《信号与系统》考研试题解答第五章 连续系统的s域分析
第5章-连续系统的s域分析
L[ f (t )] F[ f (t )e t ]
if , t 0, f (t ) 0
单边拉氏变换
s j
f (t )(0 t )
傅立叶变换和单边拉氏变换是双边拉氏变换的特殊情况
23
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
对于单边拉氏变换 讨论：①有界的非周期 信号的拉氏变换一定存 在 满足
1 st e s
例：求L[ (t )]
0
1 s
解：L[ (t )] (t )e st dt 1
0
例：求L[ (t )]
解：L[ (t )] (t )e st dt
0
-(- s)e- st
t 0
s
18
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
f (t )
1 2
j
j
j
Fb ( s )e st ds
1 对比：f (t ) 2
F ( j )e jt d
Laplace变换重新选取函数空间的基底，以 衰减振荡函数集 e ( j )t 为基底构成函数空 间，用来展开信号。
7
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
1 e (t ) , Re[s] b s b 当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
bt
1 1 X b ( s) s b s b
b Re[s] b
当 b 0 时，ROC 无公共部分，表明
12
X b ( s) 不存在。
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
信号与系统第5章-S域分析
，求系统的零状态响应
yzs (t )
某连续时间系统的S域框图如图所示：
1 F(s) +
P267 5.21 (b)题
- -
S-1 3 2
S-1
S-1
4
+
+
Y(s)
（1）求系统函数H(S)。（5分） （2）求系统的单位冲击响应h(t)。（5分） （3）写出该系统的微分方程。（3分） （4）写出该系统的频率响应函数H(jω)的表达式。（2分）
某连续时间系统的S域框图如图所示：
2 3 F(s) +
P267 5.21 (a)题
- -
S-1 5 6
S-1
4
- + -
Y(s)
（1）求系统函数H(S)。 （2）求系统的单位冲击响应h(t)。 （3）写出该系统的微分方程。 （4）写出该系统的频率响应函数H(jω)的表达式。 （5）若系统输入信号 f (t ) et (t )
第5章 连续系统的S域分析
1. 拉普拉斯变换概念
因果信号拉普拉斯变换的收敛域为复平面的 (左、右)半平面。
4t 5t f ( t ) ( e e ) (t ) ,做拉普拉斯变换的收敛域（ ） 信号
（A）Re[s] >4
3t 5t
（B） Re[s]>5
（C）Re[s]<-4
（D）Re[s]<-5
[2e 3e ] (t ) 的拉普拉斯变换为（ ）
（A） 2 3 s3 s5
2 3 2 2 3 （B） s 3 s 5 （C） （D） s3 s5
3 s3 s5
2. 拉普拉斯变换性质
f(t)的单边拉普拉斯变换计为F(S), 的单边拉普拉斯变换为( ) （A）SF(S)-3 （B）SF(S) （C）
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
管致中《信号与线性系统》(第5版)(课后习题 连续时间系统的复频域分析)
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第 5 章 连续时间系统的复频域分析
5.1 标出下列信号对应于 s 平面中的复频率。
（1） e2t ；（2） te-t ；（3）cos2t；（4） e-t sin（－5t）
答：（1） e2t (t)
s
1
2
，所以
s1＝2
收敛域：
5.4 用部分分式展开法求下列函数的拉普拉斯反变换。
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答：（1）部分分式展开
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拉氏逆变换，有
（2）部分分式展开
拉氏逆变换，有
（3）部分分式展开
取拉氏逆变换，有
（4）部分分式展开
取拉氏逆变换，有
（5）部分分式展开
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所以
（3）因为 令 T＝1，则 所以
(1)n (t nT )
（1）设 而
，则
由时间平移特性，可得
图 5-1
（2）
（3）因为 由时间平移特性，可得
（4）设
，因
由复频域微分特性，有
再由时间平移特性，可得
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5.9 用拉普拉斯变换的性质求图 5-2 各波形函数的拉普拉斯变换。
答：（a）由图 5-2（a）可知
图 5-2
而 由拉式变换的时间平移与线性特性，可得
（b）由图 5-2（b）可知
而 所以
（c）由图 5-2（c）可知
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信号与线性系统分析_第五章__连续系统的S域分析5-4
待求
back
第
二、系统函数
• 系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 叫系统函数 Y ( s) B( s )
H (s)
f
7 页
F (s)
A( s )
f(t) F(s)
h(t) LT[h(t)]
y(t)
f
Y(s)
f
y f t f t h t
Y f ( s ) F ( s ) L T [ h ( t )]
+
U s (s)
uC (0 ) s
1 sC
1 )Y ( s ) Li L ( 0 ) sL R 1
-
Y (s)
R2
(
1 s3
s 1 )Y ( s )
8 (s 2)
2
2 s3
6
6 (s 2)
1 s3
2
12 s
3 s 3 s 2 (s 2)
a
F (s)
F1 ( s ) F2 ( s )
f
数乘器
f1 (t )
a
aF ( s )
F1 ( s ) F 2 ( s )
加法器
f2 (t )
f1 (t ) f 2 (t )
( 1)
积分器 积分器
f (t )
t
(0 )
F (s) f
( 1)
f ( x ) dx
s
(0 )
§5.4 连续系统的复频域分析
物电学院
黎小琴
第
主要内容：
2 页
微分方程的s域求解 系统函数 框图的S域模型 电路的S域模型
《信号与系统》第五章基本内容示例(含答案)
e−4t
sin(0t)
(t)
（2）ℒ
(2t
−
5)
=
1
−5s
e2
s
（3）ℒ-1
1 1− e−s
=
k =0
(t
−
k)
（4）ℒ
cos(3t − 2) (3t − 2) =
s
2
s +
9
−
e
2 3
s
（5）ℒ
e−t (t)
− e−(t −3)
(t
−
3)
=
s
1 (1− +1
e−3s )
（6）ℒ-1
1 2
2. 已知系统的 H (s) = s +1 ，画出系统的零、极点分布图。
(s + 2)2 + 4
六、简单计算下列式子
ℒ 1、
-1
(s
+
0 4)2
+
02
2、ℒ (2t − 5)
ℒ-1
3、
1
1 − e−
s
4、ℒ cos(3t − 2) (3t − 2)
ℒ 5、 e−t (t) − e−(t −3) (t − 3)
系统并联后的复合系统的系统函数为（ ）。
A ． H1(s) + H2 (s)
B ． H1(s) H2(s)
C．无法确定
D． H1(s) // H2(s) 14、若 f (t) 1 ，Re[s] −3 ，根据终值定理，原函数 f (t) 的终值为
s+3
（ ）。
A．无穷小
B．无穷大
C． 1 D． 0
X (s) = F(s) + s X (s) + s2 X (s)
第五章 连续系统的s域分析
w
S ＋ w s S 2＋ w
2
0
R e s R e s
0 0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[e (t )]
解： L[e (t )]
lim[e (t )e st ] 0
t
0
e (t )e dt e
st 0
st
1 st dt e s
S(复频)域~拉(普拉)斯变换 代数方程
简单的初等函数
相乘 Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S) 为很多不满足绝对可 积的函数f (t)找到变换 域的分析方法。
st
3) 卷积
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t) 5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
S(复频)域分析法中基本变量为S = s +jw ， e 为基本信 号
0
确定收敛域的一般规律
2）周期信号及幅度稳定信号(只需少加衰减) s >s0 = 0 3）其增长速度比指数函数的衰减慢的信号 s > s0 = 0 如 f ( t ) t n lim t n e s t = 0 s s0 0
t
1）时限信号（能量有限信号）s0 = -(即全部S平面收敛)
例1 因果信号f1(t)= eat e(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 F1b (s) 0 e e
at
st
e ( s a )t dt (s a )
0
1 [1 lim e (s a )t e jw t ] t (s a )
收敛轴
1 s a , Re[s ] s a 不定 ， s a 无界 ， s a 对于因果信号，当Re[s]=s>a时，
《信号与系统》实验3(连续系统的s域分析)
实验三 连续系统的s 域分析学号： 姓名： 成绩：一、实验目的（1）熟悉拉氏变换。
（2）掌握系统响应s 域求法。
（3）熟悉系统的频率响应。
二、实验原理连续LTI 系统，在s 域可以用系统函数H(s)描述，其实质是系统冲激响应h(t)的拉氏变换。
)()()(s A s B s H =（1） 拉氏逆变换若H(s)的极点分别为p1,…,pn ，则H(s)可表示为：部分分式+多项式∑=+-+⋅⋅⋅+-+-=Mm m m n n s c p s r p s r p s r s H 02211)(由此可以方便的求出其拉氏逆变换（即对应的时间域信号）。
（2）s 域求响应变换到s 域，系统响应等于激励信号与系统函数相乘)()()(s H s E s R =（3）系统的频率响应如果系统函数H(s)的收敛域包含虚轴，则令s=j ω，得到系统的频率响应H(j ω)。
三、验证性实验 已知系统)(9)(3)(8)(6)()1()1()2(t e t e t r t r t r+=++，其系统函数为8693)(2+++=s s s s H 。
（1） 求零、极点。
程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8]; %分母多项式系数 zs=roots(b); ps=roots(a);plot(real(zs),imag(zs),'go',real(ps),imag(ps),'rx'); grid;legend('zero','pole');-4-3.5-3-2.5-2问题：该系统的零点能够抵销什么形式的激励信号？（2） 求冲激响应h(t)（系统函数的逆变换） 程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8]; %分母多项式系数 [r,p,k]=residue(b,a) 运行结果： r =1.5000 1.5000 p = -4 -2 k = [] 则t t e e t h s s s H 245.15.1)(25.145.1)(--+=+++=问题：该系统是不是稳定系统？（3） e(t)=u(t)时，求零状态响应ss s s s E s H s R st u L s E 8693)()()(1)]([)(23+++====程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8,0]; %分母多项式系数[r,p,k]=residue(b,a); %求留数、极点 t=0:0.1:10;f=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t); plot(t,f);02468100.511.5问题：响应的极点有哪些，与激励相同的极点是哪一个，对应着响应的什么分量？（4） 求频率响应H(j ω)。
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第五章 连续系统的s 域分析一、单项选择题X5.1（浙江大学2002年考研题）)()cos(0t t εω的拉氏变换为 。
（A ）[])()(200ωωδωωδπ-++ （B ）[])()(00ωωδωωδπ-++（C ）202ω+s s （D ）220ωω+s X5.2（北京邮电大学2004年考研题）信号⎰-=td t h t f 0)()(τττ的拉氏变换为 。
（A ）)(1s H s （B ）)(12s H s （C ）)(13s H s （D ）)(14s H sX5.3（北京邮电大学2003年考研题）信号)()(2t e t f tε=的拉氏变换及收敛域为 。
（A ）2]Re[,21)(->+=s s s F （B ）2]Re[,21)(-<-=s s s F （C ）2]Re[,21)(>-=s s s F （D ）2]Re[,21)(<+=s s s FX5.4（北京邮电大学2003年考研题）已知某信号的拉氏变换αα+=+-s e s F Ts )()(，则该信号的时间函数为（A ）)()(T t e T t ---εα （B ）)(T t e t --εα（C ）)(αεα--t et（D ）)()(T t e t ---εααX5.5（西安电子科技大学2005年考研题）单边拉普拉斯变换4)(2+=-s se s F s的原函数是 。
（A ）)1()2sin(-t t ε （B ）)1()1(2sin --t t ε （C ）)1()1(2cos --t t ε （D ）)1()2cos(-t t εX5.6（西安电子科技大学2001年考研题）单边拉普拉斯变换se ss s F 2212)(-+=的原函数是 。
（A ）)(t t ε （B ）)2(-t t ε （C ）)()2(t t ε- （D ）)2()2(--t t ε X5.7（东南大学2000年考研题）若线性时不变因果系统的H (j ω)，可由其系统函数H (s )将其中的s 换成j ω来求取，则要求该系统函数H (s )的收敛域应为 。
（A ）σ>某一正数 （B ）σ >某一负数 （C ）σ<某一正数 （D ）σ<某一负数X5.8（北京航空航天大学2000年考研题）已知一个LTI 系统初始无储能，当输入)()(1t t f ε=时，则输出为)()(2)(21t t e t y t δε+=-；当输入)(3)(t e t f t ε-=时，系统的零状态响应)(t y 为 。
（A ）())(1292t ee tt ε--+- （B ）())(12932t e et tε--+-（C ）())(86)(2t ee t ttεδ--+-+ （D ）())(129)(32t e et t tεδ--+-+X5.9（北京交通大学2004年考研题）以下为4个因果信号的拉氏变换，其中 不存在傅里叶变换。
（A ）s 1 （B ）1 （C ）21+s （D ）21-s 答案：X5.1[C] X5.2[B] X5.3[C] X5.4[B] X5.5[C] X5.6[B] X5.7[B] X5.8[D] X5.9[D]二、判断与填空题T5.1 判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”。
（1）（华中科技大学2003年考研题）系统函数H (s )是系统冲激响应h (t )的拉氏变换[ ]，是系统的零状态响应的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比[ ]。
（2）（国防科技大学2003年考研题）如果f (t )是因果信号，F (j ω)是其傅里叶变换，删除F (j ω)所含的冲激项，用s 代替j ω，就可得f (t )的拉氏变换F (s )。
[ ]（3）（北京航空航天大学2001年考研题）一个信号存在拉氏变换，就一定存在傅氏变换[ ]。
一个信号存在傅氏变换，就一定存在单边拉氏变换[ ]。
一个信号存在傅氏变换，就一定存在双边拉氏变换[ ]。
T5.2（北京邮电大学2000年考研题）某连续系统的冲激响应())(23)(42t e e t h t tε--+=，则描述该系统的微分方程是 。
T5.3（北京邮电大学2004年考研题）利用初值定理和终值定理分别求1254)(++=s s s F 原函数的初值=+)0(f ，终值=∞)(f 。
T5.4（西安电子科技大学2005年考研题）如图T5.4所示周期信号f (t )的单边拉普拉斯变换F (s )为 。
T5.5（西安电子科技大学2004年考研题）信号)2()2()(--+=t t t f εε的单边拉普拉斯变换F (s )为 。
T5.6（西安电子科技大学2003年考研题）如图T5.6所示电路系统，若以)(t u s 为输入，)(t u o 为输出，则该系统的冲激响应h (t )= 。
T5.7（哈尔滨工业大学2002年考研题）（1）函数232)(2++=-s s e s F s的拉氏逆变换为 ；（2）已知f (t )的单边拉氏变换为F (s )，则函数)2(4t f tet-的单边拉氏变换为 ；（3）因果信号f (t ) ss s s s s s F 32201262)(2323+++++=，则=+)0(f ，=∞)(f ，f (t )在t =0的冲激强度为 。
（4）已知)()(3t e t f tε-=，则2),()()(==T t t f t f T s δ的拉氏变换为 。
T5.8（华南理工大学2000年考研题）设1]Re[2,)2)(1(1)(-<<-++=s s s s F ，则其反变换f (t ) = 。
答案：T5.1（1）√，√ （2）√ （3）×，×，√ T5.2 )(9)(3)(8)(6)(t f t f t y t y t y +'=+'+'' T5.3 1.5, 0T5.4 )1(216242s ss e s se e ------T5.5 se s21--T5.6 )(t te tε- T5.7（1）())1(2)()1(2)1(--=----t e et f t t ε （2）⎪⎭⎫⎝⎛+-=2421)(s F ds d s G （3）2，320，2 （4）)3(211+--s eT5.8 )()(2t e t e ttεε-----三、画图、证明与计算题J5.1（东南大学2000年考研题）已知系统输入f (t )及其零状态响应y zs (t )的波形如图J5.1-1(a)、(b)所示，求h (t )并绘出波形。
图J5.1-1解：先求f (t )、y zs (t )的拉氏变换，()s ss s e se e s e s s F t t tf 2242111)()4()2()(-----=-=↔---=εε为便于求y zs (t )的拉氏变换，先对y zs (t )求导数，如图J5.1-2(a)，则[][])9()7()7(2)5(2)5()3()(-----+-----='t t t t t t t y zs εεδδεε对上式求拉氏变换，()()()()()sss s zs s s s s ss ss s s zs e sse e e s Y e e s e e e se e e e s e s sY 22573257327252312)(121121)(-----------------=⇒-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-----=图J5.1-2则系统函数为s ss zs e se e s F s Y s H 352)()()(-----==求拉氏逆变换可得系统的冲激响应h (t )，)3(2)5()1()(-----=t t t t h δεε由h (t )的表达式，可以画出h (t )的波形如图J5.1-2(b)所示。
J5.2（中国地质大学2004年考研题）某线性时不变系统，当激励为f (t )时的完全响应为)(2)(1t e t y t ε-=，当激励为dtt df )(时的完全响应为)()(2t t y δ=，若已知f (t )为单位阶跃信号ε(t )：（1）求该系统的零输入响应；（2）若系统起始状态不变，求其激励为)()(t e t f tε-=时系统的完全响应； （3）画出该系统时域模拟框图。
解：（1）据题设可知)()(t t f ε=)(2)()()](},[{)](},[{)(1t e t g t y t x T t f x T t y t zi εε-=+=== （J5.2-1）)()()()](},[{)](},[{)(2t t h t y t x T t f x T t y zi δδ=+=='= （J5.2-2）由式（J5.2-1）、式（J5.2-2）得，)(2)()()()()()(2)()()(t e t t g t g t g t h t e t t g t h tt εδεδ---=-'⇒'=-=-因求拉氏变换，)()(11)(121)()1(1t e t g s s G s s G s t ε-=⇒+=⇒+-=--L代入式（J5.2-1）得)()(t e t y t zi ε-=系统的冲激响应及系统函数为)()()()(t e t t g t h t εδ--='=1)(+=s s s H （2）11)()()(+=↔=-s s F t et f tε 2)1(1)()()(+==s s H s F s Y zs求拉氏逆变换，得)()(t te t y t zs ε-=则全响应为)()1()()()(t e t t y t y t y tzs zi ε-+=+=（3）由系统函数可知，系统的微分方程为)()()(t f t y t y '=+'则系统的时域框图如图J5.2-1所示。
J5.3（北京邮电大学2001年考研题）某线性时不变系统，其初始条件一定，当输入)()(1t t f δ=时，其全响应)(3)(1t e t y t ε--=；当输入)()(2t t f ε=时，其全响应)()51()(2t e t y t ε--=。
求当输入)()(t t t f ε=时的全响应y (t )。
解：（1）据题设可知)(3)()()](},[{)](},[{)(11t e t h t y t x T t f x T t y t zi εδ--=+=== （J5.3-1） )()51()()()](},[{)](},[{)(22t e t g t y t x T t f x T t y t zi εε--=+=== （J5.3-2）由式（J5.3-1）、式（J5.3-2）得，)()12()()()()()()12()()(t e t g t g t g t h t e t g t h tt εε-=-'⇒'=-=---因求拉氏变换，()())()1()(11)(11)()1(1t e t g s s s G s s s s G s t ε--=⇒+=⇒+-=--L代入式（J5.3-2）得)(4)(t e t y t zi ε--=系统的冲激响应及系统函数为)()()(t e t g t h t ε-='=11)(+=s s H （2）21)()()(s s F t tet f t=↔=-ε 1111)1(1)()()(22++-=+==s s s s s s H s F s Y zs 求拉氏逆变换，得)()1()(t e t t y t zs ε-+-=则全响应为)()31()()()(t e t t y t y t y t zs zi ε---=+=J5.4（浙江大学2002年考研题）已知一因果LTI 系统如图J5.4-1(a)所示，求：（1）描述系统的微分方程；（2）系统函数H (s )和单位冲激响应h (t )；（3）当输入如图J5.4-1(b)所示时，t>0系统输出y (t )的零状态响应、零输入响应。