网络模体的同步和仿真--复杂网络的动态形成和仿真

• 80/20马太定律：单词出现的频率按由大到小的顺序排列,则每个单
词出现的频率与它的名次的常数次幂存在简单的反比关系，这种分布 就称为Zipf定律.如：80%的财富集中在20%的人手中…… 2012-9-3
1.3.1 无标度网络的幂率分布
最近研究发现，现实世界的很多系统能够 被简化为一些简单的扩朴结构成为复杂网 络。（Ref）例如在生物系统、社会系统、 技术系统都展示了相似的内部连接。它们 的性质由内部的减少其元素间平均距离的 几个关键元素所决定，这种特性称作小世 界特性（small-word property）。
理论分析： 对于一个给定的连接概率为p的随机网络，其任意节点i的度取值为k的概率遵循 以下二项分布: P ( k ) = C K p k (1 - p ) N - K - 1
i N- 1
N无穷大，二项分布可以用泊松分布来代替：
Pi ( k ) = e
< k > =
- pN
( pN ) k!
K
= e
事实上，可以证明 P ( k ) =
2m N N + m
2
k
- 3
当 N > > m 时 ， p(k)=2m k
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一、网络（network）
在现实生活中，很多系统能够被简化为一些简单的拓扑 结构（topological structure）。例如在生物系统、社会系统、 技术系统，他们都展示了相似的内部连接情况。我们把这种 结构简化得到的模型成为网络。
dx dt
= f (x)
f ( f 1 ,..., f n ) x ( x1 ,..., x n )
象，提出了网络动态演化的BA模型（这个模型以它的发现者
Barabási和其博士生 Albert 命名），他们解释，成长性和优先 连接性是无标度网络度分布呈现幂律的两个最根本的原因。
成长性（ growth ）
指网络节点数的增加，像Internet中自治系统或路由器的 添加，以及WWW中网站或网页的增加等；
• 数值模拟思路: (1)运用随机排序命令 randperm(i)表示第二步中 的随机选择过程； (2) 为使图像准确，应该取 k<20%*N.
左边程序运行结果
m0=4
N=1000， m=1,的数值模拟程序
1.2.3不同N、m值数值模拟的结果
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为使图像更直观，可以采用 对数坐标
（命令：loglog(),semilogx(),semilogy()）
优先连接性(preferential attachmen）
指新加入的节点总是优先选择与度值较高的节点相连， 比如，新网站总是优先选择人们经常访问的网站作为超链接。 随着时间的演进，网络会逐渐呈现出一种“富者愈富，贫者愈 贫”的现象。
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1.3.3 BA Procedure 的仿真实现
基于网络的增长和优先连接特性，BA无标度网络模型的构造算法如下:
表示各个节点(vertex or link)的集合； 表示节点之间的边(edge or link)的集合。
• 2、网络的统计量
– 度 (degree) 一个节点所连接的边的数目称为该节点的度，网络中第i个节点 的度通常用ki来表示度不同，不同节点的影响力不同。 – 度分布(degree一distribution)
C i = 2 E I / n i ( n i - 1)
1.1.2 指数网络
传统的随机网络（如ER模型），尽管连接 是随机设置的，但大部分节点的连接数目 会大致相同，即节点的分布方式遵循钟形 的泊松分布，节点的度有一个期望值。
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模拟指数网络的形成过程： 假设最初有N个孤立的节点进行连接， 每对节点以概率p进行连接被这样形 成的网络称为随机网络。
下面是N,m0,m,不同的情况下 数值模的结果
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由对数坐标可以明显发现：lnp(k) 与 k呈显著的线性关系，也即 p ( k ) ~ e
事实上，可以简单证明如下：
¶ ki ?t = m0 m mt 划 m t C =m (t ギ ),
- k
k i ( t ) = m ln t + C (co n ten t ) m ln t i t
的进步，越来越多的人开始使用手机，这促使电信网络不断扩大，于是自然就出
现了随机演化网络模型. 1.2.1 演化过程（也是模拟过程）： （1）开始时网络 的节点数为
m， ，假设为随机连接（ m 0 一般比较小）； 0
（2） 每次增加一个节点，与网络中的任意m个节点随机连接； （3）以上过程进行 N
- m0
同步是网络模体（Network Motifs，网络局部）中最普遍的一种最 优化机制，在现实世界的很多方面都有体现。对复杂网络（complex network）的和网络模体研究，一方面有利于人们了解真实网络的结构 特点及其形成机理;另一方面也有利于人们认识复杂网络中的各种动力 学过程，这对现实生活中各种真实网络结构的优化以及网络中动力学过 程的控制具有重要的指导意义。
- < k>
< k> k!
K
p ( N - 1)
pN , 为 网 络 的 平 均 度
这就是指数网络服从泊松分布的由来。
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1.1.3 指数网络的仿真
• 仿真思路：以p=0.5为例
（1）确定一个N*N的0方阵，作为初始时邻接矩阵； （2）从节点1开始，与其余N-1个节点，生成r=rand（0,1）,若r>0.5,表示 连接，对应的矩阵元素（和对称元素）变为1，否则保持0；若该矩阵元 素为1,则不作处理； （3）以上过程重复N次，形成一个指数网络.
初 始 条 件 ： k i (ti ) = m ? ? ?n t + m - m ln t i , t i 1 m
k m +1
e
下面红线是理论计算得结果，表示直线 见仿真结果和理论值符合得和好。
ln P ( k ) = 1 - ln m -
1 m
k
，可
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汇报内容介绍
一 、复杂网络的演变模型及模拟仿真 （张元） • 1.1、指数网络（ER网络） • 1.2、随机演化网（random evolution network） • 1.3、无标度网络（ scale-free networks ） 二、网络模体及内部节点之间的同步仿真（张元） • 2.1、Kuramoto Model • 2.2、 Kuramoto Model 的推广 • 2.3、动力学行为为洛伦兹混沌系统的节点的同步 三、模体之间的同步及仿真（张元） • 3.1、OPCL方法介绍 • 3.2、节点数相同的模体之间同步的仿真 • 3.3、节点数不同的模体之间的同步的仿真
T
T
Internet 在自治系统层次上的拓扑结构图
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自治系统的数学表达
1.1.1 网络的基本构成及数字特征
• 1、网络的定义
– 从统计物理的角度来看，网络是一个由大量相互作用的个体组成的系统；
– 从图论的角度来看，网络G(v,e)是一个由节点集v和边集e构成的图。
V = { v1 , v 2 , ...v n } E = { e1 , e 2 ....e n }
(1)增长: 从一个具有mo个孤立节点的网络开始，每次引入一 个新的节点，并且连到m个已存在的节点上，这里m<=mo (2)优先连接: 一个新节点与一个己经存在的节点i相连的概 n i之间满足如下关系: ki 率 与节点i的度
Õ
= i
ki
å
j
k
j
经过t 步后，这种算法产生一个含有 N=t+m。个节点、mt 条边的 网络。 难度：仿真难度比前者大，原因在于:如何体现优先连结性？是一个动态 概率， 如何运用随机数模拟呢？
具有无标度拓扑结构的实际网络的
之间.例如，internet网络的夕取值是2.5，www乃万网络的夕值在2.1到2.7之间，酵母 菌yeaLst蛋白质相互作用网络的下取值是2.2，电影演员网络的指数取值是2.30。
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1.3.2 无标度网络的动态演化---BA模型
Barabási与Albert针对复杂网络中普遍存在的幂律分布现
• 例程序代码
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下面分别是N=1500，p=0.25,0.5,0.75,1的结果
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1.2 随机演化网（random evolution network）
ER随机网络的生成过程是在已有的节点之间随机增加连边形成的，这个过程网络 的规模固定不变;真实网络的规模一般会随着时间的推移不断扩大，例如随着社会
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背景
自然界中的许多复杂系统都可以由相互作用的个体所组成的网络来描述， 自从人类发现自然界中的多数实际网络的拓扑结构具有小世界效应和无标度 特性之后，科学界便掀起了一股研究复杂网络的热潮。当前，复杂网络的研 究己渗透到数理学科、工程学科、生命学科等不同的领域，涉及的网络包括 交通网络、电力网络、Internet、金融网络、蛋白质作用网络等等。可以说， 复杂网络理论已经成为了人们研究复杂系统的一种必不可少的工具。
k为网络中节点的度,对于不同的网络
统计发现，在大量的现实世界系统中， 任意指定一个节点（node）或元素 （element），它与其他k个节点有连接 的概率，服从一个幂率分别规律，如 下：
P ( k )~ k
-l
2 ＃l
3
λ 取值不同。目前为止人们已经测量了大量
λ 值，发现大多数实际网络的度指数都是在2和3
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一种解决方案：生成动态辅助向量，以不同位置相同元素将随机概率变 为有优先度的概率。 具体而言，生成的一个辅助向量，该向量中的元素为每条边端点的 节点。for example, 假设网络中节点4的度为7，则在list向量中会存在7个 4，而这7个4的位置不一定是连续在一起的。 preferential attachment体现在随机的从list向量中选取元素，选中哪个元 素，该元素表示的节点即被选中。由于list向量中每个节点的个数与它 的度有关，因此，度越大的点被选中的概率越大。