湖北省武汉市—高二数学上学期期末联考文

高二年级期末考试数学试卷（文科）考试时间：2013年1月26日下午15:30-17:30 试卷满分：150分一、选择题（每小题5分，共10小题）1．命题“对任意32,10x R x x ∈-+>”的否定是（）A ．不存在32,10x R x x ∈-+≤B ．存在32,10x R x x ∈-+≤C ．存在32,10x R x x ∈-+>D ．对任意32,10x R x x ∈-+≤2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（） A ．至少有一个黑球与都是红球 B ．至少有一个黑球与都是黑球 C ．至少有一个黑球与至少有一个红球 D ．恰有一个黑球与恰有2个黑球 3．“1x ≠或2y ≠”是“3x y +≠”的（）条件 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某工厂对一批产品进行抽样检测，下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A ．90B ．75C ．60D ．455．已知直线1:260l ax y ++=与22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则实数a 的取值是（） A ．1-或2 B ．1－ C ．0或1 D ．26．设3(,)4θππ∈，则关于x ,y 的方程221sin cos x y θθ-=表示的曲线为（） A ．实轴在x 轴上的双曲线 B ．实轴在y 轴上的双曲线C ．长轴在x 轴上的椭圆D ．长轴在y 轴上的椭圆 7．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么用斜二测画法作出的正三角形ABC 的直观图A B C '''∆的面积是（）A ．24a B ．28 C ．28 D ．2168．已知四个命题：①三点确定一个平面；②若点P 不在平面α内，A 、B 、C 三点都在平面α内，则P 、A 、B 、C 四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

其中正确命题的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．已知双曲线方程为221169x y -=，过双曲线的右焦点作直线与双曲线相交，所得弦长为8的直线有（）条A ．2B ．3C ．4D ．110．已知椭圆22195x y +=，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，点A （1,1）为椭圆内一点，点P 为椭圆上一点，则1|PA|+|PF|的最大值为（）A ．4．6+．6二、填空题（每题5分，共7小题）11．椭圆2214x y m +=的焦距等于2，则m 的值为。

12．过点M （3,1）与圆22(1)(2)4x y -+-=相切的直线方程为。

13．三棱锥P-ABC 的底面为等腰直角三角形，=90,C PC AC PC BC ∠︒⊥⊥，，若4P C A C ==，则ABP ∆的面积为。

14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为。

15．湖面结冰时，一个球漂在其上，取出后（未弄破冰），冰面上留下了一个直径为24cm ，深为6cm 的空穴，那么该球的半径为 cm 。

16．与双曲线2212x y -=有共同的渐近线且过点(4的双曲线方程为。

17．按照如图所示的程序框图执行，则输出的结果为。

三、解答题 18．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M （2,0），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(2,2)N -在AD 边所在直线上，求直线AC 的方程。

19．（本小题满分12分）已知菱形ABCD 的边长为2，对角线AC 与BD 交于点O ，且120ABC ∠=︒，M 为BC 的中点，将此菱形沿对角线BD 折成直二面角A-BD-C （1）求证：AC BD ⊥（2）求直线AM 与平面AOC 所成角的余弦值20．（本小题满分13分）已知半径为5的圆C 的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切。

（1）求圆C 的方程；（2）设直线50ax y -+=与圆C 相交于A 、B 两点，求实数a 的取值范围；（3在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得过P （-2,4）的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个，已知从袋中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12。

（1）求n 的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ；①记“a+b=2”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x ,y ，求事件“222()x y a b +>-”恒成立的概率。

22．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率3e =，过点(0,)(,0)A b B a -和的直线与原点的。

（1）求椭圆的方程；（2）设12F F ，为椭圆的左、右焦点，过F 2作直线交椭圆于P 、Q 两点，求1PQF ∆的内切圆半径γ的最大值。

高二年级期末考试数学试卷（文科）参考答案二、填空题11．3或5 12．3x =或3450x y --= 13．14．24 15．15 16．221105x y -= 17．8三、解答题18．解：由题意可知直线AD 与AB 垂直∴直线AD 的斜率为-3，又点N （-2,2）在直线AD 上 ∴直线AD 的方程为23(2)y x -=-+即340x y ++=…………………………………………………………………………（5分）联立直线AB 与AD方程：340360x y x y ++=⎧⎨--=⎩ 311(,)55A ∴--又M （2,0）也在直线AC 上∴直线AC 方程为：1113220x y --=…………………………………………………（12分）19．解：（1）四边形ABCD 为菱形∴BD ⊥AO BD ⊥CO ∴BD ⊥面AOC∴BD ⊥AC ………………………………………………………………………………（4分）（2）取OC 中点H ，连MH 由（1）知BD ⊥面AOC M 为BC 中点∴MH//BD∴MH ⊥面AOC∴∠MAH 即为直线AM 与平面AOC 所成的角…………………………………………（8分）又AO ⊥BD ，二面角A-BD-C 为直二面角∴AO ⊥面BCD ∴AO ⊥OH ∴===又MH=12BO=12 ∴2==∴2cos 24AH MAH AM ∠===…………………………………………………………（12分）20．解：（1）设圆心(,0),M m m z ∈圆M 与直线43290x y +-=相切，且半径为5∴|429|55m -= 42925m ∴-=± 又m z ∈ 1m ∴=∴所求圆的方程为：22(1)25x y -+=…………………………………………………………（4分）（2）直线505ax y y ax -+==+即代入圆的方程，消y 整理得：22(1)2(51)10a x a x ++-+=直线5y ax =+与圆交于A 、B 两点0∴∆> 即224(51)4(1)0a a --+>0a ∴<或512a >………………………………………………………………………………（8分）（3）设符合条件的实数a 存在，由（2）知0a ≠∴直线l 的斜率为1a - ∴直线l 的方程为：1(2)4y x a=-++即240ay x a ++-=l 垂直平分弦AB∴圆心M （1,0）必在l 上，1240a ∴+-=34a ∴= 又35(,)412∈+∞∴存在实数34a =，使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ……………………………（13分）21．解：（1）由题意，12112n n n =∴=++…………………………………………（2分）（2）①从袋中不放回地随机抽取2个球，第一次取法有4种，第二次取法有3种，∴共有12种取法。

又“a+b=2”包含第一次取0号球，第二次取2号球，有2种，也可以是第一次取2号球，第二次取0号球，有2种，共有4种41()123P A ∴==………………………………………………………………………………（8分） ②记“222()x y a b +>-恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“224x y +>恒成立”，将（x,y ）看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为：{}(,)|02,02, ,x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈，而事件B 构成的区域{}22(,)|4,(,)B x y x y x y =+>∈Ω22()1224P B ππ⨯-∴==-⨯………………………………………………………………（14分）22．解：（1）c a =，过(0,)(,0)A b B a -和的直线方程为：0bx ay ab --= 原点（0,0）到该直线的距离2d ==221 3b a ∴== ∴椭圆的方程为：2213x y +=……………………………………………………………（4分）（2）设PQ：()x ty t R =∈，联立2213x y +=得：22(3)10t y ++-=……………………………………………………………………（7分） 0∆>恒成立设1122(,) (,)P x y Q x y122122313y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩12||y y ∴-====10分）∴当21134t =+即21t =时，12max|y -y |=11212121||||||2PQF S F F y y y y ∆∴=⋅-=-≤12分）又11111(||||||)422PQF S PF PQ QF a γγ∆=++⨯=⨯⨯=≤ 12γ∴≤ 即max 12γ=……………………………………………………………………（14分）。

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湖北省武汉地区高二数学上学期期末考试试卷(文)

湖北省武汉地区2007-2008学年度高二数学上学期期末考试试卷（文）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的.）1．已知直线y=kx 被圆x 2+y 2=2所截得的弦AB 的长等于（）A ．2B ．4C ．22D ．2 2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（） A ．平行 B ．相交C ．异面D ．平行、相交、异面都有可能3．右图是一个无盖的正方体盒子展形后的平面图，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC 的值为（） A ．180° B ．120°C ．60°D ．45°4．已知平面α、β，直线m 、n ，若n m n m ⊥⊂⊂⊥且,,,βαβα，则必有（）A ．β⊥mB ．α⊥nC ．αβ⊥⊥n m 且D ．αβ⊥⊥n m 或 5．抛物线y=25x 2的通径长是（）A ．25B ．225 C ．251 D ．252 6．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的半径为（）A ．2B ．2C ．3D ．17．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长均为2，E 、F 分别是 AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是（） A ．2 B ．3 C ．5D ．18．如图，已知正本四棱棱S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角的大小是（） A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°9．已知底面三角形的边长分别为3，4，5，高为6的直三棱柱的容器，其内放置一气球，使气球充气且可能地膨胀（保持为球的形状），则气球表面积的最大值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π10．点P 是椭圆1162522=+y x 上一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆半径为23，则当点P 在第一象限时，点P 的纵坐标为（）A ．2B ．4C ．26D ．255 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．赤道上有A 、B 两点，它们经度相差60°，若地球半径为R ，则AB 两点的距离为 .12．双曲线1422=-m y x 的渐近线方程是x y 23±=，则双曲线的焦距为 . 13．如右图，设P 是60°的二面角βα--l 内的一点， βα⊥⊥PB PA ,，A 、B 是垂足，P A=4，PB =2，则AB 的长是 .14．已知点P （x ，y ）的坐标满足条件O x xy y x 点,14⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+为坐标原点，那么|PO|的最小值等于，最大值等于 .15．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的表面上与点A 距离为332的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分. 解答时应写出文字说证明、过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）设直线113:2222=--=bx a y x y l 与双曲线相交于A 、B 两点，且弦AB 中点的横坐标为21，求：（1）22ba 的值；（2）求双曲线离心率.17．（本小题满分12分）山坡所在平面β与水平面α成30°角，坡面上有一条与水平线AB成30°角的直线小路CD ，小明沿小路上坡走了200米的路程到达他外婆家（点E ），求小明外婆家到水平面的距离.18．（本小题满分12分）已知椭圆m x y y x +==+及直线1422. （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围. （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.19．（本小题满分12分）在底面边长为a ，侧棱长为2a 的正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，（1）求证：平面BD 1⊥平面AB 1C ；（2）求点B 到平面AB 1C 的距离.20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是矩形 AD =2，AB =P A=2，P A⊥底面ABCD ，E 是AD 的中点，F 是PC 的中点. （1）求证：F 在何处时，EF ⊥平面PBC ；（2）求直线BE 与平面PBC 所成的角.21．（本小题满分13分）如图，在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B ⊥底面ABC ，侧棱AA 1与底面ABC 成60°的角，AA 1=2，底面是边长为2的正三角形，其重心为G . E 是线段BC 1上一点，且.311BC BE（1）求证：GE //侧面AA 1B 1B ；（2）求平面B 1GE 与底面ABC 所成角二面角的大小.参考答案1．C 222),0,0(==∴=r AB kx y 过圆心.2．D3．C 复原后的图为 △ABC 为正△，60=∠∴ABC 4．D 5．C 25122512==p y x 6．B 2,1,1=∴==R d r7．C 51222=+=EF8．B 如图，连AC ，取AC 中点O ，连OB 、EO ，则EO//SC ，∴∠BEO 为所求角，.60,32226tan ,,,2621,2221 =∠∴===∠∴⊥∴⊥====BEO EO BOBEO EO BO SAC BO BD BO SC EO 平面又9．C .44,1)543(212ππ===++=R S R 10．B ,362121p p F PF y y S =⋅⋅=∆4,123.128)610(21|)||||(|21212121=∴=∴==⋅+=⋅++=∆p p F PF y y r r r F F PF PF S 11．R AB R ⋅=33ππ（12．727,7,32322=∴=∴=∴==c c m m a b13．72 72120cos 24224,12022=⋅⋅⋅-+==∠ AB APB14．2，10如图，△ABC 为可行域，A （1，3），B （1，1），C （2，2）1031||,211||2222min =+==+=OP OP15．π635 这条曲线在面ADD 1A 1上是一段以A 为圆心，332为半径，圆心角为6π的一段圆弧，在面A 1B 1C 1D 1上的一段以A 1 为圆心，33为半径，圆心角为2π的一段圆弧，由正方体的对称性知，这条曲线的长度为πππ635)3323326(3=⋅+⋅. 16．（1）设1),,(),,(2212212211=-by a x y x B y x A 则有 ①1222222=-by a x ② ①—②得0))(())((2212122121=-+--+by y y y a x x x x 6321121322222221212121=∴=⋅-∴=--⋅++∴a b a b a b x x y y x x y y（2）设7,7,6,22222==∴===a c e k c k b k a .17．过点E 作EH α⊥于H ，过E 作EF ⊥BC 于F ，连FH 易得∠EFH=30°，EF=200·sin30°=100，EF=EF ·sin30°=50，∴E 到α的距离为50米.18．（1）由方程组,0125142222=-++⎩⎨⎧+==+m mx x y mx y y x 得消去由题意知2525,016202≤≤-∴≥-=∆m m （2）51,5222121-=-=+m x x m x x2212212212810524)(1||1m x x x x k x x k l -=-+⋅+=-+=∴弦长,5102,0max ==l m 时当此时直线方程为y=x . 19．（1）AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，∴AC ⊥平面BD 1， ∴平面BD 1⊥平面AB 1C.（2）设AC ∩BD=O ，连B 1O ，过B 作BH ⊥B 1O 于H ，又BH ⊥AC ，BH ⊥平面AB 1C ，a a a O B a BB a BO 22342,2,222211=+===∴.3211a O B BB BO BH =⋅=20．（1）过A 作AH ⊥BE 于H ，AH ⊥PA ，∴AH 为异面直线PA 与EB 的公垂线36,36321的距离为与EB PA EB AB AE AH ∴=⋅=⋅=（3）由（2）得EF ⊥平PBC ，∴∠FBE 为所求角又3331sin ,1,3===∠∴==BE EF FBE EF BE.33arcsin=∠∴FBE ∴直线BE 与平面PBC 所成角为arcsin 33. （2）F 为PC 中点，取PB 中点G ，∵PA=AB ，∴AG ⊥PB ，又AG ⊥BC ， ∴AG ⊥平面PBC. 连GF ，,//,21//,21//AE GF BC AE BC GF ∴∴四边形AEFG 为= = =∴EF//AG ，∴EF ⊥平面PBC. 21．（1）过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，∵平面AA 1B 1⊥底面ABC ，∴A 1H ⊥平面ABC ，.33443,323260sin 11=⋅⋅=∴=⋅=⋅=V AA H A （2）取BC 中点D ，连AD ，ED ，AB 1，.//,//,21,~,1111111111111A ABB EG B B AA EB AB EG AG DG E B DE D B E C EB EDB EC BEC B BD 平面又又上在∴⊂∴==∴∆∆∴=（3）过B 1作B 1F ⊥AB 于F ，则B 1F=A 1H=3， B 1F ⊥平面ABC ，过B 1作B 1M ⊥AD 于M ，连MF ，则MF ⊥AD.∴∠B 1MF 为平面B 1GE 为底面ABC 所在二面角的平面角.32arctan 32arctan.32231tan .2330sin 3,3,12111111所成锐二面角的大小为与底面平面ABC GE B MF B FM F B MF B MF AF BB BF ∴=∠∴===∠∴=⋅=∴=∴==∴。

湖北省武汉市高二上学期期末联考数学试题(解析版)

一、单选题1．已知数列{an }中的首项a 1＝2，且满足，则此数列的第三项是（） 11122n n a a n+=+A ．1 B ．C ．D ．123458【答案】A【分析】根据递推公式直接求解即可. 【详解】因为，且， 12a =11122n n a a n+=+令，得，1n =21132222a =´+=令可得,2n =3211131124224a a =+=+=故此数列第三项为. 1故选：A2．已知三棱锥中，点、分别为、的中点，且，，，则O ABC -M N AB OC OA a = OB b = OC c =（）MN =A ．B ．C ．D ．()12b c a +- ()12a b c ++ ()12a b c -+ ()12c a b -- 【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于的表达式.MN{},,a b c 【详解】，()()111222OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+所以，. ()()111222MN ON OM OC OA OB c a b =-=-+=-- 故选：D.3．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，满足，若12,F F 2222:1(0)x y C a b a b+=>>P 210PF PF ⋅= 的面积为9，则（） 12PF F △b =A ．1 B ．2C D ．3【答案】D【分析】利用化简得到之间的关系，即可求得. 210PF PF ⋅=,,a b c b 【详解】解：；① 2221212122,24PF PF a PF PF PF PF a +=∴++⋅= 又，②2222121212,4PF PF PF PF F F c ⊥∴+== ①-②得：， ∴()222212121244,2PF PF a c b PF PF b ⋅=-=∴⋅=的面积为， 12PF F △1221219,9,02PF F S PF PF b b ∴=⋅==>A . 3b ∴=故选：D4．意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列，此数列满{}n F 足：，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即，则在121F F ==*21()n n n F F F n N ++=+∈该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（） A ．672 B ．674 C ．1348 D ．2022【答案】C【分析】先考虑前6项的奇偶性，从而可得各项奇偶性的周期性，故可得正确的选项. 【详解】，故，，故各项奇偶性呈现周期性（奇奇偶）， 121F F ==32F =4563,5,8F F F ===且周期为3，因为，故奇数的个数为， 20223674=⨯67421348⨯=故选：C.5．已知空间直角坐标系中的点，，，则点Р到直线AB 的距离为（） ()1,1,1P ()2,0,1A ()0,1,0B ABCD【答案】D【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求. 【详解】，，，()1,1,1P ()2,0,1A ()0,1,0B ，，∴()2,1,1AB =-- ()1,1,0AP=-在上的投影为 AP AB||AP AB AB ⋅则点到直线P AB =故选：D ．6．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为()A ．B ．C ．D ．23121334【答案】A【分析】分用(1根+4根)和(2根+3根)两种情况组成不同的两个数，求出总的组合数，并求出各个组合中两数的和，根据古典概型概率计算方法计算即可．【详解】用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用1根和4根小木棍可以组成：1与4、1与8，其和分别为5、9，共2种；第二种是用2根和3根小木棍可以组成：2与3、2与7、6与3、6与7，其和分别为5、9、9、13，共4种；故用五根小木棍随机摆成图中的两个数，有2+4=6种不同组合，其中两个数的和不小于9的有4种，故所求概率为． 4263=故选：A ．7．在等差数列中，是的前项和，满足，，则有限项数列，，…，{}n a n S n a n 200S <210S >11S a 22S a ，中，最大项和最小项分别为（） 2020S a 2121S a A ．； B ．； C ．；D ．；2121S a 2020S a 2121S a 1111S a 1100S a 1111S a 1100S a 2020S a 【答案】C【分析】先判断出，从而得到最小，结合前者得到给定新数列中的最大项和最小10110,0a a ><10S 项.【详解】因为为等差数列，故，， {}n a ()20101110S a a =+211121S a =故，，故，公差，10110a a +<110a >100a <0d >，，10910S S S <<<< 101120210,0S S S S <<<<>而，121011210a a a a a <<<<<<< 故，，10910S S S ->->>-> 1120210,0S S S ->>->> 121011210,0a a a a a ->>>><<< 由不等式性质可得即 10122122100S S S S a a a a ----<<<<<----L 101221221001S S S S a a a a <=<<<<L 同理，故， 2011121112200S S S a a a -->>>-> 2011121112200S S S a a a <<<< 而， 20212021212121011S a S S a a a +<==+<故，，…，，中最大项和最小项分别为；. 11S a 22S a 2020S a 2121S a 1100S a 1111S a 故选：C. 【点睛】，本题考查等差数列的性质、数列的最大项、最小项等，注意把数列的前和的符号转化为中间项的n 符号，另外注意不等式性质的正确使用，本题属于难题.8．已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲C ()222210,0x y a b a b -=>>F 线的左、右两支上，，，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（） 0AF FB ⋅=3BF FC =A BC D【答案】B【分析】若左焦点，连接，由题意知为矩形，设，则，F ',,AF BF CF '''AFBF '||BF m =||3FC m =，，在直角△、直角△中应用勾股定理列方程可得，||2BF a m '=+||32CF m a '=+CBF 'BFF 'm a =且得到关于双曲线参数的齐次方程，即可得离心率. 【详解】如下图，若左焦点，连接，F ',,AF BF CF '''因为A 、B 关于原点对称且，所以为矩形，0AF FB ⋅=AFBF '设，则，，，||BF m =||3FC m =||2BF a m '=+||32CF m a '=+在直角△中，即， CBF '222||||||BC BF CF ''+=22216(2)(32)m a m m a ++=+所以，m a =在直角△中，即， BFF '222||||||BF BF FF ''+=2222(2)104m a m a c ++==所以e 故选：B二、多选题9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下A =B =列结论中正确的是（）A ．该试验样本空间共有个样本点B ． 4()14P AB =C ．与为互斥事件D ．与为相互独立事件A B A B 【答案】ABD【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公,A B 式逐项分析即得.【详解】对于A ：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共{(Ω=)()()()}4个样本点，故A 正确;对于B ：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反， {(A =)()}{(B =)()}显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B 正确； A B ()()14P AB =对于C ：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C 不正确； A B ,A B 对于D ：，，，所以，故D 正确．()2142P A ==()2142P B ==()14P AB =()()()P AB P A P B =故选：ABD.10．等差数列的前n 项和分别为，则下列说法正确的有（） {}{},n n a b *21,,,1N n n n n a n S T n b n +=∈+A ．数列是递增数列B ．n n a b ⎧⎫⎨⎩⎭3353S T =C ．D ．553536S T =121222(1)n n S S S n T T T n ⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅+ 【答案】AB【分析】结合数列的单调性，等差数列前项和公式对选项进行分析，从而确定正确选项.n 【详解】，所以是递增数列，A 选项正确.()2112112111n n n a n b n n n +-+===-+++n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()()121121211211212121221221212n n n n n n n n a a n a a a Sn b b b b b T n n ------+⋅-++====+++⋅-所以，B 选项正确. 332215213S T ⨯+==+，C 选项错误. 552317314S T ⨯+==+当时，，D 选项错误. 1n =()11113122211S a T b +==≠⨯+故选：AB11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的,A B ()1λλ≠轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足(4,2)A -(2,2)B P ，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（） ||2PA PB=P C A ．圆的方程是C ()()224216x y -+-=B ．以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为AB C 5440x y -+=C ．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线的距离为，则该直线的斜率为 A l C l 2D ．过直线上的一点向圆引切线、，则四边形的面积的最小值为3460x y+=P C PA PB PACB 【答案】AD【分析】对于A ，利用求动点的轨迹方程的步骤即可求解；对于B ，利用圆的直径式方程及两圆的方程直接相减即可求解两圆相交公共弦所在的直线；对于C ，根据已知条件及直线的点斜式方程，结合点到直线的距离公式即可求解；对于D ，将求四边形的面积转化为求三角形的面积，利用勾股定理及点到直线间的距离公式即可求解.【详解】对于A ，因为，点满足，设(4,2),(2,2)A B -P ||2||PA PB =(),P x y 2=，化简得，即，故A 正确；228440x y x y +--+=()()224216x y -+-=对于B ，以为直径的圆的方程为，即，,A B ()()()()42220x x y y +-+--=222440x y x y ++--=所以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为AB C ,即，故B 错误；()22222484440x x y x x y y y ++---+--=+540x -=对于C ，易知直线的斜率存在，设直线l 的方程为，即，()24y k x -=+420kx y k -++=因为圆上恰有三个点到直线的距离为2，所以圆心到直线的距离C l 2d =，解得，故C 错误； k =对于D ，由题意可得四边形的最小值即S PACB 1242=⨯⨯=PO可，的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形PO O 3460x y +=1d PACB的面积的最小值为D 正确. =故选：AD.12．抛物线的光学性质为：从焦点发出的光线经过抛物线上的点反射后，反射光线平行于抛物F P 线的对称轴，且法线垂直于抛物线在点处的切线．已知抛物线上任意一点P ()220y px p =>处的切线为，直线交抛物线于，，抛物线在，两()00,P x y ()00y y p x x =+l ()11,A x y ()22,B x y A B 点处的切线相交于点．下列说法正确的是（） Q A ．直线方程为l ()121220px y y y y y -+-=B ．记弦中点为，则平行轴或与轴重合 AB M QM x x C ．切线与轴的交点恰在以为直径的圆上 QA y FQ D ． AFQ QFB ∠=∠【答案】BCD【分析】设为，与抛物线联立，根据韦达定理用表示出，即可判断A 项；根l x my b =+12,y y ,m b 据已知可推出，是一元二次方程的两组解，又直线方程为()11,A x y ()22,B x y ()Q Q yy p x x =+l ，两式比较可得，，即可判断B 项；通过()121220px y y y y y -++=122Q M y y y y +==122Q y y x b p ==-求出、点坐标，推导以及，即可判断C 项；根据抛物线的光学性质，结合C D FC QA ⊥FD QB ⊥已知条件，可推出∽，进而推得.AFQ △QFB △AFQ QFB ∠=∠【详解】设为，，与抛物线联立得，必有，l x my b =+0b >2220y pmy pb --=0∆>122y y pm+=，，∴，，代回方程整理得：，A 项错122y y pb =-122y y m p +=122y y b p=-l ()121220px y y y y y -++=误；由已知，抛物线在点处的切线切线：，在两点处的切线A QA l ()11y y p x x =+B ，设点，则满足方程组，()22:QB y y p x x l =+(),Q Q Q x y ()()1122Q Q Q Q y y p x x y y p x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩则可知，是一元二次方程的两组解，由经过两点，的直线()11,A x y ()22,B x y ()Q Q yy p x x =+A B l 有且仅有一条，故方程为，变形为， l ()Q Q yy p x x =+0Q Q px y y px -+=又直线方程为， l ()121220px y y y y y -++=两式对应系数得，，所以平行轴或与轴重合，B 项正确；122Q M y y y y +==122Q y y x b p ==-QM x x 如图，记切线与轴的交点，()11:x Q y y p x A =+y 110,px C y ⎛⎫⎪⎝⎭，，112FC x k y =-1QA pk y =∴，∴， 12121FC QA px k k y ⋅==--FC QA ⊥同理切线与轴的交点，亦有，故， QB y D FD QB ⊥180FCQ FDQ ∠+∠=o 所以，，，四点共圆，且为直径，C 项正确；F C Q D FQ 如图，记切线与轴的交点为，过作轴平行线，由抛物线光学性质，，QA x S A x AN FSA FAS ∠=∠由等腰、直角、，，，四点共圆（对同弦圆周角相等），可得如图五个角SFA A SCF △F C QD α相等；同理，五个角相等．β则∽，∴，D 项正确．AFQ △QFB △AFQ QFB ∠=∠故选：BCD.三、填空题13．若双曲线的一个焦点为，两条渐近线互相垂直，则______.22221(0,0)x y a b a b-=>>(5,0)F =a【分析】根据双曲线的渐近线相互垂直求得的关系式，结合求得. ,a b 5c =a 【详解】依题意，5c =由于双曲线两条渐近线互相垂直，所以，22221,,b b b a b a b a a a ⎛⎫⨯-=-=-== ⎪⎝⎭由于，所以222+=a b c 2225,a a ==14．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜35的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______． 25【答案】78625【分析】分两种情况讨论，（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢；（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，即得解.【详解】由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况：（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； 13233545555625P =⨯⨯⨯=（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； 12322245555625P =⨯⨯⨯=所以恰好进行了4局结束比赛的概率为. 12542478625625625P P +=+=故答案为：78625【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．在直三棱柱中，，，M 是的中点，以为坐111ABC A B C -CA =4CB =90BCA ∠=︒11A B C 标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦C xyz -11A B CB ⊥CM 1A B 值为__________.【分析】根据题意结合，求，再利用空间向量求异面直线夹角. 1212120a b x x y y z z ⊥⇔++=1AA 【详解】设，则，，，，，1AA a =()0,4,0B ()1Aa ()10,4,B a ()0,0,0C ()2,M a 可得：，，()14,A B a =-- ()10,4,CB a = ∵，则，得， 11A B CB ⊥ 211160A B CB a ⋅=-=4a =故，，()2,4CM = ()14,4A B =--∴1cos ,CM A =故异面直线与CM 1A B 16．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在圆上，且:C 22221(0)x y a b a b +=>>122F M 222x y b +=M在第一象限，过作圆的切线交椭圆于，两点．若的周长为，则椭圆的M 222x y b +=P Q 2PF Q △4C 方程为____．【答案】22143x y +=【分析】根据离心率化简椭圆方程，由两点间距离公式与勾股定理计算的周长后求解2PF Q △【详解】椭圆的离心率为 ,则，椭圆方程为 122,a c b ==2222143x y c c+=设， ()()1122,,,P x y Q x y 2222222111111||()24(4)44PF x c y x cx c x c =-+=-+=- 211||22PF c x =-连接OM ，OP ，由相切条件知：，， 222211||||||4PM OP OM x =-=11||2PM x =，同理得，2||||2PF PM c +=2||||2QF QM c +=由题意得PF 2Q 的周长为A 44,1c c ==∴椭圆C 的方程为 . 22143x y +=故答案为： 22143x y +=四、解答题17．已知公差大于零的等差数列的前n 项和为,且满足，． {}n a n S 34117a a ⋅=2522a a +=（1）求和；n a n S （2）若数列是等差数列，且，求非零常数c ． {}n b n n S b n c=+【答案】（1），；（2）. 43n a n =-22n S n n =-12-【分析】（1）利用等差数列的性质结合已知条件得到是方程的两实根，从而34,a a 2221170x x -+=求出；再利用等差数列的通项公式求，，从而求和；34,a a 11a =4d =n a n S （2）根据求出，，，根据数列是等差数列得到，从而求出22n n S n n b n c n c-==++1b 2b 3b {}n b 2132b b b =+的值.c 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以，又，{}n a 342522a a a a +=+=34117a a ⋅=所以是方程的两实根，34,a a 2221170x x -+=又公差，所以，所以，0d >34a a <349,13a a ==所以，，所以，d =434a a -=129a d +=11a =所以，. 43n a n =-()1222n n n a a S n n +==-（2）由（1）知，所以， 22n S n n =-22n n S n n b n c n c-==++所以，，， 111b c=+262b c =+3153b c =+因为数列是等差数列，所以，即， {}n b 2132b b b =+61152213c c c⨯=++++所以，解得或(舍)，所以. 220c c +=12c =-0c =12c =-18．已知两直线，1:310l x y --=2:250l x y +-=（1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；（2）若直线与，不能构成三角形，求实数的值.3:430l x ay a -+-=1l 2l a 【答案】（1），；（2）. 2y x =30x y +-=1,2,13-【解析】（1）求出交点坐标，分直线过原点和不过原点两类情况求直线方程；（2）三条直线不能构成三角形分类：某两条直线斜率相等或者三条直线交于一点.【详解】（1）联立直线方程解得，交点坐标， 310250x y x y --=⎧⎨+-=⎩12x y =⎧⎨=⎩(1,2)当直线过原点时，在两坐标轴上截距相等均为0，直线方程，2y x =当直线不过原点时，设其方程为，过得，0x y b ++=(1,2)120,3b b ++==-所以直线方程30x y +-=综上：满足题意的直线方程为，2y x =30x y +-=（2）直线与，不能构成三角形3:430l x ay a -+-=1l 2l 当与平行时： 1l 3l 131,3a a ==当与平行时：2l 3l 2,2a a -==-当三条直线交于一点，即过点，则3l (1,2)12430,1a a a -+-==综上所述实数的值为 a 1,2,13-【点睛】此题考查求直线交点坐标，截距问题，两条直线位置关系的应用，易错点在于截距相等时忽略掉截距为0，三条直线不能构成三角形情况讨论不全面导致漏解.19．如图，点，，在抛物线上，且抛物线的焦点是的重(2,8)A 11(,)B x y 22(,)C x y 22y px =F ABC A 心，为的中点.M BC(1)求抛物线的方程和点的坐标；F (2)求点的坐标及所在的直线方程.M BC 【答案】(1)；232y x =(8,0)F (2)；M (11,4)-4400+-=x y【分析】(1)将代入求得值，得到点的坐标；(2,8)A 22y px =p F (2) 设点的坐标为，根据即可求出线段中点的坐标；M ()00,x y 2AF FM = BC M 由得,再求出直线所在直线的方程. 2112223232y x y x ⎧=⎨=⎩4BC k =-BC 【详解】（1）由点在抛物线上，有，解得.(2,8)A 22y px =2822p =⨯16p =所以抛物线方程为，焦点的坐标为.232y x =F (8,0)（2）由于是的重心，是线段的中点，F ABC A M BC 所以，设点的坐标为，2AF FM = M ()00,x y 则，()00(6,8),8,AF FM x y =-=- ，解得，所以点的坐标为， ()0062882x y ⎧=-∴⎨-=⎩0011,4x y ==-M (11,4)-由得， 2112223232y x y x ⎧=⎨=⎩()()()21212132y y y y x x +-=-因为为为的中点，故，M (11,4)-BC 128y y +=-所以， 21214BC y y k x x -=-=-因此所在直线的方程为，BC (4)4(11)y x --=--即.4400+-=x y 20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点，分别P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD M N 为，的中点．BC PA(1)取的中点，连接，若平面平面，求证：；PB H AH AHC ⊥PAB PB AC ⊥(2)已知，与平面与平1AB AC ==AD =ACPBC PBC 面的夹角的余弦值．ABCD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）通过证明平面来证得.AC ⊥PAB PB AC ⊥（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值.PBC ABCD 【详解】（1）平面平面，且交线为，AHC ⊥PAB AH 过点作的垂线，垂足记为，B AH K 由于平面，所以平面，BK ⊂PAB BK ⊥HAC 由于平面，所以，AC ⊂HAC BK AC ⊥又平面，平面，所以，PA ⊥ABCD AC ⊂ABCD PA AC ⊥由于是平面内的相交直线，,BK PA PAB 所以平面， AC ⊥PAB由于平面，所以.PB ⊂PAB AC PB ⊥（2）由于，，所以，1AB AC ==AD BC ==222AB AC BC +=所以，由于平面，平面，AC AB ⊥AP ⊥ABCD ,AB AC ⊂ABCD 所以，即两两垂直.,AP AB AP AC ⊥⊥,,AB AC AP 以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系．A AB AC AP x y z 设，则，，，(0)PA h h =>()0,0,P h ()1,0,0B ()0,1,0C 故，， ()1,0,PB h =- ()1,1,0BC =-u u u r 设平面的一个法向量为，则， PBC ()222,,m x y z = 00PB m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即， 222200x z h x y -=⎧⎨-+=⎩令，则，，故，2x h =2y h =21z =(),,1m h h = 易得平面的一个法向量为，又，ABCD ()00,0,1n = ()0,1,0AC = 设直线与平面所成角为，AC PBC α则， sin α=1h =设平面与平面的夹角为，PBC ABCDβ则cos β==所以平面与平面 PBC ABCD21．已知点M （1，0），N （1，3），圆C ：，直线l 过点N ．221x y +=(1)若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：为12k k +定值．【答案】(1)或1x =4350x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）先判断直线l 不存在斜率时符合题意；再设直线l 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列式求解即可．（2）设出直线l 的方程，与圆的方程联立，得到关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系及x 直线的斜率公式进行证明．【详解】（1）解：若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为，1x =此时直线l 与圆C 相切，故符合条件；1x =若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为，()13y k x =-+即，30kx y k --+=由直线l 与圆C 相切，圆心（0，0）到l 的距离为1，，解得， 43k =所以直线l 的方程为， ()4133y x =-+即， 4350x y -+=综上所述，直线l 的方程为或；1x =4350x y -+=（2）证明：由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为，30kx y k --+=联立， 22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩得，()()2222126680k x k k x k k --+++=-则，()()()222226416824320k k k k k k ∆=++----=＞解得， 43k >设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，（1） 2122261k k x x k -+=+2122681k k x x k -+=+所以， ()()12121212121331111k x k x y y k k x x x x -+-+=+=+----()()12121212323322111x x k k x x x x x x +-=++=+---++将（1）代入上式整理得， 121862293--+=+=-k k k k 故为定值． 12k k +23-22．已知点为坐标原点，，，为线段AB 上一点，点满足平分，O (1,0)A -(1,0)B M C CM ACB ∠.2BC BM =(1)求点的轨迹的方程；C E (2)设直线与曲线的一个交点为（异于点），求面积的最大值.CM E D C OCD A 【答案】(1) 221(0)43x y y +=≠(2) 2449【分析】（1）根据角平分线定理得，又，所以，结合椭圆的AC BC AM BM =2BC BM =2AC AM =定义即可求得轨迹的方程；E （2）设直线直线，，，由可得，结合椭():0CD x ny t n =+≠()11,C x y ()22,D x y 2BC BM =14x t =圆方程可得，根据直线与椭圆相交得，由面积22243n t n =+21212226312,4343nt t y y y y n n -+=-=++得，结合基本不等式求最值即可. 1212OCD S OM y y =⋅-A OCD S =△21121121n n n n +=++【详解】（1）解：因为平分，所以由角平分线定理得， CM ACB ∠AC BC AM BM=又，所以，2BC BM =2AC AM =于是，2224AC BC AM BM AB +=+==所以点的轨迹是以A ，B 为焦点，4为长轴长的椭圆，且点不在轴上，C E C y 故点C 的轨迹的方程为. E 221(0)43x y y +=≠（2）解：设，，直线，则，()11,C x y ()22,D x y ():0CD x ny t n =+≠(,0)Mt点在椭圆上，则， ()11,C x y 2211143x y +=1122x ===-因为，，所以，故. 1BM t =-2BC BM =()112212x t -=-14x t =又，所以，可得，故； 11x ny t =+13t y n =222341t t n+=22243n t n =+则，整理可得：， 22143x ny t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2224363120n y nty t +++-=所以 21212226312,4343nt t y y y y n n -+=-=++于是 1y-=所以1212OCD S OM y y =⋅-==A()()()222211212143431121n n n nn n n n ++==++++又，当且仅当时等号成立. 112n n n n+=+≥1n =±设，，又，当且仅当时12m n n =+≥21212112112OCD m S m m m==++△112m m +≥=m =等号成立，故 min 11451212222m m ⎛⎫+=⨯+= ⎪⎝⎭故当时，的面积最大，且最大值为. 1n =±OCD A 2449【点睛】方法点睛：与椭圆有关的最值或取值范围问题的求解方法（1）利用数形结合，椭圆的定义､性质求最值或取值范围；（2）利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围；（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围；（4）利用一元二次方程的根的判别式求最值或取值范围.。

2019-2020年湖北省武汉市高二上册期末数学文科试卷(1)含解析

湖北省武汉市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若f（）=5，f′（0）=20，则0的值为（）A． B．±C．﹣2 D．±22．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（cos）'=sin B．（3）'=3log3eC．D．（2cos）′=﹣2sin3．（5分）过抛物线y2=4的焦点作直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）两点，若1+2=6，则|AB|=（）A．2 B．4 C．6 D．84．（5分）已知焦点在轴上的椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．8 B．9 C．﹣3 D．165．（5分）设函数f（）=2+，则=（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．66．（5分）若pVq是假命题，则（）A．p，q至少有一个是假命题B．p，q 均为假命题C．p，q中恰有一个是假命题D．p，q至少有一个是真命题7．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（）A．y=±B．y=±2 C．y=±D．y=±8．（5分）已知命题α：“如果＜3，那么＜5”，命题β：“如果≥5，那么≥3”，则命题α是命题β的（）A．否命题 B．逆命题C．逆否命题D．否定形式9．（5分）已知抛物线方程为y2=5则焦点到准线的距离为（）A．B．C．5 D．1010．（5分）设集合M={|0＜≤4}，N={|2≤≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）抛物线y=22上有一点P，它到A（2，10）距离与它到焦点距离之和最小时，点P坐标是（）A．（，10） B．（，20）C．（2，8） D．（1，2）12．（5分）已知F是椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）命题“∃0∈R，02+20＞0”的否定是．14．（5分）已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，则△MF2N的周长为．15．（5分）曲线y=ln在点（e，f（e））处的切线方程为．16．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，32﹣a≥0”，命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知双曲线方程为16y2﹣92=144．（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；（2）若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线C的方程．18．（12分）已知函数f（）=3﹣32﹣9+1（∈R），g（）=2a﹣1（1）求函数f（）的单调区间与极值．（2）若f（）≥g（）对∀∈[﹣2，4]恒成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．20．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．21．（12分）在直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρ2=，θ∈[0，π]，直线l：（t是参数）（1）求出曲线C的参数方程，及直线l的普通方程；（2）P为曲线C上任意一点，Q为直线l上任意一点，求|PQ|的取值范围．22．（12分）已知函数f（）=ln﹣，a为常数（1）判断f（）在定义域内的单调性（2）若f（）在[1，e]上的最小值为，求a的值．湖北省武汉市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若f（）=5，f′（0）=20，则0的值为（）A． B．±C．﹣2 D．±2【解答】解：函数的导数f′（）=54，∵f′（0）=20，∴504=20，得04=4，则0=±，故选：B．2．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（cos）'=sin B．（3）'=3log3eC．D．（2cos）′=﹣2sin【解答】解：（cos）'=﹣sin，A不正确；（3）'=3ln3，B不正确（lg）′=，C正确；（2cos）′=2cos﹣2sin，D不正确故选：C．3．（5分）过抛物线y2=4的焦点作直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）两点，若1+2=6，则|AB|=（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由题意，抛物线的方程为y2=4，即p=2，故抛物线的准线方程是=﹣1，∵抛物线y2=4 的焦点作直线交抛物线于A（1，y1）B（2，y2）两点∴|AB|=1+2+2，又1+2=6∴|AB|=1+2+2=8故选：D．4．（5分）已知焦点在轴上的椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．8 B．9 C．﹣3 D．16【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点在轴上，则有m＞6，则a=，b=，则c=，又由椭圆的离心率e==，即有=，解可得m=8；故选：A．5．（5分）设函数f（）=2+，则=（）A．﹣6 B．﹣3 C．3 D．6【解答】解：根据导数的定义：则=2=﹣2f′（1），由f′（）=2+1，∴﹣2f′（1）=﹣6，∴=﹣6，故选A．6．（5分）若pVq是假命题，则（）A．p，q至少有一个是假命题B．p，q 均为假命题C．p，q中恰有一个是假命题D．p，q至少有一个是真命题【解答】解：若p∨q是假命题，则p，q 均为假命题，故选：B7．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（）A．y=±B．y=±2 C．y=±D．y=±【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在y轴上，且a=2，b=2，则该双曲线的渐近线方程为y=±；故选：D．8．（5分）已知命题α：“如果＜3，那么＜5”，命题β：“如果≥5，那么≥3”，则命题α是命题β的（）A．否命题 B．逆命题C．逆否命题D．否定形式【解答】解：命题α的条件的否定是β的结论，命题α的结论的否定是β的条件，两个条件满足逆否命题关系，故命题α是命题β的逆否命题，故选：C9．（5分）已知抛物线方程为y2=5则焦点到准线的距离为（）A．B．C．5 D．10【解答】解：根据题意，抛物线方程为y2=5，则抛物线的焦点为（，0），准线为=﹣，所以焦点到准线的距离为；故选：B．10．（5分）设集合M={|0＜≤4}，N={|2≤≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设集合M={|0＜≤4}，N={|2≤≤3}，则N⊆M，所以若“a∈M”推不出“a∈N”；若“a∈N”，则“a∈M”，所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件，故选：B11．（5分）抛物线y=22上有一点P，它到A（2，10）距离与它到焦点距离之和最小时，点P坐标是（）A．（，10） B．（，20）C．（2，8） D．（1，2）【解答】解：由题意知，抛物线的抛物线y=22标准方程：2=y焦点为F（0，），准线l 为y=﹣，且点A在抛物线内部，过点A作准线l的垂线，垂足为A′，根据抛物线的定义，可知，垂线AA′与抛物线的交点即为所求的点P，且易求得，点P的坐标为（2，8），故选C．12．（5分）已知F是椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上的一点，PF⊥轴，若|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据椭圆几何性质可知|PF|=，|AF|=a+c，所以=（a+c），即4b2=3a2﹣3ac，因为b2=a2﹣c2，所以有4a2﹣4c2=3a2﹣3ac，整理可得4c2+3ac﹣a2=0，两边同除以a2得：4e2+3e﹣1=0，所以（4e﹣1）（e+1）=0，由于0＜e＜1，所以e=．故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）命题“∃0∈R，02+20＞0”的否定是∀∈R，2+2≤0．【解答】解：依题意，特称命题的否定是全称命题，故命题“∃0∈R，02+20＞0”的否定是：∀∈R，2+2≤0．故答案为：∀∈R，2+2≤0．14．（5分）已知F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，则△MF2N的周长为8．【解答】解：根据题意，椭圆+=1中a==2，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，则有|MF1|+|MF2|=2a=4，同理：|NF1|+|NF2|=2a=4，△MF2N的周长l=|MN|+|MF2|+|NF2|=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=8；故答案为：8．15．（5分）曲线y=ln在点（e，f（e））处的切线方程为﹣ey=0．【解答】解：y=ln的导数为y′=，则切线斜率=，切点为（e，1），则切线的方程为y﹣1=（﹣e），即为﹣ey=0．故答案为：﹣ey=0．16．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，32﹣a≥0”，命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2或1≤a≤3．．【解答】解：p：若∀∈[1，2]，32﹣a≥0，得a≤32，恒成立，∵y=32在∈[1，2]递增，最小值为3，所以a≤3．q：若：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，∴a2+a﹣2≥0，得a≤﹣2或a≥1．若命题“p且q”是真命题，则p、q都为真．∴a≤﹣2或1≤a≤3．故答案为：a≤﹣2或1≤a≤3三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知双曲线方程为16y2﹣92=144．（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；（2）若抛物线C的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线C的方程．【解答】解：（1）由16y2﹣92=144，得﹣=1，知2a=6，2b=8，2c=10，所以实轴长为6，虚轴长为8，离心率为e==；（2）设抛物线C：2=﹣2py，（p＞0），由题意可得p=2a=6，所以抛物线C：2=﹣12y．18．（12分）已知函数f（）=3﹣32﹣9+1（∈R），g（）=2a﹣1（1）求函数f（）的单调区间与极值．（2）若f（）≥g（）对∀∈[﹣2，4]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（）=32﹣6﹣9，令f′（）＞0，解得：＜﹣1或＞3，令f′（）＜0，解得：﹣1＜＜3，故函数f（）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），单调减区间为[﹣1，3]；故f（）的极大值为f（﹣1）=6，极小值f（3）=﹣26；（2）由（1）知f（）在[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，又f（﹣2）=﹣1，f（3）=﹣26，f（3）＜f（﹣2），∴f（）min=﹣26，∵f（）﹣2a+1≥0对∀∈[﹣2，4]恒成立，∴f（）min≥2a﹣1，即2a﹣1≤﹣26，∴a≤﹣．19．（12分）已知椭圆C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，短轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P（2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程．【解答】解：（1）e==，2b=4，所以a=4，b=2，c=2，椭圆标准方程为+，（2）设以点p（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（1，y1），B（2，y2），则1+2=4，则y1+y2=2，分别代入椭圆的方程，两式相减可得（1+2）（1﹣2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（1﹣2）+8（y1﹣y2）=0，∴==﹣，∴点P（2，1）为中点的弦所在直线方程为y﹣1=﹣（﹣2），整理，得：+2y﹣4=0．20．（12分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去t得到：，即：4+3y﹣2=0．曲线C的极坐标方程为ρ=2cos（θ﹣）．转化为：ρ2=2ρcos+2ρsinθ，整理得：2+y2﹣2﹣2y=0．（2）将l的参数方程（t为参数），代入曲线C：2+y2﹣2﹣2y=0，整理得：t2+4t+3=0，所以：t1+t2=﹣4，t1t2=3，则：|AB|=|t1﹣t2|==2．21．（12分）在直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρ2=，θ∈[0，π]，直线l：（t是参数）（1）求出曲线C的参数方程，及直线l的普通方程；（2）P为曲线C上任意一点，Q为直线l上任意一点，求|PQ|的取值范围．【解答】解析：（1）曲线C的普通方程为：（y≥0），∴曲线C的参数方程（θ为参数，θ∈[0，π]）直线l：（t是参数）转化成普通方程为：，（2）设P（2cosθ，sinθ）P到直线l的距离d==，∵θ∈[0，π]∴，则：，∴∴，∴．22．（12分）已知函数f（）=ln﹣，a为常数（1）判断f（）在定义域内的单调性（2）若f（）在[1，e]上的最小值为，求a的值．【解答】解：（1）由题意得f（）的定义域为（0，+∞），f′（）=+=，①当a≥0时，f'（）＞0，故f（）在上为增函数；②当a＜0时，由f'（）=0得=﹣a；由f'（）＞0得＞﹣a；由f'（）＜0得＜﹣a；∴f（）在（0，﹣a]上为减函数；在（﹣a，+∞）上为增函数．所以，当a≥0时，f（）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（）在（0，﹣a]上是减函数，在（﹣a，+∞）上是增函数．（2）由（1），当a≥0时，f（）在[1，e]上单调递增，∴f（）min=f（1）=﹣a=，∴a=﹣，不舍题意，舍；当﹣e＜a＜0时，f（）在[1，﹣a]上单调递减，在[﹣a，e]上单调递增，∴f（）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，解得a=﹣；当a＜﹣e时，f（）在[1，e]上单调递增，∴f（）min=f（1）=﹣a=，解得a=﹣，不合题意，舍；综上所述，a=﹣．。

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含答案)

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线在轴上的截距为（）A ．B ．2C ．D ．2．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且，则（）A ．B ．C ．D ．5．现有一段底面周长为厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B320x y --=y 2-2323-1:1l y x =-(0,1)-512π2l 2l 13()3()P A P B =()P B =1613235612π2π沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点．现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，四面体的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体的体积为，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（）2πP 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭22121:10504C x x y y -+-+=(,0)T t x P T x C t 1527,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABCD αAOPQ V 'V V'1418116127A ．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B ．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则C ．若，则是锐角D ．若对空间中任意一点，有，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（）A ．设A ，B 是两个随机事件，且，，若，则A ，B 是相互独立事件B ．若，，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足D ．若事件A ，B 相互独立，，，则11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（）A ．点的轨迹的方程是B ．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线与点的轨迹相离D ．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C ，D ，则四边形面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，，，，，，P 为所确定的平面内一点，设的最大值是以为自变量的函数，记作．若，则{,,}a b c 23m a c =+ ,,}a b m 〈α(2,1,0)A (1,3,1)B -(2,2,1)C -(1,,)n u t =α2u t +=0a b ⋅> ,a b <>O 111362OM OA OB OC =++1()2P A =1()3P B =1()6P AB =()0P A >()0P B >()()()()P ABC P A P B P C =()0.4P A =()0.2P B =()0.44P AB AB = (1)λλ≠P (2,0)A (6,0)B P ||1||3PA PB =P τP τ2230x y x +-=(1,1)N P τ220x y -+=P τ3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭M :270l x -+=M P τECMD 1y =+y x b =+b (0,0,0)O (0,,3)A a (3,0,)B a (,3,0)C a 33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC △||PO PD -a ()f a 03a <<()f a的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C的概率分别是，，．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知的顶点，边AB 上的中线CD 所在直线方程为，边AC 上的高线BE 所在直线方程为．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC 上分别有一点和且，，其中．（1）求证：，，共面；（2）若，且，设为侧棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）点轨迹记为曲线，若曲线与轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线上的动点，直线121418ABC △(4,2)A 7250x y +-=40x y +-=BCD △111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =1AC M N AM k AC = BN k BC =01k ≤≤MN a c||||||2a b c ===13AB =160BAC BB C ∠=∠=︒P 1BB 1B 1PC 11ACC A xOy (1,0)A -(7,0)B -P ||2||PB PA =P P C C x :17l x =MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量，定义“F 变换”：，其中，，，．记，．（1）若，求及；（2）证明：对于任意，必存在，使得经过次F 变换后，有；（3）已知，，将再经过次F 变换后，最小，求的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．13．1415．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以．所以．因此其得分低于4分的概率为；（2）设事件，，，表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．（2）设事件，，，表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．则“两次射击得分之和为8分”为事件，且事件，，互斥，，，所以两次射击得分之和为8分的概率．()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ()1F k k a a +=1k k k x x y +=-1k k k y y z +=-1k k k z z x +=-k k k k a x y z = k k k k a x y z =++0(2,3,1)a =2a 2a 0a *k ∈N 0a k 0k a = 1(,2,)()a p q q p =≥ 12024a = 1am m a m 5361)+1111()12488P D =---=111()()()884P C D P C P D =+=+= 14i A i B i C i D i 1,2=i A i B i C i D i 1,2=()()()121221B B AC A C 12B B 12AC21A C ()121114416P B B =⨯=()()12211112816P AC P A C ==⨯=()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦16．解：（1）因为，所以设直线AC 的方程为：，将代入得，所以直线AC 的方程为：，联立AC ，CD 所在直线方程：，解得，设，因为为AB 的中点，所以，因为在直线BE 上，在CD 上，所以，，解得，，所以，，所以BC 所在直线的方程为：，即．（2）由（1）知点到直线BC 的距离为：，又，所以．17．（1）证明：因为，，所以．由共面向量定理可知，，，共面．（2）取BC 的中点为，在中，，由余弦定理可得，所以，依题意，均为正三角形，所以，，又，平面，平面，AC BE ⊥0x y m -+=(4,2)A 2m =-20x y --=207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩(1,1)C -()00,B x y D 0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭()00,B x y D 0040x y +-=0042725022x y ++⨯+⨯-=06x =-010y =(6,10)B -10(1)11617BC k --==---111(1)7y x +=--11740x y +-=(1,6)D -d ==||BC ==12722BCD S ==△1AM k AC kb kc ==+()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- MN a cO 1AOB △1AO B O ==13AB =11cos 2AOB ∠==-12π3AOB ∠=ABC △1B BC △BC AO ⊥1BC B O ⊥1B O AO O = 1B O ⊂1B AO AO ⊂1B AO所以平面，因为平面，所以平面平面，所以在平面内作，则平面，以OA ，OC ，Oz 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，设是平面的一个法向量，，，则，即，取得，依题意可知，则．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．18．解：（1）设动点坐标，因为动点满足，且，，化简可得，，即，BC ⊥1AOB BC ⊂ABC 1AOB ⊥ABC 1AOB Oz OA ⊥Oz ⊥ABC x y z 132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1,0)B -A (0,1,0)C 132C ⎛⎫⎪⎝⎭132A ⎫⎪⎭(,,)n x y z =11ACC A (AC =132AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 03202y x y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩1z =(3,1)n =- 123BP BB =11112323713,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎫=+=+=--+⨯=--⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭ 1PC 11ACC A θ1119sin cos ,13||n C PC P n n C Pθ⋅====⋅ 1PC 11ACC A 913(,)P x y P ||2||PB PA =(1,0)A -(7,0)B -=222150x y x +--=22(1)16x y -+=所以点的轨迹方程为．（2）曲线中，令，可得，解得或，可知，，当直线EF 为斜率为0时，即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为，，，联立消去可得：，化简可得；由韦达定理可得，因为，，，，所以EM ，FN 的斜率为，，又点在曲线上，所以，可得，所以，所以EM ，FN 的方程为，，令可得，化简可得；，又，在直线上，可得，，所以，P 22(1)16x y -+=22:(1)16C x y -+=0y =2(1)16x -=3x =-5x =(3,0)M -(5,0)N ||||EK FK +x ny t =+()11,E x y ()22,F x y 22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩x 22(1)16ny t y +-+=()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()11,E x y ()22,F x y (3,0)M -(5,0)N 113EM y k x =+225FN y k x =-()11,E x y C ()2211116x y -+=()()()22111116135y x x x =--=+-111153EM y x k x y -==+115(3)x y x y -=+22(5)5yy x x =--17x =()1212205125Q x y y y x -==-()()121235550y y x x +--=()11,E x y ()22,F x y x ny t =+11x ny t =+22x ny t =+()()121235550y y ny t ny t ++-+-=化简可得；，又，代入可得，化简可得，，，所以或，当时EF 为，必过，不合题意，当时EF 为，必过，又为圆的弦长，所以当直径MN 时弦长最小，此时半径，圆心到直线EF 的距离为，综上，的最小值．19．解：（1）因为，，，所以，，（2）设假设对，，则，，均不为0；所以，即，因为，，所以，与矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意，经过若干次F 变换后，必存在，使得．（3）设，因为，所以有或，当时，可得，三式相加得()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=(5)(816)0t t --=2t =5t =5t =5x ny =+(5,0)2t =2x ny =+(2,0)||EF EF ⊥||EF 4r =211-=||8EF ===<||EF 0(2,3,1)a = 1(1,2,1)a = 2(1,1,0)a =21100a =⨯⨯= 21102a =++={}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == N k ∀∈10k a +≠1k x +1k y +1k z +12k k M M ++>123M M M >>> *(1,2)k M k ∈=N 112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ 121M M +≤-120M M +>0aK N *∈0K a = ()0000,,a x y z = 1(,2,)()a p q q p =≥000x y z ≤≤000x y z ≥≥000x y z ≥≥0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩2q p -=又因为，可得，；当时，也可得，，所以；设的三个分量为这三个数，当时，的三个分量为，2，m 这三个数，所以；当时，的三个分量为2，2，4，则的三个分量为0，2，2，的三个分量为2，0，2，所以；所以，由，可得，；因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以的三个分量只能是2，2，4三个数，的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当时，；当时，，所以的最小值为505．12024a =1010p =1012q =000x y z ≤≤1010p =1012q =1(1010,2,1012)a =k a()*2,,2m m m +∈N 2m >1k a +2m -14k k a a +=- 2m =k a 1k a + 2k a +124k k a a ++=== 12024a = 5058a = 5064a =1(1010,2,1012)a = k a505a 506a505m <18m a +≥ 505m ≥14m a +=m。

2021-2022学年湖北省新高考联考高二上学期期末考试数学试题带讲解

【小问1详解】
解：以点作坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，0，，
设平面的一个法向量为，又，
则，则可取，
又，设直线与平面的夹角为，则，
直线与平面的正弦值为；
【小问2详解】
解：因为
所以点到平面的距离为，
点到平面的距离为．
17.已知数列是递增的等差数列，，若成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和，求 .
（1）；（2） .
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）由（1）求得，结合“裂项法”即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
【详解】抛物线： ( )的焦点，
∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为，不妨设，
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，，，
因为，所以，
，所以 3
故答案为：3.
16.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，直角三角形EMQ面积为，后续各直角三角形面积依次为，…，，若数列的前n项和恒成立，则实数的取值范围为______.

2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期末联考数学试卷含详解

武汉市部分重点中学2022—2023学年度上学期期末联考高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数()f x 可导，且满足0(3)(3)lim2x f x f x ∆→-∆-=∆，则函数()y f x =在x ＝3处的导数为（）A .2B.1C.－1D.－22.已知等差数列{}n a 满足()23544,41a a a a =+=-，则数列{}n a 的前5项和5S 为（）A.15B.16C.20D.303.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（）A.2y x =±B.32y x =±C.23y x =±D.132y x =±4.已知数列{}n a 满足()12111,3,N ,2n n n a a a a a n n *-+===+∈≥，则2022a =（）A.2- B.1 C.4043 D.40445.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为3，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过78，则该塔形中正方体的个数至少是（）A.4B.5C.6D.76.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点()1,0F ，过F 的直线与C 交于M ，N 两点，准线与x 轴的交点为A ，当MA NA ⊥时，直线MN 的方程为（）A.10x y --= B.220x y --= C.210x y --= D.10x -=7.已知两相交平面所成的锐二面角为70°，过空间一点P 作直线l ，使得直线l 与两平面所成的角均为30°，那么这样的直线有（）条A.1B.2C.3D.48.数列{}n a 满足132a =，211n n n a a a +=-+，*n ∈N ，则122022111a a a +++ 的整数部分是（）A.1B.2C.3D.4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.方程22143x y m m+=--表示的曲线中，可以是（）A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且*N n ∀∈，都有11n n S S n n +<+．若17161a a <-，则（）A.160a < B.170a <C.n S 的最小值是16S D.n S 的最大值是17S 11.抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 是其上一动点，点()1,1M ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，准线与x 轴的交于点D ，下列结论正确的是（）A.PM PF +的最小值是2B.PM PF -的最大值是2C.存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线50x y +-=对称D.若直线l 经过点D ，且B 点在线段AD 上，不存在直线l ，使得2AF BF DF+=12.如图所示：给定正整数n （5n ≥），按照如下规律构成三角形数表：第一行从左到右依次为1，2，3，…，n ，从第二行开始，每项都是它正上方和右上方两数之和，依次类推，直到第n 行只有一项，记第i 行第j 项为,i j a ，下列说法正确的是（）A.当n ＝100时，5,496a =．B.当n ＝100时，最后一行的数为981012⨯．C.当n ＝2022时，,42022i a >，则i 的最小值为8．D.当n ＝2022时，2,5(9)2i i a i -=+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()2322l t t t =+，则当3s t =时，该运动员的滑雪瞬时速度为______()m /s ．14.等比数列{}n a 中，1473a a a ++=，36912a a a ++=．则{}n a 的前9项之和为______．15.三棱锥P －ABC 中，二面角P －AB －C 为120°，PAB 和ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 外接球的半径为______．16.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线与椭圆E 交于P 、Q 两点，P 、Q 在y 轴左侧，且P 点在x 轴上方，点P 关于坐标原点O 对称的点为R ，且45PQR Ð=°，则该椭圆的离心率为______．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.（1）求长轴长为12，离心率为23，焦点在x 轴上的椭圆标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，且与椭圆221105x y +=有公共焦点，求此双曲线的方程．18.已知数列{}n a 的前n 项和为227n S n n =-+，()*Nn n b a n =∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 前n 项的和n T ．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC ＝BC ，四边形11ABB A 是菱形，1120A AB ∠=︒，点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ= ．（1）若1AD B C ⊥，证明：平面1AB C ⊥平面ABD ．（2）若1AB B C ==，是否存在实数λ，使得平面1AB C 与平面ABD 所成得锐二面角的余弦值是17？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为P ，点()0,Q b ，21PF =，160F PQ ∠=︒．（1）求双曲线C 的方程；（2）直线l 经过点2F ，且与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1F AB 的面积为，求直线l 的方程．21.已知抛物线C ：22y px =，焦点为F ，点()2,0M -，()2,2N ，过点M 作抛物线的切线MP ，切点为P ，3PF =，又过M 作直线交抛物线于不同的两点A ，B ，直线AN 交抛物线于另一点D ．（1）求抛物线方程；（2）求证BD 过定点．22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12(2)n n S a n -=-≥，数列{}n b 的通项公式为n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求1211n n n n T a b a b a b -=+++ ；（3）设221251916n n n n n n n c a b b b +++++=，求数列{}n c 的前n 项的和n H ．武汉市部分重点中学2022—2023学年度上学期期末联考高二数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数()f x 可导，且满足0(3)(3)lim2x f x f x ∆→-∆-=∆，则函数()y f x =在x ＝3处的导数为（）A.2B.1C.－1D.－2【答案】D【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，()()()()()Δ0Δ03Δ33Δ3lim lim3ΔΔx x f x f f x f f xx→→----=--'=-，所以()32f '=-.故选：D.2.已知等差数列{}n a 满足()23544,41a a a a =+=-，则数列{}n a 的前5项和5S 为（）A.15B.16C.20D.30【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出4a ，再利用前n 项和公式计算作答.【详解】等差数列{}n a 中，354424(1)a a a a =+=-，解得42a =，而24a =，所以数列{}n a 的前5项和152455()5()1522a a a a S ++===.故选：A3.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（）A.52y x =±B.32y x =±C.23y x =±D.132y x =±【答案】C【分析】根据双曲线几何性质解决即可.【详解】由题知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>中24,26a b ==，所以2,3a b ==，双曲线焦点在y 轴上，所以双曲线的渐近线方程为23y x a b x =±=±，故选：C.4.已知数列{}n a 满足()12111,3,N ,2n n n a a a a a n n *-+===+∈≥，则2022a =（）A.2- B.1 C.4043 D.4044【分析】由递推式得到21n n a a +-=-，从而得到6n n a a +=，由此再结合11n n n a a a -+=+即可求得2022a 的值.【详解】由11n n n a a a -+=+得12n n n a a a ++=+，两式相加得21n n a a +-=-，即3n n a a +=-，故6n n a a +=，所以20226321()2a a a a a ==-=--=-.故选：A ．5.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为3，且该塔形的表面积（不含最底层正方体的底面面积）超过78，则该塔形中正方体的个数至少是（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【分析】设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为n a ，则{}n a 为等比数列，由此求出塔形表面积n S 的表达式，令78n S >即可得出n 的范围．【详解】解：设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为n a ，13a =，212a ==，3112a ==，则{n a }为以3为首顶，以2为公比的等比数列，所以2{}n a 是以9为首项，以12为公比的等比数列．所以塔形的表面积222221231191722444449811212n n n n S a a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++⋯++=⨯+=--，令7281782n->，解得4n >，所以该塔形中正方体的个数至少为5个．故选：B ．6.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点()1,0F ，过F 的直线与C 交于M ，N 两点，准线与x 轴的交点为A ，当MA NA ⊥时，直线MN 的方程为（）A.10x y --= B.220x y --= C.210x y --= D.10x -=【分析】根据题意可得：抛物线方程为24y x =，则(1,0)A -，设直线MN 的方程为：1x ty =+，联立方程组，利用韦达定理和0MA NA =即可求解.【详解】由题意可知：12p=，则抛物线方程为24y x =，所以(1,0)A -.设过F 的直线MN 的方程为：1x ty =+，1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩，整理可得：2440y ty --=，则124y y t +=，124y y =-，又因为MA NA ⊥所以0MA NA =，11(1,)MA x y =--- ，22(1,)NA x y =--- 所以1212(1)(1)0x x y y ----+=，也即1212(1)(1)0x x y y +++=，因为212121212(1)(1)(2)(2)42()x x ty ty t y y t y y ++=++=+++，所以212121212(1)(1)(1)2()4x x y y t y y t y y +++=++++2(1)(4)244t t t =+⨯-+⨯+2244840t t =--++=即20t =，解得：0=t ，所以直线MN 的方程为：10x -=，故选：D .7.已知两相交平面所成的锐二面角为70°，过空间一点P 作直线l ，使得直线l 与两平面所成的角均为30°，那么这样的直线有（）条A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】分两种情况，一是在二面角的平分面上，另一种情况是在邻补二面角的平分面上研究，以角平分线为基准，旋转找符合要求的直线,最后过点P 作符合条件的平行直线即可.【详解】作二面角的平面角AOB ,则70AOB ∠=︒，设1OP 为AOB ∠的平分线，则1135POA POB ∠=∠=︒,当1OP 以O 为中心，在二面角的平分面上转时，1OP 与两平面的夹角变小，会对称出现两条符合要求的直线.设2OP 为AOB ∠的补角角平分线，则2255P OA P OB ∠=∠=︒，当2OP 以O 为中心，在二面角的邻补二面角平分面上转时，2OP 与两平面的夹角变小，会对称出现两条符合要求的直线.综上所述:过点P 作与1OP ,2OP 平行的直线符号要求，共4条.故选：D8.数列{}n a 满足132a =，211n n n a a a +=-+，*n ∈N ，则122022111a a a +++ 的整数部分是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】根据已知条件，利用累加法求得m ，结合数列的单调性即可判断m 的取值范围，进而求得其整数部分【详解】由211n n n a a a +=-+可得211(1)n n n n n a a a a a +==---，所以111(1)1111n n n n na a a a a +--=--=，所以111111n n na a a +-=--，则12111111a a a -=--，23211111a a a -=--，34311111a a a -=--，L ，20222023202211111a a a -=--，上述式子累加得：120231220221111111m a a a a a -=++⋯+=--，故2023121m a =--，又因为()2212101n n n n n a a a a a +-+=-=≥-，即1n n a a +≥，所以111n n a a a -≥≥≥> ，根据递推公式得：132a =，1221714a a a =-+=，2322371216a a a =-+=>，所以202332a a ≥>，那么20231(0,1)1a ∈-，则202312(1,2)1m a =-∈-，则m 的整数部分是1，故选：A【点睛】关键点睛：本题考察累加法，以及数列的单调性，能够正确的裂项从而累加是解决问题的关键二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.方程22143x y m m+=--表示的曲线中，可以是（）A.双曲线 B.椭圆C.圆D.抛物线【答案】AB【分析】根据双曲线和椭圆标准方程的特点，即可得到结果.【详解】因为43m m -≠-，若()()430m m --<，即34m <<时，方程22143x ym m+=--表示的曲线双曲线；若4030m m ->⎧⎨->⎩，即3m <时，方程22143x y m m +=--表示的曲线椭圆.故选：AB.10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且*N n ∀∈，都有11n n S S n n +<+．若17161a a <-，则（）A.160a < B.170a <C.n S 的最小值是16S D.n S 的最大值是17S 【答案】AC【分析】设数列{}n a 公差为d ，由11n n S S n n +<+可知0d >，又由17161a a <-可知17160a a >>，据此可判断各选项正误.【详解】设数列{}n a 公差为d ，11n n S S n n +<+11n n n n n nS nS S na S ++⇒->⇒>()()21111022n n dn n na n d na d -+⇒+>+⇒>，因()102n n +>，则0d >，得数列{}n a 为递增数列·.又1717161610，a a a a <-<>，则17160a a >>.故A 正确，B 错误.又数列{}n a 为递增数列，17160a a >>，则数列{}n a 前16项均为负数，第17项及以后各项均为正数，故n S 的最小值是16S ，n S 的最大值不存在.故C 正确，D 错误.故选：AC11.抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 是其上一动点，点()1,1M ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，准线与x 轴的交于点D ，下列结论正确的是（）A.PM PF +的最小值是2B.PM PF -的最大值是2C.存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线50x y +-=对称D.若直线l 经过点D ，且B 点在线段AD 上，不存在直线l ，使得2AF BF DF +=【答案】ACD【分析】对于A ，利用抛物线的定义，数形结合判断；对于B ，利用三角形两边的差小于第三边判断；；对于C ，设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，借助对称思想判断；对于D ，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合抛物线的定义判断作答.【详解】抛物线C ：24y x =的焦点()1,0F ，准线=1x -，过点P 作PQ 垂直于准线，垂足为Q ，过点M 作MN 垂直于准线，垂足为N ，交抛物线于点0P ，连接0,MQ P F ，如图，0000||||||||||||PM PF PM PQ MQ MN P M P N P M P F +=+≥≥=+=+，当且仅当P 与0P 重合时取等号，因此()min||2PM PFMN +==，A 正确；因为||||||||1PM PF MF -≤=，即PM PF -的最大值是1，B 不正确；假设存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线50x y +-=对称，则设直线:0AB x y m -+=，由204x y m y x-+=⎧⎨=⎩消去x 得：2440y y m -+=，则Δ16160m =->，解得1m <，设()()1122,,A x y B x y ，即有124y y +=，则有弦AB 的中点()2,2m -在直线50x y +-=上，即2250m -+-=，解得11m =-<，符合题意，即存在直线l ，使得A ，B 两点关于直线50x y +-=对称，C 正确；点(1,0)D -，显然直线l 的斜率存在且不为0，设其方程为(1)y k x =+，由2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，2244(2)40k k '∆=-->，解得11k -<<且0k ≠，设,A B 的横坐标分别为,A B x x ，则242A B x x k +=-，241142A B AF BF x x DF k +=+++=>=，所以不存在直线l ，使得2AF BF DF +=，D 正确.故选：ACD12.如图所示：给定正整数n （5n ≥），按照如下规律构成三角形数表：第一行从左到右依次为1，2，3，…，n ，从第二行开始，每项都是它正上方和右上方两数之和，依次类推，直到第n 行只有一项，记第i 行第j 项为,i j a ，下列说法正确的是（）A.当n ＝100时，5,496a =．B.当n ＝100时，最后一行的数为981012⨯．C.当n ＝2022时，,42022i a >，则i 的最小值为8．D.当n ＝2022时，2,5(9)2i i a i -=+【答案】ABD【分析】根据已知可得()12212i i ija j i --=+-，再由42022i a >即可解得.【详解】由题可得三角形数表的每一行都是等差数列，且公差分别为11,2,4,8,,2,i - ，所以()()()()2111122i ij i j i j i j a a a a ---+-=+=+()()()()()2322222122222222222i i i i i j i j i j i j a a a a ------+--⎡⎤⎡⎤=++=++=+⨯⎣⎦⎣⎦…()()12121212212i i i i j a i j i ----=+-=+-，所以()()12242412722022i i i i a i i ---=⨯+-⋅=+⋅>，解得8i >，所以i 的最小值为9.故C 选项错;因为()()1224241272i i i i a i i ---=⨯+-⋅=+⋅()35,457296a =+=.故A 正确；因为()12212i i ij a j i --=+-,令5j =所以2,5(9)2i i a i -=+，故D 正确；因为()12212i i ija j i --=+-,令1,100j i ==，当n ＝100时，最后一行的数为981012⨯．故B 正确；故答案为：ABD .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为()2322l t t t =+，则当3s t =时，该运动员的滑雪瞬时速度为______()m /s ．【答案】272【分析】利用导数的定义可求得该运动员在3s t =时滑雪瞬时速度.【详解】()()()()()222392733233232222l t l t t t t +∆-=+∆++∆-⨯-=∆+∆，所以，该运动员的滑雪瞬时速度为()()()()003327273limlim 2m /s 22t t l t l l t t∆→∆→+∆-⎛⎫'==∆+= ⎪∆⎝⎭.故答案为：272.14.等比数列{}n a 中，1473a a a ++=，36912a a a ++=．则{}n a 的前9项之和为______．【答案】9或21【分析】利用()2369147a a a a a a q ++=++解出公比，即可求解.【详解】()2369147a a a a a a q ++=++ ,即2123q =，2q =±，9123456789S a a a a a a a a a =++++++++()()()147258369a a a a a a a a a =++++++++()()()2147147147a a a a a a q a a a q =++++++++2333q q =++若2q =，则9361221S =++=，若2q =-，则936129S =-+=，故答案为：9或21.15.三棱锥P －ABC 中，二面角P －AB －C 为120°，PAB 和ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 外接球的半径为______．【分析】作出图形，根据条件可知：球心既过PAB 的外心垂直平面PAB 的垂线上，又在过ABC 的外心垂直平面PCB 的垂线上，然后利用二面角的大小和勾股定理即可求解.【详解】作出三棱锥P －ABC ，如图所示：H 为AB 的中点，12,O O 分别为ABC 和PAB 的外心，过点12,O O 分别作平面ACB 和平面PAB 的垂线，交点为O ，连接,,OH OA OC .根据题意可知：球心既过PAB 的外心垂直平面PAB 的垂线上，又在过ABC 的外心垂直平面ACB 的垂线上，所以O 三棱锥外接球的球心，设外接球半径R ，由题意知：PAB 和ABC 均为边长为2的正三角形，所以PH AB ⊥，CH AB ⊥，所以PHC ∠即为二面角P －AB －C 的平面角，因为二面角P －AB －C 为120°，也即12120O HO ∠=︒，因为PAB 和ABC 均为边长为2的正三角形，所以21333HO PH ==，11333HO CH ==，则12HO HO =，所以21Rt Rt OO H OO H ≅ ，则12211602OHO OHO O HO ∠=∠=∠=︒，在1Rt OHO 中，因为13HO =，160OHO ∠=︒，所以11OO =，又因为122333O C CH ==，所以在1Rt OCO 中，22211OC O O O C =+，即247133R =+=，所以213R =，故答案为：213.16.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线与椭圆E 交于P 、Q 两点，P 、Q 在y 轴左侧，且P 点在x 轴上方，点P 关于坐标原点O 对称的点为R ，且45PQR Ð=°，则该椭圆的离心率为______．【答案】306【分析】QA x 轴交PB 于A ，则1tan 2QP k PQA =Ð=，tan QR k RQA =-Ð，设出直线，联立方程，结合韦达定理与两点斜率公式可求出参数的齐次方程，进而可求离心率.【详解】QA x 轴交PB 于A ，如图所示，设直线为2x y m =+，()()()112211,,,,,P x y Q x y R x y --，则1210,0,0x x y <<>，联立得222221x y m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222222440a b y mb y m a b +++-=.则2122244mb y y a b -+=+，()21212222224ma x x y y m a b +=++=+.1tan 2QPk PQA =Ð=，12121212tan QRy y y y k RQA x x x x --+===-Ð--+，由1tan tan 12tan 111tan tan 312QRQR QR k PQA RQA PQR k PQA RQA k -Ð+ÐÐ===Þ=--凶+，∴2122124123QR y y mb k x x ma +-===-+，∴226a b =.∴该椭圆的离心率22222306c a b e a a -===.故答案为：306四、解答题：共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.（1）求长轴长为12，离心率为23，焦点在x 轴上的椭圆标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，且与椭圆221105x y +=有公共焦点，求此双曲线的方程．【答案】（1）2213620x y +=；（2）2214x y -=.【分析】根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质求解即可.【详解】（1）设椭圆方程为：22221x y a b +=且a >b >0，212,6a a == ，23c a=，4c ∴=，222361620b a c ∴=-=-=，故椭圆方程为：2213620x y +=；（2）221105x y +=的焦点为：(5,0),(5,0)-，根据题意得到：12b a =，则2222514b a a a -==，解得：24a =，故222541bc a =-=-=，故双曲线的方程为：2214x y -=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为227n S n n =-+，()*Nn n b a n =∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 前n 项的和n T ．【答案】（1）49,N*n a n n =-+∈（2）222712,3(N*)27,2n n n n T n n n n ⎧-+≥=∈⎨-+≤⎩【分析】(1)根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解即可；(2)由于1,2n =时，0n a >，当3n ≥时，0n a <，所以分2n ≤和3n ≥两种情况讨论求解即可.【小问1详解】因为数列{}n a 的前n 项和为227n S n n =-+，所以当1n =时，11275a S ==-+=，当2n ≥时，22127[2(1)7(1)]49n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-+，显然，当1n =时，15a =满足49n a n =-+，所以49,N*n a n n =-+∈.【小问2详解】由（1）知49,N*n n b a n n ==-+∈，因为1,2n =时，0n a >，当3n ≥时，0n a <，所以当2n ≤时，227n n T S n n ==-+，当3n ≥时，123n n S a a a a =++++ ①，123n n T a a a a =+--- ②，所以①+②得2212n n T S S +==，因为2(549)272n n n S n n -+==-+，所以2122712n n T S n n =-=-+，所以222712,3(N*)27,2n n n n T n n n n ⎧-+≥=∈⎨-+≤⎩19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC ＝BC ，四边形11ABB A 是菱形，1120A AB ∠=︒，点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ=．（1）若1AD B C ⊥，证明：平面1AB C ⊥平面ABD ．（2）若1AB B C ==，是否存在实数λ，使得平面1AB C 与平面ABD 所成得锐二面角的余弦值是17？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，17．【分析】(1)取AB 的中点O ，连接1OB ，OC ．利用三角形高线与对应底边垂直得出AB ⊥平面1OB C ．然后再证明1B C ⊥平面ABD ，最后利用面面垂直的判定即可证明；(2)建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，分别求出平面平面1AB C 和平面ABD 的法向量，利用向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明：取AB 的中点O ，连接1OB ，OC ．因为四边形11ABB A 是菱形，且1120A AB ∠=︒，所以160ABB ∠=︒，则11AB BB =．因为O 为AB 的中点，所以1AB OB ⊥．因为AC BC =，且O 为AB 的中点，所以AB ⊥OC ．因为1OB ，OC ⊂平面1OB C ，且1OB OC O = ，所以AB ⊥平面1OB C ．因为1B C ⊂平面1OB C ，所以1AB B C ⊥．因为1AD B C ⊥，AB ，AD ⊂平面ABD ．且AB AD A ⋂=，所以1B C ⊥平面ABD ．因为1B C ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ⊥平面ABD ．【小问2详解】因为AB ==，所以222AB AC BC =+，所以AC ⊥BC ．因为O 是AB 的中点，所以12OC AB =．因为四边形11ABB A 是菱形，且∠160ABB =︒，所以1ABB 是等边三角形．因为O 是AB 的中点，所以132OB AB =．因为222222111OB OA AB OB OC B C +=+==，所以1AB B C =，则OB ，OC ，1OB 两两垂直，故以O 为原点，OB，OC ，1OB的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设2AB =，则()1,0,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，(1A -，(1B ，故()1,1,0AC = ，()2,0,0AB =，(1AB = ，()1,1,0BC =-uu u r，1(AA =- .因为()11CD CC AA λλλ===-，所以()D λ-，所以()1AD λ=-．设平面1AB C 的法向量为()111,,x n y z =，则11111·0·0n AC x y n AB x ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，令1x =，得)1n =- ．设平面ABD 的法向量为()222,,m x y z =，则2222·20·(1)0m AB x m AD x y z λ⎧==⎪⎨=-++=⎪⎩ ，令21z =-，得(),1m =- ．设平面1AB C 与平面ABD 所成的角为θ，则1cos cos ,7n m n m n m θ⋅==== ，解得12λ=或15λ=，故存在12λ=或15λ=，使得平面1AB C 与平面ABD 所成角的余弦值是17．20.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为P ，点()0,Q b ，21PF =，160F PQ ∠=︒．（1）求双曲线C 的方程；（2）直线l 经过点2F ，且与双曲线C 相交于A ，B 两点，若1F AB的面积为，求直线l 的方程．【答案】（1）2213y x -=（2）20x y +-=或20x y --=.【分析】（1）由题意可得：21PF c a =-=，1tan tan 60bF PQ a=∠=︒=，222c a b =+，解得c ，a ，b ，即可得出双曲线C 的方程．（2）2(2,0)F ，设直线l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线l 的方程与双曲线的方程化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得12||y y -=，利用1F AB 的面积12122c y y =⋅-=，解得m ，即可得出直线l 的方程．【小问1详解】解：由题意可得：21PF c a =-=，1tan tan 60bF PQ a=∠=︒=，222c a b =+，解得1a =，b =，2c =，所以双曲线C 的方程为2213y x -=.【小问2详解】解：由题意可知，直线l 的斜率不为0，设AB ：2x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22233x my x y =+⎧⎨-=⎩，消x ，得()22311290m y my -++=，由()222310Δ1443610m m m ⎧-≠⎪⎨=-->⎪⎩，解得213m ≠，则1221221231931m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩.所以()()()()2222121212222236112364313131m m y y y y y y m m m +⎛⎫-=+-=-- ⎪--⎝⎭-，所以1F AB 的面积121222114223131m m S F F y y m m =⋅-=⨯⨯=--，由231m =-，整理得429810m m --=，解得21m =，1m =±，所以直线l 的方程为20x y +-=或20x y --=.21.已知抛物线C ：22y px =，焦点为F ，点()2,0M -，()2,2N ，过点M 作抛物线的切线MP ，切点为P ，3PF=，又过M 作直线交抛物线于不同的两点A ，B ，直线AN 交抛物线于另一点D ．（1）求抛物线方程；（2）求证BD 过定点．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【分析】（1）设出()00,P x y ，直线:2MP x my =-，联立抛物线方程，利用根的判别式等于0列出方程，求出24m p =，再利用焦半径得到032p x =-，从而表达出5232,p p P m ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，代入2002y px =，求出答案；（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y D x y ，结合抛物线方程求出124AB k y y =+，134AD k y y =+，324BD k y y =+，写出直线()1212:40AB x y y y y y -++=，()1313:40AD x y y y y y -++=，根据AB 过()20M -，，AD 过()22N ，，代入后联立得到()2323840y y y y -++=，由直线()2323:40BD x y y y y y -++=联立得到()()()234240x y y y --+-=，求出所过定点.【小问1详解】设()00,P x y ，直线:2MP x my =-，联立222x my y px=-⎧⎨=⎩得：2240y pmy p -+=，则224160p m p ∆=-=，所以24m p=，又因为032pPF x =+=，所以003252p x p y m ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故5232,p p P m ⎛⎫- ⎪-⎪ ⎪⎝⎭，代入2002y px =得：2440p p -+=，所以2p =，所以抛物线方程为：24y x =；【小问2详解】设()()()112233,,,,,A x y B x y D x y ，则121212122212444AB y y y y k y x y x y y --===-+-，同理134ADk y y =+，324BD k y y =+，故直线()11124:AB y y x x y y -=-+即()121240x y y y y y -++=，同理直线()1313:40AD x y y y y y -++=，直线()2323:40BD x y y y y y -++=，因为AB 过()20M -，，所以1280y y -+=①，AD 过()22N ，，所以()1313820y y y y -++=②，由①得：128y y =，代入②得：()2323840y y y y -++=③，又因为直线()2323:40BD x y y y y y -++=④，则由③得：()232348y y y y =+-，代入④得：()()23234480x y y y y y -+++-=，所以()()()234240x y y y --+-=，所以直线BD 过点()24，.【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12(2)n n S a n -=-≥，数列{}n b 的通项公式为n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求1211n n n n T a b a b a b -=+++ ；（3）设221251916n n n n n n n c a b b b +++++=，求数列{}n c 的前n 项的和n H ．【答案】（1）*2N nn a n =∈，（2）2224n n T n +=--（3）()()29598212n n n n ++-++【分析】(1)n a 与n S 关系,作差计算即可.(2)应用错位相减法求解即可;(3)分组裂项相消求和应用求解.【小问1详解】由题，当当2n ≥时，12n n S a +=-，所以11n n n n S S a a -+-=-，所以12n n a a +=，又因为2124a S =+=，所以2n n a =，显然，当1n =时，12a =满足2n n a =，所以*2Nnn a n =∈，，【小问2详解】()22212nn T n n =+-++ ①所以2122222nn n T n +=++⋅+ ②①-②得：()()231212222n n n T n +-=+-+++- 11422212n n n ++-=---2242n n +=+-所以2224n n T n +=--【小问3详解】因为()()()112111122212122n n n n n c n n n n +++⎡⎤=-+-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦所以12n nH c c c =+++ ()21111122122221n n n n +⎡⎤=-++-⎢⎥⋅⋅+⎢⎥⎣⎦ +()()2312111122232122n n n n ++⎡⎤-++-⎢⎥⋅⋅++⎢⎥⎣⎦ ()()122111122212222n n n n ++⎡⎤=-+-⎢⎥+⋅+⎢⎥⎣⎦()()1292182122n n n n ++=--++()()29598212n n n n ++=-++。

湖北省武汉市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(文)试题

【全国市级联考】湖北省武汉市2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若50(),()20f x x f x '==，则x 0的值为（）A B ． C ．-2 D ．2± 2．下列求导运算正确的是（）A ．（cosx ）'＝sinxB ．（3x ）'＝3x log 3eC ．1(lg )'ln10x x = D ．（x 2cos x ）′＝﹣2x sin x 3．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若126x x +=，则||AB =（）A ．2B ．4C ．6D ．84．已知焦点在x 轴上的椭圆22x y 1m 6+=的离心率为12，则m=（） A ．8 B ．9C ．-3D ．16 5．设函数2()f x x x =+，则0(12)(1)limx f x f x ∆→-∆-∆ =（） A ．-6 B ．-3 C ．3 D ．66．若pVq 是假命题，则（）A ．p ，q 至少有一个是假命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中恰有一个是假命题D ．p ，q 至少有一个是真命题7．双曲线的渐近线方程是（）A ．12y x =±B ． 2y x =±C ． y =D ． y x = 8．已知命题p ：“如果3x <，那么5x <”，命题q ：“如果5x ≥，那么3x ≥”，则命题q 是命题p 的（）A ．否命题B ．逆命题C ．逆否命题D ．否定形式 9．已知抛物线方程为25y x =则焦点到准线的距离为（）A ．54B ．52C ．5D ．1010．设集合M={x|0＜x≤4}，N={x|2≤x≤3}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的（） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．抛物线22y x =上有一点P ，它到A （2,10）距离与它到焦点距离之和最小时，点P 坐标是（）A ．（，10）B ．（，20）C ．（2，8）D ．（1，2）12．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点， A 为右顶点， P 是椭圆上的一点， PF x ⊥轴，若34PF AF =，则该椭圆的离心率是（）A ．12B ．13C ．14 D二、填空题13．命题“200020x R x x ∃∈+>，”的否定是______________________14．已知F 1，F 2是椭圆22x y 143+=的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M,N 两点，则ΔMF 2N 的周长为___________15．曲线ln y x =在点（e ，f （e ））处的切线方程为______________三、解答题16．已知命题p ：任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p 与q 都是真命题，求实数a 的取值范围．17．已知双曲线方程为22169144y x -=.（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；（2）若抛物线C 的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其下顶点，求抛物线C 的方程. 18．已知函数()()32391f x x x x x R =--+∈．（1）求函数()f x 的单调区间．（2）若()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知椭圆2222x y C 1a b +=：()0,0a b >>4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P （2,1）作弦且弦被P 平分，则此弦所在的直线方程.20．已知直线l 的参数方程为315425x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB .21．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线224:13sin C ρθ=+，[0,]θπ∈，直线5:x l y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩(t 是参数) （1）求出曲线C 的参数方程，及直线l 的普通方程；（2）P 为曲线C 上任意一点，Q 为直线l 上任意一点，求||PQ 的取值范围． 22．已知函数()ln a f x x x=-. (1)当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性；(2)若()f x 在[]1,e 上的最小值为32，求a 的值．参考答案1．B【解析】()()44000x 5,?520,?f x f x x x ='==='故选B2．C【分析】利用基本初等函数的求导公式和运算法则进行求解即可.【详解】对于选项A ：因为（cos x ）'＝﹣sin x ，故选项A 不正确；对于选项B ：因为（3x ）'＝3x ln 3，故选项B 不正确；对于选项C ：因为（lgx ）′＝1ln10x ，故选项C 正确；对于选项D ：因为（x 2cos x ）′＝2x cos x ﹣x 2sin x ，故选项D 不正确.故选：C【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式和运算法则；考查运算求解能力；熟记基本初等函数的导数公式和运算法则；属于基础题.3．D【解析】2p=4，p=2，AB =x 1+x 2+p=8故选D点睛：若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02p PF x =+；若过焦点的弦AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．4．A【详解】焦点在x 轴上的椭圆22x y 1m 6+=,可得a c ==椭圆的离心率为12,12= ，解得m=8 故选A5．A【解析】根据导数的定义：()()()()()020121121lim 2lim 2f'12x x f x f f x f x x∆→-∆→-∆--∆-=-=-∆-∆ ，因为()f 21x x '=+，所以()'12f 6-=-，即()()0121lim x f x f x∆→-∆-∆ =-6 故选A6．B 【解析】若pVq 是假命题，则 p ，q 均为假命题故选：B7．D【解析】由双曲线方程可知焦点在y 轴上，2,a b ==，所以渐近线方程为2a y x x x b =±==± 故选D8．C【解析】两个命题不仅条件和结论对调，还都取否定，因此命题α是命题β的逆否命题. 故选C9．B【解析】由题可知抛物线的焦点为（54，0），准线为x=-54 ，所以焦点到准线的距离为52故选：B10．B【解析】设集合M={x|0＜x≤4}，N={x|2≤x≤3}， M N ⊇，所以若“a M ∈”推不出“a N ∈”；若“a N ∈”，则“a M ∈”，所以“a M ∈”是“a N ∈”的必要而不充分条件，故选：B点睛：注意区别：“命题p 是命题q 的充分不必要条件”与“命题p 的充分不必要条件是命题q ”11．C【解析】由题意知，抛物线的焦点为1F 02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，准线l 为1y 2=-，且点A 在抛物线内部，过点A 作准线l 的垂线，垂足为A'，根据抛物线的定义，可知，垂线A A'与抛物线的交点即为所求的点P ，且易求得，点P 的坐标为（2，8）故选：C12．C【分析】由题意可得234b a =（a +c ），再根据b 2＝a 2﹣c 2，即可得到4c 2+3ac ﹣a 2＝0，两边同除以a 2得：4e 2+3e ﹣1＝0，解得即可.【详解】根据椭圆几何性质可知|PF |2b a=，|AF |＝a +c ，所以234b a =（a +c ），即4b 2＝3a 2﹣3ac ，因为b 2＝a 2﹣c 2，所以有4a 2﹣4c 2＝3a 2﹣3ac ，整理可得4c 2+3ac ﹣a 2＝0，两边同除以a 2得：4e 2+3e ﹣1＝0，所以（4e ﹣1）（e +1）＝0，由于0＜e ＜1，所以e 14=．故选C ．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13．220x R x x ∀∈+≤，【解析】根据特称命题的否定为全称命题所以命题“200020x R x x ∃∈+>，”的否定是“220x R x x ∀∈+≤，”故答案为220x R x x ∀∈+≤：，点睛：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．14．8【解析】根据椭圆的定义， 2ΔMF N 的周长=4a=8故答案为：815．x-ey=0【解析】1y x '=，则切线斜率1()k f e e'==，切线方程为x-ey=0 故答案为：x-ey=0点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．16．{a |a ≤－2，或a ＝1}.【分析】分别就命题p，命题q为真命题时求出实数a的两个解集，若命题p与q都是真命题，即求出实数a的两个解集的交集.【详解】由命题p为真，可得不等式x2－a≥0在x∈[1,2]上恒成立．所以a≤(x2)min，x∈[1,2]．所以a≤1.若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解．所以判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0.所以a≥1或a≤－2.又因为p，q都为真命题，所以112aa a≤⎧⎨≥≤-⎩或所以a≤－2或a＝1.所以实数a的取值范围是{a|a≤－2，或a＝1}．【点睛】此题考查命题间的关系，通过两个命题的真假求参数的范围，常用解法分别解出两个命题的取值范围，再根据两个命题的关系求解.17．（1）实轴长为2a=6、虚轴长2b=8、离心率5e3=；（2）y2=-12x.【解析】试题分析：（1）将双曲线方程化为标准方程，求出a b c，，，即可得到所求实轴长、虚轴长、离心率；（2）求出双曲线的中心坐标和左顶点坐标，设抛物线C的方程为y2=-2px（p>0），由焦点坐标，可得p的方程，解方程即可得到所求．试题解析：（1）双曲线方程为16x2-9y2=144，即为-=1，可得a=3，b=4，c==5，则双曲线的实轴长为2a=6、虚轴长2b=8、离心率e==；（2）抛物线C的顶点是该双曲线的中心（0，0），而焦点是其左顶点（-3，0），设抛物线C的方程为y2=-2px（p＞0），由-=-3，解得p=6．则抛物线C的方程为y2=-12x．18．（1）单调增区间(,1),(3,)-∞-+∞ 单调减区间()1,3- （2）252a ≤-【解析】试题分析：（1）对函数()f x 求导，令()0f x '>，解不等式，即得到递增区间，令0f x ，解不等式，即得递减区间；（2）若()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，即()21f x a ≥-对[]2,4x ∀∈-恒成立，所以问题转化为求()min 21f x a ≥-成立即可，即求函数()f x 在区间[]2,4-上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在[]2,4-上的最小值，于是可以求出a 的取值范围。

2022-2023学年湖北省云学新高考联盟高二上学期期末联考数学试题(解析版)

2022-2023学年湖北省云学新高考联盟高二上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 满足11a =，13+=+n n a a n ，则6a =（） A ．30 B ．31 C ．45 D ．46【答案】D【分析】利用累加法可求得6a 的值. 【详解】由已知13n n a a n +-=， 213a a ∴-=，326a a -=，，6515a a -=，上述等式全加可得61369121545a a -=++++=，614546a ∴=+=. 故选：D.2．在下列条件中，能使M 与A ，B ，C 一定共面的是（） A ．2OM OA OB OC =-- B ．111532OM OA OB OC =++C ．0MA MB MC ++=D ．0OM OA OB OC +++=【答案】C【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．【详解】解：空间向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=；对于A ，因为21101--=≠，所以不能得出A ，B ，C ，M 四点共面；对于B ，因为11131153230++=≠，所以不能得出A ，B ，C ，M 四点共面；对于C ，MA MB MC =--，则MA ，MB ，MC 为共面向量，所以M 与A ，B ，C 一定共面；对于D ，因为0OM OA OB OC +++=，所以OM OA OB OC =---，因为11131---=-≠，所以不能得出A ，B ，C ，M 四点共面．故选：C ．3．已知椭圆2218x y +=，过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为（） A ．9802x y +-= B ．9802x y --=C ．9802x y +-= D ．9802x y -+= 【答案】A【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法求出直线AB 的斜率，再利用点斜式求出直线方程.【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则221118+=x y ，222218+=x y ，121x x =+，121y y +=，所以22221212088x x y y -+-=，即()()()()1212121208x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212188y y x x x x y y -+=-=--+，即18AB k =- 所以弦AB 所在直线方程为111282y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即9802x y +-=. 故选：A4．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.下列说法中错误的是（） A ．若//m α，m β⊂，n αβ=，则//m nB ．若//m n ，//m α，则//n αC ．若n αβ=，αγ⊥，βγ⊥，则n γ⊥D ．若m α⊥，m β⊥，//αγ，则//βγ 【答案】B【分析】利用线面平行的性质定理判断A ，利用线面平行的判定定理判断B ，利用线面垂直的判定定理判断C ，利用面面平行的判定方法判断D ．【详解】解：对于A ：若//m α，m β⊂，n αβ=，根据线面平行的性质定理可得//m n ，故A 正确；对于B ：若//m n ，//m α，则//n α或n ⊂α，即B 错误；对于C ：设α、β的法向量分别为a 、b ，若n αβ=，则n a ⊥，n b ⊥，又αγ⊥，βγ⊥，则//a γ，//b γ，所以n γ⊥，即C 正确；对于D ：若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又//αγ，则//βγ，即D 正确．故选：B5．已知12,F F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左右焦点，椭圆上一点M 满足：1260F MF ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛ ⎝⎦ D．⎫⎪⎣⎭【答案】B【分析】设1122||,||MF r MF r ==，在12MF F △中，利用余弦定理，结合椭圆的定义，求出2212122,r r r r +，再由重要不等式，可得出,a c 不等量关系，即可求解. 【详解】设1122||,||MF r MF r ==，由余弦定理得： 22212124r r r r c +-=，又122r r a +=，即222121224r r r r a ++=，解得22222212124844,33a c a c r r rr +-+==，因为2212122r r r r +≥，得224c a ≥，故12e ≥.又01e <<，所以1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选：B.6．记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n ≥时，()2212n n n a S S -=，则10S 的值为（）A ．110B ．118C ．119D ．120【答案】C【分析】根据()12n n a S S n -=-≥化简整理可得1112n n S S --=，结合等差数列的定义和通项公式可得121n S n =-，即可得结果. 【详解】当2n ≥时，则()()()2121212n n n n n n a S S S S S --=--=，整理得1112n n S S --=，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项11111S a ==，公差2d =的等差数列，则()112121n n n S =+-=-，即121n S n =-，故1011210119S ==⨯-.故选：C.7．已知圆22:(4)16M x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点(4,0)A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（） A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=【答案】B【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可．【详解】解：因为线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，所以有QA QP =，由圆22:(4)16M x y ++=，得()4,0M -，该圆的半径4r =，因为点P 在圆上运动时，所以有4QP QM -=，于是有4QA QM -=，所以点Q 的轨迹是以A ，M 为焦点的双曲线，所以4c =，24a =，可得2a =，所以22212b c a =-=，所以点Q 的轨迹方程为221412x y -=.故选：B ．8．足球、篮球、排球、乒乓球都是同学们喜欢的运动项目，球在运动中的某一过程形成的轨迹就是抛物线，2022年卡塔尔世界杯足球赛中，C 罗抛物线跑位更是惊艳全场.已知抛物线22(0)y px p =>，过点(,0)(0)E m m ≠的直线交抛物线于点M ，N ，交y 轴于点P ，若,PM ME PN NE λμ==，则λμ+=（） A ．1 B ．12-C ．1-D ．2-【答案】C【分析】利用韦达定理求出12122,2,y y pt y y pm +==-再根据,PM ME PN NE λμ==得出121,1,m mty ty λμ∴=--=--进而用韦达定理化简即可求解. 【详解】依题意，MN 的斜率存在且不为0，故可设其方程为(0)x ty m t =+≠，则(0,)mP t-，设1122(,),(,)M x y N x y ，由22y px x ty m ⎧=⎨=+⎩可得2220y pty pm --=，由22480p t pm ∆=+>可得220pt m +>，由韦达定理得12122,2,y y pt y y pm +==- 因为,PM ME PN NE λμ==，所以11112222(,)(,),(,)(,),m mx y m x y x y m x y t tλμ+=--+=-- 1122,,m my y y y t tλμ+=-+=- 121,1,m mty ty λμ∴=--=--121212112()2y y m m t y y t y y λμ+∴+=--+=--⋅ 2221 1.2m pt t pm=--⋅=-+=-- 故选:C.二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．已知数列{}n a 是等差数列，那么数列{}1n n a a ++一定是等差数列.B ．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若483,8S S ==，则16S 的值为24.C ．已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若4231n n S n T n +=-，则55117a b =. D ．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，公差0d ≠，若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项. 【答案】ABD【分析】根据等差数列的定义判断A ，根据等差数列前n 项和公式计算出1a 、d ，即可判断B ，根据下标和性质及等差数列求和公式的应用判断C ，依题意可得870a a +=，即可得到70a >、80a <，从而判断D.【详解】解：对于A ：因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()()()()1211212n n n n n n n n a a a a a a a a d +++++++-+=-+-=，故数列{}1n n a a ++也是等差数列，故A 正确；对于B ：设数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，因为43S =、88S =，所以114343287882a d a d ⨯⎧+⨯=⎪⎪⎨⨯⎪+⨯=⎪⎩，解得18d =，1916a =，所以1611615911616120242168S a d ⨯=+⨯=⨯+⨯=，故B 正确；对于C ：已知等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若4231n n S n T n +=-，则5519955199249219239113a a a a S b b b b T +⨯+=====+⨯-，故C 错误；对于D ：因为59S S =，所以9598760S S a a a a -=+++=，即870a a +=，又公差0d ≠，10a >，所以0d <，故70a >、80a <，所以7S 是n S 中最大的项，故D 正确；故选：ABD10．已知：()()1,0,1,0A B -，直线,AP BP 相交于P ，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，则（） A ．当122k k ⋅=-时，P 点的轨迹为除去,A B 两点的椭圆 B ．当122k k ⋅=时，P 点的轨迹为除去,A B 两点的双曲线 C ．当122k k =时，P 点的轨迹为一条直线D ．当122k k -=时，P 的轨迹为除去,A B 两点的抛物线【答案】ABD【分析】设点(,)P x y ，11AP yk k x ==+，21BP y k k x ==-. 逐个代入选项化简1k 与2k 的关系式，来验证选项即可得到答案. 【详解】设点(,)P x y ，11AP yk k x ==+，21BP y k k x ==-. 当122k k ⋅=-时，=11y yx x ⋅+-2-， 22222222(1)1(1)12y y y x x x x ⇒=-⇒=--⇒+=≠±-. 故P 点的轨迹为除去,A B 两点的椭圆，A 正确；当122k k ⋅=时，222222=222(1)1(1)1112y y y y y x x x x x x ⋅⇒=⇒=-⇒-=≠±+--，故P 点的轨迹为除去,A B 两点的双曲线，B 正确；当122k k =时，12112(1)2(1)311yk x x x x x y k x x -+===⇒-=+⇒=-+-. 20,0k y ≠∴≠，即不含点(3,0)-， ∴轨迹是一条直线不含(3,0)-，C 错误；当122k k -=时，则2=21(1)11y y y x x x x -⇒=-+≠±+-. 故P 的轨迹为除去,A B 两点的抛物线，D 正确. 故选：ABD.11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则（）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1D F 与直线AE 异面C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 到平面AEF 的距离为23【答案】CD【分析】对A ，设1D D AF ⊥，易证1D D ⊥平面AEF 判断；对B ，延长AE 和DC 交于N ，连接1D F 并延长与DC 的延长线交于M ，利用中位线可得到,M N 两点重合，即可判断；对C ，连接11,AD D F ，易证1//EF AD ，得到截面为等腰梯形1AEFD 求解判断；对D ，利用等体积法，由F AEC C AEF V V --=求解判断.【详解】对于A ，若1D D AF ⊥，因为1D D ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，则1D D AE ⊥，又AE AF A ⋂=，,AE AF ⊂平面AEF ，所以1D D ⊥平面AEF ，又EF ⊂平面AEF ，则1D D EF ⊥，因为11//D D C C ，所以1C C EF ⊥，故A 错误；对于B ，延长AE 和DC 交于N ，连接1D F 并延长与DC 的延长线交于M ，因为111//,=2CF DD CF DD ，所以CF 是1DMD 的中位线，所以C 是DM 的中点，因为1//,=2CE DA CE DA ，所以CE 是DAN 的中位线，所以C 是DN 的中点，所以,M N 两点重合，所以直线1D F 与直线AE 交于M ，故直线1D F 与直线AE 不异面，故错误；对于C ，连接111,,AD D F BC ，易得1111//,=AB C D AB C D ，所以四边形11ABC D 是平行四边形，所以11//BC AD ，因为E ，F 分别为1,BC CC 的中点，则11////EF BC AD ，所以1,,,A E F D 共面，又112,22,5EF AD AE D F ==1AEFD ，等腰梯形的高为2213222AD EF h AE -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以等腰梯形的面积为()11922S AD EF h =+⋅=，故正确；对于D ，因为11323112,2121222222AEFAECSEF h S EC =⋅=⨯⨯==⨯=⨯⨯=，且F AECC AEF V V --=，所以点C 到平面AEF 的距离为1123133AEC AEF S d S ⨯⨯==⨯，故正确.故选：CD12．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，||3||AF BF =，16||3AB =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（）A ．直线AB 3B ．CMD △为等腰直角三角形C ．111AF BF+= D ．A ，O ，D 三点共线【答案】CD【分析】过点M 向准线l 作垂线，垂足为N ，设()11,A x y ，()22,B x y ，其中10y >，20y <，过点B 作BG AC ⊥，交AC 于G ，利用锐角三角函数即可判断A ，利用反证法证明B ，设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦半径公式即可得到112AF BF p +=，再由A 中结论及16||3AB =求出p ，即可判断C ，最后求出A 、D 坐标，从而求出OA k ，OD k ，即可判断D.【详解】解：过点M 向准线l 作垂线，垂足为N ，设()11,A x y ，()22,B x y ，其中10y >，20y <，过点B 作BG AC ⊥，交AC 于G ，设BF m =，因为||3||AF BF =，则3AF m =，所以BD m =，则3AC m =，所以2AG m =，4AB m =，在Rt ABG △中223BG AB AG m -=，所以tan 3BGBAG AG∠=AB 的斜率为3±A 错误；假设CMD △为等腰直角三角形，则90CFD CMD ∠=∠=︒，则C 、D 、F 、M 四点共圆且圆的半径为12CD MN =，又因为||3||AF BF =，所以24AB AF BF AC BD MN BF =+=+==，所以24CD MN BF ==，所以CD AB =，显然不成立，故B 错误；依题意直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理可得2220ky py kp --=，则122p y y k+=，212y y p =-，所以12121222()()22y y y y p p px x p p k k k k ++=+++=+=+，2221212224y y p x x p p =⋅=，所以1221212121111()2224x x p p p p p AF BF x x x x x x +++=+=+++++2222222222222()424p p p p p k k p p p p p p p p k k+++===+⨯+++，即112AF BF p+=，由A 根据对称性不妨取直线AB的斜率为k = 又1222816||33p p AB AF BF x x p p p k =+=++=++==，所以2p =，所以1121AF BF p+==，故C 正确；由)214y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(3,A，1,3B ⎛ ⎝⎭，则1,D ⎛- ⎝⎭，所以OA k =，OD k =A ，O ，D 三点共线，故D 正确；其中90CFD ∠=︒的证明过程如下：可知1,2p C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,2p D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1,FC p y =-，()2,FD p y =-，所以2120FC FD p y y ⋅=+=，∴FC FD ⊥，即90CFD ∠=︒. 故选：CD三、填空题13．已知抛物线C 的方程为28y x =，F 为抛物线C 的焦点，倾斜角为45︒的直线l 过点F 交抛物线C 于A ，B 两点，则线段AB 的长为______. 【答案】16【分析】首先求出焦点坐标，即可得到直线l 的方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式计算可得.【详解】解：因为抛物线C 的方程为28y x =，所以焦点为()2,0F ，所以直线l 的方程为2y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由228y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得21240x x -+=，所以1212x x +=，所以1216AB x x p =++=.故答案为：1614．已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，且P A ⊥面ABCD ，若四棱锥的体积为163，则该球的体积为_____．【答案】π．【分析】首先根据条件求出P A ，再把四棱锥P ﹣ABCD 补成一个以ABCD 为底、P A 为侧棱的长方体，则这个长方体的外接球就是四棱锥P ﹣ABCD 的外接球，球心O 就是PC 的中点，求出长方体的体对角线长，即得解.【详解】设此球半径为R ，因底面ABCD 是边长为2的正方形，且P A ⊥面ABCD ，若四棱锥的体积为163，则13⨯2×2×P A 163=，∴P A ＝4，可以把四棱锥P ﹣ABCD 补成一个以ABCD 为底、P A 为侧棱的长方体，则这个长方体的外接球就是四棱锥P ﹣ABCD 的外接球，球心O 就是PC 的中点，∴（2R ）2＝PC 2＝AP 2+AB 2+BC 2＝42+22+22＝24，∴R =则该球的体积为343R π=．故答案为：.【点睛】本题考查了四棱锥的外接球，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.15．在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)M 的直线l 与圆225x y +=交于A ，B 两点，其中A 点在第一象限，且2BM MA =，则直线l 的倾斜角为______. 【答案】45︒##π4【分析】由题意，设直线1x my =+与圆225x y +=联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【详解】由题意，设直线1x my =+与圆225x y +=联立，可得22(1)240m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，因为2BM MA =，即()()22111,21,x y x y --=-，则212y y =-，12221m y y m +=-+，12241y y m =-+，10y >，所以0m >，联立解得1m =，∴直线l 的方程为10x y --=，则直线l 的斜率为1，所以倾斜角为45︒. 故答案为：45︒．16．P 是双曲线22145x y -=右支在第一象限内一点，1F 、2F 分别为其左、右焦点，A 为右顶点，如图圆C 是12PF F △的内切圆，设圆与1PF 、2PF 分别切于点D ，E ，若圆C 的半径为2，直线1PF 的斜率为______.【答案】2021【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆C 与x 轴的切点即为右顶点A ，从而得到圆心(2,2)C ，可求出1tan CF A ∠，因为1CF 是12PF F ∠的角平分线，利用二倍角公式求出12tan PF F ∠，即可得到直线1PF 的斜率．【详解】解：设圆C 与x 轴切于点()0,0A x '，由题意可知||||PD PE =，11||||F D F A '=，22||||F A F E '=，所以12121212||||(||||(||||)||||||||2PF PF PD DF PE EF DF EF AF AF a -=+-+=-=-=，则00()()24x c c x a +--==，即02x a ==，即()2,0A '即为右顶点A ，因为圆C 的半径2r =，12CA F F ⊥，所以(2,2)C ，于是11||22tan ||325CA CF A AF ∠===+，因为1CF 是12PF F ∠的角平分线，所以1121212tan 20tan tan(2)1tan 21CF APF F CF A CF A ∠∠=∠==-∠，即直线1PF 的斜率为2021．故答案为：2021．四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和2142n S n n =-+.(1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】(1)11,1215,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；(2)22142,17,N 1496,8,N n n n n n T n n n n ++⎧-+-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩.【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）由0n a ≤得152n ≤，然后分17n ≤≤和8n ≥两种情况对n T 化简求解即可. 【详解】（1）当1n =时，1114211S =-+=-，即111a =-，当2n ≥时，221142[(1)14(1)2]215n n n a S S n n n n n -=-=-+----+=-，1n =时，113a =-，与111a =-不符，所以11,1215,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；（2）由0n a ≤得152n ≤，而N n +∈，所以当17n ≤≤时，0n a <，当8n ≥时，0n a >，当17n ≤≤时，21212()142n n n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅+=-=-+-，当8n ≥时，1278n n T a a a a a =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 1278()n a a a a a =-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 77()n S S S =-+- 72n S S =- 21496n n =-+，所以22142,17,N 1496,8,N n n n n n T n n n n ++⎧-+-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩18．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是梯形，,//AB CD AB AD ⊥，22CD AB AD ==．（1）求证：BD ⊥平面1BCC ；（2）在线段11C D 上是否存在一点E ，使//AE 面1BC D ．若存在，确定点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析（2）存在，点E 是11C D 的中点，证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明BD ⊥平面1BDC ；（2）存在点E 是11C D 的中点，使//AE 平面1BDC ，由线面平行的判定定理进行证明即可得到结论．【详解】（1）因为1AA ⊥底面ABCD ，所以1CC ⊥底面ABCD ，因为BD ⊂底面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为底面ABCD 是梯形，//AB DC ，90BAD ∠=︒，22CD AB AD ==，设1AB =，则1AD =，2CD = 所以2BD =，2BC =所以在BCD ∆中，222BD BC CD +=，所以90CBD ∠=︒，所以BD BC ⊥，又因为1CC BD ⊥，且1CC BC C ⋂= 所以BD ⊥平面1BCC .(2)存在点E 是11C D 的中点，使//AE 平面1BDC证明如下：取线段11C D 的中点为点E ，连结AE ，如图，所以11//C D CD ，且112C P CD = 因为//AB CD ，12AB CD =，所以1//C E AB ，且1C E AB = 所以四边形1ABC E 是平行四边形．所以1//AE CB ．又因为1BC ⊂平面1BDC ，AE ⊂/平面1BDC ，所以//AE 平面1BDC ．【点睛】关键点点睛：解决是否存在问题时，可以先寻求特殊位置，再证明，本题中取中点后连结AE ，可利用平行四边形 1//AE CB ，再根据线面平行的判定定理求证即可，属于先猜后证的方法. 19．已知椭圆的标准方程为22143x y +=，1F 、2F 为左右焦点，过右焦点2F 的直线与椭圆交于A 、B两点，A 、B 中点为D ，过点2F 的直线2MF 与AB 垂直，且与直线:4l x =交于点M ，求证：O 、D 、M 三点共线. 【答案】证明见解析【分析】首先求出右焦点2F 的坐标，分直线AB 的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线AB 的方程为1x my =+，从而直线2MF 的方程为(1)y m x =--，即可得到M 点坐标，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立两直线方程，消元、列出韦达定理，即可求出AB 的中点D 的坐标，即可证明.【详解】证明：由椭圆方程为22143x y +=知，右焦点2F 的坐标为(1,0)， ①当直线AB 的斜率不存在时，直线OM 与线段AB 交点D 即为右焦点2F ，此时O ，D ，M 三点共线；②由2⊥MF AB 知，直线AB 的斜率不为0，故设直线AB 的方程为1x my =+，从而直线2MF 的方程为(1)y m x =--，令4x =得M 点坐标为(4,3)m -，故直线OM 的方程为34my x =-．联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得22(34)690m y my ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122634m y y m -+=+，122934y y m -⋅=+，所以()121228234x x m y y m +=++=+，从而线段AB 的中点2243,3434m D m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，又线段AB 的中点D 的坐标满足直线OM 方程34my x =-，所以D 点在直线OM 上，即O ，D ，M 三点共线；综上可知，O ，D ，M 三点共线；20．所有面都只由一种正多边形构成的多面体称为正多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.(1)求新多面体的体积.(2)求二面角A BF C --的余弦值. (3)求证新多面体为七面体. 【答案】52a(2)13-；(3)证明过程见解析.【分析】（1）根据棱锥体积的公式进行求解即可；（2）根据二面角的定义，结合余弦二倍角公式求解；（3）判断相邻面共面，进而进行证明即可.【详解】（1）连接BE 、FH ，交于O 点，连接OA ，四棱锥A BFEH -的高为AO ，四棱锥A BFEH -的体积为32221122()332BFEH a a V S AO a a =⋅⋅=-，取PT 中点N ，连接NQ 、NR ，由NQ PT ⊥，NR PT ⊥，三棱锥Q PTR -的体积为Δ111332NQR V S PT a a '=⋅⋅=⋅⋅=，所以新多面体的体积为22V V +'==．（2）取EF 中点M 连接AM 、MC 、MO ，设AMO θ∠=，cos aOM AM θ===，由几何体特征知，EF MA ⊥，EF MC ⊥，二面角A EF C --的平面角为2AMC θ∠=，21cos 22cos 13θθ=-=-，因为二面角A BF C --与二面角A EF C --相等，所以二面角A BF C --的余弦值为13-．（3）新多面体为7面体，证明如下：取AF 中点H '，连接EH '、BH '，OH '，设OH E γ∠'=，sin OEH Eγ==='因为AF H E ⊥'，AF H B ⊥'，所以二面角B AF E --的平面角为2BH E γ∠'=，21cos 212sin 3γγ=-=-，取RQ 中点G ，连接NG ，设QNG α∠=，sin aQG QN α===，因为NQ PT ⊥，NR PT ⊥，所以二面角Q PT R --的平面角为2QNR α∠=， 21cos 212sin 3αα=-=，所以2α与2θ、2γ都互补，于是把正四面体QPTR 和正八面体AEFBHC 拼接起来后，相邻面共面，所以新多面体为7面体．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>长轴长为4，离心率3e =(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()1,0M 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求||||MA MB ⋅的取值范围. 【答案】(1)2214x y +=(2)3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据长轴长和离心率列出方程组求解；(2)根据2222222112212||||(1)(1)(1)||MA MB x y x y m y y ⋅=-+-++围.【详解】（1）由题可得222243a ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）当直线l 的斜率为0时，则可得直线l 为x 轴，可得(2,0),(2,0)A B -，||||313MA MB ⋅=⨯=，当直线l 的斜率不为0时，设直线1122:1,(,),(,)l x my A x y B x y =+，联立22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得22(4)230,m y my ++-=则12122223,,44m y y y y m m -+==-++ 所以22221122||||(1)(1)MA MB x y x y ⋅-+-+ 22222122223(1)3(4)99(1)||3444m m m y y m m m ++-=+===-+++，因为244m +≥，所以2990,44m ⎛⎤∈⎥+⎝⎦，所以2933,344m ⎡⎫-∈⎪⎢+⎣⎭，综上3||||,34MA MB ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦.22．如图平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC ，90C ∠=︒，，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，13BD DC =，ABC 的周长为12，若双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．.(1)求双曲线E 的渐近线方程；(2)若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP PN λ=，问在x 轴上是否存在定点G ，使()BC GM GN λ⊥-？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)3y x = (2)存在，定点1,0G m ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）设出双曲线方程，由双曲线定义和题干条件得到2AB AC a -=，124AB AC a +=-，222216AB AC BC a -==，2c a =，求出a ，b ，由此能求出双曲线E 的方程，从而求出其渐近线方程．（2）设在x 轴上存在定点(),0G t ，直线的方程为()()1122,,,,x m ky M x y N x y -=，由MP PN λ=，得120y y λ+=，由()BC GM GN λ⊥-得到()12ky m t ky m t λ+-=+-，两式联立得()()121220ky y m t y y +-+=，联立直线方程和2213y x -=，得到两根之和，两根之积，代入()()121220ky y m t y y +-+=中，求出1t m=，从而求出定点G 的坐标.【详解】（1）解：设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0)B c -，(a,0)D ，(,0)C c ．由13BD DC =，得()3c a c a +=-，即2c a =. 由双曲线定义可知：2AB AC a -=①，因为ABC 的周长为12，所以124AB AC a +=-②，解得6AB a =-，63AC a =-，因为90C =∠，所以222216AB AC BC a -==，即()()22266316a a a ---=，解得1a =，∴2c =，b =∴双曲线E 的方程为2213y x -=，则双曲线E的渐近线方程为y =．（2）解：设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-．因为直线与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点，所以直线的斜率不为0，设直线l 的方程为x m ky -=，11(,)M x y ，22(,)N x y ．由MP PN λ=，得120y y λ+=．即12y y λ=-①，(4,0)BC =，1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-，∴12()()BC GM GN x t x t λλ⊥-⇔-=-．即12()ky m t ky m t λ+-=+-②．把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+=③，把x m ky -=代入2213y x -=，并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-=，其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠且2231k m +>．所以122631km y y k -+=-，21223(1)31m y y k -=-．代入③得2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，化简得kmt k =．当1t m=时，上式恒成立．因此，在x 轴上存在定点1,0G m ⎛⎫⎪⎝⎭，使()BC GM GN λ⊥-．【点睛】圆锥曲线定点定值问题，设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况，本题中由于直线P m，故用含y的式子来表达x，计算上是更为简单，此时考虑的是直线斜率为0和不为0两l过点(),0种情况.第 21 页共 21 页。

湖北省高二上册期末数学文科试题与答案

湖北省高二上册期末数学文科试题与答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.用秦九韶算法求多项式当时的值，有如下说法：①要用到6次乘法；②要用到6次加法和15次乘法；③v3＝12；④v0＝11．其中说法正确的是A. ①③B. ①④C. ②④D. ①③④【答案】A根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，把等到价转化为，就能求出结果．解：需做加法与乘法的次数都是6次，，，，，的值为12；其中正确的是①④故选：A．本题考查算法的多样性，正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的关键,属于基础题．2.把[0，1]内的均匀随机数x分别转化为[0，2]和内的均匀随机数y1，y2，需实施的变换分别为( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C先看区间长度之间的关系：故可设或，再用区间中点之间的对应关系得到，解出，问题得以解决．解：将[0,1]内的随机数x转化为[0,2]内的均匀随机数，区间长度变为原来的2倍，因此设=2x+(是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当时，=1，所以，可得=0，因此x与的关系为：=2x；将[0,1]内的随机数x转化为[-2,1]内的均匀随机数，区间长度变为原来的2倍，因此设=3x+(是常数)，再用两个区间中点的对应值，得当时，=，所以，可得，因此x与的关系为：=3x-2；故选C.本题考查均匀随机数的含义与应用，属于基础题．解决本题解题的关键是理解均匀随机数的定义，以及两个均匀随机数之间的线性关系．3.抛物线的准线方程是，则的值为（）A. B. C. 8 D. -8【答案】B方程表示的是抛物线,，，抛物线的准线方程是，解得，故选A.4.执行如图所示的程序框图，若输出n的值为9，则判断框中可填入( )A. B. C. D.【答案】D执行程序框图，根据输出，可计算的值，由此得出判断框中应填入的条件．解：执行程序框图，可得该程序运行后是计算，满足条件后，输出，由此得出判断框中的横线上可以填入？．故选：D．本题主要考查了程序框图的应用问题，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题.5.将二进制数110 101(2)转化为十进制数为( )A. 106B. 53C. 55D. 108【答案】B由题意可得110101(2)=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=53.选B。

2022-2023学年湖北省区域高二上册期末数学联考质量检测试题(含解析)

2022-2023学年湖北省区域高二上册期末数学联考质量检测试题一、单选题1．椭圆2211612y x +=的焦距是（）A ．16B ．8C ．2D ．4【正确答案】D【分析】根据椭圆方程求出,,a b c 的值，即可得焦距2c .【详解】由2211612y x +=可得216a =，212b =，所以22216124c a b =-=-=，可得2c =，所以焦距24c =，故选.D2．在等差数列{}n a 中，267,25a a ==，则4a =（）A ．14B ．16C ．18D ．28【正确答案】B【分析】利用等差数列等差中项求解即可.【详解】因为等差数列{}n a 中，267,25a a ==，624162a a a +==，故选.B3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率e =，则其渐近线的方程为（）A ．2y x =±B．y =C．y =D ．12y x =±【正确答案】A【分析】利用双曲线的离心率和性质求解即可.【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率e =，所以由222ca c a b⎧⎪⎨⎪=+⎩得2225a a b =+，所以2ba=，即渐近线方程为2y x =±，故选：A4．已知圆的方程为2260x y x +-=，过点(1,2)的该圆的所有弦中，最短弦的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】计算出圆的圆心()3,0A 和半径，设()1,2B ，由几何性质得到当AB 与圆的弦垂直时，弦最短，利用垂径定理求解出最短弦长.【详解】2260x y x +-=整理为()2239x y -+=，故圆心为()3,0A ，半径为3r =，设()1,2B ，故当AB 与圆的弦垂直时，弦最短，其中AB ==，由垂径定理得.22⨯故选：B5．设m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A ．若m α⊂，n β⊂，αβ∥,则m n ∥B ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥C ．若m α∥，n β∥，αβ⊥，则m n ⊥D ．若m α⊂，n β⊂，m β∥，n α∥，则αβ∥【正确答案】B【分析】根据面面平行性质可说明,m n 可能异面可能平行，判断A;利用平面的法向量的关系可判断B;根据m α∥，n β∥，αβ⊥，可判断,m n 可能平行，不一定垂直，判断C;根据面面平行的判定可判断D.【详解】对于A ，若m α⊂，n β⊂，αβ∥，则,m n 可能异面可能平行，A 错误；对于B ，若m α⊥，n β⊥，则可在直线m 上取向量m作为平面α的法向量，可在直线n 上取向量n作为平面β的法向量，因为m n ⊥，故,0m n m n ⊥∴⋅=，所以αβ⊥，B 正确；对于C ，若m α∥，n β∥，αβ⊥，则,m n 可能平行，不一定垂直，C 错误；对于D,若m α⊂，n β⊂，m β∥，n α∥，由于,m n 可能是平行直线，此时,αβ可能相交，D 错误，故选：B.6．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1AB =，2AD =，13AA =，M 为11B C 的中点，则AM 的长等于（）A 11B 10C ．3D 7【正确答案】A【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，由向量模长的坐标运算可求得AM .【详解】以A 为坐标原点，1,,AB AD AA正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()11,0,3B ，()11,2,3C ，()1,1,3M ∴，()1,1,3AM ∴=，22211311AM ∴=++=，即AM 11故选：A.7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，过点1F l 与C 在x轴上方的交点为A ．若112AF F F =，则C 的离心率是（）A ．23B ．2C ．2D ．3【正确答案】A【分析】根据12AF F ∠的正切值，求出12AF F ∠的余弦值，在12AF F △用余弦定理求出2AF 用c 表示，再求解.【详解】设12,AF F α∠=则7tan 78αα==，又1122AF F F c ==，在12AF F △中，由余弦定理得：222227442228AF c c c c c=+-⋅⋅⋅=211223e 3c AF c a AF AF c a ∴=∴=+=∴==故选：A8．17世纪法国数学家费马在著作中证明，方程222(0,1,0)a x ky k k a -=>≠≠表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质若从椭圆上任意一点P （异于A ，B 两点）向长轴AB 引垂线，垂足为Q ，记2||||||PQ M AQ BQ =⋅，则（）A ．方程222(0,1,0)a x ky k k a -=>≠≠表示的椭圆的焦点落在x 轴上B ．e =C ．M 的值与P 点在椭圆上的位置无关D ．M 越来越小，椭圆的离心率越来越小【正确答案】C【分析】对选项A ，根据椭圆的定义即可判断A 错误，对选项B ，根据题意得到e =B 错误，对选项C ，分别讨论焦点在x 轴和y 轴的情况，即可判断C 正确，对选项D ，根据e =可判断D 错误.【详解】对选项A ，方程222(0,1,0)a x ky k k a -=>≠≠，化简为22221(0,1,0)x y k k a a a k+=>≠≠.当01k <<时，则22aa k >，方程22221x y a a k+=表示焦点在y 轴的椭圆，故A 错误.对选项C ，设(),P x y ，椭圆的焦点在x 轴上，22PQ y =，()()22AQ BQ x a a x a x ⋅=+-=-，2221y M a x k==-，因为1M k=为常数，所以M 的值与P 点在椭圆上的位置无关.设(),P x y ，椭圆的焦点在y 轴上，22PQ x =，22a AQ BQ y y y k ⎛⎫⋅=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，222x M k a y k==-，因为M k =为常数，所以M 的值与P 点在椭圆上的位置无关，故C 正确.对选项B ，当椭圆22221x y a a k+=的焦点在x 轴时，1M k=，e =当椭圆22221x y a a k+=的焦点在y 轴时，M k =，所以e =综上e =B 错误.对选项D，因为e =M 越来越小，椭圆的离心率越来越大，故D 错误.故选：C二、多选题9．已知数列，则下列说法正确的是（）A ．此数列的通项公式是n a =B ．是它的第23项C ．此数列的通项公式是n a =D ．是它的第25项【正确答案】AB【分析】根据已知条件求得数列的通项公式，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】数列，所以n a =A 选项正确，C 选项错误.23a ==，B 选项正确，257a =，D 选项错误.故选：AB10．已知圆221:66140C x y x y +-++=和圆222:2150C x y y +--=，则（）A ．125C C =B ．圆1C 半径是4C ．两圆相交D ．两圆外离【正确答案】AC【分析】先根据配方法确定两个圆的圆心和半径，再根据圆心距和半径的关系即可判断两圆的位置.【详解】对于B ，因为圆221:66140C x y x y +-++=，所以圆1C 的标准方程为22(3)(3)4x y -++=，圆心为()13,3C -，半径为12r =，故B 错误；对于A ，因为圆222:2150C x y y +--=，所以圆2C 的标准方程为22(1)16x y +-=，圆心为()20,1C ，半径为24r =，所以125C C ==，故A 正确；对于CD ，因为211212r r C C r r <<+-，所以两圆相交，故C 正确，D 错误.故选：AC.11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线=1x -与x 轴相交于点K ，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于P Q ､两点，且P Q ､两点在准线上的投影点分别为M N ､，则下列结论正确的是（）A ．2p =B ．PQ 的最小值为4C ．2||MN PF QF为定值12D ．PKF QKF∠∠=【正确答案】ABD【分析】由焦点到准线的距离可得p 的值，进而求出抛物线的方程，可判断A 正确；设直线MN 的方程与抛物线的方程联立，求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长PQ 的表达式，再由参数的范围可得其最小值，判断B 正确；分别表示出,,MN PF QF 可判断C 不正确；表示出111PK y k x =+，221PQ y k x =+，由+0PK KQ k k =可判断D 正确．【详解】对于A ，因为抛物线2:2(0)C y px p =>的准线=1x -，所以12p=，则2p =，故A 正确；对于B ，抛物线2:4C y x =，过焦点的直线为1x my =+，则214x my y x =+⎧⎨=⎩，整理可得2440y my --=，设()()1122,,,P x y Q x y ，可得124y y m +=，124y y ⋅=-，21212()242x x m y y m +=++=+，221212116y y x x ==所以212244PQ x x m =++=+，当0m =时取等号，||PQ 最小值为4，所以B 正确；对于C ，12MN y y =-==121,1,PF x QF x =+=+所以()()212121211144,PF QF x x x x x x m ⋅=++=+++=+所以()()222161||441m MN PF QF m +==+，所以C 不正确；对于D ，()()()1122,,,,1,0P x y Q x y K -，111PK y k x =+，221PQ y k x =+，()()()()()()222112122112121212+1+1+1+144++==1+11+11+1PK KQy y y y y x y x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+++()()()()()2221121212121212121+++4441+11+1y y y y y y y y y y y y x x x x +++==++()214444044m m m -⋅+==+所以PKF QKF ∠∠=，故D 正确.故选：ABD.12．很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的．下列结论正确的有（）A．该半正多面体的表面积为48+B ．AG ⊥平面BCDGC ．点B 到平面ACDD ．若E 为线段BC 的中点，则异面直线DE 与AF 所成角的余弦值为10【正确答案】BCD【分析】将该半正多面体补成正方体，即可求出正方体的棱长，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】解：将该半正多面体补成正方体，因为该半正多面体的棱长为，所以正方体的棱长为4，所以该几何体的表面积为(21684822⨯+⨯⨯⨯⨯=+A 错误；建立如图所示空间直角坐标系，则()4,2,0A ，()2,0,4B ，()0,2,4C ，()2,4,4D ，()4,2,4G ，()4,4,2F ，所以()0,0,4AG =，()2,2,0BC =- ，()2,2,0BG = ，所以0AG BC ⋅= ，0AG BG ⋅=，即AG BC ⊥，AG BG ⊥，BC BG B = ，,BC BG ⊂平面BCDG ，所以AG ⊥平面BCDG ，故B 正确；()4,0,4AC =- ，()2,2,4AD =- ，()2,2,4AB =--，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =，所以00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4402240x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩，所以()1,1,1n =- ，则点B 到平面ACD的距离n AB d n⋅==，故C 正确；若E 为线段BC 的中点，则()1,1,4E ，所以()1,3,0DE =-- ，()0,2,2AF =，则异面直线DE 与AF所成角的余弦值cos ,DE AF DE AF DE AF⋅==⋅ D正确；故选：BCD三、填空题13．若直线2610x y +-=与直线270-+=mx y 垂直，则m =_____________．【正确答案】6【分析】根据直线11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=垂直满足12120A A B B +=求解.【详解】因为直线2610x y +-=与直线270-+=mx y 垂直所以()26206m m ⋅+⨯-=∴=故614．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S a =，212a a -=，则5a =_____．【正确答案】9【分析】根据等差数列的性质求出11a =，再根据其通项即可得出5a .【详解】解：等差数列{}n a 中，35S a =，212a a -=，所以253a a =，且2d =，即11334a d a d +=+，所以12a d =，解得1112122a d ==⨯=，所以5141429a a d =+=+⨯=，故9.15．已知A ，B 是平面上的两定点，||2AB =，动点M 满足||120||MA CAB MB =∠=︒，动点N 在直线AC 上，则MN 距离的最小值为___________．【正确答案】【分析】以A 为原点建立平面直角坐标系，根据定义可得点M 的轨迹是以()4,0为圆心，MN 距离的最小值为圆心()4,0到直线的距离减去半径.【详解】如图，以A 为原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则()()0,0,2,0A B ，设动点(),M x y ，则由MA MB=()2248x y -+=，故点M 的轨迹是以()4,0为圆心，易得直线AC的方程为y=，则由图可知MN距离的最小值为圆心()4,0到直线的距离减去半径，=所以MN距离的最小值为-.故选：C.16．已知P是椭圆()221112211:10x yC a ba b+=>>和双曲线()222222222:10,0x yC a ba b-=>>的交点，1F，2F是1C，2C的公共焦点，1e，2e分别为1C，2C的离心率，若122π3F PF∠=，则1211e e⋅的取值范围为______．【正确答案】()0,1【分析】根据椭圆与双曲线的定义把12,PF PF用12,a a来表示，然后在12PF F△中用余弦定理求出12,e e 的关系，然后再用函数求解.【详解】设12,PF m PF n==因为点P在椭圆上，所以12m n a+=①又因为点P在双曲线上，所以22m n a-=②则①+②得12m a a =+；①-②12n a a =-在12PF F △中由余弦定理得：2221222cos3F F m n mn π=+-即()()()()222121212121422c a a a a a a a a ⎛⎫=++--+-- ⎪⎝⎭即2221243c a a =+，即22122234a a c c =+即2212314e e =+所以22212114131,43e e e <<=-，令211413t e <=<，则()2222212111113=4340,1t t e e e e ⎛⎫⋅-=-+∈ ⎪⎝⎭所以()12110,1e e ⋅∈.故答案.()0,1四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为593,2,57n S a a S +=-=．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求n S ，并求n S 的最大值．【正确答案】(1)274n a n=-(2)78【分析】（1）5932,57a a S +=-=化成1,a d 的方程组解决.（2）求出n S ，判断单调性，求最值.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则59111482122a a a d a d a d +=+++=+=-，()()132321332335722a a a S a a d +⨯====+=()()1123,4,12341274n a d a a n d n n∴==-=+-=-⋅-=-（2）()()21123212522n n n S na n n n n n-∴=+=--=-()()22125121252214n n S S n n n n n+-=+-+-+=-当5n ≤时，10n n S S +->，当6n ≥时，10n n S S +-<所以()26max 2562678n S S ==⨯-⨯=18．已知抛物线2:2(0)C y px p =<过点(2,4)A --．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60︒的直线，交抛物线于A 、B 两点，求线段AB 的长度．【正确答案】(1)28y x =-，2x =(2)323【分析】（1）将A 点代入抛物线方程即可求得C 的方程，由抛物线方程可得准线方程；（2）设):2AB y x =+，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果.【详解】（1）()220y px p =< 过点()2,4A --，416p ∴-=，解得：4p =-，∴抛物线2:8C y x =-，准线方程为：2x =（2）由（1）知：抛物线焦点为()2,0-，因为直线倾斜角为60︒，所以设直线):2AB y x =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由)228y x y x⎧=+⎪⎨=-⎪⎩得：2320120x x ++=，12203x x ∴+=-，122032433AB x x p ∴=++=--=.19．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1DD 的中点，F 为线段1BB 的中点.(1)求直线1FC 与直线1B E 的所成角的余弦值；(2)求点F 到平面1AB E 的距离.【正确答案】(2)13【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线1FC 与直线1B E 的所成角的余弦值.（2）利用向量法求得点F 到平面1AB E 的距离.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，()()111111111,1,,,0,1,1,1,0,,1,1,1,0,0,,1,1,2222F C FC B E B E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，设直线1FC 与直线1B E 的所成角为θ，所以1111114cos 5FC B E FC B E θ-⋅=⋅ .（2）()11111,1,,1,1,1,0,0,22F B FB ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()()1111,0,0,0,0,,1,0,,0,1,122A E AE AB ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面1AB E 的法向量为(),,n x y z = ，11020n AE x z n AB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，故可设()1,2,2n =- .设F 到平面1AB E 的距离为d ，则113n FB d n⋅== .20．如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O 岛2B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C 经过O 、A 、B三点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30︒方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东60︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【正确答案】(1)2220600x y x y +--=(2)该船没有触礁的危险【分析】（1）由图中坐标系得,,A B O 坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程；（2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得．【详解】（1）如图所示，(40,40)(20,0)A B 、，设过O 、A 、B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，得：222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20,60,0D E F =-=-=，故所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=，圆心为(10,30)C ，半径1010r =（2）该船初始位置为点D ，则(20,D --，且该船航线所在直线l故该船航行方向为直线30l y --=，由于圆心C 到直线l 的距离1)d =+>故该船没有触礁的危险21．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．(1)求BC ；(2)求二面角A PM B --的余弦值．【正确答案】(2)14【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用0PB AM ⋅= 求得BC .（2）利用向量法求得二面角A PM B --的余弦值.【详解】（1）PD ⊥ 平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，所以,PD AD PD CD ⊥⊥，四边形ABCD 为矩形，AD CD ⊥，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系D xyz -，设2BC a =，则()0,0,0D 、()0,0,1P 、()2,1,0B a 、(),1,0M a 、()2,0,0A a ，则()2,1,1PB a =- ，(),1,0AM a =- ，PB AM ⊥ ，则2210PB AM a ⋅=-+= ，解得a =2BC a =；（2）设平面PAM 的法向量为()111,,m x y z =，则,1,02AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()AP = ，由111100m AM x y m AP z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，取1x =，可得)m = ，设平面PBM 的法向量为()222,,x n y z =，BM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()1,1BP =- ，由2222020n BM x n BP y z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，取21y =，可得()0,1,1n = ，设二面角A PM B --的平面角为θ，则cos m n m n θ⋅=⋅ ，由图可知，二面角A PM B --为锐角，所以二面角A PM B --.22．已知圆2221:2140(1)F x y x a a +++-=>和定点2(1,0)F ，P 是圆1F 上任意一点，线段2PF 的垂直平分线交1PF 于点M ，设动点M 的轨迹为曲线E ，且曲线E与直线y =(1)求曲线E 的方程；(2)若过点(0,2)且斜率为k 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值．【正确答案】(1)22143x y +=【分析】（1）根据椭圆的定义求得曲线E 的方程，（2）求得三角形OAB 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最大值.【详解】（1）由题意圆2221:(1)4(1)F x y a a ++=>，故圆心1(1,0)F -，半径22r a =>；∵点2(1,0)F 且线段2PF 的垂直平分线交1PF 于点M ；∴21,2MF MP MF MP a =+=；∴121222MF MF a F F +=>=；∴动点M 的轨迹曲线E 是以12F F 、，为焦点，2a 为长轴的椭圆；∴曲线2222:1(1)1x y E a a a +=>-；∵曲线E与直线y =(221a -=，2a =；∴曲线22:143x y E +=；（2）依题直线:2l y kx =+；则由()22222341640143y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩；∵()2221644340k k ∆=-⨯⨯+>；∴21142k k >⇒<-或12k >；设()()1122,,,A x y B x y ∵121222164,3434k x x y y k k -+=+=++∴AB =；==原点O 到直线l 的距离d =∴11||22OABS d AB=⨯⨯=△===≤=当且仅当()()22164141kk -=-即k =∴OAB。

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