2019-2020学年度高三数学专题复习 每日一题规范练 文

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三数学专题复习每日一题规范练文

______年______月______日

____________________部门

[题目1] 已知向量a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，则a∥b，其中θ∈.

(1)求tan的值；

(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求φ的值．

20xx年____月____日(周一) [题目2] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD 和DD1的中点．求证：

(1)EF∥平面C1BD；

(2)A1C⊥平面C1BD.

20xx年____月____日(周二) [题目3] 如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．

(1)若围墙 AP，AQ总长为200米，如何围可使三角形地块APQ的面积最大？

(2)已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

20xx年____月____日(周三) [题目4] 已知椭圆C：＋＝1的上顶点为A，直线l：y＝kx＋m交椭圆于P，Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2.

(1)若m＝0时，求k1·k2的值；

(2)若k1·k2＝－1时，证明：直线l：y＝kx＋m过定点．

20xx年____月____日(周四)

[题目5] 在数列{an}，{bn}中，已知a1＝0，a2＝1，b1＝1，b2＝，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足Sn ＋Sn＋1＝n2，2Tn＋2＝3Tn＋1－Tn，其中n为正整数．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)问是否存在正整数m，n，使＞1＋bm＋2成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，请说明理由．

20xx年____月____日(周五) [题目6] 设函数f(x)＝x2ln x－ax2＋b在点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝－x＋b.

(1)求实数a及x0的值；

(2)求证：对任意实数b∈，函数f(x)有且仅有两个零点．

20xx年____月____日(周六) [题目7] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝b.

(1)求证：B≤；

(2)当·＝－2，b＝2时，求△ABC的面积．

20xx年____月____日(周一) [题目8] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．

(1)求证：OE∥平面BCC1B1；

(2)求证：平面B1DC⊥平面B1DE.

20xx年____月____日(周二)

[题目9] 椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P.过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点．

(1)求椭圆M的方程；

(2)若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．

20xx年____月____日(周三) [题目10] 如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2 km，AD为

4 km.地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计)．设点P到边AD的距离为t(单位：km)，△BEF的面积为S(单位：km2)．

(1)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；

(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3 km2？并说明理由．

20xx年____月____日(周四) [题目11] 已知函数f(x)＝kex－x2(其中k∈R，e是自然对数的底数)．

(1)若k＜0，试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；

(2)若k＝2，当x∈(0，＋∞)时，试比较f(x)与2的大小；

(3)若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，求k的取值范围，并证明0＜f(x1)＜1.

20xx年____月____日(周五)

[题目12] 已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a5和a7的等差中项为11，且a2·a5＝a1·a14，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.

(1)求an及Tn；

(2)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．20xx年____月____日(周六)

[题目13] 已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(2，－1)．

(1)若a⊥b，求的值；

(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值．

20xx年____月____日(周一) [题目14] 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

(1)直线EF∥平面PCD；

(2)平面BEF⊥平面PAD.

20xx年____月____日(周二) [题目15] 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．

(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

20xx年____月____日(周三)

[题目16] 已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E 是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，CP＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.

(1)求曲线M的方程；

(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．

20xx年____月____日(周四) [题目17] 已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3nbn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3.

(1)求an，bn；

(2)设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn，并求满足Tn＜7时n的最大值．

20xx年____月____日(周五) [题目18] 已知m∈R，f(x)＝2x3＋3x2＋6(m－m2)x.

(1)当m＝1时，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若m∈[，2]且关于x的不等式(m－1)2(1－4m)≤f(x)≤20在区间[k，0]上恒成立，求k的最小值k(m)．

20xx年____月____日(周六) [题目19] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＋1＝.

(1)求B；

(2)若cos＝，求sin A的值．

20xx年____月____日(周一)

[题目20] 在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE ＝AD＝EF＝BC，G是BC的中点．

(1)求证：AB∥平面DEG；

(2)求证：EG⊥平面BDF.

20xx年____月____日(周二) [题目21] 已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求m的取值范围．

20xx年____月____日(周三) [题目22] 如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内)，∠EOF＝.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD(不计损耗)，AD∥EF，且点A，D在上，设∠AOD＝2θ.

(1)求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；

(2)当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cos θ的值．

20xx年____月____日(周四) [题目23] 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.

(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn＝(n∈N*)，求证：cn＋1＜cn≤.

20xx年____月____日(周五) [题目24] 已知函数f(x)＝－ax.

(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数，求实数a的最小值；

(2)若?x1，x2∈[e，e2]，使f(x1)≤f′(x2)＋a(a＞0成立)，求实数a的取值范围．

20xx年____月____日(周六) [题目25] 已知△ABC的面积为S，且·＝S.

(1)求sin A；

(2)若||＝3，|－|＝2，求sin B.

20xx年____月____日(周一) [题目26] 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

20xx年____月____日(周二) [题目27] 已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P 与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且·＝－16，求证：直线AB恒过定点．

20xx年____月____日(周三) [题目28] 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查

知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元．

(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；

(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？

20xx年____月____日(周四) [题目29] 设f(x)＝ex(ax2＋x＋1)．

(1)若a＞0，讨论f(x)的单调性；

(2)x＝1时，f(x)有极值，证明：当θ∈时，|f(cos θ)－f(sin θ)|＜2.

20xx年____月____日(周五) [题目30] 设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，若a1a5＝64，S5－S3＝48.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对于正整数k，m，l(k＜m＜l)，求证：“m＝k＋1且l＝k＋3”是“5ak，am，al这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；

(3)设数列{bn}满足：对任意的正整数n，都有a1bn＋a2bn－1＋

a3bn－2＋…＋anb1＝3·2n＋1－4n－6，且集合M＝中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．

20xx年____月____日(周六)

第五部分每日一题规范练

[题目1] 解(1)∵a∥b，∴sin θ－2cos θ＝0，即tan θ＝2.

∴tan＝＝＝－3.

(2)由(1)知tan θ＝2，又θ∈，∴sin θ＝，cos θ＝，

∵5cos(θ－φ)＝3cosφ，

∴5(cos θcosφ＋sin θsinφ)＝3cosφ，

即cosφ＋2sinφ＝3cosφ，

∴cosφ＝sinφ，即tanφ＝1，

又0＜φ＜，∴φ＝.

[题目2] 证明(1)连接AD1，∵E，F分别是AD和DD1的中点，∴EF∥AD1.

∵正方体ABCD－A1B1C1D1，∴AB∥D1C1，AB＝D1C1.

四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1∥BC1，∴EF∥BC1.

又EF?平面C1BD，BC1?平面C1BD，∴EF∥平面C1BD.

(2)连接AC，则AC⊥BD.

∵正方体ABCD－A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，

∴AA1⊥BD.

又AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C，

∴A1C⊥BD.

同理可证A1C⊥BC1.

又BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD.

[题目3] 解设AP＝x米，AQ＝y米．

(1)则x＋y＝200，△APQ的面积S＝xysin 120°＝xy.

∴S≤＝2 500.

当且仅当x＝y＝100时取“＝”．

即AP＝AQ＝100米时，三角地块APQ面积最大．

(2)由题意得100×(1·x＋1.5·y)＝20 000，即x＋1.5y＝200.

要使竹篱笆用料最少，只需其长度PQ最短，

所以PQ2＝x2＋y2－2xycos 120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y＝1.75y2－400y＋40 000.

当y＝时，PQ有最小值，此时x＝.

即AP＝米，AQ＝时，篱笆用料最省．

[题目4] (1)解当m＝0时，直线l：y＝kx代入椭圆C：＋＝1的方程，得到x2＋2k2x2＝4，

解得P，Q，

所以k1＝＝，

k2＝＝，

所以k1·k2＝＝－.

(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线l：y＝kx＋m代入椭圆C：＋＝1的方程，

并整理得到(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，

则Δ＞0，且x1＋x2＝－，x1·x2＝.

由k1·k2＝－1知·＝－1.

即y1y2－(y1＋y2)＋2＋x1x2＝0，

(kx1＋m)(kx2＋m)－(kx1＋m＋kx2＋m)＋x1x2＋2＝0，

k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2－k(x1＋x2)－2m＋x1x2＋2＝0，(k2＋1)＋k(m－)＋m2－2m＋2＝0，

(k2＋1)(2m2－4)＋k(m－)(－4km)＋(m2－2m＋2)(1＋2k2)＝0，

所以3m2－2m－2＝0，解得m＝(舍)或m＝－，

所以直线l过定点.

[题目5] 解(1)因为Sn＋Sn＋1＝n2，所以当n≥2时，Sn－1＋Sn＝(n－1)2，

两式相减得an＋an＋1＝2n－1，

又a2＋a1＝1也适合上式，

所以an＋an＋1＝2n－1对一切n∈N*成立，

所以当n≥2时，an－1＋an＝2n－3，

再相减得an＋1－an－1＝2，

所以数列{an}的奇数项成公差为2的等差数列、偶数项也成公差为2的等差数列，

又a1＝0，a2＝1，可解得an＝n－1.

因为2Tn＋2＝3Tn＋1－Tn，

所以2Tn＋2－2Tn＋1＝Tn＋1－Tn，

即2bn＋2＝bn＋1，

又2b2＝b1，所以对一切n∈N*均有2bn＋1＝bn，

所以数列{bn}成公比为的等比数列，所以bn＝.

(2)因为bn＝，所以Tn＝＝2，

由＞1＋bm＋2得＞1＋，

即＞1＋，

1＋＞1＋，＞，

因为2m＋1＞0，所以(2－m)2n－2＞0，且(2－m)2n－2＜2m＋1，即(2－m)2n＜2＋2m＋1且(2－m)2n＞2.

即m＜2且m∈N*，故m＝1，此时2n＜2＋22＝6，(2－1)2n＞2，故n＝2，

综上可知，存在符合条件的所有有序实数对(m，n)为(1，2)．

[题目6] (1)解因为f′(x)＝2xln x＋x－2ax，

所以在点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝－x＋xln x0－ax＋x0＋b，

其中ln x0－ax＋x0＋b＝b，))

解得x0＝1，a＝1.

(2)证明因为函数f(x)＝x2ln x－x2＋b(x＞0)，

所以f′(x)＝2xln x－x，令f′(x)＝2xln x－x＝0，得x＝，

且当x∈(0，)时，f′(x)＜0，

即f(x)＝x2ln x－x2＋b在x∈(0，)上单调递减；

当x∈(，＋∞)时，f′(x)＞0，

即f(x)＝x2lnx－x2＋b在x∈(，＋∞)上单调递增；

所以f(x)有最小值f()＝b－＜0.

又f(e)＝e2－e2＋b＞0，

所以f(x)＝x2ln x－x2＋b在(，e)上一定有一解，

下面证明存在x1∈(0，)使f(x1)＞0，

令h(x)＝xln x－x＋1，h′(x)＝ln x，

所以当x∈(0，1)时，h(x)＝xln x－x＋1在(0，1)上单调递减，所以当x∈(0，1)时，h(x)＝xln x－x＋1＞h(1)＞0，

所以当x∈(0，1)时，f(x)＝x2ln x－x2＋b＞b－x，

取x1＝min{1，b}，则f(x1)＞b－x1＞0，

所以f(x)＝x2ln x－x2＋b在(x1，)上一定有一解，

综上所述，函数f(x)在(0，＋∞)上有且仅有两个零点．

[题目7] (1)证明∵cos B＝＝＝≥0，又B∈(0，π)．

∴B≤(当且仅当a＝c时取得等号)．

(2)解 ∵·＝－2，∴accos B＝2，

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝12，∴a2＋c2＝16， 又a ＋c ＝b ＝2，∴ac ＝4，∴cos B ＝，

又∵B ∈，∴sin B ＝.

∴S △ABC ＝acsin B ＝.

[题目8] 证明 (1)连接BC1，设BC1∩B1C＝F ，连接OF.

因为O ，F 分别是B1D 与B1C 的中点，

所以OF ∥DC ，且OF ＝DC ，

又E 为AB 中点，所以EB ∥DC ，

且EB ＝DC ，

从而OF ∥EB ，OF ＝EB ，即四边形OEBF 是平行四边形，

所以OE ∥BF ，

又OE ?平面BCC1B1，BF ?平面BCC1B1，

所以OE ∥平面BCC1B1.

(2)因为DC⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，

所以BC1⊥DC.

又BC1⊥B1C ，且DC ，B1C ?平面B1DC ，DC ∩B1C ＝C ，

所以BC1⊥平面B1DC ，

BC1∥OE，所以OE⊥平面B1DC ，

又OE ?平面B1DE ，所以平面B1DC ⊥平面B1DE.

[题目9] 解

(1)依题意有?????c ＝22a ，

1a2＋12b2＝1，

又因为a2＝b2＋c2，所以???a2＝2，b2＝1，

故椭圆M 的方程为＋y2＝1.

(2)设直线AC ：y ＝k1x ，直线BD ：y ＝k2x ，A(xA ，yA)，C(xC ，yC)．

联立得方程(2k ＋1)x2－2＝0，

x ＝x ＝＋1)，故OA ＝OC ＝)·＋1)).

同理，OB ＝OD ＝)·＋1)).

又因为AC ⊥BD ，所以OB ＝OD ＝·，其中k1≠0.

从而菱形ABCD 的面积S ＝2OA ·OB ＝2)·＋1))··，

整理得S ＝4，其中k1≠0.

故当k1＝1或－1时，

菱形ABCD 的面积最小，该最小值为.

[题目10] 解 (1)如图，以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，

建立平面直角坐标系，则C 点坐标为(2，4)．

设边缘线AC 所在抛物线的方程为y ＝ax2(a ＞0)，

把(2，4)代入，得4＝a ·22，解得a ＝1，

所以抛物线的方程为y ＝x2.

因为y ′＝2x.

所以过P(t ，t2)的切线EF 方程为

y ＝2tx －t2.

令y ＝0，得E ；

令x ＝2，得F(2，4t －t2)，

所以S＝(4t－t2)，

所以S＝(t3－8t2＋16t)，定义域为(0，2]．

(2)S′＝(3t2－16t＋16)＝(t－4)，

由S′(t)＞0得0＜t＜(t＞4舍去)．

所以S′(t)在上是增函数，在上是减函数，

所以S在(0，2]上有最大值S＝.

又因为＝3－＜3，

所以不存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3 km2.

[题目11] 解(1)由f′(x)＝kex－2x可知，当k＜0时，由于x∈(0，＋∞)，f′(x)＝kex－2x＜0，故函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(2)当k＝2时，f(x)＝2ex－x2，则f′(x)＝2ex－2x，

令h(x)＝2ex－2x，h′(x)＝2ex－2，

由于x∈(0，＋∞)，故h′(x)＝2ex－2＞0，于是h(x)＝2ex－

2x在(0，＋∞)上为增函数，

所以h(x)＝2ex－2x＞h(0)＝2＞0，即f′(x)＝2ex－2x＞0在(0，＋∞)上恒成立，

从而f(x)＝2ex－x2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)＝2ex－x2＞f(0)＝2.

(3)函数f(x)有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f′(x)＝kex－

2x＝0的两个根，

即方程k＝有两个根，设φ(x)＝，则φ′(x)＝，

当x＜0时，φ′(x)＞0，函数φ(x)单调递增且φ(x)＜0；