第五章：拉普拉斯变换

特别： f (0− ) = 0, f ′(0− ) = 0, , f (n−1) (0− ) = 0
pn f (t) ⇔ snF (s)
9 积分：
{ } L
∫ t f (τ ) dτ -∞
=
L
⎧1
⎨ ⎩
p
f (t )⎫⎬ = 1 F (s) + 1
⎭s
s
f (−1) (0)
∫ ， f (−1) (0) = 0 f (τ ) dτ −∞
zt
dz
⎤ ⎥⎦
dt
∫=
∞ f (t ) 1 e−stdt =
L
⎧1 ⎨
f
(t )⎫⎬
0
t
⎩t ⎭
其他性质： 9 平移（延时）：
L { f } (t − t0 )u (t − t0 ) = e−st0 L { f (t )}
（5-20）
9 像平移（调制）：
图 5-4
L { f (t ) }eαt = F (s −α )
（5-15）
（5-16） （5-17）
4
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
∫ ∫ =
⎡⎢⎣−
1 s
e − st
t 0−
f
(τ
) dτ
⎤∞ ⎥⎦ 0−
+
1 s
∞ 0−
f (t ) e−stdt
= 1 F (s)
s
∴
L
⎧1 ⎨
f
(t )⎫⎬
=
1
f
(−1)
(0) +
1
F
(s)
⎩p ⎭ s
s
9 像微分（s 域微分）：
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
第五章：拉普拉斯变换
§5.1 定义、存在性（《信号与系统》第二版（郑君里）4.2）
信号 f (t ) 的傅里叶变换存在要求： f (t ) ∈ L1 [−∞, +∞] ，但 sgn (t ) ∉ L1 ，
{ } F {sgn (t )} = lim F e−σt f (t ) ,σ > 0 。考虑是否可以将 e−σt 纳入积分核？ σ →0
⎡⎣
y
(
t
)
−
v
(
t
)⎤⎦
=
0
⇔
e
(
∞
)
=
0
e
(
∞
)
=
lim
s→0
sE
(
s
)
=
lim
s→0
s
1
+
1 W
(
s
)
为稳态误差／系统误差。
6
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
2） s → 0, s = σ + jω,σ → 0,ω → 0 （慢变信号） 3）
图 5-7
定理条件：
sF
(
s
)
在除原点外的
π
+ r
2）充要条件：
∫ 1 F (s) estds = 0
2π j CR
3）
F
(s)
=
N (s) D(s)
，若 deg
N
<
deg
D
，则（5-27）式成立；
（5-26） （5-27）
4） est 全纯（解析）函数；
∫ 5）当 F (s) 不是有理函数时，需考察 1
?
F ( s) estds = 0
2π j CR
∫= +∞ f (t ) e−stdt 0+
∫= +∞ f (t ) e−stdt 0−
（5-9）
注： f ′(t ) |t=0 ~ δ (t ) ， f ′′(t ) |t=0 ~ δ ′(t ) ，解微分方程的初（边）值问题。
§5.2 性质（《信号与系统》第二版（郑君里）4.3） 代数性质： 9 线性：
解析。
s2
s + ω02
⇔
u (t ) cosω0t
，不满足定理条件。
§5.3 拉普拉斯逆变换（《信号与系统》第二版（郑君里）4.4）
极点、零点：
F (s) =
L { f (t)} =
N (s) D(s)
9 F ( s) 的极点 pi ⇔ F ( pi ) = ∞ ；当 N 与 D 互素时， pi 即 D ( s) 的零点。 9 F ( s) 的零点 zi ⇔ F ( zi ) = 0 ；当 N 与 D 互素时， zi 即 N ( s) 的零点。 已知 F (s) ，求 f (t ) ：
0
0
T
1
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
∫ ∫ ≤ T f (t ) e−stdt + +∞ f (t ) e−stdt
0
T
∫ ∫ ≤ T f (t ) e−σtdt + +∞ f (t ) e−σtdt
0
T
∫ ≤ A + M
+∞ e−(σ −σ0 )t dt
σ >σ 0
=
A+
M
0
σ −σ0
注：1） et2 , et3 , ,t ≥ 0 为非指数阶信号。
{ } ∫ ∫ 证明：
L
⎧1 ⎨
f
(t )⎫⎬ =
L
0− f (τ ) dτ + t f (τ ) dτ
⎩p ⎭
−∞
0−
{ } = L { f −1 (0)u (t)}+ L
∫t f (τ ) dτ 0−
{ } ∫ = 1 f (−1) (0) + L t f (τ )dτ
s
0−
∫ ∫ 第二项 = ∞ t f (τ ) dτ e−stdt 0− 0−
∫ =
1 2π j
( ) ( ) σ +j∞
σ -j∞ F1 z F2 s − z dz
f1 (t )
f1 (t ) ⋅ f2 (t )
拓扑性质（微/积分性质）： 9 微分：
f2 (t)
图 5-3
3
（5-12）
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
L
⎧d
⎨ ⎩
dt
f
(t )⎫⎬
⎭
=
s
L
{f
(t )} −
2） p (t ) eαt 为指数阶信号，其中 p (t ) 为多项式。
3）σ0 为收敛坐标，过σ0 垂直于σ 轴的垂线为收敛轴，σ > σ0 收敛域 （已知收敛域）。
图 5-1
例： f (t ) = u (t )
u (t ) ≤ 1ie0t , M = 1,T = 0,σ 0 = 0,σ > 0 收敛
对因果信号 f (t ) = f (t )u (t ) ，
{ } ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) F e−σt f t
=
+∞ 0
⎡⎣
f
t e−σt ⎤⎦ e-jωtdt =
+∞
f
0
t
e−(σ + jω)tdt
∫= +∞ f (t ) e−stdt = 0
L { f (t)}
定义信号 f (t ) 的（单边）拉普拉斯变换为：
（5-1）
F (s)
L { f (t)}
∫ +∞ f (t ) e−stdt, s = σ + jω 0
∫ ∫ ( ) ( ) f
t e−σt = 1 2π
+∞ ⎡ −∞ ⎢⎣
+∞ 0
f
t
e−(σ
+
jω
)t
dt
⎤ ⎥⎦
e
jωt
dω
令 s = σ + jω ，σ 为常数， ds = jdω
（5-2）
∫ f (t ) = 1
=
(r
1
−1)!
⎡ dr−1
⎢ ⎣
ds
r
−1
(s
−
pi
)r
F
( s) est
⎤ ⎥ ⎦ s= pi
u
(t
)
（5-29）
∑ ∑ { } ( ) L
⎧ ⎨ ⎩
i
n =1
α
i
fi
t
⎫ ⎬
=
⎭
n
αi
i =1
L
fi f2 (t )} = F1 (s) F2 (s)
（5-10） （5-11）
图 5-2
9 像卷积（s 域卷积）：
L
{
f1
(t
)
f2
(t
)}
=
1 2π
j
F1
(s)
∗
F2
(s)
第五章：拉普拉斯变换
L
{
f
( at )}
=
1 a
F
⎛ ⎜⎝
s a
⎞ ⎟⎠
,
a
>
0
（5-23）
9 初值定理： L { f (t )} = F (s) ， L { f ′(t )} 存在，则
lim
t →0+
f
(t) =
f
(
0+
)
=
lim
s→∞
sF
(
s
)
{ } ∫ 证明： sF (s) − f (0+ ) = L
L {−tf (t )} = d F (s) pF (s), p = d
ds
ds
9 像积分：
（5-18）
L
⎧1 ⎨⎩ t