锐角三角函数(余弦 余切)
初三数学：解直角三角形
解直角三角形知识要点：1、 锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠,tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠(1)平方关系：1cos sin 22=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =⋅； (3)商的关系：tanA=AAcos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系：如果ο90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο；tanA=cot （90°-A ）=cotB2、 解直角三角形3、 解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题 关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角 一：转化思想在解直角三角形中的应用转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长．已知条件解法一边及 一锐角直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c=sin a A斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA两边两条直角边a 和b，B ＝90°-A ，直角边a 和斜边csinA=ac，B ＝90°-A ，例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值．例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则CDACAB-等于（）．A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值．例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积．例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值．二：可解的非直角三角形的类型与解法解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考．一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31+，求△ABC各内角的度数．BA DC图1二、“SAS ”型：例2．已知：如图，△ABC 中，∠A=1500，AB=5，AC=4，求△ABC 的面积三、“AAS ”型：例3．已知：如图3，△ABC 中，∠C=600，∠A=750，BC=33+， 求AB 、AC 的长． 四、“ASA ”型：例4．已知等腰∆ABC 的底边长为2，底角为75°，求腰长．五、其他类型：例5．已知：如图，△ABC 中，∠B=600，AB=5，sinC=57，求AC 和BC 的长．相关强化练习：1．等腰三角形底边为20，面积为31003，求各角的大小．2．如图，四边形BCDG 为矩形，∠ABG=45°，GB=20，BC=4，tanE=3，求EC 的长度．3．已知：如图，在△ABC 中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB 的长．CBDA BA C D图2 ACD 图4BA CD图5例题： 如图23，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若10,31tan =+=∠CE DC AEN 。
锐角三角函数公式值
锐角三角函数公式值
锐角三角函数公式值指的是在直角三角形中，对于一个角度小于90度的锐角，其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的数值，可以通过特定的公式进行计算得出。
具体公式如下：
正弦(sin): sinθ=对边/斜边
余弦(cos): cosθ=邻边/斜边
正切(tan): tanθ=对边/邻边
余切(cot): cotθ=邻边/对边
正割(sec): secθ=斜边/邻边
余割(csc): cscθ=斜边/对边
其中，对边、邻边、斜边分别指直角三角形中的三条边，对边指与角度相对的边，邻边指与角度相邻的边，斜边指直角三角形的斜边。
需要注意的是，上述公式中的角度单位为弧度制。
如果给出的角度是度数，则需要先将其转化为弧度制，即弧度=角度×π/180。
- 1 -。
sincostan度数公式以及常见角度数值
sincostan度数公式以及常见角度数值
锐角三角函数是以锐角为自变量，以此值为函数值的函数。
在直角三角形ABC 中，我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做∠A的锐角函数。
初中数学主要考察正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）的计算公式。
正弦（sin）
在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。
sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2
余弦（cos）
在直角三角形中，任意一锐角∠A的临边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=∠A的临边/斜边。
cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2
正切（tan）
在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与临边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A的对边/临边。
tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3
三角函数顺口溜
正弦对比斜，余弦邻比斜，正切对比邻，正弦余弦互逆运算。
sin30°=cos60°=1/2
sin60°= cos30°=√3/2
sin45°=cos45°=√2/2。
锐角三角函数基本概念
锐角三角函数基本概念三角函数是数学中的重要概念，用于描述角度与边长之间的关系。
锐角三角函数是指在单位圆上定义的三角函数，它们是我们在解决三角形相关问题时经常使用的基本工具。
本文将介绍锐角三角函数的基本概念，并探讨它们的性质和用法。
一、正弦函数（sin）正弦函数是最基本的锐角三角函数之一，它表示一个角的对边与斜边之比。
在单位圆上，设角A对应的点为P(x,y)，则正弦函数可以表示为：sinA = y正弦函数的定义域是所有锐角，值域是[-1,1]。
在解决三角形问题时，我们可以利用正弦函数来求解缺失的边长或角度。
二、余弦函数（cos）余弦函数是另一个重要的锐角三角函数，它表示一个角的邻边与斜边之比。
在单位圆上，设角A对应的点为P(x,y)，则余弦函数可以表示为：cosA = x与正弦函数类似，余弦函数的定义域是所有锐角，值域也是[-1,1]。
在实际问题中，我们可以通过余弦函数来计算未知边长或角度。
三、正切函数（tan）正切函数是通过正弦函数和余弦函数的比值而得到的，它表示一个角的对边与邻边之比。
在单位圆上，设角A对应的点为P(x,y)，则正切函数可以表示为：tanA = sinA / cosA = y / x正切函数的定义域是所有锐角，但值域却没有限制。
正切函数在解决问题时，常用于求解未知边长或角度。
四、割函数（sec）、余割函数（csc）和余切函数（cot）割函数（sec）、余割函数（csc）和余切函数（cot）是正弦函数、余弦函数和正切函数的倒数。
它们的定义如下：secA = 1 / cosA, cscA = 1 / sinA, cotA = 1 / tanA这三个函数在解决三角形问题时也经常使用，用于求解缺失的边长或角度。
五、三角恒等式锐角三角函数之间存在一些重要的恒等式，它们可以帮助我们简化计算或推导出其他有用的关系。
以下是一些常用的锐角三角函数恒等式：1. 余弦函数与正弦函数的平方和等于1：cos^2 A + sin^2 A = 12. 正切函数与割函数的乘积等于1：tanA · secA = 13. 正弦函数与余割函数的乘积等于1：sinA · cscA = 1除了这些基本的锐角三角函数，还有其他一些相关的三角函数，如反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
锐角三角函数的增减性锐角三角函数的关系式锐角三角函数特殊公式
一、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时：1.正弦值随着角度的增大而增大；2.余弦值随着角度的增大而减小；3.正切值随着角度的增大而增大。
4.锐角三角函数值都是正值.5.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；6.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；7.正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
8.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°<A0, cotA>0。
二、锐角三角函数：锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。
初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。
所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。
初中研究的锐角的三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。
正弦：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即，锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。
三、锐角三角函数的关系式：同角三角函数基本关系式tanα·cotα=1sin2α·cos2α=1cos2α·sin2α=1sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα(sinα)2+(cosα)2=11+tanα=secα1+cotα=cscα诱导公式sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式Sin(2α)=2sinαcosαCos(2α)=（cosα）2－(sinα)2=2(cosα)2－1=1－2(sinα)2Tan(2α)=2tanα/(1tanα)sin(3α)=3sinα4sin3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°α)cos(3α)=4cos3α3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°α)tan(3α)=(3tanαtan3α)/(13tan2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3α)和差化积、积化和差公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(αβ)/2]sinαsinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(αβ)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(αβ)/2] cosαcosβ=2sin[(α+β)/2]·sin[(αβ)/2] sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α－β）] sinαsinβ=[1][cos（α+β）cos（αβ）]/2 cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（αβ）]/2 sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（αβ）]/2 cosαsinβ=[sin（α+β）sin（αβ）]/2。
锐角三角函数-正切、余切
B 对边a
A的对边 tan A A的邻边 A a b
斜边c 邻边b
C
归纳
余切的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们 把锐角A的邻边与对边的比叫做∠ A的余切。记作cotA，即
B 对边a
斜边c
A的邻边 cot A A的对边
A
数的定义：
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都 叫做锐角∠A的三角函数。
义务教育课程标准实验教科书华东师大版
学习目标
1、掌握锐角三角函数的定义 2、能根据锐角三角函数进行正确计算
一、复习：1、正弦、 余弦的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°
A的对边 a sin A c 斜边
A的邻边 b cos A c 斜边
2、如图，分别求出下边直角三角形两 个锐角的正弦值和余弦值。
3 AC=8，tanA= ，求sinA、cosB的值。 4
B C A
C B 12
13
A
3、直角三角形的性质： 在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边、邻边与斜边的比都是一 个固定值。
二、复习导入
如图,当锐角A固定时,两直角边的比值是 否也固定?
观察图中的Rt△AB1C1、 三、探究1、
Rt△AB2C2和Rt△AB3C3， 它们之间有什么关系？
3 BC=6，sinA= ，求cosA、tanB的值。 5
B 6 C
A
2、如图，分别求出下列两个直角三角 形两个锐角的余弦值和正切值。
C B 12 A B
13
3
2 C
A
3、如图，在Rt△ABC中，如果各边长 都扩大2倍，那么锐角A的余弦值和正 切值有什么变化？为什么？ B
锐角三角函数公式
• 利用正弦函数和余弦函数，计算电场强度和磁场强度 • 利用正切函数和余切函数，计算电场强度和磁场强度
04
锐角三角函数的计算器法与编程实现
计算器法求解锐角三角函数
利用科学计算器直接计算锐角三角函数的值
• 输入角的大小，直接计算正弦值、余弦值、正切值和余切值 • 利用计算器的其他功能，进行角度的转换和运算
角度和差公式
• 通过角度和差公式，将任意角与锐角联系起来 • 利用锐角三角函数的性质，推导出角度和差公式的三角函数表达式
03
锐角三角函数的应用
测量问题中的应用
测量高度
• 利用正切函数，计算物体的高度 • 利用余切函数，计算物体的高度
测量距离
• 利用正弦函数和余弦函数，计算物体的距离 • 利用正切函数和余切函数，计算物体的距离
解题技巧
• 利用三角函数的性质，简化计算过程 • 通过角度的转换，将复杂问题转化为简单问题
锐角三角函数的学习方法与建议
学习方法
• 理解锐角三角函数的定义与性质，掌握公式的推导过程 • 熟练掌握锐角三角函数的应用，解决实际问题
学习建议
• 多做练习，提高计算能力和解题技巧 • 注重归纳总结，形成完整的知识体系
余弦函数的取值范围与特殊值
• 取值范围：[-1, 1] • 特殊值：cos(0) = 1, cos(π/2) = 0, cos(π) = -1
余切函数的取值范围与特殊值
• 取值范围：实数集 • 特殊值：cot(0) = ∞, cot(π/2) = 0, cot(π) = -1
02
锐角三角函数的公式推导
正弦公式与余弦公式的推导
正弦公式的推导
• 利用单位圆的性质，将圆周角与弧度制联系起来 • 通过正弦函数的定义，将正弦值与单位圆上的点联系起 来
锐角函数表
初中锐角三角函数公式表公式有如下几个：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]；sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]；cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]；cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]；cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2；sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2；cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2 。
锐角三角函数是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
如图：我们把锐角∠A的正弦、余弦、正切和余切都叫做∠A的锐角函数。
锐角三角函数值都是正值正弦。
（sin）等于对边比斜边；余弦（cos）等于邻边比斜边；正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边；正割（sec)等于斜边比邻边；余割(cs c)等于斜边比对边。
扩展资料1、同角三角函数间的关系·平方关系：sin^2(A)+cos^2(A)=1·积的关系：sinA=tanA·cosAcosA=cotA·sinAcotA=cosA·cscAtanA·cotA=1·倒数关系：直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,余切等于邻边比对边3、三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,当角度在0°<∠A<90°间变化时，tanA>0, cotA>0.特殊的三角函数值0°30°45°60°90°0 1/2 √2/2 √3/2 1 ←sinA1 √3/2 √2/2 1/2 0 ←cosA0 √3/3 1 √3 None ←tanANone √3 1 √3/3 0 ←cotA。
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A
B
C
D
总课题 锐角三角函数
总课时
课题
余弦 余切
课型
新授
教学目标
知识目标
使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边
的比值也都固定这一事实．
能力目标
逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力
情感目标
合作交流
教学重点
理解余弦、正切的概念
教学难点
熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算
教具准备 小黑板 三角板
板 书 设 计
余弦 余切
定义 例题讲解 小结
教学过程
教 学 内 容
教师活动内容、方式
学生活动方式、内容 设计意图
（一）复习引入 1、口述正弦的定义 2、（1）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3． 则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ． （2）﹙2006成都﹚如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。
已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ） A ．53 B ．23 C ．255 D ．52
（二）实践探索
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？
如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o
，∠B=∠B`=α，
那么
与
有什么关系？
分析：由于∠C=∠C` =90o
，
∠B=∠B`=α， 所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，
，即
使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．
E O
A B C D ·
教师活动内容、方式学生活动方式、内容设计意图
如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与
斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作
tanA,即
锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.
（三）教学互动
例2:如图,在中, ,BC=6,
求cos和tan的值.
解: ,
.
又
例3:(1)如图(1), 在中，
,,,求的度数.
(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求. 结论：在直角三角形中，当锐角
B的度数一定时，不管三角形的
大小如何，∠B的邻边与斜边的
比也是一个固定值。
逐步培养学生
观察、比较、
分析、概括的
思维能力
教师活动内容、方式学生活动方式、内容设计意图
（四）巩固再现
1.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、
∠B、∠C的对边，则有（）
A．B．C．
D．
2. 在中，∠C＝90°，如果那么
的值为（）
A．B．C．D．
四、布置作业
P85 1
教
后
反
思
在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大
小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。
如图，。