均值不等式练习题及答案解析
(完整版)均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题一、选择题1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ）Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值224．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）Ａ．（a+b ）(ba 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥-6．下列结论正确的是（ ）A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（ ）A ．13-B ．13+C ．223+D ．223-二．填空题：8．设x>0，则函数y=2－x4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。
10．函数y=142-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________． 11．函数f(x)=242+x x (x ≠0)的最大值是 ；此时的x 值为 _______________．三．解答题：12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n m 11+的最小值为。
数学课后训练：第一章§平均值不等式
平均值不等式练习1已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，则11xy+的最小值是（ ）．A ．2+ B ．3+ C ．2+ D ．7+2当x ＞0时，212y x x 3+＝的最小值为( ）．AB ．3CD ． 3已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是（ )． A ．3 B ．4 C ．92 D ．1124设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y ）＝1，则下列不等式正确的是( )． A ．)21x y +≥ B ．1xy ≤ C ．)21x y +≤ D ．)21xy ≥5若a 是正实数，2a 2＋3b 2＝10,则的最大值等于__________．6已知lg x ＋lg y ＝2，则11xy+的最小值为__________．7求证：21x+≥．8在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝1(定值），将图形沿AB 的中垂线折叠，使点A 落在点B 上,求图形未被遮盖部分面积的最大值．参考答案1 答案:B ∵x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＝1，∴112221+2x y x y y x xyxyxy+++=+=++≥当且仅当2y x xy=，即x =，也就是当12y =-，1x =时等号成立,故11xy+的最小值为3+．2 答案:A22133132222x x y x x x =+=++≥== 当且仅当23122x x=，即x =3 答案：B∵222(2)2x y xy x y +⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭，∴228=2222x y x y xy x y +⎛⎫++≤++ ⎪⎝⎭，即(x ＋2y )2＋4（x ＋2y ）－32≥0． 又x ＞0,y ＞0，∴x ＋2y ≥4．当且仅当x ＝2,y ＝1时取等号，即x ＋2y 的最小值是4． 4 答案：A ∵xy －（x ＋y ）＝1,∴212x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x ＝y 时等号成立．∴（x ＋y )2－4(x ＋y ）－4≥0．∴x y +≥2x y +≤-（舍去）．5∵a ＞0，2a 2＋3b 2＝10,∴a =≤222232a b ++=222366a b ++=1066+==．当且仅当=即2a 2－3b 2＝6，即a 2＝4,223b =时，等号成立． 6 答案：15∵lg x ＋lg y ＝2，∴lg xy ＝2，∴xy ＝102＝100,∴1111005x y xyxy++=≥==， 当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．7 答案：证明：设t 则t ≥1，∴222422t 1111x t t t t =-+=++-≥=． 当且仅当22tt=，即t =，x =∴21x≥．8 答案：分析:根据题意先列出解析式,利用解析式中的关系及平均值不等式的定理求解．解：如图，将图形沿AB 的中垂线折叠,使点A 落在点B 上，未被遮盖部分是Rt △ACD ．设BC ＝a ，AC ＝b ，b ＜a ，则a ＋b ＝1,tan =b B a，∠ADC ＝2∠B ，DC ＝b cot 2B ．∴Rt △ACD 的面积：222211=cot 2=222a b S b B b ab -⋅1121=4a a a (-)(-)⋅ 11=324a a ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(34≤-．当且仅当12=a a ,即=2a 时,max1=(34S-． 故图形未被遮盖部分面积的最大值是1(34-．。
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
最新均值不等式的应用(习题+答案)
均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学《均值不等式及其应用》针对练习及答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一 均值不等式的内容及辨析1．,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2221a b a b +>-- B ．22a b a b+≥C ． 2a b+≥D ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>C ．2a ba b +>>> D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+ D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）A．2112a b a b+≤≤+B．2112a ba b+≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤+针对练习二 均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1 BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A ．4 BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6CD针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ） A ．114ab+≤、 B≥ C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916a b +≥；①2212a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①①① B ．①①① C ．①①① D ．①①①14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（ ） A ．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 215．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（ ） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四 均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（ ） A ．13 B ．19 C ．21 D ．2717．若正数,x y 满足315xy+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119a b+的最小值为（ ） A ．100 B ．300 C ．800 D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2+20．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（ ）针对练习五 对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为2 B ．11x x ++的最小值为1 C ．122x x+的最小值为2 D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．12a a+> B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（ ） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值针对练习六 分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（ ）A．B ．3+C ．2+ D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （ ）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14C D30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1针对练习七 均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）． A ．13 B ．12 C ．25 D ．1632．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则1111x y +++的最小值为（ ）A ．12 B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（ ） A ．12 B ．2 C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（ ） A ．12 B ．14CD35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥ B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+第一章 集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一 均值不等式的内容及辨析1．,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2221a b a b +>-- B ．22a b a b+≥C． 2a b+≥D ．22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】 【分析】均值不等式使用首要条件都为正数．排除BD ，A 选项可取等号． 【详解】A 选项，()()()222221110a b a b a b +---=-++≥，故A 不正确；B 、C 选项的不等式，只有0,0a b >>时才成立，所以不正确；D 选项, 作差法()22022a b a b ab -+⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，所以正确选项为D ． 【点睛】均值不等式的使用“一正二定三相等”，缺一不可． 2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．2a ba b +>>>B ．2a ba b +>>C ．2a ba b +>>> D ．2a ba b +>>> 【答案】C 【解析】根据题中条件，由不等式的性质，以及基本不等式，即可比较出结果. 【详解】因为0a b >>，所以2a ba +>b ，又根据基本不等式可得，2a b+>所以2a ba b +>>>. 故选：C.3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+ D ．2244a a+≥ 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法和基本不等式分析判断每一个选项的正误得解. 【详解】A. 2224()2a b ab a b ab +-=--不一定大于等于零，所以该选项错误；B. 4a a +，当a 取负数时，显然40a a +<，所以44a a+≥错误，所以该选项错误；C. 22122a a ++≥+，当且仅当221a +=时成立，由于取得条件不成立，所以221222a a ++>+，如0a =时，22152422a a ++=<+，所以该选项错误；D. 224a a +≥，当且仅当a =.所以该选项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc > 【答案】C 【解析】设图中直角三角形的边长分别为a ，b ，正方形面积，根据图象关系，可得222ab a b ≤+即可得答案. 【详解】设图中全等的直角三角形的边长分别为a ，b ，则四个直角三角形的面积为1422a b ab ⨯⨯⨯=，正方形的面积为222a b =+， 由图象可得，四个直角三角形面积之和小于等于正方形的面积， 所以222ab a b ≤+，当且仅当a b =时等号成立，所以对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. 故选：C5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）A．2112a b a b+≤≤+B．2112a ba b+≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤+【答案】A 【解析】本题可根据11112abab得出211a b≤+a b+≥2a b +≤，最后根据222a bab +≥2a b+≥，即可得出结果. 【详解】 因为111122a ba b ab，当且仅当a b =时取等号， 所以211ab≤+a b =时取等号，因为a b +≥a b =时取等号， 2a b+≤，当且仅当a b =时取等号， 因为222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号， 所以()22222222a b a b aba b +≥++=+，即22224a b ab 2a b +，当且仅当a b =时取等号，综上所述，2112a b a b+≤≤+a b =时取等号， 故选：A. 【点睛】本题考查基本不等式的相关性质，主要考查基本不等式通过转化得出的其他形式，考查运算能力，考查转化与化归思想，是简单题.针对练习二 均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．116【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得2x y +≥即1≤， 解得18xy ≤，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时，取等号， 故选：C.7．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（ ） A ．1B C ．3D ．5【答案】D 【解析】 【分析】结合基本不等式求得mn 的最大值. 【详解】依题意m n +=所以252m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当m n =.故选：D8．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（ ）时，ab 取得最大值. A ．254B ．258C ．52D ．54【答案】D 【解析】由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2225=88a b ab +≤，当且仅当2a b =时取等，结合25a b +=即可得解. 【详解】由a ，b 为正实数，所以2a b +≥()2225=88a b ab +≤，当且仅当2a b =时取等， 又25a b +=，此时54b =. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，以及基本不等式的取等条件，属于基础题.9．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（ ）A．4 BC ．D 【答案】C 【解析】 【分析】结合基本不等式来求得最小值. 【详解】 依题意21a b -=，2213239b a ba-⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭122a b =-=时取等号． 故选：C10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．6 CD 【答案】B 【解析】 【分析】直接由基本不等式可得． 【详解】3236m n +≥⨯=，当且仅当33m n ==时取等号，所以3m n +的最小值为6，故选：B针对练习三 均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（ ）A ．114a b+≤ B +≥C ．221a b +≥ D ．2214ab a b +≥【答案】B 【解析】 【分析】根据条件结合基本不等式进行求解. 【详解】由题意，()1124baa b a b a b⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，故选项A 错误；2≥=12a b ==时，等号成立，故选项B 正确；2221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，则2212a b +≥，故选项C 错误；()222124a b ab a b ab a b +⎛⎫+=+≤= ⎪⎝⎭，故选项D 错误. 故选：B.12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．22xy+有最小值4 B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 4【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可 【详解】解： 0x >，0y >，且2x y +=，对于A ，()221222242x y x y xy x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时取等号，所以A 正确，对于B ，因为2x y =+≥1xy ≤，当且仅当1x y ==时取等号，即xy 有最大值1，所以B 错误，对于C ，因为224x y +≥==，当且仅当1x y ==时取等号，即22x y +有最小值4，所以C 错误，对于D ，因为22()4x y x y =+++=，当且仅当1x y ==时取等号，即4，所以D 错误，故选：A13．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论 ①14ab >；①ln ln 0a b +<；①1916ab+≥；①2212a b +≥. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①①① B ．①①①C ．①①①D ．①①①【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断解：对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以1a b =+≥12a b ==时取等号，得104ab <≤，所以①错误，对于①，由①可知，104ab <≤，所以()1ln ln 4ab ≤，即ln ln 2ln 2a b +≤-，所以ln ln 0a b +<，所以①正确，对于①，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()19199101016a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9a b b a =即13,44a b ==时取等号，所以①正确，对于①，因为222()21a b a ab b +=++=，所以2212a b ab +=-，由①可知，104ab <≤，所以1122ab -≥，所以2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，所以①正确，故答案为：D14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（ ） A．222a b +≥ B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2【答案】C 【解析】由基本不等式得1ab ≤，根据各选项结合已知条件即可判断正误. 【详解】由0a >，0b >，2a b +=，得2()14a b ab +≤=当且仅当a b =时等号成立， 222()22a b a b ab +=+-≥，124a b b --=，111b a -=->-，即124a b->， 222log log log ()0a b ab +=≤，24a b =++0>2≤，故选：C15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（ ） A ．3ab ≤ B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤【答案】C【分析】ab 范围可直接由基本不等式得到，22a b +可先将a b +平方再利用基本不等式关系．【详解】解：由0a ，0b ，且4a b +=，∴242a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时取等号而2222216()22()a b a b ab a b =+=+++，当且仅当2a b ==时取等号228a b ∴+．故选：C ． 【点睛】本题主要考查基本不等式知识的运用，属于基础题，基本不等式是沟通和与积的联系式，和与平方和联系时，可先将和平方．针对练习四 均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（ ） A ．13 B ．19 C ．21 D ．27【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值. 【详解】11443333129152427b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当49ab ab =，即19a =，b ＝6时，等号成立，故13b a+的最小值为27 故选：D17．若正数,x y 满足315xy+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的代换求34x y +的最小值，注意等号成立条件. 【详解】11123134(34)((13)31)(13555y x x y x y x y x y +=+++≥++=5=，当且仅当2x y =时等号成立，①34x y +的最小值是5. 故选：C18．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119a b+的最小值为（ ） A ．100 B ．300 C ．800 D ．400【答案】D 【解析】 【分析】应用“1”的代换，将目标式转化为1919362b aa b++，再利用基本不等式求最小值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由,0,191a b a b >+=，①1191191919()(19)362362400b a a b ab a b a b +=++=++≥+，当且仅当a b =时等号成立. ①119a b+的最小值为400. 故选：D19．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（ ） A．2 B ．3 C ．2D ．2+【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，3132122a b ab b a+=⇒+=，①313()2222222a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭b =且32a b ab +=时等号成立，①a b +的最小值为2+ 故选：D ．20．设0a >，1b >，若2a b +=，则411a b +-的最小值为（ ） A．6 B ．9 C ．D ．18【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得(1)1a b +-=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】解：0a >，1b >，且2a b +=，10b ->∴且(1)1a b +-=，∴4141()[(1)]11a b a b a b +=++--- 4(1)4(55291b a b a b -=+++-， 当且仅当4(1)1b aa b -=-，即23a =43b =时取等号， 故411ab +-的最小值为9； 故选：B针对练习五 对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+ B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< C ．34log log 3x y x =+ D ．4x x y e e -=+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用基本不等式2a b ab +．(0,0)a b >>和关系式的恒等变换的应用求出结果．【详解】解：用基本不等式要满足“一正二定三相等“．A ．选项中x 的正负不确定．同样的，C ，选项中3log x 和log 3x 取值不一定大于0．B ．当(0,)x π∈时，sin (0x ∈，1]sin 0x ⇒>，40sin x>， 4sin sin x x=时sin 2x ⇒=不符合，所以也不能用基本不等式，不满足三相等， D ．0x e >，40x e ->且4244x x x x e e e e --+=，当且仅当4x x e e -=即2x ln =时取等号． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识要点：直接利用基本不等式的性质的应用和用基本不等式要满足“一正二定三相等“．的条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22．若0x >，则下列说法正确的是（ ）A的最小值为2 B ．11x x ++的最小值为1 C ．122x x+的最小值为2 D ．1lg lg x x+的最小值为2 【答案】A 【解析】 【分析】A.2≥，所以该选项正确； B. 函数的最小值不是1，所以该选项错误； C. 函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0lg x x+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 【详解】解：A.2≥，当且仅当1x =时等号成立，所以该选项正确；B. 11111111x x x x +=++-≥=++，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是1，所以该选项错误；C. 1222x x +≥，当且仅当0x =时取等，因为0x >，所以等号不成立，所以函数的最小值不是2，所以该选项错误； D. 当01x <<时，1lg 0,0lg x x <<，所以1lg 0lg x x+<，所以函数的最小值为2错误，所以该选项错误. 故选：A23．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是 A ．12a a+> B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥ 【答案】D 【解析】当0a <时，10a a+<，选项,A B 不成立；当0a >时，10a a+>，选项C 不成立；11||||a a a a+=+，由基本不等式可得选项D 成立. 【详解】取1a =-时，12a a+=-，可判断选项A,B 不正确； 取1a =时，12a a+=，可判断选项C 不正确； 因为1,a a同号，11=||||2a a a a++≥， 当且仅当1a =±时，等号成立，选项D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值满足的条件，“一正”“二定”“三等”缺一不可，解题时要注意特值的运用，减少计算量，提高效率，属于基础题. 24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．9【答案】D【解析】先将函数解析式化为9333y x x =-++-，再利用基本不等式，即可求出结果. 【详解】 因为3x >，所以993333933y x x x x =+=-++≥==--， 当且仅当933x x -=-，即6x =时，等号成立. 故选：D. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 25．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（ ） A ．有最大值5，无最小值 B ．无最大值，有最小值4 C ．有最大值5和最小值4 D ．无最大值和最小值【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求解，注意“一正二定三相等”的条件. 【详解】解：因为()0,4x ∈，所以44y x x=+≥=，当且仅当42x x ==时等号成立，所以函数有最小值4，由于定义域为开区间，故无最大值. 故选：B针对练习六 分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．2+D ．5 【答案】B【解析】【分析】 将函数化简变形为221(1)3(1)33()(1)3111x x x x f x x x x x ++-+-+===-++---，然后利用基本不等式求解即可【详解】解：因为1x >，所以10x ->，所以221(1)3(1)33()(1)333111x x x x f x x x x x ++-+-+===-++≥=---，当且仅当311x x -=-，即1x =+时取等号，所以函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为3+ 故选：B 27．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （ ） A．1+B ．2 C ．4 D ．6【答案】C【解析】【分析】 由20x ->，而()4222f x x x =-++-，利用基本不等式可求出最小值，结合等号取得的条件可求出a 的值.【详解】 由题意，20x ->，而()()()22222424422222x x x x f x x x x x -+-+-+===-++---26≥=，当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立，所以4a =.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ） A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值2【答案】D【解析】【分析】 构造基本不等式()1()33f x x x =-+-即可得结果. 【详解】①72x ≥，①30x ->，①()()22316101()=32333x x x f x x x x x -+-+==-+≥---， 当且仅当133x x -=-，即4x =时，等号成立，即()f x 有最小值2. 故选：D.【点睛】 本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.29．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bc a b c +++的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．2D 【答案】A【解析】【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12=， 当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号， 则2222ab bc a b c+++的最大值为12． 故选：A ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．94D ．1【答案】D【解析】【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x ===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =． ∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1．故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 针对练习七 均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）．A ．13B ．12C ．25D ．16 【答案】C【解析】【分析】根据椭圆定义可得1210MF MF +=，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆方程知：5a =；根据椭圆定义知：12210MF MF a +==，21212252MF MF MF MF ⎛+⎫∴⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当12MF MF =时取等号）， 12MF MF ∴⋅的最大值为25.故选：C.32．如图，已知点G 是①ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM =，AC y AN =，则1111x y +++的最小值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】D【解析】【分析】 依据三点共线得到关于x y 、的等式，再依据均值定理去求1111x y +++的最小值 【详解】因为G 是①ABC 的重心，所以()()211(0,0)323AG AB AC xAM y AN x y =⨯+=+>> 由于M ､G ､N 共线，所以11133x y +=，即3x y += 所以()1111111111211511511y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+++=++++=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭14255⎛+= ⎝≥（当且仅当1111y x x y ++=++即32x y ==时取等号） 故选：D33．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（ ）A ．12B ．2C ．34D ．43 【答案】D【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得到3a b +=，再利用基本不等式可求出结果.【详解】 因为()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭233311(1)(1)(1)33ax x bx x x =-----， 3(1)x -的展开式的通项公式为313(1)k k k k T C x -+=⋅-，0,1,2,3k =,所以221333311(1)(1)233a Cb C C ⋅⋅--⋅⋅--=，即3a b +=， 因为0,0a b >>，所以1111()3a b a b a b ++=+⋅1(2)3b a a b =++14(22)33≥+=， 当且仅当32a b ==时，等号成立.故选：D 34．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（ ）A ．12B ．14 CD【答案】A【解析】【分析】依据重要不等式去求解cos cos αβ的最大值【详解】①tan tan 1αβ=，sin sin cos cos ,αβαβ∴=()22222sin cos sin cos 11cos cos sin cos sin cos cos cos .2242ααββαβααββαβ++∴=⋅⋅=⇒≤（当且仅当tan tan 1αβ==时等号成立），故选：A.35．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+ 【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式可得321a q =，27a q =，41a q =，6a q =，再利用基本不等式判断A ，利用特殊值判断B ，根据完全平方数的非负性判断C ，根据下标和性质判断D ；【详解】解：因为等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，所以321a q =，27a q =，41a q =，6a q =，所以237221a q q a =≥++，当且仅当221q q =，即1q =±时取等号，故A 正确； 所以461a a q q +=+，当0q <时460a a +<，故B 错误；()2276212110a a q q q -+=-+=-≥，故C 正确； 19191921919511a a a a a a a a a a a +++===+⋅，故D 正确； 故选：B。
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
完整版)均值不等式测试题(含详解)
完整版)均值不等式测试题(含详解)解析：将不等式化简为x2-x+1/4+1/4≥1，即(x-1/2)2≥3/4，当x≤1/2-√3/2或x≥1/2+√3/2时，不等式成立，选项B符合条件。
3．C解析：2x+8y=2(x+4y)，由于x+3y-1=0，所以2x+8y=2(x+4y)=(x+3y-1)+5y+1≥2√15，故最小值为2√15，选项C符合条件。
4．B解析：根据柯西-施瓦茨不等式，有|(mx+ny)|≤√(m2+n2)(x2+y2)，代入已知条件得到|(mx+ny)|≤√3，故mx+ny的最大值为3，选项B符合条件。
5．B解析：将选项B化简为(a-b)2(a2+b2+ab)≥0，显然成立，其他选项均不成立。
6．A解析：将选项A化简为(x+1/x+2)2≥4，即(x2+1+2x/x)2≥4，由于x>0，故(x2+1+2x/x)2≥(2(x2+1))/x≥4，故选项A成立。
7．A解析：将2a+b+c表示为a+(a+b+c)，代入已知条件得到a(a+b+c)+bc=4-2(a+b+c)，化简得到(a+b+c-2)2=4-23，故a+b+c的最小值为3-1，选项A符合条件。
填空题：8．最大值为2，当x=1时取得。
9．最小值为2，当x=2时取得。
10．最小值为2，当x=1时取得。
11．最大值为4，当x=2时取得。
解答题：12．由于点A在直线mx+ny+1=0上，所以loga(3)-1=-(mx+ny)/a，化简得到mx+ny=-a(loga(3)-1)，代入mn>0得到a>1/3，且mn=a2>0，故m=n=a/√2，所以m+n=√2a，最小值为2√2.13．设购买次数为n，则每次购买x=400/n吨，总运费为4n万元，总存储费用为4x=1600/n万元，总花费为4n+1600/n，根据均值不等式，有4n+1600/n≥2√(4n×1600/n)=80，即n≥4，故购买次数至少为4，每次购买100吨。
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均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，2?3?1 ??3?1?5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
?2?技巧三：分离例3. 求y?的值域。
x?1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离。
x?7x?102当,即时,y?5?9。
技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
y??7?g恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
?B，g当,即t=时,y?技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f?x?2ax的单调性。
例：求函数y?的值域。
解：令?t，则y?1t2??t?1t因t?0,t??1，但t?因为y?t?1t1t解得t??1不在区间?2,，故等号不成立，考虑单调性。
52在区间?1,单调递增，所以在其子区间?2,为单调递增函数，故y??5??。
所以，所求函数的值域为?,。
?2练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. y?x?3x?1x2, y?2x?1x?3,x? y?2sinx?231sinx,x?2．已知0?x?1，求函数y?条件求最值的最大值.；3．0?x?，求函数y?.1.若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a?3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：a和3b都是正数，3a?3b≥23?3?23aba?b?6当3a?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是6．变式：若log4x?log4y?2，求1x?1y的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
：已知x?0,y?0，且1x?1x9y9y?1，求x?y的最小值。
?1?x9???x?y??y?错解：?x?0,y?0，且．．??1，?x?y????1 故?x?y?min9y?1。
错因：解法中两次连用均值不等式，在x?y?x?y，在1x??条件是1x?9y即y?9x,取等号的条件的不一致，产生错误。
因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：?x?0,y?0,1x?9?19?y9x?10?6?10?1?1，?x?y??x?yxyxyy??当且仅当yx?9xy时，上式等号成立，又?1x?9y?1，可得x?4,y?12时，?x?y?min?1。
1y变式：若x,y?R且2x?y?1，求1x?的最小值?已知a,b,x,y?R且a?b?1，求x?y的最小值xyy2技巧七、已知x，y为正实数，且x＋＝1，求＋y 的最大值.2a＋b分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。
2221＋y 中y前面的系数为，＋y ＝x2221＋y2· ＝x·21y ＋22下面将x，1y分别看成两个因式：2x＋2x＋2223＝＝即＋y ＝·x22421y3＋≤ 241的最小值. ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
30－2b30－2b－b＋30b法一：a＝，ab ·b＝b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15－2t＋34t－311616令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2＋34∵t＋≥2ttt1∴ ab≤1∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
18法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2ab∴0－ab≥ab令u＝ab则u2＋u－30≤0，－5≤u≤31∴ ≤3，ab≤18，∴y≥18点评：①本题考查不等式a?b2?ab的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等?t·16＝t式ab?a?2b?30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?b 与ab之间的关系，由此想到不等式a?b2?ab，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.?变式：1.已知a>0，b>0，ab－＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝x ＋y 的最值.a＋ba＋b解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单223x ＋y22y ）＝x＋2y ＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W＞0，W2＝3x＋2y＋2x y ＝10＋2x y ≤10＋2·＝10＋＝20∴ W≤20 ＝2变式:求函数y?12?x?52)的最大值。
解析：注意到2x?1与5?2x的和为定值。
y?2?4??48322又y?0，所以0?y?当且仅当2x?1=5?2x，即x?时取等号。
故ymax?评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
应用二：利用均值不等式证明不等式 1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2?b?c22?ab?bc?ca1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：≥8abc 例6：已知a、b、c?R?，且a?b?c?1。
求证：??1??1??1??111a??b??c?分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又1a?1?1?aa?b?ca?a1a1?aab?caa解：?a、b、c?R?，a?b?c?1。
??1。
同理1b?1?b，?1?c1c。
上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1?1??1??1?a?b?c?。
当且仅当时取等号。
?1?1?1??83abcabc应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知x?0,y?0且1x?9y?1，求使不等式x?y?m恒成立的实数m的取值范围。
解：令x?y?k,x?0,y?0,10k3k1x?9y?1，?x?ykx?9x?9yky?1.?10k?ykx?9xky?1?1??2?。
?k?1，m,16?应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若a?b?1,P?lga?lgb,Q?12,R?lg，则P,Q,R的大小关系是分析：∵a?b?1 ∴lga?0,lgb?0Q?12已知a,b,c均为正实数，证明：并确定a,b,c为何值时，等号成立。
类型二：求最值：221a112?)?，bc利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。
使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1. 设x,y?且11??1，求x?y的最小值。
xy11?的最小值。
xy2. 设x,y?且x?y?1，求3. 已知a,b为正实数，且a?b?1求ab?1的最小值。
ab4. 求函数y?11?的最小值。
x1?x291?的最小值。
x1?2x2变式：求函数y?5. 设x,y?，x?3y?5xy，求3x?4y的最小值。
6. 设x,y?，x?y?xy?6求x?y的最小值。
7. 设x,y?，x?y?xy?6求xy的最大值。
228. 设x,y为实数，若4x?y?xy?1，求2x?y的最大值。
9.求函数y变式：y?的最大值。
x2?x?110. 设x?0求函数y?的最小值。
xx2?x?111. 设设x??1求函数y?的最小值。
x?112. 若任意x?0，x?a恒成立，求a的取值范围.x?3x?1 2x2?3x?313. 求函数y?2的最大值。
x?2x?2 类型三、应用题1.围建一个面积为360m的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙，其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用旧墙的长度为x。
将y表示为x的函数。
试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少。
并求出最小总费用。
2.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房。
经测算，如果将楼房建为x层，则每平方米的平均建筑费用为560?48x。
为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？建筑总面积附加题：若正数a,b,c满足a?b?c?1，那么?2?2的最小值为 abc1、若实数x，y满足x?y?4，求xy的最大值2、若x>0,求f?4x?3、若x?0，求y?x?4、若x5、求f?4x?6、若x，y?R，x+y=5，求xy的最值7、若x，y?R，2x+y=5，求xy的最值8、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值??229的最小值; x1的最大值 x9的最大值 x9的最小值. x?51、求y?2、求y?x的最大值.3、求y?x的最大值。