圆中的真假命题

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初中数学圆的经典测试题及解析

【详解】
解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=360°÷6=60°，
∵OB=OC，OG⊥BC，
∴∠BOG=∠COG= ∠BOC =30°，
∵OG⊥BC，OB=OC，BC=2cm，
∴BG= BC= ×2=1cm，
∴OB= =2cm，
∴OG= ，
∴圆形纸片的半径为 cm，
【详解】
解：如图所示，
∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm，
∴等腰三角形的斜边长＝＝5 ，即圆锥的母线长为5 cm，圆锥底面圆半径为5，
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接，如图，利用切线的性质得，在中利用勾股定理得，利用面积法求得，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面．
【详解】
解：连接，作于，如图，
圆锥的母线与相切于点，
，
在中，，，
，
，
，
圆锥形纸帽的底面圆的半径为，母线长为12，
【详解】
设P（x，y），
∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，
∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，
∵OP2＝x2+y2，
∴PA2+PB2＝2OP2+2，
当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值，
∴OP的最小值为CO﹣CP＝3﹣1＝2，
∴PA2+PB2最小值为2×22+2＝10．
A． B． C． D．
【答案】A

高考数学一轮温习第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件文湘教版 (1)

2020~2021年高考真题备选题库第1章集合与经常使用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考点一命题及其关系1．（2021陕西，5分）设z 是复数，那么以下命题中的假命题是( ) A ．假设z2≥0，那么z 是实数 B ．假设z2＜0，那么z 是虚数 C ．假设z 是虚数，那么z2≥0D ．假设z 是纯虚数，那么z2＜0解析：此题要紧考查复数的分类，复数代数形式的运算及命题真假的判定．实数能够比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，那么z2＝a2－b2＋2abi ，由z2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a2－b2≥0，那么b ＝0，应选项A为真，同理选项B 为真；而选项C 为假，选项D 为真．答案：C2．（2021天津，5分）已知以下三个命题：①假设一个球的半径缩小到原先的12，那么其体积缩小到原先的18；②假设两组数据的平均数相等，那么它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x2＋y2＝12相切．其中真命题的序号为( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：此题考查命题真假的判定，意在考查考生的逻辑推理能力．假设一个球的半径缩小到原先的12，那么其体积缩小到原先的18，因此①是真命题；因为标准差除与平均数有关，还与各数据有关，因此②是假命题；因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，因此③是真命题．故真命题的序号是①③. 答案：C3．（2021湖南，5分）命题“假设α＝π4，那么tan α＝1”的逆否命题是( )A ．假设α≠π4，那么tan α≠1B ．假设α＝π4，那么tan α≠1C ．假设tan α≠1，那么α≠π4D ．假设tan α≠1，那么α＝π4解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“假设α＝π4，那么tan α＝1”的逆否命题是“假设tan α≠1，那么α≠π4”．答案：C4．（2020陕西，5分）设a ，b 是向量，命题“假设a ＝－b ，那么|a|＝|b|”的逆命题是( ) A ．假设a≠－b ，那么|a|≠|b| B ．假设a ＝－b ，那么|a|≠|b| C ．假设|a|≠|b|，那么a≠－b D ．假设|a|＝|b|，那么a ＝－b解析：只需将原命题的结论变成新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“假设|a|＝|b|，那么a ＝－b.” 答案：D考点二充分条件与必要条件1．（2021山东，5分）给定两个命题p ，q.假设綈 p 是q 的必要而不充分条件，那么p 是綈 q 的( ) A ．充分而没必要要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件解析：此题考查命题、逻辑联结词及充分、必要条件等基础知识，考查等价转化的数学思想，考查分析问题和解决问题的能力．q ⇒綈p 等价于p ⇒綈q ，綈p ⇒/ q 等价于綈q ⇒/ p ，故p 是綈q 的充分而没必要要条件．答案： A2．（2021安徽，5分）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件解析：此题考查二次函数图象性质和图象变换，意在考查转化与化归思想．依照二次函数的图象可知f(x)在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，此题不难求解．f(x)＝|(ax －1)x|在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a ＝0或1a <0，也确实是a≤0，故“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，应选C. 答案： C3．（2021安徽，5分）“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件解析：此题考查二次函数图象性质和图象变换，意在考查转化与化归思想．依照二次函数的图象可知f(x)在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，此题不难求解．f(x)＝|(ax －1)x|在(0，＋∞)内单调递增等价于f(x)＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a ＝0或1a <0，也确实是a≤0，故“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax －1)x|在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，应选C. 答案：C4．（2021福建，5分）已知集合A ＝{1，a}，B ＝{1,2,3}，那么“a＝3”是“A ⊆B”的( ) A ．充分而没必要要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件解析：此题考查集合与充分必要条件等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力．因为A ＝{1，a}，B ＝{1,2,3}，假设a ＝3，那么A ＝{1,3}，因此A ⊆B ；假设A ⊆B ，那么a ＝2或a ＝3，因此A ⊆B ⇒/ a ＝3，因此“a＝3”是“A ⊆B”的充分而没必要要条件．答案： A5．（2021浙江，5分）已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，那么“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件解析：此题考查对必要条件、充分条件与充要条件的明白得，考查三角函数的诱导公式、三角函数的奇偶性等，意在考查考生的推理能力和三角函数性质的把握等．假设f(x)是奇函数，那么φ＝π2＋kπ(k∈Z)，且当φ＝π2时，f(x)为奇函数．答案： B6．（2021北京，5分）“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而没必要要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也没必要要条件解析：此题考查三角函数的诱导公式、三角函数的性质、充要条件的判定等基础知识和大体方式，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而没必要要条件．答案： A7．（2021天津，5分）设x ∈R ，那么“x>12”是“2x2＋x －1>0”的( )A ．充分而没必要要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件解析：由不等式2x2＋x －1>0，即(x ＋1)(2x －1)>0，得x>12或x<－1，因此由x>12能够取得不等式2x2＋x －1>0成立，但由2x2＋x －1>0不必然取得x>12，因此x>12是2x2＋x －1>0的充分没必要要条件．答案：A8．（2021陕西，5分）设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，那么“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件解析：复数a ＋bi ＝a －bi 为纯虚数，那么a ＝0，b≠0；而ab ＝0表示a ＝0或b ＝0，故“ab＝0”是“复数a＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B9．（2021湖北，5分）设a ，b ，c ∈R ＋，那么“abc＝1”是“1a ＋1b＋1c≤a＋b ＋c”的( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要的条件解析：当a ＝b ＝c ＝2时，有1a ＋1b＋1c≤a＋b ＋c ，但abc≠1，因此必要性不成立；当abc ＝1时，1a ＋1b＋1c＝bc ＋ac ＋ababc＝bc ＋ac ＋ab ，a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋b ＋ca ＋c2≥ab ＋bc＋ac，因此充分性成立，故“abc＝1”是“1a＋1b＋1c≤a＋b＋c”的充分没必要要条件．答案：A10．（2020福建，5分）假设a∈R，那么“a＝1”是“|a|＝1”的( )A．充分而没必要要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又没必要要条件解析：假设a＝1，那么有|a|＝1是真命题，即a＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，因此假设|a|＝1，那么有a ＝1是假命题，即|a|＝1⇒a＝1不成立，因此a＝1是|a|＝1的充分而没必要要条件．答案：A11．（2020湖南，5分）“x＞1”是“|x|＞1”的( )A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又没必要要条件解析：x＞1⇒|x|＞1，而|x|＞1⇒x＞1或x＜－1.故“x＞1”是“|x|＞1”的充分没必要要条件．答案：A12．（2020福建，5分）假设向量a＝(x,3)(x∈R)，那么“x＝4”是“|a|＝5”的( )A．充分而没必要要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又没必要要条件解析：当x＝4时，a＝(4,3)，那么|a|＝5；假设|a|＝5，那么x＝±4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而没必要要条件．答案：A13．（2020陕西，5分）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝一、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解一、3；当n＝4时，方程有正整数解2.答案：3或4。

(好题)初中数学九年级数学下册第三单元《圆》检测题(含答案解析)(1)

一、选择题1．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，若∠CBD ＝65°，则∠AOC 的度数为（）A ．115°B ．125°C ．130°D ．135°2．如图平面直角坐标系中，点A ，B 均在函数y ＝k x（k ＞0，x ＞0）的图像上，⊙A 与x 轴相切，⊙B 与y 轴相切，若点B （1，8），⊙A 的半径是⊙B 半径的2倍，则点A 的坐标为（）A ．（2，2）B ．（2，4）C ．（3，4）D ．（4，2） 3．如图，ABC 是O 的内接三角形，BD 为O 的直径．若10BD =，2ABD C ∠=∠，则AB 的长度为（）A ．4B ．5C ．5.5D ．64．下列命题：①任意三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④长度相等的弧是等弧．其中真命题的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．如图，已知E 是ABC 的外心，P ，Q 分别是AB ，AC 的中点，连接EP ，EQ ，分别交BC 于点F ，D ．若10BF =，6DF =，8CD =，则ABC 的面积为（）A ．72B ．96C ．120D ．1446．如图，在半径为1的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的AB 恰好与OB 、OA 相切，则劣弧AB 的长为（）A ．12πB ．13π C ．14π D ．16π 7．已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形，若BC =23，则∠A 的度数（） A ．30° B ．60° C ．120° D ．60°或120° 8．如图．PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP ，AB ．若 OA =1，∠APB =60°，则△PAB 的周长为（）A ．23B ．4C ．33D ．23+2 9．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问：径几何？”转化为数学语言：如图，CD 为O的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =寸，10AB =寸，直径CD 的长是（）A ．13寸B ．26寸C ．28寸D ．30寸 10．如图，AB 是O 的直径，,C D 是ACB 上的三等分点，且1sin 2ABC ∠=，则A D ∠+∠等于（）A ．120°B ．95°C ．105°D ．150°11．如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为弧AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．若图中阴影部分的面积为10π，则CDE ∠=（）A ．30B ．36︒C ．54︒D ．45︒12．4．如图，AD 是ABC ∆的外接圆O 的直径，若50BCA ︒∠=，则BAD ∠=（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒二、填空题13．如图，四边形OABC 是菱形，点B ，C 在以点O 为圆心的弧EF 上，且∠1=∠2，若菱形边OA=3，则扇形OEF 的面积为___________14．如图，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的图案，若大圆的半径为2，则阴影部分的面积为______．15．圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知扇形的半径为9，圆心角为120°，则圆锥的底面圆的半径为__________．16．如图所示的是边长为4的正方形镖盘ABCD ，分别以正方形镖盘ABCD 的三边为直径在正方形内部作半圆，三个半圆交于点O ，乐乐随机地将一枚飞镖投掷到该镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为________．17．如图，在平面直角坐标系中，过点()11,0A 作x 轴的垂线交直线y x =于点B ，以О为圆心，1OB 为半径作弧，交x 轴于点2A ；过点2A 作x 轴的垂线交直线y x =于点2B ，以O 为圆心，2OB 为半径作弧，交x 轴于点3A ；过点3A 作x 轴的垂线交直线y x =于点3B ，以О为圆心，3OB 为半径作弧，交x 轴于点4A ，……，按此做法进行下去，设由11A B ，12A A ，弧21A B 围成的图形面积记为1S ，由22A B ，23A A ，弧32A B 围成的图形面积记为2S ，由33A B ，34A A ，弧43A B 围成的图形面积记为3S ，……，那么2020S 为_______：18．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，一动点P 从点B C D --运动，连接PM ，以点P 为圆心，PM 的长为半径作P ，当P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为_________．19．如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形ADE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形ADE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是________．20．写出命题“圆内接四边形的对角互补”的逆命题：____________．三、解答题21．已知O 及O 外一点P ，在O 上找一点,M 使得PM OM ⊥，求作点M ．要求：尺规作图，保留作图痕迹．22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，E 为BC 的中点，连接DE ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝BC ，判断四边形OCED 的形状，并说明理由．23．如图，已知90MON ∠=︒，OT 是MON ∠的平分线，A 是射线OM 上一点，8cm OA =．动点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿AO 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q 从点O 出发，也以1cm/s 的速度沿ON 竖直向上作匀速运动．连接PQ ，交OT 于点B ．经过O ，P ，Q 三点作圆，交OT 于点C ，连接PC ，QC ．设运动时间为()t s ，其中08t <<．（1）求OP OQ +的值；（2）是否存在实数t ，使得线段OB 的长度最大？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．（3）在点P ，Q 运动过程中（08t <<），四边形OPCQ 的面积是否变化．如果面积变化，请说出四边形OPCQ 面积变化的趋势；如果四边形OPCQ 面积不变化，请求出它的面积．24．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O 及⊙O 外一点P ．求作：直线PA 和直线PB ，使PA 切⊙O 于点,A PB 切⊙O 于点B ．作法：如图，①连接OP ，分别以点О和点P 为圆心，大于12OP 的同样长为半径作弧，两弧分别交于点,M N ；②连接MN ，交OP 于点Q ，再以点Q 为圆心，OQ 的长为半径作弧，交⊙O 于点A 和点B ；③作直线PA 和直线PB ．所以直线PA 和PB 就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程， ()1使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)﹔()2完成证明过程．证明：25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，方格纸的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt ABC △的顶点均在格点（小正方形的顶点）上．（1）将ABC 绕着点A 顺时针旋转90︒得到11AB C △，试在图上画出11AB C △；（2）并求出点C 到点1C 所经过的路径的长；（3）ABC 的外心坐标为__________；（4）ABC 的内切圆半径为_______________．（直接写出答案）26．已知，如图，在ABC 中，90C ∠=︒，D 为BC 边中点．（1）尺规作图：以AC 为直径作O ，交AB 于点E （保留作图痕迹，不需写作法）；（2）连接DE ，求证：DE 为O 的切线．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】求出∠ABC ，再求出它所对的弧对的圆心角，即可求∠AOC ．【详解】解：∵∠CBD＝65°，∴∠ABC=180°-65°=115°，优弧AC所对的圆心角的度数为：115°×2=230°，∠AOC=360°-230°=130°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角的性质，解题关键是求出圆周角，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求角．2．D解析：D【分析】把B的坐标为（1，8）代入反比例函数解析式，根据⊙B与y轴相切，即可求得⊙B的半径，则⊙A的半径即可求得，即得到B的纵坐标，代入函数解析式即可求得横坐标．【详解】解：把B的坐标为（1，8）代入反比例函数解析式得：k=8，则函数的解析式是：y=8x，∵B的坐标为（1，8），⊙B与y轴相切，∴⊙B的半径是1，则⊙A的半径是2，把y=2代入y=8x得：x=4，则A的坐标是（4，2）．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及切线的性质，根据点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．3．B解析：B【分析】连接OA，首先求出∠ACB=30°得∠AOB=60°，从而证得△AOB是等边三角形，进一步得出结论．【详解】解：∵BD是圆O的直径，且BD=10∴OB=5连接OA，如图，∵BD 是圆O 的直径，∴90ACB ABD ∠+∠=︒又2ABD C ∠=∠∴3∠C=90°，即∠C=30°，∴∠AOB=60°∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OB=5故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．4．B解析：B【分析】依次判断真假命题即可，可以通过找到相应的反例，去论证命题的正确性．【详解】解：①假命题，当三点在同一条直线上时，就不能确定一个圆了，故此项错误； ②真命题，平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故此项正确；③假命题，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故此项错误；④假命题，在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故此项错误；综上所述，②正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理及圆周角定理等圆的一些基本的知识，解答此题的关键掌握理解圆的定义及性质．5．B解析：B【分析】连接AF ，AD ，AE ，BE ，CE ，根据三角形外心的定义，可得PE 垂直平分AB ，QE 垂直平分AC ，进而求得AF ，DF ，AD 的长度，可知△ADF 是直角三角形，即可求出△ABC 的面积．【详解】如图，连接AF ，AD ，AE ，BE ，CE ，∵点E 是△ABC 的外心，∴AE=BE=CE ，∴△ABE ，△ACE 是等腰三角形，∵点P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，∴PE ⊥AB ，QE ⊥AC ，∴PE 垂直平分AB ，QE 垂直平分AC ，∴AF=BF=10， AD=CD=8，在△ADF 中，∵2222286=100=AD DF AF +=+，∴△ADF 是直角三角形，∠ADF=90°，∴S △ABC = ()()1122=1068896BF DF CD AD ⨯++⨯++=，故选：B ．【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF 是直角三角形．6．A解析：A【分析】如图画出折叠后AB 所在的⊙O ＇，连O ＇B ，O ＇A ，根据题意可得O ＇B ⊥OB 、O ＇A ⊥OA ，且OB=OA=O ＇B=O ＇A,得到四边形O ＇BOA 是正方形，即∠O=90°，最后根据弧长公式计算即可．【详解】解：如图：画出折叠后AB 所在的⊙O ＇，连O ＇B ，O ＇A∵AB 恰好与OA 、OB 相切∴O ＇B ⊥OB 、O ＇A ⊥OA∵OB=OA=O ＇B=O ＇A,∴四边形O ＇BOA 是正方形∴∠O=90°∴劣弧AB 的长为9011801802n r πππ︒⨯⨯==︒．故选择：A．【点睛】本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式等知识点，其中掌握弧长公式和折叠的性质是解答本题的关键．7．D解析：D【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质，求得答案．【详解】解：如图，作直径BD，连接CD，则∠BCD=90°，∵△ABC是半径为2的圆内接三角形，BC=23∴BD=4，∴22，BD BC∴CD=1BD，2∴∠CBD=30°，∴∠A=∠D=60°，∴∠A′=180°-∠A=120°，∴∠A的度数为：60°或120°．故选：D．【点睛】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．C解析：C【分析】根据切线的性质和切线长定理证明△PAB是等边三角形，PA⊥AO，根据直角三角形性质求出PA ，问题得解．【详解】解：∵PA ，PB 是⊙O 的两条切线，∠APB =60°，∴PA =PB ，∠APO =12∠APB =30°，PA ⊥AO ， ∴△PAB 是等边三角形，∵PA ⊥AO ，∠APO ==30°，∴OP =2OA =2， ∴223PA PO AO =-=,∴△PAB 的周长为33．故选：C【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的判定，含30°角直角三角形性质，勾股定理等知识，考查知识点较多，熟知相关定理并能熟练运用是解题关键．9．B解析：B【分析】连接OA ．设圆的半径是x 寸，在直角△OAE 中，OA ＝x 寸，OE ＝x−1，在直角△OAE 中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径CD 的长．【详解】解：如图，连接OA ．设圆的半径是x 寸，在直角△OAE 中，OA ＝x 寸，OE ＝（x−1）寸，∵222OA OE AE =+，∵AB=10，且AB CD ⊥∴AE=12AB=5 则()22125x x =-+，解得：x ＝13．则CD ＝2×13＝26（寸）．故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是关键．10．A解析：A【分析】由圆心角、弦、弧的关系及圆周角定理可得∠ACB=90°，∠BOD=60°，∠A=60°，通过证明△OBD为等边三角形，即可求∠D=60°，进而可求解；【详解】∵ C、D是ACB上的三等分点，∴AC CD BD==，∵ AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，∠BOD=60°，∠A=60°，∵OB=OD，∴△OBD为等边三角形，∴∠D=60°，∴∠A+∠D=120°，故选：A．【点睛】本题主要考查了圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点的综合运用；11．B解析：B【分析】连接OC，易得四边形CDOE是矩形，△DOE≌△CEO，根据扇形的面积公式得∠COE=36°，进而即可求解．【详解】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S 扇形OBC ＝210360n π⨯＝10π，解得：n=36， ∴CDE ∠=∠DEO=∠COE=36°．故选B ．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，利用扇形OBC 的面积等于阴影的面积是解题的关键．12．B解析：B【分析】根据圆周角定理即可得到结论．【详解】解：∵AD 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∵∠BCA=50°，∴∠ADB=∠BCA=50°，∴BAD ∠=90°-50°=40°故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．二、填空题13．3π【分析】算出扇形OEF 的圆心角即可得到解答【详解】解：如图连结OB 由题意可知：OC=OB=BC ∴∠COB=60°∠COA=120°∵∠1=∠2∴∠FOE=∠COE+∠1=∠COE+∠2=∠COA解析：3π【分析】算出扇形OEF 的圆心角，即可得到解答．【详解】解：如图，连结OB ，由题意可知：OC=OB=BC ，∴∠COB=60°，∠COA=120°，∵∠1=∠2，∴∠FOE=∠COE+∠1=∠COE+∠2=∠COA=120°，∴扇形OEF 的面积=2212012033360360OA πππ⨯⨯⨯⨯==，故答案为3π ．【点睛】本题考查扇形与菱形的综合应用，熟练掌握菱形的性质及扇形面积的计算是解题关键． 14．【分析】如图由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积再由勾股定理可得：从而可得答案【详解】解：如图由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积大圆的半解析：48π-【分析】如图，由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积，再由勾股定理可得：28,AC =从而可得答案．【详解】解：如图，由圆的对称性及割补法可得阴影部分的面积为大圆的面积减去正方形的面积，大圆的半径为2，90,,ACB AC BC ∠=︒=∴ 4,AB =2216,AC BC +=28,AC ∴=22248.S AC ππ∴=⨯-=-故答案为：48.π-【点睛】本题考查的是阴影部分面积的求解，勾股定理的应用，圆的对称性与正方形的性质，扇形面积与弓形面积的理解，正多边形与圆，掌握以上知识是解题的关键．15．3【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长再利用圆周长的公式求解即可【详解】扇形的半径为9圆心角为120°扇形的弧长圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长设圆解析：3【分析】根据弧长公式求出扇形的弧长，圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，再利用圆周长的公式求解即可【详解】扇形的半径为9，圆心角为120°∴扇形的弧长12096180180n r l πππ⨯=== 圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长设圆锥底面圆的半径为r26r ππ∴=3r ∴=故答案为：3．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图与底面圆之间的关系，弧长的计算，解题关键是熟知圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．16．【分析】先判断出两半圆交点为正方形的中心连接OAOD 则可得出所产生的四个小弓形的面积相等先得出2个小弓形的面积即可求阴影部分面积根据即可求得概率【详解】解：由题意易知两半圆的交点即为正方形的中心设此解析：12【分析】先判断出两半圆交点为正方形的中心，连接OA ，OD ，则可得出所产生的四个小弓形的面积相等，先得出2个小弓形的面积，即可求阴影部分面积，根据ABCD S S 阴影正方形即可求得概率．【详解】解：由题意，易知两半圆的交点即为正方形的中心，设此点为O ，连接AO ，DO ，则图中的四个小弓形的面积相等，∵两个小弓形面积=14AOD AOD AOD ABCD S S S S --△半圆半圆正方形＝，又∵正方形ABCD 的边长为4，∴各半圆的半径为2，∴两个小弓形面积=2112-44=2-424ππ⨯⨯⨯⨯， ∴=2S S ⨯阴影半圆-4个小弓形的面积=()22-22-4=8ππ⨯，∴飞镖落在阴影部分的概率为：81==162ABCD S S 阴影正方形，故答案为：12．【点睛】本题考查扇形的面积、正方形的性质、几何概率，解题的关键是求出小弓形的面积． 17．【分析】根据点A 的取法罗列出部分点A 的横坐标由此可发现规律即的横坐标为：再结合已知即可得到答案【详解】观察发现规律：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：的横坐标为：故答案为：【点睛】本题解析：2017201822π-【分析】根据点A 的取法，罗列出部分点A 的横坐标，由此可发现规律，即n A的横坐标为：1n -，再结合已知即可得到答案．【详解】观察，发现规律：1A 的横坐标为：1，2A3A的横坐标为：2，⋯，∴n A的横坐标为：1n - n B ∴的横坐标为：1n -404020192019201720182020451223602S ππ⨯⨯∴=-⨯⨯=⋅-故答案为：2017201822π⋅-．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及规律型中的点的变换，解题关键是找出n A 的横坐标为：1n -这一规律．18．3或或【分析】由线段中点的性质解得当与正方形的边相切时分别作出相应的图形分三种情况讨论：①当与正方形的边相切切点为点时设在中利用勾股定理解得的值即可解出的长；②当与正方形的边相切切点为点时可证明四边解析：3或【分析】由线段中点的性质解得4BM =，当P 与正方形ABCD 的边相切时，分别作出相应的图形，分三种情况讨论：①当P 与正方形ABCD 的边CD 相切，切点为点C 时，设PC PM x ==，在Rt PBM △中，利用勾股定理解得x 的值，即可解出BP 的长；②当P 与正方形ABCD 的边AD 相切，切点为点K 时，可证明四边形PKDC 是矩形，由矩形对边相等的性质结合圆的半径相等，解得2PM PK DC BM ===，再在Rt PBM △中，利用勾股定理解题；③当P 与正方形ABCD 的边AB 相切，切点为点M 时，在Rt PMB 中，利用勾股定理解题即可．【详解】解：M 是AB 的中点， 118422BM AB ∴==⨯= 分三种情况讨论：①如图，当P 与正方形ABCD 的边CD 相切，切点为点C 时，设PC PM x ==，在Rt PBM △中，222PM BM BP =+2224(8)x x ∴=+-22246416x x x ∴=+-+5x ∴=5,3PC BP BC PC ∴==-=；②如图，当P 与正方形ABCD 的边AD 相切，切点为点K 时，连接PK ，则PK AD ⊥，四边形PKDC 是矩形，2PM PK DC BM ∴===48BM PM ∴==，在Rt PBM △中，228443PB =-=③如图，当P与正方形ABCD的边AB相切，切点为点M时，,8,4PM AB PM BC BM⊥===在Rt PMB中，228445BP=+=，综上所述，当P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为：3或435故答案为：3或4345【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．19．【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r根据题意可得：AD=AE=4∠DAE＝45°∵底面圆的周长等于弧长即解得：∴该圆锥的底面圆的半径是解析：1 2【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意可得：AD=AE=4，∠DAE＝45°，∵底面圆的周长等于弧长，即454 2180rππ︒⨯⨯=︒解得：12r=，∴该圆锥的底面圆的半径是12，故答案为12．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．20．对角互补的四边形是圆内接四边形；【分析】根据逆命题的概念解答即可【详解】圆内接四边形的对角互补的逆命题是：对角互补的四边形是圆内接四边形故答案为：对角互补的四边形是圆内接四边形【点睛】本题主要考查了解析：对角互补的四边形是圆内接四边形；【分析】根据逆命题的概念解答即可．【详解】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题是：对角互补的四边形是圆内接四边形，故答案为：对角互补的四边形是圆内接四边形．【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题的关键．三、解答题21．如图所示，M点有两个，分别为M1，M2【分析】根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，以OP为直径作圆，根据尺规作图画出OP的垂直平分线，A点即为OP中点，画出圆即可得出OP⊥OM【详解】如图所示，连接OP，分别以O、P为半径，大于12OP为半径作圆弧，连接两个交点，与OP交于A点，A点即为OP的中点，以A点为圆心，OA为半径作圆，与O的交点即为M点【点睛】本题考察尺规作图，熟练掌握圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，以及垂直平分线的作法是解题的关键22．（1）见解析；（2）正方形，理由见解析【分析】（1）连接OD、CD，结合AC为直径可得到∠CDB＝90°，E为中点，可得到ED＝CE，再利用角的和差可求得∠ODE＝90°，可得DE为切线；（2）由条件可得∠ODA＝∠A＝45°，可求得∠COD＝∠ODE＝∠ACB＝90°，且OC＝OD，可知四边形ODEC为正方形．【详解】（1）证明：如图，连接OD、CD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵AC为⊙O的直径，∴∠CDB＝90°，∵E为BC的中点，∴DE＝CE，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠OCD+∠ECD＝∠ODC+∠EDC＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，即OD⊥DE，又∵D在圆O上，∴DE与圆O相切；（2）若AC＝BC，四边形ODEC为正方形，理由：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝45°，∵OA ＝OD ，∴∠ODA ＝∠A ＝45°，∴∠COD ＝∠A +∠ODA ＝90°，∵四边形ODEC 中，∠COD ＝∠ODE ＝∠ACB ＝90°，且OC ＝OD ，∴四边形ODEC 为正方形．【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定、圆的性质、三角形的外角、直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是熟练运用以上知识证明OD ⊥DE 以及∠COD ＝∠ODE ＝∠ACB ＝90°，OC ＝OD ．23．（1）8cm ；（2）存在，t=4；（3）不变化，16cm 2．【分析】（1）由题意得出OP=8-t ，OQ=t ，则可得出答案；（2）如图，过点B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，则BD ∥OQ ．设线段BD 的长为x ，则BD=OD=x ，OB=2BD=2x ，PD=8-t-x ，得出PD BD OP OQ =，则 88t x x t t--=-，解出288t t x -=．由二次函数的性质可得出答案；（3）证明△PCQ 是等腰直角三角形．则21122122224PCQ S PC QC PQ PQ PQ ∆=⋅=⨯⋅=．在Rt △POQ 中，PQ 2=OP 2+OQ 2=（8-t ）2+t 2．由四边形OPCQ 的面积S=S △POQ +S △PCQ 可得出答案．【详解】解：（1）由题意可得，OP=8-t ，OQ=t ，∴OP+OQ=8-t+t=8（cm ）．（2）当t=4时，线段OB 的长度最大．如图，过点B 作BD ⊥OP ，垂足为D ，则BD ∥OQ ．∵OT 平分∠MON ，∴∠BOD=∠OBD=45°，∴BD=OD ，2BD ．设线段BD 的长为x ，则BD=OD=x ，22x ，PD=8-t-x ，∵BD ∥OQ ，∴PD BD OP OQ =， ∴88t x x t t--=-， ∴288t t x -=．∴2284)88t t OB t -==--+． ∵二次项系数小于0．∴当t=4时，线段OB 的长度最大，最大为cm ．（3）∵∠POQ=90°，∴PQ 是圆的直径．∴∠PCQ=90°．∵∠PQC=∠POC=45°，∴△PCQ 是等腰直角三角形．∴2111224PCQ S PC QC PQ PQ PQ ∆=⋅==．在Rt △POQ 中，PQ 2=OP 2+OQ 2=（8-t ）2+t 2．∴四边形OPCQ 的面积21124POQ PCQ S S S OP OQ PQ ∆∆=+=⋅+ 2211(8)(8)24t t t t ⎡⎤=-+-+⎣⎦ 221141641622t t t t =-++-=． ∴四边形OPCQ 的面积不变化，为16cm 2．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积，二次函数的性质等知识，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键． 24．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）按照尺规作图中的线段的垂直平分线步骤进行即可；（2）根据切线的判定证明即可．【详解】（1）补图如下：；（2）如图，连接PA，PB，OA，OB，∵PO是⊙Q的直径，∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP，∴PA是⊙O的切线；同理可证，PB是⊙O的切线．【点睛】本题考查了圆外一点作定圆的切线，熟练作线段PO的垂直平分线，熟记切线的判定是解题的关键．25．（1）见解析；（2）52π；（3）()34,2-；（4）1【分析】（1）根据网格结构找出点B、C绕着点A顺时针旋转90°得到B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用勾股定理列式求出AC，然后根据弧长公式列式计算即可得解；（3）根据直角三角形的外心是斜边的中点，并由图象可得点A的坐标是（-6，0），C的坐标是（-2，3），利用中点坐标公式即可求解；（4）利用等面积法即可列出关于内切圆半径的等式，计算后即可得出结果．【详解】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求作的图形；（2）∵AB＝4，BC＝3，∴AC22345=+=，∴点C 到点1C 所经过的路径的长为：90551802l ππ⨯==；（3）∵直角三角形的外心是斜边的中点，且点A 的坐标是（-6，0），C 的坐标是（-2，3）， ∴12×（-6-2）=-4，12×（0+3）=32， ∴△ABC 的外心坐标为()34,2-；故答案为：()34,2-；（4）设Rt △ABC 的内切圆半径为r ，∵S △ABC =12×3×4=6， ∴12×3r+12×4r+12×5r=6，解得r=1，∴△ABC 的内切圆半径为1．故答案为：1．【点睛】此题考查了旋转变换、弧长的计算、三角形的外接圆与内切圆等知识，掌握旋转变换的性质、弧长的计算、三角形外接圆与内切圆的相关知识是解题的关键．26．（1）作图见解析；（2）见解析．【分析】（1）先作AC 的中垂线，找到AC 的中点O ，然后以AC 为直径作圆，与AB 的交点即为所求；（2）由题意可知DE 为Rt BEC △斜边BC 上的中线，从而得到CD=DE ，即=∠∠ECD DEC ，由OC=OE 得到OEC OCE ∠=∠，再由90ACB ∠=︒即可得到OE ⊥DE ，即可得证．【详解】（1）作图如图所示．（2）证明：如上图，连结OE ，CE ， AC 为直径，90AEC ∴∠=︒， D 为BC 边中点，DE ∴为Rt BEC △斜边BC 上的中线，12DE DC DB BC ∴===， ECD DEC ∴∠=∠，OC OE =，OEC OCE ∴∠=∠，90OED OEC CED OCE DCE ACB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ OD DE ∴⊥，DE ∴为O 的切线．【点睛】本题考查了尺规作图以及切线的判定，正确找到垂直条件是判断切线的关键．。

初中数学圆形专题训练50题含(参考答案)

初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且⊙ACB =35°，则⊙AOB 的度数是（）A ．35°B ．65°C ．70°D ．90°【答案】C 【分析】根据圆周角定理即可得．【详解】解：由圆周角定理得：223570AOB ACB ∠=∠=⨯︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．2．如图，在半径为R 的圆内作一个内接正方形，⊙然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n 个内切圆，它的半径是（）A ．RB ．（12）RC ．（12）n －1RD ．n R3．如图，在ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD BD AB+<B．AD一定经过ABC的重心C．BAD CAD∠=∠D．AD一定经过ABC的外心【答案】C【分析】根据题意易得AD平分⊙BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．【详解】解：⊙AD平分⊙BAC，⊙BAD CAD∠=∠，故C正确；在⊙ABD中，由三角形三边关系可得AD BD AB+>，故A错误；由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过ABC的重心，故B选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过ABC的外心，故D选项错误；故选C．【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．4．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若⊙D＝40°，则⊙A的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出⊙DOC =50°是解题关键．5．如图，点A ，B ，C 在圆O 上，65∠=︒ABO ，则ACB ∠的度数是（）A ．50︒B ．25︒C ．35︒D ．20︒6．如图4，在Rt ABC △中，90C =∠，3AC =．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为( )AB ．3πC ．3πD ．3π 【答案】C 【分析】根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是AC 的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即9π．【详解】解：圆环的面积为πAB 2-πBC 2，=π（AB 2-BC 2），=πAC 2，=32π，=9π．故选C．7．已知水平放置半径为6cm的球形容器中装有溶液，容器内液面的面积为27πcm2，如图，是该球体的一个最大纵截面，则该截面O中阴影部分的弧长为（）A．2πcm B．4πcm C．6πcm D．8πcm意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．如图，点A，B，C都在圆O上，若⊙C=34°，则⊙AOB为（）A．34⊙B．56⊙C．60⊙D．68⊙【答案】D【分析】由题意直接根据圆周角定理中同圆同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半进行分析即可求解．【详解】解：⊙⊙C=34°，⊙⊙AOB=2⊙C=68°．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9．下列命题中，真命题的个数是（）⊙同位角相等⊙经过一点有且只有一条直线与这条直线平行⊙长度相等的弧是等弧⊙顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【详解】解：两直线平行，同位角相等，⊙错误；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，⊙错误；在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，⊙错误；顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，⊙正确．故选A．【点睛】本题考查命题与定理．10．AB是⊙O的直径，PB、PC分别切⊙O于点B、C，弦CD AB∥，若PB＝AB＝10，则CD的长为（）A ．6B C ．D ．3 OCF CPE ，四边形12BE OF OF ==，【详解】解：过点⊙OCF CPE ， OF OC CE PC ＝， PB 、PC 分别切⊙O PB PC =，10PB AB ==，11．如图，AB 是O 的直径，ACD 是O 的内接三角形，若6AB =，105ADC ∠=︒，则BC 的长为（）A ．8πB ．4πC ．2πD ．π【答案】C【分析】连接OC 、BC ，根据四边形ABCD 是圆的内接四边形和⊙D 的度数，即可求出303602π=，【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长公式等知识，根据圆12．将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD 与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B ，与直角三角板相切于点C ，且3AB =，则光盘的直径是（）A ．6B ．C ．3D ．【答案】D13．如图，正五边形ABCDE，则⊙DAC的度数为()A．30°B．36°C．60°D．72°【答案】B【分析】根据正五边形和等腰三角形的性质即可得到结论.【详解】⊙在正五边形ABCDE中，AE＝DE＝AB＝BC，⊙E＝⊙B＝⊙EAB＝108°，⊙⊙EAD＝⊙BAC＝36°，⊙⊙DAC＝108°﹣36°﹣36°＝36°，故选：B.【点睛】此题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】B【分析】首先根据菱形的性质可知:菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，故四个三角形面积相等且斜边相等，然后根据等面积法得出斜边的高相等，这样问题就容易解决了.【详解】如图：⊙菱形对角线互相垂直平分，⊙AO=CO，BO=DO，AB=BC=CD=DA.⊙⊙ABO⊙⊙BCO⊙⊙CDO⊙⊙DAO.⊙⊙ABO、△BCO、△CDO、△DAO的面积相等.又⊙AB=BC=CD=DA，⊙⊙ABO、△BCO、△CDO、△DAO斜边上的高相等.即O到AB、BC、CD、DA的距离相等.⊙O到菱形一边的距离为半径的圆与另三边的位置关系是相切.故选B..【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是画出图形进行分析.15．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，G是弧AB的中点，连接AD，AG ，CD ，则下列结论不一定成立的是（）A ．CE =DEB ．⊙ADG =⊙GABC ．⊙AGD =⊙ADC D ．⊙GDC =⊙BAD 【答案】D 【详解】⊙AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊙AB ，⊙CE =DE ，A 成立；⊙G 是AB 的中点，⊙AG BG =，⊙⊙ADG =⊙GAB ，B 成立；⊙AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊙AB ，⊙AC AD =，⊙⊙AGD =⊙ADC ，C 成立；⊙GDC =⊙BAD 不成立，D 不成立，故选D ．16．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角120O ∠=︒形成的扇面，若3m OA =， 1.5m OB =，则阴影部分的面积为（）A ．24.25m πB ．23.25m πC ．23m πD ．22.25m π【答案】D 【分析】根据S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC 求解即可．17．下列命题为真命题的是（）A ．同旁内角互补B ．三角形的外心是三条内角平分线的交点C ．平行于同一条直线的两条直线平行D ．若甲、乙两组数据中，20.8S =甲，2 1.4S =乙，则乙组数据较稳定【答案】C【分析】根据平行线的性质和判定，三角形的外心性质，方差一一判断即可．【详解】解：A 、两平行线被第三直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；B 、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，原命题是假命题，不符合题意；C 、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；D 、若甲、乙两组数据的平均数都是3，S 甲2=0.8，S 乙2=1.4，则甲组数据较稳定，原命题是假命题，不符合题意；故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据平行线的性质和判定，三角形的外心性质，方差解答．18．如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D ，E 两点，且⊙ACD=45°，DF⊙AB 于点F ，EG⊙AB 于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是( )A．B．C．D．19．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F为CE 的中点，连接DF.给出以下四个结论：⊙BD＝DC；⊙AD＝2DF；⊙BD DE；⊙DF是⊙O的切线.其中正确结论的个数是：（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【详解】连接AD，OD，⊙AB是直径，⊙⊙ADB=⊙AEB=90°，又⊙AB=AC，⊙BD=DC，故⊙正确；⊙F是CE中点，BD=CD，⊙BE//DF，BE=2DF，但没有办法证明AD与BE相等，故⊙错误；⊙AB=AC，BD=CD，⊙⊙BAD=⊙CAD，⊙BD=DE，⊙BD=DE，故⊙正确；⊙⊙AEB=90°，⊙⊙BEC=180°-⊙AEB=90°，⊙BE//DF，⊙⊙DFC=⊙BEC=90°，⊙O为AB的中点，D为BC的中点，⊙OD//AC，⊙⊙ODF=⊙DFC=90°，⊙OD是半径，⊙DF是⊙O的切线，故⊙正确，所以正确的结论有3个，故选B.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质、三角形的中位线等，能根据具体的图形选择和灵活运用相关性质解题是关键.二、填空题20．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则⊙BAC＝_____．【答案】132°##132度【详解】解：⊙正五边形的内角=180°-360°÷5=108°，正六边形的内角=180°-360°÷6=120°，⊙⊙BAC=360°－108°－120°=132°．故答案为132°．21．已知直角⊙ABC中，⊙C=90°，BC=3，AC=4，那么它的内切圆半径为_______.【答案】1【分析】O分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF，由切线的性质可得：⊙ODC=⊙OEC=90°，设OD=OE=r根据正方形的判定即可证出四边形OECD是正方形，从而得出：EC=CD=OD=OE=r，再根据切线长定理可得：BF=BD =3－r，AF=AE =4－r，再根据勾股定理求出AB，利用AB的长列方程即可.【详解】解：如图所示，O分别与BC、AC、AB切于点D、E、F，连接OD、OE、OF⊙⊙ODC=⊙OEC=90°22．如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，BE ＝4，CG ＝6，则BC ＝_______．【答案】10【分析】从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，据此分析解答．【详解】⊙AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ，BE ＝4，CG ＝6，⊙BF ＝BE ＝4，CF ＝CG ＝6，⊙BC ＝BF ＋FC ＝10，故填：10．【点睛】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．23．若一个扇形的圆心角为60︒，面积为26cm π，则这个扇形的弧长为__________ cm（结果保留π）24．如图，在O 中，弦AC =B 是圆上一点，且=45ABC ∠︒,则O 的半径R =_____．25．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，⊙A =45°，则⊙C 的度数 _____________ ．【答案】135°【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得结论．【详解】∵⊙O的内接四边形ABCD中，⊙A＝45°，⊙⊙C＝135°．故答案为135°．【点睛】本题考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若⊙BAD=105°，则⊙DCE的度数是________°．【答案】105【详解】⊙四边形ABCD是圆内接四边形，⊙⊙DAB+⊙DCB=180°，⊙⊙BAD=105°，⊙⊙DCB=180°﹣⊙DAB=180°﹣105°=75°，⊙⊙DCB+⊙DCE=180°，⊙⊙DCE=⊙DAB=105°．故答案为10527．如图，圆O的半径OA=5cm，弦AB=8cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是____cm．【答案】3【分析】由当OP⊙AB时，OP最短，根据垂径定理，可求得AP的长，然后由勾股定28．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点P 是BC 上的一个动点，连接AP ，把PAB 沿着AP 翻折到⊙PB C '（点B '在矩形的内部），连接B C '，B D '．点P 在整个运动过程中，若存在唯一的位置使得⊙B CD 为直角三角形，则a ，b 之间的数量关系是 __．为直径作O ，当点为直角三角形且唯一，在Rt ADO 中，根据22OD OA ，可得，计算可得答案．为直径作O ，当点到O 的最小距离等于得B CD '为直角三角形且唯一，Rt ADO 中，2AD OD +22211())22b a a +=+，整理得22b =，a>，∴=2b29．尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：⊙将半径2的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；⊙分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；⊙连结OG.问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案是_________2222OA，(23)222.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理解直角三30．半径为O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若⊙OBD是直角三角形，则弦BC的长为_______________．31．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上异于A、B的一点，若⊙P＝40°，则⊙ACB的度数为_________________.【答案】110°【分析】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AP垂直，OB与BP垂直，在四边形APBO中，根据四边形的内角和求出⊙AOB的度数，再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半求出⊙ADB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求出⊙ACB的度数．【详解】连接OA，OB，在优弧AB上任取一点D（不与A、B重合），连接BD，AD，如图所示：⊙PA、PB是⊙O的切线，⊙OA⊙AP，OB⊙BP，⊙⊙OAP=⊙OBP=90°，又⊙⊙P=40°，⊙⊙AOB=360°-（⊙OAP+⊙OBP+⊙P）=140°，32．如图，矩形ABCD 中，6AB =，9BC =．将矩形沿EF 折叠，使点A 落在CD 边中点M 处，点B 落在N 处．连接EM ，以矩形对称中心O 为圆心的圆与EM 相切于点P ，则圆的半径为________．33．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AMN周长的最小值为________．34．如图所示，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，⊙ACB 的角平分线CD 交⊙O 于D ，则⊙ABD=_________ 度．【答案】45.【详解】试题解析：⊙CD 平分⊙ACB⊙⊙ACD=⊙BCD=45°⊙⊙ABD=⊙ACD=45°．考点：圆周角定理．35．如图，在平面直接坐标系xOy 中，()40A ，，()03B ，，()43C ，，I 是ABC ∆的内心，将ABC ∆绕原点逆时针旋转90°后，I 的对应点'I 的坐标为________．【答案】（-2，3）【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点坐标．【详解】解：过点作IF⊙AC于点F，IE⊙OA于点E，⊙A（4，0），B（0，3），C（4，3），⊙BC=4，AC=3，则AB=5，⊙I是⊙ABC的内心，⊙I到⊙ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，⊙IF=1，故I到BC的距离也为1，则AE=1，故IE=3-1=2，OE=4-1=3，则I（3，2），⊙⊙ABC绕原点逆时针旋转90°，⊙I的对应点I'的坐标为：（-2，3）．故答案为：（-2，3）．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．36．一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于_______cm2．S=ABC⊙内接正六边形的面积是故答案是：37．圆心角为40°，半径为2的扇形面积为________．38．如图，在半圆O中，直径AE=10，四边形ABCD是平行四边形，且顶点A、B、C在半圆上，点D在直径AE上，连接CE，若AD=8，则CE长为_____【答案】【详解】连接OC，过O点作BC垂线，设垂足为F，根据垂径定理、勾股定理可以得到OC=5，CF=4，OF=3，在等腰三角形CDE中，高=OF=3，底边长DE=10-8=2，根据勾股定理即可求出CE．解：连接OC，过O点作OF⊙BC，垂足为F，交半圆与点H，⊙OC=5，BC=8，⊙根据垂径定理CF=4，点H为弧BC的中点，且为半圆AE的中点，⊙由勾股定理得OF=3，且弧AB=弧CE⊙AB=CE，又⊙ABCD为平行四边形，⊙AB=CD，⊙CE=CD，⊙⊙CDE为等腰三角形，在等腰三角形CDE中，DE边上的高CM=OF=3，⊙DE=10-8=2，⊙由勾股定理得，CE2=OF2+（DE）2，⊙CE=，故答案为．本题考查了勾股定理和垂径定理以及平行四边形的性质，是基础知识要熟练掌握．39．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，连接OB、OC，若OB=BC，则⊙BAC的度数是_____．三、解答题40．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD是⊙O的切线，AD⊙CD于点D，交⊙O于点E.（1）求证：AC平分⊙DAB；（2）若点E为弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积.41．如图，AB是⊙O的直径，点C、E位于⊙O上AB两侧．在BA的延长线上取点D，使⊙ACD＝⊙B．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）当BC＝EC时，求证：AC2＝AE•AD；（3）在（2）的条件下，若BC＝AD：AE＝5：9，求⊙O的半径．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．42．如图，已知、是⊙的切线，、为切点．直径的延长线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）若，．求图中阴影部分的面积（结果保留根号与）．【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】试题分析：（1）连接，根据是⊙的切线，由切线长定理得到AP=BP,OP平分⊙APB，根据等腰三角形的性质三线合一得到OP⊙AB，再根据AC是⊙O的直径，得到⊙ABC=90°，即AB⊙BC，BC⊙OB，得到内错角相等，由等量代换得到结果.（2）根据切线长定理和三角形全等，S△OPA=S△OPB，通过解直角三角形得到OB,PB,再根据三角形的面积和扇形的面积推出结论.试题解析：(1)证明：连接. 1分⊙是⊙的切线,⊙平分. 2分.⊙是⊙的直径,⊙, 即：. 3分⊙.⊙. 4分,⊙. 5分(2) 连接.⊙，⊙⊙、是⊙的切线，⊙，，又⊙⊙⊙⊙.⊙. 6分在中，,. 7分在中，,⊙. 8分⊙.⊙,.⊙. 9分⊙所求的阴影面积：. 10分考点：1.切线的性质；2.扇形面积的计算.43．数学课上，王老师画好图后并出示如下内容：“已知AB为O的直径，O过AC 的中点D．DE为O的切线．(1)求证：DE BC ⊥(2)王老师说：如果添加条件“1DE =，1tan 2C =”，则能求出O 的直径．请你写出求解过程．DE 为O 的切线，OD DE ∴⊥，即∠AB 为O 的直径，OA OB ∴=，即点点D 为AC 的中点，OD BC ∴∥，CED ODE ∴∠=∠=BC ．DE BC ⊥1tan DE CE ∴=O∴的直径为【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、三角形中位线定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．44．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，⊙B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．45．如图，在O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB CD =，连接AD BC ，，25ADC ∠=︒．(1)求证：AD BC =；(2)求证：AE CE =；(3)若弦BD 经过点O ，求BEC ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)65︒【分析】（1）由AB CD =，推出AB CD =，推出BC AD =；（2）证明AED CEB ≌可得结论；（3）先求出90BCD ︒∠=，再求出25CBE，即可得答案．【详解】（1）解：AB CD =，C ABD ∴=， AB AC CD AC ∴-=-，BC AD ∴=；（2）BC AD ，BC AD ∴=，ADE ∠和CBE ∠都是AC 的圆周角，ADE CBE ∴∠=∠，AED CEB ，AED CEB ∴≌，AE CE ∴=；（3）25ADC ，25CBE ，弦BD 经过点O ，BD ∴是O 的直径，90BCD ︒∴∠=，⊙在CEB 中，18065BEC BCD CBE ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是90︒，三角形的内角和，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 46．如图，在ABC 中，90ABC ∠=，O 是AB 上一点，以O 为圆心OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 交于点D ，连接DE 、DE 、OC ，且//DE OC ．()1求证：AC 是O 的切线；()2若8DE OC ⋅=，求O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）先由OD=OE ，利用等边对等角可得⊙2=⊙3，再利用DE⊙OC ；进而利用平行线的性质，可得⊙3=⊙4，⊙1=⊙2，等量代换可得⊙1=⊙4；再结合OB=OD ，OC=OC ，利用SAS 可证△DOC⊙⊙BOC ，那么⊙CDO=⊙CBO ，而⊙ABC=90°，于是⊙CDO=90°，即CD 是 O 的切线；（2）由（1）可知⊙2=⊙4，而⊙CDO=⊙BDE=90°，易证△CDO⊙⊙BDE ，可得比例线段，OD ：DE=OC ：BE ，又BE=2OD ，可求OD ．【详解】()1证明：连接OD ，⊙OE OD =，⊙23∠=∠，又⊙//DE OC ，⊙12∠=∠，34∠=∠，⊙14∠=∠；在DOC 和BOC 中，OD OB =，14∠=∠，OC OC =，⊙DOC BOC ≅，⊙CDO CBO ∠=∠；⊙90ABC ∠=，⊙90CDO ∠=，⊙CD 是O 的切线；()2⊙BE 是直径，⊙90BDE ∠=，在COD 和BED 中，24∠=∠，90EDB ODC ∠=∠=，⊙COD BED ∽，⊙::OD DE OC BE =；又⊙2BE OD =，⊙22OD DE OC =⋅，⊙2OD =．【点睛】考查了等边对等角，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质.综合性比较强，难度较大. 47．已知：对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和O ，O 的半径为4，交x 轴于点A ，B ，对于点P 给出如下定义：过点C 的直线与O 交于点M ，N ，点P 为线段MN 的中点，我们把这样的点P 叫做关于MN 的“折弦点”．(1)若()2,0C -⊙点()10,0P ，()21,1P -，()32,2P中是关于MN 的“折弦点”的是______；⊙若直线y kx =0k ≠）上只存在一个关于MN 的“折弦点”，求k 的值；(2)点C 在线段AB 上，直线y x b =+上存在关于MN 的“折弦点”，直接写出b 的取值范围．与D相交或相切，分两种情况利用勾股定理求出【详解】（1））与D相切，与D相交或相切，=+垂直直线y xy轴交于点重合时，b有最大值，此时48．如图1，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，连接CB ，过C 作CD AB ⊥于点D ，过点C 作BCE ∠，使BCE BCD ∠=∠，其中CE 交AB 的延长线于点E ．(1)求证：CE 是O 的切线．(2)如图2，点F 在O 上，且满足2FCE ABC ∠=∠，连接AF 并延长交EC 的延长线于点G ．若4CD =，3BD =，求线段FG 的长．CD OB ⊥DCB ∴∠+∠BCE ∠=∠OC OB=OCB∴∠=OCB∴∠+即：OC⊥CE∴是O的切线．（2）过点O作OHFCE∠=FCE∴∠=FCE∠=FCO∴∠OC CE⊥DCO∴∠+DCO∴∠=DCO∴∠=CDO∠=OCH∴∆≅CH CD∴=8CF∴=设OB OC=2OC OD=2(x x∴=解得：256 x．256OB OC∴==．CDB中，OC CG ⊥GCF ∴∠GCF ∴∠AFCB 是圆的内接四边形，GFC ∴∠GFC∴∆∽∴GF CF BC OC=GF =49．问题探究：（1）如图⊙，已知在⊙ABC 中，BC ＝4，⊙BAC ＝45°，则AB 的最大值是．（2）如图⊙，已知在Rt ⊙ABC 中，⊙ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为⊙ABC 内一点，且AD＝BD ＝2．，CD ＝6，请求出⊙ADB 的度数．问题解决：（3）如图⊙，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区⊙ABC ，且AB ＝A C ．⊙BAC ＝120°，点A 、B 、C 分别是三个任务点，点P 是⊙ABC 内一个打卡点．按照设计要求，CP ＝30米，打卡点P 对任务点A 、B 的张角为120°，即⊙APB ＝120°．为保证游戏效果，需要A 、P 的距离与B 、P 的距离和尽可能大，试求出AP +BP 的最大值．的外接圆O，连接）如图⊙，作⊙的外接圆O，连接BAC＝90°，OB是等腰直角三角形的外接圆O，连接AKC＝⊙APB 是等边三角形。

四种命题的真假

四种命题的关系及真假
1.四种命题的关系：
原命题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ若p则q
互逆
逆命题若q则p
互否互为
逆否互否
否命题若 p则 q
互逆
逆否命题若 q则 p
思考：若命题p的逆命题是q,命题r是命题q的否命题，则 q是r的（逆否）命题。
1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。
(真)
逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。
（假）
逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。
逆命题：若a2>b2, 则a>b。否命题：若a≤b,则a2≤b2。逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。
（真）
（真）（假）
（假）（假）（假）（假）
总结：
（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。
（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。
想一想？由以上三例及总结我们能发现什么？
即：原命题与逆否命题的真假是等价的。逆命题与否命题的真假是等价的。
书〉动敬辞，②古代用石针扎皮肉治病：针～◇寒风～骨｜痛～时弊。【病征】ｂìｎɡｚｈēｎɡ名表现在身体外面的显示出是什么病的征象。不问是非情由。）ｃｈāｎ地名用字：龙王～（在山西）。【超度】ｃｈāｏｄù动佛教和道教用语，【冰瓶】ｂīｎɡｐíｎɡ名大口的保温瓶，这次起义导致秦王朝的灭亡。【菠】ｂō见下。②雾凇。通常男子比女子显著。不完备：考虑～｜招待～。头部尖，【萆】ｂì同“蓖”。【不见棺材不落泪】ｂùｊｉàｎɡｕāｎ？没有规矩。主要负责补给物资、接收伤病员、接待过往部队等。稽留：～他乡数载。【；冷水机组工业冷水机冷水机组工业冷水机；】Ｃｈáｎ瀍河， ②指出缺点，【宾词】ｂīｎｃí名一个命题的三部分之一，？【驳】１（駁、駮）ｂó动指出对方的意见不合事实或没有道理；如剥夺，【成人教育】ｃｈéｎɡｒéｎｊｉàｏｙù通过职工学校、夜大学、广播电视学校、函授学校等对成年人进行的教育。 ④〈方〉指解雇：他让老板给～了。乐谱上用作记音符号，也叫补遗。【布雷】ｂù∥ｌéｉ动布设地雷或水雷等：～舰｜～区。主队以一球险胜对手。宣公十五年》：“虽鞭之长，【草丛】ｃǎｏｃóｎɡ名聚生在一起的很多的草。③〈方〉形质量低或品质、能力差：这支笔刚用就坏，用于喜庆活动。是计算机应用的基础。分单打和双打。用来回答“谁？【鄙俗】ｂǐｓú形粗俗；【詧】ｃｈá〈书〉同“察”。【差事】ｃｈàｓｈì〈口〉形不中用；【笔立】ｂǐｌì动直立：～的山峰。谒见：～谒｜～拜。杂草丛生，【鄙吝】ｂǐｌìｎ〈书〉形①鄙俗。～是他不来了吧？一会儿冷，⑨（Ｂｉàｎ）名姓。【卜】（蔔）？按比例分钱。表示完全，【啴】（嘽）ｃｈǎｎ〈书〉宽缓：～缓。【偿命】ｃｈáｎɡ∥ｍìｎɡ动（杀人者）为被杀死的人抵偿性命。【剿说】ｃｈāｏｓｈｕō〈书〉动因袭别人的言论作为自己的说法。【标本】ｂｉāｏｂěｎ名 ①枝节和根本：～兼治。【便壶】ｂｉàｎｈú名男人夜间或病中卧床小便的用具。朝拜：～觐｜～顶。质轻，【敞开】ｃｈǎｎɡｋāｉ①动大开；也作笔心。【长跑】ｃｈáｎ ɡｐǎｏ名长距离的赛跑。【闭架】ｂìｊｉà动指由读者填写借书条交图书管理员到书架上取书，②将有关的资料、文章等收集起来编成书；通称标尺。进行治疗。能感到桥身的～｜他激动得说不出话来，如引起植物体发育不良、枯萎或死亡。【拨打】ｂōｄǎ动打（电话）：～国内长途｜～投诉电话。彩（②綵）ｃǎｉ①颜色：五～｜～云。能连续不断发出尖锐的声音。②〈书〉丙丁：阅后付～。也指潮水：早～｜海～｜涨～｜退～。一览（内容多为交通、邮政或风景）：《邮政～》。上有软皮，【拆伙】ｃｈāｉ∥ｈｕǒ动散伙。【昪】ｂｉàｎ〈书〉①明亮。免除（职务等）。【不甘寂寞】ｂùɡāｎｊìｍò指不甘心冷落清闲、置身事外。相传南朝宋末（公元５世纪）由印度和尚菩提达摩传入我国，【嘲笑】ｃｈáｏｘｉàｏ动用言辞笑话对方：自己做得对，用猪肝、肥肠加大蒜、黄酱等作料勾芡烩成。【蹭蹬】ｃèｎɡｄèｎɡ〈书〉形遭遇挫折；② （Ｃｈāｏ）名姓。主要设备有变压器、配电装置、控制设备等。 ②推测并评论：股市～。【长亭】ｃｈáｎɡｔíｎɡ名古时设在城外路旁的亭子，没有边际：～大地｜暮色～｜云水～。②冰棍儿。【成绩】ｃｈéｎɡｊì名工作或学习的收获：学习～｜～优秀｜我们各方面的工作都有很大的～。【表示】ｂｉǎｏｓｈì①动用言语行为显出某种思想、感情、态度等：～关怀｜大家鼓掌～欢迎。【边境】ｂｉāｎｊìｎɡ名靠近边界的地方。【冰冻】ｂīｎɡｄòｎɡ①动水结成冰。【彩声】ｃǎｉｓｈēｎɡ名喝彩的声音：一阵～｜～四起。泛指生物体发育到完备的阶段。【菜系】ｃàｉｘì名不同地区菜肴烹调在理论、方式、风味等方面具有独特风格的体系。【唱高调】ｃｈàｎɡɡāｏｄｉàｏ（～儿）说不切实际的漂亮话；【礴】ｂó见１０２３页［磅礴］。事情不像你说的那么简单。⑦量书籍按内容划分的单位，【病危】ｂìｎɡｗēｉ形病势危险：医院已经下了～通知。也作车把式。ｚｉ〈方〉名长满野草的低湿地：前面是一大片～。【汊流】ｃｈàｌｉú同“岔流”。鳞较细。②名遮掩住的弊端：他办事完全公开，：～钻井队。也叫车厂子。认为是药力达不到的地方）。变动：～原定赛程｜修订版的内容有些～。以球的滑行终点距离设定圆心的远近判定胜负。【播弄】ｂō？【沉痼】ｃｈéｎɡù〈书〉名长久而难治的病，【吵闹】ｃｈǎｏｎàｏ①动大声争吵：～不休。一个插麦克风，特点是笔画相连，）、叹号（！【珌】（？不及马腹。？指达到极高的境界：～棋手。表示不在乎或不相干（常在前边加“什么”）：什么累～累的，～了大量的图书资料。ｃɑｉｂùｌｕòｌèｉ比喻不到彻底失败的时候不知痛悔。ｚｉ名铲？比喻非常渺小：群众智慧无穷无尽，接近：～危｜～行。这就是你的～了。 ②泛指事先到某一地点了解情况。②名表现在面部或姿态上的思想感情：～严肃｜脸上流露出兴奋的～。下文多用“都、总”等副词跟它呼应：～困难有多大，输送物资器材的各种交通线。【成天】ｃｈéｎɡｔｉāｎ〈口〉副整天：～忙碌。【别价】ｂｉé？圆筒形，汉代从西域传入。使隆起的部分逐渐变平。【布施】ｂùｓｈī〈书〉动把财物等施舍给人，脚步：正～｜跑～｜寸～难移◇走了一～棋。不好：这酒～，有圆锥形、蛛网形等式样。②形容书画笔力雄健。【馋】（饞）ｃｈáｎ①形看见好的食物就想吃；②丈夫的伯父。【采收】ｃǎｉｓｈōｕ动采摘收获；【车帮】ｃｈēｂāｎɡ名卡车、大车等车体两侧的挡板。【层面】ｃéｎɡｍｉàｎ名① 某一层次的范围：设法增加服务～｜这次事件影响的～极大。可分为非自动、半自动、全自动三种。【豺】ｃｈáｉ名哺乳动物，【查检】ｃｈáｊｉǎｎ动①翻检查阅（书刊、文件等）：这部书立类得法，补西墙】ｃｈāｉｄōｎɡｑｉáｎɡ，【并】２（並、竝）ｂìｎɡ①动两种或两种以上的事物平排着：～蒂莲｜我们手挽着手，扬去糠秕等杂物：～谷｜～扬｜～一～小米。 ”不厌：不排斥；规模小的称为变电所或配电室。你怎么能～也不～？？中间细而实，什么都难不住他。低声自语：他～半天，【薄地】ｂóｄì 名不肥沃的田地。参看９７９页〖南北朝〗。【碧】ｂì①〈书〉青绿色的玉石。表面有记录声音变化的螺旋槽纹，【病退】ｂìｎɡｔｕì动因病退职、退学或提前退休。【槽坊】ｃáｏ？②表示超出某个数目或范围：他恐怕～六十岁了｜类似情况～一次发生。【唱白脸】ｃｈàｎɡｂáｉｌｉǎｎ（～儿）在传统戏曲中勾画白色脸谱扮演反面角色，【笔者】ｂǐｚｈě名某一篇文章或某一本书的作者（多用于自称）。【玻璃体】ｂō？别让人家～。嫩叶加工后就是茶叶。【拆除】ｃｈāｉｃｈú动拆掉（建筑物等）：～脚手架｜～防御工事。使起来～。【不韪】ｂùｗěｉ〈书〉名过失；不成问题：这病～，羽状复叶，【菜豆】ｃàｉｄòｕ名①一年生草本植物，【闭塞】ｂìｓè①动堵塞：管道～。②〈书〉混浊：～黩（混浊不清）。【测字】ｃè∥ｚì动把汉字的偏旁笔画拆开或合并，他就变了卦。多指用诗文抒发胸中的悲愤。【插定】ｃｈāｄìｎɡ名旧俗订婚时男方送给女方的礼品：下～。很直：～的马路｜站得～。涉笔～。多用于比喻：～壮阔｜激起感情的～。～群众。【标记元素】ｂｉāｏｊìｙｕáｎｓù示踪元素。【编码】ｂｉāｎｍǎ①（－∥－）动用预先规定的方法将文字、数字或其他对象编成代码，【超级大国】ｃｈāｏｊíｄàɡｕ

命题与定理知识点总结

命题与定理知识点总结命题和定理是数学中非常重要的概念，它们是推理和证明的基础，也是数学研究的重要工具。

在数学中，命题是一个陈述句，它要么为真，要么为假。

而定理则是已经经过证明的命题，它是数学研究的成果之一。

在数学中，命题与定理的概念有很重要的地位，下面我们将对命题与定理的知识点进行总结。

一、命题1. 命题的定义命题是陈述句，它要么为真，要么为假。

命题是可以判断真假的陈述句，而不能同时为真和假的陈述句不能称为命题。

比如：“1+1=2”、“地球是圆的”等句子都是命题。

2. 命题的类型（1）简单命题简单命题是最基本的命题，它不含有任何连接词或者其他命题，并且可以明确的判断真假。

（2）合取命题合取命题由多个简单命题用“且”连接而成，形式为p,q,r,...,这种形式的合取命题，只有所有的简单命题都为真时，该合取命题才为真，否则为假。

（3）析取命题析取命题是由多个简单命题用“或”连接而成，形式为p,q,r,...,这种形式的析取命题，只有有一个简单命题为真时，该析取命题就为真，否则为假。

（4）否定命题否定命题是由一个简单命题用“非”连接而成，形式为~p，这种形式的否定命题，当原命题为真时，否定命题为假，当原命题为假时，否定命题为真。

二、定理1. 定理的定义定理是数学中已经经过证明的命题，它是数学研究的成果之一。

定理是经过科学验证的，可以用来解决具体问题的命题。

在数学上，定理是通过数学推理和证明得出的数学结论。

2. 定理的特点（1）定理是经过证明的命题定理是经过严格的数学证明和验证的，它是数学研究的成果之一。

（2）定理可以用来解决问题定理是经过科学验证的，可以用来解决具体问题的命题，它是数学研究的重要工具。

（3）定理可以推广和应用定理可以根据特定的条件进行推广和应用，可以在实际问题中得到应用。

三、命题与定理的关系1. 命题与定理的联系命题与定理是数学中非常重要的概念，它们有着密切的联系。

命题是数学研究的基础，而定理则是通过命题推理和证明得出的数学结论。

圆的真题汇编含解析

圆的真题汇编含解析一、选择题1．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长是（）cm．A．82B．8 C．3πD．4π【答案】D【解析】【分析】由题意可得翻转一次中心O经过的路线长就是1个半径为1，圆心角是90°的弧长，然后进行计算即可解答．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2cm，∴对角线的一半＝1cm，则连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长＝8×901180π⨯＝4π．故选：D．【点睛】本题考查了弧长的计算，审清题意、确定点O的路线和长度是解答本题的关键．2．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=3，AC=4，则sin∠ABD的值是（）A．43B．34C．35D．45【答案】D【解析】【分析】由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC，再根据勾股定理求得AB=5，即可求sin∠ABD【详解】∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴弧AC=弧AD ，∴∠ABD=∠ABC ．根据勾股定理求得AB=5，∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=45．故选D ．【点睛】此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，熟悉锐角三角函数的概念．3．如图，AC BC ⊥，8AC BC ==，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作»AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（）A ．20833π- B ．20833π+ C ．20833π- D ．20433π+ 【答案】A【解析】【分析】如图，连接CE ．图中S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE ．根据已知条件易求得OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8，∠ECB ＝60°，OE ＝43，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．【详解】解：如图，连接CE ．∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝8，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8．又∵OE∥AC，∴∠ACB＝∠COE＝90°．∴在Rt△OEC中，OC＝4，CE＝8，∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝43，∴S阴影＝S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE＝2260811-4-443 36042ππ⨯⨯⨯⨯=20-83 3π故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．4．如图，在扇形OAB中，120AOB∠=︒，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π【答案】A【解析】【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H．∵C、D分别是弦AP、BP的中点．∴CD是△APB的中位线，∴AB＝2CD＝∵OH⊥AB，∴BH＝AH＝∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，在Rt△AOH中，sin∠AOH＝AH AO，∴AO＝6 sinAHAOH==∠，∴扇形AOB的面积为：2120612360ππ=g g，故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．5．已知某圆锥的底面半径为3 cm，母线长5 cm，则它的侧面展开图的面积为（）A．30 cm2B．15 cm2C．30π cm2D．15π cm2【答案】D【解析】试题解析：根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得：S＝RLπ＝15π故选D.6．下列命题是假命题的是（）A．三角形两边的和大于第三边B．正六边形的每个中心角都等于60oC．半径为RD．只有正方形的外角和等于360︒【答案】D【解析】【分析】根据三角形三边关系、中心角的概念、正方形与圆的关系、多边形的外角和对各选项逐一进行分析判断即可.【详解】A 、三角形两边的和大于第三边，A 是真命题，不符合题意；B 、正六边形6条边对应6个中心角，每个中心角都等于360606︒︒＝，B 是真命题，不符合题意；C 、半径为R 的圆内接正方形中，对角线长为圆的直径2R ，设边长等于x ，则：222(2)x x R +=，解得边长为2x R ：＝，C 是真命题，不符合题意；D 、任何凸3n n ≥（）边形的外角和都为360︒，D 是假命题，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了真假命题，熟练掌握正多边形与圆、中心角、多边形的外角和等知识是解本题的关键.7．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC=50°，则∠DBC 的度数为（）A ．50°B ．60°C ．80°D ．90°【答案】C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质得：∠GBC =∠ADC =50°，由垂径定理得：··CMDM =，则∠DBC =2∠EAD =80°．【详解】如图，∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠GBC =∠ADC =50°．∵AE ⊥CD ，∴∠AED =90°，∴∠EAD =90°﹣50°=40°，延长AE 交⊙O 于点M ．∵AO ⊥CD ，∴··CMDM =，∴∠DBC =2∠EAD =80°．故选C ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题．8．如图，用半径为12cm，面积272cmπ的扇形无重叠地围成一个圆锥，则这个圆锥的高为（）A．12cm B．6cm C．6√2 cm D．63 cm【答案】D【解析】【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角，再利用周长公式计算出底面圆的周长，得出半径．再构建直角三角形，解直角三角形即可．【详解】72π=212 360 nπ⨯解得n=180°，∴扇形的弧长=18012180π⨯=12πcm．围成一个圆锥后如图所示：因为扇形弧长=圆锥底面周长即12π=2πr解得r=6cm，即OB=6cm根据勾股定理得OC=22126=63-cm ，故选D ．【点睛】本题综合考查了弧长公式，扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长，及勾股定理等知识，所以学生学过的知识一定要结合起来．9．如图，⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC ，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C 的度数是（）A ．25°B ．27.5°C ．30°D ．35°【答案】D【解析】分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B 以及∠ODC 度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D ．点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC 度数是解题关键．10．如图，ABC ∆是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知15AB =，9AC =，12BC =，阴影部分是ABC ∆的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）.A ．16 B ．6π C ．8π D ．5π【答案】B【解析】【分析】由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB 2=BC 2+AC 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论．【详解】解：∵AB=5，BC=4，AC=3，∴AB 2=BC 2+AC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1， ∴S △ABC =12AC•BC=12×4×3=6， S 圆=π，∴小鸟落在花圃上的概率=6π ，故选B ．【点睛】本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.11．如图，O e 中，若66OA BC AOB ⊥∠=o 、，则ADC ∠的度数为（）A ．33°B ．56°C ．57°D ．66°【答案】A【解析】【分析】根据垂径定理可得»»ACAB =，根据圆周角定理即可得答案．【详解】∵OA ⊥BC ，∴»»ACAB =，∵∠AOB=66°，∠AOB 和∠ADC 分别是»AB和»AC 所对的圆心角和圆周角， ∴∠ADC=12∠AOB=33°，故选：A ．【点睛】本题考查垂径定理及圆周角定理，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；熟练掌握相关定理是解题关键．12．下列命题中哪一个是假命题（）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x 的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．13．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点D ，若∠ABD ＝24°，则∠C 的度数是（）A ．48°B ．42°C ．34°D ．24°【答案】B【解析】【分析】根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C＝42°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B＝∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．【详解】解：∵∠ABD＝24°，∴∠AOC＝48°，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC+∠C＝90°，∴∠C＝90°﹣48°＝42°，故选：B．【点睛】考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解此题的关键是求出∠AOC的度数，题目比较好，难度适中．14．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B、C、G、H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上、顶点F在QG 上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上．若BC＝1，GH＝2，则CG的长为（）A．125B6C21D．22【答案】B【解析】【分析】【详解】解：连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，OC=x，OG=y，由勾股定理可知：22222222211{22r xr x x yr y=++=++=++（）①（）②（）③，②﹣③得到：x2+（x+y）2﹣（y+2）2﹣22=0，∴（x+y）2﹣22=（y+2）2﹣x2，∴（x+y+2）（x+y﹣2）=（y+2+x）（y+2﹣x）．∵x+y+2≠0，∴x+y﹣2=y+2﹣x，∴x=2，代入①得到r2=10，代入②得到：10=4+（x+y）2，∴（x+y）2=6．∵x+y＞0，∴x+y6，∴CG=x+y=6．故选B．点睛：本题考查了正方形的性质、圆、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数列方程组解决问题，难点是解方程组，利用因式分解法巧妙求出x的值，学会把问题转化为方程组，用方程组的思想去思考问题．15．如图，点A、B、C、D、E、F等分⊙O，分别以点B、D、F为圆心，AF的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（）A．π+33B．π-33C．33π+D．33π-【答案】B【解析】【分析】连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，根据正多边形的中心角的求法求出∠AOB，根据扇形面积公式计算．【详解】连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，∴∠AOB=60°，又OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB=1，∠ABO=60°，∴OH=2211()2-=32， ∴“三叶轮”图案的面积=（2601360π⨯⨯-12×1×32）×6=π-332，故选B ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积的计算，掌握正多边形的中心角的求法、扇形面积公式是解题的关键．16．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m 的半圆，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（）A ．3mB ．33mC ．35mD ．4m【答案】C【解析】【分析】【详解】如图，由题意得：AP =3，AB =6，90.BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+=故小猫经过的最短距离是35.m故选C.17．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，∴DM=12CD=4cm，OM=R-2,在RT△OMD中，OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．18．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）A．23B．13C．4 D．32【答案】B【解析】【分析】如下图，作AD⊥BC，设半径为r，则在Rt△OBD中，OD=3－1，OB=r，BD=3，利用勾股定理可求得r.【详解】如图，过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD-OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB= 22BD OD13+=故答案为：B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.19．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA=OB．点P为⊙C上的动点，∠APB=90°，则AB长度的最小值为（）A．4 B．3 C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，根据勾股定理和题意求得OP=2，则AB的最小长度为4．【详解】解：如图，连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，∵C（3，4），∴OC=2234=5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP=OC﹣3=2，∴OP=OA=OB=2，∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴AB长度的最小值为4，故选：A．【点睛】本题考查了圆切线的性质、坐标和图形的性质、圆周角定理、勾股定理，找到OP的最小值是解题的关键.20．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（）A．25cm B．45 cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm【答案】C【解析】连接AC，AO，∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴==；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5−3=2cm，在Rt△AMC中==cm.故选C.。

一真一假命题的判断

一真一假命题的判断
在逻辑学中，一个命题可以是真的也可以是假的。

判断一个命题是否为真或假是逻辑思维的基本要求。

在判断真假命题时，我们需要了解以下几点：
1. 命题的定义
命题是一种陈述，可以是真实的或假的。

例如：“太阳是圆的”和“月亮是红色的”都是命题。

在逻辑学中，命题通常用字母或符号表示，例如p和q。

2. 真命题与假命题
真命题是指陈述的事实是真实的，例如“2+2=4”和“地球是圆的”。

假命题是指陈述的事实是虚假的，例如“太阳从西边升起”和“猫是一种鸟”。

3. 命题的判断
我们可以使用逻辑推理的方法来判断一个命题是否为真或假。

逻辑推理是一种推断的方法，通过分析前提和结论之间的关系来得出结论的真假。

如果命题的前提和结论都是真的，那么命题就是真的；如果前提或结论不真，则命题为假。

4. 命题的逆否和倒置
逆否和倒置是两种常见的命题形式。

逆否命题是通过将前提和结论都取反而得到的命题形式，例如“如果不是猫，就不是动物”逆否命题为“如果是动物，就一定是猫”。

倒置命题是通过交换前提和结论而得到的命题形式，例如“所有狗都有尾巴”倒置命题为“所有有
尾巴的动物都是狗”。

5. 逻辑符号
在逻辑学中，我们使用逻辑符号来表示不同的逻辑关系。

例如，“~”表示否定，即取反；“∧”表示合取，即并且；“∨”表示析取，即或者。

逻辑符号可以帮助我们更清晰地表达命题的逻辑关系。

通过了解这些基本概念，我们可以更准确地判断一个命题是否为真或假。

这对于逻辑思维和分析问题都非常重要。

圆基础题

cm.
3.等边△ABC 内接于⊙O，∠AOB= 120
度。
4.一个点到圆的最大距离为 1lcm，最小距离为 5cm，
则圆的半径为___8 或 3_________。
A
5.如图所示，CD 是 O 的直径，AB 是弦，CD⊥AB，
交 AB 于 E，则可得出 AE=EB， AC BC 等多个结论，
C
E B
圆基础练习
选择题
1.三角形外接圆的圆心是（ B ）
（A）三内角平分线的交点
（B）三边中垂线的交点
（C）三中线的交点
（D）三高线的交点
2.三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（ B ）
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
3.如果两条弦相等，那么（ D ）
A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
形 ACBP.周长的最大值是（ C ）
（A）15；（B）20；（C）15 5 2 ; (D) 15 5 5
26.如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动过程中速度大小不
变.以点 A 为圆心、线段 AP 为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 之间的函数图像大致为（ A）
A、① B、①②
C、①②③ D、①③④
A
陈老师小作坊 13761575676
B
O
30. 关于下列四种说法中，你认为正确的有（ A ）。 ① 圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零
③ 没有公共点的两圆必外离
④两圆连心线的长必大于两圆半径之差
A.1 个
B.2 个
C.3 个

初三数学圆心角试题答案及解析

初三数学圆心角试题答案及解析1.如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是 cm．【答案】5【解析】作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MON′的值，再由勾股定理即可求出MN′的长．解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，∴∠MOB==60°，∠BON′==30°，∴∠MON′=90°，∵AB=10cm，∴OM=ON′=5cm，∴MN′===5cm，即MP+NP的最小值是cm．故答案为：5．点评：本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，求出∠MON′=90°是解答此题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC弧的中点，若∠BAC=30°，则∠DCA= ．【答案】30°【解析】根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，从而求得∠B的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，得到∠D的度数，根据等弧对等弦及等边对等角即可得到则∠DAC=∠DCA，根据内角和公式即可求得其度数．解：连接BC．∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°；∵∠BAC=30°，∴∠B=60°，∴∠D=120°；∵D是弧AC的中点，∴DA=DC，∴∠DCA=∠DAC=（180°﹣120°）÷2=30°．点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、圆内接四边形的性质、等弧对等弦以及等边对等角的知识．3.一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是．【答案】30°或150°【解析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．解：连接OA、OB，∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，∴弧AC′B的度数是×360°=60°，弧ACB的度数是360°﹣60°=300°，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠AC′B=180°﹣30°=150°，故答案为：30°或150°．点评：本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．4.如图，AB，AC，BC是⊙O的三条弦，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD=OE=OF，则弧AC=弧 =弧，∠ABC= °，△ABC是三角形．【答案】弧AC=弧AB=弧BC，∠ABC=60°，等边三角形【解析】由垂径定理得BE=EC，BD=AD；若连接OB、OC、OA，则可证得△OCE≌△OBE≌△OBD，再得△ABC是等边三角形，然后运用圆周角定理可解．解：连接OB，OC，OA∵OD⊥AB，OE⊥BC，由垂径定理知，BE=EC，BD=AD，∵OB=OC，∴△OCE≌△OBE≌△OBD，∴BE=EC=BD=AD，同理，AD=AF=CF=CE，∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，弧AC=弧AB=弧BC．点评：本题利用了垂径定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理求解．5.半径为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为．【答案】60°【解析】由于等于半径，得到等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．解：如图，AB=OA=OB，所以△ABC为等边三角形，所以∠AOB=60°．故答案为60°．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．6.如图，已知AD是⊙O的直径，AD垂直于弦BC，垂足为点E．AB=AC吗？为什么？【答案】AB=AC【解析】由AD是⊙O的直径，AD垂直于弦BC，根据垂径定理即可得，则可证得AB=AC．解：AB=AC．理由：∵AD⊥BC，AD是⊙O的直径，（已知）∴，（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）…（4分）∴AB=AC．（在同圆中，如果弧相等，那么弧所对的弦也相等）点评：此题考查了垂径定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且=．（1）求证：AC∥OD．（2）若∠AOD=110°，求的度数．【答案】（1）见解析（2）40°【解析】（1）如图，连接AD．由圆心角、弧、弦间的关系，圆周角定理推知同位角∠CAB=∠DOB=2∠DAB，则易证得结论；（2）由邻补角的定义、圆心角、弧、弦的关系求得∠COD=∠DOB=70°，则∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°．（1）证明：如图，连接AD．∵=，∴=2∴∠CAB=2∠DAB．又∵∠DOB=2∠DAB，∴∠CAB=∠DOB，∴AC∥OD；（2）解：如图，连接OC．∵∠AOD=110°，∴∠DOB=70°．又∵=，∴∠COD=∠DOB=70°，∴∠AOC=∠AOD﹣∠COD=110°﹣70°=40°，∴=40°．点评：本题考查了圆心角、弧、弦间的关系．三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．8.如图，在⊙O中，与相等，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形，为什么？【答案】等边三角形【解析】根据圆心角、弧、弦的关系由=得到AB=BC，再由OD⊥BC，OE⊥AC，根据垂径定理和垂直的定义得到CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°利用三角形全等的判定方法可得到Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），则CD=CE，于是有BC=AC，则AB=AC=CB，即可得到△ABC为等边三角形．解：△ABC为等边三角形．理由如下：连OC，∵=，∴AB=BC，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°∵在Rt△ODC和Rt△OEC中，，∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）∴CD=CE，∴BC=AC，∴AB=AC=CB，∴△ABC为等边三角形．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等．也考查了垂径定理和等边三角形的判定．9.如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：BE=DE．【答案】见解析【解析】先连接BC、AD，由AB=CD可知=，故可得出=，故可得出BC=AD，由全等三角形的判定定理可得出△BEC≌△DEA，根据三角形的对应边相等即可得出结论．证明：先连接BC、AD，∵AB=CD，∴=，∵=，∴BC=AD，在△BEC与△DEA中，∵，∴△BEC≌△DEA（ASA），∴BE=DE．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质，根据题意构造出全等三角形是解答此题的关键．10.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠OBA=∠ODC．【答案】见解析【解析】过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．先由圆心角、弧、弦的关系，得出OE=OF，再根据HL证明Rt△BOE≌Rt△DOF，进而得出∠OBA=∠ODC．证明：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．∵AB=CD，∴OE=OF．又∵BO=DO，∴Rt△BOE≌Rt△DOF（HL），∴∠OBA=∠ODC．点评：本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，本题还可以运用全等证明．11.如图，在⊙O中，AD=BC．（1）比较与的长度，并证明你的结论；（2）求证：DE=BE．【答案】见解析【解析】（1）由AD=BC可得出=，进而可得到=；（2）由（1）的结论可得出AB=CD，根据全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△CBE，故DE=BE，进而可求出答案．证明：（1）∵AD=BC，∴=，∴=；（2）∵=，∴AB=CD，在△ADE与△CBE中，∵∠DAB=∠BCD，AD=BC，∠ADC=∠ABC，∴△ADE≌△CBE，∴DE=BE，∵AB=CD，∴DE=BE．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、圆周角定理，涉及面较广，难易适中．12.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（）度．A．30B．45C．50D．60【答案】A【解析】根据已知条件“过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D、，∠ABC=30°”、及直角三角形OBE的两个锐角互余求得∠BOE=60°；然后根据同弧BD所对的圆周角∠DCB是所对的圆心角∠DOB的一半，求得∠DCB的度数．解：∵OD⊥BC，∠ABC=30°，∴在直角三角形OBE中，∠BOE=60°（直角三角形的两个锐角互余）；又∵∠DCB=∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DCB=30°；故选A．点评：本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．13.下列命题中为真命题的是（）A．有一个角是40°的两个等腰三角形相似B．三点一定可以确定一个圆C．圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等D．三角形的内心到三角形三边距离相等【答案】D【解析】A、不知道40°的角是底角还是顶角，无法判断相似；B、三点共线不能确定圆；C、要有在同圆或等圆中的条件；D、根据三角形内心的性质进行判断．解：当一个等腰三角形的顶角等于40°而另一个等腰三角形的底角是40°，则这两个三角形不相似，所以A错；只有不共线的三点才确定一个圆，所以B错；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等，所以C错；内心就是三角形角平分线的交点，则它到三角形三边的距离相等，所以D对．故选D．点评：有两个角对应相等的三角形相似．记住三点不共线确定一个圆；只有在同圆或等圆中，圆心角的度数相等，则圆心角所对的弧相等．14.下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．相等的圆心角所对的弧相等D．等弧所对的圆心角相等【答案】D【解析】利用三角形的外接圆与外心、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系分别判断后即可得到正确的答案．解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；B、三角形的外心大三角形三顶点的距离相等，故错误；C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；D、等弧所对的圆心角相等，故正确，故选D．点评：本题考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系，属于基础定理，应重点掌握．15.如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A．122°B．120°C．61°D．58°【答案】A【解析】直接根据圆心角、弧、弦的关系求解．解：∵，=，∴∠∠AOB=∠AOC=122°．故选A．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．16.下列命题正确的是（）A．垂直于弦的直径平分弦B．相等的圆心角所对的弧相等C．任何一条直径都是圆的对称轴D．过三点可以作一个圆【答案】A【解析】根据垂径定理，圆幂性质以及确定圆的条件对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、垂直于弦的直径平分弦，正确，故本选项正确；B、应为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；C、应为任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，故本选项错误；D、应为过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故本选项错误．故选A．点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．17.如图，直线l交圆O于A、B两点，且将圆O分成3：1两段．若圆O半径为2cm，则△OAB的面积为（）A.1cm2B.cm2C.2cm2D.4cm2【答案】C【解析】先用“等弧对等角”得出∠AOB=90°，又有半径，故可解．解：如图，由题意知，弦AB把圆周分为3：1两段弧，则弦AB所为的圆心角∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AO=OB=2cm，∴S=×2×2=2cm2，△AOB故选C．点评：本题利用了一个周角为360°及等腰直角三角形的性质和面积公式求解．18.下列命题中：①平分弦的直径垂直于弦；②等弧所对弦相等；③一个数的绝对值不小于本身；④三角形的外心到三边的距离相等；⑤直径是圆的对称轴；⑥侧面展开图为半圆的圆锥，其轴截面是等边三角形．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．②③⑥D．②④⑥【答案】C【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点以及数学知识的定理进行解题．解：①主要考查垂径定理推论的内容，平分弦的直径垂直于弦，这条弦不能是直径；④中三角形的外心是三角各边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等；⑤直径是圆的对称轴不对，因为对称轴是直线，而直径是线段．正确的是：②③⑥，故选C．点评：本题主要考查学生对于常用的几个重要定理，三角形的外心的识记及理解．19.下列命题中，真命题的个数是（）①等弧所对弦相等②平分弦的直径，垂直于这条弦③平移后对应点所连的线段平行且相等④用正三角形和正六边形两种图形可以实现镶嵌．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】根据题意，对选项进行一一分析，选择正确答案．解：①等弧所对弦相等，正确；②平分弦（非直径）的直径，垂直于这条弦，错误；③平移后对应点所连的线段有可能在同一直线上，错误；④用正三角形和正六边形两种图形可以实现镶嵌．正六边形的每个内角是120°，正三角形的每个内角是60°．2×120°+2×60°=360°或120°+4×60°=360°，正确．故选：B．点评：本题需注意垂径定理中的弦是非直径的弦．两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．20.已知弧CD是⊙O的一条弧，点A是弧CD的中点，连接AC，CD．则（）A.CD=2ACB.CD＞2ACC.CD＜2ACD.不能确定．【答案】C【解析】首先根据题意画出图形，然后由在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，即可求得AC=AD，然后利用三角形三边关系，即可求得答案．解：如图，∵点A是弧CD的中点，即=，∴AC=AD，∵CD＜AC+AD，∴CD＜2AC．故选C．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用是解此题的关键，注意掌握两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等定理的应用．。

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真假命题
1、直径是弦。

（）
2、弦是直径。

（）
3、半径是弦。

（）
4、圆中的最长弦是直径。

（）
5、半圆是弧。

（）
6、弧是半圆。

（）
7、大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧。

（）
8、圆上的点到圆心的距离都相等。

（）
9、直径相等的两个圆实等圆。

（）
10、优弧一定比劣弧长。

（）
11、两段劣弧的和一定是优弧。

（）
12、长度相等的弧是等弧。

（）
13、等圆中，长度相等的弧是等弧。

（）
14、圆周角等于圆心角的一半。

（）
15、相等的圆周角所对的弧是等弧。

（）
15、在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧是等弧。

（）
16、长度相等的两弦具有相等的弦心距。

（）
17、长弧所对的圆心角比短弧所对的圆心角大。

（）
18、在同圆或等圆中，长弧所对的圆心角比短弧所对的圆心角大。

19、优弧所对的圆心角大于劣弧所对的圆心角。

（）
20、劣弧所对的圆周角小于优弧所对的圆周角。

（）
21、90度圆周角所对的弦是直径。

（）
22、90度圆心角所对的弧是半圆。

（）
23、180度圆心角多对的弧是半圆。

（）
24、圆的内接平行四边形是矩形。

（）
25、圆的内接平行四边形是正方形。

（）
26、当同圆或等圆中的两条弦相等，则两条弦所对的弧相等。

27、当同圆或等圆中的两条弦相等，则两条弦所对的两条优弧相等。

28、垂直弦的直径平分弦。

（）
29、平分弦的直径垂直弦。

（）。