高二数学概率试题

高二数学概率试题

1.如图，用三类不同的元件连成一个系统.当正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576

【答案】B

【解析】系统正常工作当①正常工作，不能正常工作，②正常工作，不能正常工作,③正常工作，因此概率.

【考点】独立事件的概率.

2.设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则

A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝.32D．n＝7，p＝0.45

【答案】A

【解析】由二项分布的均值和方差得,解的

【考点】二项分布的均值和方差.

3.设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是（）

A．50，B．60，C．50，D．60，

【答案】B

【解析】由二项分布X～B（n，p）的均值与方差可知E(X)=np=15,D(X)=np(1-p)=,解得

n=60,p=,所以答案为B.

【考点】二项分布X～B（n，p）的均值与方差

4.投两枚均匀的骰子，已知点数不同，则至少有一个是6点的概率为______.

【答案】.

【解析】设“投两枚均匀的骰子，点数不同”为事件A,“至少有一个是6点”为事件B,则

;

,.

【考点】条件概率.

5.中国2010年上海世博会已于2010年5月1日在上海隆重开馆．小王某天乘火车从重庆到上海去参观世博会,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0．8、0．7、0．9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求:

(1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

(2）这三列火车至少有一列正点到达的概率

【答案】（1）0.398；（2）0.994．

【解析】

解题思路：（1）利用相互独立事件同时发生的概率公式求解即可;(2)正面情况较多，考虑反面情况即可.

规律总结：若A,B相互独立，则也相互独立；对事件包含的情况分类要不重不漏，对于“至少”、“至多”，可以考虑事件的对立事件.

试题解析：用、、分别表示这三列火车正点到达的事件．则

所以

(1）恰好有两列正点到达的概率为

(2）三列火车至少有一列正点到达的概率为

.

【考点】相互独立事件同时发生的概率.

6.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为，敌机被击中的概率为( )

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】设甲击中敌机为事件,乙击中敌机为事件.方法一（直接法）：击中敌机分3种：甲中乙中，甲中乙不中，甲不中乙中,即;

方法二(间接法)：.

【考点】独立事件概率的计算.

7.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（1）求取出的4个球均为黑球的概率；

（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望

【答案】（1）；（2）；（3）分布列（略），.

【解析】（1）4个球均为黑球，即从甲、乙中取出的2个球均为黑球，由于甲、乙相互独立，因此概率为甲中取出黑球的概率与乙中取出黑球概率的乘积；（2）取出4球中恰有1个红球，分两类计算：一类红球来至于甲，二类红球来至于乙；（3）红球个数可能取值为0,1,2,3，注意分别对应概率的计算.

试题解析：

（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，

“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．

由于事件相互独立，且，． 2分

故取出的4个球均为黑球的概率为． 4分

（2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑

球”为事件．则

，． 6分

由于事件互斥，故取出的4个球中恰有1个红球的概率为

． 8分

（3）可能的取值为．

由（1），（2）得，，．

从而．

的分布列为

的数学期望． 12分

【考点】组合与概率综合应用.

8.高二年级的一个研究性学习小组在网上查知，某珍贵植物种子在一定条件下发芽成功的概率为

，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验.

（1）第1组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；

（2）第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题设条件知，种下5粒种子至少有3次成功的概率相当于5次独立重复试验中恰好发三次、四次、五次的概率．至少有3次成功的概率等于3次、4次、5次发芽成功的概率之和．（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5分别求其概率，列出分布列，再求期望即可．解：（1）至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功，所以所求概率

（2）的概率分布列为

X12345

所以.

【考点】1. n次独立重复试验；2. 离散型随机变量的分布列、期望.

9.在打靶训练中，某战士射击一次的成绩在9环（包括9环）以上的概率是0.18，在8～9环（包括8环）的概率是0.51，在7～8环（包括7环）的概率是0.15，在6～7环（包括6环）的概率是0.09.计算该战士在打靶训练中射击一次取得8环（包括8环）以上成绩的概率和该战士打靶及格（及格指6环以上包括6环）的概率.

【答案】该战士在打靶训练中射击一次取得8环（包括8环）以上成绩的概率为0.69；及格的概率为0.93.

【解析】射击的成绩是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式即可求得结果.

试题解析：分别记该战士的打靶成绩在9分以上、在8～9分、在7～8分、在6～7分分别为事件B、C、D、E，这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，该战士的打靶成绩在8分以上的概率是

P（B C）＝P（B）＋P（C）＝0.18＋0.51＝0.69. 5分

该战士打靶及格的概率，即成绩在6分以上的概率，由公式得

P（B C D E）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＋P（E）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝

0.93. 8分

【考点】互斥与对立事件、概率问题.

10.甲乙丙三位同学独立的解决同一个问题，已知三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为、、，则有人能够解决这个问题的概率为

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】此题没有被解答的概率为，故能够将此题解答出的概率为。

故选D。

【考点】相互独立事件的概率乘法公式．

点评：本题考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率和公式、对立事件的概率公式；

注意正难则反的原则，属于中档题．

11.设随机变量x服从正态分布N(3，4)，若P(x<2a-3)=P(x>a+2)，则a= ．

【答案】

【解析】根据题意，由于随机变量x服从正态分布N(3，4)，若P(x<2a-3)=P(x>a+2)则由其正态

分布的对称性质可知，使得概率相等的两个变量关于x=3对称，则可知2a-3+a+2=6,解得a=。

【考点】正态分布

点评：主要是考查了正态分布的概率的求解，属于基础题。

12.因金融危机，某公司的出口额下降，为此有关专家提出两种促进出口的方案，每种方案都需

要分两年实施。若实施方案一，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的倍、倍、倍的

概率分别为、、；第二年可以使出口额为第一年的倍、倍的概率分别为、。若实施方案二，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的倍、倍、倍的概率分别为、、；第二年可以使出口额为第一年的倍、倍的概率分别为、。实施每种方案第

一年与第二年相互独立。令表示方案实施两年后出口额达到危机前的倍数。

（1）写出的分布列；

（2）实施哪种方案，两年后出口额超过危机前出口额的概率更大？

（3）不管哪种方案，如果实施两年后出口额达不到、恰好达到、超过危机前出口额，预计利润

分别为万元、万元、万元，问实施哪种方案的平均利润更大？

【答案】（1）,的分布列为：

1.25 1.12510.90.8

P

P

（3）第一个方案的平均利润更大

【解析】(1) 根据题意，由于实施方案一，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的倍、倍、倍的概率分别为、、；第二年可以使出口额为第一年的倍、倍的概率分别为、。若实施方案二，预计第一年可以使出口额恢复到危机前的倍、倍、倍的概率

分别为、、；第二年可以使出口额为第一年的倍、倍的概率分别为、，那

么可知,的分布列为：

P

P

（2）设实施方案一、二，两年后出口额超过危机前出口额的概率分别为

,,所以实施方案二的概率更大。

（3）设实施方案一、二两年后的利润分别为

的分布列为：

101520

P

P

所以第一个方案的平均利润更大。

【考点】分布列和期望

点评：主要是考查了分布列的求解以及数学期望值的运用，属于中档题。

13.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地

是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是()

A．0.12B．0.88C．0.28D．0.42

【答案】D

【解析】根据题意，由于甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，那么对应的甲地下

雨的概率为0.7，乙地下雨的概率为0.6，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，可知这段

时间内两地都下雨的概率0.70.6=0.42，故可知答案为D.

【考点】独立事件的概率

点评：主要是考查了独立事件的概率的求解，属于基础题。

14.已知正四棱锥P—ABCD的四条侧棱，底面四条边及两条对角线共10条线段，现有一只蚂蚁

沿着这10条线段从一个顶点爬行到另一个顶点，规定： (1)从一个顶点爬行到另一个顶点视为一次爬行；(2)从任一顶点向另4个顶点爬行是等可能的（若蚂蚁爬行在底面对角线上时仍按原方向直行）. 则蚂蚁从顶点P开始爬行4次后恰好回到顶点P的概率是( )

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】第一类：爬行轨迹为PAPAP形式路线，第一步由P到ABCD任意一个都可以，概率为1，第二步回到P的概率为，第三步P到ABCD任意一个都可以，概率为1，第四部回到P的概率为，所以概率为，第二类：爬行轨迹为形式路线，第一步由P到ABCD任意一个都可以，概率为1，第二步，第三步的概率均为，第四部概率为，所以概率为

【考点】相互独立事件概率

点评：A,B是两个相互事件，则A,B同时发生的概率为，本题中要想4次后到达P点需满足第三次不落在P点，因此分了两种情况，第二次到P与不到P

15.三人独立破译同一密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为，且他们是否译出密

码互不影响。

（1）求恰有两人破译出密码的概率；

（2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率那个大？

【答案】（1）（2）密码被破译的概率比密码未被破译的概率大

【解析】(1) 三人独立破译同一密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为，，那么恰有两人破译出密码的概率要分为三种情况得到，即为

（2）设“密码被破译”为事件，“密码未被破译”为事件，则

，且相互独立，那么

，故

故密码被破译的概率比密码未被破译的概率大

【考点】互斥事件和对立事件概率

点评：主要是考查了互斥事件的概率和对立事件概率的求解，属于基础题。

16.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为（）

A．0.72B．0.89C．0.8D．0.76

【答案】A

【解析】根据相互独立事件的概率计算公式可知，随机抽取一粒种子能成长为幼苗的概率为

【考点】本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率.

点评：正确运用相互独立事件同时发生的概率公式是解决此类问题的关键.

17.甲乙两人各有一个箱子，甲的箱子里面放有个红球，个白球（，且）；乙的箱子里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从自己的箱子里任取2个球，乙从自己的箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色都不相同，则甲获胜．

(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？并求甲获胜的概率的

(2) 当甲获胜的概率取得最大值时，求取出的3个球中红球个数的分布列．

【答案】(1) 甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大. 他获胜的概率的最大

值为 (2)

ξ0123

【解析】(1)要想使取出的3个球颜色都不相同，则乙必须取出黄球，甲取出的两个球为一个红球

一个白球，乙取出黄球的概率是，甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是，所

以取出的3个球颜色全不相同的概率是，即甲获胜的概率为，由，且，所以，当时取等号，即甲应在箱子里放2个红球2个白球

才能使自己获胜的概率最大. 他获胜的概率的最大值为. 7分

(2)ξ的取值为0，1，2，3.

，，

，，

ξ的分布列为

14分

【考点】概率及分布列

点评：第一问求概率最值问题结合了不等式，学生不易想到，第二问求分布列的题目主要分3步：1，找到随机变量可以取得值，2，求出各随机变量对应的概率，3，将上述数据汇总成分布列

18.已知每个人的血清中含有乙型肝炎病毒的概率为3‰，混合100人的血清，则混合血清中有

乙型肝炎病毒的概率约为（精确到小数点后四位） ________

【答案】0.2595.

【解析】混合血清中没有有乙型肝炎病毒的概率为0.997100，所以混合血清中有乙型肝炎病毒的

概率为1-0.9971000.2595.

【考点】本小题主要考查独立重复试验概率的计算.

点评：解决概率问题时，“正难则反”是经常用到的一种解题策略.

19.将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为，则函数在上为增函

数的概率是（）

A．B．C．D．

【解析】将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数有36个．函数在[1，+∞）上为增函数包含的基本事件个数为30个，利用古典概型公式即可得到答案．解：函数在[1，+∞）上为增函数，等价于导数y′=2mx2-n 在[1，+∞）上大于或等于0恒成立．而x2≥在[1，+∞）上恒成立即≤1．∵将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m和n的基本事件个数为36个，而满足≤1包含的（m，n）基本事件个数为30个，故函数在[1，+∞）上为增函数的概率是 =，故答案为B．

【考点】等可能事件的概率

点评：本题考查的是概率与函数的综合问题，利用古典概型的特点分别求出基本事件的总数及所求事件包含的基本事件的个数，利用导数解决函数的恒成立问题，属于中档题

20.已知随机变量服从正态分布，，则

【答案】0.4

【解析】根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得，由于随机变量服从正态分布，，对称轴为x=2，那么可知=

，则在0.4，故答案为0.4

【考点】正态分布曲线

点评：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．

21.现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射

击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。

（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.

【答案】（1）

（2）

EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.

【解析】解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）的可能取值为：0,1,2,3,4,5

,

X012345

EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.

【考点】独立事件概率公式运用

点评：主要是考查了分布列的求解和运用，以及独立事件概率的乘法公式，属于基础题。

22.小明的书包里共有外观、质量完全一样的5本作业簿，其中语文2本，数学2本，英语1本，那么小明从书包里随机抽出一本，是数学作业本的概率为 _____

【答案】

【解析】解：因为语文2本，数学2本，英语1本，一共是5本作业本，所以随机抽出一本，是

数学作业本的概率为 ,故答案为

【考点】等可能事件的概率

点评：本题主要考查了等可能事件的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而

且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m:n

23.设点A为半径是1的圆O上一定点，在圆周上等可能地任取一点B．

（1）求弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率；

（2）求弦AB的长超过圆半径的概率．

【答案】（1）弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率为．（2）弦AB的长超过圆的半径

的概率是．

【解析】(1)设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆

内接正三角形ACD，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆

周3等分,這樣可得出劣弧CD的長占整個圓周長的.

(2) 以圆的半径OA为边长作出两正三角形AOC和AOD，如图所示，

则AC=AD=圆的半径OA，所以满足题意的点B只能落在优弧CD上,然后求出对应的角,从而可求出优弧CD的对应的圆心角,进而得到优弧CD的长,其概率等于

.

解：（1）设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内

接正三角形ACD，如右图所示，

则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故

．……6分

答：弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率为．

（2）设“弦AB的长超过圆的半径”为事件N，

以圆的半径OA为边长作出两正三角形AOC和AOD，如图所示，

则AC=AD=圆的半径OA，所以满足题意的点B只能落在优弧CD上，

又，故劣弧CD的长为，即优弧CD的长为

所以．

答：弦AB的长超过圆的半径的概率是．……12分

24.有6根细木棒，长度分别为1，2，3，4，5，6(cm)，从中任取三根首尾相接，能搭成三角形的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】任取三根有20种方法，其中能构成三角形的三个数有(2,3,4),(2,3,5), (2,4,5),(2,5,6), (3,4,5) ,(3,4,6),(4,5,6),所以能搭成三角形的概率是.

25.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜爱打篮球不喜爱打篮球合计

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．

（1）请将上面的列联表补充完整；

（2）是否有99．5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，还喜欢打羽毛球，还

喜欢打乒乓球，还喜欢踢足球，现再从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的女生中各选出1名进行其他方面的调查，求和不全被选中的概率．

【答案】（1）列联表补充如下：

（2）∵∴有99．5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关．（3）．

【解析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率，做出喜爱打篮球

的人数，进而做出男生的人数，填好表格．

（2）根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大

的把握说明打篮球和性别有关系．

（3）从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结

果组成的基本事件30个，再计算出事件全被选中包含5个基本事件，再根据对立事件公式可求出所求事件的概率

26.一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台

是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值)．【答案】2.55台

【解析】先确定X的所有可能的值为0,1,2,3,然后然后由独立事件和互斥事件的概率公式求出对

应的每个值的概率.再根据期望公式求出所求的值.

解：由题意，可知X的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；事件B为第

二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，

P(X＝0)＝P(··)＝P()P()P()＝0.1×0.2×0.15＝0.003，

P(X＝1)＝P(A··＋·B·＋··C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝

0.056，

同上可得P(X＝2)＝0.329，P(X＝3)＝0.612，

所以E(X)＝0×0.003＋1×0.056＋2×0.329＋3×0.612＝2.55台．

27.（12分）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件．求：⑴第一次抽到次品的概率；

⑵第一次和第二次都抽到次品的概率；

⑶在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.

【答案】⑴⑵;⑶

【解析】本题考查了有条件的概率的求法，做题时要认真分析，找到正确方法．

（1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽

一件，有20中可能，所以概率为两者相除．

（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能，第一次和第二次都抽到次品有5×4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下

的19件中任抽一件，所以有20×19种可能，再令两者相除即可．

（3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为4/19

解：设第一次抽到次品为事件A,第二次都抽到次品为事件B.

⑴第一次抽到次品的概率

⑵

⑶在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为

28.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，

则ξ在(0,2)内取值的概率为____________．

【答案】0.8

【解析】略

29.（14分）某中学的高二(1)班男同学有名，女同学有名，老师按照分层抽样的方法组建

了一个人的课外兴趣小组．

（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；

（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组

里选出名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；

（3）试验结束后，第一次做试验的甲同学得到的试验数据为，第二次做试验的乙同

学得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.

【答案】解：（1），某同学被抽到的概率为。

又，男、女同学的人数分别为，。……………5分

（2）设个男同学记为，个女同学记为，

则选取两名同学的基本事件有：

共10种，

其中恰有一名女同学的有6种，

选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为。………10分

（3）可得：,

甲同学的实验更稳定。……………14分

【解析】略

30.（本小题满分10分）

甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布），求：

（1）平局的概率；

（2）甲赢的概率；

【答案】解.：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法.

一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏（试验）是古典概型.它的基本事件总数为9.

平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲

出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3

种情况.

设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.

容易得到：

（1）平局含3个基本事件（图中的△）；

（2）甲赢含3个基本事件（图中的⊙）；

由古典概率的计算公式，可得

P（A）；P（B）

【解析】略

31.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，其中女生当选为组长的

概率是___________。

【答案】

【解析】略

32.（本小题满分14分）

广州市为了做好新一轮文明城市创建工作，有关部门为了解市民对《广州市创建全国文明城市小知识》的熟知程度，对下面两个问题进行了调查：

问题一：《广州市民“十不”行为规范》有哪“十不”？

问题二：广州市“一约三则”的内容是什么？

调查结果显示，年龄段的市民回答第一个问题的正确率为，年龄段的市民回答第二个问题正确率为.

为使活动得到市民更好的配合，调查单位采取如下激励措施：正确回答问题一者奖励价值20元的礼物；正确回答问题二奖励价值30元的礼物，有一家庭的两成员（大人42岁，孩子13岁）参与了此项活动，小孩回答第一个问题，大人回答第二个问题，问这个家庭获得礼物价值的数学期望是多少？

【答案】因为13岁孩子回答问题一的正确率为，42岁大人回答问题二的正确率为，则13岁孩子回答问题一的不正确率为，42岁大人回答问题二的不正确率为．........................................ （1分）

记这个家庭所获奖品价值为元，则的可取值为0，20，30，50．..................... （3分）

;.......................................................... （5分）;......................................................... （7分）;.......................................................... （9分）.......................................................... （11分）

其分布列为

所以．............................... （13分）

答：这个家庭获得礼物价值的数学期望是39元．..................................... （14分）

【解析】略

33.同时掷两个骰子，向上的点数之和是4的概率是

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】略

34.已知，，那么等于

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】本题主要考查的是条件概率。由条件可知,所以应选B。

35.三个元件正常工作的概率分别为将它们如图接入电路，电路不发生故障的概率是

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】本题考查独立事件的概率计算。

记三个元件正常工作的概率分别为、、，不正常工作的概率分别为、、，则电路电路不发生故障的概率，选D。

36.随机变量的分布列为

且，则的值为（）

A． -0.2B．0.2C．0.4D．0

【答案】B

【解析】【考点】离散型随机变量的期望与方差．

专题：计算题．

分析：根据题意可得概率之和为1，即得a+b=0.8，又因为Eξ=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6，进而可得a与b的数值，即可得到答案．

解答：解：由题意可得：0.1+a+b+0.1=1，

所以可得a+b=0.8①，

又因为Eξ=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6，

所以可得a+2b=1.3②，

由①②解得a=0.3，b=0.5，

∴a-b=-0.2，

故应选B．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与其方差、均值之间的关系，此类问题一般出现在选择题中．

37.将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率( ) A．B．C．D．

【答案】C

【解析】分析：根据题意，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况，①正面出现3次，反面出现2次；②正面出现4次，反面出现1次；③正面出现5次，共有三种情况，这三种情况

是互斥的，根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率求出概率，相加得到结果．

解：根据题意，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况：

①正面出现3次，反面出现2次，其概率为C

53（）3（）2=C

5

3（）5=10（）5，

②正面出现4次，反面出现1次，其概率为C

54（）4（）=C

5

4（）5=5（）5，

③正面出现5次，其概率为C

5

5（）5=（）5，

共有三种情况，这三种情况是互斥的，

则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是10（）5+10（）5+10（）5=；

故选C．

38.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距

离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小

明周末不在家看书的概率为．

【答案】

【解析】略

39.盒中装有10个乒乓球，其中6只新球，4只旧球。不放回地依次取出2个球使用，在第一次

取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】【考点】条件概率与独立事件．

分析：第一次取出红球后，剩下5只红球，4只白球，所以在第一次取出红球的前提下，可求第

二次也取出红球的概率．

解答：解：由题意，盒中有10个乒乓球，其中6只红球，4只白球，不放回的地依次取出2只球，第一次取出红球后，剩下5只红球，4只白球，所以在第一次取出红球的前提下，第二次也取出

红球的概率为

故选D．

点评：本题考查条件概率，考查概率的计算，正确理解条件概率是关键．

40.设随机变量X的概率分布是P(X=k)=, 为常数，其中k=1,2,3，则a=__ __。

【答案】

【解析】本题考查概率的性质

因为随机变量X的概率分布是P(X=k)=, 为常数，其中k=1,2,3，

则

由概率的性质有

即，解得

即

41.口袋有个白球和个黑球，一次取出个球，发现是同一种颜色的球，求他们是黑球的

概率。

【答案】

【解析】本题考查条件概率

从个白球和个黑球，一次取出个球，共有种取法；

设取出个球是同一种颜色的球为事件，共有种取法，所以同一种颜色的球的概率为；

设从个白球和个黑球，一次取出个球，全部是黑球为事件.；

则取出个球是同一种颜色的球且为黑球为事件，概率为

则取出个球同一种颜色的球且是黑球的概率

故所求的概率为

42.设离散型随机变量X的概率分布如下：

则X的数学期望为

【答案】

【解析】【考点】离散型随机变量的期望与方差．

分析：根据所给的分布列和分布列的性质，写出关于p的等式，解出p的值，算出X的期望值，从而得到结论．

解：由已知得+++p=1

解得：p=

∴E（X）=0×+1×+2×+3×=

43.设，分别为先后掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数有5的条

件下，方程有实根的概率为 ( )

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】【考点】古典概型及其概率计算公式．

分析：本题可以按照等可能事件的概率来考虑，可以列举出试验发生包含的事件数5+6，满足条件的事件由上一问可以看出有6+1种结果，写出概率．

解答：解：本题可以按照等可能事件的概率来考虑，

试验发生包含的事件数5+6=11，

方程x2+bx+c=0有实根要满足a2-4b≥0，

当b=5，c=1，2，3，4，5，6，

b=6，c=5

满足条件的事件由上一问可以看出有6+1=z种结果

∴满足条件的概率是

故选A．

点评：本题考查等可能事件的概率，在解题过程中主要应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，这是本题的关键．

44.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3道题，每人答对其中2题就停止答题，即为闯关成功。已知6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是。（Ⅰ）求甲、乙至少有

一人闯关成功的概率；

（Ⅱ）设乙答对题目的个数为，求的方差；

（Ⅲ）设甲答对题目的个数为，求的分布列及数学期望。

【答案】解：（Ⅰ）设事件A：甲、乙至少有一人闯关成功

（Ⅱ）由题意，所以

（Ⅲ）

所以的分布列为：

【解析】略

45.一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现2次停止，用X表示取球的次数，则___________ 【答案】

【解析】略

46.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为( )

A. B C. D.

【答案】B

【解析】【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型．

分析：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的

面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．

解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，

由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，

满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：

S（A）=(-x2)dx= (x-x3) |

=．

所以P（A）===．

故选B．

47.（理）（本题8分）甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比

赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，比赛的规则是先由甲和乙进

行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人

获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.

（1）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；

（2）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；

（3）求甲取得比赛胜利的概率.

20、（文）（本小题8分）甲、乙两人做定点投篮，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次甲投篮，已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为、，且甲、乙投篮是否命中互不影响.

（1）求第三次由乙投篮的概率；

（2）求前4次投篮中各投两次的概率.

【答案】理解：（1）只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率为：

（2分）

（2）只进行两局比赛，比赛就结束的概率为：

（4分）

（3）甲取得比赛胜利共有三种情形：

若甲胜乙、甲胜丙，则概率为；

若甲胜乙、甲负丙，则丙负乙，甲胜乙，概率为；

若甲负乙、乙负丙，则甲胜丙，甲胜乙，概率为；

∴甲获胜的概率为（8分）

文解：（1）第3次由乙投篮分两种情况：

甲第一次命中，第二次不中的概率为；

甲第一次不中，第二次乙中的概率为；

第三次由乙投篮的概率为（4分）

（2）前4次各投两次有以下三种情况：

第一次甲不中、第二次乙不中、第三次甲不中、第四次乙投；

第一次甲不中、第二次乙中、第三次乙不中、第四次甲投；

第一次甲中、第二次甲不中、第三次乙中、第四次乙投

所以所求概率（8分）

【解析】略

48.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出

3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列。

【答案】

【解析】略

49.在区间上任取两个数，方程的两根均为实数的概率为（）A．B．C．D．

【答案】B

【解析】略

50.如图1，分别以正方形的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ( )

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】略

51.哈尔滨市第六中学为绿化环境，移栽甲乙两种大树各株，已知甲树种每株成活率为，乙树种每株成活率为，各株大树是否成活互不影响。求

（1）两种大树各成活一株的概率；

(2)设两种大树共成活的株数为，求的分布列和期望；

(3)设表示“甲乙两种大树成活株数之和等于”这一事件，用表示“甲成活的株数大于乙成活的株数”这一事件，求。

【答案】

【解析】略

52.某电视节目中有一游戏，由参与者掷骰子决定向前行进格数。若掷出奇数则参与者向前走一格，若掷出偶数，则参与者向前蹦两格（跃过中间的一格），能走到终点者获胜，中间掉入陷阱

者失败。已知开始位置记作第1格，终点位置为第8格，只有第7格是一个陷阱. （I ）求参与者能到第3格的概率.

(Ⅱ) 求参与者掷3次骰子后，所在格数的分布列. (III) 求参与者能获胜的概率.

【答案】

【解析】略

53. （（本题16分）

(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?

(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜

花．

①求恰有两个区域用红色鲜花的概率；

②记花圃中红色鲜花区域的块数为S ，求它的分布列及其数学期望E(S). 【答案】 （1）根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：种．、、、、、、 6分

（2）① 设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”， 如图二，当区域A 、D 同色时，共有种； 当区域A 、D 不同色时，共有种；因此，所有基本事件总数为：180+240=420种.(由于只有A 、D ，B 、E 可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为种）它们是等可能的。又因为A 、D 为红色时，共有种；B 、E 为红色时，共有种；因此，事件M 包含的基本事件有：36+36=72种．所以，=

． 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、

12分

②随机变量的分布列为：

1

2

P

所以，

=

．、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、16

分

【解析】略

54. 本小题满分12分）

已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋

1.