高三数学 函数与导数、数列、平面向量、三角函数测试题
【高考数学】《三角函数与导数》的综合题(含答案)
2. 设函数sin ()2cos x f x x=+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求实数a 的取值范围．.（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．1.【高考数学】《三角函数与导数》的综合题3. 已知函数，其中是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令，讨论的单调性并求极值.4. 已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数． 证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．()22cos f x x x =+()()cos sin 22xg x e x x x =-+-2.71828e =L ()y f x =()()()()h x g x af x a R =-∈()h x5. 设函数()e cos (),x f x a x a R -=∈+6. 设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明：()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明：20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.7. 已知函数8()(cos )(2)(sin 1)3f x x x x x π=-+-+2()3()cos 4(1sin )ln(3)x g x x x x x π=--+-.证明：（1）存在唯一0(0,)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.8. 已知函数()()()[]321,12cos .0,12xx f x x e g x ax x x x -=+=+++∈当时， （I ）求证：()11-;1x f x x≤≤+（II ）若()()f x g x ≥恒成立，a 求实数的取值范围..微专题 三角函数与导数的综合题答案1. 解：（1）()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+-令()cos sin 1g x x x x =+-，则()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++= 当()0,x π∈时，令()0g x '=，解得：2x π=∴当0,2x时，()0g x '>；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()0110g =-=，1022g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()112g π=--=-即当0,2x 时，()0g x >，此时()g x 无零点，即()f x '无零点()02g g ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭ 0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x = 又()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减0x x ∴=为()g x ，即()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的唯一零点 综上所述：()f x '在区间()0,π存在唯一零点（2）若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，即()0f x ax -≥恒成立令()()()2sin cos 1h x f x ax x x x a x =-=--+ 则()cos sin 1h x x x x a '=+--，()()cos h x x x g x '''==由（1）可知，()h x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 且()0h a '=-，222h a ππ-⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()2h a π'=-- ()()min 2h x h a π''∴==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭①当2a ≤-时，()()min 20h x h a π''==--≥，即()0h x '≥在[]0,π上恒成立()h x ∴在[]0,π上单调递增 00h xh ，即()0f x ax -≥，此时()f x ax ≥恒成立②当20a -<≤时，()00h '≥，02h π⎛⎫'>⎪⎝⎭，()0h π'< 1,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x '=()h x ∴在[)10,x 上单调递增，在(]1,x π上单调递减又()00h =，()()2sin cos 10h a a ππππππ=--+=-≥()0h x ∴≥在[]0,π上恒成立，即()f x ax ≥恒成立③当202a π-<<时，()00h '<，2022h a ππ-⎛⎫'=->⎪⎝⎭20,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20h x '=()h x ∴在[)20,x 上单调递减，在2,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增()20,x x ∴∈时，()()00h x h <=，可知()f x ax ≥不恒成立 ④当22a π-≥时，()max 2022h x h a ππ-⎛⎫''==-≤⎪⎝⎭()h x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 00h xh 可知()f x ax ≥不恒成立综上所述：(],0a ∈-∞2. 解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++． 当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<． 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+2232cos (2cos )a x x =-+++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭． 故当13a ≥时，()0g x '≥．又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-．故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>．因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加． 故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=，即sin 3x ax >．于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x xf x ax x =>>+．当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭g ≥． 因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．3. 解：（Ⅰ）易求： （Ⅱ）由题意得 2()(cos sin 22)(2cos )xh x ex x x a x x =-+--+，222y x ππ=--因为，令，则，所以在上单调递增.因为(0)0,m=所以当时，()0,m x>当0x<时，(1)当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时取得极小值，极小值是；极大值为，当时取到极小值，极小值是；②当时，，所以当时，，函数在上单调递增，无极值；③当时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时取得极大值，极大值是；当时取得极小值.极小值是.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上递增，在上递减，函数有极大值，也有极小值，()()()()cos sin22sin cos222sinx xh x e x x x e x x a x x'=-+-+--+--()()2sin2sinxe x x a x x=---()()2sinxe a x x=--()sinm x x x=-()1cos0m x x'=-≥()m x Rx>()0m x<a≤x e a-0>x<()0h x'<()h x0x>()0h x'>()h xx=()h x()021h a=--()()()2ln ln2ln sin ln cos ln2h a a a a a a⎡⎤=--+++⎣⎦x=()h x()021h a=--1a=ln0a=(),x∈-∞+∞()0h x'≥()h x(),-∞+∞1a>ln0a>(),0x∈-∞ln0x ae e-<()()0,h x h x'>()0,lnx a∈ln0x ae e-<()()0,h x h x'<()ln,x a∈+∞ln0x ae e->()()0,h x h x'>x=()h x()021h a=--lnx a=()h x()()()2ln ln2ln sin ln cos ln2h a a a a a a⎡⎤=--+++⎣⎦a≤()h x(),0-∞()0,+∞()h x()021h a=--01a<<()h x(),ln a-∞()0,ln a()0,+∞()ln,0a()h x4. 解（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n na a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()0sin 0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++，00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= ∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()f x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =， 0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭，10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<，即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<，即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点 5.具体答案如下：6. 解：(Ⅰ)由已知，有()()'ecos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 递增. 所以()f x 的递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，()f x 的递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-=⎝+⎪⎭.依题意及(Ⅰ)有：()()cos sin x g x e x x =-， 从而'()2sin x g x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n ny x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e nx n n n x n n N πππ---∈=. 由()()20e1n n f y f y π-==及(Ⅰ)得0n y y .由(Ⅱ)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故：()()()2e 2n n nn n f y y g y g y ππ---=-()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<.7. 证明：（Ⅰ）∵当x ∈（0，）时，f′（x ）=﹣（1+sinx ）（π+2x ）﹣2x ﹣cosx ＜0，∴函数f （x ）在（0，）上为减函数，又f （0）=π﹣＞0，f （）=﹣π2﹣＜0；∴存在唯一的x 0∈（0，），使f （x 0）=0；（Ⅱ）考虑函数h （x ）=﹣4ln （3﹣x ），x ∈[，π]，令t=π﹣x，则x∈[，π]时，t∈[0，]，记函数u（t）=h（π﹣t）=﹣4ln（1+t），则u′（t）=﹣•=﹣=﹣==，由（Ⅰ）得，当t∈（0，x0）时，u′（t）＞0；在（0，x0）上u（x）是增函数，又u（0）=0，∴当t∈（0，x0]时，u（t）＞0，∴u（t）在（0，x0]上无零点；在（x0，）上u（t）是减函数，且u（x0）＞0，u（）=﹣4ln2＜0，∴存在唯一的t1∈（x0，），使u（t1）=0；∴存在唯一的t1∈（0，），使u（t1）=0；∴存在唯一的x1=π﹣t1∈（，π），使h（x1）=h（π﹣t1）=u（t1）=0；∵当x∈（，π）时，1+sinx＞0，∴g（x）=（1+sinx）h（x）与h（x）有相同的零点，∴存在唯一的x1∈（，π），使g（x1）=0，∵x1=π﹣t1，t1＞x0，∴x0+x1＜π．8. （I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．。
三角函数、数列、导数试题及详解
三角函数、数列导数测试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a ，则实数y 的值为 A ．5B ．6C ．7D ．82．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50B ．70C ．80D ．903．2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是A ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为 A ．1338+ B ．1338C ．1338± D ．124-7．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为 A ．12π B ．2119π+C ．2119π-D ．2113π-8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个不同的实根x3，x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为A ．12B．12-C．32D．—329．设函数f（x）=e x（sinx—cosx），若0≤x≤2012π，则函数f（x）的各极大值之和为A．1006(1)1e eeπππ--B．20122(1)1e eeπππ--C．10062(1)1e eeπππ--D．2012(1)1e eeπππ--10．设函数11()(),21xf x x Ax=++为坐标原点，A为函数()y f x=图象上横坐标为*()n n N∈的点，向量11,(1,0),nn k k n nka A A i a iθ-===∑向量设为向量与向量的夹角，满足15tan3nkkθ=<∑的最大整数n是A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设1(sin cos)sin2,()3f fααα+=则的值为．12．已知曲线1*()()nf x x n N+=∈与直线1x=交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为201212012220122011,log log lognx x x x+++则的值为____．13．已知22sin sin,cos cos,33x y x y-=--=且x，y为锐角，则tan（x -y）= ．14．如图放置的正方形ABCD，AB =1．A，D分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB⋅的最大值是____．15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r），则（1）使得P（3，r）>36的最小r的取值是；（2）试推导P（n，r）关于，n、r的解析式是____．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知2(2sin ,),(1,23sin cos 1)OA a x a OB x x ==-+，O 为坐标原点，0,a ≠设(),.f x OA OB b b a =⋅+>（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间； （Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2ππ]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，17．（本小题满分12分）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）． （I ）求△CDE 的面积； （Ⅱ）求A ，B 之间的距离．18．（本小题满分12分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．（I ）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（II ）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786） 19．（本小题满分12分）已知函数()sin .f x x x =+ （I ）当[0,],()x f x π∈时求的值域；（II ）设2()()1,()1[0,)g x f x g x ax '=-≥++∞若在恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知211()(1),()10(1),{}2,()()()0,n n n n n f x x g x x a a a a g a f a +=-=-=-+=数列满足9(2)(1).10n n b n a =+- （I ）求证：数列{a n ，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若1*1m m m m t t m N b b ++<∈对任意恒成立，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）设曲线C ：()ln ( 2.71828),()()f x x ex e f x f x '=-=表示导函数．（I ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）数列{a n }满足111,2(3)n na e a f e a +'==+．求证：数列{a n }中不存在成等差数列的三项；（Ⅲ）对于曲线C 上的不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1<x 2，求证：存在唯一的012(,)x x x ∈，使直线AB 的斜率等于0().f x '参考答案一、选择题： 1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．【参考答案】 C 【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7．2． 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质． 【参考答案】 B ．【解题思路】3321654)(q a a a a a a ++=++，∴213=q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70．3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力． 【参考答案】D【解题思路】2(sin cos )12sin cos sin 2y x x x x x =+-==，所以函数2(sin cos )1y x x =+-是最小正周期为π的奇函数。
高三数学文科滚动测试11函数导数三角数列平面向量算法不
卜人入州八九几市潮王学校2021年秋季德化一中高三数学〔文科〕滚动测试11一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，总分值是60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。
〕 1．函数tan 2cos 2y x x =的最小正周期是〔〕A ．2πB ．πC ．4πD ．2π2．函数ln 62y x x =-+的零点一定在以下哪个区间〔〕A 、〔1，2〕B 、(2,3)C 、(3,4)D 、(5,6) 3．假设||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，那么向量a 与b 的夹角为〔〕A ．60B ．90C ．120D ．1504．函数22y x x =-,x ∈[0,3]的值域为〔〕A 、[0,3]B 、[1,3]C 、[-1,0]D 、[-1,3]5．设点()2,102t P t t ⎛⎫+>⎪⎝⎭，那么OP (O 为坐标原点)的最小值是〔〕A ．3B.5C6．〔2021卷理〕直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为〔〕A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离7．设,x y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，那么22(1)x y ++的最大值为〔〕A.80B.1728．设2lg ,(lg ),a e b e c ===A ．ab c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．〔2021宁夏卷文〕圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，那么圆2C 的方程为〔〕〔A 〕2(2)x ++2(2)y -=1〔B 〕2(2)x -+2(2)y +=1 〔C 〕2(2)x ++2(2)y +=1〔D 〕2(2)x -+2(2)y -=110．〔2021文〕椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．假设2AP PB =，那么椭圆的离心率是〔〕21世纪教育网AC ．13D ．1211．动直线([,]3xt t ππ=∈〕与两函数()sin ,()()2f x xg x x π==-图像分别交于两点,P Q ，那么点,P Q 间长度的最大值为〔〕 A．1+．2CD ．312．点P 从周长为l 的封闭曲线上的某一点O 出发，按逆时针方向沿图形运动一周，O 与P 两点 的间隔y 与点P 走过的路程x 的函数如右图所示，那么点p 走过的图形可以是以下的〔〕ABCD二、填空题〔本大题一一共4小题；每一小题4分，一共16分，把答案填在题中的横线上。
函数、三角函数、正余弦定理、导数和向量测试试卷汇编
阶段性测试试卷一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1．函数y=ln(2-x-x 2)+的定义域是( )A.(-1,2)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.[-2,1)2．与直线2x －6y ＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x 3＋3x 2－1相切的直线方程是( ) A ．3x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋2＝0 C ．x ＋3y ＋2＝0 D ．x －3y －2＝0 3．已知函数f(x)=sin(x ∈R),给出下面命题错误的是( )A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)的图象关于直线x=对称D.函数f(x)在区间上是增函数4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A.725 B ．－725 C ．±725 D.24255．已知a=,b=0.3-2,c=lo 2,则a,b,c 的大小关系是( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c 6．已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则a 的取值范围是( )A.(0,3)B.(0,3]C.(0,2)D.(0,2]7．若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在区间[0,1]上单调递减,则( ) A.f(2)<f<f(1) B.f(1)<f(2)<fC.f<f(2)<f(1) D.f(1)<f<f(2)8．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0ω>,||2πϕ<）图象相邻对称轴的距离为2π，一个对称中心为(,0)6π-， 为了得到()cos g x x ω=的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向左平移12π个单位 9．已知1sin cos ,4x x ⋅=-且34x ππ<<，则sin cos x x +的值是（ ）A ．34-B ．12-C ．2D 210．已知40πα<<，434πβπ<<，13543sin(=+）απ，534sin(=+）βπ，则=+）βαcos(（ ） A ．6563- B ．6533- C ．6533 D ．656311．将x x f 2sin 2)(=的图象向右平移6π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g y =的图象.若函数)(x g y =在区间),(b a 上含有20个零点，则a b -的最大值为（ ） A ．π10 B ．π331 C ．π332D ．π11 12．设f(x)，g(x)在[a ，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b 时，有( )A ．f(x)>g(x)B ．f(x)<g(x)C ．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)D ．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)二、填空题（共6题，每题5分，共30分）13．已知角A,B,C 是三角形ABC 的内角,a,b,c 分别是其对边长,向量2(23sin,cos ),(cos ,2),222A A Am n ==- m n ⊥且32,cos a B ==,则b=________. 14．已知函数f(x)＝2sin 6x πω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω>0)的图象与y 轴交于P ，与x 轴的相邻两个交点记为A ，B ，若△PAB 的面 积等于π，则ω＝________. 15．若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+=________． 16．如图,在ABC ∆中,3sin,223ABC AB ∠==,点D 在线段AC 上,且432,3AD DC BD ==,则cos C = ．17．()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x <时,有()()0f x xf x +'<,且(4)0f -=,则不等式()0xf x >的解集 为 .18．已知函数sin()4y x πω=+（0ω>）是区间3[,]4ππ上的增函数，则ω的取值范围是 . 三、解答题（共5题，每题12分，共60分）19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A 3＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．20．已知向量(3,cos ),(sin ,1)a x b x ωω==,函数()f x a b =,且最小正周期为4π. (1)求ω的值. (2)设6224,[,],(2),(2)235313f f πππαβπαβ∈-=+=-,求sin()αβ+的值. (3)若x ∈[-π,π],求函数f(x)的值域.21．已知函数23()sin 22f x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2A f =，ABC ∆的面积为a 的最小值.22．已知定义在区间[0,2]上的两个函数f(x)和g(x),其中f(x)=-x2+2ax+1+a2,g(x)=x-+.(1)求函数f(x)的最小值.(2)对于∀x1,x2∈[0,2],f(x1)>g(x2)恒成立,求实数a的取值范围.23．已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围；(3)若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1<x2，且f(x1)＋2x1<f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范围．参考答案1．C【解析】使函数有意义,则有解得-2<x<1,即定义域为(-2,1). 2．A【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，由f′(x)＝3x 2＋6x 得f′(x 0)＝3x 02＋6x 0＝－3，解得x 0＝－1， 即切点坐标为(－1,1)．从而切线方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0，故选A. 3．C 【解析】f(x)=sin=-cos2x,故其最小正周期为π,故A 正确;易知函数f(x)是偶函数,B 正确;由函数f(x)=-cos2x 的图象可知,函数f(x)的图象关于直线x=不对称,C 错误;由函数f(x)的图象易知,函数f(x)在上是增函数,D 正确. 4．A【解析】由8b ＝5c ，C ＝2B 及正弦定理， 得8sin B ＝5sin C ＝10sin Bcos B ，∴cos B ＝45. 则cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 5．D 【解析】0<a=<=1,b=0.3-2>(0.3)0=1,c=lo 2<0,所以b>a>c.6．D【解析】因为f(x)为(-∞,+∞)上的减函数, 所以解得0<a ≤2.7．D 【解析】由f(x+1)=-f(x)知f(x)的周期为2,所以f(2)=f(0),因为f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(2)=f(0)>f >f(1).8．D 【解析】试题分析：由题设2222==⇒=⨯=ππωππT ,则)2sin()(ϕ+=x x f ,将(,0)6π-代入可得0)3sin(=+-ϕπ,所以3πϕ=,则)6(2sin )32sin()(ππ+=+=x x x f ,而()cos 2sin(2)2g x x x π==+sin 2()4x π=+,所以应选D.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先借助对称轴之间的距离为2π确定2=ω,再借助对称中心是)0,6(π建立方程)3sin(=+-ϕπ求出3πϕ=来.最后求出)6(2sin )32sin()(ππ+=+=x x x f ,再x x g 2cos )(=化为()cos 2g x x =sin(2)sin 2()24x x ππ=+=+,由于将即1264πππ=-,要想得到x x g 2cos )(=,只要将函数)(x f y =的图象向左平移12π个单位即可. 考点：三角函数的图象和性质及运用. 9．C 【解析】 试题分析：因34x ππ<<,故|sin ||cos |,0cos x x x ><,而21cos sin 21)cos (sin 2=+=+x x x x ,故sin cos x x +22-=.应选C.考点：同角的三角函数关系及运用. 10．B 【解析】 试题分析：因παππ<+<4343，故1312)43cos(-=+απ;又因πβππ<+<42，故54)4cos(-=+βπ，所以因=+++-=++-=+)]4()43cos[()cos()cos(βπαπβαπβα6533-，故应选B. 考点：三角变换及灵活运用．【易错点晴】三角变换是高中新教材中的重要内容之一，也是高考及各类考试的重要考点.解答这类问题时，首先要搞清角之间的关系，再选择运用所学的三角变换的公式.本题解答时，通过仔细的观察后能够发现)]4()43cos[()cos()cos(βπαπβαπβα+++-=++-=+是解答好本题的关键，也是能否解答好本题的切入点.从问题的求解过程中可以总结的规律是三角变换的精髓是变角.这也是解答三角变换题的经验和总结. 11．C 【解析】试题分析：由题设1)32sin(21)6(2sin 2)(--=--=ππx x x g ，因为该函数的最小正周期为π=T ，所以借助函数的图象可知至少要有十个周期，即3210ππ+≤-a b ，所以a b -的最大值为π332.应选C. 考点：正弦函数的图象和性质． 12．C【解析】设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0，即F(x)在[a ，b]上是增函数，从而当a<x<b 时，f(x)－g(x)>f(a)－g(a)，即f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)，故选C. 13．【解析】因为m ⊥n,所以m ·n=2sincos-2cos 2=0, 因为A ∈(0,π),所以cos ≠0, 所以tan=,=,A=. 由cosB=,得sinB==, 由正弦定理得=, 解得b=. 14．12【解析】令x ＝0，得y ＝1，即点P(0,1)，又S △PAB ＝12·|AB|·|OP|＝π， |AB|＝2π， ∴f(x)的周期T ＝2|AB|＝4π，∴ω＝2T π＝12.15．－ 【解析】试题分析：因为sin ＝，则cos＝－cos＝2sin2－1＝－.考点：诱导公式与二倍角公式． 16．79【解析】试题分析：22212144||||cos ABC 33999BD BA BC BD BA BC BA BC =+⇒=++⋅∠,因为21cos 12sin ,23ABC ABC ∠∠=-=所以216448||||339927BC BC BC =++⇒=，负舍；因而2221||232239||33AC AC =+-⨯⨯⨯=⇒=，故22223+327cos .239C -==⨯ 考点：向量数量积，二倍角公式，余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. 17．(-∞,-4)∪(0,4)【解析】因为[xf(x)]′=f(x)+xf ′(x),根据已知条件可知,x<0时,[xf(x)]′<0,所以F(x)=xf(x)在(-∞,0)上递减,又因为f(x)是R 上的偶函数,所以F(x)是R 上的奇函数,则F(x)在(0,+∞)上递减,因为f(-4)=0,f(x)为R 上的偶函数,所以f(4)=0,则F(-4)=F(4)=0,综合图象可知xf(x)>0的解集应为(-∞,-4)∪(0,4). 18．159(0,][,]434【解析】试题分析：由题设因0>ω且ππ≤≤x 43,则44434πωππωωππ+≤+≤+x ,结合正弦函数的图象可知240ππωπ≤+<或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥+ππωππωππ25423434,解之得410≤<ω或4935≤≤ω.故应填159(0,][,]434.考点：正弦函数的图象和性质及运用．【易错点晴】本题考查的是三角函数中正弦函数的图象和性质等有关知识及综合运用.本题是一道与单调性有关的逆向型的问题,具有一定的难度.解答时先依据题设条件求出44434πωππωωππ+≤+≤+x ,然后再借助函数在区间3[,]4ππ上单调递增这一条件,建立不等式求解.这里务必要借助正弦函数x y sin =的图象,分类建立不等式组240ππωπ≤+<和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥+ππωππωππ25423434辅,通过解这两个不等式组求出了参数ω的取值范围是159(0,][,]434. 19．（1）3π（2）12≤b<1【解析】(1)由已知得－cos(A ＋B)＋cos Acos Bsin A cos B ＝0，即有sin Asin B＝0.因为sin A≠0，所以sin B＝0. 又cos B≠0，所以tan B .又0<B<π，所以B ＝3π. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2accos B. 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝312a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋14.又0<a<1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b<1. 20．（1）（2）（3）【解析】(1)由已知,易得f(x)=sin ωx+cos ωx =2sin,f(x)的最小正周期为4π,即T==4π,解得ω=. (2)由(1)知,f(x)=2sin, 则f=2sin=2sin α=, 所以sin α=,又α∈, 所以cos α=-. 同理f=2sin=2sin=2cos β=-,所以cos β=-,又β∈, 所以sin β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=-. (3)当x ∈时,-≤x+≤, 令t=x+,则t ∈,原函数可化为f(t)=2sint,t ∈. 当t=-时,f(t)min =-; 当t=时,f(t)max =2.所以,函数f(x)的值域为.21．（1）5[,]36k k ππππ++（k ∈Z ）；（2） 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用正弦函数的图象和性质求解;（2）借助题设条件运用余弦定理和基本不等式求解. 试题解析：（1）3()2sin 2)22262f x x x x π=-+=-+， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++（k Z ∈）.（2）∵())26Af A π=-+=∴1sin()62A π-=，∴3A π=. 又∵1sin 3323bc π=，∴12bc =， ∵222222cos 12a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥=， ∴23a ≥.（当且仅当23b c ==时取“=”） ∴a 的最小值是23.考点：正弦函数的图象和性质、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用． 22．（1）f(x)min =（2）a ∈(-∞,-5)∪(1,+∞)【解析】(1)函数f(x)的对称轴是x=a,当a ≤1时,f(x)min =f(2)=a 2+4a-3,当a>1时,f(x)min =f(0)=1+a 2, 所以f(x)min =(2)令=t(t ∈[0,]),则x=2-t 2,所以g(x)=h(t)=-t 2+t+,因为对称轴t=∈,所以g(x)max =h(t)max =2,由题意,要使对于∀x 1,x 2∈[0,2],f(x 1)>g(x 2)恒成立,只要f(x)min >g(x)max 即可,所以当a ≤1时,f(x)min =a 2+4a-3>2, 解得：a<-5,当a>1时,f(x)min =1+a 2>2,解得：a>1, 综上所述,a ∈(-∞,-5)∪(1,+∞). 23．（1）y ＝－2. （2）[1，＋∞) （3）[0,8]【解析】(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f′(x)＝2x －3＋1x. 因为f′(1)＝0，f(1)＝－2. 所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．当a>0时，f′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x＝()2221ax a x x -++ (x>0)，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
高三文科数学三角函数数列与导数试卷111
高三数学三角函数数列与导数试卷（完卷时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）： 1.sin15cos75cos15sin105+oooo等于（ ）Ａ．0Ｂ．12Ｃ．32Ｄ．12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 2－1（n ≥1），则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5等于（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．23．{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是（ ）A ．24B ．27C ．30D ．33 4．函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π＝的图象如图所示，则y 的表达式为（ ） A ．y ＝2sin(611x 10π+) B ．y ＝2sin(611x 10π-)C ．y ＝2sin(2x ＋6π)D ．y ＝2sin(2x －6π)5.函数y ＝f(x)的图象在点P （1，f(1)）处的切线方程为y ＝－2x ＋10, 导函数为()f x '，则f(1)＋(1)f '的值为 ( )A. －2B.2 C .6 D. 86．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，则S 20为（ ）A ．180B ．－180C ．90D ．－90 7．函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）8．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1＋a 4， a 2＋a 5， a 3＋a 6…是（ ）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列 9. 曲线3231y x x =-+在点（1，－1）处的切线方程为（A ．34y x =- B.32y x =-+ C.43y x =-+ D.45y x =- 10．设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图象如图1所示，则导函数y ＝f '(x)可能为（ ）11．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a ＝ ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5x y O A x y O B x y O C y O D xxyO 图112. 要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y ＝3sin2x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位二、填空题（每小题4分，共16分）：13．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________. 14．首项是125，从第10项开始比1大，则该等差数列的公差d 的取值范围是__________. 15．若函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1时有极大值，在x ＝3时有极小值，则a ＝____，b ＝____． 16．等差数列{}n a 中，30216131074=++++a a a a a ,则其前19项和19S ＝_________. 三、解答题（共74分）： 17．（本小题共12分）（1）在等差数列}{n a 中，已知94=a ，69-=a ，求满足63=n S 的所有的n 的值。
高三数学 函数及导数应用、数列、三角函数测试题
高三数学 函数及导数应用、数列、三角函数测试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1．设0＜θ＜π，θθsin cos 331i ii+=++，则θ 的值为（ ） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 2.条件:11p x +>，条件131:>-xq ，则q⌝是p ⌝的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若不等式222424ax ax x x +-<+对于任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 .A (2,2)- .B (2,2]- .C (,2)[2,)-∞-+∞ .D (,2)-∞- 4．已知||3=a ，||4=b ,2=+p a b ,=-q a b 且17=-⋅p q ，则a 与b 的夹角为.A 60 .B 90 .C 30 .D5. 已知x a a a xlog 10=<<，则方程的实根个数是A 、1个B 、2个C 、3个D 、1个或2个或3个6．函数f (x )= ⎩⎨⎧≥+≤-.1),1(log ,11|,)cos(|22x x x ＜x π 若2)1()(=+f m f ,则m 的所有可能值为A.1，－1 B . 1，0，－1 C ．-,2222 D. 1, -,2222 7．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =8．如果2πlog |3π|log 2121≥-x ，那么x sin 的取值范围是 （ ）A ．21[-，]21B ．21[-，]1C ．21[-，21()21 ，]1 D ．21[-，23()23 ，]1 9．在等差数列}{n a 中，,0,01312><a a 且1213a a >，若}{n a 的前n 项和0<n S ，则n 的最大值为（ ） A ．17B ．18C ．20D ．2310. 曲线y=x sin x 在点)2,2(ππ-处的切线与x 轴、直线x =π所围成的三角形的面积为（ ）A.22π B. 2π Ｃ. 22π D. 2)2(21π+11．设函数θ≤=0,)(3若x x f ＜4π时，)1()tan (m f m f -+⋅θ ＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（∞-，0）C.（∞-，1）D.（∞-，21） 12. 如图，半径为2的⊙O 切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发，绕P 点逆时针旋转到PM ，旋转过程中PK 交⊙O 于点Q ，若∠POQ 为x ，弓形PmQ 的面积为S=f(x)，那么f(x)的图象大致是：（ ）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）ABCON Q mKMP13.22132lim 1x x x x →-++-的值等于__________________.14.函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 15．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是 。
高三数学向量,三角函数,数列测试题
高三数学（文科）测试题（二）(向量、三角函数、数列)一项是符合题目要求的。
）1．化简AC - BD + CD - AB得( ).A ．ABB ．C ．BCD ．02．等比数列}{n a 中，112a =，公比1q =-，则8S =( ).A ．12B ．12-C ．0 D ．13．已知两点()3,2M ，()5,5N --，12MP MN =，则P 点坐标是( ).A ．()8,1-B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．()8,1-4．下图是函数()sin()f x x ϕ=+一个周期内的图像，则ϕ可能等于( ).A ．56π B ．2πC ．6π-D ．6π5．数列}{n a 中，12,111+==+n n a a a ，则}{n a 的通项公式为( ).A ．n 2B ．12+nC ．12-n D ．12+n6．若数列}{n a 的前n 项的和32n n S =-，那么这个数列的通项公式为( ).A ．13()2n n a -=B ．113()2n n a -=⨯ C ．32n a n =-D ．11,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩7．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若3711a a a ++为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( ).A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 138．化简00sin15得到的结果是( ).A． B．C． D9．已知等差数列{}n a ，首项为19，公差是整数，从第6项开始为负值，则公差为( ).A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-10．△ABC 的内角满足,0cos sin ,0sin tan >+<-A A A A 则A 的范围是( ).A ．)4,0(πB ．)2,4(ππC ．)43,2(ππD ．),43(ππ二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知113(,2sin ),(cos ,),322a b a αα== 且∥b ，则锐角α的值为.12．在等差数列{n a }中，前15项的和1590S =，则8a =.13．有纯酒精(1)aL a >，从中取出1L ，再用水加满；然后再取出1L ，再用水加满，如此反复进行，则第九次取出L 酒精.14．观察下表中的数字排列规律,第n 行（2n ≥）第2个数是.三、解答题：（本大题满分80分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分12分）设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知75,7157==S S ，求数列}{n a 的通项公式．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知31tan ,21tan ==B A 且最长边为1．（1）求角C ；（2）求△ABC 的面积S ．17．（本小题满分14分）已知函数21()cos cos 1()22f x x x x x R =+⋅+∈（1）求函数)(x f 的对称中心，最大值及取得最大值的条件； （2）求)(x f 的单调增区间．18．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)1(31-=n n a S（1）求1a ，2a 及3a ；（2）证明：数列}{n a 是等比数列，并求n a ．19．（本小题满分14分）四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB（1）若//，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积．20．（本小题满分14分）数列{n a }是公比为q 的等比数列，11a =，12()2n nn a a a n N *+++=∈ （1）求公比q ；（2）令n n b na =，求{n b }的前n 项和n S ．新阳中学2009届高三数学（文科）测试题(向量、三角函数、数列)参考答案1-10 DCBDCDDBBC 11、4π12、6 13、811a ⎛⎫- ⎪⎝⎭14、222n n -+15．解：由题意知7115176772151415752S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩，解得121a d =-⎧⎨=⎩，所以3n a n =-.………12分16．解：（1）由,1tan tan 1tan tan )tan(=-+=+BA BA B A …………2分而在△ABC 中，0<A+B<π，…………………………………3分所以4π=+B A ，则π43=C ；…………………………………5分（2）在△ABC 中，∵∠C 是钝角， ∴∠B 、∠A 是锐角，由31tan =B ，得.1010sin =B …………………………………8分 由正弦定理C c B b sin sin =，得.55=b ……………………………10分 由21tan =A ，得55sin =A …………………………………12分∴△ABC 的面积101sin 21==A bc S ………………………………14分 17．解：由已知可得11cos 21115()sin 21(cos 22)222224x f x x x x +=⨯+=+即 15()sin(2)264f x x π=++. ……………………6分（1）对称中心为5(,)2124k ππ-，k Z ∈； ……………………8分当,6x k k Z ππ=+∈时max 7()4f x =； ……………………10分（2）由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得 36k x k ππππ-≤≤+所以f （x ）的单调增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈. ……………………14分18．解：（1）当1n =时，()111113a S a ==-，得112a =-；当2n =时，()2122113S a a a =+=-，得214a =， 同理可得318a =-. …………………………………6分（2）当2n ≥时，()()1111111113333n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，所以112n n a a -=-.故数列}{n a 是公比为12-的等比数列 ……………………10分又112a =-，∴12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ……………………12分19．解：（1）),(y x BC =)2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x CD BC AB AD DA …2分// 则有0)4()2(=--⋅-+-⋅x y y x 化简得：02=+y x …………4分（2）)1,6(++=+=y x )3,2(--=+=y x 又⊥则 0)3()1()2()6(=-⋅++-⋅+y y x x 化简有：0152422=--++y x y x …………8分联立⎩⎨⎧=--++=+015240222y x y x y x 解得⎩⎨⎧=-=36y x 或⎩⎨⎧-==12y x ……………10分 // ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形当⎩⎨⎧=-=36y x )0,8()4,0(-==BD AC，此时1621==S ABCD ……………12分当⎩⎨⎧-==12y x )4,0()0,8(-==，此时1621=⋅=S ABCD ……………14分20．解：（1）∵{a n }为公比为q 的等比数列，a n+2＝12n na a ++（n ∈N *） ∴a n ·q 2＝2n n a q a +，即2q 2―q ―1＝0，解得q ＝－12或 q ＝1 ………6分（2）当a n ＝1时，b n ＝n ， S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝()12n n + ………8分当a n ＝112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭时，b n ＝n ·112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭，S n ＝1＋2·（－12）＋3·212⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋（n －1）·212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭＋n ·112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭①－12 S n ＝（－12）＋2·212⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋（n －1）·112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭＋n 12n⎛⎫- ⎪⎝⎭②①—②得32 S n ＝1＋12⎛⎫- ⎪⎝⎭＋212⎛⎫- ⎪⎝⎭＋…＋112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭－n 12n⎛⎫- ⎪⎝⎭＝112112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭+－n ·12n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝22113322n nn ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ S n ＝4412199232n n n ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……14分。
高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)
cos
x
0
2
的部分图象如图所示，f
x0
f
0 ，
则正确的选项是（ ）
试卷第 2页，总 9页
A．
6
,
x0
1
C．
3
,
x0
1
B．
6
,
x0
4 3
D．
3
,
x0
2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（ ）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC 的 重 心 ， 且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（ ）
CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2
上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数
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高三数学 函数与导数、数列、平面向量、三角函数测试题第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=))21((1|| 111|| 2|1|)(2f f x x x x x f ，则A ．21B ．134 C ．59-D ．4125 2．已知向量)1,(),21,8(x b x a ==，其中1>x ，若)2(b a +∥b ，则x 的值为 :A ．0B ．2C ．4D ．83．在△ABC 中，“232sin =A ”是“030=A ”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．数列{n a }是等差数列，4,494=-=a a ，S n 是数列{n a }的前n 项和，则:A ．S 5＜S 6B ．S 5=S 6C ．S 7=S 5D ．S 7=S 65．函数()y f x =在定义域3(,3)2-内可导，其图象如图所示。
记()y f x =的导函数为 '()y f x =，则不等式'()0f x ≤的解集为 :A ．1[,1]3-∪[2,3)B ．1[1,]2-∪48[,]33C ．31[,]22-∪[1,2)D ．3(,1]2--∪14[,]23∪8[,3)36．偶函数)0](,0[)(>a a x f 在上是单调函数，且0)(,0)()0(=<⋅x f a f f 则方程在],[a a -内根的个数是: A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个7．函数ax x x f m +=)(的导函数12)(+='x x f ，则数列*)}()(1{N n n f ∈的前n 项和是： A ．1+n n B ．12++n n C ．1-n n D ．nn 1+ 8．某地一天内的气温()Q t （单位：℃）与时刻t （单位：时）之间的关系如图（1）所示，令()C t 表示时间段[0]t ，内的温差（即时间段[0]t ，内最高温度与最低温度的差）．()C t 与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共6小题，，每小题5分，满分30分． 9．如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ， 则)5()5(f f '+= .10. 已知()513cos απ-=-,且α是第四象限的角,则=-)6cos(πα 。
C11．已知向量a 与b 的夹角为120，若向量c a b =+，且,a c ⊥=。
12．定积分⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+31212dx x x 的值为13．已知函数)(x f 满足对任意的实数21,x x 都有2)()()(2121++=+x f x f x x f ，且0)1(=f ，则=)3(f ，数列{})(n f 的通项=)(n f 。
14. 定义在(－∞,＋∞)上的偶函数()x f 满足)()1(x f x f -=+, 且()x f 在[－1,0]上是增函数, 下面五个关于()x f 的命题中: ①()x f 是周期函数 ②()x f 的图象关于x=1对称 ③()x f 在[0,1]上是增函数, ④()x f 在[1,2]上为增函数 ⑤())0(2f f = 正确命题的是 （填写出你认为正确的序号）三、解答题：6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程演算步骤。
15．（本小题满分12分）：已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n s 为数列{}n a 的前n 项和，且,111==b a 54432,b s b a a ==+（1）求n a 及n b 的表达式； （2），求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T 。
16. 已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛<>>∈+=2,0,0,,sin )(πϕϖϕϖA R x x A x f 的部分图象如图所示, (1)试确定)(x f 的解析式，并求)2008()2()1()0(f f f f ++++ 的值； (2)若,21)2(=παf 求⎪⎭⎫⎝⎛-απ32cos 的值。
17．（本题满分14分）：已知函数()0,2)(2≠++=x xax x x f 。
（Ⅰ）当1)1(-='f 时，求实数a 的值及函数)(x f 的单调减间： （Ⅱ）若函数)(x f 在区间[)+∞,1恒为增函数，试求实数a 的取值范围。
18．（本小题满分12分）：设向量),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 21(),1,sin 4(θθ==，其中)4,0(πθ∈.（I ）求d c b a ⋅-⋅的取值范围；（II ）若函数)()(|,1|)(f f x x f ⋅⋅-=与比较的大小19．（本题满分14分）：已知数列}{n a 的前n 项和S n 满足.1,2,2211==+=+a a kS S n n 又 （1）求k 的值；（2）求S n 的表达式； （3）已知存在正整数m 、n ，使211<--+m S m S n n 成立，试求出m 、n 的值.20．（本小题满分14分）：已知函数()log a f x x =和()2log (22)a g x x t =+-的图象在2x =处的切线互相平行,其中0,1,.a a t R >≠∈ (Ⅰ)求t 的值；（Ⅱ）设)()()(x f x g x F -=，当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立，求a 的取值范围2007—2008第一学期第三次测试数学答题卡(理科)注意事项：⒈ 答题卷共4页，用钢笔或黑色（蓝色）签字笔直接答在试题卷中。
⒉ 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题答题区：用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，不能答在试题卷上。
每小题5分，共40分1 2 3 4 [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] 5 6 7 8 [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共30分。
把最简答案填在题中横线上。
9．______ 10.____ 11. ________ 12.13.__ ； 14.学校：______ ___________班别：___________姓名：_______ _______座号：_________请不要在密封线内作答○※※○※※※※○※ 密 ※※※※○※※※※※○※※※※○※封 ※○※※※※○※※※○※※※○※ 线 ※○※※※※○※※※※○※※※※※○※三、解答题：6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程演算步骤。
※※※※○※※请不要在密封线内作答※○※※※※答案及评分标准一、选择题：1. B 2. C 3. B 4. C 5. A 6. B 7. A 8. D 二、填空题:9. 2 10. 26 11. 0.5 12. 326 13. 4 ;22-n 14. ① ④ ⑤ 三、解答题：15解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则有条件有：()(),6421143⎩⎨⎧=+=+++q d q d d 即⎩⎨⎧=+=+436432qd q d ，解得：⎩⎨⎧==22q d ………（4分） ()12,12121-=-=-+=∴n n n b n n a ……………（6分）（2）()1212-⋅-=⋅n n n n b a()13221227252311-⋅-++⋅+⋅+⋅+⋅=∴n n n T()()n n n n n T 2122322725232121432⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅+⋅=∴- ……（8分）()()()nn nn n n n T 21221212212122222222211132----⋅+=⋅--⋅++⋅+⋅+⋅+=-∴-- ……………（11分）∴数列{}n n b a ⋅的前n 项和()3232+-=n n n T …………（12分）16.解: (1)由图象可知A=2, T 4 = 56 － 13 = 12, ∴T=2, ω= 2πT=π…………（4分） 将点P(13, 2)代入y=2sin(ωx ＋ϕ) , 得 sin(π3＋ϕ)=1, 又|ϕ| < π2, 所以ϕ = π6.………（6分） 故所求解析式为f(x)=2sin(πx ＋π6) (x ∈R) T=2， 16sin 2)2007()3()1(,16sin 2)2008()2()0(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=========πππf f f f f f ()11100411005)2008()2()1()0(=-⨯+⨯=++++∴f f f f ………（9分）(2)∵f(a 2π) = 12 , ∴2sin(a 2 ＋π6) = 12 , 即, sin(a 2 ＋π6) =14 ………（10分） ∴cos(2π3 －a)=cos[π－2(π6＋a 2 )] = －cos2(π6＋a 2 ) = 2sin 2(π6＋a 2 )－1 = －78…（14分）17．解：（1）21)(,2)(xa x f x a x x f -='∴++= ………（2分） 1)1(-='f ，2,21=∴=-∴a a ……………（4分）此时,21)(2x x f -='令,021)(2<-='x x f 解得：,02<<-x 或20<<x …（7分） 故函数)(x f 的单调减间为：()()2,0,0,2-…………（8分）（2） ,1)(2xa x f -='又函数)(x f 在区间[)+∞,1恒为增函数则只需01)(2≥-='xa x f 在区间[)+∞,1上恒成立……………（10分） 1≥x ，2x a ≤∴在区间[)+∞,1上恒成立（*）……………（12分）1≥x ， ()1min 2=∴x ，∴（*）等价于1≥a 为所求………（14分）18.解：（I ）∵22cos2 2sin 12cos2a b c d ⋅=+⋅=+=-θθθ，………（2分） ∴2cos2a b c d ⋅-⋅=θ， ………（4分）∵04<<πθ，∴022<<πθ∴02cos 22<<θ，∴(0,2)a b c d ⋅-⋅的取值范围是。
……… （6分） （II ）∵2()|2cos21||1cos2|2cos f a b ⋅=+-=+=θθθ， 2()|2cos21||1cos2|2sin f c d ⋅=--=-=θθθ，………………（8分） ∴22()()2(cos sin )2cos2f a b f c d ⋅-⋅=-=θθθ， ……… ………（10分） ∵04<<πθ，∴022<<πθ，∴2cos 20>θ，∴()()f a b f c d ⋅>⋅。