例题一
例题1
一、某企业对第一车间生产的乙产品采用定额法计算成本。
有关乙产品的其他资料如下：（1）乙产品是使用A材料，由两道工序加工而成。
A材料随加工进度陆续投入，其投料程度与加工进度不一致。
乙产品的A材料消耗定额为50千克，其中第一工序为30千克，第二工序为20千克。
（2）本月乙产品期初在产品为100件，其中第一工序为60件，第二工序为40件；本月完工产品为1000件；期末在产品为200件，其中第一工序80件，第二工序为120件。
（3）A材料的计划单价为每千克10元。
本月实际领用A材料54000千克。
第一车间A材料期初余料为1000千克，期末余料为900千克。
（4）本月A材料的材料成本差异率为1%（5）本月乙产品起初在产品直接材料脱离定额的差异为超支2400元。
要求：1.计算乙产品在各工序的投料率，并据以计算期初、期末在产品的约当产量。
2.采用盘存法计算确定乙产品本月直接材料脱离定额的差异3.按定额成本比例，计算分配A产品本月完工产品与期末在产品应负担的直接材料脱离定额差异4.计算本月领用A材料应负担的材料成本差异。
5.计算乙产品本月完工产品与期末在产品的实际直接材料费用（本月领用A材料应负担的材料成本差异全部由完工产品负担）。
解答：1.约当产量法下直接费用的分配一次投入简单不再赘述随加工进度投入分三种情况：A：投入程度与加工进度完全一致或基本一致月末在产品的投料率可以采用分配加工费用时的完工率B：投料程度与加工进度不一致一般以各工序的直接材料消耗定额为依据，投料程度按完成本工序投料的0.5折算。
（本题采用这种情况核算）C：每一道工序则是在开始时一次投入，投料程度按完成本工序投料的100%计算第一工序投料率：（30*0.5）/50=0.3第二道工序投料率：（30+20*0.5）/0.5=0.8期初在产品约当产量：60*0.3+40*0.8=50期末在产品约当产量：80*0.3+120*08=1202盘存法：本期投产产品数量=本期完工产品数量+期末在产品数量-期初在产品数量（投产产品数量-实际产品数量）*计划价格=本月脱离定额差异本月投产产量：1000+120-50=1070（件）本月投产产量定额消耗量：1070*50=53500（千克）本月投产产量计划价格费用：53500*10=535000（元）本月实际耗用材料数量：54000+1000-900=54100（千克）实际耗用材料计划价格费用：54100*10=541000（元）本月脱离定额差异：541000-535000=6000（元）（超支）3.完工产品1000件。
一年级奥数 14-巧移物体
本讲总结
三、分堆换位置问题
方法：
①分别计算总数 ②最大最小之间找差值
四、多人分配问题
方法： ①计算总多余量 ②逐个分给每个人
例题【六】（★ ★ ★ ★）
艾迪有9株仙人掌，加加有4株仙人掌，减减有5株仙人掌， 怎样才能使三人的仙人掌一样多？
知识链接
多人分配问题 步骤： ①计算总多余量 ②逐个给每个人
拓展（★ ★ ★ ★）
红红有13张邮票 ，她把3张给了云云，1张给了小明明明后，他们 三人的邮票一样多，云云和明明原来各有几张邮票？
课前活动
根据题目要求，请你移一移。
⑵移一移，从第二行移( )个护目镜到第一行， 才能使两行护目镜的数量相等。
课前活动
根据题目要求，请你移一移。
⑵移一移，从第二行移( 3 )个护目镜到第一行， 才能使两行护目镜的数量相等。
课前活动
根据题目要求，请你移一移。
⑶要使上行和下行的口罩相差4个，总数不变应该怎样摆？
红红：13-3-1=9（张） 云云：9-3=6（张） 明明：9-1=8（张）
知识链接
多人分配问题 步骤： ①计算总量多余量 ②逐个分给每个人
本讲总结
巧 移物体 一、移多补少 ①一 人多、一人少， 两人平等才不吵， 数数比他多多少， 给出一半两人笑。 二、求原来有多少 方法： ①画出谁给谁 ②找到平衡态 ③不看别人的
巧移物体
一年级 第14课
课前活动
乐乐老师看到了，直夸优优是个懂事的孩子。聪明的 小朋友，请你想一想，优优把几个萝卜给了闹闹呢？
例题一（★ ★ ★ ）
根据题目要求，请你移一移。
⑴移一移，要 使两行的纱布一样多，应从第一行移 ( ) 块到第二行。
课前活动
数量关系例题 (1)
【例题】某行政村计划15天完成春播任务1500亩，播种5天后，由于更新机械，工作效率提高25%，问这个行政村会提前几天完成这1500亩的春播计划? A.4 B.3 C.2 D.1【例题】某工厂的一个生产小组，当每个工人在自己的工作岗位上工作时，9小时可以完成一项生产任务。
如果交换工人甲和乙的工作岗位，其他人的工作岗位不变时，可提前1小时完成任务；如果交换工人丙和丁的工作岗位，其他人的工作岗位不变时，也可提前1小时完成任务。
如果同时交换甲和乙、丙和丁的工作岗位，其他人的工作岗位不变，可以提前多少小时完成这项任务?A.1.6B.1.8C.2.0D.2.4【例题】有20人修筑一条公路，计划15天完成。
动工3天后抽出5人植树，留下的人继续修路。
如果每人工作效率不变，那么修完这段公路实际用多少天? A.16 B.17 C.18 D.19【例题】单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙、……的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间?A.13小时40分钟B.13小时45分钟C.13小时50分钟D.14小时【例题】甲、乙两车运一堆货物。
若单独运，则甲车运的次数比乙车少5次；如果两车合运，那么各运6次就能运完，甲车单独运完这堆货物需要多少次? A.9 B.10 C.13 D.15【解析】C。
原来的工作效率为100亩/天，提高25%后则每天播种125亩，剩余的1000亩需要8天播完，因此可以提前2天完成任务。
【解析】【解析】D。
设每人每天干活1个单位，那么，题意可以理解为15人干活需要干满20天。
因为有5个人另干了3天，即相当于15个人干了一天的活，所以15人现在只需干活20-1=19天。
【解析】【解析】【例题】3，6，11，( )，27 A．15 B．18 C．19 D．24【例题】118，199，226，( )，238 A．228 B．230 C．232 D．235【例题】2/3 ，1/2 ，5/9 ，( )，11/15 A．2/5 B．6/11 C．3/4 D．7/12 【例题】2，3，10，23，( ) A．35 B．42 C．68 D．79【例题】8，16，22，24，( ) A．18 B．22 C．26 D．28【解析】B。
(完整)初中数学一题多解题
初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即4x^2-1=323x^2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x^2-1=323x^2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得135992512433202x y z x y z ++=<>++=<>⎧⎨⎩.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。
1. 凑整法解1：<>+<>123，得5344153x y z ++=<>.<>+<>23，得7735().x y z ++=∴++=x y z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为134292522320()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=⎧⎨⎩ 解之得：x y z ++=105.2. 主元法解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2>得x z =-0505..，y z =-05505.. ∴++=+-+=x y z z z 05505105...解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2>得y x z x =+=-00512.，∴++=+-+=x y z x x x 1052105..解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2>得x y z y =-=-005112..， ∴++=-++-=x y z y y y 005112105...3. “消元”法解6：令x =0，则原方程组可化为5992543320051y z y z y z +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩... ∴++=x y z 105.解7：令y =0，则原方程组可化为1399252332000511x z x z x z +=+=⎧⎨⎩⇒=-=⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.解8：令z =0，则原方程组可化为1359252432005055x y x y x y +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.4. 参数法解9：设x y z k ++=，则1359925124332023x y z x y z x y z k ++=<>++=<>++=<>⎧⎨⎪⎩⎪..∴<>-<>⨯123，得x y -=-<>0054.<>⨯-<>332，得x y k -=-<>3325.∴由<4>、<5>得332005k -=-..∴=k 105.即x y z ++=105.5. 待定系数法解10. 设x y z a x y z b x y z a b x a b y a b z ++=+++++=+++++<>()()()()()135924313254931则比较两边对应项系数，得1321541931121421a b a b a b a b +=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 将其代入<1>中，得x y z ++=⨯+⨯=⨯=121925421321212205105....附练习题1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
七年级上册数学例题汇总(一)
七年级上册数学例题汇总P3例（2）某年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是： 美国减少6.4%， 德国增长1.3%， 法国减少2.4%， 英国减少3.5%， 意大利增长0.2%，中国增长7.5%. 写出这些国家该年商品进出口总额的增长率. 解：六个国家该年商品出口总额的增长率：美国 -6.4%， 德国 1.3%， 法国 -2.4%， 英国 -3.5%，意大利 0.2%， 中国 7.5%. P13 例比较下列各数的大小（1）)1(--和)2(+- ; （2） 73218--和 ; （3）31)3.0(---和解：（1）先化简，1)1(=--，2)2(-=+-. 因为正数大于负数，所以21->，即>--)1()2(+-（2）这是两个负数比较大小，先求它们的绝对值。
218218=-，2197373== 因为219218<，即73218-<-， 所以73218->-。
（3）先化简，3.0)3.0(=--，3131=-。
因为313.0<， 所以31)3.0(-<--。
P18例1 计算（1）)9()3(-+-; （2）9.3)7.4(+-解（1）12)93()9()3(-=+-=-+- （2）8.0)9.37.4(9.3)7.4(-=--=+-P19例2 计算)35(24)25(16-++-+。
解：)35(24)25(16-++-+)]35()25[(2416-+-++= )60(40-+=20=P20例3 每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如 图所示，与标准重量比较，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？10袋小麦的总重量是多少？解法1：先计算10袋小麦的总重量，91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1＝905.4再计算总计超过多少千克， 905.4 –90×10＝5.4答：10袋小麦总计超过标准重量5.4千克，总重量是905.4千克. 解法2：每袋小麦超过标准重量的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，10袋小麦对应的数为+1，+1， +1.5，–1，+1.2，+1.3，–1.3，–1.2，+1.8，+1.1.1+1+1.5+(–1)+1.2+1.3+(–1.3)+(–1.2)+1.8+1.1 ＝[1+(–1)]+[1.2+(–1.2)]+[1.3+(–1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1) ＝5.490×10+5.4＝905.4答：10袋小麦总计超过标准重量5.4千克，总重量是905.4千克. 例4 计算（1）)5()3(--- （2）70- （3）)8.4(2.7-- （4）415)213(-- 解：（1）25)3()5()3(=+-=--- （2）7)7(070-=-+=- （3）128.42.7)8.4(2.7=+=-- （4）438)415()213(415)213(-=-+-=--。
Excel常见面试题(1)
木材
立方米
500
100,000.00
1.3
水泥
吨
2000
50,000.00
1.4
沙石
吨
3000
20,000.00
用公式或函数计算 例题(二)中的“费用”项，其中“费用=单价*年消耗量”保留两位小数）。
【 例题（三） 】
上半年利润表
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 总计
利润 ¥ 514.00 ¥ 624.00 ¥ 841.00 ¥ 621.00 ¥ 547.00 ¥ 268.00 ¥ 3,415.00
3、将表格表头设置为灰色背景，表格文字设置为蓝色背景，表格数字设置为黄色背景. 4利用公式计算
（1）应发工资：应发工资=基本工资+工龄+奖；
（2）扣税：扣税=（应发工资-1000）*0.05
实发工资
【 例题（二） 】
序号
项目
1
外购原材料
单位 年消耗量
单价
费用
1.1
钢材
吨
2000
200,000.00
1.2
5
10
15
20
25
30
35
40
45
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
9
9
18
27
36
常见面试试题
【例题（一)】
举一反五系列 二年级上 附加题
与一反五系列二年级上附加题例题一：李明家养了56只鸭子，24只鸡，养的鸡和鹅的总数比养的鸭少5只，问李明家养了多少只鹅？参考答案鸡和鹅的总数= 鸭的数量- 5鸡和鹅的总数= 56 - 5 = 51根据鸡和鹅的总数= 鸡的数量+ 鹅的数量，可计算鹅的数量：鹅的数量= 鸡和鹅的总数- 鸡的数量鹅的数量= 51 - 24 = 27所以，李明家养了27只鹅。
1.小华家养了30只兔子，养了20只羊。
羊的数量比兔子少10只，问小华家养了多少只鸡？2.小明家养了40只金鱼，养了30只龙虾。
龙虾的数量比金鱼少10只，问小明家养了多少只螃蟹？3.小丽家养了50只狗，养了24只猫。
狗和猫的总数比养的狗少3只，问小丽家养了多少只鸟？4.小亮家养了60只猪，养了25只牛。
猪和牛的总数比养的猪少4只，问小亮家养了多少只羊？5.小花家养了70只鸡，养了26只鸭。
鸡和鸭的总数比养的鸡少2只，问小花家养了多少只鹅？例题二：陈东家养了56只鸭子，24只鸡，养的鸡和鹅的总数比养的鸭少5只，问陈东家养了多少只鹅？参考答案原来油量- 15 + 12 - 18 = 28 原来油量= 15 + 18 + 28 - 12 = 49所以，桶里原来有49千克油。
1.一个水桶里，第一次倒出30升水，后来又倒进20升水，第二次倒出45升水，水桶里还剩下35升水，问水桶里原来有多少升水？2.一个袋子中，第一次取出15个物品，后来又放入8个物品，第二次取出12个物品，袋子里还剩下10个物品，问袋子中原来有多少个物品？3.有一个电容器，第一次充电时注入15库伦的电荷，后来又放电并注入10库伦的电荷，第二次放电并注入18库伦的电荷，电容器最终剩下24库伦的电荷，问电容器原来有多少库伦的电荷？4.有一个花盆，第一次摘下15朵花，后来又摘下8朵花，第二次摘下10朵花，花盆里还剩下28朵花，问花盆里原来有多少朵花？5.有一个瓶子，第一次倒出15升液体，后来又加入10升液体，第二次倒出18升液体，瓶子里还剩下26升液体，问瓶子里原来有多少升液体？例题三：哥哥给了弟弟20支铅笔后还剩50支，这时哥哥的铅笔比弟弟还要少10支，弟弟原来有多少支铅笔？参考答案：分析：哥哥=弟弟-10，弟弟=50+10=60（支），弟弟原来=60-20=40（支）50+10-20=40（支）1.爸爸给小明10个糖果后，还剩下25个糖果，这时，爸爸的糖果比小明少5个。
届高考语文专题复习：信息类文本阅读 专项练习题含答案解析 (一)
届高考语文专题复习：信息类文本阅读专项练习题含答案解析 (一)在高考语文中，信息类文本阅读是一个重要的考察点。
信息类文本阅读包括新闻报道、科普知识、统计数据等文本类型。
正确地阅读和理解信息类文本，不仅能帮助我们扩大知识面，还能在高考中为我们赚取更多的分数。
下面，我们来进行一些专项练习和答案解析，为高考做好准备。
一、新闻类文本【例题一】标题：英国政府推出电子补贴购车计划据英国广播公司BBC报道，英国政府建议在2020年前投入4000万英镑，为购买电动汽车的消费者提供2000英镑的车辆补贴，并建立500个充电站点。
问题：这篇新闻主要报道了什么内容？答案及解析：这篇新闻主要报道了英国政府推出电气补贴购车计划的内容。
关键信息包括投入4000万英镑、为购买电动汽车的消费者提供2000英镑的车辆补贴、建立500个充电站点。
在阅读新闻类文本时，重点关注标题、第一段和最后一段，可以帮助我们迅速理解新闻的主要内容。
【例题二】标题：2019年中国医学科技奖揭晓：57项项目获奖2019年中国医学科技奖揭晓，共有57项项目获奖，其中包括3项特等奖、18项一等奖、34项二等奖和2项三等奖。
问题：这篇新闻主要报道了什么内容？答案及解析：这篇新闻主要报道了2019年中国医学科技奖的获奖情况。
关键信息包括：57项项目获奖、3项特等奖、18项一等奖、34项二等奖和2项三等奖。
当阅读新闻类文本时，要注意关键信息的提取和归纳，这有助于我们更深入地理解文章的主旨。
二、统计数据类文本【例题一】据统计，2019年中国大陆地区航空旅客吞吐量达到6.1亿人次，同比增长9.4%，其中国际和地区航空旅客吞吐量1194.4万人次，同比增长10.6%。
问题：根据统计数据，2019年中国大陆地区航空旅客吞吐量同比增长多少？其中国际和地区航空旅客吞吐量同比增长多少？答案及解析：根据统计数据，2019年中国大陆地区航空旅客吞吐量同比增长了9.4%。
其中，国际和地区航空旅客吞吐量同比增长了10.6%。
单位1的练习及答案
第6讲转化单位“1”（一）【例题1】乙数是甲数的2/3，丙数是乙数的4/5，丙数是甲数的几分之几？2/3×4/5＝8/15练习1：1．乙数是甲数的3/4，丙数是乙数的3/5，丙数是甲数的几分之几？2．一根管子，第一次截去全长的1/4，第二次截去余下的1/2，两次共截去全长的几分之几？3．一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。
他醒来时，发现剩下的路程是他睡着前所行路程的1/4。
想一想，剩下的路程是全程的几分之几？他睡着时火车行了全程的几分之几？【例题2】修一条8000米的水渠，第一周修了全长的1/4，第二周修的相当于第一周的4/5，第二周修了多少米？解一：8000×1/4×4/5＝1600（米）解二：8000×（1/4×4/5）＝1600（米）答：第二周修了1600米。
练习2：用两种方法解答下面各题：1．一堆黄沙30吨，第一次用去总数的1/5，第二次用去的是第一次的1又1/4倍，第二次用去黄沙多少吨？2．大象可活80年，马的寿命是大象的1/2，长颈鹿的寿命是马的7/8，长颈鹿可活多少年？3．仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的1/5，第二次取出余下的1/3，第二次取出多少吨？【例题3】晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的1/4，第二天看了余下的2/5，第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？解： 15÷【（1－1/4）×2/5－ 1/4】＝300（页）答：这本书有300页。
练习3：1．有一批货物，第一天运了这批货物的1/4，第二天运的是第一天的3/5，还剩90吨没有运。
这批货物有多少吨？2．修路队在一条公路上施工。
第一天修了这条公路的1/4，第二天修了余下的2/3，已知这两天共修路1200米，这条公路全长多少米？3．加工一批零件，甲先加工了这批零件的2/5，接着乙加工了余下的4/9。
已知乙加工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？【例题4】男生人数是女生人数的4/5，女生人数是男生人数的几分之几？解：把女生人数看作单位“1”。
高考数学一轮经典例题直线与平面的平行判定和性质
典型(diǎnxíng)例题一例1简述以下问题(wèntí)的结论，并画图说明：〔1〕直线(zhíxiàn)平面(píngmiàn)，直线，那么和α的位置关系如何？〔2〕直线，直线，那么直线b和α的位置关系如何？分析：〔1〕由图〔1〕可知：或者；〔2〕由图〔2〕可知：或者αb．⊂说明：此题是考察直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法．典型例题二例2是平行四边形所在平面外一点，是的中点，求证：平面．分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和直线平行就可以了．证明：如下图，连结，交于点，∵四边形ABCD是平行四边形∴，连结，那么OQ在平面BDQ内，且OQ是的中位线，∴．∵在平面BDQ外，∴//PC平面(píngmiàn)BDQ．说明(shuōmíng)：应用线面平行的断定(duàndìng)定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与直线平行，怎样找这一直线呢？由于两条直线首先要保证一共面，因此常常设法过直线作一平面与平面相交，假如能证明直线和交线平行，那么就可以马上(mǎshàng)得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：过直线作平面，得交线，假设线线平行，那么线面平行．典型例题三例3经过两条异面直线，b之外的一点P，可以作几个平面都与a，b平行？并证明你的结论．分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论．解：〔1〕当P点所在位置使得a，P〔或者b，P〕本身确定的平面平行于b〔或者a〕时，过P点再作不出与a，b都平行的平面；〔2〕当P点所在位置a，P〔或者b，P〕本身确定的平面与b〔或者a〕不平行时，可过点P作，．由于a，b异面，那么，不重合且相交于P．由于，a'，b'确定的平面α，那么由线面平行断定定理知：，αb．可作一个平面都与a，b平行．//故应作“0个或者1个〞平面．说明：此题解答容易无视对P点的不同位置的讨论，漏掉第〔1〕种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进展分类讨论．典型例题四例4平面外的两条平行(píngxíng)直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．：直线(zhíxiàn)，平面(píngmiàn)α，．求证(qiúzhèng)：αb．//证明：如下图，过a及平面α内一点作平面．设，∵αa，//∴．又∵ba//，∴．∵α⊄b，，∴αb．//说明：根据断定定理，只要在α内找一条直线，根据条件αa，为了//利用直线和平面平行的性质定理，可以过a作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面〞为根据来做出辅助平面的．典型例题五例5四面体的所有棱长均为a．求：〔1〕异面直线的公垂线段及EF的长；〔2〕异面直线EF和所成的角．分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线ABSC、的公垂线段，进而求出其间隔；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．解：〔1〕如图，分别(fēnbié)取ABSC、的中点(zhōnɡ diǎn)，连结(liánjié)．由，得≌．∴，是的中点(zhōnɡ diǎn)，∴．同理可证∴EF是ABSC、的公垂线段．在中，，．∴．〔2〕取AC的中点，连结，那么．∴EF和所成的锐角或者直角就是异面直线EF和SA所成的角．连结，在中，，，．由余弦定理，得．∴．故异面直线EF和SA所成的角为．说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．典型例题六例6 假如一条直线与一个平面(píngmiàn)平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．：直线(zhíxiàn)α//a ，，，a b //．求证(qiúzhèng)：α⊂b ．分析(f ēnx ī)：由于过点与a 平行的直线是惟一存在的，因此，此题就是要证明，在平面α外，不存在过B 与a 平行的直线，这是否认性命题，所以使用反证法．证明：如下图，设α⊄b ，过直线a 和点B 作平面β，且．∵α//a ，∴．这样过B 点就有两条直线b 和同时平行于直线a ，与平行公理矛盾． ∴b 必在α内．说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的根据． (2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下表达方式．如上图，过直线a 及点B 作平面β，设'b =αβ ．∵α//a ，∴α//'b ． 这样，'b 与b 都是过B 点平行于a 的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，∴b 与'b 重合．∵，∴α⊂b ．典型例题七例7 以下命题正确的个数是〔〕．(1)假设直线上有无数个点不在平面α内，那么；(2)假设(jiǎshè)直线l平行(píngxíng)于平面α内的无数条直线(zhíxiàn)，那么α//l；(3)假设(jiǎshè)直线l与平面α平行，那么l与平面α内的任一直线平行；(4)假设直线l在平面α外，那么α//l．A．0个B．1个C．2个D．3个分析：此题考察的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解此题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公一共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类．解：(1)直线l上有无数个点不在平面α内，并没有说明是所在点都不在平面α内，因此直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数〞并非“所有〞．(2)直线l虽与α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以直线l不一定平行α．(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当αl时，假设且，那么在平面α内，除了与平//行的直线以外的每一条直线与l都是异面直线．(4)直线l在平面α外，应包括两种情况：α//l和l与α相交，所以l与α不一定平行．应选A．说明：假如题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完好，考虑要全面．如直线l、m都平行于α，那么l与m的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线、αl，那么m与α的位置关系可//能是平行，可能是m在α内．典型例题八例8如图，求证：两条平行线中的一条和平面相交，那么另一条也与该平面相交．：直线ba//，．求证：直线b与平面α相交．分析(fēnxī)：利用(lìyòng)ba//转化(zhuǎnhuà)为平面问题来解决，由a//可确定一辅助(fǔzhù)平面β，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造b了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识可以运用．解：∵ba//，∴a和b可确定平面β．∵，∴平面α和平面β相交于过点P的直线l．∵在平面β内l与两条平行直线a、b中一条直线a相交，∴l必定与直线b也相交，不妨设，又因为b不在平面α内〔假设b 在平面α内，那么α和β都过相交直线b和l，因此α与β重合，a在α内，和矛盾〕．所以直线b和平面α相交．说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公一共点；否认直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线假如经过平面内一点，又经过平面外一点，那么此直线必与平面相交〔此结论可用反证法证明〕．典型例题九例9如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行．：a与b是异面直线．求证：过b且与a平行的平面有且只有一个．分析：此题考察存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有〞的含义．“有〞就是要证明过直线b存在一个平面α，且αa，“只有〞就//是要证满足这样条件的平面是唯一的．存在性常用构造法找出〔或者作出〕平面，唯一性常借助于反证法或者其它唯一性的结论．证明(zhèngmíng)：(1)在直线(zhíxiàn)b上任(shàng rèn)取一点A，由点A和直线(zhíxiàn)a可确定平面β．在平面β内过点A作直线，使，那么'a和b为两相交直线，所以过'a和b可确定一平面α．∵αb，a与b为异面直线，⊂∴．又∵，，∴αa．//故经过b存在一个平面α与a平行．(2)假如平面也是经过b且与a平行的另一个平面，由上面的推导过程可知γ也是经过相交直线b和'a的．由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面α与γ重合，即满足条件的平面是唯一的．说明：对于两异面直线a和b，过b存在一平面α且与a平行，同样过a也存在一平面β且与b平行．而且这两个平面也是平行的〔以后可证〕．对于异面直线a和b的间隔，也可转化为直线a到平面α的间隔，这也是求异面直线的间隔的一种方法．典型例题十例10 如图，求证：假如一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．：，α//a ，，求证：．分析(f ēnx ī)：此题考察综合运用线面平行的断定(duàndìng)定理和性质定理的才能．利用线面平行的性质定理，可以先证明直线a 分别和两平面的某些直线(zhíxiàn)平行，即线面平行可得线线平行．然后再用线面平行的断定定理和性质定理来证明a 与l 平行(píngxíng)．证明：在平面α内取点P ，使，过P 和直线a 作平面γ交α于b ．∵α//a ，，，∴b a //．同理过a 作平面交β于． ∵β//a ，，，∴c a //． ∴c b //． ∵，， ∴．又∵α⊂b ，l =βα ， ∴．又∵b a //， ∴l a //．另证：如图，在直线l 上取点，过M 点和直线a 作平面和α相交于直线，和β相交于直线．∵α//a ，∴， ∵β//a ，∴，但过一点只能(zh ī nénɡ)作一条直线与另一直线平行． ∴直线(zhíxiàn)和2l 重合(chónghé)． 又∵，，∴直线(zhíxiàn)1l 、2l 都重合于直线l ， ∴l a //．说明：“线线平行〞与“线面平行〞在一定条件下是可以互相转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要．典型例题十一例11 正方形ABCD 与正方形所在平面相交于，在、BD 上各取一点P 、Q ，且．求证：面．分析：要证线面平行，可以根据断定定理，转化为证明线线平行．关键是在平面BCE 中如何找一直线与平行．可考察过PQ 的平面与平面BCE 的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同．证明一：如图，在平面ABEF 内过P 作交于M ， 在平面ABCD 内过Q 作交于，连结．∵ABPM//，∴．又∵，∴，即．∵正方形ABEF与ABCD有公一共(yīgòng)边AB，∴．∵DQAP ，∴．∴．又∵ABPM//，ABQN//，∴．∴四边形为平行四边形．∴．又∵面BCE，∴//PQ面BCE．证明(zhèngmíng)二：如图，连结(lián jié)并延长(yáncháng)交BC于，连结．∵，∴．又∵正方形ABEF 与正方形ABCD 有公一共边AB ， ∴DB AE =， ∵DQ AP =，∴．∴．∴， 又∵面， ∴//PQ 面BEC ．说明(shu ōmíng)：从此题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线(zhíxiàn)与直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行挪动、补形等方法，详细用何种方法要视条件而定．此题中我们可以把“两个有公一共边的正方形〞这一条件(tiáojiàn)改为“两个(li ǎn ɡ ɡè)全等的矩形〞，那么题中的结论是否仍然成立？典型例题十二例12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或者平行、或者相交于一点．：，，．求证：a 、b 、c 互相平行或者相交于一点．分析：此题考察的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据一共面的两条直线平行或者相交来推论三条交线的位置关系．证明：∵a =βα ，b =γβ ， ∴．∴a 与b 平行或者相交． ①假设b a //，如图∵，，∴．又∵c =αγ ，α⊂a ，∴c a //． ∴．②假设(ji ǎshè)a 与b 相交(xi āngji āo)，如图，设，∴，． 又∵，．∴， 又∵，∴． ∴直线(zhíxiàn)a 、b 、c 交于同一点(y ī di ǎn)O ．说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD 中， M 、N 分别是、的中点，画出点、M 、N 的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？典型例题十三例13 空间四边形ABCD ，，AE 是的BC 边上的高，是的BC 边上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线． 证法一：〔定理法〕如图由题设条件可知点E、不重合，设BCD∆所在平面α．∴AE和DF是异面直线(zhíxiàn)．证法(zhènɡ fǎ)二：〔反证法〕假设(jiǎshè)AE和DF不是(bù shi)异面直线，那么AE和DF一共面，设过AE、DF的平面为β．(1)假设E、F重合，那么E是BC的中点，这与题设ACAB≠相矛盾．(2)假设E、F不重合，∵，，，∴．∵，，∴A、B、、D四点一共面，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾．综上，假设不成立．故AE和DF是异面直线．说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用．首先看一个有趣的实际问题：“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？〞对于这个问题，同学们可试验做一做．也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，那么9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题．典型例题十四例14AB、BC、是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，求证：平面和AC平行，也和BD平行．分析(fēnxī)：欲证明(zhèngmíng)AC平面(píngmiàn)EFG，根据直线(zhíxiàn)和平面平等的断定定理只须证明AC平行平面EFG内的一条直线，由图可知，只须证明．证明：如图，连结AE、EG、EF、．在ABC∆中，E、F分别是AB、BC的中点．∴EFAC//．于是AC//平面EFG．同理可证，BD//平面EFG．说明：到目前为止，断定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的断定定理．典型例题十五例15空间四边形ABCD，P、Q分别是ABC∆的重心，∆和BCD求证：．分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ与平面中的某条直线平行，根据条件，此直线为，如图．证明：取BC的中点E．∵P 是ABC ∆的重心，连结AE ， 那么，连结，∵Q 为BCD ∆的重心， ∴，∴在中，．又，，∴ACD PQ 平面//．说明(shu ōmíng)：(1)本例中构造(gòuzào)直线AD 与PQ 平行，是充分借助于题目(tímù)的条件：P 、Q 分别(f ēnbié)是ABC ∆和BCD ∆的重心，借助于比例的性质证明AD PQ //，该种方法经常使用，望注意把握．(2)“欲证线面平行，只须证线线平行〞．断定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法．根据问题详细情况要纯熟运用．典型例题十六例16 正方体中，E 、G 分别是BC 、的中点如以下图．求证：．分析：要证明D D BB EG 11//平面，根据线面平等的断定定理，需要在平面内找到与EG 平行的直线，要充分借助于E 、G 为中点这一条件． 证明：取BD 的中点F ，连结EF 、．∵E 为BC 的中点，∴EF 为BCD ∆的中位线，那么，且．∵G 为11D C 的中点， ∴且， ∴且，∴四边形为平行四边形， ∴，而，，∴．典型(di ǎnxíng)例题十七例17 假如(ji ǎrú)直线，那么(nà me)直线a 与平面(píngmiàn)α内的〔 〕．A ．一条直线不相交B ．两条相交直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线都不相交解：根据直线和平面平行定义，易知排除A 、B ．对于C ，无数条直线可能是一组平行线，也可能是一共点线，∴C 也不正确，应排除C ．与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a 与平面α平行，∴D 正确．∴应选D ．说明：此题主要考察直线与平面平行的定义．典型例题十八例18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是〔 〕． A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或者异面解：如图中的甲图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、是相交关系；如图中的乙图，分别(fēnbié)与异面直线a、b平行(píngxíng)的两条直线c、d 是相交(xiāngjiāo)关系．综上，可知(kě zhī)应选D．说明：此题主要考察有关平面、线面平行等根底知识以及空间想象才能．典型例题十九例19a、b是两条异面直线，以下结论正确的选项是〔〕．A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b平行B．过不在a、b上的任一点，可作一个直线与a、b相交C．过不在a、b上的任一点，可作一个直线与a、b都平行D．过a可以并且只可以作一平面与b平行解：A错，假设点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与 平行了．B错，假设点与a所确定的平面与b平等时，就不能作一条直线与a，b相交．C错，假设这样的直线存在，根据公理4就可有ba//，这与a，b异面矛盾．D正确，在a上任取一点A，过A点做直线bc//，那么c与a确定一个平面与b平行，这个平面是惟一的．∴应选Ｄ．说明：此题主要考察异面直线、线线平行、线面平行等根本概念．典型例题二十例20 (1)直线b a //，α平面//a ，那么b 与平面α的位置关系是_____________．(2)A 是两异面直线a 、b 外的一点，过A 最多可作___________个平面同时与a 、b 平行．解：(1)当直线b 在平面α外时，α//b ；当直线b 在平面α内时，α⊂b ． ∴应填：α//b 或者α⊂b ．(2)因为过A 点分别作a ，b 的平行线只能作一条，〔分别称'a ，'b 〕经过'a ，'b 的平面也是惟一的．所以只能作一个平面； 还有不能作的可能，当这个平面(píngmiàn)经过a 或者(huòzhě)b 时，这个(zhè ge)平面就不满足条件了．∴应填：1．说明(shu ōmíng)：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答此题的关键．典型例题二十一例21 如图，α//a ，A 是α的另一侧的点，，线段AB ，AC ，AD 交α于E ，F ，G ，假设，，，那么EG =___________．解：∵α//a ，．∴，即，∴．那么．∴应填：．说明：此题是一道综合题，考察知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等．同时也考察了综合运用知识，分析和解决问题的才能．内容总结（1）典型例题一例1 简述以下问题的结论，并画图说明：〔1〕直线平面，直线，那么和的位置关系如何。
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浮力例题
1.质量为100g，边长为5cm的正方体 1.质量为100g，边长为5cm的正方体 质量为100g 5cm 放入水中静止后，受到多大的浮力？ 放入水中静止后，受到多大的浮力？ 如果这个正方体边长为4cm放入水中静 如果这个正方体边长为4cm放入水中静 4cm 止后， 止后，受到多大的浮力？
2.将密度为0.6*103kg/m3,体积125cm3 的木块放入盐水中，木块有一半的体 积露出盐水， 则木块受到的浮力为多大？ 盐水的密度为多少？
拓展提升部分:
例一
一个边长为10cm的正方体金属块，密度为 5*103kg/m3，放在面积为1dm2的桌面上， 求它对桌面的压强为多大？
例题二
一雪橇质量为100kg，与雪地的接触面积为 2m2,若装载了150kg的货物后，对地面的 压强为多大？
例题三
如图，利用滑轮组吊动重600的货物，动 滑轮重100N，人的重力为600N，人的双脚 与地面的接触面积为250cm2,
求人对地面的压强为多大？
在封冻的冰面上， 在封冻的冰面上，若人的每只鞋底面积 体重为500 N的人恰好可以 是125 cm2，体重为 的人恰好可以 通过，如果每只鞋底面积是175 cm2，体 通过，如果每只鞋底面积是 重为500 N的人最多可以负重多少通过冰 重为 的人最多可以负重多少通过冰 面？