2014线代典型

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线性代数第一章行列式(2014版)

主要内容
1. 行列式的概念与计算； 2. 矩阵; 3. 线性方程组解的结构与向量空间Rn; 4. 方阵的特征值与特征向量; 5. 二次型及其标准形.
教材： “线性代数” 居余马等编参考书:
1、《线性代数》同济大学编 2、《线性代数习题与解析》湛少锋编
教学安排：共54学时
学习方法：
因今后的工作中用到更多的知识不可能在大学中都学习到，因此在学习过程中不但要学会应学的知识外，还必须培养自己的读书能力。
21 3. 7
二、三阶行列式
对三元线性方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
将方程组的第一、第二、第三个方程分别乘：
a22a33 a23a32 ; a13a32 a12a33 ; a12a23 a13a22
学习“线性代数”时请注意：
• 你可以完成学习任务，但需要努力！ • 本课程与“高等数学”不同，它更注重
演绎推理； • 在学习第三章时，你可能会遇到困难； • 必须按时完成作业，这对你能否最终完
成学习任务很重要。
二（三）阶行列式排列与逆序
行列式概念的形成（定义）
n 阶行列式的定义
行列式的性质
行列式的基本性质及计算方法
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 b1 a13
得
D2 a21 b2 a23 ,
a31 b3 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;

2014级线代试题及解答

线性代数期末试题一、填空题（每小题3分，共15分）1．设3阶矩阵A 与B 相似，且B 的特征值为1,2,2，则14A E --=2．若四阶行列式的第1行元素依次为1,0,2,,a - 第3行元素的余子式依次为5,6,4,1,-则a =_________3．若向量组1(,1,1,1)T αλ=，2(1,,1,1)T αλ=，3(1,1,,1)T αλ=，4(1,1,1,)T αλ=，其秩为3，则 λ=4．设方阵A 满足方程2(0),A bA cE O c ++=≠ E 为单位矩阵，则=-1A5. 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A 和B 都是n 阶方阵, 下列正确的是( )（A ） 222()2A B A AB B +=++ （B ）111()A B A B ---+=+（C ）若0AB =, 则0A =或0B = （D ）()T T T AB A B =2．设,,A B C 均为n 阶方阵，且AB BC CA E ===. 则222A B C ++=（）（A ） 3E （B ） 2E （C ） E （D ） 03．设βααα,,,321均为n 维向量，又βαα,,21线性相关，βαα,,32线性无关，则下列正确的是（）（A ）321,,ααα线性相关（B ）321,,ααα线性无关（C ）1α可由βαα,,32线性表示（D ）β可由21,αα线性表示4．设A 和B 都是n 阶非零方阵, 且0AB =, 则A 的秩必( )（A ）等于n （B ）小于n （C ）大于n （D ）不能确定5．设n 阶矩阵A 的伴随阵为12340,,,,A ηηηη*≠是非齐次线性方程组Ax b =的互不相等的解向量, 则0Ax = 的基础解系向量个数为 ( )（A ）不确定（B ）3个（C ）2个（D ）1个三、（10分）已知2AB A B =+，其中110011101A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求B 四、（12分）设向量组1(2,1,4,3)T α=，2(1,1,6,6)T α=--，3(1,2,2,9)T α=---，4(1,1,2,7)T α=-，5(2,4,4,9)T α=. 求该向量组的最大无关组向量，并把其余向量用最大无关组向量线性表示.五、（13分）设矩阵433231213A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1.求A 的特征值与特征向量；2. 判断A 是否可以对角化，并说明理由.六、（15分）讨论λ取何值时, 线性方程组1231232123244x x x x x x x x x λλλ-+=-⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩1.有惟一解；2. 无解；3.有无穷多个解, 并求其通解.七、（10分）设123,,ααα均为三维列向量，矩阵123(,,)A ααα=，且1A =. 若123123123(,23,34)B ααααααααα=++++++ ，计算B .八、（10分）设0ξ是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12,,,n r -ξξξ 是对应的齐次线性方程组的基础解系. 证明：向量001010,,,n r n r --==+=+ηξηξξηξξ是非齐次线性方程组Ax b =线性无关的解向量.线性代数解答一、填空题1. 3 ;2. -3 ; 3 -3 ; 4. A bEc+-; 5. 2 二、单项选择题1. C;2. A;3. C;4. B;5. D三、(2)A E B A += ⇒ 1(2)B A E A -=+～100011010101001110⎛-⎫ ⎪ - ⎪⎪ -⎭⎝011101110B ⎛-⎫⎪=- ⎪⎪-⎭⎝四、 ()1234521112101041121401103,,,,,46224000133697900000A ααααα---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭即124,,ααα为一个极大无关组. 312,ααα=-- 5124433.αααα=+-五、2433231(2)(4)0,213A E λλλλλλ----=--=--=-A 的特征值1234, 2.λλλ===由0331014211011,211000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 基础解系为111,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ得对应1λ=0的全部特征向量为111111,(0)1k k k ⎛⎫⎪=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭ξ由2331002211011,211000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭基础解系为201,1⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ξ对应232λλ==的全部特征向量为222,(0)k k ≠ξ；2.不能对角化。

2014年10月04184自学考试线性代数精彩试题(卷)与问题详解

对于，求解齐次线性方程组，得到基础解系
将其单位化，得 ......7分
令 ,则为正交矩阵，
经正交变换，化二次型为标准形 ......9分
4、证明题（本题7分）
23.证由于向量组线性相关，故存在不全为零的常数，使得
......2分
其中必有。否则，如果，则上式化为
其中不全为零，由此推出线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾 ......5分
类似地，可证明 ........7分
19.设向量
,试确定当取何值时能由线性表出，并写出表示式。
20.求线性方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）。
21.设矩阵与对角矩阵相似，求数与可逆矩阵，使得。
22.用正交变换将二次型化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。
四、证明题（本题7分）
23.设向量组线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数使得。
3.设向量组的秩为2，则中【】
A.必有一个零向量
B.B.任意两个向量都线性无关
C.存在一个向量可由其余向量线性表出
D.每个向量均可由其余向量线性表出
4.设3阶矩阵 ,则下列向量中是的属于特征值的特征向量为【】
A. B. C. D.
5.二次型的正惯性指数为【】
A.0 B.1 C.2 D.3
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式 =2，若元素的代数余子公式为（i,j=1,2,3)，则【】
A. B.0 C.1 D.2
2.设为3阶矩阵，将的第3行乘以得到单位矩阵，

2014线性代数A卷答案

20142学期《线性代数》考试A 卷答案及评分标准一、选择题(每题2分，共计20分)1-5 D C C A C 6-10 C A A A C二、填空题(每题2分，共计20分)1、-122、1或33、10123321015432176543---⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎪⎝⎭4、1815、28a6、11121321111222231331323322()2a a a a a a a a a aa a -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭7、R （A ）=R （A ，b ）或线性方程组系数矩阵的秩与线性方程组增广矩阵的秩相等。

8、21,αα3,α 9、无 10、16三、证明题(每题10分，共计20分)1、证明：线性方程组的系数矩阵为A=1100011000111001-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭；（1分）线性方程组的增广矩阵为12341100011000111001a a A a a -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭；（1分）又线性方程组有解的充分必要条件为R （A ）=R （A ），（2分）12341100011000111001a a a a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭~12314110001100011011a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+⎝⎭~123214110001100011011a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-++⎝⎭~12332141100011000110a a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪+++⎝⎭（4分）∴3214a a a a +++=0 （2分）证毕。

2、证明：假设存在一组数12,r k k k ，使得02211=+++r r k k k βββ 成立，（2分）即++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00010011011121 r k k k ，因为01100110111≠= ,(6分）故方程组只有零解，即当且仅当021====r k k k ，故r βββ,,,21 线性无关. （2分）四、计算题（共计40分）1、解：将第2，3…n 列都加到第一列得：(3分)()()()()1111a n bb b b a n b a bb a n b b a b a n b bba+-+-+-+-D =[]11(1)1b b b a b b a n b b a b =+-(4分)(1分)2、解：由 B AX X +=2，得 B X A E =-)2(. 因为032110111|2|≠=--=-A E ，所以矩阵A E -2可逆， (2分) B A E A E B A E X |2|*)2()2(1--=-=- 求出1(2)E A --得(4分)或者(2)E A E -=110100101010102001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭~1((2))E E A --=10002/31/301012/31/300101/31/3⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭,即1(2)E A --=02/31/312/31/301/31/3⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ X = 02112211321303330110311--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2分) 3、解：非齐次线性方程组的增广矩阵为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==b a A B 1223131121β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---225050501121~b a []10011101201j c bc a b a (n )b a b j ,,nab--======+--=-[]1(1)().n a n b a b -=+--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---320010101121~b a (2分) 所以（1）当3,2-≠-=b a 时，()()B R A R ≠，非齐次线性方程组无解； (2分)（2）当2-≠a 时，()()3==B R A R ，非齐次线性方程组有唯一解； (2分)（3）当3,2-=-=b a 时，()()3<=B R A R ，非齐次线性方程组有无穷多解，(2分)当3,2-=-=b a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000010101101~000010101121~B =R (4分) 矩阵R 对应的线性方程组为1321,1.x x x -=⎧⎪=-⎨⎪⎩把3x 看成自由未知数，取3x =k,k 为任意实数得1231,1.x k x x k=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，其通解为123111*********x k k x x k x k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中k 为任意实数.） 4、解 (1) A 的特征多项式为|A -λE|=λλλ---111011002=(1-λ)2(2-λ)所以A 的特征值为λ1=2, λ2=λ3=1. (4分)当λ1=2时,解线性方程组(A-2E)x =0.由A-2E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111011000∽⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00021102101得基础解系x 1=(1/2，1/2，1)T所以对应于λ1=2的所有特征向量为k 1 x 1 （k 1≠0）当λ2=λ 3 =1时,解线性方程组(A-E)x =0.由 (4分)A- E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011001001∽⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001得基础解系x 2=(0，0，1)T所以对应于λ2=λ 3 =1的所有特征向量为k 2 x 2 （k 2≠0） (4分)。

2014海南高考数学线性代数题及答案解析

2014海南高考数学线性代数题及答案解析一、题目解析2014年海南高考数学试卷中，线性代数部分是其中的一个重要部分。

以下是针对该部分题目的解析和答案分析。

1.选择题题目一：已知方程组：\[ \begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + y + kz = 7 \\ 3x + 4y + 5z = 15\end{cases} \]若方程组有唯一解，则实数$k$的取值范围是：解析：首先，我们需要判断方程组的解的情况。

通过计算可知，若行列式的值为零，则方程组无解；若值不为零，则方程组有唯一解。

计算行列式：\[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & k \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 31k - 14 \]要使得行列式的值不为零，即解存在，使得\[ 31k - 14 \neq 0 \]所以，$k \neq \frac{14}{31}$。

因此，实数$k$的取值范围是$k \neq \frac{14}{31}$。

题目二：已知二次型\[ f(x,y,z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy + 2xz - 4yz \]则对于任意的实数$a$，当且仅当$a \geqslant \frac{5}{3}$时，二次型$f(x,y,z)$正定。

解析：对于一个二次型，判断其正定还是负定，需要计算其特征值。

特征值公式为：\[ \begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 & 1 \\ -1 & 2-\lambda & -2 \\ 1 & -2 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0 \]计算得到特征方程：\[ (\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-5) = 0 \]所以，该二次型的特征值为$1, 3, 5$。

2014年4月自考线性代数真题及答案

三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，其63分)
1 4 16．计算行列式D= 2 3
3 1 4 2
2 3 1 4
4 2 的值. 3 1
a 21 a 22 a 23 a11 a12 a13 17．设矩阵A= a 21 a 22 a 23 ，B= a11 3a 31 a12 3a 32 a13 3a 33 ，求可逆矩阵P，使得PA=B. a a 31 a 32 a 33 31 a 32 a 33 1 1 2 1 0 0 18．设矩阵A= 2 2 3 ，B= 2 1 1 ，矩阵X满足XA=B，求X. 4 3 3 1 2 2
1 +2 2 + 3 ， 1 + 2 +2 3 也是该方程组的基础解系．
全国2014年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)答案课程代码：04184
一、单项选择题 1-5 CABDC 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1 0 1 1 4 3 6．0 7．4 8． 9． 10．-2 11． , 12．1 13． 1 k (1 2 ) 14． 15．2 3 2 5 5 0 1
导出组同解方程组为
基础解系 1 (1, 1,1, 0)T , 2 (2,3, 0,1)T ，通解为 * k11 k2 2 , k1 , k2 R.
2
21．解：特征方程 | E A |
0 0
0 0 2 1 ( 2)( 2 a 2 2a 1) 0 1 a
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
2 3 4 6．3阶行列式 1 5 2 第2行元素的代数余子式之和A21+A22+A23=________． 1 1 1

(完整word版)2014线性代数A卷(含答案)-推荐文档

上海海洋大学试卷答案一、填空与选择题（1836='⨯） 1. 行列式的值是_____________.2. 已知A 为四阶方阵, 且=2, 是的伴随矩阵, 则=___128______.3. 当__2____时, 方程组有非零解 4．设, ,若初等矩阵, 使得,则P =___100001010æèççöø÷÷______5. 已知四阶行列式中第三列元素依次是它们的余子式依次为, 则=________6．已知＝, 且则一定有：（ D ）（A ）E A = （B ）0=A （C ）矩阵E A -一定可逆（D ）矩阵E A +一定可逆二、（16分）计算下列行列式 1.... （10分）解：D =232-23-101421-354-10=-6-1043-101421-3960-33=9-2-141-1112-16=9-3031-113018=-9-3331=108103.（6分）解：D n +1=x -n 11100x -n +111000x -n +210000x -10nn -1n -211 (3)=(-1)2n +2x -n 1110x -n +111000x -2100x -1 (5)=(x -i )i =1nÕ (6)三、（15分）设, , 求1. 2. 3.若, 求矩阵. 解: (1)A -3E =2-112131-11æèççöø÷÷-300030003æèççöø÷÷ (2)=-1-112-231-1-2æèççöø÷÷ (3)(2)A E ()=2-112131-11100010001æèççöø÷÷...........2®10001000110-11414-1-34141æèççççöø÷÷÷÷..................7 所以A -1=10-11414-1-34141æèççççöø÷÷÷÷ (8)(3)X =BA -1..................................2=-34142-74142æèçççöø÷÷÷ (4)四、（15分）设矩阵, 求1.矩阵的列向量组的秩2.的列向量组的一个极大无关组3.将向量组中的其余向量表达为极大无关组的线性组合解：由a 1,a 2,a 3,a 4()=22311-3-211033-132-1320-2æèçççççöø÷÷÷÷÷®10330187001100000000æèçççççöø÷÷÷÷÷..............5®1000010-1001100000000æèçççççöø÷÷÷÷÷ (7)得1．向量组的秩为3 (2)2．向量组的极大无关组为a 1,a 2,a 3...................3 3． a 4=-a 2+a 3 (3)五、（10分）设列向量组线性相关, 列向量组线性无关, 证明: （1）一定可由线性表示；（2）4α不可由321,,ααα线性表示。

李林2014基础班线性代数讲义

).(11111)(00.)1()()()()(6.)(5.0)(4)(.)(3)(),(2)(1)()()1()()1()(.2.111131211223222132122111221112121)()(21)(2212222111211212121212121、范德蒙行列式：一些重要的结论：四则：的代数余子式为设展开：列行列式按行三式值不变。

的对应元素上，该行列上列加到另一行各元素乘以同一个数后列：把行列式的某一行性质相应两个行列式之和，则此行列式等于的元素都是两个数之和列：若行列式某一行性质式的元素成比例，则行列列：行列式中如果有两行性质的所有元素。

列用此数乘行列式某行即一个数乘行列式等于以提到行列式外面的所有元素的公因子可列：行列式中某一行性质。

完全相同，则其值为零列行列式有两行行列式变号。

因此，若列：互换行列式两行性质的转置表示：性质行列式的性质二的逆序数。

为排列其中中的项写成：或代数和个元素之积的为所有不同行，不同列个元素组成由（一）行列式的定义：定理计算行列式。

行列式按行（列）展开会应用行列式的性质和握行列式的性质。

了解行列式的概念，掌考试要求：第一章行列式i j nj i n nn n n n nnknj k j k j ik ij ni knin k i k i kj ij nj ij ij j i ij T Tn n injij ij j j J i i i nj j j j j j j j j nnn n n na a a a a a a a a a a a a a k j kj D A a A a A a A a k i k i D A a A a A a A a a M A D D D D j j j j j j a a a D mn a a a n a a a a a a a a a D nn n nn n-=⎩⎨⎧≠==+++=⎩⎨⎧≠==+++=-===--==∏∑∑∑≤≤≤----==++ττττ00211111(][333222111][10)(.1,01det )det()det(det ,det det )det()det(,)1()det(,)det(,)(5.)1(00004.,.,13).(,.2.01111222221222121211111爪形或箭形）计算例计算例、数字型证抽象型参数型数字型是本章的重点掌握三种行列式的计算典型例题五设阶方阵为阶方阵，为其中：，，的代数余子式为阶阵为注意：，但，一般：反对称，则，若n n nnn n n n n n n ij mn ij ij nnn n n n n n T T n n nD A AA E AA A A AA A A A A A A A A A k kA a A nB m A B A A BB A BC A B A B CA a A A A A A A A A A A A AA AA n A A k kA A k kA BA AB B A BA AB B A B A A A A A A===∴≠===⋅==⋅=⋅=-=-==-======≠=≠==+≠±=-==---⨯*-*-41341003410034][][000000][.0.2443214==---+=D xa aaa x a aa a x a a a a x D xx x x x x a a a x a D n 计算例计算例计算例推法）线行列式用（递如行（列）加法三对角展开，另外常用的方法”较多，再按行（列）中“角形或某行（列）利用行列式性质化为三基本方法是根据特点，参数形（行列式计算的.,54321.3._______0111111][0000000000000][21111--⨯-*⨯⨯⨯⨯=======-------+++++=∏A A AA A AA AB A AB B A A k kA A aaaba b a b a b a ba ab a ba b a D ni n n n n n n n n n n n n n n 则，，，的特征值为）设（可逆，则）设（，则）设（，则，）设（，则）设矩阵（）列式，常用到以下结论抽象型（计算抽象型行，则若例计算例λλλλλλλλ340420086420][.5043200100.4.32][.][3313332221132133=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=<===-+-+=+=+=⨯⨯）（，有如子式的最高阶数中非的秩是矩阵说明）证（的特征值是）证（））证秩（（）反证法（解有非）证，常用的方法：（证明证不可逆，求，，，矩阵设例求，，，线性无关，且，，，设例A A A A A A A n A AX A A E A E A E A A A A A A A A γαααααααααααα. 2.01,][.0 ][112=-===+≤+===≠=++⇔=⨯⨯EAAEAAAAnAnBAAXBABBAAEAAAAATTsnnn，证明且），阶正交阵（即为设例）（）（）（的列向量是齐次方程组）（，则若结论：设说明，证明，设例阶子式）（如果有阶子式全为且任意阶子式不为中有）（一般地，γγγγγγγ.01.12][.,:7.,;,:6.,,:5:4)(:,3.)()(:2.,,,:1.1..,:7.,;,:6.,,:5.)(:.,:4.)(,:3.,0,1:2).(1),(,1:.1..2.,).(.)(.:.1...4.3.2.1111211212222111211为正交矩阵称满足若方阵正交矩阵为反对称矩阵称若为对称矩阵称若对称矩阵可逆称若逆矩阵转置减法加法数乘称且为同型矩阵设相等矩阵的运算基本理论与方法二为正交矩阵称满足若方阵正交矩阵为反对称矩阵称若为对称矩阵称若对称矩阵可逆称若逆矩阵三角矩阵对角矩阵矩阵数量标量单位矩阵在方阵下有如下关系角矩阵全为零的方阵称为下三主对角线上方元素阵零的方阵称为上三角矩主对角线下方元素全为三角矩阵矩阵为零的方阵称为下三角若主对角线上的元素全，记为零的方阵主对角线以外的元素全对角矩阵或记其他元素为主对角线的元素都是单位矩阵列向量矩阵为列矩阵行向量矩阵为行矩阵列矩阵行矩阵几种特殊矩阵的行列式称为称为方阵称为矩阵记列的数表行排列个元素定义基本概念一方法。

2014版线性代数练习册第一章参考答案

第一章答案与提示第一、二节．一．1. （1）0 （2）5 （3）2)1(-n n （4）2)1(-n n （5）)1(-n n 3. 1123344214233142,a a a a a a a a - 4. 正号（6(1)-，注意将行标调为标准排列） 5. 1)1(--n 6. 2，1 （将行标调为标准排列，列标排列的逆序数应为奇数）7. 2- （只有主对角线上的元素相乘为3x ）8.2)1(-n n 9. 0 （一元n 次方程n 个根之和为1n -次项的系数变号，本题中2x 的系数为0，也即0a b c ++=，利用行列式的性质可得结果为0） 10.t n n --2)1( 或 2n C t - 二．1. 6457D -=，1104297D -= ，2610529D =，12123,2D Dx x D D ====2. 0,021==x x （仿照1的做法）三．1. 0（直接利用定义，也可用性质计算）2.1234110123410101010111123412341234110341234123412412341234123r r r r r +++÷2131324341422343111111111111012101210121101010160012100400040032100440004r r r r r r r r r r r r ---+-+---=--------- 3. 按定义只有一项不为0，乘积abcd 的列标排列为1324，逆序数为奇数，故为 abcd - 4. 乘积!n 的列标排列为231n ，其逆序数为1n -，故结果为1(1)!n n --5. 乘积!n 的列标排列为(1)(n 2)21n n -- ，其逆序数为(2)(1)2n n --，故结果为(2)(1)2(1)!n n n --- 6. (1)212(n 1)1(1)n n n n a a a ---四．错。

2014级线性代数试卷及答案

e2

1
1
0
1 2

1 1

,
e3

2
1 6

1 1

2 0 2
(3)取 P (e1 e2 e3 )
1

6
2 2
3 3
1 ，正交变换 x Py ， 1
第 6页（A 卷，共 7页）
第 1页（A 卷，共 7页）
6. 已知 n 阶方阵 A 满足 A2 A 2E O ,则【】.
A. A E 与 A 2E 均可逆
B. A 与 E A 均可逆
C. A 可逆， E A 不可逆
D. A 不可逆， E A 可逆
7. 下列说法错误的是【】. A. 实对称矩阵的特征值均为实数 B. 实反对称矩阵的特征值为零或虚数 C. 实正交矩阵的特征值的模为 1 D. 若 A 与 B 相似，则 A 与 B 合同
0 1
1 0
0 1

0 0
1 0
0 1
0 1
1 0
01
1 0 2

A

(B

2E )1

0
1
0

.
1 0 1
第 4页（A 卷，共 7页）
6. AT A* AT A A* A AT A | A | E
| A |2 ( | A |)3 | A | 0 or | A | 1 .
10．曲线 ez y2 关于 Oz 轴旋转而成的旋转曲面方程为【】.
二、计算题与证明题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）

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补充概念：
正交矩阵（P118：定义4）
2014线代复习考试
一注意事项
基本概念、性质，计算方法：行列式计算，矩阵乘法、求逆；矩阵初等变换及其应用，秩；方程组（齐次与非齐次）的解存在性讨论---待定系数类型；向量组的线性关系判定；方阵（4阶以内）的特征值特征向量的计算
二重点问题：
1. 若a
5223152
1-=0, 则a =______. 此行列式中元素 –2的代数余子式(不用求值)为
_______ .
2．计算a b b b
b a b b
b b a b b b b a
D =4 3．若,032=--
E A A 求1)(-+E A 。

( 或 P54：13 )
4 设 010100001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，P 为三阶可逆矩阵，1B P AP -=, 求 B 2014-2014A
2
5. -1003040,A =600A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
则
6. 设321,,ααα是线性无关向量组，则向量组
3233123211,,32ααβααβαααβ+=+=++=
线性关系是 ____________ .
8. 向量组 A : ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1222α, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013α, ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4224α.
(1) 求矩阵A 的秩, (2) 矩阵A 列向量的一个最大无关组.
(3) 把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.
9．设有方程组12312312
31x x x x x x x x x λ2
λ++=⎧⎪+λ+=⎨⎪++λ=λ⎩，问λ取何值时，此方程组（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并求其通解。

（P79,17）
10.（ P20）例13 或 P23：习题9
11．设3阶矩阵A 的特征值为2,1,1-,则行列式32*A A E +-=_______________
13． (P 111) 习题 14
12．设1-23123,23k A k k ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
问 k 为何值时可
使（1）R(A)=1；（2）R(A)=2；（3） R(A)=3 ? (P78: 12)
13.求⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡633312
321
的特征值和特征向量 14.若2=λ为可逆阵A 的特征值，则1213A -⎛⎫ ⎪⎝⎭
的一个特征值为 0.75 .
15.设A 为n 阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，则=*A k (C ).
（A ） A n k （B ） n k A （C ）1-n n k A （D ）n n k A 1-。