第二章5典型环节.
第4讲 典型环节
输出量不失真、无惯性、快速地跟随输入量，两者成 比例关系。
其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)
xo(t)、xi(t)——分别为环节的输出量和输入量； K——比例系数，等于输出量与输入量之比。
比例环节的传递函数为： X o ( s) G( s) = =K X i ( s)
传递函数： G ( s ) = K τ 2 s 2 + 2ξ τs + 1
(
)
式中，τ——时间常数 ξ——阻尼比，对于二阶微分环节， 0<ξ<1 K——比例系数
系统数学模型 第二章 � 积分环节
输出量正比于输入量对时间的积分。 运动方程为： xo (t ) = 1 ∫ t xi (t )dt 0
T
车初始位置距平衡点1.0，则所建立模型如图示。
F c k 系统微分方程 ̇ ̇= − x ̇− x x m m m
若外力输入F=0，仿真所得示 波器窗口小车位移随时间变 化的轨迹如图。
F
为0
初值为1
第二章 系统数学模型
质量—弹簧—阻尼系统
F
F如下图 系统输入 系统输入F
系统输出 x如下图所示 系统输出x
微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了 输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入 变化趋势的预告。因此， 微分环节常用来改善 变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善 控制系统的动态性能。
第二章 系统数学模型
� 二阶微分环节 运动方程：
⎡ 2 d2 ⎤ d xo (t ) = K ⎢τ x (t ) + 2ξ τ xi (t ) + xi (t )⎥, 0 < ξ < 1 2 i dt ⎣ dt ⎦
自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型—结构图-信号流图-传递函数
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
控制系统的典型环节
登录注册主页关于我们控制理论教学制冷机仿真热工设备仿真论坛博客联系我们您当前的位置：主页> 控制理论教学> 控制理论教程> 第二章> 2.3习题演练控制系统实验控制理论教程学生作业档案教师办公室典型作业展示常见问题第一章自动控制的基本概念第二章控制系统的数学描述第三章控制系统的时域分析第四章控制系统的频域分析第五章过程控制2.3 控制系统的典型环节2.3 控制系统的典型环节自动控制系统是由不同功能的元件构成的。
从物理结构上看，控制系统的类型很多，相互之间差别很大，似乎没有共同之处。
在对控制系统进行分析研究时，我们更强调系统的动态特性。
具有相同动态特性或者说具有相同传递函数的所有不同物理结构，不同工作原理的元器件，我们都认为是同一环节。
所以，环节是按动态特性对控制系统各部分进行分类的。
应用环节的概念，从物理结构上千差万别的控制系统中，我们就发现，他们都是有为数不多的某些环节组成的。
这些环节成为典型环节或基本环节。
经典控制理论中，常见的典型环节有以下六种。
2.3.1 比例环节比例环节是最常见、最简单的一种环节。
比例环节的输出变量y(t)与输入变量x(t)之间满足下列关系(2.24)比例环节的传递函数为(2.25)式中K为放大系数或增益。
杠杆、齿轮变速器、电子放大器等在一定条件下都可以看作比例环节。
例10 图2.10 是一个集成运算放大电路，输入电压为，输出电压为，为输入电阻，为反馈电阻。
我们现在求取这个电路的传递函数。
解从电子线路的知识我们知道这是一个比例环节，其输入电压与输出电压的关系是(2.26)按传递函数的定义，可以得到(2.27)式中，可见这是一个比例环节。
如果我们给比例环节输入一个阶跃信号，他的输出同样也是一个阶跃信号。
阶跃信号是这样一种函数(2.28)式中为常量。
当时，称阶跃信号为单位阶跃信号。
阶跃输入下比例环节的输出如图2.11 所示。
比例环节将原信号放大了K倍。
自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT
0
t
积分环节在单位阶跃输入下的响应
例：积分器
i2
C
ui R
_
i1
uo
+i1 i2Fra bibliotek1 Rui
(t)
C
d dt
u0
(t )
uo
(t)
1 RC
ui (t)dt
G(s) Uo (s) 1 1 Ui (s) RC s
二、几种典型环节的数学模型
4.微分环节
c(t) d r(t)
斜率1/T
0τ
t
例： • 汽车加速、火箭升空； ——作用力和输出速度
• 加热系统； ——加热量和温度变化
• 励磁回路； ——输入电压和励磁电流
惯性大小用τ来量度。 ——τ越大，接近目标值越慢 ，惯性越大；τ越小，接近 目标值越快，惯性越小。
几乎任何物理系统都包含 大大小小的惯性。
二、几种典型环节的数学模型
滞后环节
二、几种典型环节的数学模型
1.比例环节
y(t) Ku(t)
G(s) Y(s) K U (s)
K——称为比例系数或放大系数，也称为环节的增益，有量纲。
输出量无失真、无滞后、成比例地复现输入。
• 无弹性变形的杠杆；
——作用力和输出力
• 忽略非线性和时间迟后的运算放大器；
——比例放大器的输入电压和输出电压
τ＝RC—时间常数
当 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
s
Y(s) s 1 1 s 1 s s 1
t
y(t) e
t=0时，输出幅值为1；
t→∞时，指数衰减至0。
二、几种典型环节的数学模型
5--典型环节传递函数-延时环节
④ 各种传送带(或传送装置)因传送造成的时间上的延迟。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
3．举例 一钢板轧机如图，若轧机轧辊中心线到厚度测量仪的距 离为d (这段距离无法避免)，设轧钢的线速度为v，则测 得实际厚度的时刻要比轧制的时刻延迟 （ ）。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayEleme
1．微分方程
式中 — (Delay Time)。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement) 2．传递函数与功能框
由拉氏变换延迟定理可得 若将 按泰勒(Tayor)
3．举例
① 液压油从液压泵到阀控油缸间的管道传输产生的时间上
② 热量通过传导因传输速率低而造成的时间上的延迟。
③ 晶闸管整流电路，当控制电压改变时，由于晶闸管导通
后即失控，要等到下一个周期开始后才能响应，这意味 着，在时间上也会造成延迟(对单相全波电路，平均延
迟时间
⑤
=5ms；对三相桥式，
=1.7ms)
由于
很小，所以可只取前两项，
上式表明，在延迟时间很小的情况下，延迟环节可用 一个小惯性环节来代替。
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement) 2．传递函数与功能框
延时环节的
功能框图
阶跃响应
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
第二章_典型环节
1. 比例环节 比例环节的微分方程为()()c t Kr t = （2-36）式中，()r t 和()c t 分别为系统输入量和输出量，K 为比例环节的放大系数。
其传递函数为()()()C s G s KR s ==（2-37） 比例环节的结构图为图2-13 比例环节比例环节的特点是，系统输出既不失真也不延迟，而按比例地反映输入的变化，又称为无惯性环节。
2. 惯性环节 惯性环节的微分方程为()()()dc t Tc t r t dt +=（2-38） 式中，K 为环节增益（放大系数）；T 为时间常数，它表征了环节的惯性，且与系统的结构参数有关。
其传递函数为()1()()1C s G s R s Ts ==+（2-39） 惯性环节的结构图为图2-14 惯性环节惯性环节的特点是，由于环节中含有一个储能元件，所以当输入量突然变化时，输出量不能跟着突变，而是按指数规律逐渐变化。
3. 微分环节理想微分环节的微分方程为()()d c t T r t =（2-40）式中，d T 为微分时间常数。
其传递函数为()()()d C s G s T sR s == （2-41） 微分环节的结构图为图2-15 微分环节微分环节的特点是，系统输出量正比于输入量的微分，即输出量反映输入量的变化率，而不反映输入量本身的大小。
因此，可由微分环节来反映输入量的变化趋势，使控制作用提前。
实际中常利用微分环节改善系统的动态性能。
但要注意，当输入为单位阶跃响应函数时，输出就是脉冲函数，这在实际中是不可能的。
因此，微分环节一般不单独存在，而是与其他环节（如比例环节）同时存在的。
4. 积分环节积分环节的微分方程为()()i T c t r t = （2-42）式中，i T 为微分时间常数。
其传递函数为()1()()i C s G s R s T s==（2-43）积分环节的结构图为图2-16 积分环节积分环节的特点是，系统输出量正比于输入量对时间的积分，输出量呈线性增长。
5--典型环节传递函数-延时环节课件
其输出量与输入量变化形式相同，但要延迟一段时间
1．微分方程
式中 —
(Delay Time)。
1
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
2．传递函数与功能框
由拉氏变换延迟定理可得
若将
按泰勒(Tayor)
4
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
3．举例
一钢板轧机如图，若轧机轧辊中心线到厚度测量仪的距
离为d (这段距离无法避免)，设轧钢的线速度为v，则测
得实际厚度的时刻要比轧制的时刻延迟 （
）。
5
由于 很小，所以可只取前两项，
上式表明，在延迟时间很小的情况下，延迟环节可用 一个小惯性环节来代替。
2
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time D时环节的 功能框图
3
阶跃响应
延迟环节(又称纯滞后环节) (Pure Time DelayElement)
3．举例 ① 液压油从液压泵到阀控油缸间的管道传输产生的时间上
② 热量通过传导因传输速率低而造成的时间上的延迟。 ③ 晶闸管整流电路，当控制电压改变时，由于晶闸管导通
后即失控，要等到下一个周期开始后才能响应，这意味 着，在时间上也会造成延迟(对单相全波电路，平均延 迟时间 =5ms；对三相桥式， =1.7ms) ④ 各种传送带(或传送装置)因传送造成的时间上的延迟。 ⑤
自动控制原理第二版课后答案第二章精选全文完整版
x kx ，简记为
y kx 。
若非线性函数有两个自变量，如 z f (x, y) ，则在
平衡点处可展成（忽略高次项）
f
f
z xv
|( x0 , y0 )
x y |(x0 , y0 )
y
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性 关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示的 强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于 线性系统，可采用叠加原理来分析系统。
Eb (s) Kbsm (s)
Js2 m(s) Mm fsm(s)
c
(s)
1
i
m
(s)
45
系统各元部件的动态结构图
传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只 是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现 实意义，而且容易实现。
26
三、典型元器件的传递函数
1. 电位器
1 2
max
E
Θs
U s
K
U
K E
max
27
2. 电位器电桥
1
2
E
K1p1
K1 p 2
U
Θ 1
s
Θ
K1 p
Θ 2
s
U s
28
3.齿轮
传动比 i N2 N1
G2(s)
两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并 以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形
式的连接称为并联连接。
41
3. 反馈连接
R(s)
－
C(s) G(s)
H(s)
一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得 到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输 入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。
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5
Page: 6
三．积分环节
1 微分方程： xo (t ) xi (t )dt T
X o ( s) 1 传递函数： G( s) X ( s) Ts i
Xi ( s) 1 Ts Xo ( s)
频率特性：
1 j 1 G( j ) 0 j j
1
o
幅频特性 ∶ G( j ) = ， 相频特性∶∠G( j ) = - 90
KT 虚频特性： v( ) 1 T 2 2 0
jik 06 9
幅频特性：
1 T 2 2 相频特性： G( j ) arctg(T ) 特殊点： 0, G( j 0) K , G( j 0) 0 ;
G ( j )
K
Page: 10
, G( j) 0, G( j) 90o ;
Page: 3
特殊点： =0， G ( j 0) =0，∠ G( j 0) =90 ；
o
∠G (j∞) =90 = ∞， G(j∞) = ∞，
Nyquist 图:
G ( j ) ( 0 , j ) 90 Im
o
Re
dB 20 lg G
20
Bode图：
A( ) 20 lg
ui(t) R1 ∑ R2 -
z1 xi(t)
Page: 2
xo(t) z2
uo(t)
>1 0 t
R2 R2 u o (t ) u i (t ) G ( s ) K R1 R1
二. 微分环节
时间响应：
Xi ( s)
(t) >1 1 0
t
i ( t ) 微分方程： xo (t ) Tx
→ ∞变化时，该点在虚轴上从－ →0。 当从 0 — ∞—
单位脉冲响应 单位阶跃响应 T >1 1 0 图 2.6.7 t 0 t
时间响应：
T 1
T` > 1
积分 环节的时间响应
jik 06
6
Page: 7
Nyquist图：
特殊点：
1 j 1 G( j ) 0 j j
jik 06 10
Page: 11
G( j )
1 1 T
2 2
- 20
0.1 1 10 s -1 ( )
对数幅频特性曲线 : 过 (1 ， 0) 点，180 90 斜率为+20dB/dec的直线。 相频特性曲线：
jik 06
G
- 90
超前90o
(s -1 )
3
Page: 4
L(ω)
微分环节L(ω)
G(s)=10s
[+20]
40db 20db
0db
0.1 0.2 -20db 1 2 10 20
-40db
jik 06
8
Page: 9
四．惯性环节
o (t ) xo (t ) Kxi (t ) 微分方程：Tx
K G( s) 传递函数： Ts 1
1 时间响应： 0.632 0 T 0.98 4T t 4T 3T 0 误差 T
4T t
K (1 jT ) K 频率特性： G( j ) 1 jT 1 T 2 2 K 实频特性∶ u ( ) 1 T 2 2
ω 100
G(s)= s
G(s)=0.1s
--40db
jik 06
4
Page: 5
实例：永磁式测速发电机
u o (t ) T d i (t ) (t ) T i dt
G( s) U o ( s) T s ( s)
uo ( t ) i ( t )
C uo
微分网络：
பைடு நூலகம்
i 1 ui ui (t ) idt iR R C u o (t ) iR U o ( s) RCs Ts G( s) U i (s) 1 RCs Ts 1
过 (1 ， 0) 点，斜率为 －20dB/dec的直线。
180 90
G
- 90 -180
jik 06
滞后90o
7
Page: 8 返回
L(ω)
积分环节L(ω)
[-20]
40db 20db
0db
0.1 0.2 -20db
10 G (s) s 1 G(s) s
1 2 10 20
ω 100
G (s) 1 5s
X o ( s) Ts 传递函数：G( s) X i ( s)
Ts
Xo ( s)
频率特性： G( j ) j 0 j (T 1)
实频特性 ∶u( )=0； 虚频特性：v( )=
当从0 →∞变化时，端点在虚轴上从0 →∞。 o G j ( ) 90 相频特性 幅频特性 ∶ ∶ G( j ) jik ； 06 2
o
Im
G ( j ) -90 1 ) (0 , -j Re
o
=0， G( j0) =∞，∠G( j0) = - 90 ； =∞， G(j∞ ) =0，∠G(j∞ ) = - 90
积分环节输出相位总是滞后输入90o
Bode图：
A( ) 20 lg
dB 20 lg G
40 20 0.1 1 10
G( j ) K ； G( j ) 0
Im
Nyquist 图
dB 20 lg K 0 0.1 1 10 0 0.1 1 10
jik 06
G ( j ) ( K , j 0) Re
Bode图
(s -1) (s -1)
1
实例：齿轮传动副 比例运算放大器
X o ( s) z1 G( s) K X i ( s) z2
Nyquist图： 趋势：当从 0—→∞变化时， G ( j ) 逐渐减
小到 0 ，相位从0 逐渐变到－90 。Im
特点： 半圆，园心为 ( ，j0) ，半径为
K 2 K 。 2
o
o
G ( j ) K
K 2
Re
∵ν(ω)总是小于零，∴曲线是下半圆。 思考∶若图形为上半圆，其频率特性应是怎样的?
Page: 1
§2.6典型环节
典型环节的微分方程、传递函数及频率特性
一．比例环节
微分方程：xo (t ) Kxi (t ) ；
K 传递函数: G( s) K 频率特性 G( j ) K ； u( ) K ， v( ) 0 ；
Xi ( s )
Xo( s )
时间响应：
K 1 0 K >1 t 0 K >1 t