吉林大学 数学分析与高等代数 2003年

吉林大学 数学分析与高等代数 2003年
一、 填空题（判断题填“√”或“×”，计算题填结果） 1、 任何单调数列必有极限（ ） 2、 数列｛（-1）
n
1n
n +｝的下极限为（
）
3、 若函数f （x ）在开区间（0，1）上一致连续，则f （x ）在（0，1）上有
界（ ）
4、 有界区间上的有界连续函数必有最大值（ ）
5、 设A 为n 阶实对称矩阵，x 为n 维列向量，x T 为x 的转置，则f(x)=x T Ax 的梯度向量为（ ）
6、 设三阶方阵A 与B 相似，B 的三个特征根为111234
，|B|=-1.则
|A *
+I|=( ).其中A *
为A 的伴随矩阵.
7、 已知A,B,C 均为n 阶方阵，且AB+ABC+C=0.则（I+C ）-1
=( ). 8、 已知
112
410x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
则x=( ),y=( ) 二、 单选题
1. 设A 与B 皆为m ×n 阶矩阵，A 的n 个列为12,,,n ααα ，B 的n 个列为
12,,,n βββ ，且已知A 为列秩矩阵。

则B 也为列秩矩阵的充要条件是
A. 12,,,n ααα 均可表为12,,,n βββ 的线性组合
B. 12,,,n βββ 均可表为12,,,n ααα 的线性组合
C. A 可经行初等变换化为B
D. A 可经列初等变换化为B
2. 设A,B 均n 阶方阵，且无公共特征根，f （λ）是A 的特征多项式。

则f （B ）必为
A.零矩阵
B.可逆矩阵
C.不可逆的非零矩阵
D.无法确定
3.设123,,,S S S S 均为数域Ω上的向量空间的子空间，且123.S S S S =++则123S S S S =⊕⊕的充要条件为 A.123{}S S S ⋂⋂=∅
B.121323{}S S S S S S ⋂=⋂=⋂=∅
C.23123{}(){}S S S S S ⋂=∅⋂+=∅且
D.以上都不对 三、 计算下列极限
1.1/2
1
1lim ()
n
n
n k k
→∞
=∑
2.220
1lim
()x x
→-
3.2
2
2
2
2
2
1
2arctan
arctan arctan lim (
)
1
2
n n
n n n n n n n n n n
→∞
+
+++++
4.2
2
4
2
sin()cos()lim
(tan )ln(1)
0x x dt
x x t t x +
→
-+⎰
四、判断下列级数的敛散性或一致收敛性
1.1
1
11(1)
n n n
∞
+=+-∑
2.2
11
sin
(1)
n
n n n
∞
=-∑
3.2003
1
2
1
ln(1)2
(
)
1
n n
n
n ∞
=+∑+
4.2
1
ln ,(0,1)n
n x x x
∞
=∈∑
五、设f(x)是在[0,1]有定义的函数，f ′(x)处处存在并且连续，且满足
1
()0f x dx =⎰
.试证明：存在(0,1)ξ∈,使得 f ′(ξ
)=2
()f ξξ
-
六、适用Lagrange 乘数法求函数2
2
2
(,,)23f x y z y x z
=++在单位球22
2
1x y z ++≤上
的最大值和最小值。

七、计算第二型曲面积分2
2
2
2
,3434c y x dx dy x y
x y
-++⎰其中C 为圆周22
1x y +=，方
向为正向。

八、回答下列问题： 1.计算积分2
2
2003
1
()
x
y x y dxdy +≤+⎰⎰
2.设f （x ）在[a,b]上单调不减，(),().f a a f b b ≥≤试证明：存在[,]a b ξ∈，使
得()f ξξ=。

3.设f （x ）为连续函数，f （x ）=0当|x|≥1时成立，
试证明对(,)x ∈-∞+∞一致地有 lim ()()()n n ny f x y dy f x ϕ+∞
-∞→∞
-=
⎰
九、证明题
1.设,στ为n 维欧氏空间V 上的对称变换，证明στ也为对称变换的充要条件是σττσ=。

2.设σ是数域Ω上的n 维向量空间V 上的线性变换，0λ是σ的r 重特征根。

证明σ的属于特征根0λ的线性无关的特征向量组至多含有r 个向量。

3.设A,B,C 均为n 阶实对称矩阵，且AB+BA=C.证明：若A,C 为正定矩阵，则B 也是正定矩阵。

吉林大学2002数分 一、 计算下列极限
1.2
2
1/lim (21)n
n n →∞
-
2.1
arcsin lim x
x x -
→-
3.11
21lim
(c o s
c o s c o s )n n n n n n
→∞
-+++
4.1/0
lim ()
n
n →∞
⎰
5.2
2
(tan )(1)
lim
ln (1)(sin )
x
x x x e
x x x →--+-
6.2
24
5
sin()cos()lim
ln(1)
x x t t dt x →+⎰
二、判断下列式子的敛散性或一致收敛性
1.2
co s(1)
x ∞
+⎰
2.2
1
20022002
2
1
1(1)(1)sin
1n n
n n
n
n
+∞
=-+
+∑
3.2002
2002
2002
1
1(
)
sin
1
n n n
n
∞
=+∑
4.(),(0,1)21
n
n n
x
f x x x x =
∈++
三、设f （x ）在[0，1]上连续且满足 0≤f （x ）≤1 ，试证：对任何自然数n ，都存在[]0,1n ξ∈，使得()n
n n f ξξ=。

四、试证明当0＜x ≤1时 ，有 3
1arctan 6x x x <-
进一步，试说明存在唯一正实数α，使得上述不等式当0x α
<<时成立，当
x α>时不成立.
五、 计算第二型曲面积分22
(sin())(sin())()x yz dydz y zx dzdx z x y dxdy ∑-+-+-+⎰⎰
其中∑为球面2
2
2
1x y z ++=下半部分的上侧. 六、 证明下列各题
1. 设(),()f x g x 在上[1,)+∞有定义，且满足 12112|()()|||,f x f x a x x -≤-
21212312|||()()|||a x x g x g x a x x -≤-≤-其中12,[1,)x x ∈+∞是任意的，123,,a a a
均为正常数。

试证函数()()g()
f x F x x =
在[2,)+∞上一致连续。

2. 设函数f （x ）在实轴R 上n 次连续可微，且满足
()
(1)(0)(0)(0)0n f f f f =='=== 求证：存在(0,1)ξ∈，使得()()f nf ξξξ'=. 3. 设{}n a
为单调递减的正项数列，级数1ln(1n n a ∞
=+
∑
收敛，试证：lim 0
n a →∞
=。