等价定理
范数等价判别定理的证明
范数等价判别定理的证明范数等价判别定理是泛函分析中的一个重要结果，它表明在有限维赋范空间中的所有范数是等价的。
以下给出范数等价判别定理的证明。
首先，设$X$是一个有限维赋范空间，记$n = \dim(X)$。
证明思路：我们需要证明任意两个范数$\|\cdot\|_a$和$\|\cdot\|_b$等价，即存在常数$c_1>0$和$c_2>0$使得对于任意的向量$x\in X$，有$c_1\|x\|_a \leq \|x\|_b \leq c_2\|x\|_a$。
首先证明$\|\cdot\|_a$和$\|\cdot\|_b$等价的充分性，即存在$c_2>0$使得对于任意的向量$x\in X$，有$\|x\|_b \leqc_2\|x\|_a$。
由于$X$是有限维空间，我们可以选取$X$的一组基$\{e_1,e_2,\ldots,e_n\}$。
对于任意的向量$x\in X$，我们可以将其表示为$x = \sum_{i=1}^n x_ie_i$。
其中$x_i$是标量。
我们要证明存在常数$c_2>0$使得$\|x\|_b \leq c_2\|x\|_a$成立。
由范数的定义可知，$\|x\|_a = \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^a\right)^{\frac{1}{a}}$，$\|x\|_b = \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^b\right)^{\frac{1}{b}}$。
考虑$\frac{1}{a}$和$\frac{1}{b}$之间的大小关系：若$\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$，则对于任意的$i=1,2,\ldots,n$，有$|x_i|^a \geq |x_i|^b$，进而$\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^a\right)^{\frac{1}{a}} \geq \left(\sum_{i=1}^n|x_i|^b\right)^{\frac{1}{b}}$。
9.2. 李嘉图等价定理
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李嘉图等价定理 李嘉图等价与信贷市场均衡
斯蒂芬 ·D· 威廉森： 宏观经济学（第五版）， 中国人民大学出版社，2015。
李嘉图等价：图解
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李嘉图等价：图解
我们假定当期税收减少，因此 ∆t < 0。
政府为了弥补减税的资金缺口，就必须当前多举债，而为了 偿还增加的债务，未来就必须增税。 消费者对此有预见，且按减税量增加储蓄，因为他们必须多 储蓄，以缴纳未来所面临的更高的税收。 在信贷市场中，消费者储蓄的增加，与政府的举债增加正好 相对应，所以对消费者之间的借贷行为不会产生影响，从而 对市场实际利率也不会产生影响。
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李嘉图等价定理
李嘉图等价与信贷市场均衡
李嘉图等价与信贷市场均衡
李嘉图等价：图解
图 9.17 中，给定当期和未来之间特定的税收时间，画出曲 线 S1p (r)。政府的信贷需求是 B1，即政府在当期发行的、 外生供给的债券。信贷市场出清的均衡实际利率是 r1。
Figure: 图 9.17 李嘉图等价与信贷市场均衡
李嘉图等价定理所传递的重要信息是，减税不是免费午餐。
尽管当期减税可以给所有消费者留下更多的当期可支配收 入，这看上去像是一件好事，但消费者为当期减税所付出的 代价就是，未来承担更高的税负。
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李嘉图等价定理
关于非对称矩阵正定的一个等价定理及其正定性的判定
非对称矩阵正定是指一个非对称矩阵（即其转置矩阵不等于自身）在所有可能的情况下都是正定的。
非对称矩阵正定的一个等价定理是：一个非对称矩阵 A 是正定的，当且仅当对于任意的向量x，有x^T A x > 0。
这个定理表明，一个非对称矩阵A 是正定的，当且仅当对于任意的向量x，其与矩阵A 的乘积x^T A x 大于0。
此外，我们还可以使用下列方法来判定非对称矩阵 A 的正定性：
1.计算矩阵A 的特征值。
如果矩阵A 的所有特征值均大于0，则矩阵A 是正定的。
2.计算矩阵A 的行列式值。
如果矩阵A 的行列式值大于0，则矩阵A 是正定的。
3.将矩阵A 转化为对称矩阵的形式，再使用对称矩阵正定的判定方法。
如果矩阵A 转化为对称矩阵后是正定的，则矩阵A 是正定的。
无穷小量的等价定理及其应用
无穷小量的等价定理及其应用
无穷小量的等价定理及其应用：从微观层面释放出宇宙的精妙之处。
无穷小量的等价定理是杰出的数学理论，它提供一种更实用的方式来理解和使用数学原理和定理。
一、无穷小量的等价定理：
它可以定义无限接近零（∞）的值，从而实现无穷小量的抽象概念，使数学上的等价性建立在无限小量之上。
二、应用：
无穷小量的等价定理应用于微积分，主要是几何分析，概率论和数学
物理，可以用来解决许多数学分析中的复杂问题。
例如，它可以用来
计算多元函数的导数和它们之间的绝对差异，计算多变量分布的方差，考察不同度量空间下的曲面正态性等等。
三、优点：
利用无穷小量的等价定理，可以轻松地进行许多复杂的多元数学分析，数学分析的过程更接近实际应用，从而可以更好地表达多元关系。
另
外，它也可以帮助我们更好地结合概率论、几何分析等多个数学学科，实现数学上的统一认识。
平行公理的等价定理
平行公理的等价定理平行公理的等价定理：“如果两个平行公理不等价，那么一个仅通过其他公理的组合，不能把一个公理转化为另一个公理。
”平行公理的等价定理又称作狄利克雷定理，是狄利克雷曼特拉瓦西亚拉尔斯帕斯科罗（DielkreckmanTelvasiaRalssPascolo）于1909年提出的一个重要数学定理。
它主要指出，在一个公理系统中，如果存在两个相互平行的公理，其中一个公理可以由另一个公理及其他公理推理得出，则两个公理互为等价。
它是实现现代数学理论建立的重要基石，有许多证明及应用，在数学基础理论的发展中，发挥了重要作用。
狄利克雷定理的证明不仅可以应用于无限集合，也可以应用于有限集合，这样，可以更容易地确定集合中所含元素的数量。
海森堡是狄利克雷定理的证明者，他把狄利克雷定理叫做“不等价性定理”，以强调不等价性在数学中的重要性。
此外，还有一些对该定理的不同改写，比如斯宾格尔定理，卡尔斯定理和拉斯特定理，它们都证明了狄利克雷定理。
狄利克雷定理可以用于数学逻辑，比如在一个公理系统中，如果存在两个相互平行的公理，只有当这两个公理互为等价时，公理系统才能满足普遍的假设。
此外，狄利克雷定理还有一些应用，比如估算数的可能取值范围，判断在一个集合中的元素的可能数量等。
此外，狄利克雷定理还可以用于有向图学习。
有向图学习是机器学习研究中一种新兴方向，它可以用来表示复杂的结构，并通过改变有向图中节点之间的权重，实现对节点取值的精确估算。
狄利克雷定理可以用来确定有向图中节点间可能的关系，从而有助于节点取值的准确估计。
总之，狄利克雷定理是数学概念的一个重要定理，它的应用广泛，在数学的基础理论中发挥了重要作用。
它主要用于证明两个平行公理之间的等价性，而它在数学逻辑和机器学习等领域中也有重要应用。
李嘉图等价定理的启示
李嘉图等价定理的启示征税和发行公债是政府获取财政收入的两种主要方式。
大卫·李嘉图（David Ricardo）在《政治经济学及赋税原理》一书的第１７章中表述了这样的论点：政府无论选用一次性总付税（lump-sum tax），还是发行公债，来为政府筹措资金，均不会影响消费和投资。
２０世纪７０年代，这一原理重新被美国经济学家罗伯特·巴罗（Robert J. Barro）所揭示。
他发表于１９７４年的著名论文《政府债券是净财富吗？》（Are Government Bonds Net Wealth？）在经济学界引起了广泛关注，这一理论因而成为新古典宏观经济学的重要组成部分。
李嘉图等价定理之所以引起现代经济学家的瞩目，其原因在于对举债的宏观经济影响的重视。
在政府举债的情况下，社会总需求发生何种变化，将直接影响到国民收入水平的决定。
本文将透过李嘉图等价定理，分析举债的经济影响。
一、李嘉图等价定理的内容和意义“李嘉图等价定理”（Ricardian Equivalence Theorem）这一术语，最早出现在１９７６年詹姆斯·布坎南（James Buchanan）发表的题为《巴罗的〈论李嘉图等价定理〉》的评论中。
李嘉图等价定理认为，征税和政府借款在逻辑上是相同的。
这一原理可以通过下面的例子来加以说明。
假定人口不随时间而变化，政府决定对每个人减少现行税收（一次性总付税）１００元，由此造成的财政收入的减少，通过向每个人发行１００元政府债券的形式来弥补（再假定债券期限为一年，年利息率为５％），以保证政府支出规模不会发生变化。
减税后的第二年，为偿付国债本息，政府必须向每个人增课１０５元的税收。
面对税负在时间上的调整，纳税人可以用增加储蓄的方式来应付下一期增加的税收。
实际上，完全可以将政府因减税而发行的１００元的债券加上５％的利息，作为应付政府为偿付国债本息而增课税收１０５元的支出。
这样，纳税人原有的消费方式并不会发生变化。
巴罗李嘉图等价定理
凯恩斯主义者认为，国家实行赤字财政政策时，用发行公债比增加税收弥补赤字要好，増加税收会影响消费需求，从而影响赤字财政政策的效果。
新古典主义经济学家R。
巴罗根据当年（1817年）英国古典经济学家大卫•李嘉图的一个猜测，即认为政府用公债筹资和用增加税收筹资对经济的影响可能是一样的，因为人们会认识到政府还债还是要用增加税收来解决，因此他们会把相当于未来增加税收的一部分财富储蓄起来，尽管李嘉图自己并不认为上述猜测在现实中行得通，但巴罗认为，按理性行事的人们确实是会如此行事的，即使政府用来还债的更高赋税可能部分会落到后代人身上，但人们都是关心后代的，因此还是会增加储蓄给后代以应付还债。
这就是所谓的巴罗-李嘉图等价定理。
之所以叫等价定理，是因为其认为发行公债和增加税收弥补财政赤字对经济的影响其实是相同的，因为根据这一定理，政府借债只是公民纳税被推迟而已，并不会刺激消费，因此政府用发行公债弥补赤字财政政策是无效的。
巴罗-李嘉图等价定理受到凯恩斯主义者批评。
他们认为，人们通常并没有动机为超出自己生命限度的未来征税而储蓄财富。
他们关心的是自己当前的利益，并不关心自己生命以外的事情，并不会认为今天的政府借债就是明天更重的赋税从而为未来还债增加储蓄，而会把钱用于消费和投资。
因此政府用发行公债弥补赤字财政来增加总需求的政策还是有效的。
曲面的gauss方程与codazzi方程的等价定理
曲面的gauss方程与codazzi方程的等价定理定理是数学研究中的重要部分。
定理把解的定义和特征、特征和结果之间的联系提炼出来，在数学研究中有重要的意义。
“曲面的Gauss方程与Codazzi方程的等价定理”是高等数学中一个重要的定理，被称为曲面理论中的三大定理之一。
一、曲面的Gauss方程与Codazzi方程定义1、Gauss方程：假设曲面M上的任一点P和它的任意一点都具有一个单位法向量$e_{n}$，曲面M的曲率K(P)可以用Gauss方程定义：$$K(P)=dfrac{e_{n} cdot bigtriangledown_{p}e_{n}}{|e_{n}|^3}$$2、Codazzi方程：Codazzi方程：假设曲面M上的任一点P处的法向量$e_{n}$和上一点Q处的法向量$e_{n}^{}$在曲面M上的偏导，曲面M的曲率K(P)可以用Codazzi方程定义：$$K(P)=dfrac{e_{n} cdot bigtriangledown_{p}e_{n}^{}}{|e_{n}|^2|e_{n}^{}|}$$二、曲面的Gauss方程与Codazzi方程的关系上述定义可知，Gauss方程和Codazzi方程都是曲面M的曲率的定义，它们之间有一个重要的关系：曲面的Gauss方程与Codazzi方程的等价定理说明，假设某曲面M的上每一点P处的Gauss曲率、Codazzi曲率及其他的关系都相等，则M一定是平面，或者M一定是某个椭球面。
三、曲面的Gauss方程与Codazzi方程的等价定理曲面的Gauss方程与Codazzi方程的等价定理可以说明以下几点： 1、任意一点处的Gauss曲率和Codazzi曲率以及它们关于法向量等价关系相等，则曲面一定是平面；2、任意一点处的Gauss曲率和Codazzi曲率不相等，但是关于法向量的等价关系一定相等，则曲面一定是某个椭球面；3、此外，等价定理也可以用来解决平面或椭球面曲率的相关问题，把曲面的曲率简化为法向量的表达形式，为其他问题提供必要的准备。
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巴罗——李嘉图税收与公债等价定理
二、李嘉图等价定理的前提假设和理论化表述 1、假设
1）初始时期的政府支出不变；
2）初始时期的公债必须用以后时期的税收收入来偿还 3）资本市场是完全的，个人与政府的借贷利率是相同 的； 4）个人即是现实的纳税人又是未来的纳税人，并对现 在和将来的收入流量预期是确定性的；
巴罗——李嘉图税收与公债等价定理
四、对李嘉图等价定理的质疑 1、莫迪利阿尼（modiligani）
提出有限生命周期理论，指出人们并不关心生命以 外的事情，因此，由于发债带来的减税效应会 带来消费的增加 2、托宾
认为李嘉图等价定理的假设条件太多，现实中不满 足 1）假设消费者是利他的，留给后代的财产净值为正
巴罗——李嘉图税收与公债等价定理
2）假设政府举债代替税收不会产生再分配效应，消费 者的边际消费倾向是无差异的 3）假设政府所课征的税是一次性总额税 3、曼昆
1）人的理性是有限的，甚至人们在作出消费和储蓄决 策时是短视的。因此，债务融资的减税效应导致人们 误以为永久收入的增加，而增加其消费。 2）人普遍具有利己主义动机，当代人会以下一代人消 费减少为代价来增加自己的消费
5）个人能完全和准确地预见包含在公债中的预期纳税 返回 义务；
6）所有税收是一次总付税
巴罗——李嘉图税收与公债等价定理
假设将政府经济活动分为两个时期： t1为即期货现在,t2为预期或将来
D1 为t1的政府债务，D2为t2的政府债务
T1为t1的政府税收，T2为t2的政府税收 G1为t1 的政府支出，G2为t2的政府支出 两个不同时期的预算约束条件是： D1=G1-T1
“李嘉图等价定理”最早出现在布坎南的一篇文章 中《巴罗的“论李嘉图等价定理”》
李嘉图等价定理也被称为“巴罗——李嘉图税收与 公债等价定理”
返回
巴罗——李嘉图税收与公债等价定理
一、思想起源 李嘉图认为：税收和公债都是来自一国的生产性劳 动。如果为了筹集一年的战争经费，用发行公债 的方式征集2000万英镑，实际上是国家的生产资 本少了2000万英镑。每年付的利息100万英镑是由 纳税人手中转移到了公债债权人手中。政府还可 以通过征税的方式一次征收到2000万英镑，同样 是国家的生产性资本少了2000万英镑
巴罗——李嘉图税收与公债等价定理
三、李嘉图等价定理的政策含义 帕廷金（patinkin,D ）在其著作《货币、利息和价 格》中指出： 1、若公债不被视为财富，举债和征税就是一样的， 不会引起人们消费水平的变化；
2、若发行的公债中有比重为K的部分被视为财富， 公众会因为总财富的增加而增加当前和未来的消 费
征税还是借债
一、英法战争中的公债与税收选择问题 19世纪初的英法战争中，如何筹集战争经费 是当时的一个争论的问题。 马尔萨斯认为发行公债产生的负效应比税收 要少： 1、征税会减少消费需求，导致需求不足 2、发行公债不会大幅度减少消费
征税还是借债
二、李嘉图的公债理论
无论是以征税的方式来筹集军费，还是发行公债的 方式，效应是等价的。 借债会刺激政府的浪费心理倾向，倾向于征税而反 对举债
巴罗——李嘉图税收与公债等价定理
说明： 1、现在用公债来代替一次总额税100元，期限1年， 公债利率5% 2、政府在第二年必须对纳税人征收105元 问题是：面临这种变化对消费者的行为的影响怎样？
1、信息对称，消费者是理性的
2、消费者预期到第二年的税收，现在就开始储蓄
3、消费者行为不会因为征税或发行公债而43; G2-T2
设t1时期的债务要在t2全部偿还，即D2=0 返回
巴罗——李嘉图税收与公债等价定理
可得：T1+T2/（1+r）=G1+G2/(1+r)
表明征税税收的现值必须等于政府支出的现值
假设，在t1时期，政府减少征税△T，并通过等额的公 债来弥补，在t2时期，政府必须增加（1+r）△T的税 收来偿债。 使得消费在t1时期的Y1增加了△T，在t2时期的消费减 少到Y2-（1+r）△T