高数同济第三版D1_6连续性间断点
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高数第一章函数的连续性与间断点
2
当 a＝ 1
2
时 f ( x） 在x
2
处连续
11
二、连续函数及运算法则
定义4
y f x x [a, b] 若 f x 在a, b 内连续，
且 f a f (a), f b f (b) 存在，则称
f x 在[a, b] 上连续， 称区间 [a, b] 为 f x 的连续区间。
高等数学
第九讲
主讲教师:
王升瑞
1
第八节 函数的连续与间断
一、 函数在一点的连续性 二、 连续函数及运算法则 三、 初等函数的连续性 四、 函数的间断点
第一章
五、 闭区间上连续函数的性质
2
客观世界处在不断的变化中，这些变化有的是渐变，
有的是突变。反映到数学上就产生了连续和间断的概念。 从几何上直观来理解函数的连续性的意义，通常
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 在其定义域内连续
定理2. 连续单调递增 (递减) 函数的反函数 也连续单
调递增 (递减).
(证明略)
例如, y sin x 在
上连续单调递增，
14
其反函数 y arcsin x 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增.
又如,
其反函数
在
在
上连续 单调 递增,
则在 x 1 处间断。
y
x 1 f x 作新函数 F x x 1 o 1 2 x x2 1 x 1 F x x 1 在 x 1处的连续性。 2 x 1 25
例9 讨论函数 解
间断点的类型.
x 1, 2 为间断点
lim f x lim x 1 2 x1 x 1 x 2
大一上学期同济版高数第一章连续性间断点
2 nx
有 因而
x x < 0 f ( x) = 0 x = 0 x2 x > 0
x→ 0 x→ 0
lim f ( x) = lim f ( x) = 0 = f (0) − +
∴ f ( x) 在(−∞,+∞)内 续 连
20
内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
若其中有一个为 ∞, 称
若其中有一个为振荡 , 称
x0 为振荡间断点 . 振荡间断点
14
例如: 例如 (1)
x , x ≠1 y = f (x) = 1 2 , x =1
x→ 1
y
1
1 2
显然 lim f (x) =1≠ f (1 )
x =1为其可去间断点 .
x −1, x < 0 (2) y = f (x) = 0 , x = 0 x +1, x > 0
∆y = 2
∆x sin 2 ∆x cos( x + 2 )
= ∆x
即 这说明 同样可证: 函数 在 在
∆x →0
0
内连续 . 内连续 .
7
( 定义2 定义2 y = f ( x) x∈[a,b]若 f ( x) 在 a,b) 内连续，
且
f ( x) 在 a,b] 上连续， [ 称区间 [a,b] 为 f ( x) 的 续 间 连 区 。
2
函数的增量: 函数的增量
始 到 值 u2 u 设变量u 初 值u1 变 终 u2，－ 1 从
就称为变量 u 在u1 的增量，通常用符号 ∆u 表示，
> 0 u1 < u2 即∆u = u2－u1 < 0 u1 > u2
有 因而
x x < 0 f ( x) = 0 x = 0 x2 x > 0
x→ 0 x→ 0
lim f ( x) = lim f ( x) = 0 = f (0) − +
∴ f ( x) 在(−∞,+∞)内 续 连
20
内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
若其中有一个为 ∞, 称
若其中有一个为振荡 , 称
x0 为振荡间断点 . 振荡间断点
14
例如: 例如 (1)
x , x ≠1 y = f (x) = 1 2 , x =1
x→ 1
y
1
1 2
显然 lim f (x) =1≠ f (1 )
x =1为其可去间断点 .
x −1, x < 0 (2) y = f (x) = 0 , x = 0 x +1, x > 0
∆y = 2
∆x sin 2 ∆x cos( x + 2 )
= ∆x
即 这说明 同样可证: 函数 在 在
∆x →0
0
内连续 . 内连续 .
7
( 定义2 定义2 y = f ( x) x∈[a,b]若 f ( x) 在 a,b) 内连续，
且
f ( x) 在 a,b] 上连续， [ 称区间 [a,b] 为 f ( x) 的 续 间 连 区 。
2
函数的增量: 函数的增量
始 到 值 u2 u 设变量u 初 值u1 变 终 u2，－ 1 从
就称为变量 u 在u1 的增量，通常用符号 ∆u 表示，
> 0 u1 < u2 即∆u = u2－u1 < 0 u1 > u2
高等数学连续性间断点
绘制草图
通过绘制函数草图，可以直观地展示函数在间断点处的变化趋势和取值情况。
利用计算机软件
利用数学软件（如Mathematica、MATLAB等）绘制精确的函数图像，以便更准确地分析间断点处的 函数性质。
04 典型问题解析与思路拓展
求解含有参数方程间断点问题
确定参数范围
首先根据题目条件确定参数的取值范围。
高等数学连续性间断点
目录
• 连续性概念与性质 • 间断点类型及判定方法 • 函数在间断点处表现特征 • 典型问题解析与思路拓展 • 复习巩固与提高建议
01 连续性概念与性质
连续性定义及意义
连续性定义
如果函数在某一点的极限值等于该点 的函数值，则称函数在该点连续。
连续性意义
连续性是函数的一个重要性质，它保 证了函数在局部范围内的变化是平稳 的，没有出现突变或跳跃。
震荡间断点
函数在该点处无极限，且不是无穷间断点。如函数f(x)=sin(1/x)在x=0处（注意： 该函数在x=0处并无定义，但常在讨论间断点时作为例子）。
判定方法总结与实例分析
判定方法
首先判断函数在该点处是否有定义，再计算该点处的左右极限，根据极限的存在 性、相等性及是否为无穷大来判断间断点的类型。
实例分析
对于给定的函数，通过分析其在特定点处的行为，结合判定方法，可以准确地判断 出间断点的类型。例如，对于函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，通过分析其在x=1处的行为， 可以判断出这是一个可去间断点。
03 函数在间断点处表现特征
极限存在性与左右极限关系
极限存在性
在间断点处，函数可能不具有极限， 或者极限存在但不等于函数值。
构造辅助函数
根据题目要求，构造适当的辅助函数， 使其满足连续性条件。
通过绘制函数草图，可以直观地展示函数在间断点处的变化趋势和取值情况。
利用计算机软件
利用数学软件（如Mathematica、MATLAB等）绘制精确的函数图像，以便更准确地分析间断点处的 函数性质。
04 典型问题解析与思路拓展
求解含有参数方程间断点问题
确定参数范围
首先根据题目条件确定参数的取值范围。
高等数学连续性间断点
目录
• 连续性概念与性质 • 间断点类型及判定方法 • 函数在间断点处表现特征 • 典型问题解析与思路拓展 • 复习巩固与提高建议
01 连续性概念与性质
连续性定义及意义
连续性定义
如果函数在某一点的极限值等于该点 的函数值，则称函数在该点连续。
连续性意义
连续性是函数的一个重要性质，它保 证了函数在局部范围内的变化是平稳 的，没有出现突变或跳跃。
震荡间断点
函数在该点处无极限，且不是无穷间断点。如函数f(x)=sin(1/x)在x=0处（注意： 该函数在x=0处并无定义，但常在讨论间断点时作为例子）。
判定方法总结与实例分析
判定方法
首先判断函数在该点处是否有定义，再计算该点处的左右极限，根据极限的存在 性、相等性及是否为无穷大来判断间断点的类型。
实例分析
对于给定的函数，通过分析其在特定点处的行为，结合判定方法，可以准确地判断 出间断点的类型。例如，对于函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，通过分析其在x=1处的行为， 可以判断出这是一个可去间断点。
03 函数在间断点处表现特征
极限存在性与左右极限关系
极限存在性
在间断点处，函数可能不具有极限， 或者极限存在但不等于函数值。
构造辅助函数
根据题目要求，构造适当的辅助函数， 使其满足连续性条件。
连续性间断点
函数的连续性是指在某点处，函数的极限值等于该点的函数值。若函数在某区间内每一点都连续，则称该函数在该区间上连续。连续函数具有一系列重要性质，如连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为连续函数。函数的间断点是指函数在某点处不连续，间断点可分为第一类间断点和第二类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，其中可去间断点是指函数在该点无定义或定义但极限存在且不等于函数值，但可通过补充定义使函数在该点连续；跳跃间断点则是指函数在该点左右极限存在但不相等。第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点，无穷间断点是指函数在该点极限为无穷大，振荡间断点则是指函数在该点极限不存在且不为无穷大，函数值在该点附近来回振荡。通ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ实例分析，可以更加清晰地理解各类间断点的特点和判别方法。
高等数学 函数连续与间断
f ( x )的跳跃间断点 .
x , x 0, 例4 讨论函数 f ( x ) 在x 0处的连续性. 1 x , x 0, y 解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点 .
0
y
x x0 x 0 x x
x
0
x0
x 0 x
x
2.连续的定义
定义 1
设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如 或
果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
lim y 0 数的增量y 也趋向于零,即 x0
x 0
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x x 0, 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x
又 f (0) 0,
lim f ( x ) f (0), x 0
由定义2知
函数 f ( x )在 x 0处连续.
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
定性的描述
D3连续性间断点
这样的点
之一函数 f (x) 在点
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
称为间断点 .
在
无定义 ;
间断点分类:
第一类间断点:
及
均存在 ,
若
称
若
称
第二类间断点:
及
中至少一个不存在 ,
称
若其中有一个为振荡 ,
称
若其中有一个为
为可去间断点 .
为跳跃间断点 .
为无穷间断点 .
为振荡间断点 .
为其无穷间断点 .
跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
内容小结：
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
思考题
思考题解答
且
但反之不成立.
例
但
可见 , 函数
在点
一、 函数连续性的定义
定义:
在
的某邻域内有定义 ,
则称函数
(1)
在点
即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件:
存在 ;
且
有定义 ,
存在 ;
例1
证
由定义知
对自变量的增量
有函数的增量
左连续
右连续
当
时, 有
函数
在点
连续有下列等价命题:
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
若
在某区间上每一点都连续 ,
则称它在该区间上
连续 ,
或称它为该区间上的连续函数 .
之一函数 f (x) 在点
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
称为间断点 .
在
无定义 ;
间断点分类:
第一类间断点:
及
均存在 ,
若
称
若
称
第二类间断点:
及
中至少一个不存在 ,
称
若其中有一个为振荡 ,
称
若其中有一个为
为可去间断点 .
为跳跃间断点 .
为无穷间断点 .
为振荡间断点 .
为其无穷间断点 .
跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
内容小结：
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
思考题
思考题解答
且
但反之不成立.
例
但
可见 , 函数
在点
一、 函数连续性的定义
定义:
在
的某邻域内有定义 ,
则称函数
(1)
在点
即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件:
存在 ;
且
有定义 ,
存在 ;
例1
证
由定义知
对自变量的增量
有函数的增量
左连续
右连续
当
时, 有
函数
在点
连续有下列等价命题:
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
若
在某区间上每一点都连续 ,
则称它在该区间上
连续 ,
或称它为该区间上的连续函数 .
高等数学(上册)-电子教案 D1.8 函数的连续性与间断点
同理
在
定理1.8.3 设函数
上连续.
在
上连续.
由 y f (u) 与
复合而成,
若
lim
x x0
g(x)
u0 ,
而
在u0
连续, 则
f (u0 )
注：(1) 根据定理条件
(2) 根据定理条件
u g(x)
lim
x x0
g(x)
u0
如
定理1.8.4 设函数
由 y f (u) 与
连续 .
例2
在
是否连续 .
解: f (0 ) f (x) 在 f (0 )
f (x) 在 f (x) 在
右连续 .
不是左连续 . 不连续 .
1 2
f
(0).
1 f (0).
二、 函数的间断点
1. 定义 设 f (x) 在点 的某去心邻域内有定义 ,
如果 f (x)满足下列条件之一 ：
取得增量Δx , 即
对应函数值y 的增量
即
2. 定义1.8.1：设函数 如果
在 x0 的某邻域内有定义 , 则称函数
f (x) 在 x0 连续.
注： (1)函数在一点连续的等价定义:
令
则
(2)区间上的连续函数: 在该区间上每一点都连续 的函数.
(3) 左连续: 若 在点 x0 左连续.
则称函数 f (x)
第一章
§1.8 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、连续的运算法则 四、初等函数的连续性 五、连续的反问题
一、 函数连续性
1. 增量: 变量u由初值u1变到终值u2 ，Δu = u2 变量u 的增量. Δu 可以是正的，也可以是负的.
D1_6连续性间断点
x→0 x→0
1 x
x→0
[
1 −x
]
−1
1 = e
1 Q f (0) = , e
∴lim f (x) = f (0),
x→0
由定义知函数在 x = 0 处连续。
sin 3x x , 例 设 f (x) = k, 1 3+ x sin x ,
x <0 x = 0 确定 x >0
单侧连续 左连续： 若函数 f (x)在 (a, x0 ]内有定义， f (x0 − 0) = f (x0 ), 且
lim 则称函数 f (x) 在 x0 左连续。 ( x→x f (x) = f (x0 ) )
− 0
且 右连续： 若函数 f (x)在 [x0 , b) 内有定义， f (x0 + 0) = f (x0 ),
lim 则称函数 f (x) 在 x0 右连续。 ( x→x f (x) = f (x0 ) )
+ 0
x→x0
lim f (x) = f (x0 )
− f (x0 ) =
f (x0 ) =
+ f (x0 )
左连续
右连续
若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 连续函数 (1) 若函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内的每一点都 连续，则称函数 f (x) 在 (a, b) 内连续。 (2) 若函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内的每一点都 连续，且在左端点 x = a 处右连续，在右 端点 x = b 处左连续， 则称函数 f (x) 在 闭区间 [a, b] 上连续。 在闭区间 上的连续函数的集合记作 C[ a, b].
1 x
x→0
[
1 −x
]
−1
1 = e
1 Q f (0) = , e
∴lim f (x) = f (0),
x→0
由定义知函数在 x = 0 处连续。
sin 3x x , 例 设 f (x) = k, 1 3+ x sin x ,
x <0 x = 0 确定 x >0
单侧连续 左连续： 若函数 f (x)在 (a, x0 ]内有定义， f (x0 − 0) = f (x0 ), 且
lim 则称函数 f (x) 在 x0 左连续。 ( x→x f (x) = f (x0 ) )
− 0
且 右连续： 若函数 f (x)在 [x0 , b) 内有定义， f (x0 + 0) = f (x0 ),
lim 则称函数 f (x) 在 x0 右连续。 ( x→x f (x) = f (x0 ) )
+ 0
x→x0
lim f (x) = f (x0 )
− f (x0 ) =
f (x0 ) =
+ f (x0 )
左连续
右连续
若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 连续函数 (1) 若函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内的每一点都 连续，则称函数 f (x) 在 (a, b) 内连续。 (2) 若函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内的每一点都 连续，且在左端点 x = a 处右连续，在右 端点 x = b 处左连续， 则称函数 f (x) 在 闭区间 [a, b] 上连续。 在闭区间 上的连续函数的集合记作 C[ a, b].
高数第一章_8连续性间断点
x
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x , x ≠1 (4) y = f (x) = 1 2 , x =1
显然 lim f (x) =1≠ f ( ) 1
x→ 1
y
1
1 2
x =1为其可去间断点 .
x −1, x < 0 (5) y = f (x) = 0 , x = 0 x +1, x > 0
o
1
x
y
1
o
f (0 ) = −1,
−
f (0 ) =1
+
−1
x
x = 0 为其跳跃间断点 .
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内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 振荡间断点 个不存在
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思考与练习
1. 讨论函数 间断点的类型.
答案: 答案 x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 . 2. 设 连续函数. 提示: 提示 3. P64 题 2 , P65 题 5
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时
为
P65 题5 提示 提示:
作业
P64 3 ; 4
第九节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 确定函数 f (x) =
解: 间断点 x = 0, x =1
1
x 1 x −
间断点的类型.
1−e
Q lim f (x)= ∞, ∴ x = 0 为无穷间断点;
x→ 0
x →+∞, ∴ f (x) →0 当x → 时 1 , 1−x x + 1 →−∞, ∴ f (x) → 当x → 时 1 , 1−x
高数1-6间断点ppt课件
y
x 1, sin x,
x0 x0
在x=0点有定义,注意到当 x 0 时，左、右极限都存在,
但 lim y 1 lim y 0, 因此 lim y 不存在，
x0
x0
x0
故x=0是其间断点；
函数在这一点有一个“跳 跃”，称这一类间断点为函 数的跳跃间断点；
跳跃间 断点
x0
（3）y cot x
x
断点．
y sin 1 x
y 1
由图可以看出，x→0时， 函数值在-1和1之间变动
O
12
x
无穷多次． 称x=0是函数的振荡间断点．
1
x 0
振荡间 断点
2．间断点的分类
如果函数f(x)以点x0为间断点，但f(x)在 x→x0 时左右极 限都存在，则x0称为f(x)的第一类间断点； 不是第一类间断点的其他间断点称为第二类间断点．
断点．
y
x2 4 y
4
x2
2
2 O
2
x
x2
（称F(x)为函数 y x2 4 的(连续)延拓),
x2
这一类间断点称为函数的可去间断点；
可去间 断点
（2）
函 数y
f
(
x)
x, 1
2
x1 x1
lim f ( x) lim x 1, 又f (1) 1
x 1
x 1
2
lim f ( x) f (1) x 1
注：如果区间包括端点，那么在端点处，只能是单侧连续。 即在左端点右连续，在右端点左连续。
能说出几个在 某一区间连续 的函数吗？
例如： y sin x, y cos x
在 (, )内都是连 续的.
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间断点，并分类. 时， 无定义,所以 是间断点
讨论函数
sin x , f ( x) x, 1 ( x 1) sin , x 1
x 0, 0 x 1 x 1.
间断点，并分类.
解： 0 时，f (0) 0 x
x 0
x0 x0 x0
在点 x 0 处的连续性。
解法1：
f (0) 0
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
lim f ( x ) 不存在
x 0
由连续定义知 f ( x ) 在 x 0 处不连续。
f ( x ) 在 x0
的某一邻域内有定
义，当自变量从 x 0 变到 x 0 x 时，函数相应的从 f ( x 0 )
变到 f ( x0 x )，则函数终值
f ( x 0 x ) 与初值 f ( x 0 )的差
称为函数 f ( x ) 在点 x 0 的增量， 记作 y f ( x0 x ) f ( x0 )
x 0
lim y lim f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 0
x 0
注：此定义多用来证明函数连续。
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例1、证明：函数 y x 在点 x 1 连续。
2
证明：给自变量在 x 1 时的增量 x
则函数增量 y (1 x ) 2 12 2 x ( x ) 2
lim f ( x ) lim sin x 0
x 0 x 0
x 0
lim f ( x ) lim x 0
x 0
f 所以， ( x)在 x 0连续。 x 1 时， f (1) 1
x 1
x 0
lim f ( x ) lim f ( x ) f (0)
y f ( x ) f ( x0 )
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定义2: 设函数
在
的某邻域内有定义 , 若
则称函数 f ( x)在 x0 处连续。 思考： 函数 在点 x0 连续应该具备哪些条件: 有定义 , 即 存在 ; 存在 ;
(1)
(2) 极限 (3)
在点
注：此定义常用来判断或计算函数在某点是否 连续。
lim y lim 2 x ( x ) 2 0 x0 x 0
所以，由连续定义知， 函数 y x 在点 x 1 连续。
2
继续分析：已知函数连续，由定义知
x 0 ， y 0
x x 0 ， f ( x ) f ( x0 )
令 x x0 x 则 x x x0
2
证明：x ( , ) 给自变量增量 x
则函数增量 y ( x x ) x 2 x x ( x )
2 2 2
lim y lim 2 x x ( x )2 0 x 0 x 0
所以，函数 y x 在 ( , ) 内连续。
O
x 1 , y f ( x) 0 , x 1 , x0 x0 x0
1
x
y
1
O
x 0 为跳跃间断点 .
1
x
结论： 第一类间断点:
及
均存在 ,
若
若
称 x0 为可去间断点 .
称 x0 为跳跃间断点 .
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如：
是无穷间断点 是无穷间断点
结论： 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 ,
lim 解法2： 0 x
f ( x ) lim ( x 1) 1 f (0) 0
x 0
不是左连续
所以
f ( x) 在
x 0 处不连续。
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4.区间上连续
①开区间 ( a , b ) 内连续： 若 在 ( a , b ) 内每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 例4、证明：函数 y x 在 ( , ) 内连续。
是间断点 时无定义 是间断点 不存在
（3）
是间断点
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3.间断点分类:
定义：设 x0 是间断点， 如果单侧极限 f ( x0 0)及 都存在，则称 x0 为第一类间断点； f ( x0 0) 及 若 中有一个不存在，则称 x0为第二类间断点。
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y
如：
x 1 为可去间断点 .
故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0 , 1处 , f ( x) 连续.
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内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 非无穷间断点 个不存在
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既左连续又右连续。 左连续 右连续
如：例2
x 2
x 2
lim f ( x ) lim x 4 f (2)
2 x 2
lim f ( x ) lim ( x 2) 4 f (2)
x 2
由上述结论 故函数
在 x 2 处连续
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x 1 f ( x) 0 例3.讨论函数 x 1
lim f ( x ) lim x 1
x 1 x 1
x 1
lim f ( x ) lim( x 1) sin
x 1
1 x 1
0
lim f ( x ) lim f ( x )
x 1
且为跳跃间断点 所以， x 1 为间断点，
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2.函数在一点处连续的定义
定义1. 设函数 y
f ( x )在点
x 0 某一邻域内有定义，如
f ( x)
果当自变量的增量 x x x0 趋于零时，对应的函数 增量 y f ( x0 x ) f ( x 0 ) 也趋于零，则称函数 y 在点 x 0 连续， 即
lim f ( x ) 4 f (2)
x 2
故函数在 x 2 处连续 Nhomakorabea目录
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3、左、右连续
lim 定义. 左连续： x x
x
0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
lim 右连续：
x0
结论：
y f ( x ) 在 x 0 处连续 y f ( x ) 在 x 0
2
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( a , b ) 内连续
②闭区间 [ a , b ] 上连续
x a
lim f ( x ) f ( a )
xb
lim f ( x ) f ( b )
结论： 1.基本初等函数在各自定义域内都连续。 2.连续函数的曲线是连续无断点的曲线。
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第六节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第一章
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一、 函数的连续性
1.增量： 变量 x 的增量：自变量 x 由初值 x 0 变到终值 x ，则 终值与初值的差 x x 0 称为自变量 x 在点 x 0 的增量，
记为 x ，即 x x x0 (或 x x0 x )。 注： x是整体符号，可正可负. 函数 f ( x )的增量：设函数 y
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x 2 例2.判断函数 f ( x ) 2 x
x2 x2
在 x 2 处是否连续？
解： f (2) 4
x 2
lim f ( x ) lim x 4
2 x 2
x 2
lim f ( x ) lim ( x 2) 4
x 2
二、 函数的间断点
1.定义：若
lim 即： xx
0
在点
不连续 ,则 称
为
的间断点 .
f ( x ) f ( x0 )
2.判断为间断点的依据： (1) 函数 (2)
x x0
在
无定义 ;
不存在;
(3) lim f ( x) f ( x0 )
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例如： (1) 因为 （2） 当
备用题 确定函数
f ( x)
1 1 e
x 1 x
间断点的类型.
解: 间断点 x 0 , x 1
x0
lim f ( x) , x 0 为无穷间断点;
当 x 1 时, 当 x 1 时,
x 1 x x 1 x
, f ( x) 0 , f ( x) 1
若两个单侧极限至少一个为 , 称 x0 为无穷间断点 . 除上述所有间断点之外,统称 x0 为非无穷间断点 .
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补充：找出间断点的方法 1.初等函数只需找分母为零的点 2.分段函数只需考虑分段点 例如. 讨论函数 解：当 时， 则x = 1 是第一类可去间断点 , 时， 则x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点，并分类. 时， 无定义,所以 是间断点
讨论函数
sin x , f ( x) x, 1 ( x 1) sin , x 1
x 0, 0 x 1 x 1.
间断点，并分类.
解： 0 时，f (0) 0 x
x 0
x0 x0 x0
在点 x 0 处的连续性。
解法1：
f (0) 0
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
lim f ( x ) 不存在
x 0
由连续定义知 f ( x ) 在 x 0 处不连续。
f ( x ) 在 x0
的某一邻域内有定
义，当自变量从 x 0 变到 x 0 x 时，函数相应的从 f ( x 0 )
变到 f ( x0 x )，则函数终值
f ( x 0 x ) 与初值 f ( x 0 )的差
称为函数 f ( x ) 在点 x 0 的增量， 记作 y f ( x0 x ) f ( x0 )
x 0
lim y lim f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 0
x 0
注：此定义多用来证明函数连续。
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例1、证明：函数 y x 在点 x 1 连续。
2
证明：给自变量在 x 1 时的增量 x
则函数增量 y (1 x ) 2 12 2 x ( x ) 2
lim f ( x ) lim sin x 0
x 0 x 0
x 0
lim f ( x ) lim x 0
x 0
f 所以， ( x)在 x 0连续。 x 1 时， f (1) 1
x 1
x 0
lim f ( x ) lim f ( x ) f (0)
y f ( x ) f ( x0 )
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定义2: 设函数
在
的某邻域内有定义 , 若
则称函数 f ( x)在 x0 处连续。 思考： 函数 在点 x0 连续应该具备哪些条件: 有定义 , 即 存在 ; 存在 ;
(1)
(2) 极限 (3)
在点
注：此定义常用来判断或计算函数在某点是否 连续。
lim y lim 2 x ( x ) 2 0 x0 x 0
所以，由连续定义知， 函数 y x 在点 x 1 连续。
2
继续分析：已知函数连续，由定义知
x 0 ， y 0
x x 0 ， f ( x ) f ( x0 )
令 x x0 x 则 x x x0
2
证明：x ( , ) 给自变量增量 x
则函数增量 y ( x x ) x 2 x x ( x )
2 2 2
lim y lim 2 x x ( x )2 0 x 0 x 0
所以，函数 y x 在 ( , ) 内连续。
O
x 1 , y f ( x) 0 , x 1 , x0 x0 x0
1
x
y
1
O
x 0 为跳跃间断点 .
1
x
结论： 第一类间断点:
及
均存在 ,
若
若
称 x0 为可去间断点 .
称 x0 为跳跃间断点 .
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如：
是无穷间断点 是无穷间断点
结论： 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 ,
lim 解法2： 0 x
f ( x ) lim ( x 1) 1 f (0) 0
x 0
不是左连续
所以
f ( x) 在
x 0 处不连续。
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4.区间上连续
①开区间 ( a , b ) 内连续： 若 在 ( a , b ) 内每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 例4、证明：函数 y x 在 ( , ) 内连续。
是间断点 时无定义 是间断点 不存在
（3）
是间断点
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3.间断点分类:
定义：设 x0 是间断点， 如果单侧极限 f ( x0 0)及 都存在，则称 x0 为第一类间断点； f ( x0 0) 及 若 中有一个不存在，则称 x0为第二类间断点。
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y
如：
x 1 为可去间断点 .
故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0 , 1处 , f ( x) 连续.
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内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 非无穷间断点 个不存在
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既左连续又右连续。 左连续 右连续
如：例2
x 2
x 2
lim f ( x ) lim x 4 f (2)
2 x 2
lim f ( x ) lim ( x 2) 4 f (2)
x 2
由上述结论 故函数
在 x 2 处连续
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x 1 f ( x) 0 例3.讨论函数 x 1
lim f ( x ) lim x 1
x 1 x 1
x 1
lim f ( x ) lim( x 1) sin
x 1
1 x 1
0
lim f ( x ) lim f ( x )
x 1
且为跳跃间断点 所以， x 1 为间断点，
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2.函数在一点处连续的定义
定义1. 设函数 y
f ( x )在点
x 0 某一邻域内有定义，如
f ( x)
果当自变量的增量 x x x0 趋于零时，对应的函数 增量 y f ( x0 x ) f ( x 0 ) 也趋于零，则称函数 y 在点 x 0 连续， 即
lim f ( x ) 4 f (2)
x 2
故函数在 x 2 处连续 Nhomakorabea目录
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3、左、右连续
lim 定义. 左连续： x x
x
0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
lim 右连续：
x0
结论：
y f ( x ) 在 x 0 处连续 y f ( x ) 在 x 0
2
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( a , b ) 内连续
②闭区间 [ a , b ] 上连续
x a
lim f ( x ) f ( a )
xb
lim f ( x ) f ( b )
结论： 1.基本初等函数在各自定义域内都连续。 2.连续函数的曲线是连续无断点的曲线。
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第六节 函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
第一章
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一、 函数的连续性
1.增量： 变量 x 的增量：自变量 x 由初值 x 0 变到终值 x ，则 终值与初值的差 x x 0 称为自变量 x 在点 x 0 的增量，
记为 x ，即 x x x0 (或 x x0 x )。 注： x是整体符号，可正可负. 函数 f ( x )的增量：设函数 y
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x 2 例2.判断函数 f ( x ) 2 x
x2 x2
在 x 2 处是否连续？
解： f (2) 4
x 2
lim f ( x ) lim x 4
2 x 2
x 2
lim f ( x ) lim ( x 2) 4
x 2
二、 函数的间断点
1.定义：若
lim 即： xx
0
在点
不连续 ,则 称
为
的间断点 .
f ( x ) f ( x0 )
2.判断为间断点的依据： (1) 函数 (2)
x x0
在
无定义 ;
不存在;
(3) lim f ( x) f ( x0 )
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例如： (1) 因为 （2） 当
备用题 确定函数
f ( x)
1 1 e
x 1 x
间断点的类型.
解: 间断点 x 0 , x 1
x0
lim f ( x) , x 0 为无穷间断点;
当 x 1 时, 当 x 1 时,
x 1 x x 1 x
, f ( x) 0 , f ( x) 1
若两个单侧极限至少一个为 , 称 x0 为无穷间断点 . 除上述所有间断点之外,统称 x0 为非无穷间断点 .
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补充：找出间断点的方法 1.初等函数只需找分母为零的点 2.分段函数只需考虑分段点 例如. 讨论函数 解：当 时， 则x = 1 是第一类可去间断点 , 时， 则x = 2 是第二类无穷间断点 .