最新人教版高中数学必修4第二章向量减法运算及其几何意义3
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人教版高中数学必修四2.2.2向量的减法运算及其几何意义精品课件
例3：如图，平行四边形ABCD，AB=a ,AD=b， 用a、b表示向量AC、DB、 AM、MB 。
D
C
M
b
Aa
B
练习1
1.如图，已知a,b,求作a b.
（1）
a
（2）
a
b
b
（3）
a
（4）
a
b
b
练习2
(1)化简AB AC BD CD
解 : 原式 CB BD CD CD CD 0
(2)化简OA OC BO CO
•特殊情况
1.共线同向 a
b
2.共线反向
a
b
AC
B
B
AC
例１：
• 如图，已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
bd
a
c
B
ab
A b
a
O
D
d cd
C c
例2：选择题
（1）AB BC AD D
( A) AD (B)CD (C)DB (D)DC
（2）AB AC DB C
( A) AD (B) AC (C)CD (D)DC
已知a,b,根据减法的定义，如何作出a b呢？
a
b
B
ab b
方法：b 平O移向a量a,b,使A 它们起点相同，那么
b的终C点指向a的终点D的量就是a b.
二、向量减法的三角形法则
A
注意：
.a
O
ab
B
b
1、两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同
2、差向量的终点指向被减向量的终点
向量的减法
人教版高中数学必修四2.2.2向量的 减法运算及其几何意义
高一数学人必修四课件时向量减法运算及其几何意义
向量减法与加法的关联
通过向量的平移性质，可以将向量减法转化为加法运算，从而简化计算过程。 例如，计算 AB - CD 时，可以将向量 CD 平移至与向量 AB 起点重合的位置， 然后进行加法运算。
02
向量减法运算方法
三角形法则
三角形法则的定义
将两个向量的起点相连，以第二个向量的终 点为起点，作与第一个向量方向相反的向量 ，该向量即为两向量的差。
位置关系变化
向量减法导致位置关系变化
向量减法运算会改变向量之间的位置关系，如平行、共线、垂直等。
位置关系变化的规律
如果两个向量共线且方向相同，则它们的差向量与它们共线且方向相同；如果两 个向量共线且方向相反，则它们的差向量与它们共线且方向与较长的向量相同。 对于不共线的向量，它们的差向量可能与它们都不共线。
空间距离计算
向量减法可以用于计算空间中两点之间的距离。通过计算两 点对应向量的差的模长，可以得到两点之间的距离公式，从 而求出两点之间的实际距离。
在空间几何中，距离的计算对于求解各种问题非常重要，例 如计算点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线之间的 距离等。
06
向量减法运算技巧与注意事项
运算技巧总结
设两个向量为A(x1,y1)和B(x2,y2)， 则A-B=(x1-x2,y1-y2)，根据坐标运 算求出差向量的坐标。
坐标运算方法的几何意义
通过坐标运算可以精确地求出两个向 量之间的差值，具有直观性和准确性 。
03
向量减法运算几何意义
方向变化
向量减法导致方向变化
向量减法运算的结果是一个新的向量 ，其方向与原来的两个向量有关，但 不一定与它们相同。
三角形法则的几何意义
表示两个向量之间的相对位置关系，即一个 向量相对于另一个向量的位置变化。
通过向量的平移性质，可以将向量减法转化为加法运算，从而简化计算过程。 例如，计算 AB - CD 时，可以将向量 CD 平移至与向量 AB 起点重合的位置， 然后进行加法运算。
02
向量减法运算方法
三角形法则
三角形法则的定义
将两个向量的起点相连，以第二个向量的终 点为起点，作与第一个向量方向相反的向量 ，该向量即为两向量的差。
位置关系变化
向量减法导致位置关系变化
向量减法运算会改变向量之间的位置关系，如平行、共线、垂直等。
位置关系变化的规律
如果两个向量共线且方向相同，则它们的差向量与它们共线且方向相同；如果两 个向量共线且方向相反，则它们的差向量与它们共线且方向与较长的向量相同。 对于不共线的向量，它们的差向量可能与它们都不共线。
空间距离计算
向量减法可以用于计算空间中两点之间的距离。通过计算两 点对应向量的差的模长，可以得到两点之间的距离公式，从 而求出两点之间的实际距离。
在空间几何中，距离的计算对于求解各种问题非常重要，例 如计算点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线之间的 距离等。
06
向量减法运算技巧与注意事项
运算技巧总结
设两个向量为A(x1,y1)和B(x2,y2)， 则A-B=(x1-x2,y1-y2)，根据坐标运 算求出差向量的坐标。
坐标运算方法的几何意义
通过坐标运算可以精确地求出两个向 量之间的差值，具有直观性和准确性 。
03
向量减法运算几何意义
方向变化
向量减法导致方向变化
向量减法运算的结果是一个新的向量 ，其方向与原来的两个向量有关，但 不一定与它们相同。
三角形法则的几何意义
表示两个向量之间的相对位置关系，即一个 向量相对于另一个向量的位置变化。
高中数学必修四 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 人教课标版38精品公开PPT课件
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur
＝ OD－OA － OM－OB ＋ OC－OB －(OC－OM)
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur ＝OD－OA－OM＋OB＋OC－OB－OC＋OM＝OD－OA＝AD.
1.给出下列论述：
①若
uuur uuur uuuur OD＋OE＝OM
，则
uuuur uuur uuur OM－OE＝OD
；
②若
uuur uuur uuuur OD＋OE＝OM
，则
uuuur uuur uuur OM＋DO＝OE
；
③若
uuur uuur uuuur OD＋OE＝OM
，则
uuur uuur uuuur OD－EO＝OM
(2)
uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A CB OO AD CD OO BA CB OO AD CD OO B
uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
(2)向量加法和减法几何意义的联系 ①如图所示，平行四边形ABCD中， 若 A u u B u ra ， A u u 则D u rb ，A u u C u r a b ， D u u B u r a b .
②类比||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 可知||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
【解析】 1.①正确.若 O uu D u r＋ O uu E u r＝ 则O uu M u u r，O uu 即D u r＝ O uu M u u r－ O uu E u r，O uu M u u r－ O uu E u r＝ O uu D u r；
人教A高中数学必修四.2 向量减法运算及其几何意义
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
•
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
思考4 对比：向量的加法与减法运算
向量的加法 向量的减法
向量运算 A BB CA CA BA CC B
法则
CB
bb
A
a
B
O
C
a
A
C
ab
b Aa B
内在联系
b ab
ab
a
aba(b)
问题解决
(1)场景：甲队胜于乙队
你知 能识 通来 过解 向释 量吗 的？
问题解决
(2) 江淮流域发生了大洪灾。一条自西向东 流淌的大河，在其南岸发现对岸的堤坝处有险 情，救险队员坐船从A处出发垂直向对岸驶去， 才能到达险情发生处 V 船 23km /h,V 水 2km /h
•
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
【思维拓展型】
(2)向量是一种重要的运算对象，
从数、式的运算到向量的运算是一次飞跃。
回顾: 数、式 的运算规律， 和向量加、减法运算。
高一数学人教A版必修4课件：2.2.2 向量减法运算及其几何意义
明目标、知重点
呈重点、现规律
1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义， －A→B＝B→A 就可以把减法转化为加法 .即：减去一个向量等于加 上这个向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b). 2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量 的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断， 防止混淆.
②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：
O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b；
明目标、知重点
③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：
O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b.
明目标、知重点
思考2 通过作图，探究|a－b|与|a|、|b|之间的大小关系？ 答 当a与b不共线时，有：||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|； 当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|； 当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.
第二章 平面向量
§2.2 平面向量的线性运算
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
பைடு நூலகம்
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则. 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减运算.
明目标、知重点
填要点·记疑点
作
平行四边形ABCD
→
→
，则对角线的向量BD＝b－a，DB＝a－b.
4.向量减法的三角形法则：在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B
＝b，则B→A＝a－b，即 a－b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的
呈重点、现规律
1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义， －A→B＝B→A 就可以把减法转化为加法 .即：减去一个向量等于加 上这个向量的相反向量.如a－b＝a＋(－b). 2.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量 的终点，箭头指向被减向量”.解题时要结合图形，准确判断， 防止混淆.
②当a与b同向且|a|≤|b|时，在给定的直线l上作出差向量a－b：
O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b；
明目标、知重点
③若a与b反向，在给定的直线l上作出差向量a－b：
O→A＝a，O→B＝b，则B→A＝a－b.
明目标、知重点
思考2 通过作图，探究|a－b|与|a|、|b|之间的大小关系？ 答 当a与b不共线时，有：||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|； 当a与b同向且|a|≥|b|时，有：|a－b|＝|a|－|b|； 当a与b同向且|a|≤|b|时，有：|a－b|＝|b|－|a|.
第二章 平面向量
§2.2 平面向量的线性运算
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
பைடு நூலகம்
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则. 2.掌握向量减法的几何意义. 3.能熟练地进行向量的加、减运算.
明目标、知重点
填要点·记疑点
作
平行四边形ABCD
→
→
，则对角线的向量BD＝b－a，DB＝a－b.
4.向量减法的三角形法则：在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B
＝b，则B→A＝a－b，即 a－b 表示从向量 b 的终点指向向量 a 的
高中数学必修四 第2章 平面向量课件 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
∴E→D＋E→A＝0，C→F ＋B→F＝0.
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
∴E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
法二 如图，在平面内取点 O，连接 AO、EO、DO、CO、FO、 BO，则 E→F＝E→O＋O→F＝E→A＋A→O＋O→B＋B→F，A→B＝A→O ＋O→B， D→C＝D→O＋O→C ＝D→E＋E→A＋A→O＋O→B＋B→F＋F→C. ∵E、F 是 AD、BC 的中点，
5．化简：(1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)； (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 (1)(B→A－B→C)－(E→D－E→C)＝C→A－C→D＝D→A. (2)(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋(D→O＋ O→B)＝A→C＋B→A－D→C＋D→B＝B→C－D→C＋D→B＝B→C＋C→B＝0.
类型三 向量加、减法的综合应用 【例 3】 已知任意四边形 ABCD，E 为 AD 的中点，F 为 BC 的 中点，求证：E→F＋E→F＝A→B＋D→C.
[思路探索] 本题主要考查向量加法与相反向量的知识，可以考 虑封闭图形中所有向量的和为 0 或把E→F用不同的向量形式表示 出来，然后相加，即可得证．
证明 法一 如图，在四边形 CDEF 中，
E→F＋F→C＋C→D＋D→E＝0，
∴ E→F
＝－
→ FC
－ C→D
－ D→E ＝
→ CF
＋ D→C
＋
E→D.①
在四边形 ABFE 中，
E→F＋F→B＋B→A＋A→E＝0，
∴E→F＝B→F＋A→B＋E→A.②
①＋②得 E→F＋E→F＝C→F＋D→C＋E→D＋B→F＋A→B＋E→A＝(C→F＋B→F)＋(E→D＋ E→A)＋(A→B＋D→C)． ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点，
人教版高一数学必修四课件向量减法运算及其几何意义
解决中。
03
向量减法的运算方法
向量减法的代数运算
定义
向量减法是通过将一个向量的起 点平移到另一个向量的终点，然 后按照向量加法的规则进行计算
。
性质
向量减法满足结合律和交换律，即 A - B - C = A - (B + C)且A - B = B - A。
计算
向量减法的计算可以通过向量加法 来实现，即a - b = a + (-b)。
02
向量减法的几何意义
向量减法的几何表示
三角形法则
向量减法可以通过将一个向量首 尾连接，再由另一个向量的起点 指向这个向量的终点来表示。
平行四边形法则
两个向量相减，可以表示为以这 两个向量为邻边的平行四边形的 对角线向量。
向量减法的几何解释
01
向量减法可以理解为将一个向量 在另一个向量上的投影进行反向 延长。
航空航天
在航空航天领域，向量减法可以用于计算飞行器姿态、位置 等参数的变化。
向量减法在日常生活中的应用
导航
在日常生活中，我们常常需要使用向 量减法来计算两点之间的距离和方向 。
体育运动
在体育运动中，向量减法可以用于分 析运动员的运动轨迹、速度和加速度 等参数。
向量减法与加法的关系
对偶性
对于任意两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，有$vec{A} - vec{B} = vec{A} + (vec{B})$
向量加法和减法的可结合性
对于任意三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$，有$vec{A} - (vec{B} + vec{C}) = (vec{A} - vec{B}) - vec{C}$
人教版高一数学必修四课件向量减 法运算及其几何意义
03
向量减法的运算方法
向量减法的代数运算
定义
向量减法是通过将一个向量的起 点平移到另一个向量的终点，然 后按照向量加法的规则进行计算
。
性质
向量减法满足结合律和交换律，即 A - B - C = A - (B + C)且A - B = B - A。
计算
向量减法的计算可以通过向量加法 来实现，即a - b = a + (-b)。
02
向量减法的几何意义
向量减法的几何表示
三角形法则
向量减法可以通过将一个向量首 尾连接，再由另一个向量的起点 指向这个向量的终点来表示。
平行四边形法则
两个向量相减，可以表示为以这 两个向量为邻边的平行四边形的 对角线向量。
向量减法的几何解释
01
向量减法可以理解为将一个向量 在另一个向量上的投影进行反向 延长。
航空航天
在航空航天领域，向量减法可以用于计算飞行器姿态、位置 等参数的变化。
向量减法在日常生活中的应用
导航
在日常生活中，我们常常需要使用向 量减法来计算两点之间的距离和方向 。
体育运动
在体育运动中，向量减法可以用于分 析运动员的运动轨迹、速度和加速度 等参数。
向量减法与加法的关系
对偶性
对于任意两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，有$vec{A} - vec{B} = vec{A} + (vec{B})$
向量加法和减法的可结合性
对于任意三个向量$vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$，有$vec{A} - (vec{B} + vec{C}) = (vec{A} - vec{B}) - vec{C}$
人教版高一数学必修四课件向量减 法运算及其几何意义
(教师用书)高中数学 2.2.2 向量减法运算及其几何意义配套课件 新人教版必修4
2.2.2
向量减法运算及其几何意义
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解相反向量的概念． (2)掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其 几何意义．
2．过程与方法 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算， 使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想． 3．情感、态度与价值观 通过本节学习，使学生利用类比的方法探究向量减法的 运算法则，培养学生的探索精神与创新意识．
【提示】 是零向量． 2．根据向量的加法，如何求作 a－b?
【提示】 作出 a＋(－b)．
先出－b，再按三角形或平行四边形法则
1．定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上 这个向量的 相反向量 ．
图 2－2－8 → ＝a，OB → ＝b，则 2．作法：在平面内任取一点 O，作OA → ，如图 2－2－8 所示． 向量 a－b＝ BA 3．几何意义：a－b 可以表示为从向量 b 的终点指向 向量 a 的终点的向量．
如图所示， 在正六边形 ABCDEF 中， 点 O 是正 → ＝a，OF → ＝b，EO → ＝c，DO → ＝d，试 六边形中一点，若已知OA → ，AD → ，DB →. 用向量 a，b，c，d 表示ED
图 2－2－9
【思路探究】 运用三角形法则和平行四边形法则，将 所求向量用已知向量 a、b、c、d 的和与差来表示．
→ －CD → )－(AC → －BD → )． 化简：(AB
【思路探究】 解答本题可先去括号，再利用相反向量 及加法交换律、结合律化简． → －CD → )－(AC → －BD →) 【自主解答】 法一 (AB
→ －CD → －AC → ＋BD → ＝AB → ＋DC → ＋CA → ＋BD → ＝AB → ＋B→ → ＋CA → )＝AD → ＋DA → ＝0. ＝(AB D )＋(DC
向量减法运算及其几何意义
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解相反向量的概念． (2)掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其 几何意义．
2．过程与方法 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算， 使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想． 3．情感、态度与价值观 通过本节学习，使学生利用类比的方法探究向量减法的 运算法则，培养学生的探索精神与创新意识．
【提示】 是零向量． 2．根据向量的加法，如何求作 a－b?
【提示】 作出 a＋(－b)．
先出－b，再按三角形或平行四边形法则
1．定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上 这个向量的 相反向量 ．
图 2－2－8 → ＝a，OB → ＝b，则 2．作法：在平面内任取一点 O，作OA → ，如图 2－2－8 所示． 向量 a－b＝ BA 3．几何意义：a－b 可以表示为从向量 b 的终点指向 向量 a 的终点的向量．
如图所示， 在正六边形 ABCDEF 中， 点 O 是正 → ＝a，OF → ＝b，EO → ＝c，DO → ＝d，试 六边形中一点，若已知OA → ，AD → ，DB →. 用向量 a，b，c，d 表示ED
图 2－2－9
【思路探究】 运用三角形法则和平行四边形法则，将 所求向量用已知向量 a、b、c、d 的和与差来表示．
→ －CD → )－(AC → －BD → )． 化简：(AB
【思路探究】 解答本题可先去括号，再利用相反向量 及加法交换律、结合律化简． → －CD → )－(AC → －BD →) 【自主解答】 法一 (AB
→ －CD → －AC → ＋BD → ＝AB → ＋DC → ＋CA → ＋BD → ＝AB → ＋B→ → ＋CA → )＝AD → ＋DA → ＝0. ＝(AB D )＋(DC
人教A版高中数学必修四课件：第二章2-2-2向量减法运算
D.DC
例3 : 如图, 平行四边形ABCD中, AB a, AD b, 试用a , b表 示向量 AC , DB.
D
b
C
A
a
B
解: AC AB AD a b
DB AB AD a b
例4：如图平行四边形ABCD, AB a, DA b, OC c, 证明： b c a OA
共起点，连终点，指向前
想一想：
(1 ) 上 图 中 ， 如 果 从 a 的 终 点 到 b 的 终 点 作 向 量，
那么所得向量是什么？
O
b
B
a
A
ba
(2) 如 图 ， a // b ， 怎 样 作 出a b ?
B
a b
.
A
a b
A
b
OB a b
.
O
O
B
b
BA a b
OB a b
a
前置学习
思考1：向量 a 的相反向量可以怎样表示？
思考2： a的相反向量是什么？
a
(a) a
规定：零向量的相反向量仍是零向量. 思考3：两个相反向量的和向量是什么？
a b
a (a) 0
前置学习
思考4：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向
量a
b 可以怎样理解？
的主体内容，二者相互协调和补充. 2.用三角形法则求两个向量的差向量，要注意起点相同的条件，差向量
的方向要指向被减向量的终点.这个法则对共线向量也适应.
3.如果a＋b=c，则a=c－b，这是向量运算的移项法则，它与实数运算的移 项法则完全一致，体现了数学的和谐美.
高中数学人教A版必修4课件：2-2-2向量减法运算及其几何意义
解析:向量������������与������������的模相等,方向相反,互为相反向量.
答案:C
首页 一 二
Z 自主预习 H合作学习 D当堂检测
I ZHU YU XI
EZUO XUEXI
ANGTANG JIAN
二、向量的减法及其运算法则 【问题思考】 1.在实数的运算中,减去一个数,等于加上它的相反数,那么向量 的减法运算能否转化为向量的加法运算呢? 提示:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 2.已知两个力的合力为F,其中一个力为F1,如何求另一个力F2(如 图)?
解析:(1)������������ − ������������ = ������������; (2)������������ − ������������ = ������������; (3)������������ − ������������ = ������������ − ������������ = ������������.
分析按照向量加法和减法的运算法则进行化简,进行减法运算时, 必须保证两个向量的起点相同.
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解:(1)������������ + ������������ − ������������ = ������������ − ������������ = ������������ . (2)(������������ − ������������)-(������������ − ������������)=(������������ + ������������)-(������������ + ������������)=������������ − ������������=0. (3)(������������ + ������������ + ������������)-(������������ − ������������ − ������������) =(������������ + ������������)-(������������ − ������������)=������������ − ������������ =0.
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题型一
题型二
如图所示,作向量的和差向量时,要善于运用向量加法、减法的两个 法则.
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题型一
题型二
题型一
向量加(减)法的作图
【例 1】 如图所示的向量 a,b,c 是不共线的向量,求作向量先观察各向量的位置,再寻找 或构造相应的三角形,最后依据几何意义确定其图形表示.
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1.相反向量
定义 如果两个向量长度相等,而方向相反,那么称这两个向量是相反向量 ①对于相反向量,有 a+(-a)=0 性质 ②若 a,b 互为相反向量,则 a=-b,a+b=0 ③零向量的相反向量仍是零向量
) C.������������ D.������������
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|a-b|,|a|-|b|,|a|+|b|三者的大小关系 剖析:当向量 a 与 b 共线时, (1)当两个非零向量 a 与 b 同向时,|a-b|=||a|-|b||<|a|+|b|; (2)当两个非零向量 a 与 b 反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||; (3)当 a 与 b 中至少有一个为零向量时,|a-b|=||a|-|b||=|a|+|b|. 当两个非零向量 a 与 b 不共线时,如在△ABC 中,������������ =a,������������=b,则 ������������ = ������������ − ������������=a-b,根据三角形中任意两边之差总小于第三边,任意两边 之和总大于第三边,可得||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.综合可知,对任意的向量 a 与 b 都有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 对于任意向量 a,b 总有||a|-|b||≤|a± b|≤|a|+|b|.
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【做一做 2】 ������������ − ������������=( A.������������ 答案:B B.������������
几何 意义
如果把两个向量 a,b 的起点放在一起,则 a-b 可以表示为从向量 b 的终 点指向向量 a 的终点的向量
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(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算,利用相反向量的定 义,������������=-������������,就可以把向量减法转化为向量加法. (2)与向量的和一样,向量的差仍然是一个向量. (3)如图所示,以向量������������=a,������������=b 为邻边作平行四边形 ABCD,则两条对角线 对应的向量分别为������������ =a+b,������������ =a-b.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
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1.掌握向量减法的定义,并理解其几何意义,会用向量加法的三角形法则和 平行四边形法则作出两个向量的差. 2.能够化简含有向量的式子.
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题型一
题型二
作法一:在平面上任取一点 O,作������������=a,������������=b,则������������ =a+b,如图①所示,再作 ������������ =c,则 a+b-c 为������������ .
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2.向量的减法
定义 a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 在平面内任取一点 O,作������������=a,������������=b,则向量 a-b=������������.如图所示 作法
相反向量类似于实数中的相反数,它们的性质有相似之处.
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【做一做 1】 非零向量 m 与 n 是相反向量,下列选项中不正确的是 ( ) A.m=n B.m=-n C.|m|=|n| D.m,n 的方向相反 答案:A
图①
图②
作法二:在作出������������ =a+b 的基础上,可以以点 B 为终点作������������ =c,则������������ =a+b-c, 如图②所示.
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