概率统计第六章

F (n1 , n2 ) 分布的上 分位点．
1 F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
（四）正态总体的样本均值与样本方差的分布
2 2 S N ( , ) X X , X , X 设 1 2 的样本， 、 分 n 是来自总体
别是样本均值和样本方差，则有 1． X ~ N ( ,
2．t 分布 （1）定义 设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2 (n) ,且X 与 Y 相互独立， 则
t X Y n
t
称随机变量
服从自由度为 n 的
t (n) 的概率密度为
分布，记作 t ~ t (n) .
(n 1) 2 t 2 1 h(t ) n n n 2
U
X1 X 2 X 9 Y12 Y22 Y92
.
分析 由
X i ~ N (0, 32 ) ， X 1 , X 2 , , X 9 ( i 1, 2,, 9 )，
相互独立，
则其和 X 1 X 2 X 9 ~ N (0, 92 ) ，从而
Yi ~ N (0,32 ), (i 1, 2,, 9 ) ，则
1 5 X X i ，因总体 X ~ N (12, 4) ，故 X ~ N (12, 4 5) 5 i 1
总体均值 E ( X ) 12，所求概率即为 P{| X 12 | 1} .
解
从而
P{| X 12 | 1} 1 P{| X 12 | 1}
X 12 1 1 1 P { } 1 P{1 X 12 1} 45 45 45 1 1 1 ( ) ( ) 2 2(1.12) 45 45
2 【例1】在总体 N (52, 6.3 ) 中随机抽一容量为 36 的样本， 求样本均值 X 落在 50.8 到 53.8 之间的概率． （教材P.142，习题1）
分析 总体为正态分布，则样本均值亦为正态分布，
利用正态分布的概率计算即可求得.
2 解 因 X i ~ N (52, 6.3 )， i 1, 2, , 36
,
2 2 2 2 n)，则 X 1 X 2 X n 服从
分布．
解 2 (n) . 【例2】已知总体
X Y 服从
X ~ 2 (2)
， Y ~ 2 (3) ,且 X 与 Y 独立，则
分布．
, X 2 , , X n
解 2 (5) . 【例3】设 X 则
X n S
2
n );
2． (n 1) S 2 ~ 2 (n 1) ; 2

2 3. X 与 S 相互独立 ；
4． X ~ t (n 1) . S n
二、典型例题举例
（一）填空题 【例1】设随机变量 X 1 , X 2 , , X n 相互独立，且 X i ~ N (0, 1)
(i 1, 2,
第六章 样本及抽样分布
一、内容提要
（一）随机样本和统计量 1．总体 所研究对象的全体所组成的集合．
2．个体
组成总体的每个元素．
以某方式自总体随机抽选的个体之标志值
3．随机样本
集合，简称样本．
4．简单随机样本 随机样本． 5．统计量 随机样本的一个不含有任何未知参数的函数． 各分量相互独立且与总体同分布的
1 1
y

n1 n2 2

,
y0 y0
（2）性质 （3）分位点 的 F (n1 , 注
n2 )
若 F ~ F (n1 , n2 ) ，则 对 为
0 1
1 ~ F (n2 , n1 ) F
.

1 2
，称满足
P{F F (n1 , n2 )} F ( n , n )) ( y)dy
2 2 2
由总体
X和 Y
的独立性及 t 分布的定义，有
U
X1 X 2 X 9
2 1 2 2
~ t ( 9 ) Y Y Y
2 9
（二）选择题 【例1】设 X ,
1
X 2 , , X n
是来自正态总体
2
N (, 2 ) 的简单随
机样本，其中 未知， 已知，则下面不是统计量的是
的总
体 X，X 及 S 2 分别为样本的平均值及无偏方差，则以下 结果不成立的是
(A) X i ~ N (0, 1) , (1 i n)
(C)
nX ~ t (n 1) S
(B) X ~ N (0, 1)
2 2 X ~ ( n) (D) i i 1 n
答（
）
解 B.
（三）计算题
X1 X 2 X 9 ~ N (0,1). 9
Yi ~ N (0,1), (i 1, 2, , 9 ) 3
又由于 Y1 , Y2 , , Y9 相互独立，则
Y9 Y1 Y2 2 ~ (9) 3 3 3
(C)
N (0, 1)
N (n, n 2 )
答（
）
解 A .
【例4】设随机变量
X
和 Y 都服从标准正态分布，则
2 (B) 服从 分布.
(A) X Y 服从正态分布.
(C) X 2和 Y 2 都服从 2 分布
(D) X 2 Y 2 服从 F 分布. 答（
）
解 C
.
【例5】设 ( X1 ,
X 2 , , X n ) 及 (Y1 , Y2 , , Ym )
分别来自两个独立的
正态总体
N (1 , 2 )及 N ( 2 , 2 )
2 1
的两个样本，其样本（无偏）方
S 12 差分别为 S 及 S ，则统计量 F S 2 服从 F 分布的自由度为 2 (A) (n 1, m 1) . (B) (n, m) .
(A)
1 n X Xi n i 1
1 n ( X i X )2 (B) S n 1 i 1
2
(C)
1 2
(X
i 1
n
i
X )2
(D)
1 n ( X i ) 2 n i 1
答（
）
解 D.
【例2】设
X 1 , X 2 , , X n是总体的样本，则
1 n ( X i X )2 n 1 i 1
.
4．样本k 阶（原点）矩 5．样本k 阶中心矩 注 设 X1 ,
1 n k Ak X i ，k 1, 2, . n i 1
1 n Bk ( X i X ) k， n i 1
k 1, 2, .
X 2 , , X n 为来自总体
X（不论X服从什么分布，只
要它的均值和方差存在）的样本，且 E ( X ) ，则有
53.8 52 50.8 52 ) ( ) P{50.8 X 53.8} ( 6.3 6 6.3 6
6 .3 所以 X ~ N (52, ) ，从而 6
2
(1.714) (1.142)
(1.714) (1.142) 1
2 2 2 D( X ) （1） E ( X ) ， ；（2） E(S ) . n
（三）正态总体的常用统计量
2 1． 分布 （1）定义 设 X 1 , X 2 , X n 是来自总体 N (0, 1) 的样本，则
称统计量 2 X 12 X 22 X n2 服从自由度为n 的 2 分布，
（二）随机样本的常用统计量
1 n 1．样本均值 X X.i n i 1 n 1 n 2 1 2 2 2 2．样本方差 S X n X . ( X X ) i i n 1
n 1 i 1
2
i 1

3．样本标准差
1 n S S ( X i X )2 n 1 i 1
U n1 F V n2
称随机变量
服从自由度为 (n1 , n2 ) 的 F 分布，记作 F ~ F (n1 , n2 ) .
F (n1 , n2 ) 分布的概率密度为
n n 2 1 ( n n ) 2 n n1 1 2 1 2 y 1 n ( y ) n 2 n 2 n 1 2 2 2 0,
2 2 ~ (n) . 记作
2 (n) 的概率密度为:
n x 1 1 y2 e 2 , n2 f ( y ) 2 n 2 0,
y0 y0
分布的可加性 （2）
2
2 设 12 ~ 2 (n1 ) ，2 ~ (n2 ) ，并且 2
2 2 2 2 1 2 ~ (n1 n2 ) . 、 2 独立，则 1 2
是
(A) 样本矩.
(B) 二阶原点矩.
(D) 统计量.
(C) 二阶中心矩.
答（
）
解 D 【例3】设
.
X 1 , X 2 , , X n
. 是取自总体 .
X ~ N (, 2 ) 的样本，则
1 n X Xi n i 1
服从分布
(B)
(D)
(A)
2 N (, ) n
N (, 2 )
2(1 0.8686) 0.2628.
【例3】从正态总体 N (3.4, 62 ) 中抽取容量为n 的样本，如果要 求其样本均值位于区间 (1.4, 5.4) 内的概率不小于 0.95 ，问样本
容量n 至少应取多大？
附表 标准正态分布表 ( x)
x
1 e 2