高中数学竞赛试题及解题答案

高中数学竞赛试题及解题答案在高中数学竞赛中，试题是考察学生数学思维和解决问题的能力的重要手段。下面将为大家提供一部分高中数学竞赛试题及解题答案，

希望能够帮助大家更好地理解和应用数学知识。

一、整数与多项式

试题1：

已知多项式P(x)满足P(x)=x^3-5x^2+ax+b，其中a、b均为整数。若多项式P(x)除以(x-1)得到余数4，则多项式P(x)除以(x+2)的余数为多少？

解题思路：

我们知道，多项式f(x)除以x-a的余数等于把a带入f(x)中所得到的值。那么，题目中给出了P(x)除以(x-1)的余数为4，即P(1)=4，我们可以将1代入P(x)中，得到一个方程。同理，题目要求求解P(x)除以(x+2)的余数，即P(-2)=？

根据题意，我们有以下方程：

P(1) = 4，即1^3 - 5(1^2) + a(1) + b = 4

P(-2) = ?，即(-2)^3 - 5((-2)^2) + a(-2) + b = ?

解题步骤：

1. 代入P(1)的方程求解：1 - 5 + a + b = 4

化简得 a + b = 8

2. 代入P(-2)的方程求解：-8 - 20 - 2a + b = ?

化简得 -2a + b = ?

将两个方程合并求解可得：

-2a + b = a + b - 16

当两边消去b时，可得：

-2a = a - 16

a = -8

将a代入第一个方程a + b = 8，可得：

-8 + b = 8

b = 16

因此，通过计算可得多项式P(x)除以(x+2)的余数为-16。

试题2：

已知整数序列a1, a2, a3, ...，其中a1 = 1，a2 = 2，an = an-1 + an-2（n ≥ 3）。求证：对于任意正整数n，任务子序列a1, a2, ..., an中必定存在一个数可以被11整除。

解题思路：

根据题意，我们需要证明对于任意正整数n，序列a1, a2, ..., an中必定存在一个数可以被11整除。

解题步骤：

1. 观察序列：

a1 = 1

a2 = 2

a3 = a1 + a2 = 1 + 2 = 3

a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5

a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8

a6 = a5 + a4 = 8 + 5 = 13

...

我们可以发现，序列中的数在经过每两个相邻的数相加后，会逐渐

增大并构成斐波那契数列。同时，我们注意到这个斐波那契数列列举

出的第一个数是1，对于模11来说，1^{n} 的结果为1，因此对于模

11来说，斐波那契数列具有11的周期性。

2. 证明：

由于斐波那契数列具有11的周期性，我们只需要证明在每一个周

期中，必定存在一个数可以被11整除。

假设周期长度为k，根据周期性，斐波那契数列的前k个数除以

11的余数构成一个循环序列。由于有限个数除以11的余数构成的序列

必定会重复，所以存在一个重复的组合，即存在两个整数m、n，满足：am ≡ an (mod 11)，其中m > n

我们可以看到 an 和 am 的差值也是斐波那契数列，即：

am - an ≡ am-1 (mod 11)

≡ ...

≡ ak-1 (mod 11)

≡ a1 (mod 11)

≡ 1 (mod 11)

所以，am - an ≡ 1 (mod 11)，即恰好在m和n之间的数可以被11整除。

综上所述，对于任意正整数n，序列a1, a2, ..., an中必定存在一个数可以被11整除。

二、函数与方程

试题1：

已知函数f(x)满足f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n) = n^2f(n)，其中n为正整数，求f(2019)的值。

解题思路：

题目给出了函数f(x)的等式关系，我们需要计算f(2019)的值。

解题步骤：

1. 代入n=1的情况：f(1) = 1^2f(1)

化简后得到 f(1) = 0 或 1

2. 代入n=2的情况：f(1) + f(2) = 2^2f(2)

将f(1)的两种情况代入，分别可得 f(2) = 0 或 1

3. 代入n=3的情况：f(1) + f(2) + f(3) = 3^2f(3)

将前面得出的两种情况代入，分别可得 f(3) = 0 或 1

4. 以此类推，代入n=k的情况：

f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(k) = k^2f(k)

将前面得出的各种情况代入，求解f(k)的值，结果为0或1

综合以上步骤，我们可以得到f(x)的表达式：

f(x) = 0, 当x为奇数

f(x) = 1, 当x为偶数

因此，根据题意，f(2019) = 0。

试题2：

已知函数f(x)满足f(x+1) = f(x) + x，其中x为实数，求f(2019)的值。解题思路：

题目给出了函数f(x)的递归关系，我们需要计算f(2019)的值。

解题步骤：

1. 代入x=1的情况：f(2) = f(1) + 1

2. 代入x=2的情况：f(3) = f(2) + 2 = [f(1) + 1] + 2 = f(1) + 3

3. 代入x=3的情况：f(4) = f(3) + 3 = [f(1) + 3] + 3 = f(1) + 6

4. 以此类推，代入x=k的情况：

f(k+1) = f(k) + k = [f(1) + k-1] + k = f(1) + k(k-1)/2

我们可以看到，f(x)的解与f(1)的值有关，因此我们需要求解f(1)的值。

将x=1代入函数f(x+1) = f(x) + x，得：

f(2) = f(1) + 1

将x=2代入函数f(x+1) = f(x) + x，得：

f(3) = f(2) + 2 = f(1) + 1 + 2

综合以上等式可得：

f(1) = f(1) + 1 + 2

0 = 3

由此可见，该问题无解。因此，不存在一个满足给定递归关系的函数f(x)，其中x为实数。

总结：

以上为部分高中数学竞赛试题以及相应的解题过程和答案。通过解题过程的详细讲解，我们可以更好地理解数学竞赛题目中的思路和解题方法，提高我们的数学能力和解决问题的能力。数学竞赛试题的精

妙之处值得我们深入研究和思考，希望大家在参加数学竞赛中能有好的成绩！