反函数的导数
大学高等数学 2-3反函数的导数 复合函数求导法
d dy dx = y ( x( y )) = dx dx dy
例3 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
Q y = ln u, u = sin x .
dy dy du 1 cos x = cot x ∴ = ⋅ = ⋅ cos x = dx du dx u sin x
思考题 不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导 ， u = g ( x ) 在 x 0 可导 ， 且 u0 = g ( x 0 ) ， 则 f [ g ( x )]在 x 0 处 （ ）．
3
1 7、 8、 7、 ； 8、 . 2 2 (1 + x ) 2 x (1 − x ) 2 1 − x (arccos x ) 三、
π
f ( x ) f ′( x ) + g ( x ) g ′( x ) f ( x) + g ( x)
2 2
.
dy = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ ( x 2 + 1)′ dx = 10( x 2 + 1) 9 ⋅ 2 x = 20 x ( x 2 + 1) 9 .
x 2 a2 x 2 a − x + arcsin 的导数 . 例5 求函数 y = 2 2 a ( a > 0) 2 x a x 解 y ′ = ( a 2 − x 2 )′ + ( arcsin )′
思考题 不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导 ， u = g ( x ) 在 x 0 可导 ， 且 u0 = g ( x 0 ) ， 则 f [ g ( x )]在 x 0 处 （ ）．
(1)必可导 （ 2） 必不可导 ；（ 3） 不一定可导 ； 必可导（ 必不可导；（ 不一定可导；
反函数导数
反函数导数
反函数条件：f(x)可导，且f′(x)≠0，则存在反函数x=φ(y)。
解释：一个函数如果有反函数的就必须是单调的，而且不存在两个值，值与值之间是一一对应的，并且因变量和自变量之间是双射的，否则在原函数和反函数这两个函数一定会存在一对多和多对一的情况。
反函数的定义为：
x=f−1(y)
这里f−1表示f的逆映射。
该反函数的导数和直接函数的导数关系十分简单：
dxdy=1dydx
一种非正式但十分方便的说法是：反函数的导数等于直接函数的倒数。
另一种简单的理解方式则是直接将导数看作“商”来处理。
因为这里所有的“商”对应的极限都是存在的。
反函数的导数
练习题答案
2x 2、 3、 一、1、8( 2 x + 5) ； 2、sin 2 x ； 3、 ； 4 1+ x x tan 2 x ln 10(tan 2 x + 2 x sec 2 2 x ) ； 4、 5、 4、− tan x ； 5、10 1 2 tan k x k −1 2 2 xf ′( x ) ； 7、e 6、 7、 6、 ⋅ k tan x ⋅ sec x , . 2 x 2 x cos 2 x − sin 2 x 2、 二、1、 2 ； 2、 ； 2 2 x x x −1 1 4、 ； 4、csc x ； 3、 2 2 a +x x 2 arcsin e arctan x 2； 5、 6、 5、 6、 ； 2 2 x (1 + x ) 4− x
一、反函数的导数
定理 如果函数x = ϕ( y)在某区间I y内单调、可导 内单调、
且ϕ′( y) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f ( x)在对应区间 Ix内也可导, 且有 1 f ′( x) = . ϕ′( x)
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
思考题
不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导， u = g ( x ) 在 x 0 可导，且 u0 = g ( x0 ) ，则 f [ g ( x )]在 x0 处（ ）． （1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导； ）必可导； ）必不可导； ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是（ ） 正确地选择是（3） 例 f ( u) =| u | 在 u = 0 处不可导， 处不可导， 取 u = g ( x ) = sin x 在 x = 0 处可导， 处可导，
反函数的导数
2
3
y
1 2
1 x2 12x
1 3( x
2)
x x2 1
1 3( x 2)
例7
求函数
y
sin 1
ex
的导数.
解
y
e
sin
1 x
(sin
1
)
sin 1
ex
cos
1Leabharlann (1 )x
xx
1 x2
1 sin
ex
cos
1 x
.
对数微分法:
y' y(ln y)'
6、 y e arctan x ；
7、 y arcsin x ； arccos x
8、y arcsin 1 x . 1 x
三、设 f ( x)，g( x) 可导，且 f 2 ( x) g 2 ( x) 0 ,求函数
y f 2 ( x) g 2 ( x) 的导数 .
四、设 f ( x)在 x 0处可导，且 f (0) 0 ， f (0) 0 ,
sin x
例4 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解 dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
例5 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
y
( y)
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
三角函数反函数的导数
三角函数反函数的导数三角函数反函数是指将正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)等三角函数的输入和输出互相调换形成的函数。
它们的反函数分别称为反正弦函数(arcsin)、反余弦函数(arccos)和反正切函数(arctan)。
在数学中，三角函数反函数的导数具有重要的数学和物理应用。
下面我们将分别介绍这三个反函数的导数。
1.反正弦函数的导数：反正弦函数的导数是通过求反正弦函数的导数公式得出的。
反正弦函数的导数公式可以表示为d(arcsin 某)/d某= 1/√(1 - 某^2)。
其中，某是反正弦函数的自变量，√为求平方根的符号。
这个导数公式可以通过使用链式法则来证明。
2.反余弦函数的导数：反余弦函数的导数可以通过求导余弦函数的反函数公式得出。
反余弦函数的导数公式可以表示为d(arccos 某)/d某 = -1/√(1 - 某^2)。
其中，某是反余弦函数的自变量。
3.反正切函数的导数：反正切函数的导数可以通过求导正切函数的反函数公式得出。
反正切函数的导数公式可以表示为d(arctan 某)/d某 = 1/(1 + 某^2)。
其中，某是反正切函数的自变量。
这三个反函数的导数具有一些重要的性质和应用：-导数的值域：这三个反函数的导数的值域都是实数集合，因此，它们在可导数点处的导数总是存在的。
-函数的图像：这三个反函数的导数所表示的函数在其定义域内都是单调递减的。
-物理应用：这些反函数的导数在物理学中有广泛的应用，特别是在运动学中，可以用于描述质点的速度和加速度等物理量。
总之，三角函数反函数的导数是非常有用和重要的数学工具，在各个领域中都有广泛的应用。
通过对这些导数的研究和应用，我们可以更深入地理解和描述三角函数及其反函数在数学和物理中的相关性质和现象。
反函数导数公式大全表(反函数导数公式大全)
反函数导数公式大全表（反函数导数公式大全）(arcsinx)'=1/√(1-x^2)的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)的求导：(arctanx)'=1/(1+反三角函数求导公式是什么?1、的求导：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)2、的求导：(arccosx)'=-1/√(1-x^2)3、的求导：(arctanx)'=1/(1+x^2)4、的求导：(arccotx)'=-1/(1+x^2)为限制为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx。
相应地。
反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2<y<π2；反余切函数y="arccot"x 的主值限在0<y<π。
1、反正弦函数正弦函数y=sinx在[-π/2，π/2]上的，叫做反正弦函数。
记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。
[-1，1]，[-π/2，π/2]。
2、反余弦函数余弦函数y=cosx在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。
定义域[-1，1]，值域[0，π]。
3、反正切函数正切函数y=tanx在（-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。
记作arctanx，表示一个为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
定义域R，值域（-π/2，π/2）。
5、反余切函数余切函数y=cotx在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。
记作arccotx，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。
定义域R，值域（0，π）。
6、反正割函数正割函数y=secx在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函数，叫做反正割函数。
反函数求导
反函数求导
反函数在数学中一般指满足某种关系的一类函数，它们的定义域和值域在某种变换下是完全对立的。
函数求导，是指给定函数的某个点，通过求出函数在该点的切线斜率，来研究整个函数在该点的极值以及函数的变化情况。
反函数求导，就是求取从反函数到另一函数的求导。
由于反函数是完全对立的，所以在反函数求导时，要注意反函数围绕原函数的对称性，即求取的导数的正负符号与原函数左右点的计算正负值相反。
例如，对于函数f(x) = x^2，反函数为f^-1(x) = sqrt(x)，则求取f^-1(x)的导数，在x = 8时，由于f(8)=-8，f(8)=-1，则f^-1(x)的导数应为1/2。
反函数求导的具体过程是：
1.先，将原函数按对称性改写为f(g(x))的形式；
2.后，用求导法则来进行求导，从而可以得到f(g(x))的导数；
3.后，用变量替换法将f(g(x))的导数展开为g(x)的导数。
反函数求导的应用非常广泛，它可以用来求解某种函数的极值点，可以用于求解微分方程，也可以用来求解复杂的函数的极值问题。
总的来说，反函数求导是一项数学理论，它通过求取反函数到另一函数的导数，可以让我们更好地理解函数，并得出更好的解决方案。
反函数求导技术的应用不仅仅可以帮助我们更加准确地求解函数及
其极值，而且还能够为更复杂函数的求解提供有效的帮助。
- 1 -。
反函数的导数怎么求
反函数的导数怎么求
y=arcsinx y'=1/√（1-x^2）
反函数的导数：
yarcsinx,
那么，siny=x,
求导得到，cosy *y'=1
即y'=1/cosy=1/√[1-(siny)^2]=1/√(1-x^2)
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。
例题：求y=arcsinx 的导函数。
首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy，因为x=siny，所以cosy=√1-x2，所以y‘=1/√1-x2。
1、反函数的导数就是原函数导数的倒数。
2、设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x=g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作
y=f^(-1)(x)。
反函数y=f^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
3、若一函数有反函数，此函数便称为可逆的。
4、求导是数学计算中的一个计算方法。
5、导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商
的极限。
在一个函数存在导数时称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
6、除了在某几个原函数的导数为0的点以外，利用原函数的可导性就可以说明反函数可导了。
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反函数的导数、反三角函数的导数教案1
教学目的
1．通过复习提问使学生巩固反函数的概念；
2．使学生掌握反函数求导法则及其推导方法；
3．使学生会用反函数求导公式推导并熟练掌握四个反三角函数的求导公式．
教学重点和难点
反函数的求导法则和四个反三角函数的求导公式是本节课的重点．本节课的难点是反函数的求导．
教学过程
一、复习提问
1．什么叫函数y＝f(x)的反函数？
(请一名学生回答．因为反函数是高中一年级所学内容，学生已经生疏，可能答得不好，可由其他学生补充或纠正，最后教师应准确地给学生讲述反函数概念．另外，上一节课应布置学生预先复习反函数概念．)
如果给定函数y＝f(x)的对应关系f是一一对应，那么f的逆对应f-1所确定的函数x ＝
f-1(y)就叫做函数y＝f(x)的反函数．
强调指出：这里所说的函数关系f应是一一对应，否则就没有逆对应f-1，也就不可能有反函数x＝f-1(y)．
2．下列函数有反函数吗？若有请写出它的反函数表示式：
(1)y＝2x－3；(2)y＝x n(n为正整数)．
(请一名学生板演．)
n为偶数时，函数关系不是一一对应，故没有反函数．
二、引入新课
为求反函数的导数，自然会想到互为反函数的两个函数的导数之间有无关系，如果有，其规律是什么？为此，我们先就提问第2题的两个实例进行探讨．
(1)求y＝2x－3的导数．
y x'＝2．
(2)求函数y＝x n(n为奇数)的导数
y x'＝nx n-1．
观察：由(1)可见
那么(2)是否也有同样的规律呢？不妨试一试：
讲解新课
如果Δy≠0，上等式显然成立．
事实上，当Δx≠0时，一定有Δy≠0(为什么？请学生思考并回答)．否则不等
至此，我们可以肯定上面所提出的反函数的求导法则如下：
或记作
2．几何解释(图2－7)：
由导数的几何意义可知
y x'＝tanα，x y'＝tanβ．
3．反三角函数的导数
有了反函数的求导法则，我们就可以求得反三角函数的导数了．
由反函数的求导法则有
因此我们得到公式：
追问：在(3)处为什么要陈述这些条件？没有这些条件可以吗？
因为导数y x'应是x的函数，因此必须将y还原为x的表达式．用类似的方法，可求得另外三个反三角函数的求导公式：
(这三个公式的证明由学生课下完成．)
追问：题目所给的条件x＞0，在解题过程中用于何处？
例4求y＝arctan2x的导数．
四、课堂练习
求下列函数的导数：
(请两名学生分别板演1、2两题和3、4两题，其余学生做在课堂练习本上．最后教师带领全体学生订正学生所做练习题．)
五、小结
1．反函数求导法则：
2．根据反函数求导法则求得四个反三角函数的求导公式：
这里要注意两点：(1)反正弦函数和反余弦函数的导数不包括x＝－1和x＝1两个点；
(2)反正弦函数的导数与反余弦函数的导数只差一个符号；反正切函数与反余切函数的导数也只差一个符号．
六、布置作业
1．试证明后三个反三角函数的求导公式．
2．求下列函数的导数：
3．求下列函数的导数：。