高二第一学期数学文科期末试卷(三)

高二数学文科期末试卷（三）

一、选择题

1．设命题P：?x∈R，x2+2＞0．则￢P为（）

A．B．

C．D．?x∈R，x2+2≤0

2．等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5 3．“”是“”的（）

A．充要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．不充分也不必要条件

4．关于函数f（x）=x3﹣3x2+6x的单调性是（）

A．增函数B．先增后减C．先减后增D．减函数5．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

7．若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lg a lg b的最大值是（）

A．0 B．1 C．2 D．

8．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）

A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2

9．已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）

A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7 10．已知直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）过点（1，2），则的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．1

11．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

12．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）

A．B．C．D．

二、填空题

13．若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC= ．

14．已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，则数列{a n}的通项公式为．15．函数的单调增区间为．

16．设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是的必要条件，则a的取值范围为．

三、解答题

17．已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n∈N+）（1）求a1，a2，a3的值

（2）求数列{a n}的通项公式．

18．如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，求此抛物线的方程．

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C=（2a﹣c）cos B．（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若a，b，c成等差数列，且b=3，试求△ABC的面积．

20．已知递增的等比数列{a n}满足：a2?a3=8，a1+a4=9

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设经过椭圆C左焦点的直线交椭圆于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P（0，m），求m的取值范围．

22．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+a ln x，常数a＞0

（1）当x=1时，函数f（x）取得极小值﹣2，求函数f（x）的极大值

（2）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g

（x），当x≠x0时，若在D内恒成立，则称点P为h（x）的“类优

点”，若点（1，f（1））是函数f（x）的“类优点”，

①求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程

②求实数a的取值范围．

高二数学文科期末试卷（三）

一、选择题：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B B

C A A

D B D A C B A

二、填空题

13．．

14．．

15．（，+∞）．

16．

三、解答题

17．答案：见解析

解析：（1）由，取n=1，得，

∵a n＞0，得a1=1，

取n=2，得，解得a2=2，

取n=3，得，解a3=3；

（2）∵+a n，①∴，②

②﹣①得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，

∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，则a n+1﹣a n=1，

∴{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，

∴a n=1+（n﹣1）×1=n．

点拨：（1）分别在已知数列递推式中取n=1、2、3，结合a n＞0求得a1，a2，a3的值；

（2）由+a n，得，两式作差后，可得{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，再由等差数列的通项公式得答案．

18．答案：见解析

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），

过焦点F（，0）的直线l设为y=k（x﹣），

代入抛物线方程，可得k2x2﹣p（k2+2）x+=0，

x1x2=．k不存在，上式显然成立．

作AM、BN垂直准线于点M、N，

则|BN|=|BF|，

又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，

∴∠NCB=30°，

有|AC|=2|AM|=6，

设|BF|=x，则2x+x+3=6?x=1，

而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，

∴（3﹣）（1﹣）=，解得p=．

即有抛物线的标准方程为y2=3x．

点拨：根据过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得∠NCB=30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而x1+=3，x2+=1，且x1x2=，可求得p的值，即求得抛物线的方程．

19．答案：见解析

解析：（Ⅰ）∵由题意可得：sin B cos C=（2sin A﹣sin C）cos B．

∴sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos B，sin（B+C）=2sin A cos B．

∴sin A=2sin A cos B，因为0＜A＜π，sin A＞0，所以cos B=，

因为0＜B＜π，所以B=…6分

（Ⅱ）∵由题意a+c=2b=6

又∵32=a2+b2﹣2ac cos，可得ac=9，

∴S

=ac sin B=…12分

△ABC

点拨：（Ⅰ）由正弦定理可得sin B cos C=（2sin A﹣sin C）cos B，由三角函数恒等变换化简可得sin A=2sin A cos B，由sin A＞0，可求cos B，结合B的范围即可得解．（Ⅱ）由题意a+c=2b=6，由余弦定理可求ac，从而由三角形面积公式即可得解．20．答案：见解析

解析：（1）由题意，得a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，

所以a1=1，a4=8，或a1=8，a4=1，

由{a n}是递增的等比数列，知q＞1所以a1=1，a4=8，且q=2，

∴，即a n=2n﹣1；

（2）由（1）得，

所以

所以，

两式相减，得

，

得．

点拨：（1）利用等比数列的性质得到a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，由此求得首项和公比；根据等比数列的通项公式求得a n=2n﹣1；

（2）利用“错位相减法求和法”进行解答即可．

21．答案：见解析

解析：（I）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且离心率为，∴，，又a2=b2+c2，

联立解得b=c=2，a2=8．

∴椭圆C的方程为．

（II）当直线MN⊥x轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，∴m=0．

当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x+2）（k≠0），联立，

化为（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q（x0，y0），

则x1+x2=，

∴x0==﹣，y0=k（x0+2）=，

∴线段MN的垂直平行线的方程为=﹣，

令x=0，可得m=y==，

当k＞0时，m≥﹣，当且仅当k=时取等号；当k＜0时，m≤，当且仅当k=﹣时取等号．

综上可得：m的取值范围是．

点拨：（I）由椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，且离心率为，可得，，又a2=b2+c2，联立解得即可．

（II）当直线MN⊥x轴时，线段MN的垂直平分线为x轴，可得m=0．当直线MN的斜率存在时，可设直线MN的方程为y=k（x+2）（k≠0），与椭圆方程联立化为

（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为Q （x0，y0），利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得（x0，y0），可得线段MN 的垂直平行线的方程，对k分类讨论即可得出．

22．答案：见解析

解析：（1）由题意，f（1）=1﹣（a+2）=﹣2，得a=1，

此时，（x＞0）…（2分）

令f'（x）=0，得x=1或…（3分）

当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0

所以f（x）在与（1，+∞）上单调递增，在上递减

所以当时，f（x）有极大值…（4分）

（2）①∵，（x＞0）

∴f（1）=1﹣（a+2）=﹣a﹣1，f'（1）=0

所以函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为g（x）=﹣a﹣1…（6分）②若点（1，f（1））是函数f（x）的“类优点”，

令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣（a+2）x+a ln x+a+1常数a＞0，

又F（1）=0，且∵，（x＞0）

令F'（x）=0，得x=1或，a＞0…（8分）

则当a=2时，∵F'（x）≥0，F（x）在（0，+∞）上递增

∴当x∈（0，1）时，F（x）＜F（1）=0；

当x∈（1，+∞）时，F（x）＞F（1）=0

故当x≠1时，恒有成立…（9分）

当a＞2时，由F'（x）＜0，得，

∴F（x）在上递减，F（x）＜F（1）=0．

所以在，，不成立．…（10分）

当0＜a＜2时，由F'（x）＜0，得，

∴F（x）在上递减，F（x）＞F（1）=0．

所以在，，不成立…（11分）

综上可知，若点（1，f（1））是函数f（x）的“类优点”，则实数a=2…（12分）点拨：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；

（2）①求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；

②结合题意得到F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣（a+2）x+a ln x+a+1，通过讨论a 的范围得到函数的单调性，进而确定a的范围即可．