【沪科版】初二八年级数学上册《12.2 第4课时 一次函数的应用——分段函数》学案
沪科版数学八年级上册12.2.4 一次函数的应用——分段函数(2) 教案
一次函数的应用--分段函数定义：一般地，如果有实数a 1，a 2，a 3……k 1，k，2k 3……b 1，b 2，b 3……且a 1≤a 2≤a 3……函数Y 与自变量X 之间存在k 1x+b 1x≤a 1y =k 2x+b 2a 1≤x≤a 2①的函数解析式，则称该函数解析式为X 的分段函数。
K 3x+b 3a 2≤x≤a 3…………应该指出:(一)，函数解析式①这个整体只是一个函数，并非是Y=K 1X+b 1Y=K 2X+b 2……等几个不同函数的简单组合，而k 1x+b 1，k 2x+b 2……是函数Y 的几种不同的表达式.。
所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X 和110×80%X 是同一函数中的自变量X 在两种不同取值范围内的不同表达式。
(二)，由于k 1，k 2，k 3……b 1，b 2，b 3是实数，所以函数Y 在X 的某个范围内的特殊函数，如正比例函数和常数函数。
(三)，由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
(四)，一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关，如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1（四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分钟）与相应话费y （元）之间的函数图象如图1所示：（1）月通话为100分钟时，应交话费元；（2）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数，当x≥100时，月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b由图上知：x=100时，y=40；x=200时，时，y=60则有4010060200k bk b=+⎧⎨=+⎩，解之得1520kb⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x=+..（3）把x=280代入关系式1205y x=+，得128020765y∴=⨯+=即月通话为280分钟时，应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知，0≤x≤15时y是x的正比例函数;x≥15时，y是x的一次函数.解:(1)当0≤x ≤15时，设y =kx ，把x =15，y =27代入，得27=15k ，所以k =591527=，所以y =59x ;当x ≥15时，设y =ax +b ，将x =15，y =27和x =20，y =39.5代入，得⎩⎨⎧=+=+5.3920,2715b a b a 解得a =2.5，b =-10.5所以y =2.5x -10.5图2(2)当该用户该月用21吨水时，三、电费中分段函数例3(广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段，当0≤x ≤100时，电费y 是电量x 的正比例函数，当x ≥100时，y 是x 的一次函数，且函数图象经过点(100，65)和(130，89)，设出相应的函数关系式，将点的坐标代入即可确定函数关系式，根据函数关系式可解决问题.解:(1)设当0≤x ≤100时，函数关系式为y =kx ，将x =100，y =65代入，得k =0.65，所以y =0.65x ;设当x ≥100时，函数关系式为y =a x +b，将x =100，y =65和x =130，y =89代入，得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8，b=-15.所以y =0.8x -15综上可得0.65(0100)0.815(100)xx y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥(2)用户月用电量在0度到100度之间时，每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时，每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时，用户应缴费40.3元，若用户月缴费105元时，该户该月用了150度电.分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
沪科版八年级上册数学12.2 第4课时 一次函数的应用——分段函数2教案
12.2 一次函数第4课时一次函数的应用--分段函数定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X 之间存在k1x+b1 x≤a1y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。
K3x+b3 a2≤x≤a3…………应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。
所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。
(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。
(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y (元)是月通话时间x (分钟)的正比例函数,当x ≥100时, 月话费y (元)是月通话时间x (分钟)的一次函数. 解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元； （2）设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b 由图上知：x =100时,y =40；x =200时,时，y =60则有 4010060200k b k b =+⎧⎨=+⎩,解之得1520k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x =+.. （3）把x =280代入关系式1205y x =+,得128020765y ∴=⨯+=即月通话为280分钟时，应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y (元)与用水量x (吨)的函数关系如图2.(1) 分别写出当0≤x ≤15和x ≥15时,y 与x 的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x ≤15时y 是x 的正比例函数; x ≥15时,y 是x 的一次函数.解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =591527=,所以y =59x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得⎩⎨⎧=+=+5.3920,2715b a b a 解得a =2.5,b =-10.5 所以y =2.5x -10.5图2 (2) 当该用户该月用21吨水时, 三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ; 设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15 综上可得0.65(0100)0.815(100)xx y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥(2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
最新数学沪科版初中八年级上册12.2第4课时一次函数的应用——分段函数2公开课教学设计
12.2 一次函数第4课时一次函数的应用--分段函数定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X 之间存在k1x+b1 x≤a1y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。
K3x+b3 a2≤x≤a3…………应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1, k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。
所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。
(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。
(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x≥100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b由图上知：x=100时,y=40；x=200时,时，y=60则有4010060200k bk b=+⎧⎨=+⎩,解之得1520kb⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x=+..（3）把x=280代入关系式1205y x=+,得128020765y∴=⨯+=即月通话为280分钟时，应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y (元)与用水量x (吨)的函数关系如图2.(1) 分别写出当0≤x ≤15和x ≥15时,y 与x 的函数关系式;(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x ≤15时y 是x 的正比例函数; x ≥15时,y 是x 的一次函数.解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =591527=,所以y =59x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得 ⎩⎨⎧=+=+5.3920,2715b a b a 解得a =2.5,b =-10.5所以y =2.5x -10.5 图2(2) 当该用户该月用21吨水时,三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ;设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15 综上可得0.65(0100)0.815(100)x x y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥ (2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
沪科版八年级数学上册12.2 一次函数 第4课时 一次函数的应用
(2)求特快列车与 A 地的距离 s 与 t 的函数关系式；
(3)在 A、B 两地之间有一座铁路桥，特快列车到铁 路桥后又行驶 0.5 小时与普通列车相遇，直接写出 A 地 与铁路桥之间的距离．
解：(2)s＝－120t＋450； (3)s＝－120×(2.5－0.5)＋450＝210(米)．
(2)填空：
若选择方式 A 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围
为
0≤x<85 3
；
若选择方式 B 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围
为
85<x<175 33
；
若选择方式 C 最省钱，则月通话时间 x 的取值范围
为
x>175 3
；
(3)小王、小张今年 5 月份通话费均为 80 元，但小王 比小张通话时间长，求小王该月的通话时间．
(3) 该 水 果 店 这 次 销 售 苹 果 盈 利 了 ： 760 － 8×50 ＝ 360(元)，
答：该水果店这次销售苹果盈利了 360 元．
10. (安徽八上期中原创 B 卷)A 地和 B 地之间的铁路 交通设有特快列车和普通列车两种车次，某天一辆普通 列车从 A 地出发匀速驶向 B 地，同时另一辆特快列车从 B 地出发匀速驶向 A 地，两车与 A 地的距离 s(千米)与行 驶时间 t(时)的函数关系如图所示．
(1)请分别写出 y1，y2 与 x 之间的函数表达式． (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数 x 在什么范围 时，选择方式一比方式二省钱． 解：(1)y1＝30x＋200，y2＝40x； (2)由 y1＜y2，得 30x＋200＜40x，解得 x＞20. 当 x＞20 时，选择方式一比方式二省钱．
沪科版数学八年级上册12.2 一次函数2 第4课时 一次函数的应用——分段函数
12.2 一次函数第4课时一次函数的应用--分段函数定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X 之间存在k1x+b1 x≤a1y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。
K3x+b3 a2≤x≤a3…………应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。
所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。
(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。
(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y (元)是月通话时间x (分钟)的正比例函数,当x ≥100时, 月话费y (元)是月通话时间x (分钟)的一次函数. 解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元； （2）设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b 由图上知：x =100时,y =40；x =200时,时，y =60则有 4010060200k b k b =+⎧⎨=+⎩,解之得1520k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x =+.. （3）把x =280代入关系式1205y x =+,得128020765y ∴=⨯+=即月通话为280分钟时，应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y (元)与用水量x (吨)的函数关系如图2.(1) 分别写出当0≤x ≤15和x ≥15时,y 与x 的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x ≤15时y 是x 的正比例函数; x ≥15时,y 是x 的一次函数.解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =591527=,所以y =59x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得⎩⎨⎧=+=+5.3920,2715b a b a 解得a =2.5,b =-10.5 所以y =2.5x -10.5 图2 (2) 当该用户该月用21吨水时, 三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ; 设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15 综上可得0.65(0100)0.815(100)xx y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥(2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
八年级数学上册-一次函数第4课时一次函数的应用_分段函数教案新版沪科版
12.2 一次函数第4课时一次函数的应用--分段函数定义：一般地,如果有实数a1,a2,a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在k1x+b1 x≤a1y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式,则称该函数解析式为X的分段函数。
K3x+b3 a2≤x≤a3…………应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1, k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。
所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数,不能认为它是两个不同的函数,只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。
(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。
(三),由于问题的不同,当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数,在这里我们不予讨论。
(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其关系式（或图象）也不同的函数,分段函数的应用题多设计成两种情况以上,解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题,因此,分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等,这些收费问题往往根据不同的用量,采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中,下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时,应交话费元；（２）当x≥100时,求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时,应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题,通过图象可观察到,在0到100分钟之间月话费y (元)是月通话时间x (分钟)的正比例函数,当x ≥100时, 月话费y (元)是月通话时间x (分钟)的一次函数. 解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时,应交话费40元； （2）设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b 由图上知：x =100时,y =40；x =200时,时,y =60则有 4010060200k b k b =+⎧⎨=+⎩,解之得1520k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x =+.. （3）把x =280代入关系式1205y x =+,得128020765y ∴=⨯+=即月通话为280分钟时,应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水,采取了按月用水量分段收费办法,某户居民应交水费y (元)与用水量x (吨)的函数关系如图2.(1) 分别写出当0≤x ≤15和x ≥15时,y 与x 的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x ≤15时y 是x 的正比例函数; x ≥15时,y 是x 的一次函数.解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =591527=,所以y =59x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得⎩⎨⎧=+=+5.3920,2715b a b a 解得a =2.5,b =-10.5所以y =2.5x -10.5 图2 (2) 当该用户该月用21吨水时,三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来,广东大部分地区的电力紧缺,电力公司为鼓励市民节约用电,采取按月用电量分段收费办法,若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示）,根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时,y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式,说明电力公司采取的收费标准； （3）若该用户某月用电62度,则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时,则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ;设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15 综上可得0.65(0100)0.815(100)xx y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥(2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.分段函数,是近几年中考数学中经常遇到的题型。
沪科版 初二八年级数学 上册(教学设计 教案)第12章 一次函数 12.2 第4课时 一次函数的应用——分段函数2
12.2 一次函数第4课时一次函数的应用--分段函数定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X 之间存在k1x+b1 x≤a1y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。
K3x+b3 a2≤x≤a3…………应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。
所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。
(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。
(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y (元)是月通话时间x (分钟)的正比例函数,当x ≥100时, 月话费y (元)是月通话时间x (分钟)的一次函数. 解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元； （2）设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b 由图上知：x =100时,y =40；x =200时,时，y =60则有 4010060200k b k b =+⎧⎨=+⎩,解之得1520k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x =+.. （3）把x =280代入关系式1205y x =+,得128020765y ∴=⨯+=即月通话为280分钟时，应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y (元)与用水量x (吨)的函数关系如图2.(1) 分别写出当0≤x ≤15和x ≥15时,y 与x 的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x ≤15时y 是x 的正比例函数; x ≥15时,y 是x 的一次函数.解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =591527=,所以y =59x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得⎩⎨⎧=+=+5.3920,2715b a b a 解得a =2.5,b =-10.5 所以y =2.5x -10.5图2 (2) 当该用户该月用21吨水时, 三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ; 设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15 综上可得0.65(0100)0.815(100)xx y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥(2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
【沪科版】2018年秋八年级数学上册教案第12章一次函数12.2一次函数第4课时分段函数及一次函数的实际应用
第 4 课时分段函数及一次函数的实际应用◇教学目标◇【知识与技能】 1.了解分段函数的概念和出现的意义; 2.能根据实际问题写出分段函数的表达式,并能解决相关问题. 【过程与方法】 经历对实际问题建立数学模型的过程,体会待定系数法的作用和一次函数模型的价值. 【情感、态度与价值观】 通过让学生经历用一次函数来解决实际问题的函数模型的过程,使学生感受到数学与生活的联系.让学生 参与到教学活动中,提高学习及运用数学知识的积极性. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 用一次函数知识来解决实际问题. 【教学难点】 建立实际问题的数学模型. ◇教学过程◇ 一、情境导入 我们前面学习了一次函数的一些知识,今天我们学习分段函数及一次函数的实际应用. 二、合作探究 典例 1 为节约用水,某城市制定以下用水收费标准:每户每月用水不超过 8 m 时,每立方米收取 1 元外 3 加 0.3 元的污水处理费;超过 8 m 时,超过部分每立方米收取 1.5 元外加 1.2 元的污水处理费,设一户每月用水 3 量为 x m ,应缴水费 y 元. (1)给出 y 与 x 之间的函数表达式; (2)画出上述函数图象; 3 3 (3)当该市一户某月的用水量为 x=5 m 或 x=10 m 时,求其应缴的水费; (4)该市一户某月缴水费 26.6 元,求该户这个月用水量. [解析] (1)y 与 x 之间的函数表达式为 y=错误！未找到引用源。
(2)如图所示,函数图象是一段折线.3(3)当 x=5 m 时, y=1.3×5=6.5(元); 3 当 x=10 m 时, y=2.7×10-11.2=15.8(元). 3 3 即当用水量为 5 m 时,该户应缴水费 6.5 元;当用水量为 10 m 时,该户应缴水费 15.8 元. 3 (4)y=26.6>1.3×8,可见该户这月用水超过 8 m ,因此 2.7x-11.2=26.6, 解方程,得 x=14.3即该户本月用水量为 14 m . 【归纳总结】在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式,这样的函数称为分段函数. 典例 2 某单位有职工几十人,想在节假日期间组织到外地 H 处旅游.当地有甲、乙两家旅行社,它们服 务质量基本相同,到 H 地旅游的价格都是每人 100 元.经联系协商,甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙 旅行社表示单位先交 1000 元后,给予每位游客六折优惠,问该单位选择哪家旅行社,使其支付的旅游总费用较 少? [解析] 方法 1 设该单位参加旅游人数为 x.那么如选甲旅行社,应付 80x 元,选乙旅行社,应付(60x+1000) 元. 记 y1=80x,y2=60x+1000,在同一直角坐标系中作出两个函数的图象(如图),y1 与 y2 的图象交于点(50,4000).3观察图象,可得: 当人数为 50 时,选择甲或乙旅行社费用都一样; 当人数为 0~49 时,选择甲旅行社费用较少; 当人数为 51~100 时,选择乙旅行社费用较少. 方法 2 设选择甲、乙旅行社所需费用之差为 y, 则 y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000. 画一次函数 y=20x-1000 的图象,如图,它与 x 轴交点为(50,0).由图可知:(1)当 x=50 时,y=0,即 y1=y2,甲、乙两家旅行社的费用一样; (2)当 x>50 时,y>0,即 y1>y2,乙旅行社的费用较低; (3)当 x<50 时,y<0,即 y1<y2,甲旅行社的费用较低. 三、板书设计 分段函数及一次函数的实际应用 1.分段函数. 2.分段函数及一次函数的实际应用. ◇教学反思◇ 分段函数在实际生活中经常用到,因为一个函数不是在所有的自变量范围内可以通用,所以经常需要对自 变量的范围进行分段讨论,分段函数的画法就是分别画出各个适用范围的一段,通过这节课的学习,让学生进 一步理解自变量取值范围的意义.。
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12.2 一次函数
第4课时 一次函数的应用——分段函数
一、预习热身：
1、如图的折线表示一辆自行车离家的距离与时间的关系，骑车者8：00离开家，15：00回家，根据图象回答：
⑴离家最远的距离是 千米，对应的时间是 .
⑵何时开始第一次休息？ ， 休息多长时间？
⑶第一次休息时，离家多远？
⑷在11：00－12：00他骑车的路程是多少千米？
⑸在8：00－10：30和11：00－12：00的平均速度各是多少？
⑹他在何时至何时停止前进并休息午餐？
⑺在停止前进后返回，骑了多少千米？ ⑻返回时的平均速度是多少？
⑼11：30和13：30分别离家多远？
⑽何时距家20千米？
2、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y （千米）与所用的时间x （小时）之间关系的函数图象.
⑴根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
⑵求小明出发两个半小时离家多远？
⑶求小明出发多长时间距家12千米？
定义：一般地，如果有实数a 1，a 2，a 3……k 1,k,2k 3……b 1,b 2,b 3……且a 1≤a 2≤a 3……函数Y 与自变量X 之间存在
k 1x+b 1 x ≤a 1
y = k 2x+b 2 a 1≤x ≤a 2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X 的分段函数。
K 3x+b 3 a 2≤x ≤a 3
二、根据分段函数作图象
3x -5 （1≤x ≤3）
例1：试作y = 4 （3＜x ≤5） 的图象
14-2x （x ＞5）
例2：某城市出租车收费标准如下，3千米以内（含3千米）收8元，超过3千米的部分每
)
千米收费1.4元。
求出应收车费Y（元）与出租车行驶路程X千米之间的函数关系式。
注意：在作分段函数图象时,一般先求出每一段图象的端点坐标，然后在坐标系中描出点,分段连线即可,对于具有特殊意义的图象,还需根据其意义的具体要求确定图象。
练习：
3X-5 0≤X≤3
1：试作y= 4 3＜X≤5 的图象
＞5
2：作Y=|X-3|+|X+1|+|X+3|的图象。