基于核函数的学习算法

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拉普拉斯核函数

拉普拉斯核函数拉普拉斯核函数是机器学习中一个重要的非线性核函数，它在图像识别、语音识别、自然语言处理、数据挖掘等领域具有广泛的应用。

在对数据进行处理和特征提取时，拉普拉斯核函数可以将数据映射到高维空间中，并在高维空间中进行处理，从而更好地发现数据之间的关系。

拉普拉斯核函数的数学形式为：$$ K(x_i,x_j)=\exp(-\frac{||x_i-x_j||}{2\sigma^2}) $$其中，$x_i$和$x_j$表示数据样本，$||\cdot||$表示欧几里得距离，$\sigma$表示拉普拉斯核函数的参数，也被称为带宽（bandwidth）。

拉普拉斯核函数与高斯核函数十分相似，但也有一些不同之处。

拉普拉斯核函数对样本之间的相似度计算更加“硬”，即可以更好地保留数据之间的局部特征。

而高斯核函数则更加“软”，对于样本之间的相似度计算更加平滑，有一定的平滑作用。

在使用拉普拉斯核函数进行数据处理时，主要有以下两步：1.将数据映射到高维空间中拉普拉斯核函数可以将数据映射到高维空间中，这样可以更好地发现并利用数据的局部特征。

例如在图像识别中，一个图像可以表示为一个由像素点组成的向量，拉普拉斯核函数可以将这个向量映射到一个更高维的向量空间中。

在高维空间中，图像中的不同颜色和图案等局部信息可以更好地被区分和利用，从而实现更加准确的图像识别。

2.利用计算机算法处理数据在高维空间中，数据的非线性特征更加明显，但计算量也会增加，因此需要利用一些机器学习算法来进行处理。

例如，支持向量机（SVM）是一种常用的机器学习算法，它可以在高维空间中进行分类和回归等任务。

利用SVM算法，可以更加准确地分类图像、文字和语音等数据。

在实际使用中，拉普拉斯核函数可以与其他机器学习算法相结合，例如K近邻算法和逻辑回归等，以实现更加精准和全面的数据分析和应用。

综上所述，拉普拉斯核函数是机器学习中应用广泛的非线性核函数，可以将数据映射到高维空间中，更好地发现和利用局部特征。

机器学习的分类与主要算法对比

机器学习的分类与主要算法对⽐机器学习的分类与主要算法对⽐⾸先让我们瞻仰⼀下当今机器学习领域的执⽜⽿者：这幅图上的三⼈是当今机器学习界的执⽜⽿者。

中间的是Geoffrey Hinton, 加拿⼤多伦多⼤学的教授，如今被聘为“Google⼤脑”的负责⼈。

右边的是Yann LeCun, 纽约⼤学教授，如今是Facebook⼈⼯智能实验室的主任。

⽽左边的⼤家都很熟悉，Andrew Ng，中⽂名吴恩达，斯坦福⼤学副教授，如今也是“百度⼤脑”的负责⼈与百度⾸席科学家。

这三位都是⽬前业界炙⼿可热的⼤⽜，被互联⽹界⼤鳄求贤若渴的聘请，⾜见他们的重要性。

⽽他们的研究⽅向，则全部都是机器学习的⼦类–深度学习。

从⼴义上来说，机器学习是⼀种能够赋予机器学习的能⼒以此让它完成直接编程⽆法完成的功能的⽅法。

但从实践的意义上来说，机器学习是⼀种通过利⽤数据，训练出模型，然后使⽤模型预测的⼀种⽅法。

机器学习⽆疑是当前数据分析领域的⼀个热点内容。

很多⼈在平时的⼯作中都或多或少会⽤到机器学习的算法。

从范围上来说，机器学习跟模式识别，统计学习，数据挖掘是类似的，同时，机器学习与其他领域的处理技术的结合，形成了计算机视觉、语⾳识别、⾃然语⾔处理等交叉学科。

因此，⼀般说数据挖掘时，可以等同于说机器学习。

同时，我们平常所说的机器学习应⽤，应该是通⽤的，不仅仅局限在结构化数据，还有图像，⾳频等应⽤。

机器学习的算法很多。

很多时候困惑⼈们都是，很多算法是⼀类算法，⽽有些算法⼜是从其他算法中延伸出来的。

这⾥，我们从两个⽅⾯来给⼤家介绍，第⼀个⽅⾯是学习的⽅式，第⼆个⽅⾯是算法的类似性。

⼀、机器学习⽅式根据数据类型的不同，对⼀个问题的建模有不同的⽅式。

在机器学习或者⼈⼯智能领域，⼈们⾸先会考虑算法的学习⽅式。

在机器学习领域，有⼏种主要的学习⽅式。

将算法按照学习⽅式分类是⼀个不错的想法，这样可以让⼈们在建模和算法选择的时候考虑能根据输⼊数据来选择最合适的算法来获得最好的结果。

基于核函数法及马尔可夫链的节点定位算法

Ｍａｋｏｖｃａｎｓｒｈｉｗａｅｅｎｅｄｓｐｒｓｔ，ｗｈｃｍｐｌｓＢａｓａｆｌｅｒｍｅｏｋｎｄｒｄｉｎｇｒｉｎｔｎｔｃｏｌｙ．Ｉｓｓｉｈｅｏｙｙｅｉｎｉｔｒｆａｗｒａａｏｆｅｐｒｉｇｅｈｎｏｇｉｔｕｅ
赵方，罗海勇，林权，马严
（．北京邮电大学软件学院，北京１０７；２中国科学院计算技术研究所普适计算研究中心，北京１０９ｉ０８６．０１０３中航工业综合技术研究所，北京１０２：４北京邮电大学信息网络中一，北京１０７）．００８．ｔ３０８６
第３卷第１期１１
２１００年１月１
通
信
学
报
、，＿Ｎｏ．１０１３１１
ＪＩ＂ａｎＣｍｍｕｉａｉｎｏ１Ｉｌｏ１１ｏｎｃｔｓｏ
Ｎｏｖｅｂｅｍｒ２ＯｌＯ
基于核函数法及马尔可夫链的节点定位算法
ｋｒｅｕｃｉｎｔｏｓｒｃｉｅｉｏｄｆｎｔｎｔａｅｆｌａｖｔｇｆｔｅｓｍｉｒｔｅｗｅｎｏｓｒａｉｎａｄｓｖｒｌｅｎｌｆｎｔｃｎｔｔｋｌｏｕｃｉｏｔｋｕｌｄａａｅｏｉｌｉｂｔｅｂｅｖｔｏｅｅａｏｏｕｌｈｏｎｈａｙｎｔａｎｎａｌｓｗｈｃｖｉｓｔｅｅｒｒｒｕｈｙｅｌｙｎｒｒｄｔｒｎｄｄｓｒｂｔｎｍｏｅ．ｕｔｅｍｏｅｔｅｒｉｉｇｓｍｐｅ，ｉｈａｏｄｈｒｏｏｇｔｂｍｐｏｉｇａｐｏｉｅｅｍｉｅｉｔｕｉｄ１Ｆｒｈｒｒ，ｈｂｉｉｏｐｏｏｅｌｏｔｍｓｓＭａｋｖｃａｎｏｉｒｖｅｌｃｌａｉｎａｃｒｃｄｓｏｅｈｏｉｏｉｇｔｅＩｌｔｒｐｓｄａｇｒｈｕｅｒｏｈｉｓｔｍｐｏｅｔｏａｉｔｃｕａｙａｈｒｎｔｅｐｓｔｎｎｉ．ｔｉｓｉｈｚｏｎｔｉｍｍｉ

基于快速高斯核函数模糊聚类算法的图像分割

本文首先用阈值模糊聚类方法得到模糊规则数
和初始聚类中心；然后通过引入高斯核函数，平滑图像的像素灰度值，从而提高图像分割的抗干扰能力
和鲁棒性；最后用普通模糊聚类算法优化模糊隶属度和聚类中心值。本文方法有效地提高了图像分割的精度和速度，仿真结果验证了本方法的鲁棒性和
目标从背景中分割出来等等。因为图像分割在计算机视觉领域中的基础作用，分割的准确性直接影响后续任务，得它在图像理解、于内容的视频压缩使基
Ｓ，）通过引入变量改进了目标函数，提高了图像分割精度。Ｃｅ等人对ＴｌｓＰｎｓｈｎｏａ和ａａ提出的模糊ｉ
邹立颖郝，冰沙丽娟，
（齐齐哈尔大学ａ通信与电子工程学院电工电子教学与实验中心；．
ｂ计算机与控制工程学院自动化系，龙江齐齐哈尔１１０）．黑６０６
摘要：对模糊聚类算法通过引入高斯核函数，平滑图像像素灰度值，而增强图像分割的抗干扰能力和鲁从棒性，并结合阈值模糊聚类算法，高了图像分割的速度。首先利用阈值模糊聚类法划分初始输入空间，提得到模糊规则数及初始聚类中心；然后用高斯核函数平滑图像的像素灰度值；最后用标准模糊聚类算法求解并优化模糊隶属度和聚类中心。将本算法应用于添加噪声的嫦娥一号采集的月球地面灰度图像和Ｌｎｅａ灰度图像进行图像分割，仿真结果验证了本方法的鲁棒性、有效性和实用性。关键词：高斯核函数；阈值模糊聚类；标准模糊聚类算法；图像分割中图分类号：Ｐ８文献标识码：文章编号：００３３（００１－０１０Ｔ１Ａ１０ —９２２１）１０８－４１引言

支持向量机

支持向量机支持向量机模型选择研究摘要: 统计学习理论为系统地研究有限样本情况下的机器学习问题提供了一套比较完整的理论体系。

支持向量机(suPportvectorMachine,SVM) 是在该理论体系下产生的一种新的机器学习方法它能较好地解决小样本、非线性、维数灾难和局部极小等问题, 具有很强的泛化能力。

支持向量机目前已经广泛地应用于模式识别、回归估计、概率密度估计等各个领域。

不仅如此, 支持向量机的出现推动了基于核的学习方法(Kernel-based Learning Methods)的迅速发展, 该方法使得研究人员能够高效地分析非线性关系, 而这种高效率原先只有线性算法才能得到。

目前, 以支持向量机为主要代表的核方法是机器学习领域研究的焦点课题之一。

众所周知, 支持向量机的性能主要取决于两个因素:(1) 核函数的选择;(2) 惩罚系数(正则化参数)C的选择。

对于具体的问题,如何确定SVM中的核函数与惩罚系数就是所谓的模型选择问题。

模型选择,尤其是核函数的选择是支持向量机研究的中心内容之一。

本文针对模型选择问题,特别是核函数的选择问题进行了较为深入的研究。

其中主要的内容如下:1. 系统地归纳总结了统计学习理论、核函数特征空间和支持向量机的有关理论与算法。

2. 研究了SVM参数的基本语义,指出数据集中的不同特征和不同样本对分类结果的影响可以分别由核参数和惩罚系数来刻画,从而样木重要性和特征重要性的考察可以归结到SVM的模型选择问题来研究。

在对样本加权svM莫型（例如模糊SVM分析的基础上,运用了特征加权svM莫型, 即FWSVM本质上就是SVM与特征加权的结合。

3,在系统归纳总结SVM莫型选择。

尤其是核函数参数选择的常用方法（例如交叉验证技术、最小化LOO M差及其上界、优化核评估标准）。

关键词:机器学习;莫式分类;支持向量机;莫型选择;核函数; 核函数评估支持向量机基础引言机器学习的科学基础之一是统计学。

《人工神经网络：模型、算法及应用》习题参考答案

习题2.1什么是感知机？感知机的基本结构是什么样的？解答：感知机是Frank Rosenblatt在1957年就职于Cornell航空实验室时发明的一种人工神经网络。

它可以被视为一种最简单形式的前馈人工神经网络，是一种二元线性分类器。

感知机结构：2.2单层感知机与多层感知机之间的差异是什么？请举例说明。

解答：单层感知机与多层感知机的区别：1. 单层感知机只有输入层和输出层，多层感知机在输入与输出层之间还有若干隐藏层；2. 单层感知机只能解决线性可分问题，多层感知机还可以解决非线性可分问题。

2.3证明定理：样本集线性可分的充分必要条件是正实例点集所构成的凸壳与负实例点集构成的凸壳互不相交.解答：首先给出凸壳与线性可分的定义凸壳定义1：设集合S⊂R n，是由R n中的k个点所组成的集合，即S={x1,x2,⋯,x k}。

定义S的凸壳为conv(S)为：conv(S)={x=∑λi x iki=1|∑λi=1,λi≥0,i=1,2,⋯,k ki=1}线性可分定义2：给定一个数据集T={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(x n,y n)}其中x i∈X=R n , y i∈Y={+1,−1} , i=1,2,⋯,n ,如果存在在某个超平面S：w∙x+b=0能够将数据集的正实例点和负实例点完全正确地划分到超平面的两侧，即对所有的正例点即y i=+1的实例i，有w∙x+b>0，对所有负实例点即y i=−1的实例i，有w∙x+b<0，则称数据集T为线性可分数据集；否则，称数据集T线性不可分。

必要性：线性可分→凸壳不相交设数据集T中的正例点集为S+，S+的凸壳为conv(S+)，负实例点集为S−，S−的凸壳为conv(S−)，若T是线性可分的，则存在一个超平面：w ∙x +b =0能够将S +和S −完全分离。

假设对于所有的正例点x i ，有：w ∙x i +b =εi易知εi >0，i =1，2，⋯，|S +|。

基于核函数的支持向量机样本选取算法

（．Ｓｈｏｆｏｕｅｃｅｃ，ＳｕｈＣｈｎｒｌｉｅｓｙ１ｃｏｌｍｐｔｒｉｎｅｏｔｉａｏＣＳＮｏｍａＵｎｖｒｉ，Ｇｕｎｚｏ６ｔａｇｈｕ５３，Ｃｈｎ；１１０ｉａ２ｎｏａｉｎＴｃｎｌｇｅｅｒｈＩｓｉｔ，ＪｎｎＵｎｖｒｉ，Ｇｕｎｚｏ１０５ｈｎ）．ＩｆｒｔｅｈｏｏｙＲｓａｃｔｕｅｉａｉｅｓｙｍｏｎｔｔａｇｈｕ５０７，Ｃｉａ
样本时所需空间及时间开销，高支持向量机分类效率与质量，提出了一种基于核函数的样本选取算法。该算法通过选取提
最大可能成为支持向量的样本，以达到减少训练时存储Ｈｅｓｎ矩阵所需空间及时间开销的目的。实验结果表明，ｓａｉ该算法所
摘要：用支持向量机求解大规模数据分类需要较大内存来存储Ｈｅｓｎ矩阵，矩阵的大小则依赖于样本数，因此在一使ｓｉａ而，
定程度上导致支持向量机分类效率及质量难以提高考虑到只有成为支持向量的样本才对决策函数起作用，了减少训练为
ＡｂｔａｔＵｓｇｓｐｏｔｅｔｒｃｉｅｏｖｒｅｓａｅｄｔｌｓｉｃｔｎｎｅｓａｈｒｒｍｏｙｔｔｒｓｉｎｍａｒｏｅｓｒｃ：ｉｐｒｖｃｏｎｕｍａｈｎｓｏｓｌｅａｇ — ｃｌａａａｓｆａｉｅｄｔｅｔｌｃｉｏｒｍｏｅｍｅｒｓｅｏｏＨｅｓｔｉｗｈｓａｘ

数据分析知识：数据挖掘中的监督学习和无监督学习

数据分析知识：数据挖掘中的监督学习和无监督学习在数据分析领域，数据挖掘技术被广泛运用于从数据中挖掘出有意义的信息和规律，以帮助企业和个人做出更明智的决策。

而数据挖掘主要分为监督学习和无监督学习两种方式。

本文将详细介绍这两种学习方式的概念、算法、应用场景和优缺点。

一、监督学习监督学习是指基于已知结果的数据样本，通过建立一个映射函数，将输入数据映射到输出结果，从而实现对未知数据进行预测或分类的过程。

在监督学习中，我们通常将输入数据称为自变量，输出结果称为因变量。

监督学习的核心是建立一个有效的模型，这个模型需要能够对未知数据进行良好的预测或分类。

目前常用的监督学习算法包括决策树、神经网络、支持向量机、朴素贝叶斯分类和随机森林等。

1.决策树算法决策树算法是一种基于树型结构的分类算法，它通过对数据样本的分类特征进行判断和划分，最终生成一棵树形结构，用于对未知数据进行分类或预测。

决策树算法具有易于理解、易于实现和可解释性强等优点，适合于处理中小规模的数据集。

2.神经网络算法神经网络算法是一种基于人工神经网络的分类算法，它通过多层神经元之间的相互连接和权重调整，学习输入数据和输出结果之间的复杂非线性关系，从而实现对未知数据的分类或预测。

神经网络算法具有适应性强、泛化能力好等优点，但也存在学习速度慢、容易陷入局部最优等缺点。

3.支持向量机算法支持向量机算法是一种基于核函数的分类算法，它通过定义一个最优超平面，将不同类别的数据样本分隔开来，从而实现对未知数据的分类或预测。

支持向量机算法具有泛化性能强、对于样本噪声和非线性问题具有较好的处理能力等优点，但也存在计算量大、核函数选择过程较为困难等缺点。

4.朴素贝叶斯分类算法朴素贝叶斯分类算法是一种基于概率统计的分类算法，它通过统计样本数据中各个特征值出现的概率，并根据贝叶斯公式计算出对于给定数据属于每个类别的概率，从而实现对未知数据的分类或预测。

朴素贝叶斯分类算法具有计算速度快、对于高维数据具有处理优势等优点，但也存在对于样本分布不平衡和假设独立性等问题的限制。

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在一组函数{f(x,w)}中求一个最优函数f(x,w0)，使预测的期望风险R(w)最小化。
R(w) L( y, f (x, w))dF(x, y)
L(y, {f(x,w)})为损失函数，由于对y进行预测而造成的损失；w为函数的广义参数，故{f(x,w)}可表示任何函数集；F(x,y) 为联合分布函数。
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核函数
在处理线性分类问题时，数据以点积的形式( xi ·xj ) 出现。而在处理非线性分类问题时，需要采用非线性映射把输入空间映射到高维特征空间，记为：当在特征空间H 中构造最优超平面时，训练算法仅使用空间中的点积，即
存在一种核函数K,使得:
核函数将m维高维空间的内积运算转化为n维低维输入空间的核函数计算，从而巧妙地解决了在高维特征空间中计算的“维数灾难”等问题。
输出y与x之间存在一种固定的、但形式未知的联合概率分布函数 F(y,x)。
学习机中有函数集{f(x,w)}，可估计输入与输出之间依赖关系，其中w为广义参数。
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风险最小化－机器学习问题表示
已知变量y与输入x之间存在一定的来自知依赖关系，即联合概率分布F(x,y) 机器学习就是根据独立同分布的n个观测样本： (x1, y1), (x2, y2), ··· , (xn, yn)
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核方法分为核函数设计和算法设计两个部分,具体情况如图1 所示。核方法的实施步骤,具体描述为: ①收集和整理样本,并进行标准化; ②选择或构造核函数; ③ 用核函数将样本变换成为核矩阵; ④在特征空间对核矩阵实施各种线性算法;⑤得到输入空间中的非线性模型。
Kernel-Based Learning Algorithms
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引言
近几年，出现了一些基于核函数的机器学习方法，例如：SVM（可支持向量机）、KFD （基于核的Fisher判别分析）、KPCA（核主成分分析）等。这些方法在分类问题、回归问题以及无监督学习上都具有现实意义。这些核函数方法已经成功应用到模式识别的各个领域，比如目标识别、文本分类、时间序列预测等等
在样本数目有限时是不合理的,因此，需要同时最小化经验风险和置信范围。统计学习理论提出了一种新的策略,即把函数集构造为一个函数子集序列,使各个子集按照VC维的大小排列;在每个子集中寻找最小经验风险,在子集间折衷考虑经验风险和置信范围,取得实际风险的最小。这种思想称作结构风险最小化准则(Structural Risk Minimization Principle)。
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核函数
主要的核函数有三类：多项式核函数
径向基函数
S形函数
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16 有监督学习(supervised learning)
监督学习，就是人们常说的分类，通过已有的训练样本（即已知数据以及其对应的输出）去训练得到一个最优模型（这个模型属于某个函数的集合，再利用这个模型将所有的输入映射为相应的输出，对输出进行简单的判断从而实现分类的目的，也就具有了对未知数据进行分类的能力。
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VC维
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Vanik和Chervonenkis(1968)提出了VC维的概念。 VC维：对于一个指示函数（即只有0和1两种取值的函
数）集，如果存在h个样本能够被函数集里的函数按照所有可能的2h种形式分开，则称函数集能够把h个样本打散，函数集的VC维就是能够打散的最大样本数目。 VC维是描述函数集或学习机器的复杂性或者说是学习能力的一个重要指标,在此概念基础上发展出了一系列关于统计学习的一致性、收敛速度、泛化性能等的重要结论。
统计学习理论为研究有限样本情况下的模式识别、函数拟合和概率密度估计等三种类型的机器学习问题提供了理论框架，同时也为模式识别发展了一种新的分类方法——支持向量机。
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6 机器学习
机器学习是现代智能技术中重要的一个方面，研究从观测样本出发去分析对象，去预测未来。
机器学习的基本模型：
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该线性分类函数的VC维即为3
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一般而言,VC维越大, 学习能力就越强,但学习机器也越复杂。
目前还没有通用的关于计算任意函数集的VC 维的理论,只有对一些特殊函数集的VC维可以准确知道。
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11 结构风险最小化准则
Vapnik和Chervonenkis(1974)提出了SRM。传统机器学习方法中普遍采用的经验风险最小化原则
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理论基础监督学习:SVM、KFD 无监督学习：KPCA 模型选择
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4 理论基础
机器学习 VC维结构风险最小化原则
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5 SLT(Statistical Learning Theory)
上世纪90年代中才成熟的统计学习理论，是在基于经验风险的有关研究基础上发展起来的，专门针对小样本的统计理论。
典型的例子就是SVM（可支持向量机）、 KFD（基于核的Fisher判别分析）。
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17 SVM（Support vector machines)
SVM是基于SLT的一种机器学习方法。简单的说，就是将数据单元表示在多维空间中，然后对这个空间做划分的算法。
SVM是建立在统计学习理论的VC维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推广（泛化）能力。
其中，xi 是训练元组，xi∈Rm，yi是类标号，yi∈{1,-1}。
若存在超平面( hyperplane):
ω·x + b = 0
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支持向量机方法建立在统计学习理论基础之上，专门针对小样本情况下的机器学习问题。对于分类问题，支持向量机方法根据区域中的样本计算该区域的分类曲面，由该曲面决定该区域中的样本类别。
已知样本x 为m 维向量, 在某个区域内存在n个样本:
(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)