上海市闸北区2016届高三12月模拟(一模)考试数学试题(WORD版,含答案)
【配套K12】上海市五校2016届高三数学上学期12月联考试卷 理(含解析)
2015-2016学年上海市五校高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2= ．2．（理）函数y=sin2aπx（a＞0）的最小正周期为2，则实数a= ．3．函数的定义域为．4．集合A={x||x﹣2|≤3，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}则∁R（A∩B）= ．5．如果2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则mn的值为．6．已知双曲线=1，其双曲线的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的方程为．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= ．8．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…lna20= ．9．在△ABC中，AB=5，AC=6，点P是△ABC的外接圆圆心，则•= ．10．无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项是a1＞0，若S n=，则a1的取值范围是．11．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是．12．已知数列{a n}满足，当n≥3时，a n=2a n﹣1或a n=a n﹣1+a n﹣2，若a1=1，a2=2，则此数列的前2015项中，奇数项最多有项．13．已知M是△ABC内的一点（不含边界），且=2，∠BAC=30°若△MBC、△MAB、△MAC的面积分别是x，y，z，则的最小值为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣6x+5=0，点A，B在圆上，且AB=2则||的取值范围是．二、选择题15．直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1∥l2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件16．已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜117．下列命题正确的是（）A．若ab≠0，则≥2B．若a＜0，则a+≥﹣4C．若a＞0，b＞0，则lga+lgb≥2D．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x+≥518．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]三、解答题19．如图，A，B是单位圆O上的动点，C是圆与x轴正半轴的交点，设∠COA=α．（1）当点A的坐标为时，求的值．（2）若0≤α≤，且当点A，B在圆上沿逆时针方向移动时，总有∠AOB=，试求BC的取值范围．20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．21．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C．（1）求C的方程：（2）l是与圆P，圆M都相切的﹣条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．22．已知函数f（x）=2x+a•2﹣x，其中常数a≠0（1）当a=1时，f（x）的最小值；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（3）当a=256时，是否存在实数k∈（1，2]，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意x∈R 恒成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．23．数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称数列{a n}是“E数列”．（1）数列{a n}的前n项和S n=3n（n∈N*），判断数列{a n}是否为“E数列”，并说明理由；（2）数列{b n}是等差数列，其首项b1=1，公差d＜0，数列{b n}是“E数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“E数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．2015-2016学年上海市五校高三（上）12月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2= 3﹣4i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由已知等式结合复数相等的条件求得a，b的值，则复数a+bi可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案．【解答】解：由a，b∈R，且a+i=2﹣bi，得，即a=2，b=﹣1．∴a+bi=2﹣i．∴（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．故答案为：3﹣4i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．（理）函数y=sin2aπx（a＞0）的最小正周期为2，则实数a= ．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】利用二倍角公式化简函数的表达式，直接利用周期公式求解即可．【解答】解：函数y=sin2aπx=，因为函数的周期为2，所以2=，所以a=；故答案为：．【点评】本题是基础题，考查三角函数的周期的应用，考查计算能力．3．函数的定义域为（0，10] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据根式有意义的条件和对数函数的定义求函数的定义域．【解答】解：∵函数，∴1﹣lgx≥0，x＞0，∴0＜x≤10，故答案为（0，10]．【点评】此题主要考查了对数函数的定义域和根式有意义的条件，是一道基础题．4．集合A={x||x﹣2|≤3，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}则∁R（A∩B）= （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B交集的补集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣3≤x﹣2≤3，即﹣1≤x≤5，∴A=[﹣1，5]，由B中y=﹣x2，﹣1≤x≤2，得到﹣4≤y≤0，即B=[﹣4，0]，∴A∩B=[﹣1，0]，则∁R（A∩B）=（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．5．如果2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则mn的值为﹣20 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，2﹣i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，然后利用根与系数的关系求得m，n的值得答案．【解答】解：∵2+i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，∴由实系数一元二次方程虚根成对原理可得，2﹣i是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则﹣m=（2+i）+（2﹣i）=4，m=﹣4，n=（2+i）（2﹣i）=5．∴mn=﹣40．故答案为：﹣20．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，考查了实系数一元二次方程虚根成对原理，是基础题．6．已知双曲线=1，其双曲线的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则该双曲线的方程为=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线y2=4x的焦点为：（，0）可得所求的双曲线c=，根据a2=c2﹣b2可求a 的值，从而可得双曲线的方程为．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点为：（，0）∴所求的双曲线的右焦点为（，0），故c=根据双曲线的定义可知，a2=c2﹣b2=1则双曲线的方程为： =1故答案为： =1．【点评】本题以抛物线的焦点的求解为切入点，主要考查了双曲线的方程的求解，比较基础．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= 30°．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．8．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…lna20= 50 ．【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，则a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20==ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．9．在△ABC中，AB=5，AC=6，点P是△ABC的外接圆圆心，则•= ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】设外接圆的半径为r，由向量的三角形法则，以及向量的数量积的定义，结合等腰三角形的性质，即可得到．设外接圆的半径为r，由向量的三角形法则，以及向量的数量积的定义，结合等腰三角形的性质，即可得到．【解答】解：设外接圆的半径为r，∴•=（﹣）=•﹣•=r•6•cos∠OAC﹣r•5•cos∠OAB，=6×﹣5×=，故选：．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，首项是a1＞0，若S n=，则a1的取值范围是（0，1）∪（1，）．【考点】等比数列的前n项和；极限及其运算．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的求和公式和极限运算可得q=1﹣a12，由|q|＜1可得不等式，解不等式可得．【解答】解：∵S n=，a1＞0且S n=，∴|q|＜1，且=，故a12=1﹣q，q=1﹣a12，由|q|＜1可得﹣1＜1﹣a12＜1，解得0＜a1＜，又当a1=1时，q=1﹣a12=0，故答案为：（0，1）∪（1，）【点评】本题考查等比数列的求和公式，涉及极限的运算和不等式的解法，属基础题．11．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，使得f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是[﹣，﹣1] ．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解即可．【解答】解：根据局部奇函数的定义，f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解，令t=2x∈[，2]，则﹣2m=t+，设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣=，当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数，所以t∈[，2]时，g（t）∈[2，]．所以﹣2m∈[2，]，即m∈．故答案为：．【点评】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力12．已知数列{a n}满足，当n≥3时，a n=2a n﹣1或a n=a n﹣1+a n﹣2，若a1=1，a2=2，则此数列的前2015项中，奇数项最多有1343 项．【考点】数列递推式．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由题意结合数列递推式求出数列中出现奇数最多项的情况，然后利用所得规律求得是奇数的最多项数．【解答】解：a1=1，a2=2，由a n=a n﹣1+a n﹣2，得a3=3，a4=a3+a2=5，a5=a4+a3=8，a6=a5+a4=13，a7=a6+a5=21，a8=a7+a6=34，…∴当n≥3时，数列是两项奇数一项偶数重复出现，此时数列的前2015项中，是奇数的项最多有；或a1=1，a2=2，由a n=a n﹣1+a n﹣2，得a3=3，a4=a3+a2=5，由a n=2a n﹣1，得a5=10，a6=a5+a4=15，a7=a6+a5=25，由a n=2a n﹣1，得a8=50，…∴当n≥3时，数列是两项奇数一项偶数重复出现，此时数列的前2015项中，是奇数的项最多有．∴此数列的前2015项中，是奇数的项最多有1343项．故答案为：1343．【点评】本题考查数列递推式，关键是明确能使数列中出现奇数最多项的情况，属中档题．13．已知M是△ABC内的一点（不含边界），且=2，∠BAC=30°若△MBC、△MAB、△MAC的面积分别是x，y，z，则的最小值为9 ．【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；数形结合法；解三角形；不等式．【分析】由向量和三角形的知识可得正数x，y，z满足x+y+z=1，整体代入可得=（）（x+y+z）=5++，由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得=bccos30°=2，解得bc=4，故△ABC的面积S=b csin30°=1，∴正数x，y，z满足x+y+z=1，∴=（）（x+y+z）=5++≥5+2=9当且仅当=即z=2（x+y）时取等号，结合x+y+z=1可得x+y=且z=．故选答案为：9．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及三角形和向量的知识，属中档题．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣6x+5=0，点A，B在圆上，且AB=2则||的取值范围是[4，8] ．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，根据AB=2得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最值，得到本题答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x′，y′）．∵x′=，y′=∴=（x1+x2，y1+y2）=2，∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0，∴（x﹣3）2+y2=4，圆心C（3，0），半径CA=2．∵点A，B在圆C上，AB=2，∴CA2﹣CM2=（AB）2，即CM=1．点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．∴OM≥OC﹣r=3﹣1=2，OM≤OC+r=3+1=4．∴2≤||≤4，∴4≤||≤8．故答案为：[4，8]．【点评】本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将转化为，根据AB=2得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最值，得到本题答案．二、选择题15．直线l1；x+ay+2=0和直线l2：（a﹣2）x+3y+6a=0，则“a=3”是“l1∥l2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化法；直线与圆；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．【解答】解：若a=3，则两直线方程分别为x+3y+2=0和x+3y+18=0，满足两直线平行，即充分性成立，若l1∥l2，当a=0时，两直线分别为x+2=0和﹣2x+3y=0，此时两直线不平行，不满足条件．当a≠0时，若两直线平行则≠，由得a2﹣2a=3，即a2﹣2a﹣3=0，解得a=3或a=﹣1，当a=﹣1时， =，不满足条件．则a≠﹣1，即a=3，故“a=3”是“l1∥l2”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件求出a的取值范围是解决本题的关键．16．已知函数y=log a（x+c）（a，c为常数，其中a＞0，a≠1）的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵函数单调递减，∴0＜a＜1，当x=1时log a（x+c）=log a（1+c）＜0，即1+c＞1，即c＞0，当x=0时log a（x+c）=log a c＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故选：D．【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．17．下列命题正确的是（）A．若ab≠0，则≥2B．若a＜0，则a+≥﹣4C．若a＞0，b＞0，则lga+lgb≥2D．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x+≥5【考点】基本不等式．【专题】函数思想；综合法；不等式．【分析】由基本不等式求最值的规则，逐个验证可得．【解答】解：选项A，当ab异号时，≤﹣2，故A错误；选项B，由a＜0可得a+≤﹣2=﹣4，故B错误；选项C，当a＞0，b＞0时，lga和lgb可能为负数，故错误；选项D，∵x≠kπ，k∈Z，∴sin2x∈（0，1]，∴sin2x+=t+在（0，1]单调递减，∴当t=1时，t+取最小值5，即sin2x+≥5故选：D．【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题．18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．【点评】本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．三、解答题19．如图，A，B是单位圆O上的动点，C是圆与x轴正半轴的交点，设∠COA=α．（1）当点A的坐标为时，求的值．（2）若0≤α≤，且当点A，B在圆上沿逆时针方向移动时，总有∠AOB=，试求BC的取值范围．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】（1）根据三角形函数线以及点A的坐标，求出sinα=，cosα=，再根据二倍角公式，分别求出cos2α，sin2α，代入计算即可；（2）先表示出点B的坐标，根据点与点的距离公式，根据三角函数的图象和性质即可求出，BC的取值范围．【解答】解：（1）∵点A的坐标为，∴sin α=，cos α=，∴cos2α=2cos 2α﹣1=﹣，sin2α=2sin αcos α=，∴==﹣（2）∵B（cos （α+），sin （α+）），C （1，0），∴|BC|2=[cos （α+）﹣1]2+sin 2（α+）=2﹣2cos （α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴﹣≤cos（α+）≤，∴1≤2﹣2cos （α+）≤3，∴1≤|BC|≤．【点评】本题考查了三角函数线的问题，二倍角的问题，以及点与点的距离公式和三角函数的图象与性质，属于基础题．20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v （x ）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f （x ）=x•v（x ）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）． 【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用． 【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v （x ）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v （x ）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．【点评】本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．21．已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C．（1）求C的方程：（2）l是与圆P，圆M都相切的﹣条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°．②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，确定Q（﹣4，0），设l：y=k（x+4），由l与M相切，求出直线l的方程，再求|AB|．【解答】解：（1）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N （1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|P M|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（去掉点（﹣2，0））（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0），R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，直线l的方程为x=0，|AB|=2．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则=，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l与M相切可得： =1，解得k=±．∴直线l的方程为y=±（x+4），代入，可得7x2+8x﹣8=0，∴|AB|=•=．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．22．已知函数f（x）=2x+a•2﹣x，其中常数a≠0（1）当a=1时，f（x）的最小值；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（3）当a=256时，是否存在实数k∈（1，2]，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意x∈R 恒成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．【考点】函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；函数思想；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）直接利用不等式的基本性质求最值；（2）利用f（﹣x）=﹣f（x）及f（﹣x）=f（x）求得a值，从而得到函数为奇函数或偶函数的a 的取值；（3）由原函数可得当a=256时，函数在（0，4）上是减函数，利用单调性直接转化为k﹣cosx≤k2﹣cos2x恒成立，分离参数求解即可得到k值．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2x+2﹣x=，当且仅当，即x=0时取等号；（2）f（x）的定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+a•2x=，﹣f（x）=，f（x）=2x+a•2﹣x=，由f（﹣x）=f（x），得，即a•22x+1=22x+a，∴（a﹣1）22x﹣（a﹣1）=0，即a=1；由f（﹣x）=﹣f（x），得，即a•22x+22x+a+1=0，∴（a+1）22x+a+1=0，即a=﹣1．∴当a=1时，函数f（x）=2x+a•2﹣x为偶函数；当a=﹣1时，函数f（x）=2x+a•2﹣x为奇函数；当a≠1且a≠﹣1时，f（x）=2x+a•2﹣x为非奇非偶函数；（3）当k∈（1，2]时，0＜k﹣cosx≤3，0＜k2﹣cos2x≤4．当a=256时，f（x）=2x+256•2﹣x=，由复合函数的单调性知，f（x）在（0，4）上是减函数，要使f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x），x∈R，只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x（x∈R），即cos2x﹣cosx≤k2﹣k（x∈R）①设，则函数g（x）在R上的最大值为2．要使①式恒成立，必须k2﹣k≥2，即k≥2或k≤﹣1．∴在区间k∈（1，2]上存在k=2，使得原不等式对任意的x∈R恒成立．【点评】本题考查利用不等式的基本性质求最值，考查了函数的单调性和奇偶性，考查综合分析和解决问题的能力，体现了数学转化思想方法，是中档题．23．数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称数列{a n}是“E数列”．（1）数列{a n}的前n项和S n=3n（n∈N*），判断数列{a n}是否为“E数列”，并说明理由；（2）数列{b n}是等差数列，其首项b1=1，公差d＜0，数列{b n}是“E数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“E数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】（1）运用a1=S1，a n=S n﹣S n﹣1，（n＞1），可得a n，再由新定义即可判断；（2）运用等差数列的通项公式和求和公式，可得m，再由新定义即可求得d=﹣1；（3）若d n=bn（b是常数），求得前n项和，设b n=na1，c n=（d﹣a1）（n﹣1），再由新定义可得则a n=b n+c n，即可得证．【解答】解：（1）由S n=3n（n∈N*），且a1=S1，a n=S n﹣S n﹣1，（n＞1），可得a n=，当n=2时，9=2•3n﹣1，得m∉N*，所以不是“E数列”；（2）由数列{b n}是等差数列，其首项b1=1，公差d＜0，可得n+d=1+（m﹣1）d，即为m=++1，小初高试卷类教案类K12分别是小学初中高中为非负整数，所以首先要恒为整数，d 为所有非负整数的公约数且d ＜0，所以d=﹣1； （3）证明：首先，若d n =bn （b 是常数），则数列{d n }前n 项和为S n=b 是数列{d n }中的第项，因此{d n }是“E 数列”，对任意的等差数列{a n }，a n =a 1+（n ﹣1）d （d 为公差），设b n =na 1，c n =（d ﹣a 1）（n ﹣1），则a n =b n +c n ，而数列{b n }，{c n }都是“E 数列”，故对任意的等差数列{a n }，总存在两个“E 数列”{b n }和{c n }，使得a n =b n +c n （n ∈N *）成立．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项和求和，考查推理和运算能力，属于中档题．。
2016届高三年级第一次综合诊断考试理数答案
2016届高三年级第一次综合诊断考试理数答案一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分,满分60分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B D B C A BDAC二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,满分20分.)13. 35 14.2211612x y += 15. 1(0,)216. 2015 三、解答题(本大题共6小题，满分70分.) 17、【解】 （Ⅰ）.1)6sin(22)cos(12)sin(3)(m x m x x x f +-+=+-⋅-=πωωω依题意函数.32,32,3)(==ωπωππ解得即的最小正周期为x f 所以.1)632sin(2)(m x x f +-+=π分所以依题意的最小值为所以时当6.1)632sin(2)(.0,.)(,1)632sin(21,656326,],0[ -π+==≤π+≤π≤π+≤ππ∈x x f m m x f x x x （Ⅱ）.1)632sin(,11)632sin(2)(=+∴=-+=ππC C C f 22252,..863663622,,2sin cos cos(),2152cos sin sin 0,sin .102510sin 1,sin .122Rt C C C ABC A B B B A C A A A A A A πππππππ<+<+==∆+==+--±∴--==-<<∴= 而所以解得分在中解得分分18、∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB∴EF AE ⊥，EF BE ⊥ 又A E E B ⊥∴,,EB EF EA 两两垂直以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为轴 建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，2，0）∴(2,2,0)EG = ，(2,2,2)BD =-,,x y z∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=∴B D E G ⊥-----------------6分()2由已知得(2,0,0)EB = 是平面DEF 的法向量,设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z =∵(0,2,2),(2,2,0)ED EG ==∴00ED n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =,得(1,1,1)n =- 设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ则||23cos |cos ,|3||||23n EB n EB n EB θ=<>===∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33----------------12分 19．(本题满分12分) 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………2分（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ； …………6分（3）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ； 64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP ………………10分 所以ξ的分布列为：ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B ξ，3313()()()44k k kP k C ξ-==.所以ξE =75.0413=⨯． 20.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）∵错误！未找到引用源。
2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题
2016年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析目录第一部分第24、25题图文解析2016年上海市崇明县中考数学一模第24、25题/ 22016年上海市奉贤区中考数学一模第24、25题/ 52016年上海市虹口区中考数学一模第24、25题/ 82016年上海市黄浦区中考数学一模第24、25题/ 112016年上海市嘉定区中考数学一模第24、25题/ 142016年上海市静安区青浦区中考数学一模第24、25题/ 172016年上海市闵行区中考数学一模第24、25题/ 202016年上海市浦东新区中考数学一模第24、25题/ 242016年上海市普陀区中考数学一模第24、25题/ 282016年上海市松江区中考数学一模第24、25题/ 312016年上海市徐汇区中考数学一模第24、25题/ 342016年上海市杨浦区中考数学一模第24、25题/ 382016年上海市闸北区中考数学一模第24、25题/ 412016年上海市长宁区金山区中考数学一模第24、25题/ 452016年上海市宝山区中考数学一模第25、26题/ 48如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B(3, 0)，C(0, 4)，点A在x轴的负半轴上，OC＝4OA．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC、BC，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作PM//BC交射线AC于M，联结CP，若△CPM的面积为2，则请求出点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P在x轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM的面积为2．满分解答（1）由C(0, 4)，OC＝4OA，得OA＝1，A(－1, 0)．设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0, 4)，得4＝－3a．解得43a=-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x=-+-=---2416(1)33x=--+．顶点坐标为16 (1)3，．（2）如图2，设P(m, 0)，那么AP＝m＋1．所以S△CP A＝12AP CO⋅＝1(1)42m+⨯＝2m＋2．由PM//BC，得CM BPCA BA=．又因为CPMCPAS CMS CA=△△，所以S△CPM ＝(22)BPmBA+．①如图2，当点P在AB上时，BP＝3－m．解方程3(22)4mm-+＝2，得m＝1．此时P(1, 0)．②如图3，当点P在AB的延长线上时，BP＝m－3．解方程3(22)4mm-+＝2，得1m=±P(1+．图2 图3如图1，已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF ⊥AE 交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H ．（1）求证：△ABH ∽△ECM ； （2）设BE ＝x ，EHEM＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当△BHE 为等腰三角形时，求BE 的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E 在BC 上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE 可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC 的余角，所以∠1＝∠2． 又因为∠BAH 和∠CEM 都是∠AEB 的余角，所以∠BAH ＝∠CEM ． 所以△ABH ∽△ECM ．图2 图3（2）如图3，延长BG 交AD 于N ．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10． 在Rt △ABN 中，AB ＝6，所以AN ＝AB tan ∠1＝34AB ＝92，BN ＝152． 如图2，由AD //BC ，得92AH AN EH BE x ==． 由△ABH ∽△ECM ，得68AH AB EM EC x ==-． 所以y ＝EHEM＝AH AH EM EH ÷＝6982x x ÷-＝12729x x -． 定义域是0＜x ＜8．（3）如图2，由AD//BC，得92NH ANBH BE x==．所以292BN xBH x+=．所以215292xBHx=⨯+＝1529xx+．在△BHE中，BE＝x，cos∠HBE＝35，1529xBHx=+．分三种情况讨论等腰三角形BHE：①如图4，当BE＝BH时，解方程1529xxx=+，得x＝3．②如图5，当HB＝HE时，1cos2BE BH B=⋅∠．解方程11532295xxx=⨯+，得92x=．③如图6，当EB＝EH时，1cos2BH BE B=⋅∠．解方程11532295xxx⨯=+，得74x=．图4 图5 图6如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A(2, 0)、C(1,－1)，可得∠CAO＝45°．因此∠BAC＝90°．所以当点D与点A(2, 0)重合时，△BCD是直角三角形．②∠BCD＝90°．由A(2, 0)、B(－1, 3)，可得直线AB的解析式为y＝－x＋2．【解法一】如图4，过点C作BC的垂线与直线AB交于点D．设D(m,－m＋2 )．由BD2＝BC2＋CD2，得(m＋1)2＋(－m－1)2＝22＋42＋(m－1)2＋(－m＋3)2．解得73m=．此时点D的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC∽△CND，由BM CNMC ND=，得4123mm-=-+．解得73m=．图2 图3 图4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，联结DE ，使得∠EDC ＝∠A ，联结BE ．（1）求证：AC ·BE ＝BC ·AD ；（2）设AD ＝x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S △BDE ＝14S △ABC 时，求tan ∠BCE 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到，△ABC 与△DEC 保持相似，△ACD 与△BCE 保持相似，△BDE 是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt △BAC 和Rt △EDC 中，由tan ∠A ＝tan ∠EDC ，得BC ECAC DC=． 如图3，已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，所以∠1＝∠2． 所以△ACD ∽△BCE ．所以AC BCAD BE=．因此AC ·BE ＝BC ·AD ．图2 图3（2）在Rt △ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，所以AC ＝4．所以S △ABC ＝6．如图3，由于△ABC 与△ADC 是同高三角形，所以S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ＝x ∶5． 所以S △ADC ＝65x ．所以S △BDC ＝665x -． 由△ADC ∽△BEC ，得S △ADC ∶S △BEC ＝AC 2∶BC 2＝16∶9．所以S △BEC ＝916S △ADC ＝96165x ⨯＝2740x ． 所以S ＝S 四边形BDCE ＝S △BDC ＋S △BEC ＝6276540x x -+＝21640x -+．定义域是0＜x ＜5．（3）如图3，由△ACD ∽△BCE ，得AC BCAD BE=，∠A ＝∠CBE ． 由43x BE =，得BE ＝34x ． 由∠A ＝∠CBE ，∠A 与∠ABC 互余，得∠ABE ＝90°（如图4）．所以S △BDE ＝1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--． 当S △BDE ＝14S △ABC ＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x --=，得x ＝1，或x ＝4．图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H ．①如图5，当x ＝AD ＝1时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝35，AH ＝45AD ＝45． 在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝416455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH ＝316．②如图6，当x ＝AD ＝4时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝125，AH ＝45AD ＝165．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝164455-=，所以tan ∠HCD ＝DHCH＝3． 综合①、②，当S △BDE ＝14S △ABC 时， tan ∠BCE 的值为316或3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积； （3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3． 由tan ∠CBA ＝OC OB ＝12，得OB ＝6，B (6, 0)． 将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--． （2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+． 当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EF BOBF CO==．所以EF ＝2BF ． 解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)． 当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ． 解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==． （1）当x ＝1时，求AG ∶AB 的值； （2）设GDHEBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点． 因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ． 所以AG ∶AB ＝1∶2．（2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ． 由AD //BC ，得BE EFx AG AF ==．所以12BE AG m x ==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4 如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ． 因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ． 因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ． 所以△GDH ∽△EBA ．所以y ＝GDH EBA S S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -． （3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DH DG xm m m x HM GA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ． DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC 的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2．满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =． 因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)． （2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO =，tan ∠BCO ＝2BOCO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55． ②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4． 根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2 图3 图4如图1，已知直线l1//l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，D是CB的延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D与点D′重合．（1）如图1，当点D落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交直线l1于点E，直线OD′分别交直线l1、l2于点M、N．①如图2，当点E在线段AM上时，设AE＝x，DN＝y，求y关于x的解析式及定义域；②若△DON AE的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D在CB的延长线上运动，可以体验到，CD′与AB保持平行，△BON与△BDO保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN＝3．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，O是AB的中点，所以△OBC是边长为2的等边三角形．又因为△DOC与△D′OC关于CO对称，所以∠BCD′＝120°，CD′＝CD．所以AB//D′C．当点D′ 落在直线l1上时，AD′//BC．所以四边形ABCD′是平行四边形．所以CD′＝BA＝4．此时BD＝CD－CB＝CD′－CB＝4－2＝2．图3（2）①如图4，由于AE//BD，O是AB的中点，所以AE＝BD＝x．因为AB//D′C，所以∠AOM＝∠2．又因为∠AOM＝∠BON，∠2＝∠1，所以∠BON＝∠1．又因为∠OBN＝∠DBO，所以△BON∽△BDO．所以BO BDBN BO=．因此22xx y=+．于是得到24xyx-=．定义域是0＜x≤2．②在△DON中，DN当S△DON DN＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D在BN上时，DN＝24xyx-=＝3，解得x＝1，或x＝－4．此时AE＝1．情形2，如图5，当D在BN的延长线上时，由BO BDBN BO=，得22xx y=-．于是得到24xyx-=．当DN＝24xyx-=＝3时，解得x＝4，或x＝－1．此时AE＝4．图4 图5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --． 点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝BC ＝AB ＝6，CO ＝4． 作BH ⊥AC 于H ．由S △ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC ⋅=＝因此sin ∠ACB ＝BH BC ．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QP OC ==． 所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得m =图2所以点P 的横坐标m ．如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DCCA的值； （2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时，求BFFG的值； ②如图3，当CE ＝BC 时，求BCDBEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ．满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DADC DB=． 又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CDDA AB BD==． 又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =，12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DCCA=． （2）①如图4，由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2． 当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BCCA CE =．所以BD //AE ． 所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA =．所以23BF BD FG GA ==．②如图5，作EH⊥BG，垂足为H．当CE＝BC时，CF是△BEH的中位线，BF＝FH．设CF＝m．由tan∠1＝tan∠3＝12，得BF＝2m，AF＝4m．所以FH＝2m，EH＝2m，DC＝1533CA m=．因此422FG AF mHG EH m===．所以2433FG FH m==．所以103BG m=．于是5121321102323BCDBEGm mDC BFSS BG EH m m⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y 轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ． （1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似．满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1． 由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1．又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=． 解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)． 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB ＝45，点E 在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况．满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ． 在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ． 所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ． 因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEB S AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEF x x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x≤5． 定义域中x＝5的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECB CE=，列方程1010x xx-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD＝90°，那么在Rt△BCG和Rt△BEH中，tan∠GBC＝335104504xGC HE xGB HB x x ===--．由（1）得∠ACD＝∠CBE．由cos∠ACD＝cos∠CBE，得GC GBCE BC=．所以10GC CE xGB BC==．因此350410x xx=-．解得x＝5．此时S△AEF＝23(10)15xyx-==．②如图6，如果∠FDG＝90°，那么在Rt△ADC中，AD＝AC cos∠CAD＝4105⨯＝8．此时S△AEF＝23(10)32xyx-==．图5 图6例 2016年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3, 0)，与y 轴交于点C (0,－3)，点P 是直线BC 下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，如果四边形POP ′C 为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P 在直线BC 下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP ′C 为菱形时，PP ′垂直平分OC ．还可以体验到，当点P 与抛物线的顶点重合时，或者点P 落在以BC 为直径的圆上时，△PCB 是直角三角形．满分解答（1）将B (3, 0)、C (0,－3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩．解得b ＝－2，c ＝－3．所以二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）如图2，如果四边形POP ′C 为菱形，那么PP ′垂直平分OC ，所以y P ＝32-．解方程23232x x --=-，得22x =．所以点P 的坐标为23()22-．图2 图3 图4（3）由y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)＝(x －1)2－4，得A (－1, 0)，顶点M (1,－4)． 在Rt △AOC 中，OA ∶OC ＝1∶3．分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似：①如图3，作MN⊥y轴于N．由B(3, 0)、C(0,－3)，M(1,－4)，可得∠BOC＝∠MCN＝45°，所以∠BCM＝90°．又因为CM∶CB＝1∶3，所以当点P与点M(1,－4)重合时，△PCB∽△AOC．②如图4，当∠BPC＝90°时，构造△AEP∽△PFB，那么CE PF EP FB=．设P(x, x2－2x－3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x-----=---．化简，得1(2)1xx--=+．解得x=．此时点P的横坐标为x=．而2(23)32CB NB x xxCP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC＝90°时，△PCB与△AOC不相似．例 2016年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点G ，已知AB ＝BC ＝3，tan ∠BDC ＝12，点E 是射线BC 上任意一点，过点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，交射线AC 于点M ，交射线DC 于点H ．（1）当点F 是线段BH 的中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE ＝x ，CM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E 在射线BC 上运动，可以体验到，点G 是BD 的一个三等分点，CH 始终都有CE 的一半．还可以体验到，GF 可以与BC 垂直，也可以与DC 垂直．满分解答（1）在Rt △BCD 中，BC ＝3，tan ∠BDC ＝BC DC ＝12，所以DC ＝6，DB ＝．如图2，当点F 是线段BH 的中点时，DF 垂直平分BH ，所以DH ＝DB ＝．此时CH ＝DB －DC ＝6．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角，所以∠CBH ＝∠CDE ． 由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CE CB CD =，即336CH x-=． 又因为CH //AB ，所以CH MC AB MA =，即3CH =．因此36x -=．整理，得)3x y x -=+．x 的取值范围是0＜x ＜3． （3）如图4，不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上，都有12BG AB GD DC ==， 12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ．所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-． 由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x---=-． 整理，得242450x x -+=．解得21x =±21BE =- ②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ． 所以23QF DQ DG CE DC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-． 由QF //BC ，得QF QH BC CH =，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-． 整理，得223450x x --=．解得x =34BE +=．图4 图5 图6如图1，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （a ＞0）与x 轴交于A (－3,0)、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，抛物线的顶点为M ．（1）求a 、c 的值； （2）求tan ∠MAC 的值；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P 在线段AC 上运动，可以体验到，△COP 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）将A (－3,0)、C (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩解得a ＝1，c ＝－3．（2）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得顶点M 的坐标为(－1,－4)． 如图2，作MN ⊥y 轴于N ．由A (－3,0)、C (0,－3)、M (－1,－4)，可得OA ＝OC ＝3，NC ＝NM ＝1．所以∠ACO ＝∠MCN ＝45°，AC ＝MC ． 所以∠ACM ＝90°．因此tan ∠MAC ＝MC AC＝13． （3）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，得B (1, 0)．所以AB ＝4．如图3，在△COP 与△ABC 中，∠OCP ＝∠BAC ＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCO AC =时，3CP =CP =P 的坐标为(－2,－1)．当CP AC CO AB =时，3CP =CP =．此时点P 的坐标为93(,)44--．图2 图3如图1，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与A 、D 不重合），∠EBM ＝45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线于点G ，交CD 于点M ．（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）如图2，联结EG ，设AE ＝x ，EG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M 为边DC 的三等分点时，求S △EGF 的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E 在AD 边上运动，可以体验到， △EBD 与△GBC 保持相似，△EBG 保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以∠1＝∠2． 又因为∠EDB ＝∠GCB ＝45°，所以△DEB ∽△CGB ．因此DE DBCG CB==图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DBGB CB=． 又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）． 所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE所以y ＝EG ＝2BE ． 定义域是0＜x ＜6．（3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGF EGB S EF S EB =△△， 所以2364EGFEF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE，所以 x ＝AE ＝AD －DE＝6．①如图6，当13CM CD =时，13CG CM AG AB ==．所以1144CG CA ==⨯此时x ＝AE＝6-＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154． ②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==．所以2255CG CA ==⨯=此时x ＝AE＝6-＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGFEF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6 图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ： 如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面2GB CB EB DB ==，另一方面cos 452HB GB =︒=，所以GB HBEB GB=． 于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形． 如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ： 在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝ENx ． 又因为CG)x -，所以GN ＝AC －AN －CG＝所以y＝EG．如图10，第（2）题如果构造Rt△EGQ和Rt△CGP，也可以求斜边EG＝y：由于CG)x-，所以CP＝GP＝1(6)2x-＝132x-．所以GQ＝PD＝16(3)2x--＝132x+，EQ＝16(3)2x x---＝132x-．所以y＝EG．图8 图9 图10如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况．满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩ 解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+． 所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=．（2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)．因此cot ∠ADO ＝OD OA ＝248＝3．（3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠P AQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CAx CP=． （1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答（1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AH CAx PD CP===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AH CAx PD CP ==，得AH ＝xPD ＝3x ． 又因为tan ∠MBN ＝AHBH ＝3，所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m xx m -=-．整理，得81xm x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321xx x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC 中，BA ，cos ∠ABC BC ＝81x x -．①如图4，当BA ＝BC 81x x =-，得1x = ②如图5，当AB ＝AC 时，BC ＝2BH ．解方程821xx x =-，得x ＝5．③如图6，当CA ＝CB 时，由cos ∠ABC ，得12AB =．解方程1821x x =-，得135x =．图4 图5 图6如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠P AB ＝∠CAB ，求点P 的坐标；（3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠P AB ＝tan ∠CAB ，得3PH CO AH AO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝ABC ＝∠BCO ＝45°． 当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC 相似： 如图3，当CD BACB BC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)．如图4，当CD BCCB BA =4=92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝∠BCD ＝45°，AD ＝3，BC ＝9，点P 是对角线AC 上的一个动点，且∠APE ＝∠B ，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ．（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（2）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG 时，求AE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，DGDE 也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，那么MN ＝AD ＝3．在Rt △ABM 中，BM ＝3，∠B ＝45°，所以AM ＝3，AB ＝在Rt △AMC 中，AM ＝3，MC ＝6，所以CA ＝ 如图4，由AD //BC ，得∠1＝∠2．又因为∠APE ＝∠B ，当E 、D 重合时，△APD ∽△CBA ．所以AP CBAD CA =．因此3AP =AP ＝5． （2）如图5，设（1）中E 、D 重合时点P 的对应点为F ． 因为∠AFD ＝∠APE ＝45°，所以FD //PE ．所以AF AD AP AE =33y=+．因此33y x =-．定义域是5＜x ≤．图3 图4 图5（3）如图6，因为CA =AF =，所以FC =．由DF //PE ，得13FP DG FC DC ===．所以FP =．由DF //PE ，9552AD AF DE FP ==÷=．所以2293DE AD ==． ①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=． ②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2016年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB＝抛物线235y x bx c =++经过点A 和B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴； （3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况．满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°．又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB＝B 到x 轴、y 轴的距离都为2． 所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO＝，BA ＝BCBD＝如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BM MA BE BN NE==． 设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-．图2 图3当点E 在射线BA 上时，∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似：①当BE BCBO BD ==BE =1322x y==+-．解得x ＝43-，y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBO BC ==BE =1322x y==+-．解得x ＝45-，y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5）．图4 图5例 2016年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD 中，∠C ＝60°，AB ＝AD ＝5，CB ＝CD ＝8，点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的动点，AQ 与BP 交于点E ，且∠BEQ ＝90°－12∠BAD ．设A 、P 两点间的距离为x ．（1）求∠BEQ 的正切值； （2）设AEPE＝y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当△AEP 是等腰三角形时，求B 、Q 两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P 在AD 边上运动，可以体验到， ∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ，△ABF ∽△BEF ∽△BDP ，△AEP ∽△ADF ．满分解答（1）如图2，联结BD 、AC 交于点H ．因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以A 、C 在BD 的垂直平分线上． 所以AC 垂直平分BD ．因此∠BAH ＝12∠BAD ． 因为∠BEQ ＝90°－12∠BAD ， 所以∠BEQ ＝90°－∠BAH ＝∠ABH ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，BH ＝4，所以AH ＝3． 所以tan ∠BEQ ＝tan ∠ABH ＝34． 图2 （2）如图3，由于∠BEQ ＝∠ABH ，∠BEQ ＝∠AEP ，∠ABH ＝∠ADH ， 所以∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ．图3 图4 图5如图3，因为∠BF A 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ． 如图4，因为∠DBP 是公共角，所以△BEF ∽△BDP ．所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-． 所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ． 所以5401539(539)8AE AD y PE FD x x ====++．定义域是0≤x ≤5． （3）分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）． 此时BF ＝3，HF ＝1． 作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中，∠QBM ＝60°，设BQ ＝m ，那么12BM m =，QM =． 在Rt △FMQ 中，132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HF A ＝3，所以QM ＝3FM ．13(3)2m =-，得BQ ＝m＝9- ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合，P 与D 重合，此时Q 与B 重合，BQ ＝0． ③不存在PE ＝P A 的情况，因为∠P AE ＞∠P AH ＞∠AEP ．图6 图7如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM相似，求点M 的坐标． 图1动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况．满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)． 将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+． （2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3．当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-． （3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝，CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM ABCO AC =时，4CM =CM =M (－3, 1)（如图3）．②当CM AC CO AB =时，46CM =CM =M 84(,)33-（如图4）．图2 图3 图4如图1，已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF＝∠B，直线CF交直线AB于点M．（1）求∠B的余弦值；（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图，并求BM的长；（3）当点M在AB的延长线上时，设BE＝x，BM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E在AB上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE与△MBC保持相似．满分解答（1）如图2，作AN⊥BC于N，联结BD交AC于O，那么BO垂直平分AC．在Rt△ABO中，AB＝5，AO＝3，所以BO＝4．因为S菱形ABCD＝12AC BD⋅＝BC AN⋅，所以64=5AN⨯⨯．解得AN＝245．在Rt△ABN中，AB＝5，AN＝245，所以BN＝75．因此cos∠B＝BNAB＝725．（2）如图3，当点E与点A重合时，由于∠ECF＝∠B，∠FEC＝∠1，所以△ECF∽△ABC．所以EF ACEC AB=，即665EF=．解得365EF=．由BC//AF，得AM AFBM BC=，即53625BMBM+=．解得12511BM=．图2 图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ． 如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MBME MC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+． 作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2．因此222247()(5)2525xy y y y +=++． 整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6例 2016年上海市闸北区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C (0, 2)，对称轴为直线x ＝1，对称轴交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D 的坐标；（2）设点F 在抛物线上，如果四边形AEFD 是梯形，求点F 的坐标；（3）联结BD ，设点P 在线段BD 上，若△EBP 与△ABD 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闸北一模24”，梯形AEFD 只存在一种情况．拖动点P 在BD 边上运动，可以体验到，△EBP 与△ABD 相似存在两种情况．满分解答（1）点A (－1,0)关于直线x ＝1的对称点B 的坐标为(3, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 2)，得2＝－3a ． 解得23a =-．所以2222428(1)(3)2(1)33333y x x x x x =-+-=-++=--+． 顶点D 的坐标为8(1,)3． （2）过△ADE 的三个顶点分别画对边的平行线，只有经过点E 的直线与抛物线有另外的交点，在第一象限内的交点就是梯形AEFD 的顶点F ．设F 224(,2)33x x x -++． 作FH ⊥x 轴于H ，那么∠FEH ＝∠DAE ． 由tan ∠FEH ＝tan ∠DAE ，得43FH DE EH AE ==．所以43FH EH =．解方程22442(1)333x x x -++=-，得x =F ．图2 图3 图4。
上海市闸北区高三数学上学期12月月考试卷(含解析)
2015-2016学年上海市闸北区高三（上）12月月考数学试卷一、填空题（本大题共9题，每题6分，共54分）1．的展开式的常数项是．2．函数的单调性为；奇偶性为．3．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．4．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是．5．如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A测得水坝对面的山顶P的仰角为40°，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B测得∠ABP=56°，若坝面与水平面所成的锐角为30°，则山高为米；（结果四舍五入取整）6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．7．已知等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n}的前n项和S n取最大值的正整数n的值是．8．过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是．9．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）10．“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．112．已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大三、解答题（本大题共4题，共18+20+20+20=78分）13．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈[，），将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆与点B，过B作BC⊥y轴于点C．（1）若点A的纵坐标为，求点B的横坐标；（2）求△AOC的面积S的最大值．14．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．15．如图，已知动直线l交圆（x﹣3）2+y2=9于坐标原点O和点A，交直线x=6于点B；（1）若|OB|=3，求点A、点B的坐标；（2）设动点M满足，其轨迹为曲线C，求曲线C的方程F（x，y）=0；（3）请指出曲线C的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；（4）判断曲线C是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且点（n，S n）在函数y=2x+1﹣2的图象上．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足：b1=0，b n+1+b n=a n，求数列{b n}的前n项和公式；（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式b n＜λb n+1恒成立，求实数λ的取值范围．2015-2016学年上海市闸北区高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共9题，每题6分，共54分）1．的展开式的常数项是 3 ．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】把所给的二项式展开，观察分析可得展开式中的常数项的值．【解答】解：∵而项式=（x2+2）•（•﹣•+•﹣•+•﹣1），故它的展开式的常数项为﹣2=3，故答案为 3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．2．函数的单调性为单调递增；奇偶性为奇函数．【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据复合函数单调性的性质判断函数的定义域，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）=ln（1+x）为增函数，且f（x）≥f（0）=0，当x＜0时，f（x）=ln=﹣ln（1﹣x）为增函数，且f（x）＜0，则函数f（x）在定义域上为增函数，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=ln（1﹣x），f（x）=ln=﹣ln（1﹣x），此时f（﹣x）=﹣f（x），若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=ln=﹣ln（1+x），此时f（﹣x）=﹣f（x），综上f（﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．故答案为：单调递增，奇函数；【点评】本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义以及复合函数单调性的性质是解决本题的关键．3．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；综合题．【分析】正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，，a=该正三棱锥的体积：故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．4．如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，E为CD的中点，则的值是 1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】将表示为+，再利用向量的运算法则，数量积的定义求解．【解答】解：在菱形ABCD中，AB=1，∠BAD=60°，=+，∴==1×1×cos60°+×12=1．故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积运算．考查向量的加减运算．5．如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A测得水坝对面的山顶P的仰角为40°，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B测得∠ABP=56°，若坝面与水平面所成的锐角为30°，则山高为176 米；（结果四舍五入取整）【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】在△PAB中使用正弦定理求出PA的长，再在直角三角形中利用三角函数定义求出上高．【解答】解：如图，∠PAB=180°﹣30°﹣40°=110°，∴∠APB=180°﹣110°﹣56°=14°．在△ABP中，由正弦定理得：，即，∴AP=≈274.4．∴山高h=APsin40°≈176．故答案为176．【点评】本题考查了解三角形的实际应用，属于中档题．6．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96 ．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．7．已知等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，则使数列{a n}的前n项和S n取最大值的正整数n的值是 5 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题意易得d＜0，a n=（n﹣）d，令（n﹣）d≤0，可得等差数列{a n}的前5项为正，从第6项开始为负，从而可得答案．【解答】解：因为关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0，9]，所以d＜0，且81d+18a1=0，解得a1=，故a n=a1+（n﹣1）d=（n﹣）d，令（n﹣）d≤0，（注意d＜0），解得n≥，即等差数列{a n}的前5项为正，从第6项开始为负，故数列{a n}的前5项和S5取最大，故答案为：5【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值问题，涉及一元二次不等式的解集，属基础题．8．过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果，那么y0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由，得≥，可得OM≤2，即可求出y0的取值范围．【解答】解：∵，∴≥，∴OM≤2，∴3+y02≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．9．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：①f（）=；②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是②．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】当0≤x≤arctan2时，f（x）=；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣；当x=时，f（x）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．即可判断出．【解答】解：当0≤x≤arctan2时，f（x）==；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣=2﹣；当x=时，f（x）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．于是可得：①==，正确；②由图形可得：∀x∈[0，π]），f（x）+f（π﹣x）=4，因此对任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4，故正确；③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．综上只有：①②正确．故答案为：①②．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、面积的计算方法、正方形的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）10．“抛物线y=ax2的准线方程为y=2”是“抛物线y=ax2的焦点与双曲线的焦点重合”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据充分必要条件的定义结合双曲线和抛物线的定义判断即可．【解答】解：①抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．②双曲线﹣x2=1的a=，b=1，c==2，则焦点为（0，±2），抛物线y=ax2即为x2=，y的焦点为（0，），由题意可得，=±2，解得，a=±．故选：A．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查运算能力，考查充分必要条件，属于基础题和易错题．11．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出下列四个命题：①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】由题意可依据空间中点线面的位置关系对四个命题作出判断得到正确选项，①可用平面之间的位置关系判断，②可用直线与平面平行的条件判断，③利用相交平面以及直线与平面平行的性质，判断；④利用直线与平面垂直的性质判断即可．【解答】解：由于α，β垂直于同一平面，则α与β平行，利用正方体的两个相邻侧面不满足题意，故①不对；若m，n平行于同一平面，则m与n平行，可能相交也可能平行也可以异面，故②不对；若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线，利用正方体中点侧面与底面，侧面的上底面的棱与下底面的棱，能够找到平行线，所以③不正确；若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面，如果两条直线垂直同一个平面，则两条直线平行，所以④正确．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握空间中线线平行、面面平行、线线垂直的条件及有着较强的空间想像能力，本题考查了推理判断的能力．12．已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；函数思想；向量法；平面向量及应用．【分析】分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），进而可求出tanθn，结合函数的单调性即可判断．【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．三、解答题（本大题共4题，共18+20+20+20=78分）13．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈[，），将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆与点B，过B作BC⊥y轴于点C．（1）若点A的纵坐标为，求点B的横坐标；（2）求△AOC的面积S的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】（1）先分别表示出A，B的坐标，求得sinα的值，进而求得α，则B的横坐标可求．（2）分别表示出）|OA|，|OC|和∠AOC，利用三角形面积公式表示出S，利用两角和公式化简，根据α的范围确定S的最大值．【解答】解：（1）由定义得，A（cosα，sinα），B（cos（α+），sin（α+）），依题意知sinα=，α∈[，]，所以α=，所以点B的横坐标为cos（α+）=cos=﹣，（2）∵|OA|=1，|OC|=sin（α+），∠AOC=﹣α，∴S=|OA|•|OC|sin∠AOC=sin（α+）sin（﹣α）=（sinα+cosα）cosα=（sinαcosα+cos2α）=（sin2α+cos2α）+=sin（2α+）+，∵α∈[，]，∴（2α+）∈[，），∴当2α+）=，即α=时，sin（2α+）取最大值，∴S的最大值为．【点评】本题主要考查了三角函数的定义，最值，两角和与差的三角公式，二倍角公式三角函数的恒等变换等．考查了运算求解能力，数形结合思想，转化与化归思想的运用．14．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p万件与促销费用x万元满足：p=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本10+2p万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y=，将p=3﹣代入化简得：（0≤x≤a）；（Ⅱ）===﹣，当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增，当x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减，从而促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增，所以在[0，a]上单调递增，故当x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大，为=13 万元；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大，为万元．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．15．如图，已知动直线l交圆（x﹣3）2+y2=9于坐标原点O和点A，交直线x=6于点B；（1）若|OB|=3，求点A、点B的坐标；（2）设动点M满足，其轨迹为曲线C，求曲线C的方程F（x，y）=0；（3）请指出曲线C的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；（4）判断曲线C是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）由题意求出B的纵坐标，得到直线OA的方程，与圆的方程联立求点A、点B 的坐标；（2）设出OA所在直线方程，与圆的方程联立求出A的坐标，再求出B的坐标，然后利用向量相等得到关于M的参数方程，消去参数后得答案；（3）取y为﹣y，曲线方程不变，可得曲线C关于x轴对称，再由y2≥0求得范围；（4）直接由x→6，→+∞得到曲线的渐近线方程．【解答】解：（1）由已知可得B点的横坐标为6，则纵坐标为=±3，设直线l为y=kx，把B点坐标代入得k=则，联立，解得．∴A（，），B（6，±3）；（2）设OA所在直线方程为y=kx，联立，得，又x B=6，y B=6k，∴，设M（x，y），则，消去k得：；（3）取y为﹣y，曲线方程不变，∴曲线C关于x轴对称；由，解得：0≤x＜6，∴曲线C的顶点为（0，0）；图形范围满足x∈[0，6）；（4）当0≤x＜6时，若x→6，则→+∞，∴曲线C的渐近线方程为x=6．【点评】本题考查直线和圆的位置关系的应用，考查了曲线参数方程的求法，训练了极限思想方法的应用，是中档题．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且点（n，S n）在函数y=2x+1﹣2的图象上．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列{b n}满足：b1=0，b n+1+b n=a n，求数列{b n}的前n项和公式；（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式b n＜λb n+1恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I）由题意可知，分当n=1，和n≥2两种情况，可得数列{a n}的通项公式；（II）可得，分n为奇数和n为偶数，由累加的方法，结合等比数列的求和公式可得答案；（III）由（II）可知，分当n为偶数和奇数时，考虑数列的单调性，可得的最大值是1，进而可得结论．【解答】解：（I）由题意可知，．当n≥2时，，当n=1时，也满足上式，所以．…（II）由（I）可知，即．当k=1时，，…①当k=2时，，所以，…②当k=3时，，…③当k=4时，，所以，…④……当k=n﹣1时（n为偶数），，所以…n﹣1以上n﹣1个式子相加，得===，又b1=0，所以，当n为偶数时，．同理，当n为奇数时，=，所以，当n为奇数时，．…因此，当n为偶数时，数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+…+b n===；当n为奇数时，数列{b n}的前n项和T n=b1+b2+…+b n﹣1+b n===．故数列{b n}的前n项和．…（III）由（II）可知，①当n为偶数时，，所以随n的增大而减小，从而，当n为偶数时，的最大值是．②当n为奇数时，，所以随n的增大而增大，且．综上，的最大值是1．因此，若对于任意的n∈N*，不等式b n＜λb n+1恒成立，只需λ＞1，故实数λ的取值范围是（1，+∞）．…【点评】本题考查数列的求和，涉及等差数列等比数列，以及分类讨论的思想，属中档题．。
闸北区12届高三一模试卷(数学)
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附：为了保证答疑的有效性，同学们可以提前下载答疑材料进行预习，有问题可以在答疑中进行提问.
2011学年第一学期高三理科数学期末练习卷
参考答案与评分标准
一、1．； 2．； 3．；
20．解：（1）①设，
则设
（或）
当时，对任意的， （或）恒成立，
故为等比数列； ............................................................3分
.........................................................1分
则
，
于是有， ............................................................4分
化简，得，故，． ............................................................1分
（2）由（1）有，方程（*）可化为 ..................1分
学校地址:上海市徐汇区广元西路45号3层 学员服务热线：31265528
于是，长方形的面积， ..............................4分
所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形......2分
（2）证法一： ..............................4分
．
故，．........................4分
若，．......................................................1分
2016届高三12月摸底考试数学(理)试题
理科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}{}()1,2,3,4,5,1,2,3,2,4,U U A B A C B ===⋂=则 A.{}1,2,3,5B. {}2,4C. {}1,3D. {}2,52.已知复数z 满足4312iz i+=+，则z= A. 2i + B. 2i - C. 12i + D . 12i -3.函数1y gx=的定义域是 A. ()0,2B. ()()0,11,2⋃C. (]0,2 D . ()(]0,11,2⋃4.某调查机构调查了当地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（如图所示），则新生婴儿的体重（单位：kg ）在[)3,2,4,0的人数是 A.30 B.40C.50D.555.不等式3529x ≤-<的解集为 A. (][)2,14,7-⋃ B. (](]2,14,7-⋃ C. [)(]2,14,7--⋃D. [)[)2,14,7-⋃6.已知实数,x y 满足2010,210x y x y z x y x y -≤⎧⎪-+≥=+⎨⎪++≥⎩则的最大值为A. 2-B. 1-C.0D.47.根据如图框图，当输入的3x =时，则输出的y 为 A.0 B.9 C.10 D.198.圆()2211x y -+=被直线y x =分成两段圆孤，则较短弧长与长弧长之比为A.1：2B.1：3C.1：4D.1：59.已知数列{}n a 中，114,2nn n a a a a n n+==+，则的最小值为 A.2 B.3 C.4D.510.已知()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x >时不等式()()0f x xf x '+<成立，若()()0.30.3331133,log 3log 3,log log ,,,99a f b f c f a b c ππ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭则大小关系是A. a b c >>B. c a b >>C. a c b >>D. b a c >>第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为4的圆面的四分之一，则该几何体的体积为__________. 12.函数sin 2cos 2y x x =-的单调递减区间是________.13.若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是其一个焦点到一条渐近线距离的4倍，则该双曲线的离心率为_________.14.如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧AB 上的点，M 、N 是AB 上的两个三等分点，且AB=6，则PM PN ⋅=_________.15.已知()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，当[]0,3x ∈时，()()2log 1f x x =+函数()[]22,3,3g x x x m x =-+∈-.如果对于任意[]13,3x ∈-，存在[]23,3x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数m 的取值范围是_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本题满分12分） 已知函数()2sin sin ,63f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）在ABC ∆中，若4A π=，角C 满足1262C f π⎛⎫+=⎪⎝⎭，求BCAB的值. 17. （本题满分12分）如图，ABC ∆是边长为4的等边三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，AD BD ⊥，平面ABC ⊥平面ABD ，且EC ⊥平面ABC ，2EC =.（I ）证明：DE//平面ABC ；（II ）求平面AEC 和平面BDE 所成锐二面角的余弦值. 18. （本题满分12分）某次数学测验共有3道题，评分标准规定：“每题答对得5分，答错得0分”.已知某考生能正确解答这3道题的概率分别为312525，，，且各个问题能否正确解答互不影响. （I ）求该考生至少答对一道题的概率；（II ）记该考生所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19. （本题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且21232621,4a a a a a +==. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足：()()1ln 3nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S . 20. （本题满分13分）已知椭圆()2222:101x y C a b a b ⎛+=>> ⎝⎭过点（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）设椭圆C 的下顶点为A ，直线l 过定点302Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，与椭圆交于两个不同的点M 、N ，且满足AM AN =.求直线l 的方程. 21. （本题满分14分）设函数()22ln 2,f x x x ax a a R =+-+∈.（I ）讨论函数()f x 极值点的情况；（II ）若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调函数，试求实数a 的取值范围.。
上海市闸北区2016届高三12月模拟(一模)考试数学试题(文)
上海市闸北区2016届高三一模数学文试卷 2015.12 一. 填空题（本大题共9题，每题6分，共54分）1. 二项式7(2)a x x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a 的值为 ； 2. 函数(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩的单调性为 ；奇偶性为 ；3. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 ；4. 在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ︒∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅的值是 ；5. 已知22log log 1a b +≥，则39a b +的最小值为＿＿＿＿6. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ；（用数字作答）7. 过点0(3,)M y 作圆22:1O x y +=的切线，切点为N ，如果0y ＝0，那么切线的斜率是 ；8、等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[0,9]，则使数列 {}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ；9. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为x ([0,])x π∈，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①3()3f π=；② 对任意[0,]2x π∈，都有()()422f x f x ππ-++=； ③ 对任意12,(,)2x x ππ∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-； 其中所有正确结论的序号是 ；二. 选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）10. “18a =”是“抛物线2y ax =的焦点与与双曲线2213y x -=的焦点重合”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出下列四个命题：① 若,αβ垂直于同一平面，则α与β平行；② 若,m n 平行于同一平面，则m 与n 平行；③ 若,αβ不平行，则在α内不存在与β平行的直线；④ 若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 112. 已知i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n i a n ⋅=，21n j a n ⋅=+，*n N ∈，设n θ为i 和n a 的夹角，则（ ）A. n θ随着n 的增大而增大B. n θ随着n 的增大而减小C. 随着n 的增大，n θ先增大后减小D. 随着n 的增大，n θ先减小后增大三. 解答题（本大题共4题，共18+20+20+20=78分）13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，且[,)42ππα∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π，交单位圆 于点B ，过B 作BC y ⊥轴于点C ；（1）若点A 的纵坐标为2，求点B 的横坐标； （2）求△AOC 的面积S 的最大值；14. （20分）有一块铁皮零件，其形状是由边长为30cm 的正方形截去一个三角形ABF 所得的五边形ABCDE ，其中8,6AF cm BF cm ==，如图所示．现在需要用这块材料截取矩形铁皮DMPN ，使得矩形相邻两边分别落在,CD DE 上，另一顶点P 落在边CB 或BA 边上．设DM x =cm ，矩形DMPN 的面积为y 2cm ．(1)试求出矩形铁皮DMPN 的面积y 关于x 的函数解析式， 并写出定义域；(2)试问如何截取(即x 取何值时)，可使得到的矩形DMPN 的面积最大？15. 如图，已知动直线y kx =l 交圆22(3)9x y -+=于坐标原点O 和点A ，交直线6x =于点B ；（1）试用k 表示点A 、点B 的坐标；（2）设动点M 满足OM AB =，其轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程(,)0F x y =；（3）请指出曲线C 的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(,)n n S *()n N ∈在函数122x y +=-的图像上；（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：10b =，1n n n b b a ++=，求{}n b 的通项公式； （3）在第（2）问的条件下，若对于任意的*n N ∈，不等式1n n b b λ+<恒成立，求实数λ的取值范围；。
上海市闸北区2016届高三下学期期中练习数学(理、文合卷)试卷 Word版含答案
闸北区2015学年度第二学期高三数学（理、文合卷）期中练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．设函数()(01x x f x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f++的值是 ．2．已知集合{||2|}A x x a =-<，2{|230}B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．3．如果复数z 满足||1z =且2z a bi =+，其中,a b R ∈，则a b +的最大值是 ． 4．（理 ）在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量OA ，OB 在向量OC 方向上的投影相同，则34a b -的值是 ．（文）已知x 、y 满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,若使得z ax y =+取最大值的点(,)x y 有无数个,则a的值等于 ．5．（理）某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是 元．（文））在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量OA ，OB 在向量OC 方向上的投影相同，则34a b -的值是 ．6．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为9，则b = ．7．ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边且222ac c b a +=-，若ABC ∆最大边长sin 2sin C A =，则ABC ∆最小边的边长为 ．8．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．（文）设等差数列{}n a 的公差为d ，若1234567,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d = ．9．（理）如右图，A 、B 是直线l 上的两点，且2AB =，两个半径相等的动圆分别与l 相切于A 、B 两点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，圆弧CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．（文）已知函数2cos,||1()21,||1xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是 个．10．（理）设函数2()1f x x =-，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x ，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ． （文）设函数1()f x x x=-,对任意[1,)x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是 ．二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11．（理）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P ||1a b ->是命题5:[,)26Q ππθ∈的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分且非必要条件（文）若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是,,a b c ，则长方体的对角线长是( )ABCD12．（理）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==BC O 的表面积等于（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．π（文）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P ||1a b ->是命题5:[,)26Q ππθ∈的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分且非必要条件CBAlD 1 .A 1CEABCD B 113．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（理）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上移动． （1）探求AE 多长时，直线1D E 与平面11AA D D成45角；（2）点E 移动为棱AB 中点时，求点E 到平面11A DC 的距离．14．（文）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图几何体是由一个棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -与一个侧棱长为2的正四棱锥1111P A BC D -组合而成． （1）求该几何体的主视图的面积；（2）若点E 是棱BC 的中点，求异面直线AE 与1PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.A 1B 1C 1D 1EC BA P D .某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足42+=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本)1(6PP +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为)204(P+元／件． （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 16．（本题满分15分，第（1）小题7分，第（2）小题8分）已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的周期为π，图象的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭.将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）（理）求证：存在0(,)64x ππ∈，使得0()f x ，0()g x ，00()()f x g x ⋅能按照某种顺序．．．．成等差数列．（文）定义：当函数取得最值时，函数图像上对应的点称为函数的最值点，如果函数()xy F x kπ==的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆222(0)x y k k +=>的内部或圆周上，求k 的取值范围．若动点M 到定点(0,1)A 与定直线:3l y =的距离之和为4． （1）求点M 的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；（2）（理）记（1）得到的轨迹为曲线C ，问曲线C 上关于点(0,)()B t t R ∈对称的不同点有几对？请说明理由．（文）记（1）得到的轨迹为曲线C ，若曲线C 上恰有三对不同的点关于点(0,)()B t t R ∈对称，求t 的取值范围．18．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题8分）已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足(1)2n n n S +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-；（3）（理）已知当*n N ∈，且6n ≥时有1(1)()32n m m n -<+，其中1,2,,m n =，求满足34(2)(3)n a n n n n n a ++++=+的所有n 的值．（文）若函数1()(1)31qx f x p =-⋅+的定义域为R ，并且lim ()0(*)n n f a n N →∞=∈，求证1p q +>．高三数学（理文合卷）期中练习卷参考答案一、填空题1、122、3a ≥ 34、（理）2；（文）1-5、（理）5000；（文）26、37、18、（理）1（文）12± 9、（理）(0,2]2π-；（文）510、（理）m ≤或m ≥；（文）1m <-二、11、B 12、（理）A ；（文）B 13、C三、14、（理）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）解：（1）法一：长方体1111ABCD A BC D -中，因为点E 在棱AB 上移动， 所以EA ⊥平面11AA D D ，从而1ED A ∠为直线1D E 与平面11AA D D 所成的平面角，1Rt ED A ∆中，145ED A ∠=1AE AD ⇒== ……………………………5分法二：以D 为坐标原点，射线1,,DA DC DD 依次为,,x y z 轴轴，建立空间直角坐标系，则点1(0,0,1)D ，平面11AA D D 的法向量为(0,2,0)DC =，设(1,,0)E y ，得1(1,,1)D E y =-，由11sin4D EDC D E DCπ⋅=，得y =，故AE =（2）以D 为坐标原点，射线1,,DA DC DD 依次为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则点(1,1,0)E ，1(1,0,1)A ， 1(0,2,1)C ，从而1(1,0,1)DA =，1(0,2,1)DC =，(1,1,0)DE = …………3分 设平面11DAC 的法向量为(,,)n x y z =，由1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x z y z +=⎧⇒⎨+=⎩令1(1,,1)2n =--，所以点E 到平面11A DC 的距离为n DE d n⋅=1=. …………4分 14、（文）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）解：（1）画出其主视图（如下图），可知其面积S 为三角形与正方形面积之和. 在正四棱锥1111P A BC D -中，棱锥的高h =12442S =⋅=. ……………………………5分（2）取11B C 中点1E ，联结11A E ，11A E AE则11PA E ∠为异面直线AE 与1PA 所成角. 在11PA E ∆中，1112AE PA ==，又在正四棱锥1111P A BC D -中，斜高为1PE =，由余弦定理可得11cos PA E ∠== ……………………6分所以11PA E ∠=AE 与1PA 所成的角为.………1分15、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）由题意知， )1(6)204(pp x p p y +--+= 将42+=x P 代入化简得： x x y 2322419-+-= （0x a ≤≤）. ……………6分 （2）10)2(216322)2216(2322=+⨯+-≤+++-=x x x x y ， 上式当且仅当2216+=+x x ,即2=x 时，取等号。
2016年上海闸北区中考数学一模试卷(含答案和解释)
2016年上海闸北区中考数学一模试卷(含答案和解释)2016年上海市闸北区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是( ) A． B． C． D．2．抛物线y=�2x2+3的顶点在( ) A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第四象限3．如图，已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长上，下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是( ) A．BD：AB=CE：AC B．DE：BC=AB：AD C．AB：AC=AD：AE D．AD：DB=AE：EC4．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是( ) A． B． C． D．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，则cot∠BCD的值为( ) A． B． C． D．6．已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下说法不正确的是( ) A．根据图象可得该函数y有最小值 B．当x=�2时，函数y的值小于0 C．根据图象可得a＞0，b＜0 D．当x＜�1时，函数值y随着x的增大而减小二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知，则的值是__________．8．如图，在△ABC中，DE∥BC，当△ADE与△ABC的周长比为1：3时，那么DE：BC=__________．9．如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，点E和点F分别在AD和BC 上，EF是梯形ABCD的中位线，若，，则用表示 =__________．10．求值：sin60°�tan30°=__________．11．汽车沿着坡度为1：7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了__________米．12．已知抛物线y=（m�1）x2+4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是__________．13．周长为16的矩形的面积y与它的一条边长x之间的函数关系式为y=__________．（不需要写出定义域）14．在直角坐标系中，已知点P在第一象限内，点P与原点O的距离OP=2，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为60°，则点P的坐标是__________．15．如图，正方形CDEF内接于Rt△ABC，点D、E、F分别在边AC、AB和BC上，当AD=2，BF=3时，正方形CDEF的面积是__________．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠BAC=∠D，若AD=4，BC=10，则AC=__________．17．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC 交AD于点F，那么 =__________．18．如图，将一张矩形纸片ABCD沿着过点A的折痕翻折，使点B落在AD边上的点F，折痕交BC于点E，将折叠后的纸片再次沿着另一条过点A的折痕翻折，点E恰好与点D重合，此时折痕交DC于点G，则CG：GD的值为__________．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．解方程：．20．已知二次函数的图象的顶点在原点O，且经过点A（1，）．（1）求此函数的解析式；（2）将该抛物线沿着y轴向上平移后顶点落在点P处，直线x=2分别交原抛物和新抛物线于点M和N，且S△PMN= ，求：MN的长以及平移后抛物线的解析式．21．如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E是边BC 的中点，联结DE交AC于点G．设 = ， = ，（1）试用、表示向量；（2）试用、表示向量．22．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成53°的夹角．树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE=6米，塔高DE=9米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条直线上，点F、A、D也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）23．如图，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，点E是斜边AB上的一个动点（不与A、B重合），作EF⊥AB交边BC于点F，联结AF、EC交于点G．（1）求证：△BEC∽△BFA；（2）若BE：EA=1：2，求∠ECF的余弦值．24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（�1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），对称轴为直线x=1，对称轴交x 轴于点E．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；（2）设点F在抛物线上，如果四边形AEFD是梯形，求点F的坐标；（3）联结BD，设点P在线段BD上，若△EBP与△ABD相似，求点P的坐标．25．（14分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4，AB=8，BC=10，M在边CD上，且．（1）如图①，联结BM，求证：BM⊥DC；（2）如图②，作∠EMF=90°，ME交射线AB于点E，MF交射线BC于点F，若AE=x，BF=y．当点F在线段BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值．2016年上海市闸北区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是( ) A． B． C． D．【考点】平行投影．【分析】根据平行投影得特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误； B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误； C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项错误；D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．2．抛物线y=�2x2+3的顶点在( ) A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第四象限【考点】二次函数的性质．【分析】因为y=�2x2+3可看作抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，得出顶点坐标为（0，3），即可知顶点在y轴上．【解答】解：抛物线y=�2x2+3是顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（0，3），即顶点在y轴上．故选B．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x�h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．也考查了y 轴上点的坐标特征．3．如图，已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长上，下列给出的条件中，不能判定DE∥BC的是( ) A．BD：AB=CE：AC B．DE：BC=AB：AD C．AB：AC=AD：AE D．AD：DB=AE：EC 【考点】平行线分线段成比例．【分析】由平行线分线段成比例定理的逆定理得出A、C、D正确，B不正确，即可得出结论．【解答】解：∵BD：AB=CE：AC，∴DE∥BC，选项A正确；∵DE：BC=AB：AD不能判定DE∥BC，∴选项B不正确；∵AB：AC=AD：AE，∴DE∥BC，选项C正确；∵AD：DB=AE：EC，∴DE∥BC，选项D正确．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的逆定理；熟记平行线分线段成比例定理的逆定理是解决问题的关键．4．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是( ) A． B． C． D．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP= AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=4× =2 �2．故选A．【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的是解题的关键．5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，则cot∠BCD的值为( ) A． B． C． D．【考点】解直角三角形．【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，可以得到∠A和∠BCD的关系，由∠A的三角函数值可以得到∠BCD的三角函数值，从而可以解答本题．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠B+∠A=90°，∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，∴cot∠A= ，∴cot∠BCD= ．故选C．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各个角之间的关系，根据等角的三角函数值相等，运用数学转化的思想进行解答问题．6．已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下说法不正确的是( ) A．根据图象可得该函数y有最小值 B．当x=�2时，函数y的值小于0 C．根据图象可得a＞0，b＜0 D．当x＜�1时，函数值y随着x的增大而减小【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线开口向上得a＞0，由当x=�2时，图象在x轴的下方，得出函数值小于0，对称轴x=�1在y轴的左侧得b＞0，根据二次函数的性质可得当x＜�1时，y随x的增大而减小；由此判定得出答案即可．【解答】解：由图象可知： A、抛物线开口向上，该函数y有最小值，此选项正确； B、当x=�2时，图象在x轴的下方，函数值小于0，此选项正确； C、对称轴x=�1，a＞0，则b＞0，此选项错误； D、当x＜�1时，y随x的增大而减小正确，此选项．故选：C．【点评】此题考查二次函数的性质，根据图象判定开口方向，得出对称轴，利用二次函数的增减性解决问题．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知，则的值是．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质：⇒= ，可得答案．【解答】解：由等比性质，得 = = ，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．8．如图，在△ABC中，DE∥BC，当△ADE与△ABC的周长比为1：3时，那么DE：BC=1：3．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，如何根据相似三角形的性质即可解题．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ =△ADE 的周长：△ABC的周长比=1：3．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△ADE∽△ABC是解题的关键．9．如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，点E和点F分别在AD和BC 上，EF是梯形ABCD的中位线，若，，则用表示 =2 �．【考点】*平面向量．【分析】由在梯形ABCD中，AB∥CD，EF是梯形ABCD 的中位线，可得EF∥AB∥CD，EF= （AB+CD），则可得 =2 �，继而求得答案．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，EF是梯形ABCD 的中位线，∴EF∥AB∥CD，EF= （AB+CD），∴ =2 � =2 �．故答案为：2 �．【点评】此题考查了平面向量的知识以及梯形的中位线的性质．注意能灵活应用梯形中位线的性质是解此题的关键．10．求值：sin60°�tan30°= ．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据sin60°= ，tan30°= 得到原式= �，然后通分合并即可．【解答】解：原式= �= �= ．故答案为．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°= ，tan30°= ．也考查了二次根式的运算．11．汽车沿着坡度为1：7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了5 米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡度即可求得坡角的正弦值，根据三角函数即可求解．【解答】解：∵坡度为1：7，∴设坡角是α，则sinα= = ∴上升的高度是：50× =5 （米）．故答案是：5 ．【点评】本题主要考查了坡度的定义，正确求得坡角的正弦值是解题的关键．12．已知抛物线y=（m�1）x2+4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是m＜1．【考点】二次函数的最值．【分析】根据二次函数y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开口向下，即m+1＜0，即可得出答案．【解答】解：∵抛物线y=（m�1）x2+4的顶点是此抛物线的最高点，∴抛物线开口向下，∴m�1＜0，∴m＜1，故答案为m＜1．【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点坐标位置确定图象开口方向，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．13．周长为16的矩形的面积y与它的一条边长x之间的函数关系式为y=8x�x2．（不需要写出定义域）【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】首先根据矩形周长为16，一条边长x可表示出另一边长为8�x，再根据矩形面积=长×宽列出函数解析式即可．【解答】解：∵矩形周长为16，一条边长x，∴另一边长为8�x，∴面积：y=（8�x）x=8x�x2．故答案为：8x�x2．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是掌握矩形的面积公式=长×宽．14．在直角坐标系中，已知点P在第一象限内，点P与原点O的距离OP=2，点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为60°，则点P的坐标是（1，）．【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．【解答】解：作PM⊥x轴于点M，如图所示：∵OP=2，∴sin60°= = ，cos60°= = ，∴PM= ，OM=1．故P点坐标为：（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题考查了解直角三角形和坐标与图形性质的知识，难度不大，注意掌握一个角的余弦和正弦的计算方法．15．如图，正方形CDEF内接于Rt△ABC，点D、E、F分别在边AC、AB和BC上，当AD=2，BF=3时，正方形CDEF的面积是6．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质得到DE∥BC，由平行线的性质得到∠AED=∠B，∠ADE=∠EFB=90°，推出△ADE∽△BEF，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，∴DE∥BC，∴∠AED=∠B，∠ADE=∠EFB=90°，∴△ADE∽△BEF，∴ ，即，∴DE•EF=2×3=6，∴正方形CDEF的面积是6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠BAC=∠D，若AD=4，BC=10，则AC=2 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据平行线的性质得出∠DAC=∠ACB，根据相似三角形的判定得出△ADC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵∠BAC=∠D，∴△ADC∽△CAB，∴ = ，∴ = ，解得：AC=2 ．故答案为：2 ．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能求出△ADC∽△CAB是解此题的关键．17．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC 交AD于点F，那么 = ．【考点】平行线分线段成比例；三角形的重心．【分析】由三角形的重心定理得出 = ， = ，由平行线分线段成比例定理得出 = ，即可得出结果．【解答】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，∴= ， = ，∵EF∥BC， = ，∴ = ．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出FG：DG=1：2是解决问题的关键18．如图，将一张矩形纸片ABCD沿着过点A的折痕翻折，使点B落在AD边上的点F，折痕交BC于点E，将折叠后的纸片再次沿着另一条过点A的折痕翻折，点E恰好与点D重合，此时折痕交DC于点G，则CG：GD的值为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】连接GE，由矩形的性质得出∠BAD=∠C=ADC=∠B=90°，AB=CD，AD=BC，由折叠的性质得出∠DAG=∠EAG=22.5°，AG⊥DE，由线段垂直平分线的性质得出GD=GE，得出∠GDE=∠GED=∠DAG=22.5°，由三角形的外角性质得出∠CGE=45°，证出△CEG是等腰直角三角形，得出GD=GE= CG，即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接GE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=ADC=∠B=90°，AB=CD，AD=BC，由折叠的性质得：∠DAE=∠BAE=45°，∠DAG=∠EAG=22.5°，AG⊥D E，∴GD=GE，∴∠GDE=∠GED=∠DAG=22.5°，∴∠CGE=∠GDE+∠GED=45°，∴△CEG是等腰直角三角形，∴GD=GE= CG，∴CG：GD= ．故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明△CEG是等腰直角三角形是解决问题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．解方程：．【考点】解分式方程．【专题】计算题；分式方程及应用．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x�5+x2�1=3x�3，整理得：（x�3）（x+1）=0，解得：x1=3，x2=�1，经检验x=�1是增根，分式方程的解为x=3．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20．已知二次函数的图象的顶点在原点O，且经过点A（1，）．（1）求此函数的解析式；（2）将该抛物线沿着y轴向上平移后顶点落在点P处，直线x=2分别交原抛物和新抛物线于点M和N，且S△PMN= ，求：MN的长以及平移后抛物线的解析式．【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）根据题意可直接设y=ax2把点（1，�3）代入得a=�3，所以y=�3x2；（2）设平移后y= x2+d（d＞0），则MN=d，根据题意得出S= ×2×d=3 ，即可求得d的值，从而求得平移后的解析式．【解答】解：（1）∵抛物线顶点是原点，可设y=ax2，把点A（1，）代入，得a=，，所以这个二次函数的关系式为y= x2；（2）设平移后y= x2+d（d＞0），∴MN=d，S= ×2×d=3 ，∴d=3 ，∴y= x2+3 ．【点评】主要考查了用待定系数法求函数解析式以及二次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法和平移的规律是解题的关键．21．如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E是边BC 的中点，联结DE交AC于点G．设 = ， = ，（1）试用、表示向量；（2）试用、表示向量．【考点】*平面向量．【分析】（1）由 = ， = ，利用三角形法则，可求得，又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得答案；（2）易得△ADG∽△CEG，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AG：CG=AD：CE=2：1，继而求得，则可求得答案．【解答】解：（1）∵ = ， = ，∴ = + = + ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ = = （ + ）= + ；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△ADG∽△CEG，∴AG：CG=AD：CE，∵点E是边BC的中点，∴AD：CE=2：1，∴AG：CG=2：1，∴AG：AC=2：3，∴ = = + ，∴ = �= + � = �．【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．22．如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成53°的夹角．树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE=6米，塔高DE=9米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条直线上，点F、A、D也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）【考点】解直角三角形的应用．【分析】由题意得出AB∥DE，证出△ABF∽△DEF，由相似三角形的性质得出，求出AB，再由三角函数求出AC，即可得出结果．【解答】解：根据题意得：AB⊥EF，DE⊥EF，∴∠ABC=90°，AB∥DE，∴△ABF∽△DEF，∴ ，即，解得：AB=3.6米，∵cos∠BAC= ，∴AC= ≈ =6（米），∴AB+AC=3.6+6=9.6米．答：这棵大树没有折断前的高度为9.6米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的应用；熟练掌握解直角三角形，由相似三角形的性质求出AB是解决问题的关键．23．如图，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，点E是斜边AB上的一个动点（不与A、B重合），作EF⊥AB交边BC于点F，联结AF、EC交于点G．（1）求证：△BEC∽△BFA；（2）若BE：EA=1：2，求∠ECF的余弦值．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【分析】（1）根据已知条件得到△BEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形判定定理即可得到结论；（2）由已知条件的，根据三角函数的定义得到tan∠EAF= ，根据相似三角形的性质得到∠BAF=∠BCE，即可得到结论．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，∵EF⊥AB，∴∠BEF=90°，∵∠B=∠B，∴△BEF∽△ABC，∴ ，∴△△BEC∽△BFA；（2）∵BE=EF，BE：EA=1：2，∴ ，∴tan∠EAF= ，设EF=k，AE=2k，∴AF= ，∵△BEC∽△BF A，∴∠BAF=∠BCE，∴cos∠ECF=cos∠EAF= = ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（�1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），对称轴为直线x=1，对称轴交x 轴于点E．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；（2）设点F在抛物线上，如果四边形AEFD是梯形，求点F的坐标；（3）联结BD，设点P在线段BD上，若△EBP与△ABD相似，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据函数值相等的亮点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行线的一次项的系数相等，可得EF的解析式，根据解方程组，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得PB的长，根据勾股定理，可得P点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．【解答】解：（1）由A、B关于x=1对称，得B（3，0），设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a≠0），将A、B、C点坐标代入，得，解得．抛物线的解析式为y=�x2+ x+2，顶点坐标为D（1，）；（2）①当AE∥DF 时，不存在，舍去；②当AD∥EF时，AD的解析式为y= x+ ， EF的解析式为y= x�，联立得，解得， F点坐标为（，），（3）∠PBE=∠DBA，如图： BD的解析式为y=�x+4，P在BD上，设P（m，�m+4） DB= = = ，BA=3�（�1）=4，BE=3�1=2．①当△PBE∽△DBA 时， = ，即 = ，解得BP= ，（3�m）2+（ m�4）2= ，解得m=2，m=4（不符合题意，舍），当m=2时，�m+4= ， P1（2，）；②当△EBP∽△DBA时， = ，即 = ，解得BP= ，（3�m）2+（ m�4）2= ，解得m= ，m= （不符合题意，舍），当m= 时，�m+4= ， P2（，），综上所述：P点坐标为P1（2，），P2（，）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键；利用平行线的一次项的系数相等得出EF 的解析式是解题关键；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出PB的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．25．（14分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4，AB=8，BC=10，M在边CD上，且．（1）如图①，联结BM，求证：BM⊥DC；（2）如图②，作∠EMF=90°，ME交射线AB于点E，MF交射线BC于点F，若AE=x，BF=y．当点F在线段BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值．【考点】相似形综合题．【分析】（1）连接BD，作DN⊥BC于N，则四边形ABND是矩形，得出DN=AB=8，BN=AD=4，求出CN=BC�BN=6，由勾股定理求出CD，得出CD=BC=10，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠ADB=∠DBC=∠BDC，求出DM=4=AD，由SAS证明△ADB≌△MDB，得出对应角相等即可；（2）由角的互余关系得出∠C=∠MBA，∠CMF=∠BME，证出△CMF∽△BME，得出对应边成比例，即可得出结果；（3）分两种情况：①当点E在线段AB上时，△CMF∽△BME，△CMF为等腰三角形，得出△BME为等腰三角形，当BE=BM=8时，AE=0；当BM=ME时，由三角函数求出BE= ＞AE，舍去；当BE=ME时，由三角函数求出BE= ，得出AE=AB�BE= ；②当点E在BC延长线上时，同（2）可证△CMF∽△BME，△BME为等腰三角形，由∠MBE＞90°，得出BE=BM=8，因此AE=16；即可得出结果．【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：作DN⊥BC于N，则∠DNC=90°，四边形ABND 是矩形，∴DN=AB=8，BN=AD=4，∴CN=BC�BN=10�4=6， CD= =10，∴CD=BC=10，∴∠DBC=∠BDC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=∠BDC，∵ ，∴DM=4=AD，在△ADB和△MDB中，，∴△ADB≌△MDB（SAS），∴∠DMB=∠A=90°， BM=AB=8，∴BM⊥DC；（2）解：∵∠C=∠MBA=90°�∠MBC，∠CMF=∠BME=90°�∠FMB，∴△CMF∽△BME，∴ ，即，解得：y= x+4（0≤x≤8）；（3）解：分两种情况：①当点E在线段AB上时，△CMF∽△BME，△CMF 为等腰三角形，∴△BME为等腰三角形，当BE=BM=8时，AE=0；当BM=ME时，BE=2×BM×cos∠MBA=2×8× = ＞AE，舍去当BE=ME时，BE= = = ，∴AE=AB�BE=8� = ；②当点E在BC延长线上时，如图2所示：同（2）可证△CMF∽△BME，△BME为等腰三角形，又∵∠MBE＞90°，∴BE=BM=8，∴AE=16．综上所述：若△MCF是等腰三角形，AE的值为0或或16．【点评】本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结果．。
上海市十三校2016届高三上学期第一次联考(12月)数学试题Word版含答案
上海市2016届高三年级十三校第一次联考数学试卷2015-12-9 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每空格4分。
1．已知集合2{03},{4}A x x B x x =<<=≥，则A B =2．函数()sin cos f x x x =的最大值是3．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1918a a +=，47a =则10S =4．已知函数()1log ,(0,1)x a f x a a =+>≠，若1()f x -过点(3,4)则a =5．已知函数(21)f x -的定义域是(1,2]-，求函数()f x 的定义域是6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨。
7．设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时， ()2(1)f x x x =-，则5()2f -= 8．已知圆22:(1)(3)9C x y ++-=上的两点存在,P Q 关于直线40x my ++=对称，那么m =9．设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的周长10．等比数列{}n a 前项的和为*1(),3n n S a n N =+∈，则13521lim()n n a a a a -→∞+++⋅⋅⋅+=11．已知数列{}n a 满足1222,1,1,n n n a n a a a a n +⎧===⎨+⎩为偶数为奇数，则数列前2n 项和2n S = 12．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且图像过点1(,)62π，函数()()()4g x f x f x π=-的单调递增区间13．已知2243,0()23,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，不等式()(2)f x a f a x +>-在[,1]a a +上恒成立，则实数a 的取值范围是14．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+(,k b 为常数)，对给的正数m ，存在相应的0x ，使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x mh x g x m<-<⎧⎨<-<⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐近线”，给出定义域均为(1,)D =+∞的四组函数如下：①2(),()f x x g x ==②23()102,();x x f x g x x--=+=③21ln 1(),();ln x x x f x g x x x ++==④22(),()2(1);1x x f x g x x e x -==--+其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题5分。
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上海市闸北区2016届高三一模数学试卷
2015.12
一. 填空题（本大题共9题，每题6分，共54分） 1. 2
521
(2)(
1)x x
+-的展开式中常数项为 ； 2. 函数ln(1),0()1
ln
,01x x f x x x
⎧+≥⎪
=⎨<⎪-⎩的单调性为 ；奇偶性为 ； 3. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 ；
4. 在菱形ABCD 中，1AB =，60DAB ︒
∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ⋅
的值是 ；
5. 如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部A 测得水坝对面的山顶P 的仰角为40︒
，再沿坝面向上走80米到水坝的顶部B 测得56ABP ︒
∠=，若坝面与水平面所成的锐角为30︒
，则山高为 米；（结果四舍五入取整）
6. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ；（用数字作答）
7. 等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式2120dx a x +≥的解集为[0,9]，则使数列
{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ；
8. 过点0(3,)M y 作圆22
:1O x y +=的切线，切点为N ，如果6
OMN π
∠≥
，那么0y 的
取值范围是 ；
9. 如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为x ([0,])x π∈，OP 所经过的在正方 形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：
①3
()32
f π
=
；② 对任意[0,]2x π∈，都有()()422f x f x ππ-++=；
③ 对任意12,(,)2x x ππ∈，且12x x ≠，都有1212
()()
0f x f x x x -<-；
其中所有正确结论的序号是 ；
二. 选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）
10. “抛物线2
y ax =的准线方程为2y =”是“抛物线2
y ax =的焦点与双曲线2
213
y x -= 的焦点重合”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
11. 已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出下列四个命题： ① 若,αβ垂直于同一平面，则α与β平行； ② 若,m n 平行于同一平面，则m 与n 平行；
③ 若,αβ不平行，则在α内不存在与β平行的直线； ④ 若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 其中真命题的个数为（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
12. 已知i 和j 是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n i a n ⋅= ，21n j a n ⋅=+ ，*
n N ∈，
设n θ为i 和n a
的夹角，则（ ）
A. n θ随着n 的增大而增大
B.
n θ随着n 的增大而减小
C. 随着n 的增大，n θ先增大后减小
D. 随着n 的增大，n θ先减小后增大
三. 解答题（本大题共4题，共18+20+20+20=78分）
13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，
终边交单位圆于点A ，且[,)42ππα∈，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3
π
，交单位圆 于点B ，过B 作BC y ⊥轴于点C ；
（1）若点A 的纵坐标为
3
2
，求点B 的横坐标； （2）求△AOC 的面积S 的最大值；
14. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴；为迎接2015年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行
促销；经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p （万件）与促销费用x （万元）
满足2
31
p x =-
+（其中0x a ≤≤，a 为正常数），已知生产该产品还需投入成本102p +万 元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为20
(4)p
+元，假定厂家的生产能力完全能
满足市场的销售需求；
（1）将该产品的利润y （万元）表示为促销费用x （万元）的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值；
15. 如图，已知动直线l 交圆22(3)9x y -+=于坐标原点O 和点A ，交直线6x =于点B ； （1）若||35OB =，求点A 、点B 的坐标；
（2）设动点M 满足OM AB =
，其轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程(,)0F x y =；
（3）请指出曲线C 的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；
（4）判断曲线C 是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由；
16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(,)n n S *()n N ∈在函数1
22x y +=-的图像上；
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足：10b =，1n n n b b a ++=，求{}n b 的通项公式；
（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的*
n N ∈，不等式1n n b b λ+<恒成立，求实数λ的取值范围；
参考答案一. 填空题
1. 3；
2. 单调递增，奇函数；
3.
3
4
； 4. 1； 5. 176；
6. 96；
7. 5；
8. [1,1]
-；9. ①②；
二. 选择题
10. A；11. D；12. B；
三. 解答题
13.（1）
1
2
-；（2）
31
8
+
；
14.（1）4
161
y x x =--
+；（2）1x =，max 13y =； 15.（1）2412(,)55A ±，(6,3)B ±；（2）32
6x y x
=-；
（3）关于x 轴对称；顶点(0,0)；[0,6)x ∈，y R ∈；（4）6x =；
16.（1）2n
n a =；（2）n 为奇数，223n n b -=；n 为偶数，22
3
n n b +=；（3）1λ>；。