08第八章题解
08热力学第二定律习题解答
第八章热力学第二定律一选择题1. 下列说法中，哪些是正确的？( )（1）可逆过程一定是平衡过程；（2）平衡过程一定是可逆的；（3）不可逆过程一定是非平衡过程；（4）非平衡过程一定是不可逆的。
A. (1)、(4)B. (2)、(3)C. (1)、(3)D. (1)、(2)、(3)、(4)解：答案选A。
2. 关于可逆过程和不可逆过程的判断，正确的是( )(1) 可逆热力学过程一定是准静态过程；(2) 准静态过程一定是可逆过程；(3) 不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程；(4) 凡是有摩擦的过程一定是不可逆的。
A. (1)、(2) 、(3)B. (1)、(2)、(4)C. (1)、(4)D. (2)、(4)解：答案选C。
3. 根据热力学第二定律，下列哪种说法是正确的？( )A．功可以全部转换为热，但热不能全部转换为功；B．热可以从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体；C．气体能够自由膨胀，但不能自动收缩；D．有规则运动的能量能够变成无规则运动的能量，但无规则运动的能量不能变成有规则运动的能量。
解：答案选C。
4 一绝热容器被隔板分成两半，一半是真空，另一半是理想气体，若把隔板抽出，气体将进行自由膨胀，达到平衡后：( )A. 温度不变，熵增加；B. 温度升高，熵增加；C. 温度降低，熵增加；D. 温度不变，熵不变。
解：绝热自由膨胀过程气体不做功，也无热量交换，故内能不变，所以温度不变。
因过程是不可逆的，所以熵增加。
故答案选A 。
5. 设有以下一些过程，在这些过程中使系统的熵增加的过程是( )(1) 两种不同气体在等温下互相混合；(2) 理想气体在等体下降温；(3) 液体在等温下汽化；(4) 理想气体在等温下压缩；(5) 理想气体绝热自由膨胀。
A. (1)、(2)、(3)B. (2)、(3)、(4)C. (3)、(4)、(5)D. (1)、(3)、(5) 解：答案选D 。
二 填空题1．在一个孤立系统内，一切实际过程都向着 的方向进行。
08第八章 弯曲变形
二、梁计算简图 1支座形式与支反力 作用在梁上的外力，包括载荷和支座反力 载荷和支座反力。工程中常见支座有以下 载荷和支座反力 三种形式: （1）固定铰支座。如图8-3（a）所示，固定铰支座限制梁在支承处 固定铰支座。 固定铰支座 任何方向的线位移，其支座反力可用2个正交分量表示，沿梁轴线方 向的XA和垂直于梁轴线方向的YA。 （2）活动铰支座。如图8-3（b）所示，活动铰支座只能限制梁在支 活动铰支座。 活动铰支座 承处垂直于支承面的线位移，支座反力可用一个分量FRA表示。 （3）固定端。如图8-3（c）所示，固定端支座限制梁在支承处的任 固定端。 固定端 何方向线位移和角位移，其支座反力可用3个分量表示，沿梁轴线方 向的XA和垂直于梁轴线方向的YA，以及位于梁轴平面内的反力偶 MA。
解：（1）列弯矩方程 选取A为坐标原点，坐标轴如图8-13所示。在截 面x处切开，取左段为研究对象，列平衡方程： （2）作弯矩图 由弯矩方程可知，弯矩M为x的一次函数，所以 弯矩图为一条斜直线。（由两点可画出一条直线）
例8-7图8-14（a）所示悬臂梁，在全梁上受集度 为q的均布载荷作用。作该梁的弯矩图。
例8-1：如图8-8所示悬臂梁，求图中1-1和2-2截 面上的剪力和弯矩。
解： （1） 计算1-1上的剪力和弯矩。 假想在1-1截面处把梁截开，考虑左段梁的平衡， 剪力和弯矩按正方向假设。
得：
（2） 计算2-2上的剪力和弯矩。假想在2-2截面 处把梁截开，考虑左段梁的平衡，剪力和弯矩按 正方向假设。
弯矩图如图8-11（b）所示，由于在C点处有集中力 偶Mo作用，C点左侧与C点右侧弯矩不变，有突变， 突变值即为集中力偶Me。如b>a，则最大弯矩发生 在集中力偶作用处右侧横截面上 。
例8-5：图8-12（a）所示简支梁，在全梁上受集 度为q的均布载荷，作此梁的弯矩图。
数值计算08-线性方程组数值解法(优选.)
0
(k=1,2,…,n) ,则可通过高斯消元法求出Ax=b 的解。
引理
A的主元素
a(k) kk
0
(k=1,2,…,n) 的充要条件
是矩阵A的各阶顺序主子式不为零，即
a11
a1k
D1 a11 0 Dk
0, k 2, 3, , n
ak1
akk
定理2 Ax=b 可用高 斯消元法求解的充分必要条件是： 系数矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零。
Page 5
线性代数方程组的计算机解法常用方法：
直接法 迭代法
消去法 矩阵三角分解法
Page 6
直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组
的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）
迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程
组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原
始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收 敛性及收敛速度等问题
a(k) ik
a(k) kk
aijk
mik
a
k
kj
bik1 bik mikbkk
xn
bnn annn
bii
n
a
i
ij
x
j
,
xi
ji1
aiii
i, j k 1, k 2,, n
i n 1,,2,1
高斯消元法的条件
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定理1
如果在消元过程中A的主元素
a(k) kk
即:
a111
a112 a222
a11n a22n
x1 x2
bb1212
an22
an2n
xn
bn2
其中：
大物b课后题08-第八章电磁感应电磁场
习题8-6 一根无限长直导线有交变电流0sin i I t ω=，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ，如图所示，长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a 和b ，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。
解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为02m id B dS ldx xμφπ=⋅=通过矩形面积CDEF 的总磁通量为0000ln ln sin 222bm ai il I l b bldx t x a aμμμφωπππ===⎰由法拉第电磁感应定律有00ln cos 2m d I l bt dt aφμωεωπ=-=- 8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈，半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI dt，球小线圈中感应的电动势。
解 无限长直螺线管内部的磁场为0B nI μ=通过N 匝圆形小线圈的磁通量为20m NBS N nI r φμπ==由法拉第电磁感应定律有20m d dIN n r dt dtφεμπ=-=- 8-8 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ，通过电流为i 的长螺线管内，并与螺线管共轴，若0sin i i t ω=，求小线圈中感生电动势的表达式。
解 通过小线圈的磁通量为0m BS niS φμ==由法拉第电磁感应定律有000cos m d dinS nSi t dt dtφεμμωω=-=-=- 8-9 如图所示，矩形线圈ABCD 放在16.010B T -=⨯的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为60α=︒，长为0.20m 的AB 边可左右滑动。
若令AB 边以速率15.0v m s -=•向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。
解 利用动生电动势公式0.20()50.6sin(60)0.30()2B Av B dl dl V πε=⨯•=⨯⨯-︒=⎰⎰感应电流的方向从A B →.8-10 如图所示，两段导体AB 和BC 的长度均为10cm ，它们在B 处相接成角30︒；磁场方向垂直于纸面向里，其大小为22.510B T -=⨯。
08-理论力学-第二部分运动学第八章刚体的平面运动
形S在该瞬时的位置也就确定了。
88
运动学/刚体的平面运动
四、平面运动的分解 ——平移和转动
当图形Ｓ上Ａ点不动时，则
刚体作定轴转动 。
当图形Ｓ上 角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是 平移和转动的合成运动。
例如：车轮的平面运动可以看成: 车轮随同车厢的平移 和相对车厢的转动的合成。
99
2121
如图示平面图形，某瞬时速度瞬心为P点， 该瞬时平面图形内任一点B速度大小
vB vP vBP vBP
B
大小：vB BP
方向：BP，指向与 转向相一致。
vB
S
vA
C
vC
同理:vA=ω·AP, vC=ω·CP
由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心 位置和角速度 ，就可求出该瞬时图形上各点的速度。
的平面Ⅱ内的运动。
66
运动学/刚体的平面运动
二、平面运动的简化 刚体的平面运动可以简化为
平面图形S在其自身平面内的运动。 即在研究平面运动时，不需考虑 刚体的形状和尺寸，只需研究平 面图形的运动，确定平面图形上 各点的速度和加速度。
三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的
平面图形的位置，我们只需确定平 面图形内任意一条线段的位置。
vBA
s
B
vB vA
A
vA
方向： AB, 指向与 转向一致。
即：平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随
平面图形绕基点转动的速度的矢量和。 ——基点法
基点法是求解平面图形内一点速度的基本方法。 1414
运动学/刚体的平面运动
二、速度投影法
由于A, B点是任意的，因此
普通化学习题08
第八章 氧化还原反应与电极电位 首 页难题解析学生自测题学生自测答案章后习题答案难题解析 [TOP]例 8-1 写出并配平下列各电池的电极反应、电池反应，注明电极的种类。
（1）(-) Ag,AgCl(s) |HCl |Cl2(100kp),Pt (+) （2）(-) Pb, PbSO4(s)| K2SO4‖KCl| PbCl2(s),Pb (+) （3）(-) Zn | Zn2+‖MnO4-, Mn2+, H+| Pt (+) （4）(-) Ag | Ag+ (c1)‖Ag+(c2) |Ag (+)析 将所给原电池拆分为两个电极。
负极发生氧化反应，正极发生还原反应，写出正、负极反应式，由正极反应和负极反应相加构成电池反应。
解 （1）正极反应 Cl2+2e- → 2 Cl－ 此电极为气体电极负极反应 Ag+Cl- → AgCl(s)+e - 此电极为金属-难溶盐-阴离子电极 电池反应 2Ag+Cl2 →2AgCl(s) n=2（2）正极反应 PbCl2(s)+2e- →Pb+2Cl - 此电极为金属-难溶盐-阴离子电极 负极反应 Pb+SO42- →PbSO4(s)+2e -此电极为金属-难溶盐-阴离子电极 电池反应 PbCl2(s) +SO42-→PbSO4(s) +2Cl - n=2（3）正极反应 MnO4- +8 H++5e- →Mn2++ 4 H2O 此电极为氧化还原电极 负极反应 Zn → Zn2++2e - 此电极为金属及其离子电极 电池反应 2MnO4- +16 H+＋5Zn→2Mn2+＋8 H2O ＋5Zn2+ n=10 （4）正极反应 Ag+(c2) +e- → Ag 此电极为金属及其离子电极 负极反应 Ag → Ag+ (c1) + e - 此电极为金属及其离子电极 电池反应 Ag+(c2) → Ag+ (c1) n=1例 8-2 25℃时测得电池 (-) Ag,AgCl(s) |HCl(c) |Cl2(100kp),Pt (+) 的电动势为 1.136V ，已知θϕ( Cl2/Cl-)=1.358V, θϕ( Ag+/Ag)=0.799 6V ，求AgCl 的溶度积。
08劳动合同与社会保险法律制度- 习题答案与解析
第八章劳动合同与社会保险法律制度一、单项选择题1.根据劳动合同法律制度的规定，关于无效劳动合同的法律后果，下列表述不正确的是（）。
A.无效劳动合同，从订立时起就没有法律效力B.劳动合同部分无效的，不影响其他部分的效力，其他部分仍然有效C.对劳动合同的无效或者部分无效有争议的，只能由劳动争议仲裁机构确认D.劳动合同被确认无效，劳动者已付出劳动的，用人单位应当向劳动者支付劳动报酬【答案】C【解析】选项C：对劳动合同的无效或者部分无效有争议的，由劳动争议仲裁机构或者人民法院确认。
2.根据劳动合同法律制度的规定，下列关于劳动报酬的表述中，不正确的是（）。
A.工资可以以法定货币支付，也可以以实物及有价证券替代货币支付B.用人单位应当依法支付劳动者在法定休假日和婚丧假期间以及依法参加社会活动期间的工资C.在部分公民放假的节日期间（妇女节、青年节，且该节日并非星期六、星期日），对参加社会活动或单位组织庆祝活动和照常工作的职工，单位应支付工资报酬，但不支付加班工资D.如果部分公民放假的节日（妇女节、青年节）恰逢星期六、星期日，单位安排职工加班工作，应当依法支付休息日的加班工资【答案】A【解析】选项A：工资应当以法定货币支付，不得以实物及有价证券替代货币支付。
3.R公司职工，月工资1800元，当地月最低工资标准为1600元。
2014年6月，周某因个人原因给R公司造成经济损失2000元。
根据劳动合同约定，R公司决定在周某的工资中扣除。
根据劳动合同法律制度的规定，R公司可在周某当月工资中扣除的最高数额为（）元。
A.100B.200C.360D.1000【答案】B【解析】因劳动者本人原因给用人单位造成经济损失的，用人单位可以按照劳动合同的约定要求其赔偿经济损失。
经济损失的赔偿，可从劳动者本人的工资中扣除，但每月扣除的部分不得超过劳动者当月工资的20%（360元）。
若扣除后的剩余工资部分（1800-360=1440元），低于当地月最低工资标准（1600元），则按照月最低工资标准支付，即扣除1800-1600=200（元）。
新版化工原理习题答案(08)第八章--气体吸收[1]
第八章 气体吸收1. 在温度为40 ℃、压力为101.3 kPa 的条件下，测得溶液上方氨的平衡分压为15.0 kPa 时，氨在水中的溶解度为76.6 g (NH 3)/1 000 g(H 2O)。
试求在此温度和压力下的亨利系数E 、相平衡常数m 及溶解度系数H 。
解：水溶液中氨的摩尔分数为76.6170.07576.610001718x ==+ 由 *p Ex =亨利系数为*15.0kPa 200.00.075p E x ===kPa 相平衡常数为 t 200.0 1.974101.3E m p === 由于氨水的浓度较低，溶液的密度可按纯水的密度计算。
40 ℃时水的密度为992.2ρ=kg/m 3溶解度系数为 kPa)kmol/(m 276.0kPa)kmol/(m 180.2002.99233S ⋅=⋅⨯==EM H ρ2. 在温度为25 ℃及总压为101.3 kPa 的条件下，使含二氧化碳为3.0%（体积分数）的混合空气与含二氧化碳为350 g/m 3的水溶液接触。
试判断二氧化碳的传递方向，并计算以二氧化碳的分压表示的总传质推动力。
已知操作条件下，亨利系数51066.1⨯=E kPa ，水溶液的密度为997.8 kg/m 3。
解：水溶液中CO 2的浓度为 33350/1000kmol/m 0.008kmol/m 44c == 对于稀水溶液，总浓度为 3t 997.8kmol/m 55.4318c ==kmol/m 3 水溶液中CO 2的摩尔分数为4t 0.008 1.4431055.43c x c -===⨯ 由 54* 1.6610 1.44310kPa 23.954p Ex -==⨯⨯⨯=kPa气相中CO 2的分压为t 101.30.03kPa 3.039p p y ==⨯=kPa < *p故CO 2必由液相传递到气相，进行解吸。
以CO 2的分压表示的总传质推动力为*(23.954 3.039)kPa 20.915p p p ∆=-=-=kPa3. 在总压为110.5 kPa 的条件下，采用填料塔用清水逆流吸收混于空气中的氨气。
08-冯友兰解析
王夫之反驳说：未有弓夭而无射道，未有车马而 无御道。（周易外传卷五）
冯友兰认为，弓夭之理，是本有底。创制弓夭者， 发现其理，依照之以制弓夭。（新理学，贞元六 书，56页）所以，先有弓夭之理，才有弓夭。
比较：此理实类似于程、朱的理与柏拉图的理念 （idea）
程颐：天下物皆可以理照。有物必有则，一物须有 一理。（程氏遗书卷十八）
朱熹：且如这把扇子，此物也，便有个扇子的道理， 扇子是如此做，合当如此用，此便是形而上之理。 （朱子语类卷六十二）
柏拉图认为床之所以为床，桌子之所以为桌子，即 是因为它们分有了床的理念和桌子的理念。
朱熹：天地之间，有理有气。理也者，形而上之 道也，生物之本也。气也者，形而下之器也，生 物之具也。（答黄道夫）
而在冯友兰哲学中，理、气均是抽象而得的共相， 都是纯粹的逻辑观念。
2-422
程朱讲“理一分殊”，认为“同者理也，异者气 也”，（朱子语类卷一）把事物的差异归之于气 禀的不同，而冯友兰则认为，气本身并不具有任 何归定性。具体事物之所以成为各不相同的某种 事物，乃是由于它们依照不同的理。这实际上类 似于柏拉图的理念论。
欧洲中世纪经院哲学内部有唯名论与实在论的争论。唯名 论认为，只有个别的感性事物才是真正存在的，一般或共 相只是个别事物的名称，并不具有实在性；实在论认为， 一般或共相先于个别事物而存在，是独立于个别事物的客 观实在。唯名论与实在论又有极端与温和之分。极端实在 论以安瑟伦为代表，认为共相是先于个别事物，离开个别 事物而独立存在的实体。温和实在论以托玛斯·阿奎那为 代表，认为共相作为神创造个别事物的原型，存在于被创 造物之先；作为个别事物的本质，存在于事物之中；作为 人对个别事物的抽象概括的概念，存在于事物之后。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案08
第八章 不定积分习题§1 不定积分概念与基本积分公式1． 验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照：（1）()()C x f dx x f +=⎰/； （2）()()C x f x df +=⎰2． 求一曲线()x f y =，使得在曲线上每一点()y x ,处的切线斜率为x 2，且通过点()5,2.3． 验证x x y sgn 22=是x 在()+∞∞-,上的一个原函数. 4． 据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数没有原函数？ 5． 求下列不定积分：（1）⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-dx x x x 32311； （2）⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x 21； （3）⎰gxdx 2； （4）()⎰+dx x x232；（5）⎰-dx x2443； （6）()⎰+dx x x 2213； （7）⎰xdx 2tan ； （8）⎰xdx 2sin ；（9）⎰-dx x x x sin cos 2cos ； （10）⎰⋅dx x x x22sin cos 2cos ；（11）⎰•dt t t 2310； （12）⎰dx x x x ；（13）⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+dx x x x x 1111； （14）()⎰+dx x x 2sin cos ； （15）()⎰•dx x x 2cos cos ； （16）()⎰--dx e e x x 3§2 换元积分法与分部积分法1． 应用换元积分法求下列不定积分：（1）()⎰+dx x 43cos ； （2）⎰dx xex 22；（3）⎰+dx x 121； （4）()⎰+dx x n1；（5）⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-dx x x 2231131； （6）⎰+dx x 322；（7）⎰-dx x 38； （8）⎰-dx x3571； （9）⎰dx x x 2sin ； （10）⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx x 42sin 12π；（11）⎰+dx x cos 11； （12）⎰+dx x sin 11；（13）⎰xdx csc ； （14）⎰-dx xx 21；（15）⎰+dx x x 44； （16）⎰dx x x ln 1；（17）()⎰-dx x x 3541； （18）⎰-dx x x 283； （19）()⎰+dx x x 11； （20）⎰xdx cot ；（21）⎰xdx 5cos ； （22）⎰dx x x cos sin 1；（23）⎰-+dx e e xx 1； （24）⎰+--dx x x x 83322；（25）()⎰++dx x x 3212； （26）⎰+dx ax 221；（27）()⎰+dx ax23221； （28）⎰-dx xx 251；（29）⎰-dx xx31； （30）⎰++-+dx x x 1111.2． 应用分部积分法求下列不定积分：（1）⎰xdx arcsin ； （2）⎰xdx ln ； （3）⎰xdx x cos 2； （4）⎰dx x x3ln ；（5）()⎰dx x 2ln ； （6）⎰dx x arctan ； （7）()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+dx x x ln 1ln ln ； （8）()⎰dx x 2arcsin ；（9）⎰xdx 3sec ； （10）()⎰>±022a dx a x .3． 求下列不定积分：（1）()[]()()⎰-≠1/ααdx x f x f ； （2）()()[]⎰+dx x f x f2/1；（3）()()⎰dx x f x f /； （4）()()⎰dx x f e x f /.4． 证明：（1）若 ,3,2,tan ==⎰n xdx I n n ，则21tan 11----=n n n I x n I ； （2）若()⎰=xdx x n m I n m sin cos ,，则当0≠+n m 时，()()(),3,2,,2,1sin cos ,21sin cos ,1111=-+-++-=-+-++=-++-m n n m I nm n n m x x n m I nm m n m x x n m I n m n m5． 利用上题的递推公式计算：（1）⎰xdx 3tan ； （2）⎰xdx 4tan ；（3）⎰xdx x 42sin cos .6． 导出下列不定积分对于正整数n 的递推公式：（1）⎰=dx e x I kx n n ； （2）()⎰=dx x I nn ln ； （3）()⎰=dx x I n n arcsin ； （4）⎰=xdx e I nx n sin α. 7． 利用上题的递推公式计算：（1）⎰dx e x x 23； （2）()⎰dx x 3ln ； （3）()⎰dx x 3arcsin ； （4）⎰xdx e x 3sin . §3有理函数和可化为有理函数的不定积分1． 求下列不定积分：（1）⎰-dx x x 13； （2）⎰+--dx x x x 12722； （3）⎰+dx x 113； （4）⎰+dx x 114；（5）()()⎰+-dx xx 22111； （6）()⎰++-dx x xx 221222.2． 求下列不定积分：（1）⎰-dx x cos 351； （2）⎰+dx x 2sin 21；（3）⎰+dx x tan 11； （4）⎰-+dx xx x 221；（5）⎰+dx x x 21； （6）⎰+-dx xxx 1112. 总练习题求下列不定积分： （1）⎰--dx xx x 4312； （2）⎰xdx x arcsin ； （3）⎰+dx x 11； （4）⎰xdx e x 2sin sin ；（5）⎰dx ex； （6）⎰-dx x x 112；（7）⎰+-dx x x tan 1tan 1； （8）()⎰--dx x xx 322； （9）⎰dx x 4cos 1； （10）⎰xdx 4sin ； （11）⎰+--dx x x x 43523； （12）()⎰+dx x 1arctan ； （13）⎰+dx x x 247； （14）⎰++dx x x x1tan tan tan 2； （15）()⎰-dx x x 10021； （16）⎰dx xx2arcsin ； （17）⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+dx x x x 11ln (18) ⎰dx xx 7cos sin 1； （19）⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-dx x x e x 211；（20）⎰=dx uv I n n ，其中x b a v x b a u 2211,+=+=，求递推形式解.习题答案§1 不定积分概念与基本积分公式2．12+=x y .5．（1）C x x x x +-+-342342； （2）C x x x +-+3334ln 3； （3）C gx+2； （4）C x x x +•++6ln 629ln 94ln 4； （5）C x +arcsin 23； （6）()C x x +-arctan 31； （7）C x x +-tan ； （8）()C x x +-2sin 241；（9）C x x +-cos sin ； （10）C x x +--cot tan ；（11）C t+90ln 90； （12）C x +815158； （13）C x +arcsin 2； （14）C x x +-2cos 21； （15）C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin 31sin 21； （16）C e e e e x xx x ++----33313331； §2 换元积分法与分部积分法1．（1）()C x ++43sin 31； （2）C e x +2241； （3）C x +-12ln 21； （4）()C n x n ++++111；（5）()C x x++3arcsin 313arcsin ；（6）C x ++2ln 222； （7）()C x +--33892； （8）()C x +--3257103； （9）C x +-2cos 21； （10）C x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-42cot 21π；（11）C x+2tan； （12）C x x +-sec tan ； （13）C x x ++-cot csc ln ； （14）C x +--21；（15）C x +2arctan412； （16）C x +ln ln ；（17）()C x +--251101； （18）C x x ++-22ln28144；（19）C xx+-1ln； （20）C x +sin ln ； （21）C x x x ++-53sin 51sin 32sin ；（22）C x +tan ln ； （23）C e x+arctan ； （24）C x x ++-83ln 2； （25）()C x x x ++-+++2123121ln ；（26）C a x x +++22ln ； （27）C ax ax ++222；（28）()()()C x x x+---+--2522322121511321；（29）C x x x x x x ++------11ln 3625676616161216567； （30）C x x x +++++-11ln414.2．（1）C x x x +-+21arcsin ； （2）C x x x +-ln ； （3）C x x x x x +-+sin 2cos 2sin 2；（4）()C x x ++-1ln 2412； （5）()C x x x x x ++-2ln 2ln 2； （6）()C xx x +-+2arctan 1212；（7）()C x x +ln ln ； （8）()C x x x x x +--+2arcsin 12arcsin 22；（9）()C x x x x +++tan sec ln tan sec 21； （10）C x a x a a x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+±±±22222ln 21.3．（1）()()C x f +++111αα； （2）()()C x f +arctan ； （3）()C x f +ln . 5．（1）C x x ++cos ln tan 212； （2）C x x x ++-tan tan 313；（3）C x x x x +--4sin 641sin cos 611633. 6．（1）11--=n kx n n I kn e x k I ； （2）()1ln --=n nn nI x x I ；（3）()()()2121arcsin 1arcsin -----+=n n nn I n n x x n x x I ；（4）()()[]21221cos sin sin 1---+-+=n n ax n I n n x n x a x e an I . 7．（1）C x x x e x+⎪⎭⎫⎝⎛-+-83434321232；（2）()()[]C x x x x +-+-6ln 6ln 3ln 23；（3）()()C x x x x x x x +----+222316arcsin 6arcsin 13arcsin ；（4）()C x x x x x e x+-+-cos 3sin 3cos sin 3sin 10123. §3有理函数和可化为有理函数的不定积分1．（1）C x x x x +-+++1ln 2323； （2）()C x x +--34ln 2； （3）()C x x x x +-++-+312arctan 3111ln 6122； （4）C x x x x x x +-++-++22212arctan 421212ln 82； （5）()()C x x x x x ++---+--141arctan 211ln 811ln 4122； （6）()()C x x x x ++-+++-12arctan 251222352； 2．（1）C x +⎪⎭⎫ ⎝⎛2tan 2arctan 21； （2）C x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛tan 26arctan 66； （3）C xx x +++2sin cos ln 21； （4）C x x x x +-++--21432512arcsin87； （5）C x x x ++++221ln ； （6）C x x x x +---+22111ln. 总练习题（1）C x x x +--4312134534132454； （2）C x x x x x +-+-22141arcsin 41arcsin 21； （3）()C x x ++-1ln 22； （4）()C x e x +-1sin 2sin ；（5）()C x ex+-12； （6）C x+1arccos ；（7）C x x ++sin cos ln ； （8）()C x x x +-----221232ln ； （9）C x x ++3tan 31tan ； （10）C x x x ++-4sin 3212sin 4183； （11）C x x x +-++-2112ln 32； （12）()C x x x x x ++++-+22ln 1arctan ；（13）()C x x ++-2ln 214144； （14）C x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-31tan 2arctan 32； （15）()()()C x x x +-+------979899197114911991； （16）C xx x x +-+--211lnarcsin 1； （17）C x x x x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-11ln 212； （18）C x x +⎪⎭⎫⎝⎛+5tan 511tan 2； （19）C xe x++21； （20）()()[]121121122--++=n n n I b a b a n u v b n I典型习题解答1．（§1 第5题（13））求⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+dx x x x x 1111 解：C x dx x xx x dx x x x x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+⎰⎰arcsin 211111111222．（§2 第1题（21））求⎰xdx 5cos解：()C x x x x d x xdx ++-=-=⎰⎰53225sin 51sin 32sin sin sin 1cos3．（§2 第1题（23））求⎰-+dx e e x x 1解：C e e de dx e e xx x x x+=+=+⎰⎰-arctan 112 4．（§2 第2题（9））求⎰xdx 3sec()C x x x x xdx xdxxdx x x xdxx x x xdxx x x x xd xdx +++=∴+-=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰tan sec ln 21tan sec 21sec sec sec tan sec sec 1sec tan sec sec tan tan sec tan sec sec 33223解：5．（§2 第题（2））若()⎰=xdx x n m I n m sin cos ,，则当0≠+n m 时，()()(),3,2,,2,1sin cos ,21sin cos ,1111=-+-++-=-+-++=-++-m n n m I nm n n m x x n m I nm m n m x x n m I n m n m证明：()()()()()()()2,1sin cos ,,21sin cos ,cos sin 11cos sin 111sin cos cos cos 1sin 111sin cos sin cos 11sin 1sin cos 1sin cos ,11112112211211111-+-++-=-+-++=∴+--+-++=-+-++=-+++=+=-++--+--+--++-+-⎰⎰⎰⎰⎰n m I n m n n m x x n m I n m I nm m n m x x n m I xdx x n m xdx x n m n x x xdx x x n m n x x xdx x m n xn x x n x xd n m I n m n m mn m n n m m n n m m n n m n m 同理， 6．（§3 第1题（4））求⎰+dx x 114解：()()⎰⎰⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--+=+211211211112111224224x x x x d x x x x d dx x x x dx xC xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221。
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第八章 机械波8-1．有一个沿x 轴正向传播的平面简谐波，已知原点处质元的振动方程为0.02cos(y t π=（国际制单位），波速2m s v =．求：（1）该波的波方程；（2）x 轴正向距原点5m 处质元的振动方程；（3） 2.5s t =时原点处及在x 轴正向距原点5m 处质元的位移．解 （1）该波的波方程为002cos()9x y .t v π=-002cos ()(m)92x.t π=- （2）5m x =处质元振动方程为5(5)002cos()92y .t π=-5002cos()(m)918.t ππ=- （3）25s t .=，0x =时(0)002cos(250)9y ..π=⨯-00128(m).=25s t .=，5m x =时5(5)002cos(25)918y ..ππ=⨯-002(m).=8-2．已知平面简谐波的振幅为0.001m ，波长为1m ，周期为0.01s ；波源位于x 轴原点处．当0t =时，波源处质元位移为零且沿y 轴正向运动．求：（1）该波波方程；（2）距波源9m 和10m 的两波面上的相位差．解 （1）波源的振动方程为020001cos()y .t Tπϕ=+，因0t =时0y =，0y v >，所以02πϕ=-．因此 0001cos(200)(m)2y .t ππ=-若波沿x 轴正向传播，波方程为0001cos[2(100)]2x y .t ππλ=--0001cos[2(100)](m)2.t x ππ=-- 若波沿x 轴负向传播，波方程为0001cos[2(100)]2xy .t ππλ=+-0001cos[2(100)](m)2.t x ππ=+- （2）由于波每传播一个波长的距离相位落后2π，19m x =和210m x =相距1m ，恰为一个波长距离，所以其相位差为2π．8-3．频率为500Hz 的平面简谐波，波速为350m ．求：（1）波射线上相位差为π的两点相距多远？（2）对某个质元，时间间隔为3110s -⨯的两个状态的相位差是多少？解 （1）3500.7(m)500vλν===，由于波每传播一个波长的距离相位落后2π，所以波射线上相位差为3π的两点相距0.70.117(m)23ππ⨯=． （2）110.002(s)500T ν===，由于质元每经一个周期相位改变2π，所以某质元时间间隔为3110s -⨯的两个状态的相位差为0.00120.002ππ=．8-4．一平面简谐波沿x 轴正向传播，波源于0x =处，波速1m s v =．已知2m x =处质元的振动方程为0.005cos(2)m y t π=（国际制单位）．求：（1）波源的振动方程；（2）该波的波方程．解 （1）由于2πω=，所以2214(m)2vvππλνωπ⨯====．可知0x =处质元较2m x =处质元相位超前π，因此波源的振动方程为3510cos()(m)2y t ππ-=⨯+（2）该波的波方程为3510cos[()]2x y t v ππ-=⨯-+3510cos[()](m)2t x ππ-=⨯-+8-5．如图为0t =时的平面简谐波的波形曲线，波沿x 轴负方向传播，波速330m s v =．求：（1）此波的波方程；（2）(1300)s t =时，0.1m x =处质元的速度．解 （1）由波形曲线可见3110m A -=⨯，0.2m λ=，0t =时0x =处质元位于0y =且Oy 负方向运动．进而可知0x =处质元的初相位2πϕ=，圆频率223300vωπνππλ===．所以波源振动方程为cos()y A t ωϕ=+3110cos(3300)(m)2t ππ-=⨯+此波的波方程为3110cos[3300()](m)3302x y t ππ-=⨯++ （2）对波方程求时间导数得33sin[3300()]3302y y x v .t t πππ∂==-++∂ (1300)s t =时，0.1m x =处质元的速度为10133sin[3300()]3003302y .v .πππ=-++33sin[11]2.ππππ=-++331036(m s)..π=-=-8-6．在直径0.14m 的圆柱形管中传播的平面简谐波，能流密度的大小为329.010J (s m )-⨯⋅，频率为300Hz ，波速为300m s ．求：（1）平均能量密度和最大能量密度；（2）两相邻同相位波面间的总能量．解 （1）329.010J (s m )I wv -==⨯⋅，所以平均能量密度3539.010310(J m )300I w v --⨯===⨯由于能量密度222sin ()x w A t vρωω=-，最大能量密度22max 2w A w ρω==，故53max 610J m w -=⨯．（2）因为3001(m)300v λν===，所以22570.14310 4.610(J)44D E wV wππλ--⨯===⨯⨯=⨯8-7．如图所示，两个波源1S 和2S 发出两列相干横波，两波源相位相同，波长均为0.34m λ=．在L λ>>，L x λ->>条件下，（1）求出三个x 值，使P 点合振幅取极大值；（2）求出三个x 值，使P 点合振幅取极小值．解 （1）波程差()L L x x δ=--=为波长整数倍，P 点合振幅取极大值，所以x 可取值为10x =、2034m x .=、3068m x .=．（2）波程差()L L x x δ=--=为半波长的奇数倍，P 点合振幅取极小值，所以x 可取值为1017m x .'=、2051m x .'=、3085m x .'=．8-8．有两列振幅相同的相干平面简谐横波相向传播，两列波频率均为100Hz ν=，波速都是200m s v =．如图所示，波射线上A 、B 两点相距20m ，当一波在A 处为波峰时，另一波在B 处恰为波谷．求AB 连线上因干涉而静止的各点的位置．解 因两列相干波振幅相同，故它们因干涉而振幅取极小值的位置即为所求静止位置． 以A 为坐标原点O ，A B →为正向建立坐标系Ox ．设沿Ox 正向传播的波1在A 处为波峰时，沿Ox 负向传播的波2在B 处为波谷．考虑到两波的波长为2002(m)100vλν===，相邻一个波长距离波动相位改变2π，则可知此时波1在2m x k =（0,1,2,,10k =）处为波峰，在(21)m x k =+（0,1,2,,9k =）处为波谷；波2在2m x k =（0,1,2,,10k =）处为波谷，在(21)m x k =+（0,1,2,,9k =）处为波峰．而波1为波峰、波2为波谷的位置，和波1为波谷、波2为波峰的位置，即为因干涉而振幅取极小值的位置，所以AB 连线上因干涉而静止的各点的位置为0,1m,2m,3m,,20m x =．8-9．张紧的细长绳上传播两列相干横波，它们的波方程为（国际制单位）10.06cos (4)m y x t π=-，20.06cos (4)m y x t π=+求：（1）两列波的频率、波长和波速；（2）波节的位置；（3）波腹的位置；（4）波腹处振幅；（5） 1.2m x =处振幅．解 （1）波方程0cos[2()]t x y A T πϕλ=-+，根据10.06cos 2(2)m 2xy t π=-和10.06cos 2(2)m 2x y t π=+，可知两列波的波长 2 m λ=、频率12 Hz Tν==、波速4m v s λν==．（2） 12006cos(4)006cos(4t +)y y y .t x .x ππππ=+=-+012cos cos4.x t ππ=波节位置为(21)2x k ππ=±+，即1()m 2x k =±+，（012k ,,,=）．（3）波腹位置为x k ππ=±，即m x k =±，（012k ,,,=）． （4）波腹处振幅为012m .． （5）12m x .=处振幅12012cos 012cos12.A |.x ||..|ππ==ο012cos2160097(m)..==8-10．入射波的波方程为3110cos[200()]m 200xy t π-=⨯-（国际制单位），波在5.5m x =处的自由端反射，无振幅损失，求反射波方程．解 由入射波波方程可知3110m A -=⨯，200ωπ=，200m v s =，入射波原点处质元初相位为零．可求出222002(m)200vvππλνωπ⨯====．入射波在反射处比原点处相位落后15522552x ..ϕπππλ∆===；入射波在自由端反射，没有半波损失，20ϕ∆=；反射波在原点处比反射处相位落后3255x.ϕππλ∆==．故反射波在原点处初相位为()123011ϕϕϕϕπ=-∆+∆+∆=-，所以反射波波方程为3110cos[200()]m 200xy t ππ-=⨯+-8-11．两观察者A 和B 均携带频率为1000Hz 的声源．A 静止，而B 以10m 的速率朝向A 运动，A 和B 听到的拍频各为多少？（声速为340m ）解 对观察者A ：“观察者”静止，声源B 向“观察者”运动，A 听到B 的声音的频率vv v νν'=-源．由于A 还同时听到自己的声音，所以拍频 10||100030.3(Hz)330v v v v v v νννννν'=-=-==⨯=--源b 源源 对观察者B ：声源A 静止，“观察者”向声源运动，B 听到A 的声音的频率v v vνν+''=观．由于B 还同时听到自己的声音，所以拍频10||100029.4(Hz)340v v v v v νννννν+''=-=-==⨯=观观b8-12．一音叉以2.5m s 的速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍频为3Hz ，求音叉振动频率．（声速为340m s ）解 观察者在音叉后面可以直接听到音叉的声音，这时“观察者”静止，声源远离“观察者”运动，观察者听到的频率vv v νν'=+源． 墙壁在音叉前面，墙壁可以接受到音叉的声音，这时“观察者”（墙壁）静止，声源向“观察者”运动，墙壁接受到的频率vv v νν''=-源．墙壁接受到音叉的声音后以频率ν''振动，又发出频率ν''的声波，观察者在音叉后面还可以听到墙壁反射的声音vv v νν''=-源． 所以观察者听到的拍频22||vv v vv v v v v v νννννν'''=-=-=-+-源拍2源源源222340 2.553340 2.5340νν⨯⨯=≈-因此204Hz ν=． （第八章题解结束）。