高二下学期数学第二次月考试卷

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数学-高二年级第二次月考数学试题

王淦昌高级中学2022-2023学年第二学期高二年级第二次月考数学试题2023．5（考试时间：120分钟分值：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设,a b 均为非零实数且a b <，则下列结论正确的是()A ．11a b > B ．22a b < C ．2211a b<D ．33a b <2．25()x x -的展开式中含5x 项的系数为（） A ． 1-B ． 5-C ． 1D ． 53．命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ． 4a ≥B ．4a ≤C ． 5a ≥D ． 5a ≤4．袁隆平院士是我国的杂交水稻之父，他一生致力于杂交水稻的研究，为解决中国人民的温饱和保障国家粮食安全作出了重大贡献．某杂交水稻研究小组先培育出第一代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，带二代培育出第三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表示：（注：亲代是产生后一代生物的生物，对后代生物来说是亲代，所产生的后一代交子代）通过上面四组数据得到了x 与y 之间的线性回归方程是ˆˆ4.4yx a =+，预测第五代杂交水稻每穗的总粒数为（） A ．211 B ．212C ．213D ．2145．某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c 近似服从2(90,)N σ，()90950.3P c ≤≤=，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（） A ． 5B ． 10C ． 15D ． 306．某校拟从5名班主任及5名班长(3男2女)中选派1名班主任和3名班长去参加“党史主题活动”，要求2名女班长中至少有1人参加，则不同的安排方案有（）种． A ． 9B ． 15C ． 60D ． 457．现行排球比赛规则为五局三胜制，前四局每局先得25分者为胜，第五局先得15分者为胜，并且每赢1球得1分，每次得分者发球；当出现24平或14平时，要继续比赛至领先2分才能取胜．在一局比赛中，甲队发球赢球的概率为12，甲队接发球赢球的概率为35，在比分为24∶24平且甲队发球的情况下，甲队以27∶25赢下比赛的概率为（）A ．18B ．320C ．310D ．7208．设函数,(),x xx af x e x x a ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，若函数存在最大值，则实数a 的取值范围是（）A ． 1a ≤B ． 1a <C ． 1a e ≤D ． 1a e<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．已知a ，b ∈R ，0,0a b >>，且2a b +=，则下列说法正确的为（） A ．ab 的最小值为1 B ．22log log 0a b +≤C ． 224a b +≥D ． 1222a b+≥10．甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（） A ．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种B ．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．甲乙不相邻的排法种数为72种D ．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11．某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%．记“任取一个零件为第i 台车床加工(1,2)i =”为事件i A ，“任取一个零件是次品”为事件B ，则（） A ．()0.054P B = B ．()20.03P A B = C ．()10.06P B A = D ．()259P A B = 12．已知函数()()2ln f x x ax x a R =--∈，则下列说法正确的是（）A ．若1a =-，则()f x 是1(0,)2上的减函数 B ．若01a ≤≤，则()f x 有两个零点 C ．若1a =，则()0f x ≥D ．若1a >，则曲线()y f x =上存在相异两点M ，N 处的切线平行三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为{}3|1x x <<，则20cx bx a -+>的解集是___________．14．命题“x ∃∈R ，()()22210a x a x +++-≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______．15．某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有________种．（用数字作答） 16．已知x >1，y <0，且3y (1－x )＝x ＋8，则x －3y 的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分10分)已知集合{}|132A x m x m =-≤≤-，不等式411x ≥+的解集为B ．（1）当3m =时，求AB ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14：3．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中含5x 的项．19．(本小题满分12分)从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同．（1）若抽取后又放回，抽3次．①分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率； ②求抽到红球次数η的数学期望及方差．（2）若抽取后不放回，写出抽完红球所需次数ξ的分布列．20．(本小题满分12分)某校成立了生物兴趣小组，该兴趣小组为了探究一定范围内的温度x 与豇豆种子发芽数y该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中任选5组数据建立y 关于x 的线性回归方程，并用该方程对剩下的2组数据进行检验．（1）若选取的是星期一、二、三、六、日这5天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅．21．(本小题满分12分)疫情过后，百业复苏，某餐饮店推出了“三红免单”系列促销活动，为了增加活动的趣味性与挑战性，顾客可以从装有3个红球、7个白球的袋子中摸球参与活动，商家提供A 、B 两种活动规则：规则A ：顾客一次性从袋子中摸出3个球，如果3个球都是红球，则本次消费免单；如果摸出的3个球中有2个红球，则获得价值200元的优惠券；如果摸出的3个球中有1个红球，则获得价值100元的优惠券；如果摸出的3个球中没有红球，则不享受优惠．规则B ：顾客分3次从袋子中摸球，每次摸出1只球记下颜色后放回，按照3次摸出的球的颜色计算中奖，中奖优惠方案和规则A 相同．（1）某顾客计划消费300元，若选择规则A 参与活动，求该顾客参加活动后的消费期望；（2）若顾客计划消费300元，则选择哪种规则参与活动更加划算？试说明理由．22．(本小题满分12分)已知函数2()ln (12)1f x x mx m x =-+-+．（1）若1m =，求()f x 的极值；（2）若对任意0x >，()0f x ≤恒成立，求整数m 的最小值．。

陕西省咸阳市2022-2023学年高二下学期第二次月考试题数学(文)含答案

咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月若高二数学（文科）试题（答案在最后）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题：R x ∀∈，ln 0x x +>的否定是（）A.R x ∀∉，ln 0x x +>B.R x ∀∉，ln 0x x +≤C.R x ∃∈，ln 0x x +> D.R x ∃∈，ln 0x x +≤2.已知复数z 满足()i 12i z -=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知向量()()1,2,1,2a b λ=-=- ，若//()a a b -，则实数λ的值为（）A.1B.0C.43 D.23-4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且3MF =，则点M 到x 轴的距离为（）A.4B.22C.2D.35.函数()sin f x x x =的导函数()f x '在区间[π,π⎤-⎦上的图象大致为（）A.B.C. D.6.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数和方差均为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）A.3.5B.4C.4.5D.57.已知函数π()2cos(2)13f x x =-+的图象在区间()0,m 内至多存在3条对称轴，则正实数m 的最大值为（）A.5π3B.2π3C.7π6D.5π68.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为()1,0F c -，2(,0)F c ，抛物线22:4C y cx =的准线与1C 交于M ，N 两点，且2MNF 为正三角形，则双曲线1C 的离心率为（）A.B.2C.2D.39.已知m n 、是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面．下列说法中不正确的是（）A.若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，则//m nB.若//,//m n m α，则//n αC.若,,n αβαγβγ⋂=⊥⊥，则n γ⊥ D.若,,//m m αβαγ⊥⊥，则//βγ10.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在,,A B C 三处测得道路一侧山顶P 的仰角分别为30,4560︒︒ ,，其中,03AB a BC b a b ==<<（），则此山的高度为（）A.B.C. D.11.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（）A.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大12.已知()20.2ln0.4,e 2.718,sin0.1πea b c ==≈=，则（）A.a b c<< B.b a c<< C.b<c<aD.c<a<b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若集合{}{}13,2A x x B x x =≤≤=>，则()R A B =I ð_______________．14.若5π5cos 1225α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．15.已知正三棱锥-P ABC 的各棱长均为6,M 为侧棱PA 的中点，过点M 作与底面ABC 平行的截面，所得截面与底面之间几何体的外接球的表面积为_______________．16.已知函数()f x 的定义域为1R,2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()()233f x f x -=，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且PB PD =．（1）若PA ⊥平面,22ABCD AB PA ==，求三棱锥P BCD -的体积；（2）求证：BD PC ⊥．18.已知数列{}n a 和{}n b 满足21n n a b n +=-，数列{}{},n n a b 的前n 项和分别记作,n n A B ，且n n A B n -=.（1）求n A 和n B ；（2）设122nb n nC A =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .19.如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量．参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，()72128i i t t=-=∑0.55= 2.646≈．参考公式：相关系数()()nii tty y r --=∑，当0.75r >时认为两个变量有很强的线性相关关系；回归方程ˆˆˆy bt a =+中斜率和截距的最小乘估计公式分别为()()()121ˆnii i ni i tty y bt t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-．20.已知函数()2e e (0)=--+>x f x ax a a ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的极值点个数．21.在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ，点Q 满足2DQ PQ =．当点P 在圆O 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设点()0,1A ，直线():1l y kx b b =+≠与曲线C 交于,M N 两点，若0AM AN ⋅=，试探究直线l 是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．（二）选考题：共10分．考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:0l x =，曲线C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为()2πR 3θρ=∈．（1）求曲线C 和直线1l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于,O B 两点，求AOB 的面积．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()|24||3|f x x x =---.（1）求不等式()7f x >的解集；（2）设函数()f x 的最小值为M .若正实数a ，b ，c 满足235a b c M ++-=，求321a b c++的最小值.咸阳市2022~2023学年度第二学期第二次月若高二数学（文科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题：R x ∀∈，ln 0x x +>的否定是（）A.R x ∀∉，ln 0x x +>B.R x ∀∉，ln 0x x +≤C.R x ∃∈，ln 0x x +>D.R x ∃∈，ln 0x x +≤【答案】D 【解析】【分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为R x ∃∈，ln 0x x +≤.故选：D2.已知复数z 满足()i 12i z -=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先利用复数的除法求解出z ，然后由共轭复数求出z ，再结合复数的几何意义从而可求解.【详解】由题意知()()()()2i i 12i 3i 31i i 1i 1i 1222z -+-+====----+-，所以31i 22z =-+，则z 在复平面内对应的点31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限，故B 正确.故选：B.3.已知向量()()1,2,1,2a b λ=-=- ，若//()a a b -，则实数λ的值为（）A.1 B.0C.43 D.23-【答案】A 【解析】【分析】利用向量线性运算与共线向量的坐标表示求解即得.【详解】向量()()1,2,1,2a b λ=-=-，则(2,22)a b λ-=-+ ，由//()a a b -，得4(22)0λ-++=，解得1λ=，所以实数λ的值为1.故选：A4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且3MF =，则点M 到x 轴的距离为（）A.4B. C.2 D.3【答案】C 【解析】【分析】由抛物线定义计算即可得.【详解】由抛物线定义可知MF 等于点M 到准线的距离，故点M 到x 轴的距离为1312MF -=-=.故选：C.5.函数()sin f x x x =的导函数()f x '在区间[π,π⎤-⎦上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用函数奇偶性，特殊点的函数值排除求解即可.【详解】易得()sin cos f x x x x '=+，而()sin cos f x x x x '-=--，故()()f x f x ''-=-，故()f x '是奇函数，排除A,D ，而(π)0f '<，排除B ，故C 正确.故选：C6.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数和方差均为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（）A.3.5 B.4C.4.5D.5【答案】B 【解析】【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.【详解】设甲组数据分别为1x 、2x 、L 、6x ，乙组数据分别为7x 、8x 、L 、12x ，甲组数据的平均数为61136i i x ==∑，方差为()6211356i i x =-=∑，可得6118i i x ==∑，()621330i i x =-=∑，乙组数据的平均数为127136i i x ==∑，方差为()12271336i i x =-=∑，可得12718i i x ==∑，()1227318i i x =-=∑，混合后，新数据的平均数为1211181831212ii x =+==∑，方差为()()()61222171133301841212i i i i x x ==⎡⎤-+-=+=⎢⎥⎣⎦∑∑.故选：B.7.已知函数π()2cos(2)13f x x =-+的图象在区间()0,m 内至多存在3条对称轴，则正实数m 的最大值为（）A.5π3B.2π3C.7π6D.5π6【答案】A 【解析】【分析】根据给定的区间，求出相位范围，再结合余弦函数的图象性质列式求解即得.【详解】由()0,x m ∈，得πππ22333x m -<-<-，依题意，π23π3m -≤，解得5π3m ≤，即50π3m <≤，所以正实数m 的最大值为5π3.故选：A8.已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为()1,0F c -，2(,0)F c ，抛物线22:4C y cx =的准线与1C 交于M ，N 两点，且2MNF 为正三角形，则双曲线1C 的离心率为（）A.B.62C.102D.153【答案】A 【解析】【分析】求出抛物线准线方程，进而得到22b MN a=，由等边三角形得到边长之间的比例关系，得到齐次式，化为220e --=，求出离心率.【详解】22:4C y cx =的准线方程为x c =-，经过点()1,0F c -，22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，令x c =-得22221c ya b-=，解得2b y a =±，故22b MN a=，因为2MNF 为正三角形，所以12F F =，即2222b c a=，联立222b c a =-2220ac --=，方程两边同时除以2a 220e -=，解得e =33-（舍去），故双曲线1C 故选：A9.已知m n 、是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面．下列说法中不正确的是（）A.若//,,m m n αβαβ⊂⋂=，则//m nB.若//,//m n m α，则//n αC.若,,n αβαγβγ⋂=⊥⊥，则n γ⊥D.若,,//m m αβαγ⊥⊥，则//βγ【答案】B 【解析】【分析】根据空间中的线面、面面关系逐一判断即可.【详解】由线面平行的性质定理可知A 正确；若//m n ，//m α，则//n α或n ⊂α，故B 错误；因为αγ⊥，所以由面面垂直的性质定理可知，必有l ⊂α，使得l γ⊥，同理，由βγ⊥得必有b β⊂，使得b γ⊥，从而有//l b ，若l 与n 是相同直线，则由l γ⊥得n γ⊥；若l 与n 是不同直线，则由b β⊂，l β⊄，可得l //β，因为n αβ= ，l ⊂α，则由线面平行的性质定理可得//l n ，故n γ⊥，故C 正确；若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，又//αγ，则//βγ，故D 正确．故选：B.10.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在,,A B C 三处测得道路一侧山顶P 的仰角分别为30,4560︒︒ ,，其中,03AB a BC b a b ==<<（），则此山的高度为（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数可得,,3AO BO h CO===，进而根据余弦定理即可求解.【详解】解：如图，设点P在地面上的正投影为点O，则30,45PAO PBO∠=︒∠=︒，60PCO∠=︒,设山高PO h=，则,,3AO BO h CO===，在AOC中，cos cosABO CBO∠=-∠，由余弦定理可得：2222223322hb ha h hah bh+-+-=-，整理得23()2(3)ab a bhb a+=-，∴h=．故选：D．11.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p，且321p p p>>>．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p 乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p 丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，则此时连胜两盘的概率为p 甲则[][]21321331231211(1)(1)(1)(1)22p p p p p p p p p p p p p =-+-+-+-甲123123()2p p p p p p =+-；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p 乙，则123123213123(1)(1)()2p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-乙记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p 丙则132132312123(1)(1)()2p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-丙则[]()123123213123123()2()20p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<甲乙[]()213123312123231()2()20p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<乙丙即p p <甲乙，p p <乙丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大.选项D 判断正确；选项BC 判断错误；p 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A 判断错误.故选：D12.已知()20.2ln0.4,e 2.718,sin0.1πea b c ==≈=，则（）A.a b c <<B.b a c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数以及正弦函数性质可判断0,0,0a b c ><>，构造函数()2πsin f x x x =-，通过导数得到函数在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可得出a c <，进而得出答案.【详解】因为π0>，所以0a >，因为ln 0.4ln10<=，2e 0>，所以0b <，因为sin 0.1sin 00>=，所以0c >；令()2πsin f x x x =-，π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()2πcos f x x =-'.令()2πcos g x x =-，则()πsin 0g x x ='≥在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()2πcos g x x =-在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，()2πcos f x x =-'在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.又ππ2πcos 20662f ⎛⎫=-='-<⎪⎝⎭，所以，()0f x '<在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以，()2πsin f x x x =-在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.又()00f =，π00.16<<，所以有()0.10.2πsin 0.10f =-<，即0.2πsin 0.1<，整理可得0.2sin 0.1π<，所以a c <.综上所述，b a c <<.故选：B .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若集合{}{}13,2A x x B x x =≤≤=>，则()R A B =I ð_______________．【答案】{}12x x ≤≤【解析】【分析】结合补集与交集的定义计算即可得.【详解】由{}2B x x =>，故{}2B x x =≤R ð，则(){}12A B x x ⋂=≤≤R ð.故答案为：{}12x x ≤≤.14.若5π5cos 1225α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【答案】35##0.6【解析】【分析】利用5π212α+配凑出π6α-，结合诱导公式和余弦的二倍角公式即可求得结果.【详解】πcos 6α⎛⎫-=⎪⎝⎭π55cos cos 2ππcos 2π6212212ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2255312cos π1221255α⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：35.15.已知正三棱锥-P ABC 的各棱长均为6,M 为侧棱PA 的中点，过点M 作与底面ABC 平行的截面，所得截面与底面之间几何体的外接球的表面积为_______________．【答案】99π2【解析】【分析】求得正三棱锥对应正三棱台的高，以及上下底面外接圆半径，结合几何关系，确定球心位置，以及求得外接球半径以及表面积即可.【详解】根据题意，作图如下：过点M 作与底面ABC 平行的截面即平面,,M N T ，显然,N T 也为,PB PC 的中点，故三角形MNT 也是等边三角形，且3MN =；过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，交平面MNT 于点1H ，则1,H H 分别为三角形,ABC MNT 的中心，则球心定在直线PH 上，设其为O ；在三角形MNT中，由正弦定理可得12sin 6032MN MH ===︒1MH =在三角形ABC中，由正弦定理可得2sin 602AB AH ===︒，则AH =故112HH PH ====3MH AH ==<，故球心O 定在线段1H H 的延长线上，设正棱台ABC MNT -的外接球半径为R ，OH x =，则()2222211MH H H OH R AH OH ++==+，即)22312xx ++=+，解得4x =，则23991288R =+=，故外接球表面积为24πR =99π2.故答案为：99π2.【点睛】关键点点睛：本题考察正棱台外接球表面积的求解；处理问题的关键是准确寻求到球心所在的位置，再根据几何关系求得球半径；属中档题.16.已知函数()f x 的定义域为1R,2f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()()233f x f x -=，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____．【答案】0【解析】【分析】由题得出函数的周期性，利用恒等式赋值即可求解.【详解】因为12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为R 上奇函数，所以110022f f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，110(1)()022f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+++=⇔-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()23311f x f x f x f x -=⇔-=+，所以(1)()0(2)(1)0f x f x f x f x ++=⇒+++=，所以()(2)f x f x =+，故()f x 是以2为周期的一个周期函数，202311325062222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又(1)()0f x f x -+=，所以13022f f ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故13022f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：0.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，且PB PD =．（1）若PA ⊥平面,22ABCD AB PA ==，求三棱锥P BCD -的体积；（2）求证：BD PC ⊥．【答案】（1）23（2）证明见解析【解析】【分析】（1）借助锥体体积公式计算即可得；（2）借助线面垂直判定定理及性质定理即可得.【小问1详解】1222,12BCD S PA =⨯⨯== △，122133P BCD V -∴=⨯⨯=；【小问2详解】如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ，四边形ABCD 为正方形，BD AC ∴⊥，又,PB PD O = 为BD 的中点，BD PO ∴⊥，PO AC O ⋂= ，且PO 、AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面,PAC BD PC ∴⊥．18.已知数列{}n a 和{}n b 满足21n n a b n +=-，数列{}{},n n a b 的前n 项和分别记作,n n A B ，且n n A B n -=.（1）求n A 和n B ；（2）设122nb n nC A =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）()()11,22n n n n n n A B +-==（2）121nn S n =-+【解析】【分析】（1）确定2n n A B n +=，再根据n n A B n -=解得答案.（2）计算1n b n =-，得到11121n n c n n -=+-+，根据等比数列求和公式和裂项相消法计算得到答案.【小问1详解】21n n a b n +=-，所以数列{}n n a b +是首项为1，公差为2的等差数列，所以其前n 项和()211212n n A n B n n =++=-⨯，又因为n n A B n -=，所以()12n n n A +=，()12n n n B -=，【小问2详解】当2n ≥时，()()()1112122n n n n n n n b B B n ----=-=-=-.当1n =时，110b B ==也适合通项公式，故1n b n =-.所以()111111222211nb n n n nc A n n n n --=+=+=+-++，所以()2111111122212231n n S n n -⎛⎫=+++++-+-++- ⎪+⎝⎭ ()11211121211nnn n ⨯-⎛⎫=+-=-⎪-++⎝⎭.19.如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量．参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，()72128i i t t=-=∑0.55= 2.646≈．参考公式：相关系数()()nii tty y r --=∑，当0.75r >时认为两个变量有很强的线性相关关系；回归方程ˆˆˆy bt a =+中斜率和截距的最小乘估计公式分别为()()()121ˆnii i ni i tty y bt t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-．【答案】（1）答案见解析（2）ˆ0.100.92yt =+，1.82万吨．【解析】【分析】（1）将数据代入公式，计算出0.990.75r ≈>，得到结论；（2）计算出ˆˆ,a b，求出线性回归方程，代入计算预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量.【小问1详解】123456747t ++++++== ，719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑，()72128i i t t =-=∑0.55=，()()7711740.1749.32 2.89i i i i i i t ty y t y ty ==∴--=-=-⨯=∑∑，2.646≈， 2.890.990.752 2.6460.55r ∴=≈≈>⨯⨯，∴y 与t 有很强的线性相关关系，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．【小问2详解】由（1）得()()()717212.890.10328ˆii i i i tty y bt t ==--==≈-∑∑，又9.32 1.3317y =≈， 1.3310.10340.92ˆˆa y bt ∴=-≈-⨯≈，∴y 关于t 的回归方程为ˆ0.100.92yt =+．202420159-= ，将2024对应的9t =代入回归方程得：0.1090.9.ˆ2182y=⨯+=，∴预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.82万吨．20.已知函数()2e e (0)=--+>x f x ax a a ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的极值点个数．【答案】（1）()e 2e 2y x =--+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得；（2）结合导数对a 的值进行分类讨论即可得.【小问1详解】当1a =时，()()2e e 1,10xf x x f =--+=，切点为()1,0．()e 2x f x x ∴-'=，斜率()1e 2k f ='=-，∴所求切线方程为()()e 21y x =--，即()e 2e 2y x =--+；【小问2详解】函数()2e e (0)xf x ax a a =--+>的定义域为R ，()e 2x f x ax ='- ，令()()g x f x ='，则()e 2x g x a ='-，0a > ，令()0g x '=，解得()ln 2x a =，当()(),ln 2x a ∞∈-时，()0g x '<，即()g x 在()(),ln 2a ∞-上单调递减，当()()ln 2,x a ∞∈+时，()0g x '>，即()g x 在()()ln 2,a ∞+上单调递增，()()()()min ()ln 221ln 2g x g a a a ∴==-，①当e02a <≤时，()0g x ≥，函数()f x 单调递增，∴函数()f x 无极值点；②当2ea >时，()()min ()ln 20g x g a =<，()010g => ，即()()()0ln 20g g a <，因此函数()g x 在()()0,ln 2a 上有唯一零点1x ，当x →+∞时，()g x ∞→+，因此函数()g x 在()()ln 2,a ∞+上有唯一零点2x ，当1x x -∞<<时，()0g x >，即()0,f x '>∴函数()f x 在()1,x ∞-上单调递增；当12x x x <<时，()0g x <，即()0,f x '<∴函数()f x 在()12,x x 上单调递减；当2x x <<+∞时，()0g x >，即()0,f x '>∴函数()f x 在()2,x ∞+上单调递增．又()()120,f x f x '='=∴当2ea >时，函数()f x 有两个极值点．综上，当e02a <≤时，函数()f x 无极值点；当2e a >时，函数()f x 有两个极值点．21.在圆22:1O x y +=上任取一点P ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为D ，点Q 满足2DQ PQ = ．当点P 在圆O 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设点()0,1A ，直线():1l y kx b b =+≠与曲线C 交于,M N 两点，若0AM AN ⋅=，试探究直线l 是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）直线l 恒过点3(0,)5-.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用坐标代换法求出曲线C 的方程.（2）联立直线l 与曲线C 的方程，利用韦达定理结合数量积的坐标运算列式计算即得.【小问1详解】设点()()00,,,P x y Q x y ，则()00,D y ，由2DQ PQ = ，即000(,)2(,)x y y x x y y -=--，因此0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩，而22001x y +=，即2214x y +=，所以曲线C 的方程为2214x y +=．【小问2详解】设()()1122,,,M x y N x y ，由0AM AN ⋅=，得112212121212(,1)(,1)(1)(1)(1)(1)0AM AN x y x y x x y y x x kx b kx b ⋅=-⋅-=+--=++-+-= ，由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得222(14)8440k x kbx b +++-=，2222Δ644(1444)0)(k b k b =-+->，即2214b k <+，则2121222844,1414kb b x x x x k k--+==++，22121212(1)(1)()AM AN x x k x x k b x x b ⋅=++-++- 222222(144)8(1)(1)1044(1)k b k b b b k k+---+-++==，22222(1(44)8(1)(1)(140))k b k b b b k +---+-+=，整理得()()1530b b -+=，而1b ≠，解得35b =-，所以直线l 的方程为：35y kx =-，恒过点3(0,)5-.（二）选考题：共10分．考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:30l x =，曲线C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为()2πR 3θρ=∈．（1）求曲线C 和直线1l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于,O B 两点，求AOB 的面积．【答案】（1）4cos ρθ=，()πR 6θρ=∈（2）23【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程和极坐标方程之间的转换即可得出答案；（2）由题求出,A B 的极坐标即可得出答案.【小问1详解】直线1:30l x =过原点且倾斜角为π6，∴直线1l 的极坐标方程为()6θρ=∈πR ．曲线C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），∴曲线C 的普通方程为2240x y x +-=，∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．【小问2详解】把π6θ=代入4cos ρθ=，得1π23,23,6A ρ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭，把2π3θ=代入4cos ρθ=，得22π2,2,3B ρ⎛⎫=-∴- ⎪⎝⎭，即π2,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，121ππ1sin 212632AOB S ρρ⎡⎤⎛⎫∴=⋅⋅--=⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()|24||3|f x x x =---.（1）求不等式()7f x >的解集；（2）设函数()f x 的最小值为M .若正实数a ，b ，c 满足235a b c M ++-=，求321a b c++的最小值.【答案】（1）{8xx >∣或6}x <-（2）4+【解析】【分析】（1）先分类讨论把()f x 写成分段函数的形式，再解不等式即可；（2）先求出函数()f x 的最小值M ，再结合柯西不等式或基本不等式求解即可.【小问1详解】()()()()()()()243,3,1,3,243,23,37,23,243,21,2,x x x x x f x x x x x x x x x x x ⎧--->->⎧⎪⎪=-+-=-⎨⎨⎪⎪--+-<-+<⎩⎩则()7f x >的解集为3,17x x >⎧⎨->⎩或23,377x x ⎧⎨->⎩ 或2,17,x x <⎧⎨-+>⎩，即8x >或∅或6x <-，综上所述，()7f x >的解集为{8xx >∣或6}x <-.【小问2详解】解法一：由（1）可知当2x =时，()f x 的最小值1M =-，则234a b c ++=，由柯西不等式得，22321(23)216a b c a b c ⎛⎫++⋅++=+=+ ⎪⎝⎭当3a c ==时取等号，故321a b c++的最小值为4+.解法二：由（1）可知当2x =时，()f x 的最小值1M =-，则234a b c ++=，3211321162962(23)10444b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=++⋅++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，当3a c ==时取等号，即所求最小值为4+.。

2022-2023学年内蒙古赤峰市高二下学期第二次月考数学(文)试题【含答案】

2022-2023学年内蒙古赤峰市高二下学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．已知i 是实数集，复数z 满足3z z i i +⋅=+，则复数z 的共轭．．复数为A ．12i +B ．12i-C ．2i+D ．2i-【答案】C【分析】将3z z i i +⋅=+化为31iz i +=+，对其进行化简得到2z i =-，利用共轭复数的性质得到2z i =+．【详解】3z z i i +⋅=+可化为31i z i+=+3(3)(1)42=21(1)(1)2i i i iz i i i i ++--===-++- ∴z 的共轭复数为2z i=+故选C ．【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”．2．方程22122x y m m-=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（）A ．22m -<<B ．0m >C ．0m ≥D ．2m ≥【答案】A【分析】根据双曲线的定义以及双曲线方程的标准形式可知2m +与2m -同号列不等式即可求解.【详解】因为方程22122x y m m-=+-表示双曲线，所以()()220m m +->，即()()220m m +-<，解得：22m -<<.故选：A.3．已知数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为5，则数据123x -，223x -，323x -，423x -，523x -的方差为（）A ．10B ．15C ．17D ．20【答案】D【分析】利用数据线性变换前后方差的关系，求得所求的方差.【详解】因为数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为5，所以数据123x -，223x -，323x -，423x -，523x -的方差为25220⨯=.故选：D【点睛】本小题主要考查数据线性变换前后方差的关系，属于基础题.4．具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如表所示，y 与x 的回归直线方程为3 1.5y x =-，则m 的值为x123y1-m4m 8A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【答案】A【分析】将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.【详解】 1.5x =574m y +=中心点为：57(1.5,)4m +代入回归方程4.5157.541m m +=-⇒=故答案选A【点睛】本题考查了回归方程过中心点的知识，意在考查学生的计算能力.5．魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算注》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++中的“…”代表无限次重复，设121211x =++ ，则可利用方程121x x =+求得x ，类似地可得正数555 等于（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】B【分析】设555x = ，然后解方程5x x =即可得．【详解】设555x = ，则5x x =，解得5x =．故选：B ．6．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．22y x =±B ．2y x=±C ．22y x =±D ．24y x =±【答案】A【分析】根据相似三角形，直接得到3ca=，计算渐近线的斜率.【详解】如图，可知焦点F 到渐近线的距离与顶点A 到渐近线的距离之比为3：1，即3c a =，22122b c a a =-=，所以双曲线的渐近线方程为22y x =±.故选：A.7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（）A ．5n <B ．6n <C ．6n ≤D ．9n <【答案】C【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S ，n 的值，当8n =时，1112S =，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值，由此得出判断框中填写的内容是什么．【详解】解：模拟执行程序框图，可得0S =，2n =；满足条件，12S =，4n =；满足条件，113244S =+=，6n =；满足条件，1111124612S =++=，8n =；由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1112；故判断框中填写的内容可以是6n ≤.故选：C.【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的S 值是解题的关键，属于基础题．8．已知直线:40l x y -+=与圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，则C 上各点到l 的距离的最小值为A ．222-B ．2C ．22D ．25【答案】A【分析】将圆的参数方程化为直角坐标系方程，计算圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系为相离，最近距离为d r -.【详解】将圆12cos :12sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩化成在平面直角坐标系下的形式，圆22:(1)(1)4C x y -+-=，圆心C为(1,1)，半径2r =.已知直线:40l x y -+=，那么，圆心C 到直线l 的距离为22|114|221(1)d r -+==>+-，故直线l 与圆C 相离，所以C 上各点到l 的距离的最小值为222d r -=-.故答案为A.【点睛】本题考查了参数方程，直线与圆的位置关系，综合性较强，是常考题型.9．定义在()0,∞+上的可导函数()f x 满足()()'f x x f x ⋅<，且()20f =，则()0f x x>的解集为（）A ．()0,2B ．()()0,22,+∞U C ．()2,∞+D ．φ【答案】A【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性求解不等式，可得结果.【详解】令()()f x F x x =，则()()()2''xf x f x F x x -=由()()'f x x f x ⋅<，即()()'0xf x f x -<所以当()0,x ∈+∞时，()F'0x <可知函数()F x 在()0,x ∈+∞单调递减又()20f =若()()0f x F x x=>，则02x <<则()0f x x>的解集为()0,2故选：A【点睛】本题主要通过构造函数，利用函数的单调性求解不等式，属中档题.10．如图过抛物线24y x =焦点的直线依次交抛物线与圆()2211x y -+=于A 、B 、C 、D ，则AB CD ⋅=A ．4B ．2C ．1D ．12【答案】C【分析】根据抛物线的几何意义转化1=A AB AF x =-，1D CD DF x =-=，再通过直线过焦点可知24A D p x x ⋅=，即可得到答案.【详解】抛物线焦点为()1,0F ，1=A AB AF x =-,1D CD DF x =-=,，于是214A D p AB CD x x ⋅=⋅==，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的几何意义，直线与抛物线的关系，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力.11．四张卡片的正面分别写上cos y x =，tan 2sin y x x =+，sin sin y x x =+，sin cos sin cos y x x x x =++-，现将这四张卡片反过来，小明从中任意抽取两张，则所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为（）A ．23B ．16C ．13D ．12【答案】B【分析】确定各个函数的周期，cos y x =的周期为π，tan 2sin y x x =+的周期为2π，sin sin y x x =+不是周期函数，sin cos sin cos y x x x x =++-周期为2π，再计算概率得到答案.【详解】cos y x =的图像是由cos y x =的图像x 轴下方的部分向上翻折形成，故周期为π；tan y x =的周期为π，2sin y x =的周期为2π，故tan 2sin y x x =+的周期为2π；sin y x =不是周期函数，故sin sin y x x =+不是周期函数，2sin ,sin cos sin cos sin cos 2cos ,sin cos x x xy x x x x x x x≥⎧=++-=⎨<⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知函数周期为2π.设四张卡片分别为1，2，3，4，则共有()()()()()()1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,46种选择，满足条件的只有1种，故所抽到的两张卡片所书写函数周期相同的概率为16.故选：B12．若0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式sin cos x x mx x +≥恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A ．（0，1]B ．（0，2]C ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．（3，+∞）【答案】B【分析】当0x =和2x π=时结论显然成立，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，分离参数m ，sin cos x x mx x +≥恒成立等价于sin cos x x m x x +≤，令函数sin ()cos x x f x x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数研究函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的单调性，进而求出函数()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上的最小值，即可求出m ．【详解】当0x =时，显然不等式sin cos x x mx x +≥恒成立，当2x π=时，显然不等式sin cos x x mx x +≥恒成立当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由不等式sin cos x x mx x +≥恒成立，有sin cos x x m x x +≤，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭在恒成立，令sin ()cos x x f x x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin sin cos ()(cos )x x x x x f x x x '+-=，令2sin sin c )s (o x x x x g x x +-=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin cos cos )120(x x x x x g x ++-'>=，∴()g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()(0)0g x g >=，即()0f x '>，∴()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，∵当0x →时，()2f x →，∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2f x >恒成立，∵sin cos x x m x x +≤，在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，∴2m ≤，因此正实数m 的取值范围为(]0,2．故选B ．【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立的问题，解题的关键是分离参数，得到新函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，有一定综合性，属于基础题．二、填空题13．已知复数21iz i=-，则复数z 的实部和虚部之和为______.【答案】0【分析】先化简求得z 再计算实部和虚部的和即可.【详解】()()()2121111i i iz i i i i +===-+--+,故实部和虚部之和为110-=.故答案为：0【点睛】本题主要考查复数的基本运算与实部虚部的概念,属于基础题型.14．对某同学的7次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为83；③平均数为85；④极差为16；其中，正确说法的序号是__________．【答案】②④【分析】先根据茎叶图将各数据从小到大排列，再利用中位数、众数、平均数与极差的定义求解即可.【详解】将各数据按从小到大排列为：76，78，83，83，85，91，92．易得中位数是83，故①错误；众数是83，故②正确；平均数为76788383859192847++++++=，故③错误．极差是927616-=，故④正确．故答案为：②④．15．已知双曲线22214x y b -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A 、B 两点，||35AB =，1(4)M ，，动点()P x y ，在双曲线上，则2PM PF +的最小值为__________．【答案】524-【分析】设出双曲线的焦点和渐近线方程，令x c =，解得y ，可得AB ，由双曲线的基本量的关系，解得,,a b c ，可得双曲线的方程，讨论P 在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．【详解】由题意知：双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，渐近线方程为：by x a=±令x c =，解得：bc y a =±，可得：235bcAB a==由2a =，222c a b =+，解得：5b =，3c =则双曲线的方程为：22145x y -=，则()13,0F -，()23,0F 若P 在左支上，由双曲线的定义可得：212PF a PF =+221124(43)14524PM PF PM PF a MF +=++≥+=+++=+当且仅当1M P F ，，共线时，取得最小值452+若P 在右支上，由双曲线的定义可得：212PF PF a =-21124524PM PF PM PF a MF +=+-≥-=-当且仅当1M P F ，，共线时，取得最小值524-综上可得，所求最小值为：524-本题正确结果：524-【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及定义法，考查转化思想和三点共线取得最小值的性质，考查运算能力，属于中档题．16．若函数2ln (),()1,(0,),x a xf xg x e x x+==-∃∈+∞使得()()f x g x ≥成立，则实数a 的最小值是_____.【答案】12【分析】根据题意，(0,)x ∃∈+∞使得()()f x g x ≥成立，分类参数a ，可转化为(0,)x ∃∈+∞，使得ln x a xe x x ≥--成立，构造函数()ln ,0xh x xe x x x =-->，利用导数法求得()min h x ，即可求解.【详解】由题意，函数2ln (),()1,(0,),x a xf xg x e x x+==-∃∈+∞使得()()f x g x ≥成立，即(0,)x ∃∈+∞，使得2ln 1x a xe x+≥-成立，即(0,)x ∃∈+∞，使得2ln x a xe x x ≥--成立，令()ln ,0xh x xe x x x =-->，则()min a h x ≥，因为()1(1)1,0x h x x e x x '=+-->，则()21(2)0xh x x e x''=++>，所以()1(1)1xh x x e x'=+--在(0,)+∞上单调递增，又由1314()40,(1)22033h e h e ''=-<=->，所以01(,1)3x ∃∈使得()0h x '=，此时()ln xh x xe x x =--取得极小值，也是最小值，令()0h x '=，则0001(1)10x x e x +--=，即001x e x =，所以()0000000ln 1ln 1x xh x x e x x x e -=--=--=，即()min 1h x =，所以21a ≥，即实数a 的最小值为12.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值与最值，其中解答中合理利用分离参数，结合函数的单调性与最值求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题17．已知函数2()ln f x a x x =-(0a ≥).(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(Ⅱ)若对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ)0x y +=(Ⅱ)[0,2e)【分析】(Ⅰ)对函数进行求导，然后求出1x =处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程求出切线方程，最后化为一般式方程；(Ⅱ)先证明当0a =时，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立，然后再证明当0a >时，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立时，实数a 的取值范围.法一:对函数求导，然后判断出单调性，求出函数的最大值，只要最大值小于零即可，这样可以求出实数a 的取值范围；法二：原不等式恒成立可以转化为21ln xa x>恒成立问题.2ln ()x g x x =，求导，判断出函数的单调性，求出函数的最大值，只要1a大于最大值即可，解出不等式，最后求出实数a 的取值范围.【详解】解:(Ⅰ)当1a =时，2()ln f x x x =-，1()2f x x x∴'=-，(1)1f ∴'=-，(1)1f =-∴曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为1(1)y x +=--，即0x y +=(Ⅱ)当0a =时，2()f x x =-(0x >)，对任意(0,)x ∈+∞，()0f x <恒成立，符合题意法一:当0a >时，22()2a a x f x x x x-'=-=，()002a f x x '>⇔<<；()02a f x x '<⇔>()f x ∴在(0,)2a上单调递增，在(,)2a +∞上单调递减∴只需max (())()ln 02222a a a a f x f ==-<即可，解得02ea <<故实数a 的取值范围是[0,2e)法二:当0a >时，()0f x <恒成立⇔21ln xa x >恒成立，令2ln ()x g x x =，则312ln ()xg x x -'=，()00e g x x '>⇔<<；()0e g x x '<⇔>，()g x ∴在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减∴只需max 11(())(e)2eg x g a >==即可，解得02ea <<故实数a的取值范围是[0,2e)【点睛】本题考查了求曲线的切线方程，考查了不等式恒成立时，求参数问题，利用导数求出函数的最值是解题的关键.18．每天锻炼一小时，健康生活一辈子，现在很多年轻人由于诸多原因身体都是处于“亚·健康”状态，为了了解现在的年轻人运动锻炼的状况，某社会机构做了一次调查，随机采访了100位年轻人，并对其完成的调查结果进行了统计，将他们分为男生组、女生组，把每周锻炼的时间不低于5小时的年轻人归为“健康生活”，低于5小时的年轻人归为“亚健康生活”，并绘制了如下2×2列联表.健康生活亚健康生活合计男304575女151025合计4555100附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828(1)能否有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关？（运算结果保留三位小数）(2)用分层抽样的方法在健康生活的45名受采访的年轻人中选取6人参加一次公益活动，需要在这6名年轻人中随机选取两人作为这次活动的联络员，求两名联络员均为男性的概率.【答案】(1)没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关(2)2 5【分析】（1）计算2K，并与表中3.841比较大小得出结果；（2）列出6名年轻人中随机选取两人的所有基本事件，再找到两名均为男性的事件个数，求其概率即可.【详解】（1）由()22100301015453.03045557525K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵3.030<3.841，∴没有95%的把握认为是否为“健康生活”与年轻人的性别有关；（2）易得选取参加公益活动的6人为4男2女，用a ，b ，c ，d ，1，2表示此4男2女，则基本事件：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),1a ，(),2a ，(),b c ，(),b d ，(),1b ，(),2b ，(),c d ，(),1c ，(),2c ，(),1d ，(),2d ，()1,2共15个基本事件，记两名联络员均为男性为事件A ，事件A 包含6个基本事件，()62155P A ==，∴两名联络员均为男性的概率为25.19．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.月份t 1234订单数量y （万件） 5.2 5.3 5.7 5.8附：相关系数，12211()()()()n i i i nn i i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑回归方程ˆˆy abx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为121()()ˆ()n i i i ni i x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆay bx =- ， 1.3 1.14≈.(1)试根据样本相关系数r 的值判断订单数量y 与月份t 的线性相关性强弱（0.75||1r ≤≤，则认为y 与t 的线性相关性较强，||0.75r <，则认为y 与t 的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）(2)建立y 关于t 的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.【答案】(1)0.96，订单数量y 与月份t 的线性相关性较强(2) 0.22 4.95y t =+，6.05万件【分析】（1）根据公式求出r ，即可得出结论；（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令5t =，即可得解.【详解】（1）1234 2.54t +++==，1(5.2 5.3 5.7 5.8) 5.54y =+++=，41()()(1.5)(0.3)(0.5)(0.2)0.50.2 1.50.3 1.1i i i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，4222221()(1.5)(0.5)0.5 1.55i i t t =-=-+-++=∑，4222221()(0.3)(0.2)0.20.30.26i i y y =-=-+-++=∑，∴41442211()()1.1 1.10.960.751.141.3()()i i i i i i i t t y y r tt yy ===--==≈≈>--∑∑∑，∴订单数量y 与月份t 的线性相关性较强；（2） 41421()()1.1ˆ0.225()i i i i i t t y y b t t ==--===-∑∑，∴ˆˆ 5.50.22 2.5 4.95a y bt=-=-⨯=，∴线性回归方程为 0.22 4.95y t =+，令5t =， 0.225 4.95 6.05y =⨯+=（万件），即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率与双曲线22:2E x y -=的离心率互为倒数，且椭圆C 的焦距、双曲线E 的实轴长、双曲线E 的焦距依次构成等比数列.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若双曲线E 的虚轴的上端点为2B ，问是否存在过点2B 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，使得以MN 为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在，22y x =+或22y x =-+.【分析】（1）将已知双曲线的方程化为标准形式求得离心率，结合椭圆中的基本量关系和已知条件，求得椭圆的半长轴和半短轴，得到椭圆的标准方程；（2）先排除直线l 斜率不存在的情形，然后设出直线的斜率，写出方程，联立直线与椭圆方程，利用判别式求得k 的取值范围，利用韦达定理和向量的垂直的条件得到关于k 的方程，求解并验证是否满足上面求出的范围即可.【详解】解：（1）双曲线22:2E x y -=，即为22122x y -=，其离心率为2222+=，则椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12e =.因为双曲线E 的实轴长为22、焦距为4，设椭圆C 的焦距为2c ，则2,22,4c 成等比数列，所以2(22)8c =，解得1c =.又12c e a ==，及222a b c =+，解得2,1a b ==.所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）双曲线E 的虚轴上端点为2(0,2)B .当直线l 的斜率不存在时，:0l x =，点,M N 为椭圆的上、下两顶点，显然不符合题意；故直线l 的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+，联立方程组221,22,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得()22124220k x kx +++=.显然()22(42)41220k k ∆=-+⨯>，解得22k >或22k <-()*.设点()()1122,,,M x y N x y ，则121222422,1212k x x x x k k+=-=++，所以()()()2121212122222y y kx kx k x x k x x =++=+++222222222228282422212121212k k k k k k k k k k -++-=-+==++++，若以MN 为直径的圆过原点，则OM ON ⊥ ，所以0OM ON ⋅= ，所以12120x x y y +=，即22222201212k k k -+=++，所以2242012k k-=+，解得2k =±，符合()*式，所以直线l 的方程为22y x =+或22y x =-+.21．已知函数f (x )＝()1xx a x be e -+(a ≠0)．（1）当a ＝－1，b ＝0时，求函数f (x )的极值；（2）当b ＝1时，若函数f (x )没有零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值为21e-，无极大值；（2）2(,0)e -.【分析】（1）当1,0a b =-=时，求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，结合函数极值的定义，即可求解；（2）把函数()f x 没有零点，转化为方程ax －a ＋ex ＝0无实根，令()x h x ax a e =-+，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，列出不等式，即可求解.【详解】（1）当1,0a b =-=时，函数()1x x f x e -+=，则()2x x f x e -'=，当(,2)x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减；当(2,)x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增．所以()f x 的极小值为()212f e =-，无极大值．（2）当1b =时，函数()xxax a e f x e -+=，因为函数()f x 没有零点，即方程0x x ax a e e-+=无实根，即ax －a ＋ex ＝0无实根，令()x h x ax a e =-+，则()x h x a e '=+，若0a >时，则()()0,h x h x '>在R 上单调递增，()(),;,;x h x x h x →+∞→+∞→-∞→-∞此时存在0x ，使得0()0h x =，不合题意；若a<0时，令()0h x '>，即0x a e +>，得ln()x a >-；令()0h x '<，得ln()x a <-，所以当ln()x a =-，函数()h x 取得最小值，最小值为()min (ln())ln()2h x h a a a a =-=--，()(),;,;x h x x h x →+∞→+∞→-∞→+∞要使得函数()f x 没有零点，则满足()min 0h x >，即ln()20a a a -->，解得20e a -<<，综上所述，实数的取值范围为()2,0e -．【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，以及利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程根的个数，应用导数求得函数的单调性与最值，列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以原点O 为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为243cos 2ρθ=-.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,2)P -，直线l 与曲线C 相交于AB 两点，求||||PA PB +的值.【答案】（1）22:12x C y +=，:10l x y +-=；（2）102||||3PA PB +=【解析】(1)消去参数t 求解直线l 的普通方程,再利用极坐标与直角坐标的对应关系与二倍角公式求解曲线C 的直角坐标方程.(2)利用参数t 的几何意义,联立直线与圆C 的方程,利用韦达定理求解即可.【详解】(1)由12x t y t =-+⎧⎨=-⎩,两式相加可得:1l x y +=,即:10l x y +-=.又22443cos 222sin ρθθ==-+,即22222+22sin 4244x y ρρθ=⇒+=即22:12x C y +=.(2)将:10l x y +-=化简成关于点(1,2)P -的参数方程有：212222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,（t 为参数）,代入22:12x C y +=有222221222310214022t t t t ⎛⎫⎛⎫+++=⇒++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则12102||||3PA PB t t +=+=.【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标化成直角坐标的方法,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中等题型.。

上海市行知中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题

上海市行知中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(1)当直线l平行于G的斜率大于(2)当直线l的斜率为1时，在点的坐标；若不存在，说明理由19．如图，在棱长为1的正方体18．(1)1(2)不存在，理由见解析【分析】（1）首先得到双曲线的渐近线方程及直线计算可得；（2）先根据斜率求出直线l的方程，从而得点出点的横、纵坐标之间的关（2）不存在，理由如下：当直线l 的斜率为1时，直线方程为又()12,0F -，所以(12,F Q =-uuur 设G 的右支上的点(,)(P x y x71420202794<<Q ，64128n \<<，又20207141306-=，123501275130612350511326++++=<<+++++=K K 所以min 6451115n =+=；（3）必要性：若242n n S S n =-+，则：122422n n n SS +=-+①122214(21)2n n n S S +++=-++②①-②得：1121222141(N )n n n a a a n ++*++++=-Î③由于1121220,1n n a a ++++=ìí=î或1121221,2n n a a ++++=ìí=î或11212202n n a a ++++=ìí=î，且210n a +=或1，只有当112121221,1,2n n n a a a +++++===同时成立时，等式③才成立，211(N )n a n *+\=Î；充分性：若211(N )n a n *+=Î，由于1212223212n n n n na a a a ++++=<<<<=L 所以2(N ,N ,2)n n ka k n k k **+=ÎÎ£，即211na +=，222n a+=，233n a +=，…，12121n n a +-=-，又122n n a +=，所以对任意的N n *Î，都有2211n n a a -=+…（I ），另一方面，由2nka k +=，1222n k a k ++=(N ,N ,2)n n k k **ÎÎ£所以对任意的N n *Î，都有22n n a a =…（II ），21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -\=+++=+++++++L L L2422232()24()n n a a a n a a a a n =+++-=++++-L L ，由于120,1a a ==2124()242n n n S a a a n S n \=+++-+=-+L .【点睛】关键点点睛：对于数列新定义型问题，关键是理解所给定义，需要熟练的应用等差、等比数列求和公式，以及充分条件与必要条件的概念.。

2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题(解析版)

2024届高二年级下学期第二次月考数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知复数满足，（）z ()()31i 1i z --=+z=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先求出复数的代数形式，再求模即可. z 【详解】由得()()31i 1i z --=+，()()()()1i 1i 1i333i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.z ∴==故选：D.2. 某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意27.326χ=愿与家庭年收入高低有关系的可信度（）参考数据如下：，()()()22210.8280.001,7.8790.005, 6.6350.01P P P χχχ≥≈≥≈≥≈.()()223.8410.05, 2.7060.1P P χχ≥≈≥≈A. 低于 B. 低于 C. 高于 D. 高于1%0.5%99%99.5%【答案】C 【解析】【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于，()27.326 6.635,7.879χ=∈而，()()227.8790.005, 6.6350.01P P χχ≥≈≥≈所以可信度高于. 99%故选：C3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（）,a b 10a b ⋅= ()3,4b =- a b A. B.C.D. ()6,8-()6,8-68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭68,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.a b【详解】解：因为向量，且，那么，()3,4b =- 10a b ⋅=5b == 所以向量在向量上的投影向量为， a b ()3468cos ,555b a b a a b b b-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ，，故选：C.4. 已知等比数列的前n 项和为，若，则（）{}n a n S 153n n S t -=⨯+t =A. B. 5C.D.5-53-53【答案】C 【解析】【分析】根据条件得到，，，从而求出，，，再由数列是等比数列得到，1S 2S 3S 1a 2a 3a {}n a 3212a a a a =即可得到.t 【详解】由题意得：，，， 115S a t ==+21215S a a t =+=+312345S a a a t =++=+即，，， 15a t =+210a =330a =因为数列是等比数列，所以， {}n a 3212a a a a =即，解得：，1030510t =+53t =-故选：C .5. 如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①,,,A B C D AE平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数//CDF ABE //CDF AB AD ⊥ACE ⊥BDF 为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直O ,,OB OC OE ,,x y z 角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， O ,,OB OC OE ,,x y z 设正八面体的边长为,则2()(()()(0,,,,,0,0,A E C D F 所以，,(()(,,0,AE CD CF ===设面的法向量为，则，解得，取，即CDF (),,n x y z =CD n CF n ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩x z x y =⎧⎨=-⎩1x =()1,1,1n =-又，所以，面，即面，①正确；0AE n ⋅== AE n ⊥AE ⊄CDF AE //CDF 因为，所以，AE CF =- AE //CF 又，面，面，则面，//AB CD AB ⊄CDF CD ⊂CDF //AB CDF 由，平面，所以平面平面，②正确； AB AE A = ,AE AB ⊂ABE AEB //CDF 因为，则，所以，③正确；))(),,BAB AD ==0AB AD ⋅=u u u r u u u rAB AD ⊥易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，ACE ()11,0,0n =u r BDF ()20,1,0n =u u r因为，所以平面平面，④正确；120n n ⋅=ACE ⊥BDF 故选：D6. 如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为（）A. 220B. 200C. 190D. 170【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，用总数减去不能构成三角形的情况即可.【详解】任取三个点有种，其中三点共线的有种，故能构成三角形个， 312C 353C 33125C 3C 190-=故选：C .7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、1F 2F ()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>1F 右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，，平分，则双曲线的离心率为（）23CB F A =2BF 1F BC ∠ΓA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定23CB F A =2//CB F A 1,BF BC 义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.,,a b c 【详解】因为，所以∽，23CB F A =12F AF 1F BC △设，则，设，则，． 122FF c =24F C c =1AF t =13BF t =2AB t =因为平分，由角平分线定理可知，， 2BF 1F BC ∠11222142BF F F c BC F C c ===所以，所以， 126BC BF t ==2123AF BC t ==由双曲线定义知，即，，① 212AF AF a -=22t t a -=2t a =又由得，122B F B F a -=2322BF t a t =-=所以，即是等边三角形， 222BF AB AF t ===2ABF △所以．2260F BC ABF ∠=∠=︒在中，由余弦定理知，12F BF 22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅即，化简得， 22214942223t t ct t+-=⋅⋅2274t c =把①代入上式得． ce a==故选：A ．8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一；享有“数学王子“的称号.用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x 的最大整数，已知数列满足，，()[]f x x =[]x {}n a 12a =26a =，若，为数列的前n 项和，则（）2156n n n a a a +++=[]51log n n b a +=n S 11000n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭[]2023S =A. 999 B. 749 C. 499 D. 249【答案】A 【解析】【分析】根据递推关系可得为等比数列，进而可得，由累加法可求解{}1n n a a +-1145n n n a a -+=⨯-，进而根据对数的运算性质可得，根据裂项求和即可求解.151n n a +=+[]51log n n b a n +==【详解】由得，因此数列为公比为5，2156n n n a a a +++=()2115n n n n a a a a +++-=-{}1n n a a +-首项为的等比数列，故，进而根据累加法214a a -=1145n n n a a -+=⨯-得，()()()()1111112024555251n n n n n n n n a a a a a a a a ++---=+++=++-+-++=+- 由于，又，()515log log 51nn a +=+()()()5555log 5log 51log 55log 511nnnnn n <+<⨯⇒<+<+因此，则，故[]51log n n b a n +==()11000100011100011n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，12110001n n S c c c n ⎛⎫=+++=- ⎪⎝⎭所以， []20231100010001100099920232023S ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：A【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于n n n c a b =+{}n a {}n b ()11n a n n =+，其中为等差数列，为等比数列等. n n n c a b =⋅{}n a {}n b 二、多选题（共20分）9. 已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（）221124x y m m +=--A. m 的取值范围为 B. 若该椭圆的焦点在y 轴上，则 ()4,12()8,12m∈C. 若，则该椭圆的焦距为4 D. 若，则该椭圆经过点6m =10m =(【答案】BC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可.【详解】A ：因为方程表示椭圆，221124x y m m +=--所以，解得，且，故A 错误；12040124m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩412m <<8m ≠B ：因为椭圆的焦点在y 轴上，221124x y m m +=--所以，解得，故B 正确；4120m m ->->812m <<C ：若，则椭圆方程为，6m =22162x y +=所以，从而，故C 正确；222624c a b =-=-=24c =D ：若，则椭圆方程为，10m =22126x y +=点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. ((故选：BC.10. 设等差数列的前项和为，，公差为，，，则下列结论正确的是{}n a n n S 10a >d 890a a +>90a <（） A.0d <B. 当时，取得最大值 8n =n S C.45180a a a ++<D. 使得成立的最大自然数是15 0n S >n 【答案】ABC 【解析】【分析】根据已知可判断，，然后可判断AB ；利用通项公式将转化为可判80a >90a <4518a a a ++9a 断C ；利用下标和性质表示出可判断D.1617,S S 【详解】解：因为等差数列中，，， {}n a 890a a +>90a <所以，，，A 正确； 80a >90a <980d a a =-<当时，取得最大值，B 正确；8n =n S ，C 正确； ()45181193243830a a a a d a d a ++=+=+=<，，()()1611689880S a a a a =+=+>11717917()1702a a S a +==<故成立的最大自然数，D 错误． 0n S >16n =故选：ABC ．11. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（） ()1nx +A.8n =B. 的展开式中项的系数为56 ()1nx +2x C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为56()21nx y +-2xy 【答案】AC 【解析】【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB ，()1nx +n n 利用所有奇数项的二项式系数和为判断C ，根据二项式定理判断D.12n -【详解】因为的展开式通项为，()1nx +1C C k k k kr n n T x x +==所以的展开式的第项的二项式系数为，()1nx +1k +C kn 所以，解得，A 正确； 26C C n n =8n =的系数为，B 错误；2x 28C 28=奇数项的二项式系数和为，C 正确； 1722128n -==根据二项式定理，表示8个相乘，()821x y +-()21x y+-所以中有1个选择，1个选择，6个选择，()21x y+-x 2y-1所以的展开式中项的系数为，D 错误；()21nx y +-2xy ()71187C C 156-=-故选：AC12. 已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为13，p .记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路X 口遇到红灯个数之和为，则（） Y A. ()54243P X ==B. ()109D X =C. 当时，小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为25p =216625D. 当时， 25p =()443E Y =【答案】BC 【解析】【分析】对于AB ，确定，即可求出和，对于C ，表示一天至少遇到红灯15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()4P X =()D X 的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，再将1233p +代入即可求得结果，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则25p =ξ()5,B p ξ~，，即可求出.Y X ξ=+()E Y 【详解】对于AB ，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，且他X 在甲路口遇到红灯的概率为， 13则，15,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，， ()44511104C 133243P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111051339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以A 错误，B 正确，对于C ，由题意可知一天至少遇到一次红灯的概率为， ()112111333p p ⎛⎫---=+ ⎪⎝⎭则小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为， 32351212C 13333p p ⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，， 25p =323233551212122122216C 1C 13333335335625p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+⨯--⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以C 正确，对于D ，记为周一到周五这五天在乙路口遇到红灯的个数，则，， ξ()5,B p ξ~Y X ξ=+所以， ()()()()1553E Y E X E X E p ξξ=+=+=⨯+当时，，所以D 错误， 25p =()121155353E Y =⨯+⨯=故选：BC三、填空题（共20分）13. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______. 2x =-20x +-=(-【答案】 ()2224x y ++=【解析】【分析】设圆心为，记点为，由已知直线与直线垂直，由此可()2,C t -(-A AC 20x -=求，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程. t AC【详解】记圆心为点，点为点，C (-A 因为圆心在直线上，故可设圆心的坐标为， C 2x =-C ()2,t -因为圆与直线相切于点， C 20x -=(A -所以直线与直线垂直， CA 20x +-=直线的斜率为 CA 20x +-=， 1⎛=- ⎝所以，0=t 所以圆心为， ()2,0C -圆的半径为，2CA r ===所以圆的方程为. ()2224x y ++=故答案为：.()2224x y ++=14. 已知随机变量,且，若,则的最小()21N ξσ ，()()0P P a ξξ≤=≥()00x y a x y +=>>，12x y+值为_________．【答案】 32+【解析】【分析】先根据正态曲线的对称性可求，结合基本不等式可求答案. 2a =【详解】，可得正态分布曲线的对称轴为，()21,N ξσ1x =又，，即． ()()0P P a ξξ≤=≥12a∴=2a =则()(121121213332222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时，等号成立.y=2,4x y ==-故答案为：. 32+15. 已知数列是等差数列，并且，，若将，，，去掉一项后，剩{}n a 1476a a a ++=60a =2a 3a 4a 5a 下三项依次为等比数列的前三项，则为__________． {}n b 4b 【答案】## 120.5【解析】【分析】先求得，进而求得，，，，根据等比数列的知识求得. n a 2a 3a 4a 5a 4b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 依题意，则，147660a a a a ++=⎧⎨=⎩1139650a d a d +=⎧⎨+=⎩解得，所以，151a d =⎧⎨=-⎩6n a n =-+所以， 23454,3,2,1a a a a ====通过观察可知，去掉后，3a 成等比数列，2454,2,1a a a ===所以等比数列的首项为，公比为，{}n b 412所以.3411422b ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭故答案为：1216. 设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集()f x (0,)+∞()20f =3()2()05f x f x x--≤为___________【答案】 [)(]2,00,2-U 【解析】【分析】分析函数的奇偶性、单调性和取值范围，即可得到不等式的解集. 【详解】由题意，，x ∈R 在中，为奇函数且在上单调递减，()y f x =()f x ()0,∞+()20f =∴，，函数在和上单调递减，()()f x f x =--()()220f f -==(),0∞-()0,∞+∴当和时，；当和时，. (),2-∞-()0,2()0f x >()2,0-()2,+∞()0f x >∵，3()2()05f x f x x--≤∴，即，3()2()3()2()()055f x f x f x f x f x x x x ----==-≤()0f x x≥当时，解得：；当时，解得：， 0x <20x -≤<0x >02x <≤∴不等式解集为：，3()2()05f x fx x--≤[)(]2,00,2-U 故答案为：.[)(]2,00,2-U 四、解答题（共70分）17. 已知向量，，且函数.()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅（1）求函数的单调增区间；()f x （2）若中，分别为角对的边，，求的取值范围. ABC ,,a b c ,,A B C ()2cos cos -=a c B b C π26A f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1）πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题知，再根据三角函数性质求解即可； ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由正弦定理边角互化，结合恒等变换得，进而得，，再根据三角函数1cos 2B =π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的性质求解即可. 【小问1详解】因为向量，，且函数()cos ,1m x =)2,cos n x x =()f x m n =⋅所以 ()211π1cos cos cos2sin 22262f x m n x x x x x x ⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭ 令，解得， πππ2π22π262k x k -+≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈所以，函数的单调增区间为.()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】因为，()2cos cos -=a c B b C由正弦定理可得：， 2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=即，2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+因为， ()sin cos sin cos sin sin C B B C B C A +=+=所以，2sin cos sin A B A =因为，所以， ()0,π,sin 0A A ∈≠1cos 2B =因为，所以，所以， ()0,πB ∈π3B =2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ11sin cos 263622A f A A ⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以；π13cos 0,2622A f A ⎛⎫⎛⎫+=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的取值范围为.π26A f ⎛⎫+⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭18. 已知正项数列中，．{}n a 2113,223(2)n n n a S S a n -=+=-≥（1）求的通项公式； {}n a （2）若，求的前n 项和． 2nn na b ={}n b n T 【答案】（1） 21n a n =+（2） 2552n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据计算即可得解；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】当时，，2n =2212212222324212,0S S a a a a a +=-=+=+>解得，25a =由当时，， 2n ≥21223n n n S S a -+=-得当时，，3n ≥2121223n n n S S a ---+=-两式相减得，即，()22112n n n n a a a a --+=-()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=又，所以，0n a >()123n n a a n --=≥又适合上式，212a a -=所以数列是以为首项，为公差的等差数列， {}n a 32所以； 21n a n =+【小问2详解】， 2122n n n n a n b +==则， 1223521222n n n n T b b b +=+++=+++ ， 231135212122222n n n n n T +-+=++++ 两式相减得 2311322221222222n n n n T ++=++++- 211111121122222n n n -++⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭111121212212n n n +-+=+--， 152522n n ++=-所以. 2552n nn T +=-19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，，底面是平行四边形，S ABCD -SCD ⊥ABCD SC SD =ABCD ，，，分别为线段的中点. π3BAD ∠=2AB =1AD =,MN ,CD AB（1）证明：平面；BD ⊥SMN （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值. SA ABCD π6C SBD --【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理、面面垂直和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直BD MN ⊥SM BD ⊥的判定可证得结论；（2）根据线面角的定义可知，设，取中点，根据垂直关系可以为π6SAM ∠=MN BD O = SN F O 坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】，，，， 2AB = 1AD =π3BAD ∠=2222cos 3BD AB AD AB AD BAD ∴=+-⋅∠=即，，，BD =222AD BD AB ∴+=AD BD ∴⊥分别为中点，四边形为平行四边形，，；,M N ,CD AB ABCD //MN AD ∴BD MN ∴⊥，为中点，，SC SD = M CD SM CD ∴⊥平面平面，平面平面，平面，SCD ⊥ABCD SCD ABCD CD =SM ⊂SCD 平面，又平面，；SM ∴⊥ABCD BD ⊂ABCD SM BD ∴⊥，平面，平面.SM MN M = ,SM MN ⊂SMN BD ∴⊥SMN 【小问2详解】连接，AM 由（1）知：平面，则与平面所成角为，即， SM ⊥ABCD SA ABCD SAM ∠π6SAM ∠=在中，，， ADM △1AD DM ==2ππ3ADC BAD ∠=-∠=，解得：2222cos 3AM AD DM AD DM ADC ∴=+-⋅∠=AM =，； 2πcos 6AMSA ∴==πtan 16SM AM ==设，取中点，连接，MN BD O = SN F OF 分别为中点，，又平面，,O F ,MN SN //OF SM ∴SM ⊥ABCD 平面，又，OF ∴⊥ABCD MN BD ⊥则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，O ,,OM OB OF,,x y z则，，，，C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,0,12S ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，112SB ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CB =()DB = 设平面的法向量，SBC (),,n x y z =则，令，解得：，，；1020SB n x y z CB n x ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2y =0x=z=(0,n ∴= 设平面的法向量，SBD (),,m a b c =则，令，解得：，，；1020SB m a c DB m ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅==⎩2a =0b =1c =()2,0,1m ∴= ，cos m n m n m n⋅∴<⋅>===⋅ 二面角为钝二面角，二面角的余弦值为C SBD --∴C SB D --20. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT ）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分35的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．12（1）甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望．【答案】（1）625（2）分布列见详解， 85【解析】【分析】（1）根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；（2）根据题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可．【小问1详解】甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：． 22212131236C 2525525P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问2详解】设甲累计得分为随机变量X ，X 的可能取值为0，1，2，3．，()212102510P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()2212121371C 252520P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2212131222C 25255P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()213332520P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭∴随机变量X 的分布列为： X 0123P110 720 25 320∴． ()17238012310205205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）： 24x =价格x16 17 18 192024需求量y 5549424036经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归5211630i ix==∑52110086ii y ==∑513949i i i x y ==∑5y x 方程为. 4710y x a=-+（1）估计对应的需求量y （结果保留整数）；24x =（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.24x =6r 附：相关系数. r ==328.8769≈【答案】（1）16（2） 0.575-【解析】【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入18x =2225y =a 即可；24x =（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可. x 'y '【小问1详解】记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，x y 由题设知，. 511185i i x x ===∑51122255i i y y ===∑因为回归直线经过样本中心，所以，解得. (),x y 2224718510a =-⨯+129a =即， 4712910x y -+=所以时对应的需求量（件）. 24x =47241291610y =-⨯+≈【小问2详解】设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，x 'y '611196i i x x ===∑61111963i i y y ===∑，，.6212206ii x==∑62110342i i y ==∑514333i i i xy ==∑所以相关系数. 0.575r ==≈-22. 已知点，经过轴右侧一动点作轴的垂线，垂足为，且.记动点的(1,0)F y A y M ||||1AF AM -=A 轨迹为曲线.C （1）求曲线的方程；C （2）设经过点的直线与曲线相交于，两点，经过点，且为常数）的直(1,0)B -C P Q (1,)((0,2)D t t ∈t 线与曲线的另一个交点为，求证：直线恒过定点. PD C N QN 【答案】（1）()240y x x =>（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设，根据距离公式得到方程，整理即可；()(),0A x y x >（2）设、、，表示出直线的方程，由点在直线上，代()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y PQ ()1,0B -PQ 入可得，同理可得，再表示出直线，代入可得124y y =()13231y y ty y y ++=QN ，即可得到直线过定点坐标.()()()131441y y ty y x +-=-QN 【小问1详解】解：设，则， ()(),0A x y x >()0,M y 因为，||||1AF AM -=又，整理得.0x >1x =+()240y x x =>【小问2详解】证明：设、、，()11,P x y ()22,Q x y ()33,N x y 所以， 121222121212444PQ y y y y k y y x x y y --===-+-所以直线的方程为，PQ ()11124y y x x y y -=-+因为点在直线上，()1,0B -PQ 所以，即，解得①， ()111241y x y y -=--+21112414y y y y ⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭124y y =同理可得直线的方程为，PN ()11134y y x x y y -=-+又在直线上，所以，易得， ()1,D t PN ()111341t y x y y -=-+1y t ≠解得②，()13231y y ty y y ++=所以直线的方程为，即③，QN ()22234y y x x y y -=-+()23234y y y x y y +=+将②式代入③式化简得，又， ()1311234y y ty y x y y y +=+124y y =即， ()131344y y ty y x y +=+即， ()()()131441y y ty y x +-=-所以直线恒过定点.QN 41,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

新疆乌鲁木齐市第十九中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题

新疆乌鲁木齐市第十九中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9a =（） A ．16B ．17C ．18D ．192．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，249a a =，42910S S =，则24a a +的值为（） A ．30B ．10C ．9D ．63．已知等比数列{}n a 的公比与等差数列{}n b 的公差均为2，且1122a b =+=，设数列{}n c 满足,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，*N n ∈，则数列{}n c 的前20项的和为（）A ．2159823-B ．2159823+C ．2060223+D ．2160223+4．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（） A ．4B ．8C ．32D ．645．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（） A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x6．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-7．已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（） A ．9B ．10C ．11D ．128．若函数()2142ln 2f x x x a x =-+-有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．(),1-∞B ．()0,1C ．()0,2D ．()2,+∞二、多选题9．已知数列{}n a ，前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（） A ．若{}n a 为等差数列，则{}1n n a a +±一定也是等差数列 B ．若{}n a 为等比数列，则{}1n n a a +±一定也是等比数列C ．若{}n a 为等差数列，则24264,,m m m m m S S S S S --一定成等差数列D ．若{}n a 为等比数列，则24264,,m m m m m S S S S S --一定成等比数列10．如图所示，()y f x =的导函数()f x '的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（）A ．()f x 有三个单调区间B ．()()21f f -<-C ．()()11f f -<D ．()f x 在[]1,2-上单调递增，在(]2,4上单调递减 11．已知函数()[]3144,0,33f x x x x =-+∈，则（）A ．函数()f x 在区间[]0,2上单调递减B ．函数()f x 在区间[]0,3上的最大值为1C ．函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1033y x =-+D ．若关于x 的方程()f x a =在区间[]0,3上有两解，则4,43a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦12．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项积为n T ，若1128a =，且78T T =，则下列命题正确的是（）A ．81a= B ．当且仅当8n =时，n T 取得最大值 C ．12q =D ．()*121215N ,15n n a a a a a a n n -⋅=⋅∈<L L三、填空题13．已知函数()()322ln 4f x f x x x '=-+，则()1f '=.14．若()()3ln 2f x x x =-+，则()()Δ01Δ1limΔx f x f x→+-=.15．已知数列{}n a 的首项12a =，且()*1246,,log 2n n n n a a n b a +=+∈=+N ，则1220212021b b b ++⋯+=.16．将由2，5，8，11，14，…组成的等差数列，按顺序写在练习本上，已知每行写13个，每页有21行，则5555在第页第行．（用数字作答）四、解答题17．已知数列{}2-n a n 是等比数列，且13a =，27a =. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，313S =，121n n a S +=+． (1)证明：数列{}n a 是等比数列； (2)若3112log n n b a +=，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T ．19．已知等差数列{}n a 满足24a =，4527a a -=，公比不为1-的等比数列{}n b 满足34b =，()45128b b b b +=+.(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =，求{}n c 的前n 项和n S . 20．已知函数()ln ,R af x x a x=+∈．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若1,12a x =>，证明：()f x ax <.21．已知函数()ln 2(0)f x x ax a =++<，若()f x 的最大值为2. (1)求a 的值；(2)若()f x bx ≤在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围.。

山西省怀仁市第一中学校2022-2023学年高二下学期第二次月考数学(文)试题

xi2 nx 2
yi2 ny 2
i 1
i 1
n
xi yi nxy
最小二乘估计公式分别为 bˆ
i 1 n
， aˆ y bˆx .
xi2 nx 2
i 1
22．已知函数 f x ln x 2 1， g x mex f x （ mR ， e 为自然对数的底数）.
x
(1)求函数 f x 的极值；
果越好
D．用相关指数 R2 来刻画模型的拟合效果时，若 R2 越小，则相应模型的拟合效果越好
6．1515 除以 8 的余数为（）
A． 1
B．1
C．6
D．7
7．某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩 X ~ N 80, 25 ，规定成绩大于或等于
85 分为 A 等级，已知该年级有考生 500 名，则这次考试成绩为 A 等级的考生数约为（）
12．已知函数 f x ex ln x m ，则下面对函数 f x 的描述正确的是（）
A．当 m 0 时， f x 0 无解 B．当 m 3 时， f x 1 恒成立
2
C．当 m 3 时， f x 1有解
D．当 m 2 时， f x 0 恒成立
三、填空题 13．已知女儿身高 y（单位：cm）关于父亲身高 x（单位：cm）的经验回归方程为
疗法
疗效治愈
未治愈
合计
服用新药
服用安慰剂
合计
(2)依据 0.01的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．
附： 2
nad bc2
；
a bc d a cb d
0.10 0.01 0.001
x 2.706 6.635 10.828

高二数学下学期第二次月考试题理含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。

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高二下学期数学第二次月考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）经过A(2,0),B(5,3)两点的直线的倾斜角（）
A . 45°
B . 135°
C . 90°
D . 60°
2. （2分） (2016高二上·金华期中) 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）若a和b异面，b和c异面，则（）
A . a∥c
B . a和c异面
C . a和c相交
D . a与c或平行或相交或异面
4. （2分） (2018高二上·成都月考) 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为，且侧棱垂直于底面，正视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图面积为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）直线过点（-1,2）且与直线垂直，则的方程是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）如图，ＡＢ是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上不同于ＡＢ的任意一点，平面ABC，则四面体P-ABC 的四个面中，直角三角形的个数有（）
A . 4个
B . 3个
C . 2个
D . 1个
7. （2分）已知圆的方程为x2+y2=1，则圆心到直线x+y+2=0的距离为（）
A . 1
B . 2
C . 2
D .
8. （2分）△ABC的顶点B在平面α内，A、C在α同侧，A′、C′是A、C的在平面α内的射影，且A′、C′、B三点共线，则平面ABC与平面α（）
A . 平行
B . 垂直
C . 相交但不垂直
D . 重合
9. （2分）空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
10. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）
A . 锐角三角形
B . 直角三角形
C . 钝角三角形
D . 不能确定
二、填空题 (共6题；共6分)
11. （1分） (2019高三上·朝阳月考) 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________，最长棱长为________．
12. （1分） (2018高一下·北京期中) 圆锥的底面半径是3，高是4，则圆锥的侧面积是________．
13. （1分）直线5x＋12y＋3＝0与直线10x＋24y＋5＝0的距离是________．
14. （1分） (2019高一上·蒙山月考) 在正方体中，与所成的角等于________.
15. （1分） (2018高一下·黑龙江期末) 在平行四边形中，∠ABD=90° ，且，若将其沿折起使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为________.
16. （1分） (2020高三上·青浦期末) 如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图像上，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是________
三、解答题 (共5题；共55分)
17. （10分） (2019高一下·江门月考)
（1）求经过点，倾斜角为的直线方程.
（2）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.
18. （10分）(2019·奉贤模拟) 如图，三棱柱中，底面，，是
的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，，三棱柱的体积是，求异面直线与所成角的大小.
19. （10分）如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（1）求证：PC⊥AD；
（2）求直线MD与平面ABCD所成角的余弦值．
20. （15分）(2017·成都模拟) 如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．
（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
21. （10分） (2016高三上·金山期中) 在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点，F是CE的中点．
（1）证明：BF∥平面ACD；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；
（3）求点G到平面BCE的距离．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共6分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、19-1、
19-2、20-1、
21-1、
21-2、
21-3、
第11 页共11 页。