因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下:
因式分解的一般方法及考虑顺序:
1、基本方法:提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法.
2、常用方法与技巧:换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法.
3、考虑顺序:(1)提公因式法;(2)公式法;(3)十字相乘法;(4)分组分解法.
一、运用公式法
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)a2-b2=(a+b)(a-b);
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
下面再补充几个常用的公式:
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);
(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+?+ab n-2+b n-1),其中n为正整数;
(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-?+ab n-2-b n-1),其中n为偶数;
(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-?-ab n-2+b n-1),其中n为奇数.
运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.
例题1分解因式:
(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4;
(2)x3-8y3-z3-6xyz;
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;
(4)a7-a5b2+a2b5-b7.
例题2例题3分解因式:a3+b3+c3-3abc.
分解因式:x15+x14+x13+?+x2+x+1.
对应练习题分解因式:(1)x2n x n1y21;
94 (2)x10+x5-2
42233223
2
(3)x 2xy4xy 4xy y(4x y)
(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5
2222
(5)9(a-b)+12(a-b)+4(a+b)
(6)(a-b)2-4(a-b-1)
(7)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1
二、分组分解法
(一)分组后能直接提公因式
例题1分解因式:am an bm bn
分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,
后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键:分组后,每组内
可以提公因式,且各组分解后,组与组之间又有公因式可以提.
例题2分解因式:2ax 10ay 5by bx
对应练习题分解因式:
1、a2ab ac bc
2、xy x y1
(二)分组后能直接运用公式
例题3分解因式:x2y2ax ay
例题4分解因式:a22ab b2c2
对应练习题分解因式:
3、x2x 9y23y
4、x2y2z22yz
综合练习题 分解因式:
(1)x 3
x 2y xy 2 y 3 (2)ax 2 bx 2 bx ax a b
(3)x 2
6xy 9y 2 16a 2 8a 1
(4)a 2
6ab 12b
9b 2
4a
(5)a 4
2a 3 a 2 9 (6)4a 2x 4a 2y b 2x b 2y
(7)x 2
2xy xz yz y 2
(8)a 2
2a b 22b2ab1
(9)y(y
2) (m 1)(m 1) (10)(a c)(a c) b(b 2a)
(11)a 2(b
c) b 2(a c) c 2(a
b) 2abc
(12)a 4 2a 3b 3a 2b 2 2ab 3 b 4.
(13)(ax
by)2 (ay bx)2 (14)xyz(x 3 y 3 z 3) y 3z 3 z 3x 3 x 3y 3
(15)x 4
ax 2
xa
2
a
3 2
2
(
)x
3x(a2)x2a
16
(17)(x
1)3 (x 3)3 4(3x 5)
三、十字相乘法
1、十字相乘法
(一)二次项系数为 1的二次三项式
直接利用公式——
x 2 (p
q)x
pq (x p)(x q)进行分解.
特点:(1)二次项系数是
1;
( 2)常数项是两个数的乘积;
( 3)一次项系数是常数项的两因数的和.
例题1
分解因式: x 2
5x 6
例题2
分解因式: x 2
7x 6
对应练习题 分解因式:
(1)x 2
14x 24
(2)a 2
15a 36
(3)x 2
4x 5
(4)x 2
x 2
(5)y 2
2y 15
(6)x 2
10x 24
(二)二次项系数不为 1的二次三项式—— ax 2 bx c
条件:(1)a
a 1a 2
a 1 c 1 (2)cc 1c 2
a 2 c 2 (3)ba 1c 2
a 2c 1
ba 1c 2
a 2c 1
分解结果:ax
2
bx
c
=(a 1x
c 1)(a 2xc 2)
例题3分解因式:
3x 2
11x
10
对应练习题 分解因式:
(1)5x 2
7x 6
(2)3x
2
7x2
(3)10 x
2
17 x
3
2
()
6y11y10
4
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例题4分解因式:a28ab128b2
分析:将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解.
18b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
对应练习题分解因式:
(1)x23xy 2y2(2)m26mn 8n2(3)a2ab6b2
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
例题5分解因式:2x27xy6y2例题6分解因式:x2y23xy2
对应练习题分解因式:
(1)27xy4y2()22
15x
ax6ax8
2
综合练习题分解因式:
(1)8x67x31(2)12x211xy15y2
(3)(x y)23(x y) 10(4)(a b)24a 4b3
(5)x2y25x2y 6x2(6)m24mn 4n23m 6n2
(7)x24xy 4y22x 4y 3(8)5(a b)223(a2b2) 10(a b)2(9)4x24xy 6x 3y y210(10)12(x y)211(x2y2) 2(x y)2思考:分解因式:abcx2(a2b2c2)x abc
2、双十字相乘法
定义:双十字相乘法用于对Ax2Bxy Cy2Dx Ey F型多项式的分解因式.
条件:(1)A a1a2,C c1c2,F f1f2
(2)a1c2a2c1B,c1f2c2f1E,a1f2a2f1D
即:a1c1f1
a2c2f2
a1c2a2c1B,c1f2c2f1E,a1f2a2f1D
则Ax2BxyCy2Dx Ey F(a1x c1y f1)(a2x c2y f2)
例题7分解因式:(1)x23xy10y2x9y2
(2)x2xy6y2x13y6
解:(1)x23xy10y2x9y2
应用双十字相乘法:x5y2
x2y1
2xy5xy3xy,5y4y9y,x2x x
∴原式=(x5y2)(x2y1)
(2)x2xy6y2x13y6
应用双十字相乘法:x2y3
x3y2
3xy2xy xy,4y9y13y,2x3x x
∴原式=(x2y3)(x3y2)
对应练习题分解因式:
(1)x2xy 2y2x 7y 6(2)6x27xy 3y2xz 7yz 2z2
3、十字相乘法进阶
例题8分解因式:y(y 1)(x21) x(2y22y1)
例题9分解因式:ab(x2y2) (a2b2)(xy 1) (a2b2)(x y)
四、主元法
例题分解因式:x23xy 10y2x 9y2
对应练习题分解因式:
(1)x2xy 6y2x 13y 6(2)x2xy 2y2x 7y6 (3)6x27xy 3y2x 7y 2(4)a2ab 6b25a 35b 36
五、换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰.
例题1分解因式:(x2+x+1)(x2+x+2)-12.
例题2分解因式:(x24x 8)23x(x24x 8) 2x2
例题3分解因式:(x 1)(x 1)(x 3)(x 5)9
分析:型如abcd e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.
例题4分解因式:(x27x 6)(x2x 6)56.
例题5分解因式:(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.
例题6
2222
分解因式:4(3x x1)(x2x3)(4xx4)
提示:可设3x2x1A,x22x3B,则4x2x4AB.
例题7分解因式:x628x327
例题8分解因式:(a b)4(a b)4(a2b2)2
例题9分解因式:(y 1)4(y 3)4272
例题9对应练习分解因式:a444(a4)4
例题10分解因式:(x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2).
分析:本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样
的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法
分解因式.
例题11分解因式:2x4x36x2x2
分析:此多项式的特点——是关于x的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”.
方法:提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法.
例题11对应练习
43
-36x
2
-7x+6.分解因式:6x+7x
例题11对应练习分解因式:x44x3x24x1
对应练习题分解因式:
(1)x4+7x3+14x2+7x+1
(2)x42x3x2 1 2(x x2)
(3)2005x2(200521)x2005
(4)(x1)(x 2)(x 3)(x 6)x2
(5)(x1)(x3)(x5)(x7)15
(6)(a1)(a2)(a3)(a4)24
(7)(2a 5)(a29)(2a 7) 91
(8)(x+3)(x2-1)(x+5)-20
(9)(a21)2(a25)24(a23)2
(10)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1
(11)(a 2b c)3(a b)3(b c)3
(12)
xy(xy1)(xy3)2(xy12
)(x y1)
2
(13)(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2
六、添项、拆项、配方法
因式分解是多项式乘法的逆运算.
在多项式乘法运算时, 整理、化简常将几个同类项合
并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.
在对某些多项式分解因式时,
需要
恢复那些被合并或相互抵消的项, 即把多项式中的某一项拆成两项或多项,
或者在多项式中
添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、 添项的目的是使多项式能
用分组分解法进行因式分解.
说明 用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的
是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种.
例题1
分解因式:x 3-9x+8.
例题2
分解因式:
(1)x 9+x 6+x 3-3;
(2)(m 2-1)(n 2-1)+4mn ; (3)(x+1)4+(x 2-1)2+(x -1)4; (4)a 3b -ab 3+a 2+b 2+1.
对应练习题
分解因式:
(1)x 3 3x 2 4
(2)x 2
2(a b)x 3a 2 10ab 3b 2
(3)x 4 7x 2 1
(4)x 4
x 2
2ax
1a 2
(5)
4
4
4
2 2
2 2 2 2 4
4
4
x
y
(xy)
()2ab
2ac
2bc
a
b c
6
(7)x 3+3x 2-4
(8)x 4-11x 2y 2+y 2
(9)x 3+9x 2+26x+24 (10)x 4-12x+323
(11)x 4+x 2+1;
(12)x 3-11x +20;
(13)a 5+a +1
(14)x 2
y 2
4x6y5
(15)(1
a 2)(1
b 2)
4ab
七、待定系数法
例题1分解因式:x2xy 6y2x 13y6
分析:原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y),则原多项式必定可分为(x3y m)(x2y n)
对应练习题分解因式:
(1)6x27xy 3y2x 7y 2(2)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20
(3)x23xy 10y2x 9y 2(4)x23xy 2y25x 7y6
例题2(1)当m为何值时,多项式x2y2mx5y6能分解因式,并分解此多项式.
(2)如果x3ax2bx8有两个因式为x1和x2,求a b的值.
(3)已知:x22xy3y26x14y p能分解成两个一次因式之积,求常数p并且分解因式.
(4)k为何值时,x22xy ky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式.
八、余式定理(试根法)
1、f x 的意义:已知多项式
fx ,若把x 用c 带入所得到的值,即称为 fx 在x =c 的
多项式值,用 fc 表示.
2、被除式、除式、商式、余式之间的关系:设多项式
fx 除以gx 所得的商式为 qx ,
余式为rx ,则:f
x =gx ×qx +rx
b
3、余式定理:多项式 f (x)除以x b 之余式为 f(b);多项式f(x)除以ax
b 之余式f( ).
a
例如:当 f(x)=x 2+x+2除以 (x –1)时,则余数=f(1)=12+1+2=4.
当f(x)9x
2
6x 7除以 (3x1)时,则余数=f(
1
)9
( 1)2 6
(1
)78.
3
3
3
4 a,bR , a0
, f(x) 为关于x 的多项式,则 xb
为
f(x)
的因式
、因式定理:设
f(b)
0;ax
b 为f(x)的因式
f(
b 0.
)
a
整系数一次因式检验法:
设f(x)=c n x n c n 1x n1
c 1xc 0 为整系数多项式,若ax –b 为f(x)之因式(其中a,b
为整数,a 0,且a,b 互质),则
(1)ac n ,
bc 0
(2)(a –b)f(1), (a b)f( 1)
例题1设f(x)
3x 3
2x 2 19x 6,试问下列何者是
f(x)的因式?
(1)2x –1,(2)x –2,(3)3x –1,(4)4x +1,(5)x –1,(6)3x –4
例题2
把下列多项式分解因式:
(1) x 35x4
(2) x 3
4x 2
x 6
(3) 3x 3
5x 2 4x 2
(4)x 4 9x 3 25x 2
27x10
(5)x 4
5x 3 1x 2 1x 1
6
2
2
3
课后作业
分解因式:
(1)x4+4
(2)4x3-31x+15
(3)3x3-7x+10
(4)x3-41x+30
(5)x3+4x2-9
(6)x3+5x2-18
(7)x3+6x2+11x+6
(8)x3-3x2+3x+7
(9)x3-11x2+31x-21
(10)x4+1987x2+1986x+1987
(11)x41998x21999x1998
(12)x41996x21995x1996
(13)x3+3x2y+3xy2+2y3
3223
(1412)x-9ax+27ax-26a
(15)4(x5)(x6)(x10)(x12)3x2
(16)(x26x8)(x214x48)12
(17)(x2x4)28x(x2x4)15x2
(18)2(x26x1)25(x26x1)(x21)2(x21)2(19)x4+x2y2+y4
4224
(20)x-23xy+y
(21)a3+b3+3(a2+b2)+3(a+b)+2
(22)a3b312ab64
(23)a3bab3a2b21.
(24)(ab)2(ab1)1
(25)x42(a2b2)x2(a2b2)2
(26)(aybx)3(axby)3(a3b3)(x3y3)
(27)x619x3y3216y6
(28)x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz
(29)3x510x48x33x210x8
因式分解的应用
1、证明:四个连续整数的的乘积加 1是整数的平方.
2、2n -1 和2n+1表示两个连续的奇数(n 是整数),证明这两个连续奇数的平方差能被 8整
除.
3、已知2 48
1可以被 60与70之间的两个整数整除,求这两个整数.
24
可被40 至50之间的两个整数整除,求这两个整数.
4、已知7-1
5、求证: 817
279 913能被45整除.
6
6、求证:14+1能被197整除.
7、设4x -y 为3的倍数,求证: 4x 2+7xy -2y 2能被9整除.
8、已知x 2 xy 2y 2
=7,求整数x 、y 的值.
9、求方程6xy
4x
9y 7 0的整数解.
10、求方程xy -x -y +1=3的整数解.
11、求方程 4x 2-4xy -3y 2
=5的整数解.
12、两个小朋友的年龄分别为 a 和b ,已知a 2+ab=99,则a=______,b=_______.
13、计算下列各题:
(1)23×3.14+5.9 ×31.4+180×0.314; 19953-2
19952-1993
(2)
.
19953+19952-1996
+ 1
+
1
+ 1
+
1 +
1
+
1
的
14、求积(1
1 )(1
4
)(1
)(1
4 )
(1
)(1
)
3
2 3
5 6
98 100
99 101
整数部分?
15、解方程:(x 2+4x)2-2(x 2+4x)-15=0
2 2 2 2
16、已知ac +bd=0,则ab(c +d)+cd(a +b)的值等于___________.
17、已知a -b=3,a -c=3 26,求(c —b)[(a -b)2+(a -c)(a -b)+(a -c)2
]的值.
18、已知x 2
x 1 0,求x 8
x 4
1的值.
19、若x 满足x 5 x 4 x
1 ,计算x 1998
x 1999
x 2004.
20、已知三角形的三边
a 、
b 、
c 满足等式a 3
b 3
c 3
3abc ,证明这个三角形是等边三
角形.
浙教版七年级下《第4章因式分解》单元培优试题有答案-(数学)
浙教版七下数学第4章《因式分解》单元培优测试题 班级_________ 姓名_____________ 得分_____________ 注意事项:本卷共有三大题23小题,满分120分,考试时间120分钟. 一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分) 下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的. 1﹒下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是() A﹒2x2+8x-1=2x(x+4)-1 B﹒(x+5)(x-2)=x2+3x-10 C﹒x2-8x+16=(x-4)2D﹒6ab=2a·3b 2﹒将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是() A﹒a2-1B﹒a2+a-2C﹒a2+a D﹒(a-2)2-2(a+2)+1 3﹒多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是() A﹒5mn B﹒5m2n2C﹒5m2n D﹒5mn2 4﹒下列因式分解正确的是() A﹒-a2-b2=(-a+b)(-a-b)B﹒x2+9=(x+3)2 C﹒1-4x2=(1+4x)(1-4x)D﹒a3-4a2=a2(a-4) 5﹒下列各式中,能用完全平方公式分解的是() C﹒9-6y+y2D﹒x2-2xy-A﹒a2-2ab+4b2B﹒4m2-m+1 4 y2 6﹒已知x,y为任意有理数,记M=x2+y2,N=2xy,则M与N的大小关系为()A﹒M>N B﹒M≥N C﹒M≤N D﹒不能确定 7﹒把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x-3),则a+b的值是()A﹒-5B﹒5C﹒1D﹒-1 8﹒已知x2-x-1=0,则代数式x3-2x+1的值为() A﹒-1B﹒1 C﹒-2D﹒2 9﹒如图,边长为a、b的长方形的周长为14,面积为10,
因式分解分类练习经典全面
因式分解练习题(提取公因式) 专项训练一:确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二:利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“-”,使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五:把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
精讲精练:因式分解方法分类总结-培优(含答案)
因式分解·提公因式法 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是: (1)当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。 (2)系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 (1)-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 (2)a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析:(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。 解:-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当n 为自然数时,() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121;,是在因式分解过 程中常用的因式变换。 解:a a b a b a ab b a ()()()-+---322 22 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程 例:计算1368 987 521136898745613689872681368987123? +?+?+? 分析:算式中每一项都含有987 1368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结 果。 解:原式)521456268123(1368987 +++?= =?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用 例:不解方程组23 532 x y x y +=-=-???,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的 值。 分析:不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2,观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果。 解 :
八年级数学上册 因式分解40题 培优练习卷(含答案)
2017-2018学年八年级数学上册因式分解培优练习卷 1、分解因式:6xy2-9x2y-y3. 2、分解因式:1-16y4. 3、分解因式:4+12(x-y)+9(x-y)2. 4、分解因式:(a-3)(a-5)+1. 5、分解因式:4(a-b)2-9(a+b)2. 6、分解因式:x3-4x2-45x. 7、分解因式:(a2+b2)2-4a2b2. 8、分解因式:(a+b)2-4b(a+b)+4b2. 9、分解因式:(m+n)2-4m(m+n)+4m2 10、分解因式:x4-y4 11、分解因式:(x+2)(x+4)+x2-4. 12、分解因式:(a+1)(a-1)-8. 13、分解因式:4x3y+4x2y2+xy3. 14、分解因式:4-12(x+y)+9(x+y)2. 15、分解因式:x2-2xy+y2-z2. 16、分解因式:36a2-(a2+9)2. 17、分解因式:2a2-8axy+8ay2. 18、分解因式:10b(x-y)2-5a(y-x)2; 19、分解因式:x2-2xy+y2-9. 20、分解因式:(x2+y2)2-4x2y2. 21、分解因式:(a 2+1)2-4a2 22、分解因式:(1-x2)(1-y2)-4xy. 23、分解因式:(x2+y2-z2)2-4x2y2. 24、分解因式:a2(x-2a)2+a(2a-x)3. 25、分解因式:(a+2b)2-10(a+2b)+25. 26、分解因式:x n+4-169x n+2 (n是自然数); 27、分解因式:9(2a+3b)2-4(3a-2b)2. 28、分解因式:9(m+n)2-4(m-n)2.
整式的加减乘除及因式分解中考总复习(知识点复习+中考真题题型分类练习)
整式的加减、乘除及因式分解 整式加减 一、知识点回顾 1、单项式:由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。补充:单独一个数或一个字母也是单项式,如a ,5……单项式系数和次数:系数:次数: 2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。在多项式中每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫常数项。多项式里次数最高项的次数,就是这个多项式的次数。例如,多项式3x-2最高的项就是一次项3x ,这个多项式的次数是1,它是一次二项式 4、整式的概念:单项式与多项式统称整式 二、整式的加减 1、同类项:所含字母相同,相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项,所有的常数项都是同类项。 合并同类项:把多项式中同类项合并在一起,叫做合并同类项。合并同类项时,把同类 项的系数相加,字母和字母的指数保持不变。 2、去括号的法则:如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号; 如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号. 3、整式加减的运算法则 (1)如果有括号,那么先去括号。 (2)如果有同类项,再合并同类项。 整式乘除及因式分解 一、幂的运算: 1、同底数幂的乘法法则:n m n m a a a +=?(n m ,都是正整数)同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 2、幂的乘方法则:mn n m a a =)((n m ,都是正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘。如:10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用:即m n n m m n a a a )()(== 如:23326)4()4(4== 3、积的乘方法则:n n n b a ab =)((n 是正整数)。积的乘方,等于各因数乘方的积。 4、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷(n m a ,,0≠都是正整数,且)n m 同底数幂相除,底数不变,指数相减。 5、零指数;10=a ,即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算:
因式分解培优练习题及答案
因式分解专题过关 1.将下列各式分解因式 22+8x+8 2x2)((1)3p﹣6pq 2.将下列各式分解因式 3322.﹣6a b+3ab2 ()3a )(1x y﹣xy .分解因式32 22222)﹣4x y)﹣)1()a(x﹣y+16(yx)(2(x+y 4.分解因式:22( 2 2x(1)﹣x )16x﹣1 3 2 2 2 ()yx+9yx4+12﹣﹣6xy3()9xyy4)(﹣)(﹣ 5.因式分解:2 223﹣2am1()8a y+xy+4x4x)2( .将下列各式分解因式:6. 322222 yx﹣+y4x)(2)(1()3x﹣12x 223 22 y﹣2xy)+y﹣2)(x+2y(7.因式分解:(1)xy 8.对下列代数式分解因式: 2(m﹣2)﹣n(2﹣m)(2)(x﹣1)((1)nx﹣3)+1
2222﹣ba2a+1 ﹣a10﹣4a+4﹣b.分解因式:.分解因式:9 11.把下列各式分解因式: 42422 a﹣2)x+2ax+1+x (x﹣7x +1 (1) 22242432+2x+1 x+3x+2x (4(1﹣y+x))(1﹣y)1+y(3)()2x﹣ 12.把下列各式分解因式: 32222224445+x+1;x ) b +2ac(+2bc3﹣a﹣b﹣c ;2a2 ;4x1()﹣31x+15 () 32432.a+2﹣6a﹣a﹣2a)5(;9﹣+3x+5xx)4(. 2﹣6pq=3p(p﹣2q1)3p),解答:解:(222.(x+2x)+4x+4),=2(2)2x+8x+8,=2( 2.将下列各式分解因式 3322.6a (2)3ab+3ab﹣(1)x y﹣xy 分析:(1)首先提取公因式xy,再利用平方差公式进行二次分解即可; (2)首先提取公因式3a,再利用完全平方公式进行二次分解即可. 2﹣1)=xy(x+1)(x﹣解:(1)原式=xy(x1);解答:222.﹣b))=3a((2)原式=3a(aa﹣2ab+b 3.分解因式 222222.)y﹣(2)(x4x+y﹣y)+16(y﹣x);(1)a (x 22﹣16),=(x﹣y)(a+4)(a﹣4()+16y﹣x),=(x﹣y)(a);解答:解:(1)a (x﹣y22222222222.)(x﹣2xy+y),﹣4x=y(,=(xx+y+2xy+y))((2)(xx+yy)﹣ 4.分解因式: 222232.)(x﹣y4+12(x﹣)6xyy﹣9x)y﹣y+9;(4(1)2x16x﹣x;(2))﹣1;(3 2﹣x=x(2x﹣1(1)2x);解答:解:2﹣1=(4x+1)(16x4x﹣1);(2)223222;﹣y),)=﹣yy,=﹣y(9x(﹣6xy+y(3)6xy3x﹣9xy﹣222.﹣3y+2),=(3x﹣y)﹣,=[2+3(xy)]((4)4+12x﹣y)+9(x 5.因式分解: 2322 y+xy+4x (2)4x (1)2am ﹣8a; 22﹣4)=2a(m+2)(8a=2a(mm﹣2);解答:解:(1)2am﹣322222.),=x4x,=x((+4xy+y (2)4x2x+y+4x)y+xy 6.将下列各式分解因式: 322222.y(x﹣+y4x)(2)(1)3x﹣12x 32)=3x(1+2x)(1﹣2x)1()3x﹣12x;=3x(1﹣4x 解答:解:22222222222.)y (x+y﹣﹣2xy)(x)+y)=﹣4x(y(=xx+y+yx+2xy)()(2
(完整版)因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下: 因式分解的一般方法及考虑顺序: 1、基本方法:提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法. 2、常用方法与技巧:换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法. 3、考虑顺序:(1)提公因式法;(2)公式法;(3)十字相乘法;(4)分组分解法. 一、运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如: (1)a2-b2=(a+b)(a-b); (2)a2±2ab+b2=(a±b)2; (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca); (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1),其中n为正整数; (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1),其中n为偶数; (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1),其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例题1 分解因式: (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4; (2)x3-8y3-z3-6xyz; (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; (4)a7-a5b2+a2b5-b7.
新浙教版数学七年级(下册)第四章《因式分解》培优题
新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题 一.选择题(共6小题) 1.下列各式,能直接运用完全平方公式进行因式分解的是() A.4x2+8x+1 B.x2y2﹣xy+1 C.x2﹣4x+16 D.x2﹣6xy﹣9y2 2.已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积,则整数a的个数有() A.0 B.2 C.4 D.6 3.任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式,我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q(p≤q)称为正整数n的最佳分解,并定义一个新运算.例如:12=1×12=2×6=3×4,则. 那么以下结论中:①;②;③若n是一个完全平方数,则F(n)=1;④若n是一个完全立方数(即n=a3,a是正整数),则.正确的个数为() A.1个B.2个C.3个D.4个 4.已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值时,可以设另一个因式为x+n,则x2﹣4x+m=(x+3)(x+n). 即x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n. ∴解得,n=﹣7,m=﹣21, ∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21. 类似地,二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5,则它的另一个因式以及k 的值为() A.x﹣1,5 B.x+4,20 C.x,D.x+4,﹣4 5.现有一列式子:①552﹣452;②5552﹣4452;③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为() A.1.1111111×1016B.1.1111111×1027 C.1.111111×1056D.1.1111111×1017
6.设a、b、c是三角形的三边长,且a2+b2+c2=ab+bc+ca,关于此三角形的形状有以下判断:①是等腰三角形;②是等边三角形;③是锐角三角形;④是斜三角形.其中正确的说法的个数是() A.4个B.3个C.2个D.1个 二.填空题(共7小题) 7.已知x+y=10,xy=16,则x2y+xy2的值为. 8.两位同学将一个二次三项式分解因式,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x﹣1)(x﹣9);另一位同学因看错了常数项分解成2(x﹣2)(x﹣4),请你将原多项式因式分解正确的结果写出来:. 9.2m+2007+2m+1(m是正整数)的个位数字是. 10.若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式,则m的值是. 11.若a+b=5,ab=,则a2﹣b2= . 12.定义运算a★b=(1﹣a)b,下面给出了关于这种运算的四个结论: ①2★(﹣2)=3 ②a★b=b★a ③若a+b=0,则(a★a)+(b★b)=2ab ④若a★b=0,则a=1或b=0. 其中正确结论的序号是(填上你认为正确的所有结论的序号). 13.若m2=n+2,n2=m+2(m≠n),则m3﹣2mn+n3的值为.
培优专题3_用分组分解法进行因式分解(含答案)
3、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式,或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当,而在分组时,必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”,分析多项式的特点,恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解,不仅可以考察提公因式法,公式法,同时它在代数式的化简,求值及一元二次方程,函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式,所得的结果为( ) A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析:先去括号,合并同类项,然后分组搭配,继续用公式法分解彻底。 解:原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析:这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;此题也可把x x 54-,x x x 321--和分别看作一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。 解法1: 原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2:
因式分解题型分类解析
因式分解 一、因式分解的概念: 因式分解(分解因式):把一个多项式化为几个整式()的形式。 二、因式分解的方法: 1、提公因式法: (1)公因式的构成一般情况下有三部分: ①系数一各项系数的最大公约数; ②字母——各项含有的相同字母; ③指数——相同字母的最低次数; (2)提公因式法的步骤: 第一步是找出公因式; 第二步是提取公因式并确定另一因式。 (3)注意:①提取完公因式后,看另一个因式的项数与原多项式的项数是否一致,可用来检验是否漏项; ②提取公因式后各因式应该是最简形式,即分解到“底”; ③如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的。 2、公式法: 运用公式法分解因式的实质是:把整式中的乘法公式反过来使用; 常用的公式: ①平方差公式: a2-b2= ②完全平方公式: a2+2ab+b2= a2-2ab+b2= 3、十字相乘法:x2+(a+b)x+ab= 特点:(1)二次项系数是1; (2)常数项是两个数的乘积; (3)一次项系数是常数项的两因数的和。
一、按知识点: 题型一: 概念的理解: 例1、下列由左到右的变形,哪些是因式分解?哪些不是?请说出理由。 (1)、()ay ax y x a +=+ (2)、()()()1121222-+++=-++y y y x x y xy x (3)、)3)(3(92-+=-x x a a ax (4)、2 22 )1(12x x x x +=++ (5)、a a a a ??=223 例3、下列各式中能用平方差公式分解因式的是( ) ①2 2 b a -- ②2 242b a - ③42 2--y x ④192 2+-b a ⑤ 22)()(x y y x -+- ⑥14-x
因式分解培优专题
把下列各式因式分解 2 m2 m 1 a x abx a(a b)3 2a 2(b m m3 acx ax a)2 2ab(b a) (1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“一”号,使括号内的第 2.利用提公因式法简化计算过程 例? 计算 987 987 例:计算123 268 - 1368 1368 分析:算式中每一项都含有 竺 1368 987 521 1368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。 456 987 1368 解: 说明:在用提公因式法分解因式前,必须对原式进行变形得到公因式,同时一定要 注意符号,提取公因式后,剩下的因式应注意化简。 举一反三: 1、分解因式: (1) 4m 2n 3 12m 3n 22mn 3. 在多项式恒等变形中的应用 例:不解方程组 2x y 3 , 5x 3y 2 求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值。 (2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数) 初三数学因式分解培优专题(一) 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括 号外面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配 律。多项式的公因式的确定方法是: (1) 当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幕。 (2) 系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解 析】 1. (1) (2) 分析: 分析:不要求解方程组,我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体,它们的值分别是 3 和2,观察代数式,发现每一项都含有2x y ,利用提公因式法把代数式恒等变形, 化为含有2x y 和5x 3y 的式子,即可求出结果。 解: 4. 在代数证明题中的应用 例:证明:对于任意自然数 n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。 分析:首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是 10的倍数 即可。 解: 一项系数是正数,在提出“―”号后,多项式的各项都要变号。 解: (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当 n 为自 然数时,(a b)2n (b a)2n ; (a b)2n 1 (b a)2n 1,是在因式分解过程中 常用的因式变换。 解: 5、中考点拨: 例1。因式分解3x(x 2) (2 x) 解: 说明:因式分解时,应先观察有没有公因式,若没有,看是否能通过变形转换得 到。 例 2 .分解因式:4q(1 p)3 2( p 1)2 解:
最新整式乘除与因式分解培优精练专题答案
整式乘除与因式分解培优精练专题答案 一.选择题(共9小题) 222 2.(2014?盘锦)计算(2a2)3?a正确的结果是() 7776 可. 解:原式= =4a7, 故选:B. 22 .3D.2 故选:B. 4.(2014?拱墅区二模)如果ax2+2x+=(2x+)2+m,则a,m的值分别是() A.2,0 B.4,0 C. 2,D. 4, 运用完全平方公式把等号右边展开,然后根据对应项的系数相等列式求解即可.解:∵ax2+2x+=4x2+2x++m, ∴, 解得.
5.(2014?江阴市模拟)如图,设(a>b>0),则有() A.B.C.1<k<2 D.k>2 解:甲图中阴影部分的面积=a2﹣b2,乙图中阴影部分的面积=a(a﹣b), =, ∵a>b>0, ∴, ∴1<k<2. 故选:C. 6.(2012?鄂州三月调考)已知,则的值为()A.B.C.D.无法确定 解:∵a+=, ∴两边平方得:(a+)2=10, 展开得:a2+2a?+=10, ∴a2+=10﹣2=8, ∴(a﹣)2=a2﹣2a?+=a2+﹣2=8﹣2=6, ∴a﹣=±,
7.已知,则代数式的值等于() A.B.C.D. 分析: 先判断a是正数,然后利用完全平方公式把两边平方并整理成的平方的形式,开方即可求解. 解:∵, ∴a>0,且﹣2+a2=1, ∴+2+a2=5, 即(+|a|)2=5, 开平方得,+|a|=. 故选C. 8.(2012?滨州)求1+2+2+2+…+2的值,可令S=1+2+2+2+…+2,则 2S=2+22+23+24+…+22013,因此2S﹣S=22013﹣1.仿照以上推理,计算出1+5+52+53+…+52012 .D. 根据题目提供的信息,设S=1+5+5+5+…+5,用5S﹣S整理即可得解. 解:设S=1+5+52+53+...+52012,则5S=5+52+53+54+ (52013) 因此,5S﹣S=52013﹣1, S=. 故选C. 9.(2004?郑州)已知a=x+20,b=x+19,c=x+21,那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc A.4B.3C.2D.1
因式分解分类练习题(经典全面)
因式分解练习题(提取公因式) 平昌县得胜中学 任 璟(编) 专项训练一:确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2 155a a + 5、2 2 x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二:利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“-”,使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五:把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---
因式分解培优专题(一)
初三数学因式分解培优专题(一) 一、用提公因式法把多项式进行因式分解 【知识精读】 如果多项式的各项有公因式,根据乘法分配律的逆运算,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是: (1)当多项式有相同字母时,取相同字母的最低次幂。 (2)系数和各项系数的最大公约数,公因式可以是数、单项式,也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1. 把下列各式因式分解 (1)-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 (2)a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 分析:(1)若多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号。 解: (2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式,如:当n 为自然数时,()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121;,是在因式分解过程中常用的因式变换。 解: 2. 利用提公因式法简化计算过程 例:计算1368 9875211368 9874561368 9872681368 987123?+?+?+? 分析:算式中每一项都含有9871368 ,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果。 解: 3. 在多项式恒等变形中的应用 例:不解方程组23 532 x y x y +=-=-???,求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。 分析:不要求解方程组,我们可以把2x y +和53x y -看成整体,它们的值分别是3和-2,观察代数式,发现每一项都含有2x y +,利用提公因式法把代数式恒等变形,化为含有2x y +和53x y -的式子,即可求出结果。 解: 4. 在代数证明题中的应用 例:证明:对于任意自然数n ,323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。 分析:首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 解:
初中因式分解典型例题汇总(附答案)
初中因式分解典型例题汇总 例 1 多项式x +ax+b因式分解为(x+1)(x-2),求a+b的值. 分析 根据因式分解的概念可知因式分解是一种恒等变形,而恒等式 中的对应项系数是相等的,从而可以求出 a 和 b,于是问题便得到解 决. 解
2 2
由题意得:x +ax+b=(x+1)(x-2),所以
2
2
x +ax+b=x -x-2, 从而得出 a=-1,b=-2, 所以 a+b=(-1)+(-2)=-3. 点评 “恒等式中的对应项系数相等”这一知识是求待定系数的一种 重要方法. 例2 分析 解 点评 因式分解 6a b+4ab -2ab. 此多项式的各项都有因式 2ab,提取 2ab 即可. 6a b+4ab -2ab=2ab(3a+2b-1). 用“提公因式法”分解因式,操作时应注意这样几个问题:首
2 2 2 2
先, 所提公因式应是各项系数的最大公约数与相同字母最低次幂的乘 积,即提取的公因式应是多项式各项的最高公因式,否则达不到因式 分解的要求;其次,用“提公因式法”分解因式,所得结果应是:最 高公因式与原多项式各项分别除以最高公因式所得商式的乘积. 如果 原多项式中的某一项恰是最高公因式,则商式为 1,这个 1 千万不能
丢掉. 本例题中,各项的公因式有 2,a,b,2a,2b,ab,2ab等.其中 2ab 是它们的最高公因式,故提取 2ab.作为因式分解后的一个因式,另 一个因式则是分别用 6a b,4ab 和-2ab除以 2ab所得的商式代数和, 其中-2ab÷2ab=-1,这个-1 不能丢. 例3 分析 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y. 将-x-y 变形为-(x+y),于是多项式中各项都有公因式 x+y,提
2 2
取 x+y 即可. 解 m(x+y)+n(x+y)-x-y
=m(x+y)+n(x+y)-(x+y) =(x+y)(m+n-1). 点评 例4 分析
3
注意添、去括号法则. 因式分解 64x -1. 64x 可变形为(8x ) ,或变形为(4x ) ,而 1 既可看作 1 ,也可
6 3 2 2 3 2 6
看作 1 ,这样,本题可先用平方差公式分解,也可先用立方差公式分 解. 解
6
方法一
3 2
64x -1=(8x ) -1 =(8x +1)(8x -1) =[(2x) +1][(2x) -1] =(2x+1)(4x -2x+1)(2x-1)(4x +2x+1) 方法二
2 2 3 3 3 3
七年级数学因式分解培优试题
1.若442-+x x 的值为0,则51232-+x x 的值是________。 2.若6,422=+=+y x y x 则=xy ____________ . 设z x y 23+=,求xz z y x 449222++-的值是________. 3.已知2=+b a ,求)(8)(22222b a b a +--的值.______________ 4.若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____, 若 051294422=+-+-y y x x , 求 的值_________. 5.若7,9x y xy +=-=-,求 x y -的值。______ 6.因式分解: (1).提公因式法: a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 2883223x y x y xy ++= -2x 5n-1y n +4x 3n-1y n+2-2x n-1y n+4 (2).公式法: 22414y xy x +-- yz z y x z y x 4))((-+--+ a 2-4b 2-4c 2 -8bc (3).分组分解法: = --+124323x x x a 2-c 2+2ab+b 2-d 2-2cd (4).添项拆项法 x 3-3x+2 x 4+4 2x 2 +x-1 x 4+x 2+1 x 4-7x 2+1 x 3+2x 2+2x+1 ---=++--=+--332222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a )分解因式:()分解因式:()分解因式:(---= ++--= +--3 32222)1(1344422331n m m n m n y y xy x x b b a a )分解因式:()分解因式:()分解因式:(1 4)1(222+-+-n mn n m y x 3 26+
因式分解题型分类
《因式分解》知识演练 分解因式【考点演练】 1、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为 1、bx ax b a x -=-)( 2、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- 3、)1)(1(12-+=-x x x 4、c b a x c bx ax ++=++)( 5、12a 2b =3a ·4ab 6、(x +3)(x -3)=x 2-9 7、4x 2+8x -1=4x (x +2)-1 8、2 1ax -2 1ay =21a (x -y ) 9、(a +3)(a -3)=a 2-9 10、x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 11、x 2+1=x (x +x 1 ) 12、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 2、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+,那么这个多项式是( ) A 、46-b B 、64b - C 、46+b D 、46--b 3、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ,则c b ,的值为( ) A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b 4、若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则 5、若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式,则k=_________. 提公因式法【考点演练】 1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。 2、将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时,应提取的公因式是( ) A 、ab 3- B 、223b a - C 、b a 23- D 、333b a - 3、下列各式分解正确的是( ) A 、)34(391222xy xyz y x xyz -=- B 、)1(333322+-=+-a a y y ay y a C 、)(2z y x x xz xy x -+-=-+- D 、)5(522a a b b ab b a +=-+ 4、下列各式的因式分解中正确的是( ) A 、 -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 、9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 、3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 、 21xy 2+21x 2y =2 1 xy (x +y ) 5、下列各式从左到右的变形错误的是( ) A 、 22)()(y x x y -=- B 、)(b a b a +-=-- C 、33)()(a b b a --=- D 、)(n m n m +-=+- 6、m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于( ) A 、(a -2)(m 2+m ) B 、(a -2)(m 2-m ) C 、 m (a -2)(m -1) D 、m (a -2)(m+1)
因式分解提高培优
一、选择题 1.如果))((2 b x a x q px x ++=+-,那么p 等于 ( ) A .ab B .a +b C .-ab D .-(a +b ) 2.如果305)(22--=+++?x x b x b a x ,则b 为 ( ) A .5 B .-6 C .-5 D .6 3.多项式a x x +-32可分解为(x -5)(x -b ),则a ,b 的值分别为 ( ) A .10和-2 B .-10和2 C .10和2 D .-10和-2 4.不能用十字相乘法分解的是 ( ) A .22-+x x B .x x x 310322+- C .242++x x D .22865y xy x -- 5.分解结果等于(x +y -4)(2x +2y -5)的多项式是 ( ) A .20)(13)(22++-+y x y x B .20)(13)22(2++-+y x y x C .20)(13)(22++++y x y x D .20)(9)(22++-+y x y x 6.将下述多项式分解后,有相同因式x -1的多项式有 ( ) ①672+-x x ; ②1232-+x x ; ③652-+x x ; ④9542--x x ; ⑤823152+-x x ; ⑥121124-+x x A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 二、填空题 7.=-+1032x x __________. 8.=--652m m (m +a )(m +b ). a =__________, b =__________. 9.=--3522 x x (x -3)(__________). 10.+2x ____=-22y (x -y )(__________). 11.22 ____)(____(_____)+=++a m n a . 12.当k =______时,多项式k x x -+732有一个因式为(__________). 13.若x -y =6,3617=xy ,则代数式32232xy y x y x +-的值为__________. 三、解答题 14.把下列各式分解因式: (1)6724+-x x ; (2)3652 4--x x ; (3)422416654y y x x +-; (4)633687b b a a --; (5)234456a a a --; (6)4 22469374b a b a a +-. 15.把下列各式分解因式: (1)2224)3(x x --; (2)9)2(22--x x ; (3)2222)332()123(++-++x x x x ; (4)60)(17)(222++-+x x x x ; (5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ; (6)48)2(14)2(2++-+b a b a . 16.把下列各式分解因式: (1)b a ax x b a +++-2)(2; (2)))(()(222q p q p pq x q p x -+++-; (3)81023222-++--y x y xy x ; (4)310434422-+---y x y xy x ; (5)120)127)(23(22-++++x x x x ; (6)4222212)2)((y y xy x y xy x -++++. 17.已知6019722 3+--x x x 有因式2x -5,把它分解因式. 18.已知x +y =2,xy =a +4,2633=+y x ,求a 的值.