杨浦区数学答案2012.4.16

杨浦区2011学年度第二学期高三模拟测试（二）一．填空题（本大题满分56分） 2012.4. 1. 0 ； 2.2 ； 3. ()0,∞-； 4. 29； 5. 0.381； 6.10103arccos ； 7. 文27，理 22； 8.文2=x ，理2； 9.文②③，理π328； 10. 444.3； 11 . 22arctan -π； 12. 文121-+n ,理2； 13. [)∞+,9； 14 ．14二、选择题 15. A ； 16. C ； 18. A ； 17. B ； 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题19．（文）解：（1）由函数).()(,)(x f x f x f -=可知是偶函数…………………2分.2)14(log 2)14(log 22kx kx x x -+=++∴-,44log ,41414log 22kx kx x x x -=-=++-即 ……………………………………4分 .42恒成立对一切R x kx x ∈-=∴21-=∴k ………………………………………………………6分（2）由0)(=x F 得：x x f m x-+==)14(log )(2， …………………8分).212(log 214log 22xxx x m +=+=∴ ………………………………9分 2212≥+x x ， ……………………………………………………10分 .1≥∴m 故要使函数m x f x F -=)()(存在零点，则实数m 的取值范围是.1≥m …12分19．（理）解：（1）由函数).()(,)(x f x f x f -=可知是偶函数…………………2分.2)14(log 2)14(log 22kx kx x x -+=++∴-,44log ,41414log 22kx kx x x x -=-=++-即 ………………………………………4分 .42恒成立对一切R x kx x ∈-=∴21-=∴k ………………………………………………………6分（2）解法一：函数m x f x F -=)()(的一个零点在区间)21,0(内得：x x f m x -+==)14(log )(2， ………………………………8分).212(log 214log 22xxx x m +=+=∴ ………………………………9分 2212≥+xx ， ……………………………………………………10分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x )223,2()212(∈+∴x x 故m 的取值范围是 223log 12<<m …………………………12分 解法二：利用0)21()0(<⋅F F …………………………8分得()0)21)14((log )14(log 21202<--+⋅-+m m …………………………10分 即0)213(log )1(2<--⋅-m m 223log 12<<⇒m 故m 的取值范围是 223log 12<<m …………………………12分学生可能出现的一种错解 ：2log (41)x m x +=+ ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 因为左边的函数y m x =+单调递增，右边的函数也单调递增所以0220log (41)1log (21)2m m ⎧+>+⎪⎨+<+⎪⎩或0220log (41)1log (21)2m m ⎧+<+⎪⎨+>+⎪⎩ 得到的答案也是223log 12<<m ，但实际上不是充要条件。

20．（文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分5分 ． 解：（1）取AB 的中点D ，连DF DE 、，则B A DF 1//， ………………1分 直线EF 和DF 所成的角的大小等于异面直线EF 和B A 1所成的角的大小，即DFE ∠（或其补角）即为所求， ………………………………………………………………3分 由题意易知，3=DF ，1,1==AE DE ………………………………………5分 由AB DE ⊥、1AA DE ⊥得⊥DE 平面11A ABB∴DF DE ⊥，即EDF ∆为直角三角形， ………………………………………6分 ∴==∠DF DE DEF tan 3331= ∴30=∠DEF ………………………………8分 异面直线EF 和B A 1所成的角为030 ． ……………………………………………9分 （2）直三棱柱111C B A ABC -的体积24222221AA AC AB 21V 1=⨯⨯⨯=⋅⋅=………………………………14分 20．（理）本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ．解法一：取PC 中点M ，以O 为坐标原点，OM OC OB 、、分别为z y x 、、轴建立空间直角坐标系， ……………………………2分则)0,2,0(-A )0,0,32(B ，)0,2,0(C ，)0,0,32(-D ，)2,0,0(M ，)4,2,0(-P)0,0,34(-=BD ，)4,0,0(-=PA ，)0,34,0(=AC ……………………………5分 0=⋅ 且0=⋅ ⊥∴BD 平面PAC ；……………………………7分（2）设0,)0,0,(>t t E ，由一可知平面PAC 的一个法向量是)0,0,1(1=n 设平面PEC 的一个法向量是),,(2w v u n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022n ME n ⎩⎨⎧=+-=+⇒020w tu w v 令1=w 则⎪⎩⎪⎨⎧-==12v t u ……………………………10分设两个法向量的夹角为θ，二面角B PC A --的大小为ϕ214112cos cos 2=++===t t θϕ ……………………………12分 6±=∴t 负舍6=∴EO ． ……………………………14分解法二：（1）因为底面ABCD 是边长为4的菱形，所以AC BD ⊥ …………2分又⊥PA 平面ABCD ，⊆BD 平面ABCD ，所以PA BD ⊥ …………4分A AC PA = ，⊥∴BD 平面PAC ………………………………………7分（2）因为点E 在线段BO 上，BD ⊥平面PAC所以OE ⊥平面PAC ………………………………………………9分 过O 做PC OF ⊥，垂足为F ，连接EF ，因为OE ⊥平面PAC ，所以,OE PC OE OF ⊥⊥ O F P C ⊥ ，PC OEF ∴⊥ P C E F ∴⊥OFE ∴∠就是所求二面角的平面角………………………12分 因为4=PA ，可以求出AC=4，所以等腰直角三角形PAC 的高为在RT EOF 中，60OF EFO ∠=，得到答案EO = ………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． 解： （1）x x x f 2sin )62sin()(++=π22cos 212cos 212sin 23xx x -++=212sin 23+=x ……………………………………………………………3分 所以T π=， …………………………………………………………………………4分递减区间是3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； …………………………………………………6分 （2）由212)2(+=Bf得sin B =cos B = ………………………………10分当cos B =时，B ac c a b cos 2222-+=，即0222=--a a ，31±=a 负舍31+=∴a ； ……………………………………………………………………12分当cos B =时，B ac c a b cos 2222-+=，即0222=-+a a ，31±-=a 负舍。

31+-=∴a ； …………………………………………………………………14分22. （文科）（1）设)0,(n n a A 则由n n n n A A A A 1121-+=得2),(2111≥-=--+n a a a a n n n n ……………………………………1分 n n n n a a a a )21(8)()21(1211=-=-∴-+11)21(8--=-∴n n n a a (1)11228=-a a (n-1)将（1）+（2）+…+（n-1）累加得1211282828+++=--- n n n a a 2112112181-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-nn n a 2169-=∴ n A ∴坐标为*),0,2169(N n n∈- ………………………2分 设n n b B (，)n bn b 2=22221+=∴-n n b b 21+=-n n b b …………………………3分 12)1(21+=-+=∴n n b b n ，n B ∴坐标为*)12,12(N n n n ∈++ ……4分（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=∞→∞→n n n n n n k 21691212limlim 12168212lim =+-+=∞→n n n n ……………………10分 （3）)12(216921)32(2892111+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=∆∆++n n S S S n n B OA B OA n n n n nn 2489-+= …………………………………………………12分 记n n n g 248)(-=，则n nn g n g 246)()1(-=-+1=n 时，)1()2(g g >，2≥n 时)()1(n g n g <+即 >>>>>)()4()3()2(n g g g g ………………………14分 故3)2()(max ==g n g 又02812lim,2)1(=-=∞→n n ng 3)(0≤<∴n g ………………………………15分 则S 的取值范围为(]9,12 ………………………………………………………16分（理科）（1）由△OMF 是等腰直角三角形，得1=b ，22==b a ，故椭圆方程为1222=+y x ． …………4分 （2）设直线l 的方程是2y kx =+与1222=+y x 交于 ),(11y x A ，),,(22y x B 则有()2221860k x kx +++=，0)12(24)8(22>+-=∆k k 2626-<>⇒orx k 由韦达定理得126,128221221+=+-=+k x x k k x x ， 点O 到直线l的距离为d =，因为AB =12AOBS AB d∆===设223t k=-，由0∆>，知0t>，S∆==由168,2t St∆+≥∴≤，当且仅当274,2t k==时成立，方程是22y x=±+…………10分（3）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设),(11yxP，),,(22yxQ因为)1,0(M，)0,1(F，故1=PQk．…………11分于是设直线l的方程为mxy+=，由⎩⎨⎧=++=,22,22yxmxy得0224322=-++mmxx．由0>∆，得32<m，且3421mxx-=+,322221-=mxx．……12分由题意应有0=⋅，又1122(,1),(1,)MP x y FQ x y=-=-，故0)1()1(1221=-+-yyxx，得0)1)(()1(1221=-+++-mxmxxx．即0)1)((222121=-+-++mmmxxxx．整理得0)1(34322222=-+---⨯mmmmm．解得34-=m或1=m．…………14分经检验，当1=m时，△PQM不存在，故舍去1=m．当34-=m时，所求直线l存在，且直线l的方程为34-=xy．…………16分23（文科）:解：（1）由题意可知，222231c a a c a b c ⎧=⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎩, ………2分所以5,3==b a ,所以椭圆Γ的方程为15922=+y x . ………4分 （2）11,(2,0)k F =- ,∴设直线方程为2y x =+，),(11y x A ，),(22y x B联立方程组222195y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2143690x x +-=， ………6分1212189,714x x x x +=-=-，12307AB x ∴=-==. ………7分 设O 点到直线AB 的距离为d，则d ==11302227A O B S d A B ∆∴=⋅=⨯. ………10分 （3）设),(33y x C ，),(44y x D ， 直线AR 的方程为)1(111--=x x y y ，所以1111+-=y y x x .代入椭圆方程，消去x 得：0415112211=--+-y y x y y x . ………13分 则1213154x y y y --=，且01≠y ，所以11354x y y --=.代入直线AR 的方程，得595113--=x x x ，所以)54,595(1111---x y x x C .同理)54,595(2222---x y x x D ………15分 5955955454221122112--------=x x x x x y x y k )5)(95()5)(95()5(4)5(412211221--------=x x x x x y x y )(16)55(412212121x x y x y y x y -+--=因为A,F ,B 三点共线，所以222211+=+x y x y .即)(2121221y y x y x y -=-. 所以1212247x x y y k --⋅=而12121x x y y k --=, 所以21k k 74=为定值. ………18分（理科）: 【解】（1） 0,3,2511<-≥∴-=-++n n n n n b b n b b故，数列{}n b 单调递减； ………3分当2,1=n 时01>-+n n b b ，即 321b b b <<，则数列{}n b 中的最大项是73=b ，所以，7≥M ………4分（2） {}n c 是各项正数的等比数列，n S 是其前项和，47,4133==S c ，设其公比为0>q ，473323=++∴c q c qc ………6分 整理，得0162=--q q解得 31,21-==q q （舍去） 2,212,21,1211<=-===∴+-S S S c c n n n n n ………8分对任意的*∈N n ，有222212212122+++=-<--=+n n n n n n S S S ，且2<n S ， 故{}n S 是Ω数列。