基本不等式培优专练参考答案(1)
基本不等式培优专练参考答案
培优点一 常规配凑法
1.答案：0 提示：242a b +=≥20a b ?+≤;
2.答案：94 提示：22
29121682
y x ++=≥=
3.答案：B 提示：柯西不等式知：21
1
()()(194x my m x
y ++
≥≥?≥
4.答案：1 提示：11
11111
a b b a a a ++-≥++-≥++ 5.答案：62
23
a b =+≥62≥?ab 6.答案：9 提示：241
()(2)(21)92a b b a b b
+-+≥+=-
7.答案：B 提示：2112[+12(1)](
)3(1311
a b a b a b +=+++-≥-=++培优点二 “1”的代换
8.答案：3，21 提示：311≥++=+b a a b b a b ，当且仅当2
1
==b a 时取等号 9.答案：D 提示：9)12()2)(12(22
=+≥++=+b a
b a b a
10.答案：
49 提示：4
9
)12(41)134)(3(411342=+≥-++-++=-++y x y x y x y x y x y x 11.答案：C 提示：（1）当2≥≥b a 时，由
2431≤≤+b b a 知，231,,max ≥=??????
+a b a b a
（2）当b a ≥≥2时，231,
,max ≥=?
??
?
??
+a b a b a （3）当b a ≥≥2时，23131,
,max ≥+=????
??
+b
a b a b a 故?
??
???+b a b a 31,
,max 的最小值为2 12. 答案：3
2
2 提示：111221)11(2212222-++=-+-+++=-+++b a b b a a b b a a
3
2
213)12(1)112)(13111122=
-+≥-++++=-++b a b a b a （Θ 13. 答案：3
222-
提示：
b
a a
b a b b b a a a a b b b a ab ab ++
+=+++=+++=22
21222))2(2)2(1(
令a
b
t =，则252112521621222112221222++-+=++++=+++=+++=t t t t t t t t t t t
t ab 再令1-=t m ,32
22926119921199212
-=++≤+++=+++
=m
m m m m ab （补充题）答案：3 提示：10
9)3(8102482962
242243
32222+??? ??+???? ??+=
+++=+++x y y x y
x
y x y y x x xy y x y x xy y x xy )323(33
38848484)3()
3822≥+==≤+=+=+++=
x y y x t t t t t x y y x x
y
y x （ 培优点三 换元法
14.答案：C 提示：令2
5
221,1=+
?=+=+n m n y m x ， 则
n m y x 1121111+=+++
5223)2
11(52)11)(252112+=
+≥++=+n m n m n m （ 15.答案：9 提示：由已知可知：2)1)(2≥--b a （，9545)1()2(22=+≥+-+-=+b a b a 16.答案：B 提示：令52,522,2m n y m n x n y x m y x -=+=
?=+=-，)3(5
1
n m y x +=+
5
3
24)31(51)11)3(512+=+≥++=+n m n m y x （
17.答案：
32 提示：
)1
1
11)(11(312)1111(211++++++-=+++-=+++b a b a b a b b a a
32342=-
≤（当且仅当2
1
==b a 时取等号） 18.答案：5
4
提示：
54)2(51)2214)(32(51221422222=+≥+++++=+++y x x y y x y x x y y x
19.答案：B 提示：1)1)(1(111
=--?=+b a b a
，61911≥-+-b a （当且仅当4,3
4==b a 取等号） 20.答案：C 提示：由y x xy +=-3得1
3
-+=x x y ，
则251313611)8)(3()8(≥+-+-=-++=+x x x x x x y （当且仅当3
5
,7==y x 时取等号）
21.答案：25 提示：
1)1)(1(111=--?=+y x y x ，251
914131914≥-+-+=-+-y x y y x x （当且仅当2
5
,35==
y x 时取等号）
22.答案：]13,2( 提示：θθsin 3,cos 2194==∴=+y
x y x Θ（2
0π
θ<
<）
)3
2
tan )(sin(13sin 3cos 23211=+=+=+++??θθθ其中y x
)2,
(?π
??θ+∈+Θ1)sin(≤+∴?θ，最小值为?
??
???+)2sin(,sin min ?π?
13
2
133cos )2sin(133cos ,132sin >==+∴==
??π??Θ
]1,13
2
(
)(sin ∈+∴?θ，因此1132+++y x 的取值范围是
]132，（ 23.答案：]4,2( 提示：2)12()12(22
4411
=-+-∴+=+++y x y x y
x
Θ，
令)4
3,4(,sin 212,cos 212π
πθθθ-
∈=-=
-y x
因此]4,2()4
sin(2222∈+
+=+=π
θy
x
S
培优点四 和、积、平方和三量减元
24.答案：4 提示：4)2
(,42
=+≤∴=+b a ab b a Θ（当且仅当2==b a 时取等号）
1616)1(12)()(1)()1)(1(22222222≥+-=+-++=+++=++ab ab b a ab b a ab b a
25. 答案：34、32 提示：342)(4≤?≥+=xy xy xy y x xy （当且仅当y x =时取等号）
32)(3
3
3333332≥+-+++=
+y x y x y x 分析：???
?
?
?
?
??-==
+=??????+===+=+?+++=+33
33333
3)(12)(2t n m y x t ny mx t n t m y x t ny mx y x 26.答案：C 提示：1)(2)(22)(1)(211112222222222++-++-+=+++++=+++ab ab b a ab b a b a ab b a b a 4
)1(262+--=ab ab
0)1(1)2(12
≤--=+-=-=a a a ab t 令
4
2411112
22+-=+++∴
t t
b a ，令22≥-=t m
2
1
248284242411112222+≤-+=+-=+-=+++∴
m
m m m m t t b a 27.答案：
432- 提示：4
264224212
2-≤?+≥+++=xy xy xy y x y x 4
3
2-≤
xy 28.答案：C 提示：
xy y x xy y x xy
x y y x 21)2(14214222+=+?-=+?-=+ 121
222)12)(12++=-+?
=++-+y x y x xy
xy y x y x （
又 22)2(4
1
1)22(
121y x y x xy ++=++≤+ 3
3
22)2(411)222≤+?++≤+?y x y x y x （
29.答案：4 16 提示：42
2222)2(16
1
)2(44432y x y x y x xy y x ++
+≤+++=42≥+?y x 由已知可知：324)2(2
22=++y x y x ，
因此2
222]2)2(7[)17](4)2[(xy y x y x y x ++≥+++，即162)2(7≤++xy y x
30.答案：]253,171(
提示：2022
4≤
x
1
161116)1(117212
22+++=+++=+++xy xy xy xy xy y x xy ]253
,171（∈ 31.答案：55 提示：21003
2424232<+-=
?=++x x x
y y x xy 551
48
)1(3313168493452≥++++=+++=++x x x x x y x xy （当且仅当x=3时取等号）
32.答案：61 提示：)12(6
112)12)(12(6-+=++?-+++=b a b a ab b a b a ab 又2
2
)2
2(
3161)2(b a ab b a ++≤+=+22≤+?b a 6
1
)12(6112≤-+=++∴
b a b a ab
培优点五 轮换对称与万能k 法
33. 答案：
5
10
2 提示：方法1：22
2
2
2
2
)2(8
5
)2(8
3)2(3)2(41y x y x y x xy y x y xy x +=
+-+≤-+=++=
51022≤
+∴y x （当且仅当10
10
,510==y x 时取等号）
方法2：51051)2(2
≤
?≥-=-xy xy y x ，5
831)2(2
≤+=+xy y x 51022≤+?∴y x
（当且仅当10
10
,510==
y x 时取等号）
方法3：1415)2(22=++
y y x ，222)2()5
3
1](415)2[(y x y y x +≥+++51022≤+?∴y x
（当且仅当10
10
,510==
y x 时取等号） 方法4：令y t x y x t 22-=?+=代入转化成关于y 的一元二次方程有解，判别式0≥?可求；
方法5：2
222222)4()24()1()()2()2(y n xy mn x m ny mx y x y x ++-++=-++≤+
5
12
,53442412222
==?+=-=+n m n mn m
58
)4()24()1()()2()2(2222222≤++-++=-++≤+y n xy mn x m ny mx y x y x
34.答案：
5
8
提示：方法1：数形结合，可以理解为22=+y x 上的动点到原点的距离与到y 轴距离之和；)0,0(关于直线22=+y x 的对称点为)5
4
,58(Q ，Q 到y 的距
离为所求，即5
8
方法2：令04)4(242222=-+-+?++=t x t x y x x t ， 5
80≥
?≥?t 35.答案：
122 提示：令)2
,0(,cos ,sin 3π
θθθ∈==b a ，)cos (sin 3cos sin 3θθθθ+=+b a ab
令2)4
sin(2cos sin ≤+=
+=π
θθθt ，
12
2
)1(61)cos (sin 3cos sin 3≤
-=+=+t t b a ab θθθθ 36.答案：36 提示：,1,2
22a c b a c b -=+-=+又222)2(2c b c b +≥+3
22≤?a 36≤?a
37.答案：32 提示：3
3223)23(41161)23(22
≤+?++
≤+=+y x y x xy y x 因此3269≤+y x 参考33题 培优点六 消元法
38.答案：
5
1
提示：
414511145351≥+=-?-=+?+=-y y x x y x y x y x x y xy 5
101452≤?≤-+?x x x
39.答案：3,3 提示：3)2
1)(2(3121≥++=+b
a b a b a ；133232≤?≥++=ab ab b b a )(b a =
3131112134
222222≥≥++=+b a b b a b a (当且仅当1==b a 时取等号） 40.答案：C 提示：a b -=1，
3
3
21331331122222+≤-+=+-=+-+=+++t
t t t t a a a b a b b a a （令11>+=a t ）
41.答案：B 提示：514
1413433322≥++-=++-≥+-=++=a
a a a a
b a a b a b a μ（当且仅当2=a ）
42.答案:494、 提示：由已知可知9423≥?≥+=ab ab b a ab （当且仅当3
2
==b a 时取等号）
又4112114≤+?+≥++=
ab b ab b b b a （当且仅当1,2
1
==b a 时取等号） 培优点七 不等式算两次 43.答案：C 提示：44
)(1222
≥+≥-+
a
a b a b a （当且仅当22,2==b a 时取等号）
44.答案：12 提示：
12)
(36
)()2(9)(2
22
≥-+-≥-+-b a b a b a b b a （当且仅当3,9==b a 时取等号） 45.答案：4 提示：41
414142244≥+≥+≥++ab
ab ab b a ab b a （当且仅当42,2222==b a 取等号） 46.答案：4 提示：方法1. 4)22(2
1
)2121(21)21()21(2222=+≥+++≥+++
y y x x x y y x
（当且仅当2
2
=
=y x 时取等号） 方法2：4)11(2)411(2)21)(21(2)21()21(22=+≥++=++≥+++
xy
xy x y y x x y y x
（当且仅当2
2
=
=y x 时取等号） 方法3：42114141)21()21(222222=++≥+++++=+++
y
x
x y y y x x x y y x
（当且仅当2
2
=
=y x 时取等号）
47.答案：4 提示：)2(5
2)54()51(2222
222bc ac c b c a c b a +≥+++=++ 即22
22
2
)2(5
4
)(bc ac c b a +≥
++
425
)2(5425
)2(54
25)(22
22
2
≥+++=+++≥++++ac
bc ac bc ac bc ac bc ac bc c b a
分析：bc n ac m nc b mc a c b a 22)()(2
222222+≥+++=++
5
4
,511,2212==?=+=n m n m n m 48.答案：2232+ 提示：22322)(3)(232+≥-+-++++=-+++∴b
a b a b a b a b a b a a
49.答案：B 提示：41题
50.答案：510+ 提示：2
5452)(21
22222112
2222
≥+=-++=-+=-+ab b a ab ab b a a ab ab a ab b a
2525252-+≥-+-+c c c c ab c b ac 51052
5)2(25+≥+-+-=c c 培优点八 齐次化
51.答案：422- 提示：))1,0((112121)(22222∈=--=--=--≤
x
y
t t t t t x y x y x c
422411)1(21122-≥--+-=--t
t t t （当且仅当221-=t 时取等号）
52.答案：B 提示：12212)2(3322
222+≥++=++=+∴
=+xy
y x xy y x y x xy y x y x Θ 53.答案：]30,350[3、 提示：4)3()
3(8109)3(829624
2243
3
2222+++=+++=+++a
b b a a b
b a a b a b ab b a a b ab a b ab
令323≥+=a b b a t 33
24328484)3()
3(829622
222≤+≤+=+++=+++t t a b b a a b b a a b ab a b ab 方法1.令2
23y x t +=，θθsin ,cos 3t y t x ==代入已知条件可得
]30,3
50
[
)2sin(6
2
6725∈--=
?θt 方法2.由已知可得：254
15)2
(2
2
=+
-x x y ，令θθcos 3152,sin 52=
=-x x y θθcos 3
15
sin 5+
=y
]303
50[)2sin(320370322∈-+=
+?θy x 54.答案：224- 提示：可以用三角换元，参考53题也可以使用判别式；
222222222)2(22)1()(22y n xy mn x m ny mx y x y x -+--=+-+≥+
)12(2,122
21222
2
-=-=?-==-n m n mn m
2)22()2(22)1(2222222?-=-+--≥+y n xy mn x m y x
培优点九 待定与技巧性强的凑配
55.答案：3
7
提示：6543=++z y x Θ 36212421-+++=++++∴
z x z y z x z y z y 3
16
)232(61)3318242)(3324616212=+≥++++++=+++z x z y z x z y z x z y （
3
7
331636212421=-≥-+++=++++∴
z x z y z x z y z y
56.答案：36- 提示：由已知可知xy y x =+，36)6(12)(102
2
2
2
--=-+=+-xy xy y x y xy x
57.答案：222- 提示：1321222111211111
122++++=+++=+++≥∴≤y y y y y y y y y
M xy Θ
2222231
131********-=+-=++-=++-
=y
y y y y
（当且仅当2
2
=
y 时取等号） 58.答案：C 提示：)22(4
1
21214141411222bc ac ab bc ac ab c b a ++=++≥++=Θ 422≤++∴bc ac ab
又22202
1
1)2121(2-≥++∴≥+++=++
bc ac ab bc ac ab c b a Θ 59.答案：
2
10 提示：yz m xy m z y m my x z y x -+≥+-++=++=122)1(12
222222
10111232=?-=m m m 即)3102
122yz xy yz m xy m +=-+（
2
10
3≤
+yz xy 60.答案：2
12+ 提示：)()1()1()(12
222222222w nz z n y m my x w z y x ++-+-++=+++=
zw n yz n m xy m 2)1)(1(22+--+≥
2)12(2231
22)1)(1(212-=-==?=--=m n n
n m m )2)(1222)1)(1(221zw yz xy zw n yz n m xy m +-=+--+≥（
21
2)
12(212+=-≤
++∴zw yz xy 61.答案：A 提示：依题意T y x ≥+
2)(，T y z ≥+2)(，T z x ≥+2)(
≤T 3++2)(y x ++2)(y z zx yz xy xz yz xy z x 222222)(2+++++=+
8)4=++≤xz yz xy （，3
8
≤T
62.答案：
2
5
提示：参考47题 63.答案：72 提示：bc m ab m c b m mb a c b a -+≥+-++=++=122)1(42
222222
75
2
1252=?-=m m m
)257
2
12242
2
2
bc ab bc m ab m c b a +=
-+≥++=（
7225≤+∴bc ab
64.答案：36222、
提示：)(22
12142222
222bc ab c b b a c b a +≥+++=++=
22≤+∴bc ab
,,2
2
2
c b a c b a -=+-=+由3
6
238)2(22222≤?≤?+≥+c c b a b a 培优点十 多元变量的不等式最值问题 65.答案：B 提示：414121≥?≤?≥+=ab
ab ab b a Θ 9)12()14)((14112=+≥++=+≥+∴d
c d c d c d abc
66.答案：21132119-=-z 、 提示：81)21(21212+--=-=xy xy xy
xyz ，又2222)1(4
1
2)1(415xy xy xy y x -+≥-++=
37200196)(,02-≤≤?≤-+≥xy xy xy xy ，
,0 <≤-?≤--xy xy xy 321198 1 )21(212-≥+--=xy xyz ，此时211-=z 67.答案： 212- 提示：2 1241)()(41)(22 2-≤+?≤+++?+≤=++c b a c b a c b a c b bc c b a a 68.答案：A 提示：2 1 211-<<-?>- ->?>-->a c a c a c c c a a 222222 222)(12121)(a c a c c a ac c a c a c a b ++ =++=++=+Θ 令a c t = )51,0[121)(12121)(222222 222∈++=++ =++=++=+∴t t a c a c c a ac c a c a c a b 69.答案：C 提示：ab ab b a c 2212 2 2 -=≥+=- （当0,0< 11)1(2 1 2122-≥-+=+-≥+∴c c c c ab 70.答案：A 提示：1322 2 2 =++c b a Θ，1202 2 ≤+≤∴b a ，令θθsin 2 2 ,cos t b t a = = 33)sin(3sin 2cos 2≤≤+=+=+t t t t b a ?θθθ 71.答案： 7 8 提示：8222≥?≥+=ab ab b a ab 7 8 11112≤-=-=?+=++=ab ab ab c c ab c b a abc 72.答案：212- 提示：)()2 1(211212a b t t t t t b a a a b c b a a b =++=++=++≥++ 21 221)2 1(2121)21(21-≥-+++=++≥++t t t t c b a a b （当且仅当2 1 2-== a b t 时取等号） 73.答案：]34,1( 提示：42111≥?≥+=∴=+ab ab b a ab b a Θ，4 11≤ab 3 4111,4311111≤<∴<≥-=+-=c c ab b a c 又 74.答案： 2 6 提示：依题意01222=--++-bc c b ab a 有解，0444302 2≤-+-?≥?c bc b 有解，则262302 ≤?≤ ?≥?c c 75.答案：]1,8 1[- 提示：1)31 (49)21()1()())((222 2 ≤-=-+--≤++-=--c c c c c ab c b a c b c a c 8 1 81)41(2)1()())((222-≥--=--≥++-=--c c c c ab c b a c b c a c 76.答案：9 1- 提示：2 22914,312z y x z y x -=+-=+Θ， 319101627)231(291222≤≤-?≤--?-≥-∴z z z z z 9 1min -=∴z 培优点十一 不等式综合应用 77.答案：C 提示：)1 4(6)14)(4()14(14642y x y x y x y x y x y x ++++=+∴+= ++Θ 2)14(y x +∴)146222 y x +++≥（）（814≥+?y x 78.答案：B 提示：9)(8)4 1)( ()(8)(2 ++≥++++=+y x y x y x y x y x （当且仅当y=2x 取等号） 9≥+∴y x 79.答案：4 1 - 提示：在已知等式两边加y x 1673-可 2921416141613419=+≥+++=-+y y x x y x （当且仅当4 1 ,2= =y x 时取等号） 4 11673-≥-∴y x 80.答案：B 提示：依题意可知：b a M -+ ≥112，c b M -+≥112，a c M -+≥11 2 a a M -+≥ ∴1123b b -++112c c -++11 2 Θ 223)12()112)(1(1122+=+≥-+-+=-+a a a a a a 223+≥∴M 81.答案：9 提示：101114)1(111114=+-++-∴=+-++y x y x y x y x Θ，两边同承y x 111+- )111](4)1[()111()111102y x y x y x y x +-+-++-=+-（ 9)1 11(2++-≥y x 91 111≤+-≤ ?y x 82.答案：122- 提示：2 2 2 2 )2(4443)2)(23)1(+-=--=-+= -y y y y y y xy （Θ 4)21()1(22=++-∴y y x 1221 )11(21)2112122-≤+?++=++-≥y x y x y y x （ 83.答案6 提示：6838)18(118322=≥++=++=+∴=+y y x x y y x x y x y x Θ 一元一次不等式综合 【例题求解】 【例题1】（1）已知关于x 的不等式组 5 2x 0 无解，则a 的取值范围是是 ______________________ x a 0 思路点拨：从数轴上看，原不等式组种两个不等式的解集没有公共部分。 （2）已知不等式3x a 0的正整数解恰好是1、2、3，贝y a 的取值范围是 思路点拨：由题意，结合数轴，理解 a x 3 7x m 0 的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等 6x n 0 式组的整数 m 和n 的值是多少。 【例题3】解下列不等式（组） (1) 2m 3 3x n (2) x 2 10 【例题2】如果关于x 的不等式组 思路点拨：借助数轴，分别建立 m n 的不等式，确定整数 m n 的值。 （3 ）求不等式x 1 x 2 3的所有整数解。 思路点拨：与方程类似，解含有字母系数的不等式（组）需要对字幕系数进行讨论；解含有绝对值符号的不等式（组）的关键是去掉绝对值符号，化为一般的不等式求解。 【例题4】已知三个非负数a、b、c满足3a 2b c 5和2a b 3c 1，若m 3a 求m的最大值与最小值。 思路点拨：本体综合了方程、不等式组的丰富知识，解题的关键是通过解方程组， 字母的代数式来表示m,通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求的最大值与最小值。 b 7c。 用含一个 m 【课堂练习】 1、若关于不等式组心X 1 5 4 的解集为x 4，则m的取值范围是x m 0 2、若不等式组2x a x 2b 1 的解集是1 3 集是1，则(a 1)(b 1)的值是 3 、 已知a 0，且ax ，则2x 6 2的最小值是 4、对于整数a、b、c、d,符号 ab 表示运算ac 5 、 -a<-b B 6 、 若方程组 7 、 dc bd ,已知1 1 b 3,则b+d的值是 0，则下列式子正确的是 4x y x 4y 已知a、b为常数, b2 1 的解满足条件0y 1，则k的取值范围是 ax b 0的解集是-，则bx-a<0的解集是 3 初一数学培优讲义—不等式（答案） 一、例题选讲 4 x m8 x 1 例 1、已知关于x 的方程：37，当m为某些负整数时，方程的解为负整数，试求负整数m的最大值。 4 x m 1，可得 m 4 x 1 解：原方程化简整理得：2121 4 x 因为 m为负整数，所以21必为小于-1的负整数 4 x1， x 21，即x 5 1 所以214 4 4 x 而要使 21为负整数，x必是21的倍数，所以x 的最大值为 -21 因为当 x 取最大值时， m也取得最大值，所以m的最大值为 -3 4 x 例 2、已知 m、n 为实数，若不等式 (2m-n) x+3m-4n<0 的解集为9 ， 求不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解。 解：由 (2m-n) x+3m-4n<0 得： (2m-n) x<4n-3m ， 2m n 0 (1) x 4 4n 3m 4 (2) 9 ，所以有2m n 9 因为它的解集为 n 7 m 由(2) 得8 代入(1) 得 m<0 n 7 m 5m x 5m 把8 代入(m-4n) x+2m-3n>0 得 2 8 1 1 x x ∵ m<0 ∴ 4 所以，不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解集为 4 例 3、解不等式： (1) (2x+1)2-7<(x+m)2+3x (x-1) (2) x 4 2x 3 1 解： (1) 原不等式可化为： (7-2m) x 高中数学——基本不等式培优专题 目录 培优（1）常规配凑法 培优（2）“1”的代换 培优（3）换元法 培优（4）和、积、平方和三量减元 培优（5）轮换对称与万能k法 培优（6）消元法（必要构造函数求异） 培优（7）不等式算两次 培优（8）齐次化 培优（9）待定与技巧性强的配凑 培优（10）多元变量的不等式最值问题 培优（11）不等式综合应用 培优（1） 常规配凑法 1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ，则22y x +的最大值为_____________ 3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1 1)((≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值 是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -++ +1 1 的最小值是_____________ 5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab b a =+3 2，则ab 的最小值是_____________ 6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则 b b a 21 4+ -的最小值是_____________ 7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11 111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ） A.23 B.22 C.3 D.2 培优（2） “1”的代换 8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9 不等式培优专题 一．选择 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521x a x ->??-≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组220x a b x ->??->?的解集为11x -<<，则 2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集4 1320 x x x a +?>+???+- 7． 不等式组951 1x x x m +<+??>+? 的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 6 0x m x n -≥??-?p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 三、解答题 1．求满足下列条件的最小的正确整数，n ：对于n ，存在正整数k ，使137 158<+ 一元一次不等式培优训练题 1、解不等式252133x -+-≤+≤- 2.求下列不等式组的整数解2(2)83373(2)82x x x x x x +<+??-≥-??-+>? 3、解不等式：（1） 0)2)(1(<+-x x （2） 0121>+-x x 4、对于1x ≥的一切有理数，不等式 ()12 x a a -≥都成立，求a 的取值范围。 5、已知1x =是不等式组()()352,2 3425x x a x a x -?≤-???-<+-? 的解，求a 的取值范围. 6、如果35x a =-是不等式 ()11233 x x -<-的解，求a 的取值范围。 7、若不等式组841,x x x m +<-?? >?的解集为3x >，求m 的取值范围。 8、如果不等式组237,635x a b b x a - 10、已知关于x 的不等式()12a x ->的解在2x <-的范围内，求a 的取值范围。 11、已知关于x 的不等式组010 x a x ->?? ->?，的整数解共有3个，求a 的取值范围。 12、已知关于x的不等式组 321 x a x -≥ ? ? -≥- ? 的整数解共有5个，求a的取值范围。 13、若关于x的不等式组 2145, x x x a ->+ ? ? > ? 无解，求a的取值范围。 14、设关于x的不等式组 22 321 x m x m -> ? ? -<- ? 无解，求m的取值范围 旗开得胜 1 专题2.2 基本不等式 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足2 2 1x y +=，则xy 的最大值是（ ） A ．1 B 3 C ． 22 D ． 12 【答案】D 【解析】因为22 2x y xy +≥，所以22 2=1y x x y +≤，得12 xy ≤ . 故选：D. 2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ） A ．18 B ．9 C ．6 D ．3【答案】C 【解析】因为90,30a b >>，22a b +=， 所以2293293233236a b a b a b a b ++≥?=?==， 旗开得胜 1 当且仅当233a b =，即1 ,12 a b = =时取等号， 所以93a b +的最小值为6， 故选：C 3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥- C ．2a b ab +≥-D ．2a b ab +≤【答案】B 【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确； B.2222220a b ab a b ab +≥-?++≥，即()2 0a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确； D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B 4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241 x x y x -+=-的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B 【解析】依题意24 1 x x y x -+= -4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以 一元一次不等式培优专题训练一 例1 1、 用“>”或“<”填空，并在题后括号内注明理由： (1)∵a >b,∴a －m ________b －m (2)∵a >2b,∴2 a ________ b (3)∵4a >5a,∴a ________0 (4)∵2x －1<9,∴x ________5 2、不等号填空：（1）、x 为任意有理数，x －3____x －4.（2）若a ＜0，b ＜0，则a ·b ____ab 2. 变式训练：（七中实验）若b a <，则2ac 2bc ；若22bc ac <，则a b （填不等号） ； 例2、不等式（组）的解法：1、不等式1 七年级上册《一元一次方程》培优 专题一：一元一次方程概念的理解: 例：若()2219203m x x m -- +=+是关于x 的一元一次方程，则方程的解是 。 练习： 1.()()221180m x m x --+-=是关于x 的一元一次方程，则代数式()()199231101m m m +-++的值为 2.若方程()()321x k x -=+与62 k x k -=的解互为相反数，则k= 。 3.若k 为整数，则使得方程()199920012000k x x -=-的解也是整数的k 值有（ ） A.4个 B.8个 C.12个 D.16个 专题二：一元一次方程的解法 （一）利用一元一次方程的巧解： 例： （1）0.2?表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.2?化成分数吗？ （2）0.23??表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.23??化成分数吗？ （二）方程的解的分类讨论： 当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以华为ax=b 的形式，继续求解时，一般要对字母系数a 、b 进行讨论。 （1）当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； （2）当0,0a b =≠时，方程无解； （3）当0,0a b ==时，方程有无数个解。 例：已知关于x 的方程()2132a x x -=-无解，试求a 的值。 练习： 1.如果a ，b 为定值，关于x 的方程 2236kx a x bk +-=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a ，b 的值。 2.解方程 11x x a b a b ab --+-= 3.对于任何a 值，关于x ，y 的方程()11ax a y a +-=+有一个与a 无关的解，这个解是（ ） A.2,x y ==-1 B.2,1x y == C.2,1x y =-= D.2,1x y =-=- 4.问：当a 、b 满足什么条件时，方程251x a bx +-=-；(1)有唯一解；（2）有无数解； （3）无解 5.（1）a 为何值时，方程 ()112326 x x a x +=--有无数多个解？（2）a 为何值时，该方程无解？ 6.若关于x 的方程()()311x x k x -+=-无解，则k= 。 专题四：绝对值方程： 例4:解方程：（1）35x -= （2）30x -= （3）235x -= 例5：解方程： （1）215x x -++= （2）213x x -++= （3）212x x -++= 练习：19.解方程：（1）2313x x -=- （2）2313x x -=- 一元一次不等式组练习题 一、选择题 1、已知方程? ??-=++=+②①m 1y 2x m 31y x 2满足0y x <+，则（ ） A. 1m -> B. 1m > C. 1m -< D. 1m < 2、若不等式组? ??+>+<+1m x 1x 59x 的解集为2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m > 3、若不等式组? ??>+>-01x 0 x a 无解，则a 的取值范围是（ ） A. 1a -≤ B. 1a -≥ C. 1a -< D. 1a -> 4、如果不等式组? ??<->-m x x x )2(312的解集是x ＜2，那么m 的取值范围是（ ） A 、m=2 B 、m ＞2 C 、m ＜2 D 、m≥2 5、如果不等式组2223 x a x b ?+???--? ≥有解，则a 的取值范围是（ ） A ．1a >- B ．1a -≥ C ．1a ≤ D ．1a < 7、若不等式组530,0x x m -??-? ≥≥有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A.m ≤53 B.m ＜53 C.m ＞53 D.m ≥53 8、关于x 的不等式组?????x ＋152＞x －3 2x ＋23＜x ＋a 只有4个整数解，则a 的取值范围是 （ ） A. －5≤a ≤－143 B. －5≤a ＜－143 C. －5＜a ≤－143 D. －5＜a ＜－143 二、填空题 1、关于x 的不等式组12x m x m >->+???的解集是1x >-，则m = ． 一元一次不等式培优训练 例1、要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A.0＜a ＜1 B. a ＞1 C.－1＜a ＜0 D. a ＜－1 例2、已知6＜a ＜10， 2 a ≤ b ≤a 2，b a c +=，则c 的取值范围是 。 例3、若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是49x ＞，则不等式的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。 例4、设7321x x x x ,,,,Λ均为自然数，且76321x x x x x <<<<<Λ，又2012721=+++x x x Λ，则21x x +的最大值是 。 例5、设实数a 、b 、c 满足a 当堂练习 一、选择题 1、如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则......................................( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2、a 、b 是有理数，下列各式中成立的是........................................( )． (A)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若a ＞b ，则a 2＞b 2 3、｜a ｜＋a 的值一定是......................................................................( )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4、若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足...............( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜1 (D)a ＜－1 5、若由x ＜y 可得到ax ≥ay ，应满足的条件是...............................( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 6、某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是........................................................( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 7、若不等式组?? ?>≤ 二元一次方程组培优训练题 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： 二元一次方程组培优训练题 一、二元一次方程组的解 １、如果? ? ?=+=-423y x a y x 的解都是正数,那么a 的取值范围是（ ） (A )a ＜2； ?（B ）34- >a ;?（C ）342<<-a ；?(D )34 - 一元一次方程应用培优 一、含参数的一元一次方程解的问题 例1：问当a、b满足什么条件时，方程2x+5－a=1－bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。针对训练： 如果a、b为定值,关于x的方程2 3 kx a + =2+ 6 x bk - ,无论k为何值,它的根总是1,求a、b的值. 二、一元一次方程整数解的问题 例2：已知关于x?的方程9x-?3=?kx+?14?有整数解,?那么满足条件的所有整数k=_______. 针对训练： 已知关于x的方程2mx﹣6=（m+2）x有正整数解，则整数m的值是_________． 三、利润与利润率： 例3：一家服装店将某种服装按成本提高40%后标价，又以八折优惠卖出，?结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本为_________． 针对训练: 1.某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，些时仍可获利10%，此商品的进价为______． 2.某件商品进价为800元，出售时标价为1200元，现准备打折出售该商品，但要保证利润率不低于5％，则最多可打（）A．6折 B．7折 C．8折．D9折 四、行程问题： 例4：某人从家里骑自行车到学校．若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？ 针对训练： 一列客车长200 m,一列货车长280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米? 五、行船问题： 例5：一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时40分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离？ 针对训练： 1、轮船在静水中的速度是20千米/小时，从甲港顺流到乙港需8小时，返航时行走了6小时在距甲港68千米处发生故障，求水流速度？ 4．2 不等式的基本性质 专题一 不等式的基本性质 1．（2013·淄博）若a b >，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．a m b m +>+ B ．22(1)(1)a m b m +>+ C ．22 a b -<- D ．22a b > 2．如图， A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a 、b ，下列式子成立的是（ ） 0 图3b a B A A ．ab ＞0 B ．a b +＜0 C ．(1)(1)b a -+＞0 D ．(1)(1)b a --＞0 3.已知a 、 b 、 c 、d 都是正实数，且d c b a <.给出下列四个不等式： ①d c c b a a +<+； ②b a a d c c +<+； ③b a b d c d +<+； ④d c d b a b +<+；其中不等式正确的是 _____________________________. 4. 5. 状元笔记 【知识要点】 1.不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2.不等式的传递性：如果,a b b c >>，那么a c >. 【温馨提示】 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【方法技巧】 1．利用不等式的符号变化对乘以或除以的数或式子进行判断正负． 2．对于一些较复杂的变形，遇到两个或者两个以上的性质，一定要依据性质仔细分析，不要因盲目下结论导致判断失误． 参考答案： 1. D 解析：根据不等式的性质“不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变”，可知选项A 正确；由于m 2+1＞0，根据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”，可知选项B 正确；根据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，可知选项C 正确；由于a ，b 的正负不明确，故a 2，b 2的大小也不确定，如a =﹣1， b =﹣2时，满足a b >，但a 2＜b 2，故选项D 不正确．故应选D ． 2. C 解析：根据数轴知－1＜a ＜0，b ＞1，则a+1＞0，b －1＞0．因此ab ＜0，a+b ＞0，(a+1)( b －1)＞0，(a －1)( b －1)＜0，故选C ． 3. ①③ 解析：因为d c b a <，所以bc ad <，所以a b c d <，所以11+<+a b c d ，所以a a b c d c +<+，即可得 d c c b a a +<+，同样的方法可得d b c d a b ?++，故填①③. 4. 一元一次不等式培优复习试卷 【经典例题1】 1、已知a＜b，则下列不等式中不正确的是（） A.4a＜4b B.a+4＜b+4 C.﹣4a＜﹣4b D.a﹣4＜b﹣4 2、不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示正确的是( ) 3、实数a，b，c在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子中正确的是( ) A.ac > bc B.|a–b| = a–b C.–a <–b < c D.–a–c >–b–c 【经典例题2】 4、如果不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（） A.a≤﹣1 B.a＜﹣1 C.﹣2≤a＜﹣1 D.﹣2＜a≤﹣1 5、关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（） A.﹣＜a≤﹣ B.﹣≤a＜﹣ C.﹣≤a≤﹣ D.﹣＜a＜﹣ 6、若关于的不等式组有三个负整数解，则的取值范围是（）. A.-4 不等式（组）与方程（组）互化 一、方程（组）转化为不等式（组） 例1关于x 的方程 11 a x =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） A.1a < ；B.1a <且0a ≠；C.1a ≤；D.1a ≤或0a ≠. 分析：先解关于x 的方程11 a x =+，用含有字母a 的式子表示未知数x ，然后构造不等式组求解. 解：解方程 11 a x =+，得x=a －1. 又由关于x 的方程的解是负数即x<0， 所以?? ?≠<-. 0, 01a a 解得，a<1且0a ≠. 故应选B. 例2如果方程组?? ?=++=+3 3, 13y x k y x 的解x 、y 满足x ＋y>0，则k 的取值范围是 . 分析：先解方程组，用含有k 的式子表示x 、y 或直接表示x ＋y ，再根据x ＋y>0，构造不等式求解. 解：解方程组???=++=+3 3,13y x k y x ，得x ＋y=4k ＋1. 又由x ＋y>0， 所以4 k ＋1>0，解得，k>－4. 二、不等式（组）转化为方程（组） 例3已知不等式84x x m +>+（m 是常数）的解集是3x <，求m ．分析：先解关于x 的不等式，再根据已知的解集构造方程求解. 解：解不等式84x x m +>+，得x<3 8m -. 由3x <，所以 3 8m -=3. 解这个关于m 的方程，得m=－1. 例4（若不等式组?? ?>->-. 02, 2x b a x 的解是－1 1、韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A 、B 两个出已知a 、b 、c 是三个非负数，并且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，设m =3a+b-7c ，记x 为m 的最大值，y 为m 的最小值，求xy 的值租车队，A 队比B 队少3辆车，若全部安排乘A 队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满，则A 队有出租车（ ） A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D.1x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x 8?????+>-≤+). 2(28,142x x x 9..2 34512x x x -≤-≤- 10.532(1) 314(2)2 x x x -≥???-+<+1,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( )． (A)m ≤2 (B)m ≥2 (C)m ≤1 (D)m ≥1 2. k 满足______时，方程组? ??=-=+4,2y x k y x 中的x 大于1，y 小于1． 3. 若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ． 4. ．已知关于x ，y 的方程组???-=++=+1 34,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围． 5. 已知方程组? ??-=++=+②①m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围． 6. 适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解： (1) x 只有一个整数解； 不等式与不等式组 一、选择题 1. 如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． (A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b 3. ｜a ｜＋a 的值一定是( )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4. 若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 5. 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 6. 九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有( )． (A)2人 (B)3人 (C)4人 (D)5人 7. 某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 8. 若不等式组?? ?>≤ 第15讲 一元一次不等式组培优专题 一、含参不等式（组）有关的问题 1. 探讨不等式组的解集（写出,a b 满足的关系式） （1）关于x 的不等式组x a x b >????≤11x m x 无解，则m 的取值范围是 （2）若不等式组121 x m x m <+??>-?无解，则m 的取值范围是 (3)若不等式组???>≤ (2)如果关于x 的不等式组7060 x m x n -≥??-的每一个解都是21122 x -<的解，求a 的取值范围 变式：如果关于x的不等式组 22 4 x a x a >- ? ? <- ? 有解，并且所有解都是不等式组－6＜x≤5的解，求a 的取值范围． 4. 若关于x的不等式组 21 1 3 x x x k - ? >- ? ? ?-< ? 的解集为2 x<，求k的取值范围 5.不等式组 12 35 a x a x -<<+ ? ? << ? 的解集是3x <<2 a+，求a的取值范围 一元一次不等式（组）的应用 【例题讲解】 【例题1】(1)已知不等式30x a -≤的正整数解恰是1,2,3，则a 的取值范围是___________. (2)已知关于x 的不等式组0521x a x ->??-≥-? 无解，则a 的取值范围是___________. 【例题2】如果关于x 的不等式组???<-≥-0 607n x m x 的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等 式组的整数对（m ，n ）共有_____对。 【例题3】解下列不等式（组） （1）233mx x n +<+ （2）| -2 || 210 |x x ≤- （3）求不等式321≤-+-x x 的所有整数解。 【例题4】已知三个非负数a 、b 、c 满足32+5231a b c a b c +=+-=和，若c b a m 73-+=。求m 的最大值与最小值。 【例题5】如果???==2 1y x 是关于x 、y 的方程2(12)80ax by ax by --+-+=的解，求不等式组13433 x x a b ax x +?->???-<+?的解集。 【课堂练习】 1、 若关于不等式组?????<++>+0 1456m x x x 的解集为4一元一次不等式培优专题
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