利用网格线-巧求锐角三角函数(初中)
网格线中的三角函数问题
・ ． ．
’ ． ．
由勾股 定理 得 Ｂ Ｅ ＝
ＡＢ＝
・ ． ・
， Ａ Ｅ ＝ ２
设Ｂ Ｄ为 ， Ｃ Ｄ为 ２ 一 ， 由勾 股 定理 得
ＡＢ － ＢＤ ＝ ＡＤ ， ＡＣ 一Ｃ Ｄ ＝ ＡＤ。 ，
・
例 ２ 如图３ ， 在 边 长相 同的小 正方 形 网 格 中， 点 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 、 Ｄ都 在 这 些 小 正 方 形 的 顶
点上， Ａ Ｂ 、 Ｃ Ｄ相 交 于 点 Ｐ， 则ｔ ａ ｎ Ｚ ＡＰ Ｄ的 值 为
（ ） ．
Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ＿ ３ Ｄ．
故选 ： Ｂ ．
，
Ａ Ｄ： Ｔ ９ ． ３
．
二、 运用方 程 。 以数 解形
．
９
几何 图形 中 的问题转 化 为用代 数 的知识
．
・ ．
求解 ， 这 就 是数形 结合 思想 中的“ 以数解 形” ，
ｓ ｉ ｎ 肚 Ａ Ｄ 去
数 学语言与直观 的图像结合起来 ， 关键是代数 问题 与图形之间的相 互转化 ， 它可以使代数 问题 几 何化 ， 几何问题 代数化． 数学 中的知识 ， 有的本身就可以看作是数形 的结合 ． 女 口 ： 锐角三角函数 的定 义是借助 于直 角三 角形 来定 义的． 下面 我们就 网格线 中锐 角三 角函数 的 问题来 体会这 种数学思
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３
ａＢ Ｄ Ｐ， 然后 由相似 三 角形 的对 应边 成 比例 ． 易得 Ｄ Ｐ ： Ｃ Ｐ ＝ １ ： ３ ， 即 可得 Ｐ Ｆ ： Ｃ Ｆ ＝ Ｐ Ｆ ： Ｂ Ｆ ＝ １ ： ２ ，
网格中的三角函数
1网格中的锐角三角函数网格是同学们从小就熟悉的图形，在网格中隐含的条件有：1.直角；2.单位长度。
所以在网格中可以求一个锐角的三角函数，是近几年中考的热点，下面举例说明。
一、在网格中与勾股定理现结合求一个锐角的三角函数。
【例1】 三角形在正方形网格纸中的位如图1，则sin α的值是( ).[解析] 本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．选C ．练习1（广州市2014）如图2，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（ ）．（A ） （B ） （C ） （D ）练习2 （2014年福州）如图3，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，344543B .； C .35；D .A. 35图3图22sinB 的值是 .3.（2011四川）如图4，在4×4的正方形网格中， tanα= .A ．1B ．2C ．12D4.（2011甘肃兰州）如图5，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 .A ．12B ．13C ．14 D3. （2011江苏连云港）如图6，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.在网格中求一个锐角的三角函数时，根据图中角的位置。
充分利用网格中的直角和边，然后根据勾股定理求出相应的边长，最后利用三角函数公式进行计算，达到解决问题的目的。
二、在网格中与辅助线相结合求一个锐角的三角函数。
【例2】 （2014•贺州）如图7-1网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．[解析] 虽然网格中隐含直角，但是∠A 是△ABC中图7-1图7-2图4图6图5的一个锐角，而△ABC不是直角三角形，不能直接运用三角函数公式进行计算，必须先做辅助线构造直角三角形，使∠A在一个直角三角形中，然后求出所对应的斜边和对边，而后解决问题。
例谈网格中求锐角三角函数值问题
例谈网格中求锐角三角函数值问题●胡永强 （阳山实验初级中学校，江苏苏州 ２１５１５１） 摘 要：文章研究了在网格中求锐角三角函数值的问题，分别给出两类问题的解决策略，从“化斜为直、转化、方程”等数学思想方法角度对多种解法进行了总结．关键词：网格；锐角三角函数；化斜为直思想；转化思想；方程思想中图分类号：Ｏ１２４．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００３ ６４０７（２０２０）０３ ００１６ ０３ 网格是一种研究数学问题的常用工具，如在图形的各种变换（如平移、翻折、旋转、位似）、函数图像、相似三角形的判定、确定圆弧的圆心、图案设计与面积计算、求锐角三角函数值等问题中有着广泛的应用．据说笛卡尔也曾受到蜘蛛结网的启发，在网格中发明了坐标系，发展出解析几何这门新的数学分支，说明网格与数学问题关系密切．本文主要探讨在网格中求锐角三角函数值问题．１ 正方形网格正方形网格中主要有两大类题型：一是角的顶点在格点上；二是角的顶点不在格点上．顶点在格点上的又包括残缺三角形类型和非直角三角形类型两种．对于残缺型需补全三角形，再利用勾股定理求出相关边长即可解决；对于顶点在格点上的非直角三角形类型，常在三角形内部作高线构造直角三角形，利用勾股定理和等面积公式等知识计算出相关线段的长度即可解决；对于角的顶点不在格点上的类型通常作所求角某一条边的平行线，构造所求角的顶点在格点上的同位角，再依托其同位角构造一个直角三角形来解决．下面选取几道例题加以说明．１．１ 残缺的格点三角形———补全 例１ 如图１，点Ａ，Ｂ，Ｃ是小正方形的顶点，（上接第１５页）体对应关系不容易看出来，但是有了这样的观念，才会在“数形结合”思想的引领下，引入参数，顺藤摸瓜，最后让潜在的事实浮出水面．又比如几何直观的意识在问题探索中的作用．文中在一般化和特殊化原则的互动下，用动态的眼光分析问题，从图３、图４联想到图５、图６，使得一些属性呈现出高度的统一．３．２ 教师要成为解题方面学生学习的典范在解题中学会解题，在解题过程的回顾中捕捉看似“浪费”的信息，学会思维环节的取舍．比如文中提及的“两条直线的斜率是互为相反数，即ｋＡＣ＋ｋＢＣ＝０，”这一特殊的数量关系，一旦察觉，就能捕捉到两个等腰三角形，从而开阔了视野．教师在解题教学时引用的例题，正是自己在问题解决过程中经历了“是什么，怎么做，为什么”这样的层层逼近，逐渐“从明确走向深刻”，甚至是领悟到“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的妙处，因此迫不及待地想把这份体验带给学生．教师应该就自己解题时所经历的“千转百回”和“顿悟”转化为教学形态，从而成为解题方面学生学习的典范．参 考 文 献［１］ 波利亚．怎样解题［Ｍ］．上海：上海科技教育出版社，２００７：序言．［２］ 裴光亚．教学的底线［Ｊ］．中学数学教学参考：中旬，２０１８（４）：１．［３］ 罗增儒．中学数学解题的理论与实践［Ｍ］．南宁：广西教育出版社，２００８：１８２．·６１·中学教研（数学）２０２０年第３期收文日期：２０１９ ０９ ２３；修订日期：２０１９ １０ ２５基金项目：江苏省苏州市教育规划课题（１９２０１０３４３）作者简介：胡永强（１９８１—），男，江苏新沂人，中学高级教师．研究方向：数学教育．且每个小正方形的边长为１，则ｔａｎ∠ＢＡＣ的值为（ ）Ａ．１２ Ｂ．１ Ｃ．槡３３槡 Ｄ．３图１图２分析 要计算ｔａｎ∠ＢＡＣ的值，需要将∠ＢＡＣ放到一个直角三角形中．联结ＢＣ，如图２，可通过证明△ＡＢＥ≌△ＢＣＤ推导出∠ＡＢＣ是直角，再运用勾股定理求出∠ＢＡＣ的对边ＢＣ和邻边ＡＢ的长，进而求出ｔａｎ∠ＢＡＣ的值．另外也可由△ＡＢＥ≌△ＢＣＤ得出ＡＢ＝ＢＣ，再结合∠ＡＢＣ是直角，可以根据正切的定义得出ｔａｎ∠ＢＡＣ的值为１．１．２ 非直角三角形的格点三角形———作高例２ 如图３，网格中的每一个正方形的边长都是１，△ＡＢＣ的每一个顶点都在网格的格点处，则ｓｉｎＡ的值为．图３图４分析 要求出ｓｉｎＡ的值，需要把∠ＢＡＣ放到一个直角三角形中，可以过点Ｂ或点Ｃ作△ＡＢＣ的高线．受网格所限，如图４，可作ＢＤ⊥ＡＣ，垂足为点Ｄ，运用勾股定理求出边ＡＢ的长，运用等面积法求出高ＢＤ的长，从而计算出ｓｉｎＡ的值．１．３ 角的顶点不在格点上类型———平移图５例３ 如图５，网格中的每一个正方形的边长都是１，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都在格点处，ＡＢ与ＣＤ相交于点Ｏ，则ｔａｎ∠ＢＯＤ的值为．分析 ∠ＢＯＤ的顶点Ｏ不在格点上，添加高线构造出直角三角形后，边长的计算比较困难．可以考虑平移∠ＢＯＤ的某一条边，将∠ＢＯＤ的顶点Ｏ平移到某一格点上，进而依托此格点在给定的网格中构造出一个格点直角三角形，这样就可以求出相关锐角的三角函数值，再根据同位角相等进行等量代换，从而解决问题．本题可以平移边ＯＢ，也可平移边ＯＤ，下面各举一例：１）如图６，平移∠ＢＯＤ的边ＯＢ，使点Ｏ平移到点Ｃ处，作ＣＥ∥ＡＢ，过点Ｄ作ＣＥ的垂线，交ＣＥ于点Ｅ，得到Ｒｔ△ＣＤＥ．在Ｒｔ△ＣＤＥ中，求出ｔａｎ∠ＥＣＤ的值，由ＣＥ∥ＡＢ可得∠ＢＯＤ＝∠ＥＣＤ，从而得到ｔａｎ∠ＢＯＤ的值．图６图７２）如图７，平移∠ＢＯＤ的边ＯＤ至ＡＦ处，过点Ｆ作ＡＦ的垂线交ＡＢ于点Ｇ，构造Ｒｔ△ＡＧＦ，在Ｒｔ△ＡＧＦ中完成计算．２ 非正方形网格除了正方形网格之外，非正方形网格问题近来也频频出现，如矩形网格、菱形网格、等边三角形网格等．这些非正方形网格中问题的解决思路和方法与正方形网格类似，可以将正方形网格中的解题思路和方法迁移过来．２．１ 矩形网格———添线例４ 图８是一个长方形网格，组成网格的小长方形的长是宽的２倍，△ＡＢＣ的顶点都是网格中的格点处，则ｓｉｎ∠ＢＡＣ的值是．图８图９分析 根据网格小长方形的长为宽的２倍，可以添加两条垂线将其转化为正方形网格，如图９所示，将其转化为１．２中的问题，然后通过作高法解决．·７１·２０２０年第３期中学教研（数学）２．２ 菱形网格———求角例５ 如图１０，６个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角∠Ｏ＝６０°，点Ａ，Ｂ，Ｃ都在格点上，则ｔａｎ∠ＡＢＣ的值是．图１０图１１分析 此图属于残缺型问题，如图１１所示，可以通过延长ＢＣ到点Ｄ，联结ＡＤ构造△ＡＢＤ，结合∠Ｏ＝６０°这一条件及菱形每条对角线平分一组对角的性质可证明∠ＡＤＢ是直角，再结合等腰三角形和勾股定理等知识求出线段ＡＤ和线段ＢＤ的长，从而求出ｔａｎ∠ＡＢＣ的值．２．３ 等边三角形网格———组合例６ 在由１０个完全相同的等边三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图１２所示，则ｃｏｓ（α＋β）＝．图１２图１３分析 如图１３，将各个点标上字母，联结ＤＥ，利用等边三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝３０°．同理可得∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝３０°＝∠α，由∠ＡＥＣ＝６０°结合∠ＡＥＤ＝∠ＡＥＣ＋∠ＣＥＤ可得出∠ＡＥＤ＝９０°，设每个小等边三角形的边长为ａ，则ＡＥ＝２ａ，ＤＥ＝槡３ａ．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，利用勾股定理可得出ＡＤ的长，再结合余弦的定义即可求出ｃｏｓ（α＋β）的值．３ 此类问题中蕴含的几种思想方法３．１ 化斜为直思想在初中阶段，求锐角三角函数值常常需要将锐角放在直角三角形中求解，因此构造直角三角形是解决这类问题的首要条件．常用的构造方法是作高线，可以在三角形内部作高，也可以在外部作高，具体作哪条边的高线要结合题目特点作出选择，通常选取较为方便计算的一种情形．在菱形及等边三角形网格中，也需要添加适当的辅助线构造直角三角形以解决问题．３．２ 转化思想转化思想是解决数学问题中一种十分常用的数学思想，它是将数学问题由难变易、由陌生变熟悉的过程．转化思想在解决此类问题中比比皆是，如将非直角三角形转化为直角三角形；将顶点不在格点上的角通过作平行线构造同位角转化为顶点在格点上的角；将非格点三角形的情形转化为格点三角形的情形；将长方形网格转化为正方形网格等都体现了转化的思想．３．３ 方程思想在求锐角三角函数值的过程中，通常需要先构造直角三角形，再计算出所求三角函数值所需要的边．格点三角形的边长常常借助其形外的直角三角形使用勾股定理作为等量关系列出方程，完成计算；在格点三角形内部构造高线后，常需要用同一图形面积相等作为等量关系列出方程，完成计算；有时候还需要借助网格线的平行关系寻找相似三角形，将相似三角形对应边成比例这条定理作为等量关系列出方程，完成计算．由此可见，方程思想在解决此类问题中意义重大．４ 结束语网格中可供研究的数学问题是非常丰富的，本文只是笔者在网格长河中采撷的一朵浪花，列举出在网格中求锐角三角函数值的几种类型及相应的解题策略，结合思考和分析问题的过程归纳出解决此类问题的几种常用数学思想方法．由于水平和经验有限，文中必定存在诸多瑕疵，望读者多批评指正．同时，文中所阐述的解题策略还不够完善，必然还存在其他更多优秀的解法，待广大师生在解题实践过程中不断探索和完善［１］．参 考 文 献［１］ 姜晓翔．初中数学命题方法之延续策略［Ｊ］．中国数学教育，２０１９（６）：３９ ４３．·８１·中学教研（数学）２０２０年第３期。
知识必备09 锐角三角函数(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备09锐角三角函数（公式、定理、结论图表）考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．典例1：（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为 ． ．【分析】根据勾股定理和锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式两边同时除以ac得：＝+1，令＝x，则有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），当x＝时，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sin A＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解答本题的关键．考点二、特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点诠释： (1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． (2)仔细研究表中数值的规律会发现： 、、、、的值依次为0、、、、1，而、、、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时， ①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小) ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．典例2：（2022•天津）tan45°的值等于（ ）A．2B．1C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．【解答】解：tan45°的值等于1，故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，； (2)平方关系：； (3)倒数关系：或； (4)商数关系：． 要点诠释： 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： ①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系： ，，， ，，. ④，h 为斜边上的高.要点诠释： (1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值. (2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤两直角边(a ，b)由求∠A ，∠B=90°－∠A ，两边斜边，一直角边(如c，a)由求∠A ，∠B=90°－∠A ，锐角、邻边(如∠A ，b)∠B=90°－∠A ，，一直角边和一锐角锐角、对边(如∠A ，a)∠B=90°－∠A ，，Rt △ABC一边一角斜边、锐角(如c ，∠A)∠B=90°－∠A ，，要点诠释： 1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算. 2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.典例3：（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）结论：CD是⊙O的切线．理由：连接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵OC⊥DC，CD⊥DB，∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，∴四边形CDEJ是矩形，∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，∴OC⊥AE，∴AJ＝EJ，∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，∴DE＝3，CD＝4，∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如： 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 典例4：（2022•黑龙江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，山高为（ ）米A．600﹣250B．600﹣250C．350+350D．500【分析】设EF＝5x米，根据坡度的概念用x表示出BF，根据勾股定理求出x，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度为5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，则EF＝500米，BF＝1200米，由题意可知，四边形DCFE为矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED＝，则DE＝＝AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝，∴＝，解得：AD＝600﹣750，∴山高AC＝AD+DC＝600﹣750+500＝（600﹣250）米，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高典例5：（2022•湖北）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C 点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为 16 m．（sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，进而可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．则BE＝CD＝6m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°，在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，设AE＝xm，则DE＝xm，∴BC＝xm，AB＝AE+BE＝（6+x）m，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan58°＝≈1.60，解得x＝10，∴AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键典例6：（2022•资阳）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）（1）求点D与点A的距离；（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△ADC中，∴（米），答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E，∵AB是东西走向，∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，在Rt△ADE中，∴（米），在Rt△BDE中，∴（米），∴（米），答：隧道AB的长为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B＝90°；(3)边与角之间的关系：，，，．(4)如图，若直角三角形ABC中，CD⊥AB于点D，设CD＝h，AD＝q，DB＝p，则由△CBD∽△ABC，得a2＝pc；由△CAD∽△BAC，得b2＝qc；由△ACD∽△CBD，得h2＝pq；由△ACD∽△ABC或由△ABC面积，得ab＝ch．(5)如图所示，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则①CD＝AD＝BD＝AB；②点D是Rt△ABC的外心，外接圆半径R＝AB．(6)如图所示，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则．直角三角形的面积：①如图所示，．（h为斜边上的高）②如图所示，．典例7：（2022•黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6＝6R，则π≈＝3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（ ）A．12sin15°B．12cos15°C．12sin30°D．12cos30°【分析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．【解答】解：在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°，∴A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°，∵OA6＝OA7，OM⊥A6A7，∴A6A7＝2A6M＝2R×sin15°，∴π≈＝12sin15°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆内接多边形的性质，解直角三角形等知识，读懂题意，计算出正十二边形的周长是解题的关键．。
九年级数学上册264解直角三角形的应用求锐角三角函数值的策略素材(新版)冀教版.docx
求锐角三角函数值的策求锐角三角函数值是锐角三角形函数的重要内容，求锐角三角函数值的方法较多，解决时，要根据不同的已知条件，选择灵活的解题方法。
一、利用定义求解例1、三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sina的值是()(A) 2 (B) - (0 -4 3 5分析：由正方形网格可知角□的对边的长为3,邻边的长为4, 要求sina ,只要根据勾股定理求出三角形的斜边，再根据三角函数的定义计算即可.解：设a的对边为邻边为b,斜边为c,则沪3, b二4,所以C=732+42= 5,所以sin a=- = -f选(C).c 5评注：解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长，然后直接根据定义进行求值.二、设参数求解4例2、在厶ABC屮,ZG90°, sin^-,求tanS 的值.54分析：正切函数的定义，sin/—匕二一，可设AC二4k, AB二5k,再利用勾股定理，求出AB 5AB=3k,根据正切函数的定义可求出tard的值。
AC 4解：在△肋C中，Z6=90° , sin佶——二一，则设AO4k, AB二5k,由勾股定理可求，AB 5.------------- BC 3BC- J — AC^=3k 9所以tanA=------------ =—.AC 4评注：在直角三角形中，己知一个锐角的一个三角函数值，就可知道与此三角函数值有关的边的比值，若知道两条边的比值，就可求出与之对应的三角函数值，不需要知道具体的边反，所以当已知条件为某个角的三角函数值，求其它三角函数值时，可设参数表示出边长,然后再利用三角函数的定义求解。
三、等角代换法例3、如图2,在矩形中，DEL AC于E,图2设ZJ^=ZACD,且M=3,加匕1,贝ij tanZBAC 等于多少分析：要求tanZBAC 需求DE 、朋的长，但计算比较繁，而RtAABC 中的边易求出，而 由条件易得ZADE=ZBAC,所以只需求出tanZBAC 即可。
九年级数学上册 26.4 解直角三角形的应用 求锐角三角
求锐角三角函数值的策略求锐角三角函数值是锐角三角形函数的重要内容，求锐角三角函数值的方法较多，解决时，要根据不同的已知条件，选择灵活的解题方法。
一、利用定义求解例1、三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ） (A) 43 (B) 34 (C) 53 (D) 54 分析：由正方形网格可知角α的对边的长为3，邻边的长为4，要求sin α，只要根据勾股定理求出三角形的斜边，再根据三角函数的定义计算即可．解：设α的对边为a ，邻边为b ，斜边为c ，则a=3，b=4，所以c=54322=+，所以sin α=53=c a ，选(C)． 评注：解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长，然后直接根据定义进行求值．二、设参数求解例2、在△ABC 中，∠C =90º，sin B =54，求tan A 的值． 分析：正切函数的定义，sin B =AB AC =54，可设AC=4k ，AB=5k ，再利用勾股定理，求出AB=3k ，根据正切函数的定义可求出tan A 的值。
解：在△ABC 中，∠C =90º，sin B =AB AC =54，则设AC=4k ，AB=5k ，由勾股定理可求，BC =AC AB 22-=3k ，所以tan A ＝43=AC BC ． 评注：在直角三角形中，已知一个锐角的一个三角函数值，就可知道与此三角函数值有关的边的比值，若知道两条边的比值，就可求出与之对应的三角函数值，不需要知道具体的边长，所以当已知条件为某个角的三角函数值，求其它三角函数值时，可设参数表示出边长，然后再利用三角函数的定义求解。
三、等角代换法例3、如图2，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，图1设∠ADE ＝∠ACD,且AB ＝3，AD =4，则tan ∠BAC 等于多少分析：要求tan ∠BAC 需求DE 、AE 的长，但计算比较繁，而Rt △ABC 中的边易求出，而由条件易得∠ADE=∠BAC ，所以只需求出tan ∠BAC 即可。
华东师大版数学九年级上册24.3求锐角三角函数值的策略
求锐角三角函数值的策略求锐角三角函数值是锐角三角形函数的重要内容，求锐角三角函数值的方法较多，解决时，要根据不同的条件，选择灵活的解题方法。
一、利用定义求解例1、三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，那么sinα的值是〔 〕(A) 43 (B) 34 (C) 53 (D) 54分析：由正方形网格可知角α的对边的长为3，邻边的长为4，要求sinα，只要根据勾股定理求出三角形的斜边，再根据三角函数的定义计算即可．解：设α的对边为a ，邻边为b ，斜边为c ，那么a=3，b=4，所以c=54322=+， 所以sinα=53=c a ，选(C)． 评注：解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长，然后直接根据定义进展求值．二、设参数求解例2、在△ABC 中，∠C =90º，sin B =54，求tan A 的值． 分析：正切函数的定义，sin B =AB AC =54，可设AC=4k ，AB=5k ，再利用勾股定理，求出AB=3k ，根据正切函数的定义可求出tan A 的值。
解：在△ABC 中，∠C =90º，sin B =AB AC =54，那么设AC=4k ，AB=5k ，由勾股定理可求，BC =AC AB 22-=3k ，所以tan A ＝43=AC BC ． 评注：在直角三角形中，一个锐角的一个三角函数值，就可知道与此三角函数值有关的边的比值，假设知道两条边的比值，就可求出与之对应的三角函数值，不需要知道具体的边长，所以当条件为某个角的三角函数值，求其它三角函数值时，可设参数表示出边长，然后再利用三角函数的定义求解。
图1三、等角代换法例3、如图2，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝∠ACD,且AB ＝3，AD =4，那么tan ∠BAC 等于多少？分析：要求tan ∠BAC 需求DE 、AE 的长，但计算比拟繁，而Rt △ABC 中的边易求出，而由条件易得∠ADE=∠BAC ，所以只需求出tan ∠BAC 即可。
九年级数学上册 24.3 锐角三角函数 巧记特殊角的三角函数值素材 (新版)华东师大版
巧记特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值有着广泛的应用，要求大家必须熟记，为了帮助记忆，可采用下面的方法．
1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=
2
1
sin45°=cos45°=22
tan30°=3
3
tan 45°=1
2说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从0
2
1 2
2 1变化，其余类似记忆．
3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，
则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ；
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；
cosA ＞cosB ；特别地：
30˚ 1
2
3
1
45˚
1
2 1
2 60˚ 3
若0°＜ ＜45°，则sinA ＜cosA ； 若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为
2m 形式，正切值可表示为3
m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．。
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利用网格线巧求锐角三角函数
在解题中经常碰到求网格线中锐角三角函数的问题，我们知道借助于网格线可以构造直角三角形，利用勾股定理求出任意两个格点的长度，也可以利用对角线的特征构造垂直线、平行线。
那么如何利用网格线求锐角三角函数值呢？
一、构造直角三角形
锐角三角函数反映了直角三角形中锐角和边与边的比值之间的对应关系，所以要求三角函数值，必须将这个角放到直角三角形中。
（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求∠ABC的正切值。
分析：∠ABC不在直角三角形中，无法根据对边和邻边的比值来求它的正切值，借助网格线，连接A、C，就可以构造直角三角形求出正切。
解：如图：连接A、C
由勾股定理得
AC=，AB=2，BC=，
∴AC²+AB²=BC²
∴∠CAB=90°
∴tan∠B= =
二、转化角
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，求tan∠APD的值。
分析：P点不在网格线的格点上，无法发挥网格线的作用，可以将∠APD转化为一个顶点在格点上的角，如何转化，利用网格线构造平行，从而得到相等的角。
解：如图，连接BE，AE。
∵DE∥BC DE=BC
∴四边形DEBC是平行四边形∴DC∥BE
∴∠ABE=∠APD
由勾股定理得
BE=，AE=2，AB=
∵AB²=BE²+AE²
∴∠AEB=90°
∴tan∠APD= tan∠ABE=AE
BE
=2．
三、面积法
（2015•南京二模）如图，方格纸中有三个格点A、B、C，求sin∠ABC的值。
分析：∠ABC不在直角三角形中，通过连接对角线又不能得到直角，只有过点A作垂直，抓住面积，求出垂线段的长。
解：如图过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，
∵S△ABC=20﹣×2×5﹣×2×4﹣×1×4=9，
∴S△ABC =×BC×AD=9，
∴×2AD=9，
解得：AD=，
∴sin∠ABC=
==．
四、勾股定理法
E
仍然以上题为例，由勾股定理易得AB ²=29 AC ²=17 BC=2
设BD 为x ,CD 为2-x ,由勾股定理得AB ²-BD ²=AD ² AC ²-CD ²=AD ²
∴AB ²-BD ²=AC ²-CD ²
即29-x ²=17-（2-x ）² ∴x
AD ²=29-645=815
∴
∴sin ∠ABC===
五、建立平面直角坐标系法 还是以上题为例，在原网格线基础上，再向右补一列，
以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y
建立平面直角坐标系,
连接CD,并延长CD 交BA 的延长线于点。
借助网格线，易证△BOC ≌△CFD ∴∠BCO=∠CDF
∵∠DCF+∠CDF=90° ∴∠DCF+∠BCO=90°∴∠BCD=90°
由图可知B(0,2),A(5,4),C(4,0),D(6,4),可以求出直线AB 函数关系式为：y=25
x +2 直线CD 函数关系式为：y=2x -8，将两个函数关系式联立成一个二元一次方程组，可求E 点坐标为（254，92
） 利用点C 、B 、E 的坐标，由勾股定理可求 ∴ sin ∠ABC=CE BE =
这五种方法，通过分析，后面三种方法适用于任何情形下求网格线中的锐角三角函数，而面积法又是三种方法中最简单的一种，可以将其看成是求网格线中锐角三角函数的万能方法。