f h x f h x f h h )(20x f '． （4）=⨯'=⋅---=--→→1)1(sin sin )1()sin 1(lim )sin 1()1(lim00f xx x f x f x x f f x x )1(f '． 9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性：（1）3x y =，在0=x 点；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x xx x f 在0=x 点； （3）2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点．解：（1）3x y =是初等函数，且在0=x 的邻域内有定义，因此3x y =在0=x 点连续，因为+∞==--→→32031lim 00limxx x x x （极限不存在），所以3x y =在0=x 点不可导． （2）因为21arctan lim 00)/1arctan(lim2020π==--→→xx x x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x xx x f 在0=x 点可导，且2)0(π='f ，从而也连续． （3）因为1)1(1lim )1(1lim )1(211=====+-→+→-f x f x f x x ，，，有)1()(lim 1f x f x =→， 所以，2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点连续，又2)1(lim 11lim )1(111lim )1(1211=+=--='=--='---→→+→-x x x f x x f x x x ，，由)1()1(+-'≠'f f ， 所以，2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点不可导．10．设函数⎩⎨⎧≥<=，，，，1e 1e )(x x x x f x 求(1)f '．解：因为e 1ee lim )1(e 11e lim e 1e e lim )1(1111=--='=--=--='---→+-→→-x x f x x f x x x x x ，，所以=')1(f e ． 11．设函数⎩⎨⎧≥+<=，，，，0120cos )(x x x x x f 求()f x '．解：当0<x 时，x x x f sin )(cos )(-='='，当0>x 时，22lim )12(1)(2lim)12()(00==+-++='+='→→h h hx h x x x f ，当0=x 时，由20112lim )0(001cos lim )0(00_=--+='=--='+→+→-x x f x x f x x ，， 于是函数在0=x 点不可导，所以⎩⎨⎧><-='.020sin )(x x x x f ，，，习题2—1（B ）1．有一非均匀细杆AB 长为20 cm ，M 为AB 上一点，又知AM 的质量与从A 点到点M 的距离平方成正比，当AM 为2 cm 时质量为8 g ，求： (1) AM 为2 cm 时，这段杆的平均线密度； （2）全杆的平均线密度； （3）求点M 处的密度．解：设x AM = cm ，则AM 杆的质量为2)(kx x m = g ，由2=AM 时,8=m ，得2=k ，所以，22)(x x m =，x h x hx h x x m h h 4)24(lim 2)(2lim)(0220=+=-+='→→ g/cm ． （1）AM 为2 cm 时，这段杆的平均线密度为==282)2(m 4 g/cm ． （2）全杆的平均线密度为==2080020)20(m 40 g/cm ． （3）点M 处的密度为=')(x m x 4 g/cm ．2．求b a ，的值，使函数⎩⎨⎧≥+<=00e )(x b ax x x f x ，，， 在0=x 点可导． 解：首先函数)(x f 要在0=x 点连续．而1e lim )0(0==-→-x x f ，b b ax f x =+=+→+)(lim )0(0，b f =)0(， 由)0()0()0(f f f ==+-，得1=b ，此时1)0(=f ．又11e lim )0(0=-='-→-xf x x ，a x ax f x =-+='+→+11lim )0(0，由)0()0(+-'='f f 得1=a ． 所以，当11==b a ，时，函数⎩⎨⎧≥+<=00e )(x b ax x x f x ，，， 在0=x 点可导． 3．讨论函数x y tan =在0=x 点的可导性．解：1tan lim 0tan lim )0(00-=-=-='--→→-x x x x f x x ，1tan lim 0tan lim )0(00==-='++→→+xxx x f x x 因为)0()0(+-'≠'f f ，所以函数x y tan =在0=x 点不可导． 4．若函数)(x f 可导，且)(x f 为偶（奇）函数，证明()f x '为奇（偶）函数． 证明：（1）若)(x f 是偶函数，有)()(x f x f =-， 因为)()()(lim )()(lim)(00x f hx f h x f h x f h x f x f h h '-=----=--+-=-'→→，所以)(x f '是奇函数．（2）若)(x f 是奇函数，有)()(x f x f -=-， 因为)()()(lim )()(lim)(00x f hx f h x f h x f h x f x f h h '=---=--+-=-'→→， 所以)(x f '是偶函数．5．设非零函数)(x f 在区间)(∞+-∞，内有定义，在0=x 点可导，)0()0(≠='a a f ，且对任何实数y x ，，恒有)()()(y f x f y x f =+.证明)()(x af x f ='．证明：由)()()(y f x f y x f =+，令0==y x ，有)0()0(2f f =，而0)(≠x f ，得1)0(=f ．因为hx f h f x f h x f h x f h h )()()(lim )()(lim00-=-+→→)()0()()0()(lim )(1)(lim)(00x af f x f hf h f x f h h f x f h h ='=-=-=→→， 所以函数)(x f 可导，且)()(x af x f ='．6．求曲线xx y 1+=上的水平切线方程． 解：hx x h x h x h x y h x y x y h h )/1()]/(1[lim )()(lim )(00+-+++=-+='→→211])(11[lim xh x x h -=+-+=→，由0)(='x y ，得±=x ，当1=x 时，2=y ，此时水平切线是)1(02-=-x y ，即2=y ； 当1-=x 时，2-=y ，此时水平切线是)1(02-=+x y ，即2-=y ．7．在抛物线21x y -=上求与直线0=-y x 平行的切线方程． 解：对21x y -=，导函数为：x h x hx h x h x y h x y x y h h h 2)2(lim )1(])(1[lim )()(lim )(02200-=+-=--+-=-+='→→→，设切点为)1(2t t -，，则切线斜率为t t y k 2)(-='=，而直线斜率为11=k ， 根据已知，有1k k =，即12=-t ，得2/1-=t ，切点为)4/32/1(，-， 切线方程为：)21(143+⋅=-x y ，即0544=+-y x ． 8．已知曲线2ax y =与曲线x y ln =相切，求公切线方程．解：设切点为),(00y x ，则两曲线在切点处的斜率分别为012ax k =，02/1x k =.由两曲线在0x x =时相切，有⎩⎨⎧==./12ln 00,020x ax x ax 得21ln 0=x ，即e 0=x ，此时，e 21=a ，210=y ，公切线斜率为e1=k ， 公切线方程为)e (e 121-=-x y ，化简得021e1=+-x y . 习题2—2（A ）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）在自变量的增量比较小时，函数的微分可以近似刻画函数的增量，但是二者是不会相等的；（2）函数)(x f y =在一点x 处的微分x x f x f ∆'=)()(d 仅与函数在这点处的导数有关； （3）函数在一点可微与在这点可导是等价的，在一点可微的函数在这点必然连续，但反过来不成立，即在一点连续的函数在这点未必可微．答：（1）前者正确，根据微分的定义y x o y y d )(d ≈∆+=∆；后者不正确，如对线性函数b ax y +=，恒有)(d x a y y ∆==∆．（2）不正确．因为x x f x f x x ∆'==)()(d 00，可见0)(d x x x f =不仅与)(0x f '有关，还与自变量x 在该点的增量x ∆有关．（3）正确．这就是本章定理2.1与定理1.2所述． 2．求下列函数在x 点处的微分y d ：（1）x y ln =； （2）3x y =（0≠x ）； （3）xy 1=（0≠x ）； （4）22x x y +=．解：（1）因为x y 1='，所以xxy d d =． （2）因为3222332033031)()(1lim lim )(xx h x x h x h x h x x y h h ⋅=++++=-+='→→，所以，323d d xx y ⋅=．（3）因为x x h x x x xhx h h x x h x h x x y h h h 211lim 1lim /1/1lim)(0200-=++-=++-=-+='→→→，所以，xx x y 2d d -=．（4）因为)1(2)22(lim )2(])()(2[lim)(0220x h x hx x h x h x x y h h +=++=+-+++='→→， 所以x x y d )1(2d +=．3．求下列函数在0x x =点处的微分0d x x y =：（1） x y cos =，20π=x ； （2）xx y 1+=，10=x ． 解：（1）因为x y sin -='，所以x x x yx x d d sin d 2/2/-=⋅-===ππ．（2）因为211xy -='，所以0d 0d ]11[d 121=⋅=⋅-===x x xy x x ． 4．设函数y =10=x ，1.0=∆x 时函数的微分y d ．解：因为x x h x h x h x y h h 211lim lim00=++=-+='→→， 所以05.02d 1.011.01=∆==∆==∆=x x x x xx y．5．用函数的局部线性化计算下列数值的近似值：（1）0330sin '； （2）05.1； （3）002.1ln ．解：（1）取6/30360/610330sin )(0ππ==='== x x x x f ，，，x x f cos )(='， 由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得 5076.05000.00076.0217203213606cos 0330sin =+≈+=+⋅≈'πππ．（2）取105.1)(0===x x x x f ，，，x x f 2/1)(='，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得025.1105.02105.1=+⨯≈． （3）取)1ln()(x x f +=，当1<<x 时，先证明x x ≈+)1ln(， 事实上，取00=x ，则0)0()(0==f x f 10)1ln(lim)0()(00=--+='='→x x f x f x ，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得x x x =+-⋅≈+0)0(1)1ln(， 利用x x ≈+)1ln(，得002.0)002.01ln(002.1ln ≈+=． 6．讨论下列函数在0=x 点的可微性：（1）32)(x x f =； （2）x x x f =)(； （3）⎩⎨⎧≥<=.0sin 0)(3x x x x x f ，，，解：（1）因为∞==--→→303201lim 00lim xx x x x ，则32)(x x f =在0=x 点不可导，所以32)(x x f =在0=x 不可微． （2）因为0lim 00lim==--→→x x x x x x ，则x x x f =)(在0=x 点可导，所以x x x f =)(在0=x 点可微．（3）因为10sin lim )0(000lim )0(030=--='=--='+-→+→-x x f x x f x x ，，)0()0(+-'≠'f f ， 得⎩⎨⎧≥<=0sin 0)(3x x x x x f ，，，在0=x 点不可导，所以在0=x 点也不可微．习题2—2（B ）1．已知单摆的振动周期glT π2=，其中980=g cm/s 2是重力加速度，l 是摆长（单位：cm ）．设原摆长为20 cm ，为使周期T 增加0.05 s ，问摆长大约需要增加多少？ 解：02244.020201lim 220/202/2limd d 202020≈=+=--=→→=gl g l g g l lT l l l ππππ由l T T ∆'≈∆)20(，得23.202244.005.0)20(≈≈'∆≈∆T T l ，即为使周期T 增加0.05 s ，摆长大约需要加长2.23 cm ．2．用卡尺测量圆钢的直径D ，如果测得03.60=D mm ，且产生的误差可能为0.05 mm ，求根据这样的结果所计算出来的圆钢截面积可能产生的误差的大小． 解：设圆钢的截面积为4/)(2D D A A π==，2)2(lim 44/]4/)([lim )(0220Dh D h D h D D A h h ππππ=+=-+='→→；2/)(D D D D A A ∆⋅=∆'≈∆π，当05.003.60≤∆=D D ，时，715.42/04.003.601416.3≈⨯⨯≤∆A mm 2， 所以绝对误差大约为4.715 mm 2；0017.003.6005.0224/2/2≈⨯≤∆⋅=∆⋅≈∆D D D D D A A ππ，所以相对误差大约为0.17%． 3．若函数)(x f 在0=x 点连续，且1)(lim=→xx f x ，求0d =x y ．解：由1)(lim=→xx f x ，及分母极限0lim 0=→x x ，得分子极限0)(lim 0=→x f x ；又因为函数)(x f 在0=x 点连续，所以=)0(f 0)(lim 0=→x f x ，1)(lim 0)0()(lim)0(00==--='→→xx f x f x f f x x ，x x f y x d d )0(d 0='==．4．设函数()f x 在点0x 可微，且2)(0='x f ，求极限yyx d lim 0∆→∆．解：由已知，有x y ∆=2d ，所以101]2)(1[lim d )(d lim d lim000=+=∆∆+=∆+=∆→∆→∆→∆x x o y x o y y y x x x ．习题2—3（A ）1．下列叙述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）求复合函数的导数时要根据复合函数的关系，由“外”到“里”分别对各层函数求导，再把它们相乘；（2）求任意函数的微分首先要求出该函数的导数，然后将该导数乘以自变量的微分． 答：（1）正确．这就是复合函数求导定理推广到多重复合的情形，通常称为复合函数的“链式求导法则”，又形象地俗称为“扒皮法”，要注意不能漏项．（2）不一定．还可以用微分法则及一阶微分形式不变性求函数的微分． 2．求下列函数的导数：（1）3232++=xx y ； （2）)1(2x x x y +=； （3）32(1)x y x-=； （4）ln y x x =； （5）x x x y xsin tan 2-+=； （6）cos 1cos xy x=+． 解：（1）)3()1(2)(32'+'+'='xx y xx x xx x 12012-=+-=．（2）252123232323)()(---='+'='x x x x y )11(233xx -=．（3）132)33(2312-+-='-+-='--xx x x xy ． （4）1ln /ln )(ln ln +=+='+'='x x x x x x x x y ． （5）2sin )(sin )(tan )2(x x x x x x y x'-'-'+'=22sin cos sec 2ln 2xx x x x x --+=． （6）22)cos 1(sin )cos 1()cos 1(cos )cos 1()(cos x xx x x x x y +-=+'+-+'='．3．求下列函数在指定点的导数或微分：（1）x x x f cos sin )(-=，求()3f π'与()2f π'；（2）3523x x y +-=，求0d =x y 与2d =x y．解：（1）x x x f sin cos )(+='，()3f π'2313sin 3cos +=+=ππ， ()2f π'12sin 2cos =+=ππ．（2）22223)5(2)5()1(2)3()52(x x x x x x y +-=+--⨯-='+'-=， 因为938492)2(252)0(=+='='y y ，，所以==0d x y x d 252，==2d x y x d 938． 4．求下列函数的导数：（1）7(2)y x =-； （2）cos(32)y x =+； （3）xy arctan e=； （4）x y -=1tan ；（5）x y 2e arcsin =； （6）1arccosy x=； （7）y = （8）21sin x y +=； （9）)2ln 1(cos 2x y +=； （10）ln(y x =+． 解：（1）66)2(7)2()2(7x x x y --='--='． （2）)23sin(3)23)(23sin(+-='++-='x x x y ．（3）2arctan arctan 1e )(arctan exx y xx+='='． （4）xx x xx x x y ---='---='--='121sec )1(121sec )1(1sec222．（5）xx xx x x x y 4242222e1e 2e1)2(e )e (1)e (-=-'=-'='．（6）111)/1(1)/1(2222-=-⋅=-'-='x x x x x x x y ．（7）xx x xx x xx y 2222sin 1cos sin sin 12)(sin sin 2sin 12)(sin +=+'=+'='．（8）22222221cos 11cos 12)()1(1cos x x x x x x x x y ++=++'='++='．（9）)2ln 1)(2ln 1sin()2ln 1cos(2])2ln 1)[cos(2ln 1cos(2'+++-='++='x x x x x yxx x x x )2ln 22sin(]2)2(0)[2ln 22sin(+-='++-=． （10）xx x x xxx xx x x y ++=++=+'+='21)11(212)2(．5．求下列函数的微分y d ：（1）3ln 33++=x x y ； （2）x x y 2sin 2=； （3）2ln (1)y x =+； （4）)1(sec 2x y -=； （5）21x x y -=； （6）2tan(12)y x =+；（7）21arctan x y +=； （8）x y 2sin 2-=．解：（1）x x x x x x x y xxxln3)d 33(d 0d 3ln 3d 3)3(ln d )3(d )(d d 223+=⋅++=++=． （2）x x x x x x x x x x x x x x x y d )2cos 2(sin 2d 2cos 2d 2sin 2)2(sin d )(d 2sin d 222+=+=+=． （3）x xx x x x x x y d 1)1ln(2)d(11)1ln(2)]1[ln(d )1ln(2d ++=+++=++=．（4）)d(1)1tan()1(sec 2)1sec(d )1sec(2d 2x x x x x y ---=--=x x x d )1tan()1(sec 22---=．（5）因为2/32222)1(11)1/(11x x x x x x y -=-----⋅='，所以，2/32)1(d d x x y -=． （6）因为)21(sec 44)21(sec 2222x x x x y +=⋅+='，所以x x x y d )2(1sec 4d 22+=． （7）因为222221)2(122)1(11xx x xx x y ++=+⋅++='，所以221)2(d d xx x x y ++=．（8）因为x xx x y 22sin 2sin22sin 2ln )sin (2ln 2--⋅⋅-='-⋅='，所以x x y x d 22sin 2ln d 2sin -⋅⋅-=． 6．在括号内填入适当的函数，使下列等式成立：（1）d( )2=d x ； （2）d( )21x=+d x ； （3）d( )2sin 2x =d x ； （4）d( )=x ；（5）d( )nx =d x （1-≠n ）； （6）d( )211x+=d x ． 解：（1）因为2)2(='+C x ，所以x C x d 2)2(d =+． （2）因为x C x +='++12)1ln 2(，所以d(C x ++1ln 2)21x=+d x ． （3）x C x 2sin 2)sin 2(2='+，所以d(C x +2sin 2)2sin 2x =d x ，或因为x C x 2sin 2)2cos (='+-，所以d(C x +-2cos )2sin 2x =d x ． （4）因为xC x 21)(='+，所以d(C x +)=x ．（5）因为nn x C n x ='+++)1(1，所以d(C n x n +++11)n x =d x （1-≠n ）． （6）因为211)(arctan x C x +='+，所以d(C x +arctan )211x +=d x ．习题2—3（B ）1．如图所示的,,A B C 三个圆柱型零件．当圆柱A 转过x 圈时，B 转过u 圈，从而带动C 转过y 圈．通过计算周长知道,32uy u x ==，因此3d d 21d d ==x u u y ，，求xy d d ． 解：23321d d d d d d =⨯==x u u y x y ． 2．求下列函数的导数：（1）x x y xsin e =； （2）x y ln ln ln =；（3）)ln(22x a x y ++=； （4）)cot ln(csc x x y -=；（5）xxy -+=11ln ； （6）a x a x a x y arcsin 22222+-=； （7）xxy +-=11arcsin ； （8）x x x x y 12)2(+=．解：（1）)cos sin (sin e )(sin e sin )e (sin e x x x x x x x x x x x y xx x x ++='+'+'='．（2）xx x x x x x x x x x y ln ln ln 1ln ln ln 1ln ln ln )(ln ln ln )ln (ln ⋅⋅=⋅⋅=⋅'='='．（3）2222222222/1)(x a x a x x a x x a x x a x y +=++++=++'++='．（4）x xx xx x x x x x y csc cot csc csc cot csc cot csc )cot (csc 2=-+-=-'-='． （5）xx x x x x x x y )1(1)1(21)1(21])1[ln(])1[ln(-=-++='--'+='．（6）2222222)/(1/1222a x aa x a x x a y -+---='2222222222222222222x a x a x a xa a x a x x a -=-+-=-+---=． （7）)1(2)1(1)1()1()1(112111112x x x x x x xx x x y -+-=+--+-+-+--='． （8）因为xx xx xxx x y 2ln ln 212ee)2(+=+=，所以x xxx x x x xx x x x x x y 12222ln ln 2)2(2ln 1)2ln 2(2ln 1e)2ln 2(e -++=-++='． 3．若函数)(x f 可微，求下列函数的导数：（1）)(2x f y =； （2）)(2x f y =； （3）)]([x f f y =； （4）]e 1ln[)(x f y +=． 解：（1）)(2))((222x f x x x f y '=''='． （2）)()(2])()[(2x f x f x f x f y '='='．（3）)()]([])()][([x f x f f x f x f f y ''=''='．（4）)()()()()()(e1)(e e 1])([e e 1]e 1[x f x f x f x f x f x f x f x f y +'=+'=+'+='． 4．设可导函数)(x f 满足方程x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f '． 解：（方法1）等式两边对x 求导，有223)1)(1(2)(xx x f x f -=-'+'，用x 1替换上式中的x ，有223)(2)1(x x f x x f -='-'，从而得212)(xx f +='．（方法2）用x 1替换题中等式里的x ，有x x f xf 3)(2)1(=+， 由此得x x x f 12)(-=， 所以，212)(x x f +='．5．设]1)([2x x g f y -=，其中)()(u g u f ，可微，求y d ．解：x x x g f xx g x g x x g x x g f y d ]1)([]1)()(2[]1)([d ]1)([d 2222-'+'=--'=.6．试写出垂直与直线0162=+-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程． 解：x x x y 63)(2+='，设切点的横坐标为t x =，则切线斜率t t t y k 63)(2+='=， 而直线0162=+-y x 的斜率3/11=k ，由已知11-=kk ，有122-=+t t ，得1-=t ，切点为)31(--，，切线斜率为3-=k ，于是，所求切线方程为)1(33+-=+x y ，即063=++y x ．习题2—4（A ）1．下列论述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）如果()y f x =的导数()f x '大于零，那么()y f x =的二阶导数也一定大于零； （2）变速直线运动的加速度大于零，该变速运动一定是加速运动． 答：（1）不正确．如x x f ln )(=（0>x ），01)(>='x x f ，但是01)(2<-=''xx f ． （2）正确．由0)()(>='t a t v ，有速度的变化率是正的，即运动是加速运动． 2．求下列函数的二阶导数：（1）22ln y x x =+； （2）y =；（3）x y arctan =； （4）)21sin(x y -=； （5）x x y arcsin 12-=； （6）x y xcos e =；（7）y =（8）2ln(1)y x =+；（9）)1ln(2-+=x x y ； （10）x x y sh =．解：（1）x x y 22+='，222xy -=''．（2）121242--++=x xx y ，22342----='x xx y ，328232xxx y +⋅+=''． （3）211x y +='，22)1(2x xy +-=''． （4）)21cos(2x y --='，)21sin(4x y --=''． （5）1arcsin 12+--='x xx y ，22/3222222221)1(arcsin 111arcsin )1(1/1x xx x xx x x x x x x y ----=-⋅----+--=''． （6）)sin (cos e x x y x-='，x x x x x y xxsin e 2)cos sin sin (cos e -=---=''． （7）32-='x x y ，2/322222)3(333/3--=----=''x x x x x y ． （8）212x x y +='，222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''． （9）1111/1222-=-+-+='x x x x x y ，2/32212)1(])1[(--='-=''-x xx y ． （10）x x x y ch sh +='，x x x x x x x y sh ch 2sh ch ch +=++=''．3．设函数24()32f x x x x =+++，求)0(f '''及)0()4(f．解：3441)(x x x f ++='，2124)(x x f +=''，x x f 24)(='''，24)()4(=x f，024)0(0=='''=x x f ；2424)0(0)4(===x f ．4．计算下列各题：（1）12e)(+=x x f ，求)()5(x f；（2）(1)ln y x x =+，求33d d xy；（3）x y sin ln =，求y '''． 解：（1）12e2)(+='x x f ，12e4)(+=''x x f ，12e8)(+='''x x f ，12)4(e 16)(+=x x f ，12)5(e 32)(+=x x f ．（2）x x x y 11ln d d ++=，22211d d x x x y -=，33233221d d xxx x x y -=+-=． （3）x xxy cot sin cos =='，x y 2csc -=''，x x x x x y cot csc 2)cot csc (csc 22⋅=-⋅-='''． 5．验证函数x x C C y λλ-+=e e 21（其中21,C C 为任何常数）满足关系式（微分方程） 20y y λ''-=．证明：因为x x C C y λλλλ--+='e )(e 21，y C C y x x 22221e )(e λλλλλ=-+=''-，所以20y y λ''-=． 6．验证函数x y xsin e =满足关系式220y y y '''-+=． 证明：因为x x y xxcos e sin e +='，x x x x x y x x x x x cos e 2sin e cos e cos e sin e =-+++=''，所以0sin e 2)cos e sin e (2cos e 222=++-=+'-''x x x x y y y xxxx习题2—4（B ）1．挂在弹簧上的一个重物，从静止位置往下拉长5 cm ，并松开使其上下振动．记松开时的时刻为0=t ，在时刻t 时物体的位置为t s cos 5=．求时刻t 时物体的速度和加速度．解：物体的速度t t s t v sin 5d d )(-==；物体的加速度t t vts t a cos 5d d d d )(22-===． 2．设函数2arcsin442xx x y --=，求y ''． 解：2244/14/144224xx x x x xx x y --=----=',2/32222)4(244/)2(4x x xx x x x x x x x y --=------=''． 3．设函数x y arcsin =，求)0()10(y ．解：由x y arcsin =是奇函数，则)(x y '是偶函数，)(x y ''是奇函数，)(x y '''是偶函数， 以此类推)()10(x y是奇函数，根据初等函数导数的性质，)()10(x y 在0=x 点有定义，所以0)0()10(=y ．4．求下列函数的n （3≥n ）阶导数：（1）x x y e =； （2）x x y cos 2=； （3）x x y ln 2=；（4）0111a x a x a x a y n n n n ++++=-- （其中),,2,1(n i a i =为常数，0≠n a ）． 解：（1）（方法1）)1(e e e +=+='x x y x x x ，)2(e e )1(e +=++=''x x y x x x ，)3(e e )2(e +=++='''x x y x x x ，以此类推)(e )(n x yx n +=．（方法2）)(e )e ()e ()e ()()1()()()(0)(n x x n x x C yx n x n x k n x k nk kn n +='+==--=∑． （2）)()(20)()(cos )(k n k nk kn n x x C y-=∑= )2(2)1(2)(2)(cos )(2)1()(cos )()(cos --''-+'+=n n n x x n n x x n x x )()(2)cos )(1()(sin 2)2cos(n n x n n x nx n x x --+++=π)2sin(2)2cos()(22ππn x nx n x n n x ++++-=．（3）（方法1）)()(20)()(ln )(k n k nk kn n x x C y-=∑= )2(2)1(2)(2)(ln )(2)1()(ln )()(ln --''-+'+=n n n x x n n x x n x x 231212)!3()1)(1()!2()1(2)!1()1(--------+--+--⋅=n n n n n n x n n n x n nx x n x 21)!3()1(2----=n n x n ．（方法2）x x x y +='ln 2，3ln 2+=''x y ，2123)2()2()()3()1(2)3()1(2)3ln 2()(--------=--=+=''=n n n n n n n x n x n x y y．（4）)(0)(1)(11)()()()()()(n n n n n n n n n a x a x a x a y ++++=--!000!n a n a n n =++++= ．5．若函数)(x f 满足(sin )cos 2csc f x x x '=+，求)(x f ''．解：由x x x x x f sin 1sin 21csc 2cos )(sin 2+-=+='，有xx x f 121)(2+-='， 所以2214)121()(xx x x x f --='+-=''． 6．若函数()y f x =存在二阶导数，分别求)(2x f y =及2()y f x =的二阶导数． 解：对)(2x f y =，)()(2x f x f y '='，=''y )()(2)]([2])()(2[2x f x f x f x f x f ''+'=''；对2()y f x =，)(22x f x y '='，=''y ])(2[2''x f x )(4)(2222x f x x f ''+'=．7．若函数)(x f 有任意阶导数，且)()(2x f x f ='，证明)(!)(1)(x f n x fn n +=．证明：用数学归纳法进行证明， 当1=n 时显然成立， 设k n =时成立，即)(!)(1)(x f k x fk k +=，当1+=k n 时，等式)(!)(1)(x f k x fk k +=两边同时对x 求导，得)()!1()()()!1()()()1(!)(22)1(x f k x f x f k x f x f k k x f k k k k +++=+='+=，即对1+=k n ，式子)(!)(1)(x f n x f n n +=，所以根据数学归纳法原理，对任何正整数n 都有)(!)(1)(x f n x fn n +=．习题2—5（A ）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）求由方程(,)0F x y =所确定的隐函数)(x y y =的导数时，所得到的()y x '是x 的一元函数，若再求)(x y y =的二阶导数，直接对x 的函数()y x '求导即得；（2）求由参数方程(),()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩所确定的函数的导数时，在()0t ϕ'≠的条件下，若再求22d d x y ，只需将所求得的xyd d 对t 再继续求导数即可； （3）在知道两个变量,x y 中的一个对第三个变量t 的变化率，求另一个变量对t 的变化率时，应首先求出两个变量,x y 之间满足的解析式（假设这样的解析式存在），从而得到,x y 对变量t 的变化率之间的关系．答：（1）不正确．在)(x y '的表达式中不仅含有变量x ，还含有函数)(x y ，在用求导法则求)(''=''y y 时，凡是遇到含有y 的项，都要将其视为x 的函数，按复合函数进行求导．（2）不正确．xyd d 要先对t 求导，再乘以t 对x 的导数（或除以x 对t 的导数）．这是因为 )(/))()((d d d d ))()((d d ))()((d d )d d (d d d d 22t t t t x t t t t t t x x y x xy ϕϕψϕψϕψ''=⋅''='==． （3）正确．如果变量y x ，有函数关系)(x f y =，两边同时对t 求导，有txx f t y d d )(d d '=，这就是y 对t 的变化率t y d d 与x 对t 的变化率txd d 之间的关系． 2．设函数)(x y y =由下列方程确定，求xyd d ：（1）012=++xy y ； （2）3330x y xy +-=； （3）yx xy +=e； （4）xy y e 2ln -=．解：（1）方程012=++xy y 两边同时对x 求导，有0d d d d 2=++⋅xyx y x y y ，解得 xy yx y +-=2d d ． （2）方程3330x y xy +-=两边同时对x 求导，有0d d 33d d 3322=--+xyx y x y yx ， 解得22d d y x x y x y ---=． （3）方程y x xy +=e 两边同时对x 求导，有)d d 1()d d 1(e d d xyxy x y x y x y y x +=+=++， 解得)1()1(d d ---=y x x y x y ． （4）方程xy y e 2ln -=两边同时对x 求导，有x x y xyx y y e d d e d d 1--=，解得 xxy y x y e1e d d 2+-=． 3．求曲线yx y e 1-=上对应于0=x 点处的切线方程．解：将0=x 代入方程y x y e 1-=，得1=y ，切点坐标为)10(，，方程y x y e 1-=两边同时对x 求导，有y x y y y '--='e e ，用0=x ，1=y 代入，得1)0(-='y ，即切线斜率为1-=k ，切线方程为)0(11--=-x y ，即01=-+y x ．4．求星形线3/23/23/2a y x =+在点)42,42(a a 处的切线方程与法线方程． 解：方程3/23/23/2a y x =+两边同时对x 求导，有032323/13/1='+--y y x ， 用a y a x 42,42==，得1)42(-='a y ，即切线斜率1-=k ， 切线方程为)42(142a x a y -⋅-=-，即022=-+a y x ； 法线方程为)42(142a x a y -⋅=-，即0=-y x ． 5．设函数)(x y y =由下列方程确定，求22d d xy：（1）y y x 222=+； （2）yx y e 1+=． 解：（1）方程y y x 222=+两边同时对x 求导，有x y x y yx d d 2d d 22=+，得yxx y -=1d d ， 所以3322222)1(1)1()1()1()(1)1(d d y y x y y y x y y x x y x -=-+-=-'---='-=． （2）方程y x y e 1+=两边同时对x 求导，有xyy x y x x y y y y d d )1(e d d e e d d -+=+=，得 y x y y -=2e d d ，所以32222)2()3(e )2()(e )2(e d d y y y y y y x y y y y --=-'---'=． 6．用对数求导法求下列函数的导数xy d d ： （1）xx y 1)1(+=； （2）xx y x-=1；（3）xx y x sin e 12+=； （4）0=-xy y x ．解：（1）将xx y 1)1(+=两边取对数，有xx y )1ln(ln +=，两边再同时对x 求导，有)1()1ln()1()1ln()1/(22x x x x x x x x x y y +++-=+-+='，所以 )1()1ln()1()1()1()1ln()1(d d 212x x x x x x x x x x x y x y x+++-⋅+=+++-⋅=． （2）将xx y x-=1两边取对数，有)1ln(ln ln x x x y --=，两边再同时对x 求导，有)]ln 1)(1(1[11111ln x x xx x y y +-+-=---+='，所以 )]ln 1)(1(1[)1()]ln 1)(1(1[)1(d d 2x x x x x x x y x y x +-+-=+-+-=． （3）将xx y x sin e 12+=两边取对数，有x x x y sin ln )1ln(21ln 2--+=，两边再同时对x 求导，有x x x y y cot 2)1(21--+='，所以 =x y d d )cot 2411(sin 2e 1]cot 2)1(21[2x x x xx x x x y x --++=--+． （4）将xy y x =两边取对数，有y x x y ln ln =，两边再同时对x 求微分，有yyx x y x x y y x d d ln d d ln +=+⋅，即y x x y xy x y y x xy d d ln d d ln 22+=+⋅，解得 22ln ln d d x x xy y y xy x y --=，或写作)1(ln )1(ln d d 22--=y x x y x y ． 7．求由下列参数方程所确定的函数)(x y y =的导数xyd d ： （1）⎩⎨⎧-==；，3212/t y t x （2）⎩⎨⎧--=++=；，t y t x 1111 （3）⎩⎨⎧==；t y t x tt cos e ,sin e （4）⎩⎨⎧-=+=.arctan )1ln(2t t y t x ，解：（1）因为t t x t t y ='-=')(3)(2，，所以t tt t x t y x y 33)()(d d 2-=-=''=．（2）因为tt x tt y +='-='121)(121)(，，所以ttx y -+=1212d d t t -+=11． （3）因为t t t x t t t y t t t t cos e sin e )(sin e cos e )(+='-='，，所以x y d d t t t t t t t t tt t t sin cos sin cos sin e cos e sin e cos e +-=+-=，或写作tt x y 2sin 12cos d d +=． （4）因为222212)(1111)(t t t x t t t t y +='+=+-='，，所以=++=)1/(2)1/(d d 222t t t t x y 2t． 8．写出下列曲线在所指定点处的切线方程：（1）⎩⎨⎧-==，，2232t t y t x 在点)12(，处； （2）cos ,cos 2,x t y t =⎧⎨=⎩ 在4π=t 处． 解：（1）切点)12(，对应参数1=t ，切线斜率21243d d 11-=-====t t t xyk ，切线方程为)2(211--=-x y ，即042=-+y x ． （2）将4π=t 代入方程，得切点为)02/2(，，切线斜率22sin 2sin 2d d 44=--====ππt t xx xyk ，切线方程为)2/2(220-=-x y ，即0222=--y x ．9．求由下列参数方程所确定的函数)(x y y =的二阶导数22d d xy：（1）⎩⎨⎧+==；，t y t x 12/2 （2）⎩⎨⎧=-=-；，tt t y x e e （3）⎩⎨⎧==；，t b y t a x sin cos （4）⎩⎨⎧=+=.cos 12t y t x ，解：（1）t t t x y tt1)2/()1(d d 2=''+=，32221/1)(/)1(d d t t t t x t x y t =-=''=． （2）)1(e )e ()e (d d 2t t x y t tttt +='-'=-，)23(e e )23(e )(])1(e [d d 32222t t t x t x y t t t t t +=+=''+=-．（3）t a b t a t b x y ttcot )cos ()sin (d d -=''=， ta b t a t a b t x t a b x y t 32222sin )sin /(csc )(/)cot (d d -=-=''-=． （4）tt t t x y t t2sin )1()(cos d d 2-='+'=， 32224cos sin 2/sin cos 21)(/)2sin (d d tt t t t t t t t t x t t x y t -=--=''-=． 习题2—5（B ）1．有一长度为5m 的梯子铅直地靠在墙上，假设其下端以3m/min 的速率沿地板离开墙脚而滑动．问当其下端离开墙脚2m 时，梯子上端下滑的速率为多少？解：设时刻t 时梯子上端距墙脚y m ，下端距墙脚x m ，则2522=+y x ，两边同时对时间t求导，有0d d 2d d 2=+t y y t x x，将3d d 212===t x y x 、、代入，有0d d 21212=+ty ，得31.17212d d -≈-=t y ，即梯子上端下滑的速率大约为min /m ． 2．一个气球从距观察员500 m 处离开地面铅直上升，其上升速率为120 m/min ，当气球升高到500 m 时，求观察员视线的仰角α的增加速率． 解：设时刻t 时气球的高度为h ，则500arctanh=α（观察员身高忽略不计），两边同时对时间t 求导，有thh t h h t d d 500500d d )500/(115001d d 222+=+=α，将500=h 120d d =t h ，代入，得12.0253d d ==t α，，即观察员视线的仰角α的增加速率为0.12 (rad/min)． 3．一正圆锥形水池，深8m ，上口直径也为8m ，现以min /m 33速率向水池内注水，当水深为5m 时，求水面上升的速率．解：设时刻t 时容器内水深为h ，水的体积为V ，此时水面的直径h d =，则123πh V =，两边同时对时间t 求导，有thh t V d d 4d d 2π=，将3d d 5==t V h ，代入，有t h d d 4253π=，得。
大学高数高数第一章(终)课后参考答案及知识总结
第一章函数、极限与连续内容概要课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③(0)≥W④ arcsin W （W[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；（2）31121121arcsin≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ； （3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★ 3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数；思路：注意自变量的不同范围； 解：216sin)6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。
《高等数学(一)》练习题参考答案
《高等数学（一）》练习题一参考答案一、是非题1——5对 错 对 错 错 2——6对 对 对 对 错 11——15错 对 对 错 对 16——20 错 对 错 错 错 21——25错 对 错 对 错 26——30 对 对 对 错 错二、选择题1——5 A B B B D 6——10 C A B A B 11——15 B D D D A 16——20 B B A B B 21——25 D B D B B 三、填空题1、2x； 2、充分； 3、1； 4、0； 5、2y x =-622x e --； 7、必要； 8、12-； 9、)1(21+=x y ； 10、0,1,2y x ==-11、1； 12、21dx x+； 13、2； 14、32y x =-； 15、充分性条件.16、22xxe； 17、dx ； 18、x = 19、1(1)2y x =-； 20、216x x+.21、6e -； 22、1y =； 23、11e --； 24、23； 25、cos 2x dx .三、解答题1、00021limlimlim.4x x x x→→→===2、因为函数()f x 在点0x =连续，故其左右极限都应存在且相等，即由20lim ()lim (1)2xx x f x e--→→=+=，sin 22sin 22lim ()lim lim 2x x x x x f x ax axa+++→→→===，推得 221a a=⇒=. 3、 /////2312()1,()(1)2f x f x f xx=+=-⇒=-.4、因为(2)3f '=，而由定义可知2()(2)(2)lim2x f x f f x →-'=-，故所求极限2()(2)lim32x f x f x →-=-。
5、由243lim ()21x x ax b x →+∞+++=-，而2224343()(1)lim ()lim11(4)()3lim21x x x x x ax b x ax b x x a x b a x b x →+∞→+∞→+∞++++-++=--++--+==-存在，于是必有40,2a b a +=-=，可解得常数,a b 的值分别为-4，-2。
高等数学(本科)第一章课后习题解答
习题1.11. 求下列函数的定义域. （1） 234y x x=- （2）2ln3x y x-=-（3） y = （4）1arcsin3x y -=解：（1）只要分母不为零即可，即0x ≠且4x ≠.定义域为(,0)(0,4)(4,)-∞+∞ （2）只要203x x->-即可，故定义域为(2,3)（3）只要240x -≥即可，故定义域为(,2][2,)-∞-+∞ （4）只要30x ->并且1113x --≤≤即可，易解得定义域为[2,3)-2. 下列各对函数是否相同？为什么？ （1）(),()1x f x g x x==；（2）()()f x g x ==.解：（1）不同，因为定义域不同，()f x 的定义域为{|0,}x x x ≠∈ ，而()g x 的定义域为全体实数.（2）相同，因为定义域相同，均为全体实数，对应法则也相同. 3. 求下列函数的反函数，并指出其定义域.（1）(0)y x =≥ （2）31xy =-解：（1）由y =222y x =+，故222x y =-，由于0x ≥，所以x =原函数的反函数为y =x ≥（2）由31x y =-可得13xy +=，所以3l o g (1)x y =+，故原函数的反函数为3log (1)y x =+，定义域为1x >-4. 判断下列函数的奇偶性（1）sin ()cos x x f x x x -=（2）())f x x =（3）1()ln 1x f x x-=+ （4）()2xxa af x -+=解：（1）由于sin()sin sin ()()cos()cos cos x x x x x x f x f x x x x xx x----+--====---，所以()f x 为偶函数.（注：其中用到了sin()sin ,cos()cos x x x x -=--=）（2）())))f x x x x -====-()f x =-，所以()f x 为奇函数.（3）11()lnln()11x x f x f x xx+--==-=--+，所以()f x 为奇函数.（4）()()2xxaa f x f x -+-==，所以()f x 为偶函数.5.下列函数在指定区间内是否有界？ （1）21,(,1],(1,0)y x=-∞-- （2）2,(1,2),(2,)1y x =+∞-解：（1）在(,1]-∞-上，2101x<≤，故有界；而在(1,0)-上，函数无上界，故无界.（2）在(1,2)上，函数无上界，故无界；而在(2,)+∞上，2021x <<-，故有界.6. 将下列复合函数进行分解（1）3sin (32)y x =+ （2）ln ln ln y x = （3）y =（4）2tan xy e=解：（1）3,sin ,32y u u t t x ===+ （2）ln ,ln ,ln y u u t t x === （3）y u x ==+（4）2,,tan uy e u t t x ===7. 已知2(1)3f x x x +=-，求(),(1)f x f x -解：令1x t +=，则1x t =-， 22(1)()(1)3(1)54f x f t t t t t +==---=-+，由于函数与变量符号的选择无关，故2()54f x x x =-+22(1)(1)5(1)4710f x x x x x -=---+=-+8. 设1,||1,()0,||1,()1,||1xx f x x g x e x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求[()],[()]f g x g f x解：当0x <时，0()1x g x e <=<，故[()]1f g x =，当0x =时，()1g x =，故[()]0f g x =，当0x >时，()1x g x e =>，故 [()]1f g x =-.当||1x <时，()1f x =，故[()]g f x e =，当||1x =时，()0f x =，故[()]1g f x =， 当||1x >时，()1f x =-，故1[()]g f x e=.综上，1,0,[()]0,0,1,0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩1,||1,[()]1,||1,,||1ee x gf x x x <⎧⎪==⎨⎪>⎩9. 两个单调增加的函数的复合函数是否一定单调增加？它们的乘积又如何？ 答：两个单调增加的函数的复合函数一定单调增加.但是乘积不一定设()y f u =与()u g x =能够复合，并且都是单调增的函数，即对任意的12x x <，都有12()()g x g x <；对任意的12u u <，都有12()()f u f u <.特别对11()u g x =，22()u g x =，显然有12u u <，故12(())(())f g x f g x <，即证复合函数仍为单调增.下面看乘积，例如()()f x g x x ==，显然在(,)-∞+∞都是单调增的，但是2()()f x g x x = 在(,)-∞+∞并不是单调增的，而()()x f x g x e ==，显然在(,)-∞+∞都是单调增的，2()()xf xg x e= 仍在(,)-∞+∞上单调增.10. 设()f x 是周期为π的奇函数，当(0,]2x π∈时，()sin cos 2f x x x =-+；当(,]2x ππ∈ 时，求()f x 的表达式.解：由于()f x 是周期为π的函数，所以()(0)f f π=，又()f x 是奇函数，可知(0)0f =. 当(,0)2x π∈-时，(0,)2x π-∈，由()f x 是奇函数可得()()(sin()cos()2)sin cos 2f x f x x x x x =--=----+=+-当(,)2x ππ∈时，(,0)2x ππ-∈-，由s i n ()s i n ,c o s ()c o s x x x x ππ-=--=-以及()f x周期为π，可知()()sin()cos()2sin cos 2f x f x x x x x πππ=-=-+--=--- 综上可得sin cos 2,(,)()20,x x x f x x πππ⎧---∈⎪=⎨⎪=⎩11. 设1()2y f t x x=-，且21|52x ty t ==-+，求()f x解：由题即知211|(1)522x ty f t t ==-=-+，故2(1)210f t t t -=-+.令1t x -=，则1t x =+，22(1)()(1)2(1)109f t f x x x x -==+-++=+.所以2()9f x x =+12. 设(sin)1cos 2x f x =+，求(cos)2x f 解：利用二倍角公式22cos 12sin 2cos 122x x x =-=-.2(sin)1cos 22sin22x x f x =+=-，令sin2x t =，则2()22f t t =-.从而2(cos )22cos1cos 22x x f x =-=-.习题1.21. 从图象上观察并写出下列极限（1）0lim 2,lim 2,lim 2,lim 2x x x xx x x x →→∞→-∞→+∞（2）13lim ln ,lim ln ,lim ln ,lim ln x x x x x x x x +→→+∞→→（3）02lim cos ,lim cos ,lim cos ,lim cos x x x x x x x x π→→+∞→-∞→（4）1lim arctan ,lim arctan ,lim arctan ,lim arctan x x x x x x x x →→+∞→-∞→∞解：图略.（1）0lim 21xx →=，lim 2xx →∞不存在，lim 20xx →-∞=，lim 2xx →+∞=+∞（也是不存在）（2）1lim ln 0x x →=，0lim ln x x +→=-∞（不存在），lim ln x x →+∞=+∞（不存在），3lim ln ln 3x x →=（3）0lim cos 1x x →=，lim cos x x →+∞不存在，lim cos x x →-∞不存在，2lim cos 0x x π→=（4）1lim arctan 4x x π→=，lim arctan 2x x π→+∞=，lim arctan 2x x π→-∞=-，lim arctan x x →∞不存在.2. 设函数21,0,()0,0,1,0x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩求当0x →时，函数的左、右极限，并说明当0x →时函数的极限是否存在.解：左极限0lim ()lim (1)1x x f x x --→→=-=，右极限200lim ()lim (1)1x x f x x ++→→=-=-，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x →时函数的极限不存在. 3. 求函数||()x f x x=当0x →时的左、右极限，并说明当0x →时函数的极限是否存在.解：左极限0||lim ()limlim 1x x x x x f x x x---→→→-===-，右极限0||lim ()lim lim 1x x x x x f x xx+++→→→===，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x →时函数的极限不存在. 4. 设函数1,1,()0,1,1,1x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩求013lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→解：当0x →时，只关心离0很近的那些点，所以可以认为1x <，故0lim ()lim (1)1x x f x x →→=+=当1x →时，11lim ()lim (1)2x x f x x --→→=+=，11lim ()lim (1)0x x f x x ++→→=-=，左右极限都存在但是不相等，所以1lim ()x f x →不存在.当3x →时，只关心离3很近的那些点，所以可以认为1x >，故33lim ()lim (1)2x x f x x →→=-=.5. 设2||lim arctan 3||2x ax x x bx x π→∞+=--①，求,a b 的值.解：（1）当x →+∞时，可以认为0x >，故||x x =，故=-++∞→xbx x ax x 32lim 3232lim-+=-++∞→b a xbx x ax x ，从而2.32arctan 32limπ-+=-++∞→b a x xbx x ax x ， 所以由①式，可知22.32ππ-=-+b a ，即213a b +=--； ② （2）当x →-∞时，可以认为0x <，故||x x =-，故3232lim+-=+--∞→b a xbx x ax x ，从而⎪⎭⎫⎝⎛-+-=+--∞→2.32arctan 32limπb a x xbx x ax x ， 所以由①式，可知213a b -=+.综上，可得方程组2323a b a b +=-⎧⎨-=+⎩，解得32a b =⎧⎨=-⎩.（注：lim arctan 2x x π→+∞=，lim arctan 2x x π→-∞=-）6. 设2||()43||x x f x x x +=-.求：（1）lim ()x f x →+∞；（2）lim ()x f x →-∞；（3）0lim ()x f x +→；（4）0lim ()x f x -→；（5）0lim ()x f x →.解：由于23,0,2||43()2143||,0.437x xx x x x xf x x xx x x x x +⎧=>⎪+⎪-==⎨--⎪=<⎪+⎩故易得（1）lim ()3x f x →+∞= （2）1lim ()7x f x →-∞=（3）0lim ()3x f x +→= （4）01lim ()7x f x -→=（5）0lim ()x f x →不存在（左右极限都存在但是不相等）.习题1.31. 下列函数在自变量怎样的变化过程中为无穷小量？在怎样的变化过程中为无穷大量？ （1）242x y x -=-； （2）311y x =+； （3）21xy =-； （4）1x y e =解：（1）2422x y x x -==+-在2x =处无定义.由22lim lim (2)0x x y x →-→-=+=，可知此函数在2x →-时为无穷小量；由lim lim (2)x x y x →∞→∞=+=∞，可知此函数在x →∞时为无穷大量.（2）311y x =+在1x =-处无定义.由31lim lim01x x y x →∞→∞==+，可知此函数在x →∞时为无穷小量；由3111lim lim1x x y x →-→-==∞+，可知此函数在1x →-时为无穷大量.（3）由0lim lim (21)0xx x y →→=-=，可知此函数在0x →时为无穷小量；由lim lim (21)xx x y →+∞→+∞=-=+∞，可知此函数在x →+∞时为无穷大量.（4）1x y e =在0x =处无定义.由1lim lim 0x x x y e --→→==，可知此函数在0x -→时为无穷小量；由1lim lim x x x y e ++→→==+∞，可知此函数在0x +→时为无穷大量. 2. 两个无穷小量的商是否为无穷小量？请举例说明.答：不一定，比如说当0x →时，2x 与2(2)x 都是无穷小量，221lim0(2)4x xx →=≠，故不是无穷小量，又2x 与x 都是无穷小量，2lim lim 0x x xx x→→==，是无穷小量.3. 求下列极限. （1）sin limx x x→∞； （2）2arctan limx x x→∞； （3）3113lim ()11x x x →---； （4）2211lim23x x x x →-+-（5）322lim ()2121x xxx x →∞-+-； （6）321lim34x x x x →∞--+； （7）342lim1x x x x →∞+-+；（8）33221lim423x x x x →∞++-； （9）11lim()1nx x n x +→-∈-Z ； （10）0()lim()nnx a x an x+→+-∈Z解：（1）由于|sin |1x ≤，可知sin x 在(,)-∞+∞上为有界函数，而当x →∞时，10x→，为无穷小量，有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量，故sin 1lim lim (sin )0x x x x xx→∞→∞== （2）由于|arctan |2x π<，可知arctan x 在(,)-∞+∞上为有界函数，而当x →∞时，210x→，为无穷小量，故22arctan 1limlim (arctan )0x x x x xx→∞→∞==（3）2332111131323lim ()lim ()lim ()111113x x x x x x x x x x x →→→++-+-====---++ （通分，消元）（4）22111121limlim23342x x x x x x x →→-+===+-+（5）3232222(21)(21)lim ()lim2121(21)(21)x x xxx x x x x x x x →∞→∞--+-=+-+-3232lim4221x x xx x x →∞--=-+-23111lim1114422x xxxx→∞--==--+-（6）322211limlim1134134x x x x xx x xx →∞→∞--==∞-+-+（7）3344411122limlim 0111x x x x xxxx x→∞→∞+-+-==++（8）33323122121limlim1142342423x x x xx x x x→∞→∞++===+-+-（注：5，6，7，8类型相同，当x →∞时，多项式的商的极限主要看分子分母的次数，分子次数大于分母次数，则极限为∞；分子次数小于分母次数，则极限为0；分子次数等于分母次数，极限为最高次项系数的商.做法见上） （9）12121111(1)(1)limlimlim (1)11nn n n n x x x x x xxxxn x x ----→→→--+++==+++=--（10） 12220()lim limn n n n nn nn x x a nax C ax x aa x axx--→→++++-+-=12221lim (())n n n n n x naC ax x na----→=++=4. 设21lim31x x ax b x→++=-，求,a b 的值.解：由于1lim (1)0x x →-=，故21lim()0x x ax b →++=，从而2x ax b ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x ax b x x c ++=-+，则1,a cbc =-=-.由极限211limlim ()1x x x ax b x c x→→++=-+-13c =--=可知4c =-.故5,4a b =-=5. 设322()2ax bx cx df x x x +++=+-，满足：（1）lim ()1x f x →∞=；（2）1lim ()0x f x →=，求,a b ，,c d 的值.解：由lim ()1x f x →∞=可知分子次数等于分母次数，且此时极限为b ，故有0,1a b ==.由1lim ()0x f x →=，可知21lim ()0x x cx d →++=，从而2x cx d ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x cx d x x e ++=-+，则1,c e d e =-=-.由极限2211limlim22x x x cx d x e x x x →→+++=+-+1012e +==+可知1e =-.故2,1c d =-=.6. 设()g x 在0x =的某邻域内有界，且(),0,()0,0.xg x x f x x ≠⎧=⎨=⎩求0lim ()x f x →.解：()g x 在0x =的某邻域内有界，而当0x →时x 为无穷小量，从而可知0lim ()0x f x →=.7. 设1lim ()x f x →存在，且21()23lim ()x f x x x f x →=+，求().f x解：由题可知，只需求出1lim ()x f x →即可，在21()23lim ()x f x x x f x →=+两边同时求当1x →时的极限.21111lim ()lim (23lim ())23lim ()x x x x f x x x f x f x →→→→=+=+，易解得1lim ()1x f x →=-，从而2()23f x x x =-.习题1.41. 利用数列极限存在的准则Ⅰ，求下列极限. （1）222111lim ()(1)()n nn n n →∞+++++ （2）1lim n n n →∞（3）22212lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ （4）limn →∞解：（1）设222111(1)()n a nn n n =+++++ ，显然有2222222211111111()()()()n n n a n n n n n n n n nnnn++=+++<<+++=++++ ，而2211limlim0()n n n n n n n→∞→∞++==+，由两边夹原理可知222111lim ()0(1)()n nn n n →∞+++=++ .（2）当1n >时，11nn >，令11n n n a -=，则显然0n a >.且由二项式公式有2(1)(1)12nnn n n n n n n a na a a -=+=++++ ，故2(1)2n n n n a ->，从而0n a <<而lim0n →∞=，不等式左边常数也是0，由两边夹原理可知lim 0n n a →∞=，从而1lim 1n n n →∞=.（3）设222122n n a n n n n πππ=++++++ ，显然有22222222(1)1212(1)2()2()n n n n n n n a n n n n n n n n n n n n ππππππππ++=+++<<+++=++++++++ 而22(1)(1)1limlim2()2()2n n n n n n n n n ππ→∞→∞++==++，由两边夹原理可知222121lim ()22n nn n n n πππ→∞+++=+++ .（4<<limlim3n n →∞→∞==，由两边夹原理可知lim 3n →∞=.2. 利用数列极限存在的准则Ⅱ，求下列数列的极限 （1； （2）1103,n x x +<<=（3）111,(),(,0)2n n nb x a x x a b x +==+>.解：（1）显然数列为单调增的，设12a=<，22a=<=，依次得32a=<=，归纳可得2na<.即数列有上界，由单调有界原理可知此数列有极限，不妨设为a.对1na+=a=2a=或者1a=-（显然不可能）.故数列极限为2.（2）（i）当132x=时，232x==，依次可得32nx=，故此数列为常数数列，显然极限存在，且为32.（ii）当132x≠时，利用几何算术平均值不等式可知1123322x xx+-=<=，依次可得32nx<<（1n>）.而11nnxx+=>=（1n>），故此数列除了1x以外，均为单调增加的，且有界.由单调有界原理可知数列2{}n nx∞=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为a.对1nx+=a=32a=或者0a=（显然不可能）.故数列极限为32.综合（i）（ii）可知数列极限为32.（3）（i）当1x a==2111()2bx xx=+=nx=（ii）当1x≠时，利用几何算术平均值不等式可知2111()2bx xx=+>=，依次可得nx>1n>）.而11()02n n nnbx x xx+-=-<（1n>），故此数列除了1x以外，由单调有界原理可知数列2{}n nx∞=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为A.对11()2n nnbx xx+=+两端同时取极限，可得1()2bA AA=+，解得A=或者A=..综合（i）（ii）可知数列极限为3. 若lim n n x a →∞=，证明：lim ||||n n x a →∞=.证明：由lim n n x a →∞=，可知对0ε∀>，都0N ∃>，当n N >时，就有||n x a ε-<.从而当n N >时，||||||n n x a x a ε-≤-<，由定义可知lim ||||n n x a →∞=.（注：此结论对函数极限也同样成立，即“若lim ()x f x A →∙=，则lim |()|||x f x A →∙=”.反过来不对.但是有“若lim |()|0x f x →∙=，则lim ()0x f x →∙=”，对数列也成立.）4. 对于数列{}n x ，若212lim lim k k k k x x a -→∞→∞==，证明：lim n n x a →∞=.证明：第一种证法，用几何意义来说（不严格）.由212lim lim k k k k x x a -→∞→∞==可知，对0ε∀>，数列21{}k x -中落在区间(,)a a εε-+外的只有有限多项，数列2{}k x 中落在区间(,)a a εε-+外的也只有有限多项.而对于数列{}n x 来说，其中的项不在数列21{}k x -之中就在数列2{}k x 之中，从而落在区间(,)a a εε-+外的也只有有限多项.由几何意义即知lim n n x a →∞=.第二种证法：用极限定义.由21lim k k x a -→∞=，可知对0ε∀>，都10K ∃>，当1k K >时，就有21||k x a ε--<.由2lim k k x a →∞=，可知对上述的0ε>，都20K ∃>，当2k K >时，就有2||k x a ε-<.令12m ax{,}K K K =，2N K =，则当n N >时，有||n x a ε-<.由定义可知lim n n x a →∞=.习题1.51. 求下列各极限. （1）0sin 5limx x x → （2）0sin lim(0)sin x ax b bx→≠ （3）3tan sin limx x xx→- （4）1lim sinx x x→∞（5）lim (1)m xx k x →∞-（6）22lim ()1xx x x →∞++ (7) cot 0lim (13tan )xx x →- (8) 111lim (32)xx x -→-（9）2sin 0lim (1)x x x →+ （10）lim tan n x n n→∞（11）11lim (sin cos)x x xx→∞+ （12）2sec 2lim (1cos )xx x π→-解：（1）0sin 5sin 5limlim (5)55x x x x xx→→==（2）0sin sin limlim ()sin sin x x ax ax bx ax a bxax bx bx b→→== （3）23200022sintan sin sin 1cos sin 112lim lim ()lim ()cos cos 24()2x x x xx x x x x x x x x x x x →→→--=== （4）1sin 1lim sinlim11x x x x xx→∞→∞== （当x →∞时，10t x =→） （5）令x t k=-，则m x m kt =-，且当x →∞时，t →∞，所以11lim (1)lim (1)lim[(1)]m xm kt t m k m kx t t k ex t t---→∞→∞→∞-=+=+= （6）2221lim ()lim (1)11x xx x x x x →∞→∞+=+++，令1t x =+，则1x t =-，且当x →∞时，t →∞，所以22(1)2222111lim ()lim (1)lim[(1)](1)1xt t x t t x e x t t t--→∞→∞→∞+=+=++=+（7）令3tan t x =-，则3cot x t=-，且当0x →时，0t →.所以31cot 3300lim (13tan )lim (1)lim[(1)]xtt x t t x t t e---→→→-=+=+=（8）111111lim (32)lim[13(1)]x x x x x x --→→-=+-，令3(1)t x =-，则当1x →时，0t →，所以1313311lim (32)lim (1)lim[(1)]xtt x t t x t t e----→→→-=+=+=（9）2122sin sin 0lim (1)lim[(1)]xx x x x x x x e →→+=+=（10）因为0tan sin 1limlim1cos x x x x xxx→→== ，由数列极限与函数极限的关系可知1tan1limlim tan 11n n n n n n→∞→∞==，从而当0x ≠时，tan lim tan limn n x x n n x x x n n→∞→∞==当0x =时，lim tan 0n x n n →∞=.综合可知lim tan n xn x n →∞=.（11）1111lim (sin cos )lim [1(sin cos 1)]x xx x x x x x →∞→∞+=++-11(sincos1)111sin cos 111lim [1(sin cos 1)]x x x x xx x x +-+-→∞⎧⎫⎪⎪=++-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，令11sincos1t xx=+-，则当x →∞时，0t →，又1111lim (sincos1)lim sinlim (cos1)x x x x x x xxxx→∞→∞→∞+-=+-2111sin cos12()2limlim1lim1111x x x x x x xxx→∞→∞→∞--=+=+=，故11lim (sincos)xx e xx→∞+=.（12）令cos t x =-，则22sec x t=-，且当2x π→时，0t →，所以212sec 222lim (1cos )lim (1)lim[(1)]xtt t t x x t t e π---→→→-=+=+=.2. 求下列各极限. （1）0limx x→ （2）lim x →+∞（3）0limx →（4）0lim(,0)x m n →> （5）01lim []x x x +→ （6）limx →+∞（7）lim (ln(1)ln )x x x x →+∞+- （8）0lim x +→解：（1）000limlimlim1x x x x→→→===（2）lim limlim0x x x →+∞→+∞→+∞===（3）0sin 41)limlimlimx x x x x→→→==s i n 4l i m11)84x x x→=+= （4）22limlim2x x n n mm→→===（分子分母同时有理化）（5）讨论0x +→时函数的极限时，我们只关心那些离0很近的正数，不妨设01x <<，有11x >，故1111[]x x x-<≤，不等式三边同时乘以x ，不改变不等号的方向，故有111(1)[]1x x x x x x -<≤=，而001lim (1)lim (1)1x x x x x++→→-=-=，不等式右边为常数1，由两边夹原理可知01lim []1x x x+→=.（622211ln(cos 2sin )ln(1sin )x x x xxee++==，其中20ln(1sin )ln 2x ≤+≤，2ln(1sin )x +为有界函数，而当x →+∞时，10x→，为无穷小量，故21limln(1sin )0x x x→+∞+=.从而可得0lim1x e →+∞==（7）111lim (ln(1)ln )lim lnlim ln(1)lim ln[(1)]ln 1xx x x x x x x x x x e xxx→+∞→+∞→+∞→+∞++-==+=+==（8）11limlim (coslim [1(cos1)]xx x x x +++→→→==+1l i m {[1(s }x +→=+-，而222sin2sin cos112lim lim lim 22x x x xx +++→→→--===-，故12limx e+-→=.习题1.61. 比较下列无穷小的阶.（1） 当0x →时，323x x +与sin x （2） 当1x →-时，1x +与31x +（3） 当0x →时，3tan x x x +与(1cos )x x +（4） 当0x →1与1-解：（1）由于32322033lim limlim (3)0sin x x x x x x xx x xx→→→++==+=，故323x x +是sin x 的高阶无穷小. （2）由于3211111limlim113x x x xx x →-→-+==+-+，故1x +是31x +的同阶无穷小.（3）由于33tan tan limlimlim0(1cos )(1cos )(1cos )x x x x x xx x xx x x x x x →→→+=+=+++，故3tan x x x +是(1cos )x x +的高阶无穷小.（4）由于21(1lim lim1x x x →→+==1与1-是等价无穷小.2. 证明：当0x →时， （1）x x 21~1+； （2）322(tan )x x o x +=证明：（1）由于01lim 1)lim02x x x →→-==，从而要证x x 21~1+只需计算极限即可.0limlim111)22x x xxx →→==，由定义即知x x 21~1+.（2）由于32lim (2)lim tan 0x x x x x →→+==，从而要证322(tan )x x o x +=只需计算极限即可.32322022limlimlim (2)0tan x x x x x x xx x xx→→→++==+=，由定义即知322(tan )x x o x +=.3. 利用极限的运算法则和无穷小的有关性质求下列极限. （1）21limcos 1xx ex →-- （2）21limsin1x xx x→∞+ （3）0limtan x x→（4）sin 01limln(13)xx ex →-+ （5）21limx x→-（6）0lim1x e →-（7）1limx → （8）213sin coslim(1cos )tan x x x x x x→++ （9）0limx +→（10）31lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x xx →∞+-+.解：（1）2221limlim21cos 12xx x ex x x→→-==--- （2）222211limsinlimlim111x x x xxxx xx xx x→∞→∞→∞===+++ （x →∞时，10x→，所以11sinxx）（3）0limlimlimlimtan tan tan tan x x x x xxxx→→→→==-（由()x x αα~1+）001111532lim lim236x x x x xx→→-=-=+=（4）sin 01sin 1limlimln(13)33xx x ex x x→→-==+（5）22201()1limlimlim 4x x x kx kx→→→-===（6）0limlim1xx x e →→=-lim1x →==，其中第一步用到了有理化.（7）111limlimlimx x x →→→===（8）222001113sin cos3sin cos cos3sin limlimlimlim(1cos )tan (1cos )(1cos )(1cos )x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx x→→→→++==+++++1cos33lim2(1cos )2x x x x →=+=+，其中第二项中，01lim cos 0x x x →= （无穷小乘以有界函数仍为无穷小） （9）01limlim 2x x ++→→==（10）3131lim [sin ln(1)sin ln(1)]lim sin ln(1)lim sin ln (1)x x x x x x xxxx→∞→∞→∞+-+=+-+3131lim ln(1)lim ln(1)lim lim 312x x x x x x xxxxxx→∞→∞→∞→∞=+-+=-=-=习题1.71. 讨论函数2,01,()2,1 2.x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩ 在1x =处的连续性.解：由于211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→===，故()f x 在1x =处左连续，又11lim ()lim (2)1(1)x x f x x f ++→→=-==，故()f x 在1x =处右连续，因此()f x 在1x =处连续.2. 求函数23()6x f x x x +=+-的连续区间，并求极限2lim ()x f x →、3lim ()x f x →-、0lim ()x f x →.解：由于()f x 为初等函数，所以()f x 在(,3)-∞-、(3,2)-和(2,)+∞上都连续.2lim ()x f x →=∞，2333311lim ()limlim625x x x x f x x x x →-→-→-+===-+--，031lim ()62x f x →==--3. 讨论下列函数的间断点，并指出间断点的类型. （1）21()2f x x x =+- （2）sin xy x=（3）21()cos f x x= （4）112xy =解：（1）由于()f x 为初等函数，故只有两个间断点，1x =和2x =-，而221211limlim 22x x x x x x →→-==∞+-+-，所以这两个都是第二类间断点.（2）由于sin xy x=为初等函数，故只在sin 0x =处间断，从而间断点为x k π=（k ∈Z ）.当0k =时，0lim 1sin x x x →=，故0x =为可去间断点；当0k ≠时，lim sin x k xx π→=∞，故x k π=（0k ≠）为第二类间断点.（3）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而当0x →时()f x 的左右极限都不存在，故0x =为第二类间断点.（4）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而11lim2x x-→=∞（当0x -→时，1x→-∞，120x →），故0x =为第二类间断点 4.已知函数0,(),0,2,0x f x a x x b x <==⎨⎪+>⎪⎩在0x =处连续，求a 与b 的值.解：由于()f x 在0x =处连续，故()f x 在0x =处既是左连续又是右连续，从而0lim ()lim 2lim ()lim (2)x x x x f x a f x x b b --++→→→→=====+=，即得2a b ==.5. 证明：方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根.证明：令5()31f x x x =--，显然()f x 在[1,2]上连续.又(1)13130f =--=-<，5(2)23213261250f =--=--=> ，由零点定理可知(1,2)ξ∃∈，使得()0f ξ=.即方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根. 6. 证明：方程3sin x x =在区间(,)2ππ内至少有一个实根.证明：令()3sin f x x x =-，显然()f x 在[,]2ππ上连续.又()3sin302222f ππππ=-=->，()3sin 0f ππππ=-=-<，由零点定理可知(,)2πξπ∃∈，使得()0f ξ=.即方程3sin x x =在区间(,)2ππ内至少有一个实根.7. 确定,a b 的值，使下式成立.（1）21lim ()01x x ax b x →+∞+--=+（2）lim )0x ax b →-∞-=.解：（1）由221(1)()1lim ()lim011x x x a x a b x bax b x x →+∞→+∞+--++---==++可知分子次数小于分母次数，从而10a -=，0a b +=.故1a =，1b =-. （2）由222lim )limx x ax b →-∞→-∞-=221(1)(12)(1)lim0x a x ab b →-∞--++-==可知21a =（若21a ≠，则极限为∞）且1a ≠（若1a =，则极限不能确定），因此1a =-.并且120ab +=，故12b =.8. 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，且()a f x b ≤≤，证明：必存在点[],c a b ∈，使得()f c c =.证明：令()()F x f x x =-，显然()F x 在区间[],a b 上连续，()()0F a f a a =-≥，()()0F b f b b =-≤.（i ） 若()0F a =，取c a =即得. （ii ） 若()0F b =，取c b =即得.（iii ）若()F a 与()F b 都不等于0，则有()()0F a F b < ，由零点定理可知(,)c a b ∃∈，使得()0F c =，即()f c c =.综合（i ）（ii ）（iii ）可得必存在点[],c a b ∈，使得()f c c =.复习题11. 已知2()x f x e =，[()]1f x x ϕ=-，且()0x ϕ≥，求()x ϕ并写出它的定义域.解：2()[()]1x f x e x ϕϕ==-，故2()ln(1)x x ϕ=-，而()0x ϕ≥，所以()x ϕ=，其定义域为(,0]-∞.2. 设函数1,0,()1,0.x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 2,0,()1,0.x x g x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 求[()]f g x ，[()]g f x .解：当0x ≥时，2()0g x x =≥ ，所以[()]1f g x =；当0x <时，()10g x x =->，所以[()]1f g x =.因此[()]1f g x ≡.当0x ≥时，()10f x =≥ ，所以2[()]11g f x ==；当0x <时，()10f x =-<，所以[()]1(1)2g f x =--=.因此1,0,[()]2,0.x g f x x ≥⎧=⎨<⎩.3. （1）设()f x 定义在区间(,)l l -内，判断函数1()[()()]2F x f x f x =+-与1()[()()]2G x f x f x =--的奇偶性；（2）证明：定义在区间(,)l l -内的任何函数()f x 都可以表示为一个偶函数与一个奇函 数之和.解：（1）由11()[()(())][()()]()22F x f x f x f x f x F x -=-+--=-+=可知()F x 为偶函数；由1()[()()]()2G x f x f x G x -=--=-，可知()G x 为奇函数.（2）显然()()()f x F x G x =+，故得证.4. 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，()g x 是()f x 的反函数，求()2xy f =及(21)y f x =+的反函数.解：由()2x y f =可得()2xg y =，故2()x g y =，所以()2xy f =的反函数为2()y g x =；由(21)y f x =+可得21()x g y +=，故()12g y x -=，所以(21)y f x =+的反函数为()12g x y -=.5. 求下列极限.（1）21111lim ()3153541n n →∞++++- ；（2）()()()nx x x n 22111lim +++∞→ ，（||1x <）； （3）2lim coscoscos222nn x x x →∞； （4）limn →∞； （5）142sin lim ()||1xx xe x x e →+++；（6）20lim (cot )sin xx ex x→-； （7）0lim (cosxx π+→； （8）1lim ()xx x x e →+.解：（1）2111111111111(1)31535412335572121n n n ++++=-+-+-++---+11(1)221n =-+，故21111111lim ()lim (1)31535412212n n n n →∞→∞++++=-=-+ . （2）()()()1111lim 22<+++∞→x xx x nn因()()()()()()()[]xxxx x x x x x x n nn--=-+++-=++++111111.1111122222 ，故()()()xxxxx x n nn n -=--=++++∞→∞→1111lim 111lim 1222.（注意到当||1x <时，12lim 0n n x+→∞=）（3）当0x ≠时，nnx x x x 2sin2cos2cos 2cos 2nn nnnx x x x x 2sin22sin2cos 2cos2cos 22=nnx x 2s i n2s i n =故=∞→nnn x x x x 2sin2cos2cos2coslim 2nnn x x 2sin 2sin lim∞→xx x x nnn sin 2.2sin lim==∞→；当0x =时，12sin 2cos2cos2coslim 2=∞→nnn x x x x .综合可知⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∞→.0,1,0,sin 2sin2cos2cos2coslim 2x x xxx x x x nnn （4≤≤，以及limlim1n n →∞→∞==，由两边夹原理可知lim1n →∞=.（5）1141302sin 21sin lim ()lim lim 1||1xxx x x xxxe x e x x xeee+++-→→→-+++=+=++，（1l i m x x e +→=∞）11442sin 2sin lim ()lim lim 211||11x xx x x xxe x e x x xee---→→→+++=+=-=-++（1lim 0x x e -→=）左右极限都存在并且相等，所以142sin lim ()1||1xx xe x x e →++=+.（6）2220cos (cos 1)(1)lim (cot )limlimsin sin xxxx x x ex e x ex x x x→→→-----==2201cos 1122limlimlimlim2xx x x x xx ex xxxx→→→→---=-=-=-.（7）0limlim lim x xxxx x eeπππ+→++→→==，而2112lim ln(coslim lim lim 2x x x x xxxxπππ++++→→→→-====-从而2lim xx e ππ+-→=（8）0111ln()limln()lim ()lim xxx x e x e xxxxx x x e ee→++→→+==，而1ln[1(1)]11limln()limlimlimlim2xxxxx x x x x x e x e x e x e xxxxx→→→→→++-+--+===+=，从而12lim ()x x x x e e →+=.6. （1）如果数列{}n x ，{}n y 都发散，问数列{}n n x y +是否发散？ （2）如果数列{}n x 收敛，{}n y 发散，问数列{}n n x y 是否一定发散？答：（1）不一定，比如{}{}{}n n x n y ==都发散，{}{2}n n x y n +=也发散.又{}{}n x n =与{}{}n y n =-都发散，但是{}{0}n n x y +=为常数列显然收敛.（2）也不一定.比如1{}{}n x n=收敛，{}{}n y n =发散，{}{1}n n x y =为常数列显然收敛；。
高等数学第一章课后习题答案
高等数学（本）第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤[]ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x班级 姓名 学号3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
天津科技大学《高等数学》(一
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天津科技大学《高等数学》(一•二)检测题答案
法线方程为：
x 3 y 1 z 3 ． 1 3 1
天津科技大学《高等数学》(一•二)检测题 9-6 答案
一、填空题
1． ( 2, 2) ， 8 ； 2． ( 1, 1) ， 0 ．
二、选择题
1．(A)； 2．(C)； 3．(B)； 4．(D)．
3．解：方程两边对 y 求导，有
x 2 y
1 xyz
( yz
x xz ) ， y
即
xyz
x x x xz 2 xyz 2 xyz yz xz ． 解得 . y y y xyz yz
4．解：方程两边微分得 2xdx 2ydy 2zdz
1 dz z
一、选择题
1. (A) 二、解答题 1．解：令 F ( x, y ) xy ln y 1, 则 Fx y, Fy x
1 y
F dy x dx Fy
y x 1 y
y2 1 xy
由原方程 x 0, y e
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天津科技大学《高等数学》(一•二)检测题答案
高等数学上册第1章习题解答
习题解答习题1.11．求下列函数的定义域： (1) 1arcsin(1)ln1xy x x+=-+-； 解 要使函数有定义，必须111101x x x-≤-≤⎧⎪+⎨>⎪-⎩，解之得01x ≤<，故函数的定义域为[0,1)．(2) 1ln(ln )y x =；解 要使函数有定义，必须ln 0ln 1x x >⎧⎨≠⎩，解之得1x >且e x ≠，故函数的定义域为(1,e)(e,)+∞．(3) y =解 要使函数有定义，必须232020x x x ⎧-+≥⎨-≥⎩，解之得1x ≤或2x =，故函数的定义域为(,1]{2}-∞．(4) y = 解要使函数有定义，必须1101x x ≤-⎪≥⎪+⎩，解之得1x ≥，故函数的定义域为[1,)+∞．(5) y =解 要使函数有定义，必须2sin ()0x π-≥，即2s i n ()0x π=，解之得0,1,2,x =±±，故函数的定义域为整数集Z ．(6) 210301x x y x x -≤<⎧=⎨<<⎩．解 要使函数有定义，必须10x -≤<或01x <<，故函数的定义域为[1,0)(0,1)-．2．判断下列各组中的两个函数是否相同，并说明理由：(1) 211x y x -=-，1y x =+；解 这两个函数不同．因为它们的定义域不同，前者的定义域为(,1)(1,)-∞+∞，而后者的定义域为(,)-∞+∞．(2) 1ln1x y x +=-，ln(1)ln(1)y x x =+--； 解 这两个函数不同．因为它们的定义域不同，前者的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞，而后者的定义域为(1,)+∞．(3) y y x =；解 这两个函数相同．因为y x ==所以它们的定义域与对应法则均相同．(4) y =，cos y x =；解 这两个函数不同．因为cos y x ==，所以它们的对应法则不同． (5) e xy =，e ts =．解 这两个函数相同．因为它们的定义域与对应法则均相同．3．下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？ (1) cos esin x y x x =；解 因为cos()cos ()esin()e sin ()x x y x x x x x y x --=--==，所以所给函数是偶函数．(2) (ln y x =；解 因为((()ln ln ()y x x x y x -=-+==-+=-，所以所给函数是奇函数．(3) ln(y x =；解 因为()()y x y x -≠，且()()y x y x -≠-，所以所给函数是非奇非偶函数． (4) 1ln1xy x-=+； 解 因为11()ln ln ()11x xy x y x x x+--==-=--+，所以所给函数是奇函数． (5) e e x x y -=+；解 因为()e e e e ()x x x x y x y x -+--=+=+=，所以所给函数是偶函数． (6) 1010x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩；解 因为10101010()()10101010x x x x x x x x y x y x x x x x x x x x +-<+>-≤-<⎧⎧⎧⎧-=====⎨⎨⎨⎨--≥-≤+>+≥⎩⎩⎩⎩，所以所给函数是偶函数．(7) 1010x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩；解 因为()()y x y x -≠，且()()y x y x -≠-，所以所给函数是非奇非偶函数．(8) 100010x x y x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩． 解 因为10(1)0()0000()10(1)0x x x x y x x x y x x x x x ---<--<⎧⎧⎪⎪-=====-⎨⎨⎪⎪-+->-+>⎩⎩，所以所给函数是奇函数．4．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，当01x <≤时，2()1f x x x =++，求()f x 的表达式．解 当10x -≤<时，01x <-≤，故22()()()()11f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-+=-+-⎣⎦． 又由奇函数定义得(0)0f =，于是，22110()00101x x x f x x x x x ⎧-+--≤<⎪==⎨⎪++<≤⎩．5．已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，当10x -≤≤时，3()1f x x =+，求()f x 的表达式．解 当01x <≤时，10x -≤-<，故33()()()11f x f x x x =-=-+=-+．于是，33110()101x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨-+<≤⎩．6．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的周期为1的周期函数，已知在[0,1)上，2()f x x =，求()f x 在闭区间[0,2]上的表达式．解 当12x ≤<时，011x ≤-<，故2()(1)(1)f x f x x =-=-．又(2)(0)0f f ==，于是，2201()(1)1202x x f x x x x ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪=⎩． 7．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的周期为2π的周期函数，且()f x 是偶函数，已知在[0,π]上，3()f x x =，求()f x 在闭区间[π,2π]上的表达式．解 当[π,2π]x ∈时，02ππx ≤-≤，故3()(2)(2)(2)f x f x f x x =-π=π-=π-．8．求下列函数的反函数： (1) 11xy x-=+； 解 由11x y x -=+得，11yx y-=+．故所给函数的反函数为11x y x -=+． (2) 221xx y =+；解 由221x x y =+得，2log 1yx y=-．故所给函数的反函数为2log 1x y x =-．(3) ln(2)1y x =++；解 由ln(2)1y x =++得，1e 2y x -=-．故所给函数的反函数为1e 2x y -=-．(4) 20xx y xx <⎧=⎨≥⎩． 解 由200xx y xx <⎧=⎨≥⎩得，00yy x y <⎧⎪=≥．故所给函数的反函数为00x x y x <⎧⎪=≥．9．设2211()f x x xx +=+，求1()f x ． 解 因为222111()()2f x x x x x x+=+=+-，故2()2f u u =-．于是，211()2f x x=-． 10．设1()f x x=+()f x ．解 令1t x =，则1x t=，故11()f t t t ==+．于是，1()f x x =+11．设11()211x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，求(1)f x +，(ln )f x 及(sin )f x ．解 21120(1)2111210x x x x f x x x x x ++≤+≤⎧⎧+==⎨⎨++>+>⎩⎩； ln 1ln 1ln 1e(ln )2ln 1ln 12ln 1e x x x x f x x x x x +≤+≤⎧⎧==⎨⎨->->⎩⎩； (sin )sin 1f x x =+．12．设20(1)1020x x f x x x x ⎧<⎪+==⎨⎪>⎩，求(1)f x -，2()f x 及()x f e ． 解 令1x t +=，则1x t =-，故2(1)1()112(1)1t t f t t t t ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩．于是， 2(2)2(1)122(2)2x x f x x x x ⎧-<⎪-==⎨⎪->⎩；2222(1)1()112(1)1x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩；2(e 1)0(e )102(e 1)0x x x x f x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩． 13．设11()0111x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩，()e x g x =，求[()]f g x 及[()]g f x ． 解 1()11e 1[()]0()10e 11()11e 1x x x g x f g x g x g x ⎧⎧<<⎪⎪====⎨⎨⎪⎪->->⎩⎩；()1e 1[()]e 11e 1f x xg f x x x -⎧<⎪===⎨⎪>⎩． 14．设1()1xe xf x xx ⎧<=⎨≥⎩，220()10x x g x x x +<⎧=⎨-≥⎩，求[()]f g x 及[()]g f x ． 解22121210[()]01x x e x x x f g x ex x x +-⎧<-⎪+-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪-≥⎩2211[()]11x e x g f x x x ⎧-<=⎨-≥⎩．15．设()ln f x x =，2[()]ln 2f x x ϕ=+，求()x ϕ． 解 因为2[()]ln ()ln 2f x x x ϕϕ==+，所以2()2e x x ϕ= 16．已知()f x 的定义域为(0,1]，求下列复合函数的定义域：(1) (ln )f x ； (2) (e 1)xf -； (3) 1133f x f x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解 (1) 函数(ln )f x 的定义域为{}{}ln (0,1]1e (1,e]D x x x x =∈=<≤=．(2) 函数(ln )f x 的定义域为{}{}e 1(0,1]0ln 2(0,ln 2]xD x x x =-∈=<≤=．(3) 函数1133f x f x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为11(0,1](0,1]33D x x x x ⎧⎫⎧⎫=-∈+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭14123333x x x x ⎧⎫⎧⎫=<≤-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭12,33⎛⎤= ⎥⎝⎦．17．指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成的： (1) y=解 函数y =y 3221u x x =++复合而成．(2) 2e 1e 1x x y ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭；解 函数2e 1e 1x x y ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭由2y u =，e 1e 1x x u +=-复合而成．(3) 21arcsin y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；解 函数21arcsin y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭由2y u =，arcsin u v =，1v x =复合而成．(4) sine y =解 函数sine y =由u y e =，2u v =，sin v w =，w =(5) 2(sin cos 1)1y x x =+++；解 函数2(sin cos 1)1y x x =+++由21y u =+，sin cos 1u x x =++复合而成．(6) y =．解 函数sin y =sin y u =，u =ln v w =，21w x =+复合而成．习题1.21．观察下列数列的变化趋势，指出是收敛还是发散．如果收敛，写出其极限：(1) nn x = (2) 121n n x n +=-；(3) 1sin n x n n π=； (4) [1(1)]1n n nx n =+-+； (5) 22n n x n =； (6) 233n nn nx +=． 解 (1) 收敛于0；(2) 收敛于12；(3) 收敛于0；(4) 发散；(5) 发散；(6) 收敛于1．2．根据数列极限的定义证明： (1) 21lim0n n →∞=；证 对于任意给定的正数ε， 要使210n ε-<，只要21n ε<，即n >． 于是，取正整数N≥，则当N n >时，总有210n ε-<．据数列极限的定义，得21lim0n n →∞=．(2) 313lim212n n n →∞-=+．证 对于任意给定的正数ε，由于313521242n n n --=++， 故要使313212n n ε--<+，只要542n ε<+，即524n εε->． 于是，取正整数524N εε-≥，则当N n >时，总有313212n n ε--<+．据数列极限的定义，得313lim212n n n →∞-=+．3．证明：lim 0n n x →∞=当且仅当lim 0n n x →∞=．证 据数列极限的定义，lim 0n n x →∞=⇔对于任意给定的正数ε， 存在正整数N ，当N n >时，有0n x ε-<；lim 0n n x →∞=⇔对于任意给定的正数ε， 存在正整数N ，当N n >时，有0n x ε-<．由于00n n n x x x -==-，故lim 0n n x →∞=当且仅当lim 0n n x →∞=．4．证明：若lim n n x a →∞=，则lim n n x a →∞=．证 由于()n n n x x a a x a a =-+≤-+， ()n n n n a a x x x a x =-+≤-+，所以n n x a x a -≤-因为lim n n x a →∞=，所以据数列极限的定义，对于任意给定的正数ε， 存在正整数N ，当N n >时，有n x a ε-<，从而n x a ε-<．再据数列极限的定义，有lim n n x a →∞=．5．对于数列{}n x ，若21lim k k x a -→∞=，且2lim k k x a →∞=，证明：lim n n x a →∞=．证 对于任意给定的正数ε，由21lim k k x a -→∞=知，存在正整数1K ，当1k K >时，有21k x a ε--<；由2lim k k x a →∞=知，存在正整数2K ，当2k K >时，有2k x a ε-<；取{}12max 21,2N K K =-，由当n N >时，有n x a ε-<．因此，lim n n x a →∞=．习题1.31．设e 0()1x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，求lim ()x f x →-∞及lim ()x f x →+∞，并说明lim ()x f x →∞是否存在．解 l i m ()l i m e xx x f x→-∞→-∞==，1lim ()lim0x x f x x→+∞→+∞==．因为lim ()lim ()0x x f x f x →-∞→+∞==，所以lim ()x f x →∞存在，且lim ()0x f x →∞=．2．设()xf x x =，证明0lim ()x f x →不存在．证 000l i m ()l i m l i m 1x x xx x f x xx ---→→→-===-， 000lim ()lim lim 1x x x x xf x x x+++→→→===． 因为0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以0lim ()x f x →不存在．3．设210()10201x x f x x x x ⎧-<<⎪==⎨⎪<≤⎩，求：(1) 0lim ()x f x →； (2) 1lim ()x f x +→-； (3) 1lim ()x f x -→． 解 (1) 因为2lim ()lim 0x x f x x --→→==，0lim ()lim 20x x f x x ++→→==，故0lim ()0x f x →=． (2) 211lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==．(3) 11lim ()lim 22x x f x x --→→==． 4．设210()201113xx f x xx x x -<<⎧⎪=-<<⎨⎪+≤<⎩，求： (1) 1lim ()x f x +→-；(2) 0lim ()x f x →；(3) 1lim ()x f x →；(4) 2lim ()x f x →；(5) 3lim ()x f x -→． 解 (1) 11lim ()lim 22x x f x x ++→-→-==-．(2) 因为0lim ()lim 20x x f x x --→→==，0lim ()lim (2)0x x f x x ++→→=-=，故0lim ()0x f x →=． (3) 因为11lim ()lim(2)2x x f x x --→→=-=-，11lim ()lim(1)2x x f x x ++→→=+=，故1lim ()x f x →不存在．(4) 22lim ()lim(1)3x x f x x →→=+=．(5) 33lim ()lim(1)4x x f x x --→→=+=． 5．根据函数极限的定义证明： (1) 11lim22x x x →∞+=；证 对于任意给定的正数ε，由于111222x x x+-=， 故要使1122x x ε+-<，只要12x ε<，即12x ε>．于是，取正数12X ε=，则当||x X >时，就有1122x x ε+-<．据函数极限的定义，得11lim22x x x →∞+=．(2) 211lim 21x x x →-=-．证 对于任意给定的正数ε，由于21211x x x --=--， 故要使2121x x ε--<-，只要1x ε-<． 于是，取正数δε=，则当01x δ<-<时，就有2121x x ε--<-．据函数极限的定义，得211lim 21x x x →-=-． 6．证明：lim ()x f x A →∞=的充分必要条件是lim ()lim ()x x f x f x A →-∞→+∞==．证 (1) 必要性 若lim ()x f x A →∞=，则对于任意给定的正数ε，存在正数X ，当x X >时，有()f x A ε-<，即当x X >或x X <-时，均有()f x A ε-<，故l i m ()x f x A →-∞=，且lim ()x f x A →+∞=．(2) 充分性 若lim ()lim ()x x f x f x A →-∞→+∞==，则对于任意给定的正数ε，存在正数1X 及2X ，当1x X <-或2x X >时，均有()f x A ε-<．令{}12max ,X X X =，则当x X >时，有1x X <-或2x X >，从而有()f x A ε-<，故lim ()x f x A →∞=．7．证明：0lim ()x x f x →＝A 的充分必要条件是0lim ()x x f x -→＝0lim ()x x f x +→＝A ．证 (1) 必要性 若0lim ()x x f x A →=，则对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，即当00x x x δ-<<或00x x x δ<<+时，均有()f x A ε-<，故0lim ()x x f x A -→=，且0lim ()x x f x A +→=．(2) 充分性 若0lim ()x x f x -→＝0lim ()x x f x +→＝A ，则对于任意给定的正数ε，存在正数1δ及2δ，当010x x x δ-<<或002x x x δ<<+时，均有()f x A ε-<．令{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<时，有0100x x x x δδ-<-<<或0002x x x x δδ<<+<+，从而有()f x A ε-<，故0lim ()x x f x A →=．习题1.41．下列函数在其自变量的指定变化过程中哪些是无穷小？哪些是无穷大（包括正无穷大与负无穷大）？哪些既不是无穷小也不是无穷大？(1) 1()x f x x-=，当0x →时； 解 因为001limlim 0()1x x xf x x →→==-，所以当0x →时，函数()f x 为无穷大． (2) 221()x f x x+=，当x →∞时； 解 因为221lim ()lim0x x x f x x →∞→∞+==，所以当x →∞时，函数()f x 为无穷小． (3) 21()x f x x+=，当0x →时；解 因为2001lim lim 0()1x x x f x x →→==+，且当(0,1)o x U ∈时，21()0x f x x+=>，所以当0x →时，函数()f x 为正无穷大．(4) 2()(1)xf x x =+，当1x →-时；解 因为2111(1)lim lim 0()x x x f x x→-→-+==，且当(1,1)o x U ∈-时，2()0(1)x f x x =<+，所以当1x →-时，函数()f x 为负无穷大．(5) ()e x f x =，当x →∞时； 解 因为lim ()lim e 0xx x f x →∞→∞=≠且1limlim e 0()x x x f x -→∞→∞=≠，所以当x →∞时，函数()f x 既不是无穷小也不是无穷大．(6) 2()1f x x x =++，当x →-∞时； 解 因为211limlim 0()1x x f x x x →-∞→-∞==++，又当x 充分大，且0x <时，()0f x >，所以当x →-∞时，函数()f x 为正无穷大．(7) sin ()xf x x=，当x →∞时； 解 因为1lim ()lim sin 0x x f x x x→∞→∞==，所以当x →∞时，函数()f x 为无穷小．(8) ()sin f x x =，当x →∞时； 解 因为lim ()lim sin 0x x f x x →∞→∞=≠且11limlim 0()sin x x f x x→∞→∞=≠，所以当x →∞时，函数()f x 既不是无穷小也不是无穷大．2．下列函数在自变量的哪些变化过程中为无穷小？在自变量的哪些变化过程中为无穷大（包括正无穷大与负无穷大）？(1) 31()x f x x+=； 解 当1x →-或x →∞时为无穷小，当0x →时为无穷大．(2) 32()32x xf x x x -=-+；解 当0x →或1x →-时为无穷小，当2x →或当x →∞时为无穷大．(3) ()ln f x x =．解 当1x →时为无穷小，当0x +→时为负无穷大，当x →+∞时为正无穷大． 3．利用无穷小的性质求下列极限： (1) arctan limx xx→∞；解 因为πarctan 2x <，且1lim 0x x →∞=，所以arctan 1lim lim arctan 0x x x x xx →∞→∞==． (2) 2(1)sin limx x x x→∞+； 解 因为sin 1x ≤，且21lim0x x x →∞+=，所以22(1)sin 1lim lim sin 0x x x x x x x x→∞→∞++==． (3) 1cos limx x x→∞+；解 因为1cos 2x +≤，且1lim0x x →∞=，所以 1cos 1lim lim (1cos )0x x x x xx →∞→∞+=+=． (4) 0sin limx x x x→； 解 因为1xx≤，且0lim sin 0x x →=，所以0sin limlim sin 0x x x x xx xx →→==． (5) 2lim 21x x x →∞+；解 因为222121lim lim 0x x x x x x →∞→∞+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2lim 21x x x →∞=∞+．(6) 3lim(1)x x x →∞--；解 因为332311lim lim 01111x x x x x x x→∞→∞==----，所以3lim(1)x x x →∞--=∞．(7) lim sin cos x xx x→∞+；解因为sin cos x x +≤1lim 0x x→∞=，所以sin cos 1lim lim (sin cos )0x x x x x x x x →∞→∞+=+=， 从而 limsin cos x xx x→∞=∞+．(8) 2212lim (1)x x xx →+-．解 因为221(1)lim 02x x x x →-=+，且当(1,1)o x U ∈时，2220(1)x x x +>-，所以2212lim (1)x x xx →+=+∞-． 4．函数sin y x x =在(,)-∞+∞内是否有界？此函数是否为当x →∞时的无穷大？ 解 对任意0M >，必存在正整数k ，使2k M ππ+>．记02x k π=π+，则 00sin ()sin()222x x k k k M πππ=π+π+=π+>，故函数sin y x x =在(,)-∞+∞内无界．对1M =，对任意0X >，存在0x k =π，使0x X >，但00sin sin()01x x k k M =ππ=<=．因此，函数sin y x x =不是当x →∞时的无穷大．习题1.51．求下列极限：(1) 224lim 2x x x →--；解 22224(2)(2)limlim lim(2)422x x x x x x x x x →→→-+-==+=--． (2) 230lim x x x x x→-+；解 2322000(1)1lim lim lim 1(1)1x x x x x x x x x x x x x →→→---===-+++．(3) 01lim x x x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 解 201lim lim(1)1x x x x x x →→⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭． (4) 22468lim 34x x x x x →-+--；解 2244468(2)(4)22lim lim lim 34(1)(4)15x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===--+-+．(5) 3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； 解 32211113(1)(2)2lim lim lim 111(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x →→→-++⎛⎫-===-⎪----++-++⎝⎭． (6) 2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭； 解 222241(2)11lim lim lim 42(2)(2)24x x x x x x x x x →→→---⎛⎫-===-⎪--+-+⎝⎭． (7) 322lim 2121x x x x x →∞⎛⎫- ⎪-+⎝⎭；解 322lim 2121x x x x x →∞⎛⎫-⎪-+⎝⎭3222111lim lim (21)(21)4(2)(2)x x x x xx x x x→∞→∞++===-+-+． (8) 3(2)(23)(34)lim n n n n n→∞+++； 解 3(2)(23)(34)234limlim 1236n n n n n n n n n →∞→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (9) 111lim 1242n n →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭； 解 1111112lim 1lim2124212n n n n +→∞→∞⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++⋅⋅⋅+== ⎪⎝⎭-．(10) 21lim 31n n n →∞+-；解 212133lim lim 03113nn n nn n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--． (11) sin limsin x x xx x→∞+-；解 11sin sin lim lim 11sin 1sin x x xx x x x x x x→∞→∞++==--． (12) 22arctan lim 231x x x xx x →∞+++．解 22211arctan arctan 1lim lim 11231223x x xx x x x x x x x→∞→∞++==++++． 2．设3222221133()1232222x x x x x x f x x x x x x x x ⎧-+-<⎪-⎪-⎪=<<⎨-+⎪-⎪>⎪--⎩，试分别求()f x 在点1x =及2x =处的左右极限，并说明1lim ()x f x →与2lim ()x f x →是否存在．解 32211122lim ()lim lim(2)31x x x x x x f x x x ---→→→-+-==+=-， 2111333lim ()lim lim 3322x x x x f x x x x ++-→→→--===-+-， 因为11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，所以1lim ()x f x →存在，且1lim ()3x f x →=． 2222333lim ()lim lim 322x x x x f x x x x ---→→→--===+∞-+-， 2222211lim ()lim lim 213x x x x f x x x x +++→→→-===--+， 因为2lim ()x f x -→不存在，所以2lim ()x f x →不存在． 3．设334342312()342041x x x x x f x x x x x x x ⎧++<⎪⎪+=⎨++⎪≥⎪++⎩，求lim ()x f x →-∞及lim ()x f x →+∞，并说明lim ()x f x →∞是否存在．解 33231lim ()lim22x x x x f x x x →-∞→-∞++==+，434342lim ()lim 341x x x x xf x x x →+∞→+∞++==++， 因为lim ()lim ()x x f x f x →-∞→+∞≠，所以lim ()x f x →∞不存在．4．设243()1x f x ax b x +=++-，若已知： (1) lim ()0x f x →∞=； (2) lim ()2x f x →∞=； (3) lim ()x f x →∞=∞，试分别求这三种情形下常数a 与b 的值．解 2243(4)()(3)()11x a x b a x b f x ax b x x +++-+-=++=--． (1) 由lim ()0x f x →∞=得40a b a +=⎧⎨-=⎩，故4a b ==-．(2) 由lim ()2x f x →∞=得402a b a +=⎧⎨-=⎩，故4a =-，2b =-．(3) 由lim ()x f x →∞=∞得40a +≠，故4a ≠-，b 为任意实数．5．已知232lim 3x x x k x →-+-存在且等于a ，求常数k 与a 的值．解 因为232lim3x x x ka x →-+=-，故 222333322lim(2)lim (3)lim lim(3)0033x x x x x x k x x kx x k x x a x x →→→→-+-+-+=-=⋅-=⋅=--． 另一方面，23lim(2)3x x x k k →-+=+，故3k =-．于是233323(3)(1)lim lim lim(1)433x x x x x x x a x x x →→→---+===+=--．6．已知21lim 1x x kx x →∞⎛⎫+-⎪+⎝⎭存在且等于a ，求常数k 与a 的值． 解 因为221(1)1lim lim 11x x x k x kx kx a x x →∞→∞⎛⎫+--+-== ⎪++⎝⎭， 故10k k a -=⎧⎨-=⎩，由此得：1k =，1a =-．7．设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且lim 0n n a →∞=，lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞．指出下列陈述哪些是正确的，哪些是错误的．如果是正确的，说明理由；如果是错误的，给出反例．(1) n n a b < ()+N n ∀∈； (2) n n b c < ()+N n ∀∈； (3) lim 0n n n a c →∞=； (4) lim n n n a c →∞=∞；(5) lim n n n a c →∞不存在； (6) lim n n n b c →∞不存在．解 (1) 错误，例如：2n a n =，1n n b n =+． (2) 错误，例如：1n nb n =+，(1)n n c n =-． (3) 错误，例如：1n a n =，n b n =．(4) 错误，例如：1n a n =，n b n =．(5) 错误，例如：1n a n=，n b n =．(6) 正确，因为若lim n n n b c →∞存在，则11lim lim lim()lim n n n n n n n n n n n c b c b c b b →∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也存在，与已知条件矛盾．习题1.61．求下列极限：(1) 222233331111lim 2(1)n n n n n nn n n n n n n →∞⎡⎤+++++++⋅⋅⋅+⎢⎥+++-⎣⎦； 解 因为222222333333(1)1111(1)(1)2(1)n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n ++++++≤+++⋅⋅⋅+≤+-+++-， 而且223211(1)lim lim 111(1)1n n n nn n n n n n→∞→∞++==+-+-，232(1)1lim lim(1)1n n n n n n →∞→∞+=+=， 故由夹逼准则得222233331111lim 12(1)n n n n n n n n n n n n n →∞⎡⎤+++++++⋅⋅⋅+=⎢⎥+++-⎣⎦．(2) lim n →∞⎛⎫⋅⋅⋅+； 解 因为≤≤，而且lim1n n ==，1n n ==，故由夹逼准则得lim 1n →∞⎛⎫⋅⋅⋅+=． (3) 1234lim 3x x xxx →+∞⎛⎫++⎪⎝⎭；解 因为1111442343443333x x x x xxxxx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅=≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而且14lim43x x→+∞=，故由夹逼准则得1234lim 43x x xxx →+∞⎛⎫++= ⎪⎝⎭．(4) n 解 因为133n n+≤≤=，而且1lim 33n nx +→+∞=，故由夹逼准则得3n =．2．利用极限存在准则证明：(1) !lim0nn n n →∞=；证 记!n n n x n =，则1(1)!(1)1!(1)nn n n nn x n n n x n n +++==<+，故数列{}n x 单调减少；又!0n n n x n=>，故数列{}n x 有下界．由单调有界准则得，lim n n x →∞存在．令lim n n x x →∞=，则由1(1)nn n nn x x n +=+两边令n →∞得，1e x x =，故0x =．于是， !lim0nn n n →∞=．(2) lim 0(0)!nn a a n →∞=>； 证 记!n n a x n =，则11(1)!11!n n n n a x a n a x n n +++==<+（当n 充分大时），故数列{}n x 单调减少；又0(0)!nn a x a n =>>，故数列{}n x 有下界．由单调有界准则得，lim n n x →∞存在． 令lim n n x x →∞=，则由11n n ax x n +=+两边令n →∞得，0x =．于是， lim 0(0)!n n a a n →∞=>． (3) 222111lim 123n n →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭存在． 证 因为 222111111011231223(1)n n n<+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅ 111111(1)()()2231n n =+-+-+⋅⋅⋅+--122n=-<，故数列222111123n ⎧⎫+++⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭有界，又显然数列222111123n ⎧⎫+++⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭单调增加，故由单调有界准则得，222111lim 123n n →∞⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭存在． 3．设1x (0)a >，1n x +=(1,2,)n =⋅⋅⋅，证明lim n n x →∞存在，并求该极限．证 先用数学归纳法证明1n n x x +>：由于21x x ==>=，故当1n =时，1n n x x +>成立．假设当n k =时，1n n x x +>成立，即1k k x x +>，则21k k x x ++=，故当1n k =+时，1n n x x +>也成立．据归纳法原理得，对任意正整数，均有1n n x x +>，即数列{}n x 单调增加．又由1n n x x +=>得，20n n x x a --<，从而12n x +<，故数列{}n x 有上界．由单调有界准则得，lim n n x →∞存在．令lim n n x x →∞=，则由1n x +=n →∞得，20n n x x a --=．于是，1lim 2n n x →∞=． 4．求下列极限：(1) lim sinn n n→∞π；解 ππsinπlim sin limππn n n n n n→∞→∞⋅==． (2) 0sin 2lim tan 3x xx→；解 00sin 22sin 222lim lim sin 3333x x xx x x x→→⋅==⋅．(3) 31sin(1)lim 1x x x →--； 解 3211sin(1)sin(1)1limlim 1(1)(1)3x x x x x x x x →→--==--++． (4) 2cos lim2x xx π→-π；解 π22πsin()cos 12lim lim π222()2x x x x x x π→→-==--π--． (5) sin lim tan x xxπ→；解 sin limlimcos 1tan x x xx x →π→π==-． (6) 20sec cos lim x x xx →-；解 22200sec cos sin limlim 1cos x x x x xx x x →→-==．(7) 0lim x -→解0022lim limlim lim 22x x x x x x xx----→→→→⋅====(8) 01cos 4limsin x xx x→-；解 222000sin 281cos 42sin 2(2)limlim lim 8sin sin sin x x x xx x x x x xx x x→→→⋅-===．(9) 02sin lim 2sin x x xx x→-+；解 00sin 22sin 1lim lim sin 2sin 32x x x x x x x x x x→→--==++． (10) lim 2sin (0)2nn n x x →∞≠．解 sin 2lim 2sin lim 22n n n n n nx xx x x →∞→∞⋅==．5．求下列极限：(1) 3lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭；解 33333lim 1lim 1e xxx x x x ---→∞→∞⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． (2) 21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭； 解 22211lim lim 1e xx x x x x x →∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．(3) ()cot 0lim 1tan xx x →-；解 ()[]11cot 1tan 0lim 1tan lim 1(tan )e xx x x x x ---→→⎧⎫-=+-=⎨⎬⎩⎭． (4) ()311lim 32x x x -→-；解 ()[]613622111lim 32lim 1(22)e x x x x x x ----→→⎧⎫-=+-=⎨⎬⎩⎭． (5) 2csc 0lim(cos 2)xx x →；解 22221csc 2csc222sin 00lim(cos 2)lim(12sin )lim 1(2sin )e xxx x x x x x x ---→→→⎧⎫⎡⎤=-=+-=⎨⎬⎣⎦⎩⎭． (6) 2lim 2xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭； 解 422444244lim lim 11e 1e 222x xx x x x x x -→∞→∞⎧⎫⎡⎤+⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⋅+=⋅=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭． (7) 224lim 21xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭； 解 521215552455lim lim 11e 1e 212121x xx x x x x x -+----→∞→∞⎧⎫⎡⎤---⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⋅+=⋅=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭． (8) 2223lim 1n n n n →∞⎛⎫+⎪+⎝⎭； 解 222112222222322lim lim 11e 1e 111n n n n n n n n +-→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⋅+=⋅=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭． (9) 211lim x x x-→；解 []22121111lim lim 1(1)e x x x x xx --→→⎧⎫=+-=⎨⎬⎩⎭． (10) 11lim(2)x x x x +→-+．解 [][]1(1)11111lim(2)lim 1(1)1(1)e x x x x x x x x ⋅--++→-→-⎧⎫+=++++=⎨⎬⎩⎭．习题1.71．当0x →时，2x x -与23x x -相比，哪一个是高阶无穷小？解 因为23200lim lim 0x x x x x x x →→-==-,所以当0x →时，23x x -是比2x x -高阶的无穷小.2．当1x →时，无穷小1x -与下列无穷小是否同阶？是否等价？(1) 21x -； (2) 1)； (3)11x-； (4) ln x ． 解 (1) 因为211111lim lim 112x x x x x →→-==-+,所以当1x →时，无穷小1x -与21x -同阶但不等价．(2) 因为111lim 12x x →→==,所以当1x →时，无穷小1x -与1)同阶且等价．(3) 因为111limlim()111x x x x x→→-=-=--,所以当1x →时，无穷小1x -与11x -同阶但不等价．(4) 因为111111limlim lim 1ln ln[1(1)]1x x x x x x x x x →→→---===+--,所以当1x →时，无穷小1x -与ln x 同阶且等价．3．设当0x →时，sec cos x x -a 与n ．解 因为当0x →时，sec cos x x -22000lim112x x x xnxxa→→→→====, 由此得:14a=，2n=.4．设当0x→时，21cos()x-是sin nx x的高阶无穷小，而sin nx x又是2e1x-的高阶无穷小，求正整数n．解因为当0x→时，2411cos()~2x x-，1sin~n nx x x+，22e1~x x-，故由题设得:412n>+>，从而2n=.5．已知当0x→时，x的k阶无穷小，求常数k．解因为当0x→时，x的k阶无穷小，且2 0000111ln[1(cos1)](cos1)224lim lim limk k k x x x xx x xx x x →→→→+---===,故12a=，2k=.6．利用等价无穷小代换法求下列极限：(1)arctan2limarcsin3xxx→；解00arctan222lim limarcsin333x xx xx x→→==．(2)21lime1xx→-；解222001112lim lim2e1xx xxx→→==-．(3)23sinlimtan()xx xx→；解223300sinlim lim1tan()x xx x x xx x→→⋅==．(4) 0ln(12)lim 1sec x x x x→--；解 0002ln(12)ln(12)cos (2)lim lim lim 411sec (1cos )2x x x x x x x x x x x x x→→→--⋅-===----．(5) 20sin tan limln(1)x x xx x →-+；解 22220001()sin tan tan (cos 1)12lim lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x x x x x x x x x x x →→→---===-++⋅． (6) 1e e lim ln x x x→-；解 1111e e e(e 1)e(1)lim lim lim e ln ln[1(1)]1x x x x x x x x x -→→→---===+--．(7) 1lim lnx x x x→∞+； 解 111lim lnlim ln 1lim 1x x x x x x x x x x →∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (8) 0sin()lim sin m n x x x→(,)+N m n ∈． 解 0000sin()limlim lim 1sin mmm n n n x x x m nx xx m n x x m n -→→→>⎧⎪====⎨⎪∞<⎩．习题1.81．研究下列函数在指定点处的连续性：(1) ()110()exx x f x x ⎧⎪-≠=⎨=⎪⎩，0x =；解 因为()110lim ()lim 1e (0)xx x f x x f -→→=-=≠，所以()f x 在点0x =处不连续．(2) sin 0()1x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，0x =；解 因为00sin lim ()lim1(0)x x xf x f x→→===，所以()f x 在点0x =处连续．(3) 20()20111x x f x xx x x ⎧<⎪=<<⎨⎪-≥⎩，0x =，1x =． 解 因为()f x 在点0x =处无定义，所以()f x 在点0x =处不连续．因为11lim ()lim 22x x f x x --→→==，11lim ()lim(1)0x x f x x ++→→=-=，所以11lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠， 从而()f x 在点1x =处不连续．2．讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型：(1) 221()32x f x x x -=-+；解 ()f x 为初等函数，其定义域为(,1)(1,2)(2,)-∞+∞．由初等函数的连续性知，函数()f x 在其定义区间(,1),(1,2),(2,)-∞+∞内连续，而点1x =及2x =为间断点．因为2211111lim ()lim lim 2322x x x x x f x x x x →→→-+===--+-， 所以1x =是)(x f 的第一类间断点，且是可去间断点．因为22221lim ()lim 32x x x f x x x →→-==∞-+， 所以2x =是)(x f 的第二类间断点，且是无穷间断点．(2) 22()(1)x xf x x x -=-； 解 ()f x 为初等函数，其定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞．由初等函数的连续性知，函数()f x 在其定义区间(,1),(1,0),(0,1),(1,)-∞--+∞内连续，而点1x =-，0x =及1x =为间断点．因为2211lim ()lim (1)x x x xf x x x →-→--==∞-， 所以1x =-是)(x f 的第二类间断点，且是无穷间断点．因为220001lim ()lim lim 1(1)(1)x x x x x f x x x x ---→→→-===---+， 220001lim ()lim lim 1(1)1x x x x x f x x x x +++→→→-===-+， 所以0x =是)(x f 的第一类间断点，且是跳跃间断点． 因为2211111lim ()lim lim (1)12x x x x x f x x x x →→→-===-+， 所以1x =是)(x f 的第一类间断点，且是可去间断点．(3) 21e 0()10e 10xx x f x x x x⎧⎪<⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩； 解 ()f x 为分段函数，显然()f x 在区间(,0),(0,)-∞+∞内连续．因为100lim ()lim e 0xx x f x --→→==， 22000e 1lim ()lim lim 0x x x x x f x xx +++→→→-===，但(0)1f =，所以0x =是)(x f 的第一类间断点，且是可去间断点．(4) 2ln 01()(1)122x x f x x x x ⎧⎪<<⎪⎪=-≤≤⎨⎪>．解 ()f x 为分段函数，显然()f x 在区间(0,1),(1,2),(2,)+∞内连续． 因为11lim ()lim ln 0x x f x x --→→==， 211lim ()lim(1)0x x f x x ++→→=-=， 且(1)0f =，所以1x =是)(x f 的连续点．因为222lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=，2222(2)lim ()lim lim 2)42x x x x x f x x ++++→→→→-====-， 所以2x =是)(x f 的第一类间断点，且是跳跃间断点．3．求函数()f x =2lim ()x f x →． 解 ()f x 为初等函数，其定义域为(,3)[1,2)(2,)-∞--+∞．由初等函数的连续性知，函数()f x 的连续区间为(,3),[1,2),(2,)-∞--+∞．22lim ()x x x f x →→→===4．设21cos 0()00x x x f x bx x ⎧-<⎪⎪⎪==⎨> (0)a > 当常数,ab 为何值时，(1) 0x =是函数()f x 的连续点？ (2) 0x =是函数()f x 的可去间断点？ (3) 0x =是函数()f x 的跳跃间断点？解 22200011cos 12lim ()lim lim 2x x x xx f x x x ---→→→-===，0lim ()lim lim x x x f x +++→→→===， (0)f b =．(1) 当0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==，即11,2a b ==时，0x =是函数()f x 的连续点．(2) 当0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→=≠，即11,2a b =≠时，0x =是函数()f x 的可去间断点．(3) 当0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，即1a ≠，b 为任意实数时，0x =是函数()f x 的跳跃间断点．5．求函数212()lim 1n nn x x f x x +→∞-=+的间断点，并判别间断点的类型．解 2121()lim0111n nn x x x x f x x x x x +→∞⎧<-⎪===⎨+⎪->⎩． 因为1(1)lim ()1x f x --→--=-=，1(1)lim 1x f x ++→--==-，所以1x =-为()f x 的第一类间断点，且为跳跃间断点．因为1(1)lim 1x f x --→==，1(1)lim()1x f x ++→=-=-，所以1x =为()f x 的第一类间断点，且为跳跃间断点．6．求下列极限：(1) 1x → 解11x →==．(2) 2x解22112342x x --==．(3) 2x →解22x →==(4) 2csc 0lim(cos )xx x →；解 []2222021cos 1121limlim csc sin 2sin 0lim(cos )lim 1(cos 1)eee x x x x xxx x x x x x →→---→→=+-===(5) ()10lim 1ex xxx x +→+；解 ()11lim e lim e (1)lim 1eeee xx x x x x x x xxxx x →→+++→+===(6) 22221lim x x x x x x →∞⎛⎫++⎪+⎝⎭；。
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�性偶奇的数函列下断判�8 �数函奇是 ) x ( �以所� ) x ( �� � ]) x ( g � [) x ( f � ) x � ( g ) x � ( f � ) x � ( � �数函偶是 ) x ( � 以所� ) x ( � � ) x ( 1 f ) x ( f � ) x � ( 1 f ) x � ( f � ) x � ( � � ) x ( g ) x ( f � ) x ( � �) x ( 1 f ) x ( f � ) x ( � 设�2� �数函奇是 ) x ( G 以所� ) x ( G� � ) x ( 1 g � ) x ( g � � ) x � ( 1 g � ) x � ( g � ) x � ( G �数函偶是 ) x ( F 以所� ) x ( F � ) x ( 1 f � ) x ( f � ) x � ( 1 f � ) x � ( f � ) x � ( F � ) x ( 1 g � ) x ( g � ) x ( G � ) x ( 1 f � ) x ( f � ) x ( F 设�1� �数函奇 � 明证 的 ) l , l � ( 在义定是别分 ) x ( 1 g 、) x ( g �数函偶的 ) l , l � ( 在义定是别分 ) x ( 1 f 、) x ( f 设 �数函奇是积之数函奇个一与数函偶个一�数函偶是积之数函�奇�偶个两�2� �数函奇是和之数函奇个两�数函偶是和之数函偶个两�1� 明证�义定有内 ) l , l � ( 在都数函的及涉所若�7
,) 0 � x (
2
x �1
2
x
x x � 1� ) ( � ) ( f 2 1 1
x � ) x ( f � ) x � � x ( f �) ( f �)1 � x ( f �)1( f 求� 1 � 2 x � ) x ( f 数函若�3 1
, x 2 � x � 1 � )1 � x ( � )1 � x ( f ,0 � 1 � 1 � )1( f �解 2 2 2
3
�)
4
�换互 y 与 x 量变将再�式达表的 ) y ( x � x 解反先�解
1
� x 得� 1 � x 3
� y 由�1�
�
� x(
x 2 nis 2 � 1 � y �4�
� ) 0 � cb � da (
� ) x � 1 (nl � 1 � y �2�
� 1 � x�3�
� y �1�
�数函反的数函列下求�11 �数函期周非是定一�差�和的数函期周非个一与数函期周个一�是不�4� � ��
� �2�
2
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� T � )x �
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2
� T � ) x 2 soc � 1( 2 1
2
( 2 na t � ) x 2 � 1 (na t � y �上同�是�2�
1� M 1
� 0 x 取� 0 � M� �上实事�确正�6�
�的定决义定数函�确正�5�
�0 ( 在 x � y 如�件条 �值小最与值大最有没是但�界有内 )1
要必是不�件条分充的界有上 I 在 ) x ( f 是值小最与值大最有上 I 在 ) x ( f �确正不�4� �数实正体全为域义定的 t nl � y 数函而�数实 体全为域值的 x � 1 � t 数函� ) x � 1 (nl � y 为合复� x � 1 � t �t nl � y 如�确正不�3� �数函数对是者后�数函数指是者前�数函的同不是 y e � x 与 x nl � y 如�确正不�2� �集子其是也身本合集�确正不�1� �答 �数函界无内域义定其是
�期周正小最其出指�数函期周是果如�数函期周是些哪中数函列下在�01
�式等各列下明证�61 � P 2 � 0005 � Q �以所 � 0005 � b 、2 � a 得�入代 0042 � Q �时 0031 � P � 0002 � Q �时 0051 � P 将 � Pa � b � Q 有�意题由�价售台每是 P �量售销是 Q 设�解 �数函求需性线的机视电该求试�台 004 售销多可月每 �时元 0031 为价售台每 �台 0002 售销可月每 �时元 0051 为价售台每机视电的牌品种某 �51
�数函奇的内 ) �� , �� ( 是 ) x � 1 � x (gl � ) x ( f 数函明证�9
2
�1 � ( 为域义定的 � ) x � 1 (nl � ) x � 1 (nl � ) x ( f 且� )1
x �1
x �1
nl � ) x ( f �数函奇�4�
�者后于属题本�数函奇是定一
�么什为�数函一同为否是数函对各�中题各列下�6 � ) � � �1( � )1 � � �� ( 为域义定的 ) x / 1( f 得 1 � x 有� 1 � x / 1 由
�0 [ 为域义定的 ) x ( f 得� 1 � x � )1
� 0 有� 1 � x
� 1�由
x �域义定的 ) ( f �) x ( f �) x � 1( f 数函求� )1 ,1 � ( 为域义定的 ) x ( f 数函若�5 1
) x � ( f � ) x ( f �数函偶是定一 ) x � ( f � ) x ( f 则 �义定有 ) l , l � ( 在 ) x ( f 若 �数函奇 � 3�
�数函偶是 ]) x ( g [ f 则�数函偶是 ) x ( g 若�质性算运数函合复由�数函偶�2�
�
x �1
x �1
�质性算运则四的数函偶奇由�数函奇�1� �答
� 7� e �
8 �1
� ) 0�2 � ( 为域义定的 )1 � x ( f 得� 1 � 1 � x 由�解
e � )8( f 以所�内围范 01 � x � 4 在 8 为因
� 0 � � nis � ) �( f 以所�内围范 4 � x 在 � 为因 � 0 � 0 nis � ) 0 ( f 以所�内围范 4 � x 在 0 为因 � 5e �
� ) �� � x � �� (
1� x
b � xa
e � 1 � y 为数函反
� ) 0 � x ( ) 2 x � 1(
3
) �� � y � �� (
1� y
e � 1 � x 得� ) x � 1 (nl � 1 � y 由�2�
2
1
� y 为数函反� ) 0 � y ( ) y � 1(
� ) �� ,2 � [ � B � A 以所� �� � x � 2 � 得� 0 � x ,1 � � x 或� 2 � x 由�解 � B \ A 、B � A 、B � A 合集示表间区用 � }0 � x �1 � � x x { � B ,}2 � x x { � A 合集若 �2 � M � 1 � M � ) 0x (y � D �