离散数学——二元关系习题讲解
离散数学(第14讲)二元关系
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Discrete Mathematics 2）反之，在非空集合A上给定一个划分π，则可将A 分割成若干个划分块。 根据以下条件定义A上的二元关系R，即对任何元 素x,y∈A，如果x和y在同一划分块中，则xRy。显 然，R是A上的等价关系，称为由划分π所诱导的 等价关系，并且该等价关系的商集就等于π 。 结论 的划分是一一对应的。 集合A上的等价关系与集合crete Mathematics 在非空集合A上给定一个划分 在非空集合 上给定一个划分π={A1,A2,…,Am}， 上给定一个划分 ， 找出由π所唯一确定的 所唯一确定的A上的等价关系的方法如 找出由 所唯一确定的 上的等价关系的方法如 下： 把划分π的每一块 都拿出来， 把划分 的每一块Ai都拿出来，并且作其笛卡 的每一块 尔积A 尔积 i× Ai(i=1,2,..,m) ，然后求这些笛卡尔积的 并集，即为所求， 并集，即为所求，即
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Discrete Mathematics 例 设A={1,2,3,4,5,6,7,8}， ， R={<x,y>|x,y∈A∧x =y(mod3)}，其中 =y(mod3) ∈ ∧ ，其中x 的含义是x和 分别除以 后的余数相等， 分别除以3后的余数相等 的含义是 和y分别除以 后的余数相等，即x-y可以 整除。 上的等价关系， 被3整除。不难验证 为A上的等价关系，它的关系 整除 不难验证R为 上的等价关系 图如下图所示： 下图所示 图如下图所示：
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Discrete Mathematics 3、商集 、 为非空集合A上的等价关系， 定义 设R为非空集合 上的等价关系，以R的不相 为非空集合 上的等价关系 的不相 交的等价类为元素的集合叫做A在 下的商集， 下的商集 交的等价类为元素的集合叫做 在R下的商集，记 作A/R，即 ， A/R={[a]R |a∈A} ∈ 显然， 显然，在例1中，A在R下的商集是 中 在 下的商集是 A/R ={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}。 。
离散数学 第3章 二元关系
则R∪S,R∩S,R-S, R 等可分别定义如下:
x(R∪S)y xRy∨xSy x(R∩S)y xRy∧xSy x(R-S)y xRy∧x$y x R y xRy
第3章 二元关系
例3.1-3平面上的几何图形是平面R2 的子集,也是一
种关系.设(参看图3.1―2) R1={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧x2+y2≤9} R2={〈x,y〉｜〈x,y〉∈R2∧1≤x≤3) ∧(0≤y≤3)}
n
上 的 m 元 关 系 . 那 么 R1=R2, 当 且 仅 当 n=m, 且 对 一 切 i,1≤i≤n,Ai=Bi,并且R1和R2是相等的有序n重组集合
第3章 二元关系
3.1.2 二元关系
最重要的关系是二元关系.本章或
第3章 二元关系
第3章
二元关系
3.1 基本概念 3.2 关系的复合
3.3 关系上的闭包运算
3.4 偏序关系
3.5 等价关系和划分
第3章 二元关系
3.1
3.1.1 关系
基本概念
关系的数学概念是建立在日常生活中关系的概念 之上的.让我们先看两个例子 例3.1-1 设A={a,b,c,d}是某乒乓球队的男队员集合, B={e,f,g}是女队员集合.如果A和B元素之间有混双配对
第3章 二元关系
图 3.1―1
第3章 二元关系
A叫做关系R的前域,B叫做关系R的陪域
D(R)={x｜y(〈x,y〉∈R)}叫做关系R的定义域 R(R)={y｜x(〈x,y〉∈R)}叫做关系R的值域 关系是序偶的集合,对它可进行集合运算,运算结果 定义一个新关系.设R和S是给定集合上的两个二元关系,
关系的是a和g,d和e.我们可表达为:
离散数学(二元关系)课后总结
第四章二元关系例1 设A={0,1}，B={a,b}，求A⨯B ，B⨯A，A⨯A 。
解：A⨯B={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>}B⨯A={<a,0>,<b,0>,<a,1>,<b,1>}A⨯A={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>}可见A×B≠B×A例2、关于笛卡尔乘积的几个证明1）如果A、B都是有限集，且|A|=m, |B|=n，则|A⨯B |=mn.证明：由笛卡尔积的定义及排列组合中的乘法原理，直接推得此定理。
2) A⨯Φ=Φ⨯B=Φ3) ⨯对∪和∩满足分配律。
设A,B,C是任意集合，则⑴A⨯(B∪C)= (A⨯B)∪(A⨯C)；⑵A⨯(B∩C)= (A⨯B)∩(A⨯C)；⑶(A∪B)⨯C= (A⨯C)∪(B⨯C)；⑷(A∩B)⨯C= (A⨯C)∩(B⨯C)证明⑴：任取<x,y>∈A⨯(B∪C)⇔x∈A ∧y∈B∪C ⇔x∈A ∧(y∈B∨y∈C)⇔( x∈A ∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)⇔<x,y>∈A⨯B∨<x,y>∈A⨯C⇔<x,y>∈(A⨯B)∪(A⨯C) 所以⑴式成立。
4)若C≠Φ，,则A⊆B⇔(A⨯C⊆B⨯C) ⇔(C⨯A⊆C⨯B).证明: 必要性：设A⊆B，求证A⨯C⊆B⨯C任取<x,y>∈A⨯C ⇔x∈A∧y∈C⇒x∈B∧y∈C (因A⊆B)⇔<x,y>∈B⨯C 所以, A⨯C⊆B⨯C.充分性：若CΦ≠, 由A⨯C⊆B⨯C 求证A⊆B取C中元素y, 任取x∈A⇒x∈A∧y∈C⇔<x,y>∈A⨯C⇒<x,y>∈B⨯C (由A⨯C⊆B⨯C )⇔x∈B∧y∈C⇒ x∈B 所以, A⊆B.所以A⊆B⇔(A⨯C⊆B⨯C)类似可以证明A⊆B ⇔(C⨯A⊆C⨯B).5) 设A、B、C、D为非空集合，则A⨯B⊆C⨯D⇔A⊆C∧B⊆D.证明: 首先,由A⨯B⊆C⨯D 证明A⊆C∧B⊆D.任取x∈A，任取y∈B，所以x∈A∧y∈B⇔<x,y>∈A×B⇒<x,y>∈C×D (由A⨯B⊆C⨯D )⇔x∈C∧y∈D 所以, A⊆C∧B⊆D.其次, 由A⊆C，B⊆D. 证明A⨯B⊆C⨯D任取<x,y>∈A×B<x,y>∈A×B ⇔ x∈A∧y∈B⇒ x∈C∧y∈D (由A⊆C，B⊆D)⇔<x,y>∈C×D 所以, A⨯B⊆C⨯D 证毕.例3、令A={1,2,3}给定A上八个关系如下：可见这八个关系中R1、R3、R4是自反的。
离散数学 二元关系(2)
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② 合成运算成立结合律
定理 设 R，S，T分别是A到B，B到C，C到D的关 系， 则有(R S) T = R (S T)。 证明：略
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Discrete Mathematics (4)关系的幂 定义 设R是A上的二元关系，n∈N，则关系R的n次 幂Rn定义为： (1). R0 =A是A上的恒等关系，即R0={<x,x>|xA}； (2). R1=R (3). Rn+1=Rn R
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定义的有关说明:
1. R与S能进行合成的必要条件是R的后域B一定是 S的前域B，否则就不能合成。 2. <x,z>有合成关系的定义为：至少有一个做中间 桥梁的元素y属于B，使x,y有关系R，y,z有关系S。 例1 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5}，C={1,2,3}
R是A到B的关系，且R={<x,y>|x+y=6}，
S是B到C的关系，且S={<y,z>y-z=2} 。
求RS
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Discrete Mathematics 只需从两个关系的二重组中搜索： ∵<1,5>∈R,<5,3>∈S,∴<1,3>∈RS
∵<2,4>R,<4,2>S,∴<2,2>RS
S R= {<d,b> ,<c,b>}
离散数学---二元关系和函数
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反函数
定理 设 f：A→B是双射的, 则f 1：B→A也是双射的.
证 因为 f 是函数, 所以 f 1 是关系, 且
dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A, 对于任意的 y∈B = dom f 1, 假设有x1, x2∈A使得
<x,y1>∈f∧<x,y2>∈f y1 = y2
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反函数的定义及性质
对于双射函数f：A→B, 称 f 1：B→A是它的反 函数.
反函数的性质 定理 设 f：A→B是双射的, 则
f 1∘f = IB, f∘f 1 = IA
对于双射函数 f：A→A, 有 f 1∘f = f∘f 1 = IA
T(x) 1 0 1 0 0 1 1 1
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自然映射
5. 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g：A→A/R g(a) = [a], a∈A
称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.
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实例
例8 (1) A的每一个子集A’都对应于一个特征函 数, 不同的子集对应于不同的特征函数. 例如 A={a, b, c}, 则有
解 BA = {f0, f1, … , f7}, 其中 f0={<1,a>,<2,a>,<3,a>}, f1={<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2={<1,a>,<2,b>,<3,a>}，f3={<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4={<1,b>,<2,a>,<3,a>}，f5={<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6={<1,b>,<2,b>,<3,a>}, f7={<1,b>,<2,b>,<3,b>}
离散数学第四章 二元关系
| A | m | B | n
| A B | mn
4．笛卡儿乘积运算对并和交运算满足分配率，即
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4.1 多重序元与笛卡尔乘积
笛卡尔乘积
设 A { Ai }1≤i≤n 是加标集合，与 A 对应的指标集合是集合 A1 , A2 ,, An
的笛卡儿乘积可以表示成
例如：
例4.4 设集合 A={2,3,5,9} ，试给出集合 A 上的小于或等于关系，大于或等于关 系。 解：令集合 A 上的小于或等于关系为 R1，大于或等于关系为 R2，根据定义4.1应有：
R1 { 2, 2 , 3,3 , 5,5 , 9,9 , 2,3 , 2,5 , 2,9 , 3,5 , 3,9 , 5,9} R2 { 2, 2 , 3,3 , 5,5 , 9,9 , 3, 2 , 5, 2 , 9, 2 , 5,3 , 9,3 , 9,5}
笛卡尔乘积
笛卡儿乘积运算具有以下性质。
• （ 1） A ( B C ) ( A B ) ( A C ) • （ 2） A ( B C ) ( A B ) ( A C ) • （ 3） ( A B ) C ( A C ) ( B C ) • （ 4） ( A B ) C ( A C ) ( B C ) 5 . A C B D A B C D
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主要内容
PART 01 PART 02 01 PART 03 01 PART 04 01 PART 05 01 PART 06 01 PART 07 01 PART 08 01
多重序元与笛卡尔乘积 关系的基本概念
关系的运算
二元关系(离散数学)
第二章二元关系习题2.11.a)R = {<0, 0>, <0, 2>, <2, 0>, <2, 2>}b)R = {<1, 1>, <4, 2>}2.R1⋃ R2 = {<1, 2>, <2, 4>, <3, 3>, <1, 3>, <4, 2>}R1⋂ R2 = {<2, 4>}dom R1= {1, 2, 3}dom R2= {1, 2, 4}ran R1= {2, 3, 4}ran R2= {2, 3, 4}dom (R1⋃ R2) = {1, 2, 3, 4}ran (R1⋂ R2) = {4}3.证明：（根据定义域和值域的定义进行证明）因为x ∈ dom (R1⋃ R2) 当且仅当有y ∈ B使得<x, y> ∈ (R1⋃ R2)当且仅当有y ∈ B使得<x, y> ∈ R1或<x, y> ∈ R2当且仅当有y ∈ B使得<x, y> ∈ R1或有y ∈ B使得<x, y> ∈ R2当且仅当x ∈ dom (R1) 或x ∈ dom (R2)当且仅当x ∈ dom (R1) ⋃ dom (R2)所以，dom (R1⋃ R2) = dom (R1) ⋃ dom (R2) 。
因为若x ∈ ran (R1⋂ R2)，则有x ∈ A使得<x, y> ∈ (R1⋂ R2) ；有x ∈ A使得<x, y> ∈ R1且<x, y> ∈ R2 ；有x ∈ A使得<x, y> ∈ R1且有x ∈ A使得<x, y> ∈ R2 ；x ∈ ran (R1) 且x ∈ ran (R2)；x ∈ ran (R1) ⋂ ran (R2)。
所以，ran (R1⋂ R2) ⊆ ran (R1) ⋂ ran (R2)。
离散数学第七章二元关系
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证明
(2) 任取<x,y>, <x,y>∈(FG)1 <y,x>∈FG t (<y,t>∈F∧<t,x>∈G) t (<x,t>∈G1∧<t,y>∈F1) <x,y>∈G1 F1 所以 (F G)1 = G1 F1
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关系运算的性质
定理7.3 设R为A上的关系, 则 RIA= IAR=R <x,y> <x,y>∈RIA t (<x,t>∈R∧<t,y>∈IA) t (<x,t>∈R∧t=y∧y∈A) <x,y>∈R
例如 A = P(B) = {,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R = {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义： 大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等.
注意： 关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有 穷集） 关系图适合表示有穷集A上的关系
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实例
例4 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0 0 0 1 1 MR 0 0 0 0 0 1 0 0
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关系的表示
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偏序关系
1.设集合 设集合A={a,b,c,d,e,f,g,h}，对应的哈斯图见下图令 设集合 ， B1={a,b}，B2={c,d,e}。求出 1，B2的最大元、最小元、 的最大元、最小元、 ， 。求出B 极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确界。 极大元、极小元、上界、下界、上确界、下确界。
x1
x3 x3 x1 x1
无 x5 无
X3
x5 X
x4， x3， 无 x3 x5 x1 x x5 x1 x1
5
无 x5
x4
5
x4， x5
二元关系
二元关系基本概念(重点) 二元关系基本概念(重点) 关系的运算 关系的性质(重点) 关系的性质(重点) 关系的闭包运算 等价关系与偏序关系(难点) 等价关系与偏序关系(难点)
关系的性质
判断下述关系所具备的性质。 例5 判断下述关系所具备的性质。 (1)集合 上的恒等关系，全域关系。 集合A上的恒等关系 全域关系。 集合 上的恒等关系， (2)R1={<x,y>｜x≤y， x,y∈N}注：将≤改为＜? 改为＜ ｜ ， ∈ 注 改为 (3)R2={<x,y>｜x|y，x,y∈N-{0}} ｜ ， ∈ (4)R3={<S1,S2>｜S1⊆S2，S1,S2∈P(S)}其中 ｜ ⊆ ， 其中P(S)是 ∈ 其中 是 S的幂集。注：若⊆改为⊂? 的幂集。 改为⊂ 的幂集 (5)R4={<x,y>｜x+y=偶数，x,y∈N} 偶数， ∈ ｜ 偶数 (6)R5={<x，y>｜ x ≡ y(mod3), x,y∈Z} ， ｜ ∈
h f d c a
4
g e
集 合 B1 B2
最 大 元 无 无
最 小 元 无 c
上 下 下 上界 确 确 界 界 界 c,d,e,f a,b a,b ,g,h 无 c 无 a, d,e c h b,c h c
极 大 元
极 小 元
b
作业
2.设集合 设集合X={x1,x2,x3,x4,x5}上的偏序关系如下图所示 设集合 上的偏序关系如下图所示 的最大元、 集 最 极大元、极小元。 ，求X的最大元、最小元、最 极 、极小元。求子 下 的最大元 最小元、极大元 极 上 下 上 大 小 ,x 界 确 集X1={x2,x3,x4}，X合 大 4,x5}，X3={x1,x界 5}的上 确 ， 2={x3,x 小 ， 的上 3 元 元 元 元 界 界 下界、上确界、下确界、最大元、最小元、 界、下界、上确界、下确界、最大元、最小元、极 2， 大元和极小元。 大元和极小元。 X1 无 x4 x2 x4 x1 x x1 x4
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等价关系
1．设A={1,2,3,4}，在A×A上定义二元关系 ： ． 上定义二元关系R： ， × 上定义二元关系 <<x,y>,<u,v>>∈R ⇔ x+y = u+v， ∈ ， 导出的划分. 求R导出的划分 导出的划分 2．设R是Z上的模 n 等价关系 即 ． 是 上的模 等价关系, x∼y ⇔ x ≡ y(modn), ∼ 试给出由R确定的 的划分π 确定的Z的划分 试给出由 确定的 的划分π.