人教版A版必修四第一章第一节任意角和弧度制
1.1.1任意角(教案)
1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角【教学内容解析】本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》1.1《任意角和弧度制》中第1.1.1节《任意角》的第一课时，本节教学内容为任意角，主要学习任意角的推广、象限角、用几何和符号表示终边相同的角.本节内容为三角函数的第一节，终边相同的角的表示为后面证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值奠定基础.由此确定本节课的教学重点为：教学重点：将0°~360°的角的概念推广到任意角．【学情分析】学生早在小学与初中学习过“角”，对角的概念有一定印象，但是过去接触过的角都在0°~360°，在对角的认识上已经形成一定的思维定势，所以在本小节要将角的概念推广可能会有一定的困难.用集合和符号来表示终边相同的角，涉及任意角、象限角、终边相同的角等新概念，对学生来说刚刚将角推广到任意角，然后就利用它来解决终边相同的角，是学习的主要难点.故确定本节课的教学难点为：教学难点：角的概念的推广，终边相同的角的表示.【教学目标设置】根据上述教学内容的地位和作用，结合课程标准与学情，确定了以下目标：1.结合生活中实例，认识角的概念推广的必要性；2.初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角，并能熟练写出与已知角终边相同的角的集合.3.通过从特殊的三个角找关系，推广到一般的终边相同的角的集合的书写，体会类比的思想方法，同时利用直角坐标系作出角解决问题，渗透数形结合的数学思想.【教学策略分析】根据本节课的教学内容、学生情况和教学目标，教学中采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法．通过启发引导，激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高．针对本节课的重点——将0°~360°的角的概念推广到任意角，教学中，通过“思考”提出拨手表指针问题，引导学生感受推广角的概念的必要性，使他们明白要正确表达“校准”手表的过程，需要同时说明分针的旋转量和旋转方向，教学时，让学生自己描述“校准”过程，让学生体会仅用0°~360°的角已经难以回答当前的问题，进而引出学习课题.同时还以体操转体运动为例，进一步说明引入新概念的必要性和实际意义.针对本节课的主要难点，教学中此处设置问题，让学生自己在直角坐标系中画30°,330°，-390°，（这一组角比教材上的那组角更容易找关系）通过观察这些角得出终边相同，然后提问这些角之间有怎样的数量关系？能不能用其中一个角表示这些角？让学生自己得出这一组角中任意两角之差是360°的整数倍，进一步类比得出所有与任意角α终边相同的角，连同α在内构成一个集合的表示.通过学生自己活动解决“探究”，经历由具体数值到一般值的抽象的过程，形成对“终边相同的角相差360°的整数倍”的直观感知.教学中同时多媒体，建立坐标系，画出任意角，并测出角的大小，旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合.对例题和习题的处理上，对教材上的例2改编为终边落在x轴上的角的集合，将终边落在y轴上的角的集合作为变式，变式设置了4个问题，让学生对终边落在各个坐标轴与象限角的表示有深刻认识，总结两种方法，为后面章节学习打下基础。
任意角和弧度制ppt课件人教版
弧AB的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数
∏r
逆时针方向
∏
2∏r
逆时针
2∏
r
逆时针
1
2r
顺时针
-2
∏r
顺时针
-∏
0
未作旋转
0
∏r
逆时针
∏
2∏r
逆时针
2∏
1800 3600 57.30 -114.60 -1800 00 1800 3600
2、角度与弧度之间的换算
把角度换算成弧度 把弧度换算成角度
弧 度
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数 集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都 有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对 应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角 (即弧度数等于这个实数的角)与它对应
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
3、例题讲解
题型二 用弧度制表示角的集合 例2 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，
其中0≤α≤2π. (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β.
【解】 (1)∵－1 480°＝－1 148800π＝－749π＝－10π＋169π， 又 0≤196π≤2π， ∴－1 480°＝169π－2×5π＝169π＋2×(－5)π.
360 2 rad. 180 rad. 1 rad 0.01745rad.
180
1rad (180) 57.30 5718'
角度与弧度之间 的换算
高一数学人教A版必修4第一章(三角函数)本章小结课件
1-(-
5 5
)2
=
-
2
5 5
.
6. 用 cosa 表示 sin4a-sin2a+cos2a.
解: sin4a-sin2a+cos2a = sin2a(sin2a-1)+cos2a = sin2a(-cos2a)+cos2a = cos2a(1-sin2a) = cos4a.
7. 求证:
(1) 2(1-sina)(1+cosa) = (1-sina+cosa)2; (2) sin2a+sin2b-sin2a·sin2b+cos2a·cos2b =1.
6. 终边位置确定三角函数值的正负
y
y
y
++ -o - x
-+
ox
-+
-+
ox
+-
sina
cosa
tana
正弦上正下负, 余弦右正左负, 正切一三正二四负.
7. 同角三角函数的关系
sin2a+cos2a=1,
sina cosa
=
tana
.
常用的变形:
sin2a=1-cos2a. cos2a=1-sin2a.
解: 由已知得 sin2x=4cos2x, 1-cos2x=4cos2x,
解得 cos x =
5 5
.
又由已知得 tanx =2,
则 x 是第一、第三象限角.
当 x 是第一象限角时,
cos x =
5 5
,
sin x =
1-(
5 5
)2=
2
5 5
;
当 x 是第三象限角时,
河北省新乐市第一中学人教A版高中数学必修四：1.1.1任意角 课件
答：129 48/ 它是第二象限角
第九页，编辑于星期日：十四点 四十分。
例2：（1）写出终边在x轴上的角的集合； （2）写出终边在y轴上的角的集合。
(1){α α k 180, k Z} (2){β β 90 k 180, k Z}
第十页，编辑于星期日：十四点 四十分。
第十四页，编辑于星期日：十四点 四十分。
(答：{|k 360 90 k 360 })
练习.写出终边落在第四象限的角的集合。
(答：{|270 +k 360 360 k 360 })
也可写成 {| 90 +k 360 k 360 }
第十二页，编辑于星期日：十四点 四十分。
小结
终边相同的角的集合
S { | k 360 , k Z}
{ | 300 k 360 , k Z} { | 5000 k 360 , k Z} { | k 360 , k Z} { | 900 k 360 , k Z} { | 2700 k 360 , k Z}
第八页，编辑于星期日：十四点 四十分。
例1 在 0 ~ 360 范围内，找出与 950 12/
终边在x轴上的角的集合
{ k 180, k Z }
终边在y轴上的角的集合。
{ 90 k 180, k Z }
象限角的概念
第十三页，编辑于星期日：十四点 四十分。
作业
1.P5 练习1~5(书上) 2.作业本:必做:P9~10 A组 1,3(1)~(4), 5(写过程);
选做:3(5)(8).
y x 例3：写出终边在直线0 元素写出来。
答： { | 45 k 180 , k Z} 315 , 135 , 45 , 225 , 405 ,585 ,
《任意角和弧度制》教案
《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四教案教案教学目标 1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 导入新课复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角?，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”可以简记为?． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30?k?360??????k?Z?的形式；反之，所有形如30??k?360??k?Z?的角都与30?角的终边相同.从而得出一般规律：所有与角?终边相同的角，连同角?在内，可构成一个集合S|?k?360?,k?Z?，即：任一与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.例1在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）?120；（2）640；（3）?95012?.?????解：（1）?120?240?360，所以，与?120角终边相同的角是240，它是第三象限角；（2）640?280?360，所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角；（3）?95012??12948??3?360，??????????所以，?95012?角终边相同的角是12948?角，它是第二象限角.??例 2 若??k?360??1575?,k?Z，试判断角?所在象限. 解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?, (k?5)?Z ∴?与225终边相同，所以，?在第三象限.?例 3 写出下列各边相同的角的集合S，并把S中适合不等式?360720?的元素? 写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314?．?????解：（1）S??|??60?k?360,k?Z，??S中适合?360720?的元素是60??1?360300?,60??0?360??60?,?60??1?360??420.??（2）S??|21?k?360,k?Z，??S中适合?360720?的元素是?21??0?36021?,?21??1?360??339?,?21??2?260??699???（3）S??|??36314??k?360,k?Z??S中适合?360720?的元素是363?14??2?360356?46?, 363?14??1?360??3?14?,?363?14??0?360??363?14.例4 写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；（2）与0,90终边相同的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：????????M|k?360?90??k?360?,k?Z?．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；N|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；Q|270??k?360?360??k?360?,k?Z?．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y??x(x?0)所夹区域内的角的集合.??解：当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|??45?k?360,k?Z；????当?终边落在y??x(x?0)上时，角的集合为?|45?k?360,k?Z；??所以，按逆时针方向旋转有集合：S??|?45?k?36045?k?360,k?Z．二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算：∵360?=2?（rad），∴180?=? rad. ∴ 1?=?180rad???180 1rad??5718’.oSl2．弧长公式：l?r?. 由公式：?ln?r?l?r??.比公式l?简单. r1801lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径. 2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式 S?注意几点：1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3表示3rad ， sin?表示?rad角的正弦；2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6 把下列各角从度化为弧度：(1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30’. 解：(1)/71? （2）? (3) ? (4) ? 56变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）?18720?；(3)?. 63例7 把下列各角从弧度化为度：（1）?；(2) ；(3) 2；(4)35?. 4解：（1）108 o；(2)；(3)；(4)45o. 变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）?4?3?；（2）-；（3）.12310解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o.例8 知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，，求该扇形的面积. 解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4. 课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；篇二：(教案3)任意角和弧度制任意角教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
弧度制PPT(实用)
四、课堂小结：
1.弧度制定义
2.角度与弧度的互化
3.特殊角ห้องสมุดไป่ตู้弧度数
度 0° 30 °45 ° 60 °90 ° 120 °135°150°
弧 度
0
6
4
3
2 3 5
2 3 46
思考与作业：
用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
（2）第Ⅱ象限角的集合
谢 谢 指 导!
3
3
4、角度制与弧度制的比较
引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比 较，同学们应明确：①弧度制是以“弧度 ”为单位度量角的制度，角度制是以“度 ”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半 径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大 小，而 是圆的 所对的圆心角（或该弧）的 大小；③不论是以“弧度”还是以“度” 为单位的角的大小都是一个与半径大小无
(弧长计算公式)
提问：为什么可以用弧长与其半径的比值 来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆
的半径大小有关呢？
B
B` L
l
n°
O
r
A` R
A
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
5、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB=
L r
=
2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制， 另外一种度量制---弧度制.
一、知识回顾
1、角度制的定义
•规定周角的1/360为1度的角，这种用度做单位 来度量角的制度叫角度制。
60°
90°
2、弧长公式:
l n r
180
(人教版)高中数学必修四教学三维目标重难点
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板1．1任意角和弧度制1.1.2弧度制一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板1.2 任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器第二课时任意角的三角函数（二）【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)⊥轴交x轴于点M，则请你观P x y，过点P作PM x察:根据三角函数的定义：|||||sin|OM xα====；|||||cos|MP yα随着α在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有==cosOM xα同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有==MP yαsin4.像MP OM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα== 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．已知42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】1． 作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒ （2）'cos15018︒、cos121︒ （3）5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系一、教学目标：1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影第二章 平面向量第1课时§2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标：1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课第2课时§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规第3课时§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课2.3平面向量的基本定理及坐标表示第4课时§2.3.1 平面向量基本定理教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪第6课时§2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪§2.4平面向量的数量积第7课时一、平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.⑶能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪第三章三角恒等变换3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.三、学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替±ββ、2π代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
任意角与弧度制教案
1、1任意角和弧度制一、教材说明：本节任意角和弧度制选自必修四第一章第一节二、三维目标（一）知识与技能（1）了解正、负角与零角的相关定义;（2）根据图形写出角及根据终边写出角的集合;（3）了解弧度制；（二）过程与方法（1）培养学生数型转化的思想；（2）训练学生思维活跃性，能够举一反三;（3）培养学生思维的抽象与具体转化的过程；（三）情感态度与价值观（1）增强学生观察生活中事物的规律能力;（2）在老师的引导下建立数学模型，把数学运用到生活中去；三、教学重难点（一）重点（1）根据图形写出任意角度数；（2）根据已知图形终边位置写出该终边所表示的角的集合；（二）难点根据终边写角的集合（三）教学设计（1）情境设计（2）教学过程（3）给出相关定义（4）举出例题，深化正负角定义（5）提出要点（6）提出关于终边相同，写出所有角所在集合（7）通过练习（教师引导，并作为主体练习），能够独立进行习题练习（8）学生自主练习、教师个别指导、师生互动（9）习题讲解（10）归纳总结（11）引出下堂课知识点：弧度制（12）布置作业四、教学过程（一）创设情境（1）墙上挂钟，在某段时间内,指针转过角度；（2）当手表不准时,我们旋转指针使之准时，这是指针转过的角度是多少？方向如何？（二）揭示课题(1）1、1任意角和弧度制（2）1、1、1任意角（三）复习旧知识顺时针、逆时针（四）给出例题（1）当指针快速顺时针由“12”调至“6”，指针转过多少度?（2）指针由“6”又调回到“12”是,转过角度如何?方向又怎样呢？（五）给出正角、负角定义（1）正角:逆时针方向旋转形成的角叫做正角；（2）负角：顺时针方向旋转形成的角叫做负角；（六）注意要点如果一条射线没有做任何旋转,则称它为零角。
（七）复习旧知识(1）0°—180°内所有角（2）周角（3）平角的整数倍所有角（八）新知识（1）任意角的表示方法;（2）判断当角的始变何种变相同时，角度是否相同.（九）给出任意角及象限角概念注意角的终边在轴上不叫做象限角。
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§1. 1.1任意角（新授课）
【教学目标】
要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
.
【教学重点】
理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
【教学难点】
“旋转”定义角
【教学过程】 一、知识回顾
1．回忆：初中是任何定义角的？
二、预习自学
1.角的概念的推广：
一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB
，就形成了角α。
其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。
2．正角、负角、零角概念
师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，
它等于300与7500
；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？
3.我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。
4.终边相同的角的表示法
观察下列角你有什么发现? 390︒ -330︒ 30︒ 1470︒ -1770︒，能否再举三个与300
角同终边的角？
三.典型例题
例1 设第一象限的角｝＝
锐角｝，的角｝ 小于{G {F 90{o
==E ， ，那么有（ ）．
A ．
B ．
C ．（ ）
D ．
例2用集合表示：
（1）各象限的角组成的集合．（2）终边落在轴右侧的角的集合．
（2）在～中，轴右侧的角可记为，同样把该范围“旋转”后，得，，故轴右侧角的集合为
．
说明：一个角按顺、逆时针旋转（）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转（）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．例3 （1）如图，终边落在位置时的角的集合是__
；终边落在位置，且在内的角的集合是_
_ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合
是_ ．
四、课堂练习
练习：
（1）请用集合表示下列各角．
①～间的角②第一象限角③锐角④小于角．
（2）分别写出：
①终边落在轴负半轴上的角的集合；②终边落在轴上的角的集合；
③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
说明：第一象限角未必是锐角，小于的角不一定是锐角，～间的角，根据课本约定它包括，但不包含．
例4在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1）；（2）；（3）．
解：（1）∵
∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；
（2）∵
∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；
（3）
所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．
3．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线是否共面？试证明。
五、课堂小结、
本节课你学了哪些知识？有哪些收获？你已经正确理解、掌握它们了吗？
六、课后作业
1、一角为
，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__．
2、集合M ＝{α=k o
90⋅，k ∈Z}中，各角的终边都在（ ） A ．轴正半轴上， B ．轴正半轴上，
C ． 轴或 轴上，
D ． 轴正半轴或
轴正半轴上
3、设
，
C ＝{α|α= k180o
+45o
,k ∈Z} ，
则相等的角集合为 _ _． 4．与
终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中
最小的正角是___________，最大负角是___________．
5、在0o ~360o 范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）－265ο （2）－1000o （3）－843o 10’ （4）3900o
B 组
6、写出终边在x 轴上的角的集合。
7、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360o ≤β＜360o 的元素写出来：
(1)60o (2)－75o (3) －824o 30’ (4) 475o (5) 90o (6) 270o (7) 180o (8) 0o
8、若 是第二象限角时，则 ， ， 分别是第几象限的角。