高中数学-圆的标准方程测试题

高中数学-圆的标准方程测试题

自我小测

1．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )

A.(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13

C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52

D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52

2．圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2上的点与点(0，－5)的最大距离为( )

B ．

C ．

D ．

3．从点P(3，b)向圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1作切线，则切线长的最小值为( ) Ａ.5 B ．4 C ．5.5 D ．2 6

4．过点(－2,0)且倾斜角为45°的直线l 被圆x 2＋y 2＝5截得的弦长|MN|为( )

B ．3

C ．

D ．6

5．经过原点的直线l 与圆C ：x 2＋(y －4)2＝4有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是

( )

A.[,33?

-???

C ．( D.,?-∞???∪?+∞????

6．圆(x －3)2＋(y ＋1)2

＝1关于直线x ＋2y －3＝0对称的圆的方程是__________．

7．过点A(4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B(2,1)，则圆C 的方程为__________．

8．已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程．

9．已知△ABC 的三个顶点A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC 的外接圆的方程．

10．有一种大型商品，A ，B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，回运的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A ，B 两地距离10千米，顾客选A 或B 地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A ，B 两地售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．

参考答案1．解析：设直径的两个端点为M(a,0)，N(0，b)，

则

2

a+

＝2?＝4，

2

b+

＝－3?b＝－6.

所以M(4,0)，N(0，－6)．

因为圆心为(2，－3)，故r

所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故选A. 答案：A

2．答案：D

3．解析：切线长d

所以

当b＝－2时，d取最小值

.

答案：D

4．解析：l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0,0)到直线l的距离d

，则弦长|MN|＝

2

答案：C

5．答案：C

6．解析：关于直线x＋2y－3＝0对称的两圆半径相等，圆心连线被直线x＋2y－3＝0垂直平分．设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1.

由题意得

11

1,

32

31

230.

22

b

a

a b

?+??

?-=-

?

??-

??

?

+-

?+?-=

??

解得

19

,

5

3

.

5

a

b

?

=

??

?

?=

??

所以所求圆的方程为

2

19

5

x

??

-

?

??

＋

2

3

5

y

??

-

?

??

＝1.

答案：

2

19

5

x

??

-

?

??

＋

2

3

5

y

??

-

?

??

＝1

7．解析：由题意知A，B两点在圆上，

所以直线AB的垂直平分线x＝3过圆心．

又圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，所以k BC＝－1. 所以直线BC的方程为y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.

由y＝－x＋3与x＝3联立得圆心C的坐标为(3,0)，

所以r＝|BC|

.

所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.

答案：(x －3)2＋y 2＝2

8．解：因为A(1,1)和B(2，－2)，所以线段AB 的中点D 的坐标为31,22??-

???，直线AB 的斜率k AB ＝2121

---＝－3， 因此线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＋

12＝1332x ??- ???，即x －3y －3＝0. 圆心C 的坐标是方程组330,10

x y x y --=??-+=?的解．

解此方程组，得3,2.x y =-??=-?

所以圆心C 的坐标是(－3，－2)． 圆心为C 的圆的半径长r ＝|AC|

5.

所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2

＝25.

9．解：(方法一)设△ABC 的外接圆方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由已知得222222222(1)(4),(2)(3),(4)(5).a b r a b r a b r ?-+-=?--+-=??-+--=?

解得1,1,5.a b r =??=-??=?

故所求△ABC 的外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.

(方法二)因为k AB ＝4312-+＝13，k AC ＝4514

+-＝－3， 因为k AB ·k AC ＝－1，所以AB⊥AC.

所以BC 为△ABC 外接圆的直径，BC 中点为M(1，－1)．

r ＝|MA|＝|4＋1|＝5，所以△ABC 的外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2

＝25.

10．解：如图，以A ，B 所确定的直线为x 轴，A ，B 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(－5,0)，B(5,0)．

设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品便宜并设A地的运费为3a元/千米，B地的运费为a元/千米．

价格＋每单位距离运费×到A地的距离≤价格＋每单位距离运费×到B地的距离，

即

因为a>0，所以

即

2

25

4

x

??

+

?

??

＋y2≤

2

15

4

??

?

??

.

所以以点C

25

,0

4

??

-

?

??

为圆心，

15

4

为半径的圆是这两地购货的分界线．

圆C内的居民从A地购货便宜．

圆C外的居民从B地购货便宜．

圆C上的居民从A，B两地购货的总费用相等，因此，可随意从A，B两地之一购货．