《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步(平面向量的坐标及其运算) 图文
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第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
平面向量的基本定理及坐标表示 课件
d
a AB (4,5) (2,2) (2,3)
yj
a (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作
j
x a (x, y)
O
x叫做 a 在x轴上的坐标，
i xi
y叫做 a 在y轴上的坐标，
正交单位
基底
(1)向量
i ,
j
方向 与
(x,y)叫做向量的坐标表示.
x 轴y轴同向,且 i 1,0 j 0,1
i j 1, i 与j垂直
a （2）对于给定向量 ,必有一对实数（x,y）与它对应；
思考？ 在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
平面向量的正角分解及坐标表示.
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力
为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力
为F2，这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
物理背景:
F1
向量的
G
F2
正交分解
三.平面向量的正角分解及坐标表示.
y
a xi +y j
一、平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的 一组基底 .
说明： 1、把不共线的非零向量 e1,e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.
两个非零向量 a，b
B
b
AOB 叫做向量
O aA
a 和 b 的夹角．注意:同起点
夹角的范围：(0 180 ) B
a
ObB
0
a
6.3平面向量及运算的坐标表示课件(人教版)
（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关。（ ） （4）向量（2，3）与向量（-4，-6）同向。（ ）
【提示】（1）×。对于同一个向量，无论位置在哪里， 坐标都一样。 （2）√。根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终 点与始点坐标之差等于终点坐标。 （3）×。根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两 向量的顺序有关。
2
线，则C的坐标可以是（ ）
A.（-9，1） B.（9，-1）
C.（9，1）
D.（-9，-1）
【思维·引】设出点C的坐标，因为A，B，C三点共线， 写出向量 AB,AC（或 BC），由向量共线的条件结合选项 求解。
【解析】选C。设点C的坐标是（x，y），
【内化·悟】 1.由共线的坐标条件求参数的解题步骤是怎样的？ 提示：（1）分别写出共线的两个向量的坐标。 （2）通过共线条件列出方程（组）。 （3）解方程（组）求出参数。
2.如何判断共线的向量u与v是同向还是反向？ 提示：写成u=λv的情势，若λ>0，同向，若λ<0，反向。
角度3 三点共线问题 【典例】已知A（1，-3），B (8，1 )，且A，B，C三点共
量 AB共线的单位向量是（ ）
A.(3， 4) C.(6，8)
B.( 3，4 ) 55
D.( 4， 3 ) 55
【思维·引】利用向量共线的坐标表示判断。 【解析】选B。因为AB =（7，-3）-（4，1）=（3，-4）， 由向量共线的条件可知，A，B，C选项中的向量均与AB共 线，但A，C中向量不是单位向量。
因为A（0，1），AC=（-3，-3），
所以
x y
3, 1 3,
解得
x y
3, 2,
所以点C的坐标为（-3，-2）。又B（3，2），所以BC=（-
2 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
答案：(1，5)
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第五章 平面向量、复数
8
3．(必修 4P119A 组 T9 改编)已知向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共
线，则mn ＝________．
解析：由向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)， 得 ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由 ma＋nb 与 a－2b 共线， 得2m4－n＝3m－＋12n，所以mn ＝－12. 答案：－12
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第五章 平面向量、复数
7
2．(必修 4P97 例 5 改编)已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点 D 的坐标为________． 解析：设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即41＝ ＝56－ －xy，，解得xy＝＝51.，
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第五章 平面向量、复数
18
平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量 的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论 表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
3 (2)4
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第五章 平面向量、复数
16
1．(变问法)在本例(2)中，试用向量A→B，A→C表示C→P.
解：因为C→P＝23C→A＋13C→B， 所以 3C→P＝2C→A＋C→B，即 2C→P－2C→A＝C→B－C→P， 2A→P＝P→B，所以A→P＝13A→B， C→P＝A→P－A→C＝13A→B－A→C.
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第五章 平面向量、复数
8
3．(必修 4P119A 组 T9 改编)已知向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共
线，则mn ＝________．
解析：由向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)， 得 ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)． 由 ma＋nb 与 a－2b 共线， 得2m4－n＝3m－＋12n，所以mn ＝－12. 答案：－12
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第五章 平面向量、复数
7
2．(必修 4P97 例 5 改编)已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点 D 的坐标为________． 解析：设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即41＝ ＝56－ －xy，，解得xy＝＝51.，
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第五章 平面向量、复数
18
平面向量基本定理应用的实质和一般思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量 的加、减或数乘运算． (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论 表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
3 (2)4
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第五章 平面向量、复数
16
1．(变问法)在本例(2)中，试用向量A→B，A→C表示C→P.
解：因为C→P＝23C→A＋13C→B， 所以 3C→P＝2C→A＋C→B，即 2C→P－2C→A＝C→B－C→P， 2A→P＝P→B，所以A→P＝13A→B， C→P＝A→P－A→C＝13A→B－A→C.
平面向量的基本定理和坐标表
04 平面向量的应用
向量在物理中的应用
01
02
03
力的合成与分解
通过向量加法和减法，可 以表示和计算物体受到的 合力或分力。
速度和加速度
在运动学中，速度和加速 度可以用向量表示，从而 描述物体在平面或空间中 的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，表示力对 物体转动效果的量度，可 以用向量表示。
向量在解析几何中的应用
向量的模
向量的模是指向量的大小或长度，用符号 $|overrightarrow{a}|$ 表示。
向量的模的计算公式为 $|overrightarrow{a}| = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
向量的模具有一些重要的性质，如 $|overrightarrow{a} + overrightarrow{b}| leq |overrightarrow{a}| + |overrightarrow{b}|$， 这是向量的三角不等式。
三角形法则
总结词
三角形法则是指向量加法可以通过三角形法则来表示，即向量加法可以通过作一个三角形来表示。
详细描述
三角形法则指出，对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$，可以作 一个三角形，其中$overset{longrightarrow}{a}$和$overset{longrightarrow}{b}$分别是三角形的两个边，而 这两个边的和就是三角形的第三边，即$overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}$。
向量加法的性质
人教高中数学必修二B版《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步说课教学课件复习(向量基本定理)
课件 课件
课件
课件
和 e1＋ke2
共线？
解：设 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线， 所以存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
因为 e1 与 e2 不共线，所以只能有kλ－kλ－＝10＝，0，则 k＝±1.
栏目 导引
第六章 平面向量初步
用基底表示向量
＝a－23b.
第六章 平面向量初步
栏目 导引
第六章 平面向量初步
直线的向量参数方程式的应用
已知平面内两定点 A，B，对该平面内任一动点 C，总
课件
课件
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课件
课件
课件
课件
个人简历：课件/j ia nli/
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课件
手抄报：课件/shouchaobao/
课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
课件 课件
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栏目 导引
第六章 平面向量初步
4．直线上向量的运算与坐标的关系
假设直线上两个向量 a，b 的坐标分别为 x1，x2，即
a＝x1e，b＝x2e，则 a＝b⇔__x_1_＝__x_2___; a＋b＝_(_x_1＋__x_2_)_e__．
课件
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个人简历：课件/j ia nli/
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个人简历：课件/j ia nli/
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D→F＝D→E＋E→F＝－16b＋13b－a＝16b－a. 课件
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
高中数学 第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
结 束
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2， 所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2． 2 m＝3， m－n＝1， 由平面向量基本定理，得 所以 2m＋n＝1， n＝－1. 3 2 答案： 3 1 － 3
课堂·考点突 课后·三维演
λ1e1＋λ2e2 λ1，λ2，使a＝___________.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组 基底 ．
课前·双基落实 课堂·考点突 课后·三维演
平面向量的基本定理及坐标表示
2．平面向量的坐标运算
结 束
(x1＋x2，y1＋y2) 2 (λx1，λy1) x2 ＋ y 1 1
结 束
―→ ―→ ―→ ―→ 1―→ 1 1 解：∵ BA ＝ OA － OB ＝a－b， BM ＝ BA ＝ a－ b， 6 6 6 ―→ ―→ ―→ 1 5 ∴ OM ＝ OB ＋ BM ＝ a＋ b． 6 6 ―→ ―→ ―→ 1―→ ∵ OD ＝a＋b， ∴ ON ＝ OC ＋ CD 3 1―→ 1―→ 2―→ 2 2 ＝ OD ＋ OD ＝ OD ＝ a＋ b， 2 6 3 3 3 ―→ ―→ ―→ 2 2 1 5 1 1 ∴ MN ＝ ON － OM ＝ a＋ b－ a－ b＝ a－ b． 3 3 6 6 2 6 ―→ 1 ―→ 1 5 ―→ 2 2 1 综上， OM ＝ a＋ b， ON ＝ a＋ b， MN ＝ a－ b． 6 6 3 3 2 6
课前·双基落实 课堂·考点突 课后·三维演
平面向量的基本定理及坐标表示
结 束
[谨记通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示 为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题 带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理， 如“题组练透”第2题．
2015届广东高考数学(理)一轮课件【5.2】平面向量的基本定理及向量坐标运算
D(－2,3)，
→ ＋2BD → －3BC →； (1)求AD → ＝(－2－2,3－1)＝(－4,2)， BD → → → ＝3CA →， (2)设CM ，CN＝－2BC → → 及 M、N 点的坐标． 求MN
BC＝(3－2,2－1)＝(1,1)，
→ ＝(－2－1,3＋2)＝(－3,5)， ∴AD
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 平面向量的坐标运算
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 已知 A(1， －2)， B(2,1)， C(3,2)，D(－2,3)， → ＋2BD → －3BC →； (1)求AD → → → ＝3CA →， (2)设CM ，CN＝－2BC → 及 M、N 点的坐标． 求MN
→， → 为一 根据题意可选择AB AC → ， CP → 线性表 组基底，将 CM → ＝tCP → 建立 示出来，通过CM 关于 t 的方程组，从而求出 t 的值．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】
在△ABC 中，点 P 2→ → 是 AB 上一点， 且CP＝ CA＋ 3 1→ CB，Q 是 BC 的中点，AQ 3 →＝ 与 CP 的交点为 M，又CM → ，试求 t 的值． tCP
→ |＝y，|PN → |＝x， 解析 设|BP 1→ x → → → → 则AP＝AN＋NP＝4AC－ BN， x＋y y → → → → → AP＝AB＋BP＝AB＋ BN， x＋y x → y → → ①×y＋②×x 得AP＝ AB＋ AC， x＋y 4x＋y y 2 8 3 令 ＝ ，得 y＝ x，代入得 m＝ . 3 11 4x＋y 11
→ ＋2BD → －3BC →； (1)求AD → ＝(－2－2,3－1)＝(－4,2)， BD → → → ＝3CA →， (2)设CM ，CN＝－2BC → → 及 M、N 点的坐标． 求MN
BC＝(3－2,2－1)＝(1,1)，
→ ＝(－2－1,3＋2)＝(－3,5)， ∴AD
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 平面向量的坐标运算
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 已知 A(1， －2)， B(2,1)， C(3,2)，D(－2,3)， → ＋2BD → －3BC →； (1)求AD → → → ＝3CA →， (2)设CM ，CN＝－2BC → 及 M、N 点的坐标． 求MN
→， → 为一 根据题意可选择AB AC → ， CP → 线性表 组基底，将 CM → ＝tCP → 建立 示出来，通过CM 关于 t 的方程组，从而求出 t 的值．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 平面向量基本定理的应用
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】
在△ABC 中，点 P 2→ → 是 AB 上一点， 且CP＝ CA＋ 3 1→ CB，Q 是 BC 的中点，AQ 3 →＝ 与 CP 的交点为 M，又CM → ，试求 t 的值． tCP
→ |＝y，|PN → |＝x， 解析 设|BP 1→ x → → → → 则AP＝AN＋NP＝4AC－ BN， x＋y y → → → → → AP＝AB＋BP＝AB＋ BN， x＋y x → y → → ①×y＋②×x 得AP＝ AB＋ AC， x＋y 4x＋y y 2 8 3 令 ＝ ，得 y＝ x，代入得 m＝ . 3 11 4x＋y 11