以及计算稳态误差的方法
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3-5稳态误差的分析与计算
0型 系统
m
K (TjS 1) G(s) j1
n
(TiS 1)
i 1
抛物线输入 Ⅱ型系统
系统开环传递函数中 不含积分环节
KPlim G(s)K
s0
ess
1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
Klim SG (s)0 斜坡输入时，误差系数=0
e s 0 ss 稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
三种典型输入下对应于“0”“I”“Ⅱ”型三 种系统
有九种情况，误差的计算公式列表如下：
给定输入
给定稳态误差的终值 0型系统 I型系统 Ⅱ型系统
1(t)
1/(1+K)
0
0
t
∞1/K0源自t2/2∞∞1/K
注意: (1) 尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下 系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加 速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不 是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输 出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。
i1 n1
(is1) (k2s2 2kks1)
k1 n2
(Tjs1) (Tl2s2 2lls1)
j1
l1
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统 型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
阶跃输入 斜坡输入
0型系统 I型系统
3. 稳态误差与系统传递系数有关
4. 稳态误差与扰动有关
本章结束
给定输入下的稳态误差与稳态误差系数
阶跃输入下:
e ssr
1
1 K
P
KPlimG(s) s0
稳态误差的分析与计算
s/ Hs
R(S)
GC(S)
N(S) G0(S)
C(S)
稳态误差：B稳(S)态时输
H(S)
出值也是正弦量，频率
•恒值控和幅制输值系入 和统信 相：号 角稳一不态样同响值。应，—但恒值
•随动控制系统：稳态响应—跟稳随态输误入差变：化稳态时
•正弦输入下系统响应稳态实响际应值—与是期正望弦值波偏差
稳态误差：稳态时
一、稳态误差的定义
系统误差的定义:希望输出与实际输出之差。 e(t)=希望输出－实际输出
系统误差可分为稳态误差和动态误差。
说明：误差产生的原因是多样的，我们只研究由于系统结 构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
稳态误差分类：
跟随稳态误差：用于衡量随动系统的稳态性能。表示系统能以 什么精度跟随系统输入信号的变化，用esr表示。
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
阶跃输入 斜坡输入
0型系统 I型系统
0型 系统
m
K (TjS 1) G(s) j1
n
(TiS 1)
i 1
抛物线输入 Ⅱ型系统
系统开环传递函数中 不含积分环节
KP lim G(s) K
s0
ess
1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
抛物线输入下:
essr
1 Ka
m
Ka lim S 2G(s) s 0
K (TjS 1)
G(s)
S
j1
n
(TiS
1)
i 1
m1
m2
G(s)
K sv
(is 1)
(
2 k
R(S)
GC(S)
N(S) G0(S)
C(S)
稳态误差：B稳(S)态时输
H(S)
出值也是正弦量，频率
•恒值控和幅制输值系入 和统信 相：号 角稳一不态样同响值。应，—但恒值
•随动控制系统：稳态响应—跟稳随态输误入差变：化稳态时
•正弦输入下系统响应稳态实响际应值—与是期正望弦值波偏差
稳态误差：稳态时
一、稳态误差的定义
系统误差的定义:希望输出与实际输出之差。 e(t)=希望输出－实际输出
系统误差可分为稳态误差和动态误差。
说明：误差产生的原因是多样的，我们只研究由于系统结 构、参量、以及输入信号的形式不同所引起的误差。
稳态误差分类：
跟随稳态误差：用于衡量随动系统的稳态性能。表示系统能以 什么精度跟随系统输入信号的变化，用esr表示。
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
阶跃输入 斜坡输入
0型系统 I型系统
0型 系统
m
K (TjS 1) G(s) j1
n
(TiS 1)
i 1
抛物线输入 Ⅱ型系统
系统开环传递函数中 不含积分环节
KP lim G(s) K
s0
ess
1 1 K
阶跃输入时，误差系数=K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
抛物线输入下:
essr
1 Ka
m
Ka lim S 2G(s) s 0
K (TjS 1)
G(s)
S
j1
n
(TiS
1)
i 1
m1
m2
G(s)
K sv
(is 1)
(
2 k
线性系统的稳态误差计算
函数为
G( s) K S ( S 2 bS C )
p 1 p 2 b C 4 2 p 2 C 2 p K 0.5C K 2 b 3
因为 ess 按定义
1 2 Kr
s 0
Kv
K 0.5, K 0.5C C
令r (t ) Rt 2 / 2，R 常量，R(s) R / s3。
sR(s) sR / s3 R R R ess lim lim lim 2 2 lim 2 s 0 1 G( s) H ( s ) s 0 1 G( s ) H ( s ) s 0 s s G ( s ) H (s ) s 0 s G (s ) H (s ) Ka
系统稳态误差计算通式则可表示为
ess
1 lim s R ( s )
s 0
sR( s) ess lim sE ( s) lim s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
K lim s
s 0
系统型别 e ss 与 K 开环增益有关 R ( s ) 输入信号
def
E ( s) 1 R(s) 1 H ( s)G( s)
E ( s ) e ( s ) R( s ) R( s ) 1 H ( s)G( s)
e(t ) L1[e (s)R(s)] ets (t ) ess (t )
瞬态分量
稳态分量
E ( s ) e ( s ) R( s )
要求对于阶跃作用下不存 在稳态误差，则必须选用 Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统
4.斜坡输入作用下的稳态误差和静态速度误差系数
r (t ) Rt，R 常量，R(s) R / s 2。
G( s) K S ( S 2 bS C )
p 1 p 2 b C 4 2 p 2 C 2 p K 0.5C K 2 b 3
因为 ess 按定义
1 2 Kr
s 0
Kv
K 0.5, K 0.5C C
令r (t ) Rt 2 / 2，R 常量，R(s) R / s3。
sR(s) sR / s3 R R R ess lim lim lim 2 2 lim 2 s 0 1 G( s) H ( s ) s 0 1 G( s ) H ( s ) s 0 s s G ( s ) H (s ) s 0 s G (s ) H (s ) Ka
系统稳态误差计算通式则可表示为
ess
1 lim s R ( s )
s 0
sR( s) ess lim sE ( s) lim s 0 s 0 1 G ( s ) H ( s )
K lim s
s 0
系统型别 e ss 与 K 开环增益有关 R ( s ) 输入信号
def
E ( s) 1 R(s) 1 H ( s)G( s)
E ( s ) e ( s ) R( s ) R( s ) 1 H ( s)G( s)
e(t ) L1[e (s)R(s)] ets (t ) ess (t )
瞬态分量
稳态分量
E ( s ) e ( s ) R( s )
要求对于阶跃作用下不存 在稳态误差，则必须选用 Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统
4.斜坡输入作用下的稳态误差和静态速度误差系数
r (t ) Rt，R 常量，R(s) R / s 2。
第6章_控制系统的误差分析和计算_6.2输入引起的稳态误差
根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态误差： 根据拉普拉斯变换的终值定理，计算稳态误差：
ε ( s)
Φε (s) ⋅ X i ( s) ess = lim e(t ) = lim s ⋅ E ( s ) = lim s ⋅ t →∞ s →0 s →0 H (s) 1 1 = lim s ⋅ ⋅ ⋅ X i (s) s →0 H (s) 1 + G (s) H (s)
单位阶跃输入
X i (s) =
1 s
定义： 定义： 稳态位置
s →0
误差系数 1 1 1 1 ess = lim s = = s → 0 1 + G ( s ) H ( s ) s 1 + lim G ( s ) H ( s ) 1 + K p
单位斜坡输入
e ss = lim s
s →0
X i (s) =
1 , 试求当输入信号为 Ts
1 解 : Φ ε (s) = 1+G (S) =
当 r(t) = 1 t 2时 R(s) = S13 2 (1) E(s) = Φ ε (s)R(s) =
t 2 -T
1 2 S (S+1/T)
=
T S2
-
T2 S
+
T2 S+1/T
e(t) = T e + T(t - T) t → ∞时 ess = ∞ (2) 由终值定理 ess = lim sE(s) = lim s(s+11/T) = ∞
（2）稳态误差系数的概念 ）
对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。
ε ( s)
Φε (s) ⋅ X i ( s) ess = lim e(t ) = lim s ⋅ E ( s ) = lim s ⋅ t →∞ s →0 s →0 H (s) 1 1 = lim s ⋅ ⋅ ⋅ X i (s) s →0 H (s) 1 + G (s) H (s)
单位阶跃输入
X i (s) =
1 s
定义： 定义： 稳态位置
s →0
误差系数 1 1 1 1 ess = lim s = = s → 0 1 + G ( s ) H ( s ) s 1 + lim G ( s ) H ( s ) 1 + K p
单位斜坡输入
e ss = lim s
s →0
X i (s) =
1 , 试求当输入信号为 Ts
1 解 : Φ ε (s) = 1+G (S) =
当 r(t) = 1 t 2时 R(s) = S13 2 (1) E(s) = Φ ε (s)R(s) =
t 2 -T
1 2 S (S+1/T)
=
T S2
-
T2 S
+
T2 S+1/T
e(t) = T e + T(t - T) t → ∞时 ess = ∞ (2) 由终值定理 ess = lim sE(s) = lim s(s+11/T) = ∞
（2）稳态误差系数的概念 ）
对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 对于单位反馈系统，偏差就是误差，误差就是偏差，二者往往不加区分。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。 实际上，单位反馈系统与非单位反馈系统之间可以相互转换，如下所示。
稳态误差
2! e(0) r ( t ) 1 Fe(0)( t ) e ss ( t ) Fe(0)r ( t ) F r 2! C 0 r ( t ) C1r ( t ) C 2( t ) r
拉普拉斯反变换，得
注意: (1) 尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下 系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加 速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不 是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输 出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。 (2) 如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差） 按比例增加。 (3) 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误 差等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差） 之和。
给定稳态误差与扰动稳态误差 一
终值定理： ess tlim e(t ) lim SE(s) s0 与输入有关！ 给定稳态误差终值的计算
1 essr lim SEr (s) lim SR (s)Fr(s) lim S R (s) s 0 s 0 s 0 1 G(s)
消除或减少稳态误差的方法 • 产生稳态误差的原因
给定输入 1(t) 系统型号越高，无差度 t 越高。可以串联积分环 t2/2
输入信号是实际 的需要，不能变
给定稳态误差的终值 0型系统 I型系统 Ⅱ型系统 1/(1+K) 0 0 ∞ 1/K 0 ∞ ∞ 1/K
节提高系统型号。 1. 稳态误差与输入信号有关 传递系数越大，稳态误差越小。 2. 稳态误差与系统型号有关 3. 稳态误差与系统传递系数有关 4. 稳态误差与扰动有关
ess =
esr
+ esn
s 1 / H s
E s X or s X o s s X i s X o s X i s H s X o s / H s
拉普拉斯反变换，得
注意: (1) 尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下 系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加 速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不 是指输出与输入的速度、加速度不同，而是指输 出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。 (2) 如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差） 按比例增加。 (3) 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差误 差等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差） 之和。
给定稳态误差与扰动稳态误差 一
终值定理： ess tlim e(t ) lim SE(s) s0 与输入有关！ 给定稳态误差终值的计算
1 essr lim SEr (s) lim SR (s)Fr(s) lim S R (s) s 0 s 0 s 0 1 G(s)
消除或减少稳态误差的方法 • 产生稳态误差的原因
给定输入 1(t) 系统型号越高，无差度 t 越高。可以串联积分环 t2/2
输入信号是实际 的需要，不能变
给定稳态误差的终值 0型系统 I型系统 Ⅱ型系统 1/(1+K) 0 0 ∞ 1/K 0 ∞ ∞ 1/K
节提高系统型号。 1. 稳态误差与输入信号有关 传递系数越大，稳态误差越小。 2. 稳态误差与系统型号有关 3. 稳态误差与系统传递系数有关 4. 稳态误差与扰动有关
ess =
esr
+ esn
s 1 / H s
E s X or s X o s s X i s X o s X i s H s X o s / H s
3.3线性系统的稳态误差计算
e ss
本 书 第 8 章 介 绍
稳态误差的不可避免性
摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素
输入函数的形式不同 (阶跃、斜坡、或加速度)
无差系统： 在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。 有差系统： 在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。
本节主要讨论
系统结构--系统类型 输入作用方式
原理性稳态误差的计算方法
def
E (s) R(s) H (s)C (s)
E ( s) 1 R( s ) 1 H ( s)G ( s)
E ( s ) e ( s ) R( s ) R( s ) 1 H ( s)G ( s)
e(t ) L1[ e ( s) R( s)] ets (t ) ess (t )
sR( s ) sR / s 2 R R R ess lim lim lim lim s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 0 s sG ( s ) H ( s ) s 0 sG ( s ) H ( s ) Kv
1 r (t ) R0 1(t ) R1t R2t 2 2
R0 R1 R2 ess 1 K p K v Ra
例：I型单位反馈系统的开环增益K=600s-1，系统 最大跟踪速度max =24/s，求系统在最大跟踪 速度下的稳态误差。
1 解：单位速度输入下的稳态误差 ess Kv I型系统 K v K
系统的稳态误差为
1 1 ess max 24 0.04 Kv 600
例：阀控油缸伺服工作台要求定位精度为0.05cm, 该工作台最大移动速度vmax =10cm/s，若系统 为I型，试求系统开环增益。
稳态误差
p
在单位阶跃作用下， 0 的系统为有差系统，此时开环增益K 越大稳态误差越小； 1 的系统为无差系统。
13
3.6 稳态误差分析
单位斜坡函数输入时的稳态误差
当输入为R ( s )
e ssr lim
s 0
1 s
2
时（单位斜坡函数）
s 1 s
2
1 Gk (s)
1 lim s G k ( s )
s 0
s K
可见给定作用下的稳态误差与外作用有关；与时间常数形式的 开环增益有关；与积分环节的个数有关。
11
3.6 稳态误差分析
开环系统的型
系统的无差度阶数（开环传递函数的型） 通常称开环传递函数中积分的个数为系统的无差度阶数，并将系 统按无差度阶数进行分类。 当 0 ，无积分环节，称为0型系统 当 1 ，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统 当 2 ，有二个积分环节，称为Ⅱ型系统 ……………… 当 2 时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外， Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。
s 0
当 2时 ， K v lim
Kv
K s
s 0
G0 (s) ,
14
K 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。 v 越大，e ss 越 小。所以说 K v 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 根据 K v 计算的稳态误差是系统在跟踪速度阶跃输入时位置上的 误差。
3.6 稳态误差分析
2
3.6 稳态误差分析
显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于不 稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。 有时，把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统， 称为无差系统；而把具有原理性稳态误差的系统，称为有差系 统。
在单位阶跃作用下， 0 的系统为有差系统，此时开环增益K 越大稳态误差越小； 1 的系统为无差系统。
13
3.6 稳态误差分析
单位斜坡函数输入时的稳态误差
当输入为R ( s )
e ssr lim
s 0
1 s
2
时（单位斜坡函数）
s 1 s
2
1 Gk (s)
1 lim s G k ( s )
s 0
s K
可见给定作用下的稳态误差与外作用有关；与时间常数形式的 开环增益有关；与积分环节的个数有关。
11
3.6 稳态误差分析
开环系统的型
系统的无差度阶数（开环传递函数的型） 通常称开环传递函数中积分的个数为系统的无差度阶数，并将系 统按无差度阶数进行分类。 当 0 ，无积分环节，称为0型系统 当 1 ，有一个积分环节，称为Ⅰ型系统 当 2 ，有二个积分环节，称为Ⅱ型系统 ……………… 当 2 时，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外， Ⅲ型及Ⅲ型以上的系统几乎不用。
s 0
当 2时 ， K v lim
Kv
K s
s 0
G0 (s) ,
14
K 的大小反映了系统在斜坡输入下的稳态精度。 v 越大，e ss 越 小。所以说 K v 反映了系统跟踪斜坡输入的能力。 根据 K v 计算的稳态误差是系统在跟踪速度阶跃输入时位置上的 误差。
3.6 稳态误差分析
2
3.6 稳态误差分析
显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义；对于不 稳定的系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。 有时，把在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统， 称为无差系统；而把具有原理性稳态误差的系统，称为有差系 统。
稳态误差计算(普通解法)
⎡ K ⎤ 1 ⎤ ⎡1 G( z) = Z ⎢ = KZ ⎢ − ⎥ ⎣ s s + 1⎥ ⎦ ⎣ s ( s + 1) ⎦
z ⎛ z =K⎜ − −T ⎝ z −1 z − e
系统特征方程为
图 6-21 离散系统结构图
K (1 − e−T ) z ⎞ = ⎟ −T ⎠ ( z − 1)( z − e )
D( z ) = ( z − 1)( z − e −T ) + K (1 − e −T ) z = z 2 + [(1 − e −T ) K − 1 − e −T ]z + e −T = 0
利用朱利稳定判据
⎧ D(1) = K (1 − e −T ) > 0 ⎪ ⎨ −T −T ⎪ ⎩ D(−1) = 2(1 + e ) − K (1 − e ) > 0
e(∞) = lim
z →1
( z − 1)( z − 0.368) =0 z 2 − 0.736 z + 0.368
2
当 r (t ) = t ，相应 r (nT ) = nT 时， R ( z ) = T z ( z − 1) ，于是由式(6-59)求得
e(∞) = lim
z →1
T ( z − 0.368) = T =1 z − 0.736 z + 0.368
G( z) =
e − T z + 1 − 2e − T 0.368 z + 0.264 = 2 −T ( z − 1)( z − e ) T =1 z − 1.368 z + 0.368
2
0.368 z + 0.264 →∞ z − 1.368 z + 0.368 0.368 z + 0.264 =1 K v = lim( z − 1) 2 z →1 z − 1.368 z + 0.368 K p = lim
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c()
稳态性能：由稳态误差(steady state error) ess描述。
3.2 一阶系统的时域分析
3.2.1 一阶系统(first order system)的数学模型
3.2.2
3.1 3.3 3.4 3.5 3.6
3.2.3 3.2.4
控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。 如RC电路: duc ( t ) i(t) R R C u ( t ) u( t ) •微分方程为: c r
dt
•传递函数:
U c ( s) 1 1 U r ( s ) R C s 1 1 Ts
E(s) (- ) 1/Ts C(s)
ur (t )
C
uc (t )
•结构图 ： R(s)
动画演示
C ( s) 1 dc( t ) 一般地，将微分方程为 T c( t ) r ( t ) 传递函数为 R( s ) Ts 1 dt
第三章 时域分析法
3.1 时间响应性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析
3.4 线性系统稳定性分析
3.5 线性系统的误差分析 3.6 顺馈控制的误差分析
本章作业
End
本章提要
时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析 的方法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响 应的全部信息。 本章重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计 算；讨论系统参数对性能指标的影响，分析改进二阶系 统性能的措施；介绍高阶系统时域分析方法；介绍用劳 斯稳定性判据分析系统稳定性的方法，以及计算稳态误 差的方法。
• 稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时， 系统输出量的表现形式。 • 相应地，性能指标分为动态指标和稳态指标。
阶跃响应性能指标
动态性能
c(t) 1
动画演示
1. 延迟时间(delay time)td： td 稳态误差 响应曲线第一次达到其终值 0.5 一半所需时间。 0 tr 2. 上升时间(rise time) tr： t tp ts 响应从终值10%上升到终值 90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升 到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。
3. 峰值时间(peak time) tp：响应超过终值到达第一个峰值所需时间。
p
4. 调节时间(response time) ts：响应到达并保持在终值内所需时间。 5. 超调量(percent overshoot) %：响应的最大偏离量h(tp)与终值h(∞) 之差的百分比，即 c( t p ) c() % 100%
动画演示
(a) 零极点分布
t
特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2）初始斜率为1/T； 3）无超调；稳态误差ess=0 。 性能指标：延迟时间：td=0.69T 上升时间：tr=2.20T 调节时间：ts=3T (△=0.05) 或 ts=4T (△=0.02)
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
t
特点： 1) 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2) 初始斜率为-1/T2； 3) 无超调；稳态误差ess=0 。
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应 1 3.2.1 3.2.2 3.2.3 t • 输入r(t)=t，输出 c(t ) t T Te T (t 0) • 一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的 曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存 在跟踪误差，其数值与时间T相等。 • 稳态误差ess=T，初始斜率=0，稳态输出斜率=1 . 3.2.5 一阶系统的单位加速度响应 跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直至 无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。 结论： • 一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常数 T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时 间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。 • 线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响 应的导数。
3.1 时间响应性能指标
3.1.1 典型输入信号
• 时域分析法的特点
动画演示 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
• 典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、 正弦等
• 典型时间响应 ：单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、 单位加速度响应等 • 系统的时间响应，由过渡过程和稳态过程两部分组成。 • 过渡过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始 状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。
( s )
G( s ) 100/ s 100 10 1 G( s ) H ( s ) 1 (100/ s ) 0.1 s 10 1 s / 10
• 与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s • • (2)
1
3.2.1
3.2.2 3.2.4
1 T t 输入 r(t)=(t)，输出 c ( t ) e ( t 0) T
c(t)
1 T
c(t )
1 t/T e T
1 2 初始斜率为 T 0.368/T 0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
2T T 3T 4T (c) 单位脉冲响应曲线
1 输入r ( t ) t 2 2
输出c( t )
1 2 t Tt T 2 (1 e t / T ) 2
例3.1 某一阶系统如图,(1) 求调节时间ts, (2) 若要求ts=0.1s, 求反馈系数 Kh .
R(s)
E(s)
(- )
100/s
C(s) 动画演示
Kh 0.1
解: (1)
的系统叫做一阶系统。T的含义随系统的不同而不同。
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应 输入r(t)=1(t) ，输出 c ( t ) 1 e
S平面 P=-1/T
j
1 t T
3.2.1 3.2.3
3.2.4
( t 0)
0
c(t) 初始斜率为1/T 1 0.982 0.8650.95 0.632 c(t)=1-e-t/T 0 T 2T 3T 4T (b) 单位阶跃响应曲线
稳态性能：由稳态误差(steady state error) ess描述。
3.2 一阶系统的时域分析
3.2.1 一阶系统(first order system)的数学模型
3.2.2
3.1 3.3 3.4 3.5 3.6
3.2.3 3.2.4
控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。 如RC电路: duc ( t ) i(t) R R C u ( t ) u( t ) •微分方程为: c r
dt
•传递函数:
U c ( s) 1 1 U r ( s ) R C s 1 1 Ts
E(s) (- ) 1/Ts C(s)
ur (t )
C
uc (t )
•结构图 ： R(s)
动画演示
C ( s) 1 dc( t ) 一般地，将微分方程为 T c( t ) r ( t ) 传递函数为 R( s ) Ts 1 dt
第三章 时域分析法
3.1 时间响应性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析
3.4 线性系统稳定性分析
3.5 线性系统的误差分析 3.6 顺馈控制的误差分析
本章作业
End
本章提要
时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析 的方法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响 应的全部信息。 本章重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计 算；讨论系统参数对性能指标的影响，分析改进二阶系 统性能的措施；介绍高阶系统时域分析方法；介绍用劳 斯稳定性判据分析系统稳定性的方法，以及计算稳态误 差的方法。
• 稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时， 系统输出量的表现形式。 • 相应地，性能指标分为动态指标和稳态指标。
阶跃响应性能指标
动态性能
c(t) 1
动画演示
1. 延迟时间(delay time)td： td 稳态误差 响应曲线第一次达到其终值 0.5 一半所需时间。 0 tr 2. 上升时间(rise time) tr： t tp ts 响应从终值10%上升到终值 90%所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升 到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。
3. 峰值时间(peak time) tp：响应超过终值到达第一个峰值所需时间。
p
4. 调节时间(response time) ts：响应到达并保持在终值内所需时间。 5. 超调量(percent overshoot) %：响应的最大偏离量h(tp)与终值h(∞) 之差的百分比，即 c( t p ) c() % 100%
动画演示
(a) 零极点分布
t
特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2）初始斜率为1/T； 3）无超调；稳态误差ess=0 。 性能指标：延迟时间：td=0.69T 上升时间：tr=2.20T 调节时间：ts=3T (△=0.05) 或 ts=4T (△=0.02)
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
t
特点： 1) 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2) 初始斜率为-1/T2； 3) 无超调；稳态误差ess=0 。
3.2.4 一阶系统的单位斜坡响应 1 3.2.1 3.2.2 3.2.3 t • 输入r(t)=t，输出 c(t ) t T Te T (t 0) • 一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的 曲线。稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数T，即存 在跟踪误差，其数值与时间T相等。 • 稳态误差ess=T，初始斜率=0，稳态输出斜率=1 . 3.2.5 一阶系统的单位加速度响应 跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T)随时间推移而增长，直至 无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。 结论： • 一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常数 T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时 间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。 • 线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响 应的导数。
3.1 时间响应性能指标
3.1.1 典型输入信号
• 时域分析法的特点
动画演示 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
• 典型输入信号：单位阶跃、单位斜坡、单位脉冲、单位加速度、 正弦等
• 典型时间响应 ：单位阶跃响应、单位斜坡响应、单位脉冲响应、 单位加速度响应等 • 系统的时间响应，由过渡过程和稳态过程两部分组成。 • 过渡过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始 状态到最终状态的响应过程。又称动态过程、瞬态过程。
( s )
G( s ) 100/ s 100 10 1 G( s ) H ( s ) 1 (100/ s ) 0.1 s 10 1 s / 10
• 与标准形式对比得：T=1/10=0.1，ts=3T=0.3s • • (2)
1
3.2.1
3.2.2 3.2.4
1 T t 输入 r(t)=(t)，输出 c ( t ) e ( t 0) T
c(t)
1 T
c(t )
1 t/T e T
1 2 初始斜率为 T 0.368/T 0.135/T 0.05/T 0.018/T
0
2T T 3T 4T (c) 单位脉冲响应曲线
1 输入r ( t ) t 2 2
输出c( t )
1 2 t Tt T 2 (1 e t / T ) 2
例3.1 某一阶系统如图,(1) 求调节时间ts, (2) 若要求ts=0.1s, 求反馈系数 Kh .
R(s)
E(s)
(- )
100/s
C(s) 动画演示
Kh 0.1
解: (1)
的系统叫做一阶系统。T的含义随系统的不同而不同。
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应 输入r(t)=1(t) ，输出 c ( t ) 1 e
S平面 P=-1/T
j
1 t T
3.2.1 3.2.3
3.2.4
( t 0)
0
c(t) 初始斜率为1/T 1 0.982 0.8650.95 0.632 c(t)=1-e-t/T 0 T 2T 3T 4T (b) 单位阶跃响应曲线