一道典型的利用均值不等式求最值的问题
高考数学利用均值不等式求圆锥曲线中的最值(解析版)
利用均值不等式求圆锥曲线中的最值一、考情分析与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐，其中利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题，求解时常涉及函数与方程、化归转化等数学思想．二、解题秘籍(一)利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略利用均值不等式求圆锥曲线中的最值，一是直接根据圆锥曲线中的和(积)为定值的性质求积(和)的最大(小)值，如根据椭圆中PF 1 +PF 2 为定值，可求PF 1 PF 2 的最大值，二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解这类问题的核心是建立参数之间的等量关系.【例1】(2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考)设椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，F 1，F 2是椭圆Γ的左、右焦点，点A 1,32 在椭圆Γ上，点P 4,0 在椭圆Γ外，且PF 2 =4-3．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若B 1,-32，点C 为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C 的直线l 与椭圆有且仅有一个交点，并与直线PA ，PB 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，记△OMN ，△PMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 21-S 1S 2+S 22的最小值．【解析】(1)因为点A 1,32 在椭圆Γ上，所以1a 2+34b 2=1，①因为点P 4,0 在椭圆Γ外，且PF 2 =4-3，所以c =3，即a 2-b 2=c 2=3，②由①②解得a 2=4，b 2=1，故椭圆Γ的方程为x 24+y 2=1．(2)设点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设直线MN ：x =my +t ，由椭圆性质以及点C 的横坐标大于1可知，t >2，将直线MN 代入方程x 24+y 2=1并化简可得，my +t 2+4y 2-4=0，即m 2+4 y 2+2mty +t 2-4=0，因为直线l 与椭圆有且仅有一个交点，所以Δ=4m 2t 2-4m 2+4 t 2-4 =0，即t 2=m 2+4．直线AP 的方程为：x =4-23y ；直线BP 的方程为l BP ：x =4+23y ，联立方程x =my +t ,x =4-23y ,得y 1=4-t 23+m ，同理得y 2=t -423-m，所以y 1-y 2=4-t -43 m 2-12=43t +4，所以S 1=12t y 1-y 2 ，S 2=124-t y 1-y 2 ，所以S 21-S 1S 2+S 22=14t 2y 1-y 2 2-t 4-t 4y 1-y 2 2+14(4-t )2y 1-y 22=14y 1-y 2 2t 2-4t +t 2+16-8t +t 2 =14×48t +4 23t 2-12t +16 =36-489t +8 t 2+8t +16，令9t +8=λλ>26 ，则S 21-S 1S 2+S 22=36-48×81λ+282λ+56≥97，当且仅当λ=28，即t =209时，不等式取等号，故当t =209时，S 21-S 1S 2+S 22取得最小值97．【例2】已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的离心率为32，且过点1,2 .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 被圆x 2+y 2=a 2截得的弦长为26，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 面积的最大值.【解析】(1)e =32，b a =a 2-c 2a =1-e 2=12，由椭圆过点1,2 得4a 2+1b 2=1，解得a 2=8，b 2=2，∴椭圆C 的方程为y 28+x 22=1.(2)直线l 被圆x 2+y 2=8截得的弦长为26，则圆心到直线l 的距离d 满足6 2=22 2-d 2，解得d =2，当l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，圆心为原点则有d =m 1+k 2=2，∴m 2=2k 2+1.将l 方程代入椭圆方程中整理得：k 2+4 x 2+2mkx +m 2-8=0，∴x 1+x 2=-2mk k 2+4，x 1x 2=m 2-8k 2+4，AB =k 2+1⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=k 2+1⋅42k 2+8-m 2k 2+4=46⋅k 2+1k 2+4，∴S △OAB =12AB d =43×1k 2+1+3k 2+1≤2，当且仅当k 2+1=3k 2+1，即k =±2时取等号.当l 的斜率不存在时，则l ：x =±2，过椭圆的左、右顶点，此时直线l 与椭圆只有一个交点，不符合题意.∴△OAB 面积的最大值为2.(二)把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值.此类问题通常利用两点间距离或弦长公式，把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标(纵坐标)的函数，然后利用均值不等式求最值.【例3】已知圆C 过定点A (0，p )(p >0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设|AM |=m ，|AN |=n ，∠MAN =θ.(1)当点C 运动时，|MN |是否变化？试证明你的结论；(2)求m n +n m的最大值.【解析】(1)设C x 0,x 202p ，则AC =x 20+x 202p -p 2，故圆C 的方程x -x 0 2+y -x 202p2=x 20+x 202p -p2 ，令y =0有x -x 0 2+x 404p 2=x 20+x 404p 2-x 20+p 2，故x -x 0 2=p 2，解得x 1=x 0+p ，x 2=x 0-p ，故MN =x 1-x 2 =2p 不变化，为定值(2)由(1)不妨设M x 0-p ,0 ,N x 0+p ,0 ，故m =x 0-p 2+p 2，n =x 0+p 2+p 2，故m n +nm=m 2+n 2mn =x 0-p 2+p 2+x 0+p 2+p 2x 0-p 2+p 2x 0+p 2+p 2=2x 20+4p 2x 20+2p 2 2-4p 2x 2=2x 20+2p 2 x 40+4p 4=21+4x 20p 2x 40+4p 4=21+4p 2x 20+4p 4x 2≤21+4p 22x 20⋅4p 4x 20=22，当且仅当x 2=4p 4x 20，即x 0=±2p 时取等号.故m n +nm 的最大值为22(三)把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数，然后利用均值不等式求最值.【例4】(2022届陕西省汉中市高三上学期质量检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(-3,0),F 2(3,0)且经过点P (3,2).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)【解析】(1)由椭圆的定义，可知2a =PF 1 +PF 2 =(23)2+4+2=4+2=6解得a =3，又b 2=a 2-(3)2=6.∴椭圆C 的标准方程为x 29+y 26=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ，联立椭圆方程，得5x 2+6mx +3m 2-18=0，△=36m 2-60m 2+360>0，得-15<m <15设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-6m 5,x 1⋅x 2=3m 2-185，∴|AB |=2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2⋅36m 225-12m 2-725=435⋅15-m 2，点O (0,0)到直线l :x +y -m =0的距离d =|m |2，∴S △AOB =12|AB |⋅d =12×435×15-m 2×|m |2=6515-m 2 ⋅m2≤6515-m 2+m 22 2=65×152=362.当且仅当15-m 2=m 2,(-15<m <15)，即m 2=152,m =±302时取等号；∴△AOB 面积的最大值为362.(四)把面积用双变量表示，然后利用均值不等式求最值求解该类问题通常先建立两个变量之间的等量关系，然后利用和或积为定值，借助均值不等式求最值.【例5】(2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的离心率为e =32，Q 2,22 为椭圆上一点.直线l 不经过原点O ，且与椭圆交于A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 两点.(1)求椭圆的方程；(2)求△OAB 面积的最大值，并求当△OAB 面积最大时AB 的取值范围.【解析】(1)∵e =c a =32,a 2=b 2+c 2,∴a 2=43c 2,b 2=c 23，∴3x 24c 2+3y 2c 2=1.将Q 2,22 代入得32c 2+32c2=1⇒c =3⇒a 2=4,b 2=1，∴椭圆方程为x24+y 2=1.(2)设l :x =ty +m m ≠0 ，与椭圆联立得：t 2+4 y 2+2tmy +m 2-4=0，所以y 1+y 2=-2tm t 2+4,y 1y 2=m 2-4t 2+4,Δ=16t 2+4-m 2 >0.则S △OAB =12m ⋅y 1-y 2 =2m t 2+4-m 2t 2+4=2m 2t 2+41-m 2t 2+4 ，因为t 2+4-m 2>0，故0<m 2t 2+4<1，所以2m 2t 2+41-m 2t 2+4 ≤m 2t 2+4+1-m 2t 2+4 =1当且仅当m 2t 2+4=12时取等号，此时Δ=16m 2>0，符合题意.所以S △OAB ≤1，即△OAB 面积的最大值为1.当t 不存在时，设l :y =h h ≠0 ，则S △OAB =21-h 2⋅h ≤1，当h =22时取等号.综上，△OAB 面积的最大值为1当△OAB 面积最大时：若t 存在，则此时t 2=2m 2-4≥0⇒m 2≥2，则AB =1+t 2⋅4t 2+4-m 2t 2+4=22-3m 2∈2,22 ，若t 不存在，则此时AB =41-h 2=22.综上，AB ∈2,22 .．(五)与斜率有关的最值问题与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解.【例6】(2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为2．(1)求C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ =9QF，求直线OQ 斜率的最大值．【解析】(1)抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F p 2,0 ，准线方程为x =-p2，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p 2--p2=p =2，所以该抛物线的方程为y 2=4x ；(2)设Q x 0,y 0 ，则PQ =9QF=9-9x 0,-9y 0 ，所以P 10x 0-9,10y 0 ，由P 在抛物线上可得10y 0 2=410x 0-9 ，即x 0=25y 20+910，据此整理可得点Q 的轨迹方程为y 2=25x -925，所以直线OQ 的斜率k OQ =y 0x 0=y 025y 20+910=10y 025y 20+9，当y 0=0时，k OQ =0；当y 0≠0时，k OQ =1025y 0+9y 0，当y 0>0时，因为25y 0+9y 0≥225y 0⋅9y 0=30，此时0<k OQ ≤13，当且仅当25y 0=9y 0，即y 0=35时，等号成立；当y 0<0时，k OQ <0；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.(六)与数量积有关的最值问题求解与数量积有关的最值问题，通常利用数量积的定义或坐标运算，把数量积表示成某个变量的函数，然后再利用均值不等式求最值.【例7】设椭圆x 25+y 24=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C ，曲线C 的两条切线PA 、PB 交于点P ，且与C 分别切于A 、B 两点，求PA ⋅PB的最小值．【解析】设椭圆的两切线为l 1，l 2．①当l 1⊥x 轴或l 1⎳x 轴时，对应l 2⎳x 轴或l 2⊥x 轴，可知切点为；②当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x ≠±5，设l 1的斜率为k ，则k ≠0，l 2的斜率为-1k，并设l 1,l 2 的交点为x 0,y 0 ，则l 1的方程为y -y 0=k x -x 0 ，联立x 25+y 24=1，得：5k 2+4 x 2+10y 0-kx 0 kx +5y 0-k 0x 0 2-20=0 ，∵直线与椭圆相切，∴Δ=0，得5y 0-kx 0 2k 2-5k 2+4 y 0-kx 0 2-4 =0，∴x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0，∴k 是方程x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的一个根，同理-1k是方程x 20-5 k 2-2x 0y 0k +y 20-4=0的另一个根，∴k ⋅-1k =y 20-4x 20-5得x 20+y 20=9，其中x ≠±5，∴交点的轨迹方程为：x 2+y 2=9x ≠±5 ，∵±5,±2 也满足上式；综上知：轨迹C 方程为x 2+y 2=9；设PA =PB =x ，∠APB =θ，则在△AOB 与△APB 中应用余弦定理知，AB 2=OA 2+OB 2-2OA ⋅OB ⋅cos ∠AOB =PA 2+PB 2-2PA ⋅PB ⋅cos ∠APB ，即32+32-2⋅3⋅3cos 180°-θ =x 2+x 2-2x ⋅x ⋅cos θ ，即x 2=91+cos θ1-cos θ，PA ⋅PB =PA ⋅PB cos ∠APB =x ⋅x cos θ=91+cos θ cos θ1-cos θ，令t =1-cos θ∈0,2 ，则cos θ=1-t ，PA ⋅PB =92-t 1-t t =9t 2-3t +2 t =9⋅t +2t-3 ≥9⋅2t ⋅2t -3 =922-3 ，当且仅当t =2t，即t =2时，PA ⋅PB 取得最小922-3 ；综上，PA ⋅PB 的最小为922-3 .三、跟踪检测1.(2023届山东省青岛市高三上学期检测)在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆C 1:x 2+y 2+2x -454=0内切，且与圆C 2:x 2+y 2-2x +34=0外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)不过圆心C 2且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ,M 两个不同的点，连接AC 2交轨迹E 于点B .(i )若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；(ii )若过圆心C 1的直线交轨迹E 于D ,G 两个不同的点，且AB ⊥DG ，求四边形ADBG 面积的最小值.【解析】(1)设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为x ,y由题意可知：圆C 1的圆心为C 1-1,0 ，半径为72；圆C 2的圆心为C 21,0 ，半径为12.∵动圆P 与圆C 1内切，且与圆C 2外切，∴PC 1 =72-RPC 2 =12+R⇒PC 1 +PC 2 =4>C 1C 2 =2∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以C 1,C 2为焦点的椭圆，设其方程为：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，其中2a =4,2c =2,∴a =2,b 2=3从而轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1(2)(i )设直线AB 的方程为y =k x -1 k ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1,-y 1 由y =k x -1x 24+y 23=1可得：4k 2+3 x 2-8k 2x +4k 2-12=0∴x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3直线BM 的方程为y +y 1=y 2+y 1x 2-x 1x -x 1 ，令y =0可得N 点的横坐标为：x N =x 2-x 1y 2+y 1y 1+x 1=k x 2-x 1 x 1-1 k x 1+x 2-2+x 1=2x 1x 2-x 1+x 2 x 1+x 2-2=2×4k 2-124k 2+3-8k 24k 2+38k 24k 2+3-2=4∴N 为一个定点，其坐标为4,0(ii )根据(i )可进一步求得：AB =1+k 2x 2-x 1 =1+k 2×x 2+x 12-4x 1x 2=1+k 2×8k 24k 2+3 2-4×4k 2-124k 2+3=12k 2+1 4k 2+3.∵AB ⊥DG ,∴k DG =-1k，则DG =12k 2+13k 2+4∵AB ⊥DG ，∴四边形ADBG面积S=12AB×DG=12×12k2+14k2+3×12k2+13k2+4=72k2+124k2+33k2+4(法一)S=72k2+124k2+33k2+4≥72k2+124k2+3+3k2+422=28849等号当且仅当4k2+3=3k2+4时取，即k=±1时，S min=288 49(法二)令k2+1=t,∵k≠0,∴t>1，则S=72t212t2+t-1=72-1t2+1t+12=72-1t-122+494当1t=12，即k=±1时，S min=288492.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点3,-32，且椭圆的离心率e=12，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A,B及C、D．(1)求椭圆的方程；(2)求证：1|AB|+1|CD|为定值；(3)求|AB|+916|CD|的最小值．【解析】(1)由e=ca=12，得c2a2=14，∴a2=4c2=4(a2-b2)，∴3a2=4b2．①，由椭圆过点3,-3 2知，3a2+34b2=1②．联立①②式解得a2=4，b2=3．故椭圆的方程是x24+y23=1．(2)1|AB|+1|CD|为定值712．证明：椭圆的右焦点为F(1,0)，分两种情况．1°不妨设当AB的斜率不存在时，AB:x=1，则CD:y=0．此时|AB|=2b2a=3，|CD|=2a=4，1|AB|+1|CD|=712；2°当直线AB的斜率存在时，设AB:y=k(x-1)(k≠0)，则CD:y=-1k(x-1)．又设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程组y=k(x-1)3x2+4y2=12 ，消去y并化简得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0，∴x1+x2=8k24k2+3，x1∙x2=4k2-124k2+3，∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+k2|x1-x2|=1+k2∙(x1+x2)2-4x1x2=1+k2∙64k4-16(k2-3)(4k2+3)(4k2+3)2=12(k2+1)4k2+3，由题知，直线CD的斜率为-1 k，同理可得|CD |=12(1+k 2)4+3k 2所以1|AB |+1|CD |=7k 2+712(k 2+1)=712为定值．(3)解：由(2)知1|AB |+1|CD |=712，∴|AB |+916|CD |=127|AB |+916|CD | 1|AB |+1|CD |=1272516+916|CD ||AB |+|AB ||CD |≥1272516+2916|CD ||AB |×|AB ||CD |=214，当且仅当916|CD ||AB |=|AB ||CD |，即|AB |=34|CD |，即|AB |=3，|CD |=4时取等号，∴|AB |+916|CD |的最小值为214．3.(2023届四川省隆昌市第一中学高三上学期考试)已知离心率为12的椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 过点1,32，抛物线C 2:y 2=2px p >0 ．(1)若抛物线C 2的焦点恰为椭圆C 1的右顶点，求抛物线方程；(2)若椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点为A ，过A 但不经过原点的直线l 交椭圆C 1于B ，交抛物线C 2于M ，且AM =MB，求p 的最大值，并求出此时直线l 的斜率．【解析】(1)由c a =12设a 2=4c 2，b 2=3c 2，所以将点1,32 代入椭圆C 1:x 24c 2+y 23c 2=1得：椭圆C 1:x 24+y 23=1，所以C 1的右顶点为2,0 ，依题意p 2=2，所以抛物线C 2方程为y 2=8x ；(2)设直线l 的方程为x =my +t t ≠0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，M x 0,y 0 ，联立x =my +t x 24+y 23=1，消去x 整理得3m 2+4 y 2+6mty +3t 2-12=0，显然Δ>0则y 1+y 2=-6km 3m 2+4，所以y 0=y 1+y 22=-3km 3m 2+4，x 0=my 0+t =4t3m 2+4；联立x =my +t y 2=2px，消去x 整理得y 2-2pmy -2pt =0，∴Δ>0，且y 1y 0=-2pt∴y 1=-2pty 0=2p 3m 2+4 3m由抛物线方程得x 1=y 212p =2p 3m 2+4 29m 2，所以点坐标为A 2p 3m 2+4 29m 2,2p 3m 2+4 3m，将点A 代入椭圆方程3x 2+4y 2=12有：32p 3m 2+429m 22+42p 3m 2+4 3m 2=12整理得：27p2=133m +4m 4+43m +4m 2，令t =3m +4m2，则t ≥23m ⋅4m 2=48，当且仅当3m =4m即m =43，即直线l 的斜率k =32时t ≥48取等号，所以27p2=13t 2+4t ≥20×48，∴p 2≤9320，∴p ≤3540，即p 的最大值为3540，此时直线l 的斜率为32．4.平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为26，过焦点的最短弦长为 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为12的直线与椭圆交于A ,B 两点，P 为椭圆上异于A ,B 的点，求△PAB 的面积的最大值.【解析】(1)由题意得2c =26,2b 2a =2a 2-b 2=c 2⇒a 2=8,b 2=2，故椭圆的标准方程为x 28+y 22=1；(2)设直线AB 的方程为y =12x +m ，则x 28+y 22=1y =12x +m⇒x 2+2mx +2m 2-4=0，，Δ=16-4m 2>0⇒-2<m <2，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，x 1+x 2=-2m x 1x 2=2m 2-4AB =16-4m 2×1+14=5×4-m 2，当-2<m ≤0时，当P 到AB 的距离最大时，点P 在第二象限且过P 点的切线正好与AB 平行，设切线方程为y =12x +n ，n >0，x 28+y 22=1y =12x +n⇒x 2+2nx +2n 2-4=0，由Δ=16-4n 2=0得n =2，此时P (-2,1)，P 到AB 的距离最大为d =m -21+14=2m -2 5，故△PAB 的面积S =12×AB ×d =12×5×4-m 2×2m -2 5=4-m 2×m -2 ，则S 2=(2+m )(2-m )3=13(6+3m )(2-m )3≤13×6+3m +6-3m 4 4=27，故S ≤33，当且仅当m =-1时取等号. 当0<m <2时，当P 到AB 的距离最大时，点P 在第四象限且过P 点的切线正好与AB 平行，设切线方程为y =12x +n ，n <0，x 28+y 22=1y =12x +n⇒x 2+2nx +2n 2-4=0，由Δ=16-4n 2=0得n =-2，此时P (2,-1)，P 到AB 的距离最大为d =m +21+14=2m +2 5，故△PAB 的面积S =12×AB ×d =12×5×4-m 2×2m +2 5=4-m 2×m +2 ，则S 2=(2-m )(2+m )3=13(6-3m )(2+m )3≤13×6-3m +6+3m 4 4=27，故S ≤33，当且仅当m =1时取等号. 所以△PAB 的面积的最大值为33.5.平面直角坐标系中，过点(1,0)的圆C 与直线x =-1相切．圆心C 的轨迹记为曲线Γ．(1)求曲线Γ的方程；(2)设A ,B 为曲线Γ上的两点，记AB 中点为M ，过M 作AB 的垂线交x 轴于N ．①求x N -x M ；②当AB =10时，求x N 的最大值．【解析】(1)设C (x ,y )，由题意，则C 到(1,0)的距离等于C 到x =-1的距离，故C 的轨迹为抛物线y 2=4x ；(2)设A y 124,y 1 ,B y 224,y 2 ，则M y 12+y 228,y 1+y 22，①k AB =y 1-y 2y 124-y 224=4y 1+y 2故k MN=-y 1+y 24，MN :y -y 1+y 22=-y 1+y 24x -y 12+y 228，令y =0，得0-y 1+y 22=-y 1+y 24x -y 12+y 228，故x N =y 12+y 228+2，即xN -x M =2，②由题意y 124-y 2242+(y 1-y 2)2=10，即40=(y 1-y 2)2[(y 1+y 2)2+16]≤(y 1-y 2)2+(y 1+y 2)2+162=y 12+y 22+8，故x N =y 12+y 228+2≥6．6.已知点F 1、F 2分别为椭圆Γ:x 22+y 2=1的左､右焦点，直线l :y =kx +t 与椭圆Γ有且仅有一个公共点，直线F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l ，垂足分别为点M 、N .(1)求证：t 2=2k 2+1；(2)求证：F 1M ⋅F 2N为定值，并求出该定值；(3)求OM +ON ⋅ OM -ON的最大值.【解析】(1)联立l :y =kx +t 与Γ:x 22+y 2=1得：2k 2+1 x 2+4ktx +2t 2-2=0，由直线与椭圆有一个公共点可知：Δ=4kt 2-42k 2+1 2t 2-2 =0，化简得：t 2=2k 2+1；(2)由题意得：F 1-1,0 ,F 21,0 ，因为F 1M ⊥l ,F 2N ⊥l ，所以F 1M ∥F 2N ，故F 1M ⋅F 2N =F 1M ⋅F 2N ，其中F 1M =-k +tk 2+1，F 2N =k +tk 2+1，所以F 1M ⋅F 2N =F 1M ⋅F 2N =-k +t k 2+1⋅k +t k 2+1=t 2-k 2 k 2+1=2k 2+1-k 2k 2+1=1，F 1M ⋅F 2N为定值，该定值为1；(3)OM +ON =OF 1 +F 1M +OF 2 +F 2N =F 1M +F 2N =F 1M +F 2N ，由题意得：点F 1,F 2在直线l 的同侧，所以F 1M +F 2N =-k +t k 2+1+k +t k 2+1=2t k 2+1，OM -ON =NM =F 1F 2 ⋅MNMN=F 1F 2 cos α=2k 2+1，(其中α为F 1F 2 ,MN 的夹角)，由此可知：OM +ON ⋅ OM -ON =4t k 2+1=8t t 2+1=8t +1t ≤82t ⋅1t=4，当且仅当t =1t即t =1,k =0时，等号成立，所以OM +ON ⋅ OM -ON 的最大值为4.7.(2022届广东省佛山市高三上学期12月模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e =22，且点P 2,1 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若点A ,B 都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP (不包括端点)上.求△AOB 面积的最大值.【解析】(1)离心率e =c a =22，将P 代入椭圆方程，可得4a 2+1b2=1，又a 2-b 2=c 2 ，∴联立上述方程，可得：a =6， b =c =3，∴椭圆方程为x 26+y 23=1；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 可得：x 21+2y 21=6,x 22+2y 22=6，相减可得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0，由题意，k OM =k OP =12，即y 1+y 2x 1+x 2=12，∴直线AB 的斜率y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 22y 1+y 2=-12×2=-1，故可设直线AB 为y =-x +t ，代入椭圆方程可得：3x 2-4tx +2t 2-6=0，由Δ=16t 2-12(2t 2-6)>0，解得-3<t <3，∴x 1+x 2=4t 3,x 1x 2=2t 2-63，AB =2⋅(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2⋅16t 29-8t 2-243=439-t 2，又O 到AB 的距离为d =t2，∴△AOB 面积为S =12AB d =23t 29-t 2≤23⋅t 2+9-t 22=322，当且仅当t 2=9-t 2，即t =±322时，S 取得最大值322.8.(2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点为B 0,1 ，过点2,0 且与x 轴垂直的直线被截得的线段长为233.(1)求椭圆Γ的标准方程﹔(2)设直线l 1交椭圆Γ于异于点B 的P ,Q 两点，以PQ 为直径的圆经过点B ,线段PQ 的中垂线l 2与x 轴的交点为(x 0,0)，求x 0的取值范围.【解析】(1)由已知条件得：b =1，令x =2，得y =±1-2a2，由题意知：21-2a 2=233，解得a =3，∴椭圆的标准方程为x 23+y 2=1，(2)①当直线PQ 的斜率不存在时，显然不合题意；②当直线PQ 斜率存在时，设PQ :y =kx +m ，当k =0时，此时P ,Q 关于y 轴对称，令P (x ,y ),Q (-x ,y )，∴BP =(x ,y -1),BQ =(-x ,y -1)且BP ⋅BQ=0，则(y -1)2=x 2，又x 2=3-3y 2，∴2y 2-y -1=0，解得y =-12或y =1(舍)，则P 32,-12 ,Q -32,-12符合题设.∴此时有x 0=0；当k ≠0时，则y =kx +mx 2+3y 2=3，得1+3k 2 x 2+6km x +3m 2-3=0，Δ=36k 2+12-12m 2>0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则y =kx +mx 2+3y 2=3，得1+3k 2 x 2+6km x +3m 2-3=0，Δ=36k 2+12-12m 2>0，且x 1+x 2=-6km 1+3k2x 1x 2=3m 2-31+3k 2，由BP ⋅BQ=x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =0，即1+k 2 x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2=0，∴1+k 2 ⋅3m 2-31+3k 2-k m -1 ⋅6km 1+3k 2+m -1 2=0，整理得2m 2-m -1=0，解得m =-12，m =1(舍去)，代入Δ=36k 2+12-12m 2>0得：k ∈R ，∴PQ 为y =kx -12，得：x M =x 1+x 22=3k 21+3k 2 ,y M =-121+3k 2 ，则线段的PQ 中垂线l 2为y +121+3k 2 =-1k x -3k 21+3k 2，∴在x 轴上截距x 0=k 1+3k 2，而x 0=k 1+3k 2≤k 2×3k=36，∴-36≤x 0≤36且x 0≠0，综合①②:线段PQ 的中垂线l 2在x 轴上的截距的取值范围是-36,36.9.(2022届河北省高三上学期12月教学质量监测)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-1,0 ，F 21,0 ，点P 满足PF 1 +PF 2 =22，点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)不过F 1的直线l 与C 交于A ､B 两点，若直线l 的斜率是直线AF 1､BF 1斜率的等差中项，直线AB 和线段AB 的垂直平分线与y 轴分别交于P ､Q ，求PQ 的最小值.【解析】(1)由椭圆的定义知，点P 在以F 1，F 2为焦点且a =2的椭圆上，所以其方程为：x 22+y 2=1(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0.直线l 的方程为y =kx +b ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，直线方程与椭圆方程联立得x 2+2y 2=2y =kx +b得1+2k 2 x 2+4kb x +2b 2-2=0，所以Δ=4kb 2-41+2k 2 2b 2-2 >0得k 2+1>b 2x 1+x 2=-4kb 1+2k 2，x 1x 2=2b 2-21+2k 2由题意得2k =y 1x 1+1+y 2x 2+1，即2k x 1+1 x 2+1 =kx 1+b x 2+1 +kx 2+b x 1+1整理得b -k x 1+x 2 =2k -b∵直线l 不过F 1，∴b ≠k ，x 1+x 2=-2∴-4kb 1+2k 2=-2，∴b =1+2k 22k ∵b 2<k 2+1，∴1+2k 22k 2<k 2+1，解得k >22或k <-22线段AB 的中点为-1,b -k ，线段AB 中垂线方程为y -b -k =-1kx +1 当x =0时，y Q =-1k-k +b ，直线AB 与y 轴交点的纵坐标y P =b PQ =y P -y Q =k +1k，k >22或k <-22当k =±1时，PQ 最小，最小值为2.10.已知两圆C 1:(x -2)2+y 2=54,C 2:(x +2)2+y 2=6，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1内切，和圆C 2外切.(1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)过点A 3,0 的直线与曲线C 交于P ,Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ，求△ARQ 面积的最大值.【解析】(1)依题意，圆C 1的圆心C 12,0 ，半径r 1=36，圆C 2的圆心C 2-2,0 ，半径r 2=6，设圆M 的半径为r ，则有MC 1 =r 1-r ，MC 2 =r 2+r ，因此，MC 1 +MC 2 =r 1+r 2=46>4=C 1C 2 ，于是得点M 的轨迹是以C 1,C 2为焦点，长轴长2a =46的椭圆，此时，焦距2c =4，短半轴长b 有：b 2=a 2-c 2=20，所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为：x 224+y 220=1.(2)显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为x =my +3(m ≠0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，由x =my +35x 2+6y 2=120消去x 得：(5m 2+6)x 2+30my -75=0，则y 1+y 2=-30m 5m 2+6，y 1y 2=-755m 2+6，点P 关于x 轴的对称点R (x 1,-y 1)，S △PQR =12⋅|2y 1|⋅|x 2-x 1|，S △APR =12⋅2y 1⋅ 3-x 1 ，如图，显然x 1与x 2在3的两侧，即x 2-x 1与3-x 1同号，于是得S △AQR =S △PQR -S △APR =y 1 x 2-x 1- 3-x 1 =y 1⋅ x 2-x 1 -3-x 1=|y 1|⋅|x 2-3|=|y 1|⋅|my 2|=|my 1y 2|=75|m |5m 2+6=755|m |+6|m |≤7525|m |⋅6|m |=5304，当且仅当5|m |=6|m |，即m =±305时取“=”，因此，当m =±305时，(S △AQR )max =5304，所以△ARQ 面积的最大值5304.11.已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >0)的离心率为22，分别过左、右焦点F 1，F 2作两条平行直线l 1和l 2.(1)求l 1和l 2之间距离的最大值；(2)设l 1与C 的一个交点为A ，l 2与C 的一个交点为B ，且A ，B 位于x 轴同侧，求四边形AF 1F 2B 面积的最大值.【解析】(1)∵椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >0)的离心率为22，且b =1，∴a =2,b =1,c =1，∴x 22+y 2=1，设直线l 1：x =ty -1；直线l 2：x =ty +1.∴l 1和l 2之间距离d =21+t 2≤2，当t =0时，d max =2；(2)根据题意，不妨设直线l 1与椭圆C 交于A 、D 两点，直线l 2与椭圆C 交于B 、N 两点，则AD ∥BN ，且AD =BN ，即四边形ABND 为平行四边形，∴四边形AF 1F 2B 面积为四边形ABND 面积的一半，由(1)知，d =21+t 2，联立方程x =ty -1x 2+2y 2=2 ,则2+t 2 y 2-2ty -1=0，∴Δ=8t 2+1 >0,y 1+y 2=2t 2+t 2,y 1y 2=-12+t 2，∴AD =1+t 2y 1-y 2 =22t 2+1 2+t 2，∴12S ▱ABND =12d ⋅AD =12×21+t 2×22t 2+1 2+t 2=221+t 22+t 22，令u =1+t 2≥1，12S ▱ABND =22u u +1 2=221u +1u+2，∵u ≥1，∴u +1u+2≥4，∴12S ▱ABND ≤2，当且仅当t =0时，取等号.故四边形AF 1F 2B 面积的最大值2.12.(2022届广西玉林市、贵港市高三12月模拟)设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过M 1,32 ，N 3,12 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA ⊥OB若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由．【解析】(1)将M ，N 的坐标代入椭圆E 的方程得1a 2+34b 2=13a 2+14b 2=1 ，解得a 2=4，b 2=1．所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)假设满足题意的圆存在，其方程为x 2+y 2=R 2，其中0<R <1，设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，当直线AB 的斜率存在时，令直线AB 的方程为y =kx +m ，①将其代入椭圆E 的方程并整理得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0，由韦达定理得x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1，②因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，③将①代入③并整理得1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=0，联立②得m 2=451+k 2 ，④因为直线AB 和圆相切，因此R =|m |1+k 2，由④得R =255，所以存在圆x 2+y 2=45满足题意．当切线AB 的斜率不存在时，易得x 12=x 22=45，由椭圆方程得y 12=y 22=45，显然OA ⊥OB ，综上所述，存在圆x 2+y 2=45满足题意．当切线AB 的斜率存在时，由①②④得AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2=1+k 2x 1-x 2 2=1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-8km 4k 2+1 2-4×4m 2-44k 2+1=1+k216+64k 2-16m 21+4k 22=4551+k 21+16k 21+4k 22=45516k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1=4551+9k 216k 4+8k 2+1=4551+916k 2+1k2+8，由16k 2+1k 2≥8，得1<1+916k 2+1k2+8≤54，即455≤AB ≤5．当切线AB 的斜率不存在时，易得AB =455，所以455≤AB ≤5．综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=45满足题意，且455≤AB ≤5．13.(2022届上海市青浦区高三一模)已知抛物线y 2=x .(1)过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求OA ∙OB 的值(其中O 为坐标原点)；(2)过抛物线上一点C x 0,y 0 ，分别作两条直线交抛物线于另外两点P x p ,y p ､Q x Q ,y Q ，交直线x =-1于A 1-1,1 ､B 1-1,-1 两点，求证：y p ⋅y Q 为常数(3)已知点D 1,1 ，在抛物线上是否存在异于点D 的两个不同点M ､N ，使得DM ⏊MN ?若存在，求N 点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点F 的直线为x =my +14，联立y 2=xx =my +14得y 2-my -14=0，y 1+y 2=my 1⋅y 2=-14，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则OA ∙OB =x 1x 2+y 1y 2=y 21⋅y 22+y 1y 2=-316；(2)由题可设过点C x 0,y 0 的一条直线交抛物线于P x p ,y p ，交直线x =-1于A 1-1,1 ，另一条直线交抛物线于Q x Q ,y Q ，交直线x =-1于B 1-1,-1 ，则k A 1C ≠0,k B 1C ≠0，k A 1C =y 0-1x 0+1,k B 1C =y 0+1x 0+1，直线A 1C 方程可表示为：y =y 0-1x 0+1x +1 +1，直线B 1C 方程可表示为：y =y 0+1x 0+1x +1 +1，联立直线A 1C 与抛物线方程y 2=xy =y 0-1x 0+1x +1+1可得y 2-x 0+1y 0-1y +x 0+1y 0-1+1 ，故y 0+y p =x 0+1y 0-1，即y p =x 0+1y 0-1-y 0，同理联立直线B 1C 和抛物线方程化简可得y 2-x 0+1y 0-1y +1-x 0+1y 0-1=0，故y 0+y Q =x 0+1y 0+1，y Q =x 0+1y 0+1-y 0，即y p ⋅y Q =x 0+1y 0-1-y 0 x 0+1y 0+1-y 0 =y 20+1y 0-1-y 0 y 20+1y 0+1-y 0=y 0+1y 0-1⋅1-y 0y 0+1=-1(3)假设存在点D 满足DM ⏊MN ，设M y 23,y 3 ,N y 24,y 4 ，DM =y 23-1,y 3-1 ,MN =y 24-y 23,y 4-y 3 ，则DM ⋅MN =y 23-1 ⋅y 24-y 23 +y 3-1 y 4-y 3 =0，易知y 3≠1,y 4≠y 3，化简得y 3+1 y 4+y 3 +1=0，即y 4=-1y 3+1+y 3 =-1y 3+1+y 3+1 -1，当y 3+1<0时，y 4=-1y 3+1-y 3+1 +1≥2-1y 3+1⋅-y 3+1 +1=3，当且仅当y 3=-2时取到等号，故y 4≥3；当y 3+1>0时，y 4=-1y 3+1+y 3+1 -1 ≤-21y 3+1⋅y 3+1 -1 =-1，当且仅当y 3=0时取到等号，因为y 3≠1，故y 3+1≠2，令t =y 3+1，则t +1t ≠52，但t =y 3+1=12能取到，此时t +1t =52，故y 4∈-∞,-1 ；故y 4∈-∞,-1 ⋃3,+∞ .。
用均值不等式求最值的方法和技巧
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b +≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
巧用均值不等式及其条件求最值
巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。
本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。
一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。
推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。
2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。
对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。
注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。
3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。
二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。
本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。
1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。
解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。
利用均值不等式求最值练习题一
利用均值不等式求最值练习题一1．（2020春•西城区校级月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若11==a ba bαβ++，，则α+β的最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．62．（2020春•蚌埠期末）已知x+1＞y＞0，则x++的最小值为（ ） A．﹣1 B． C．2﹣1 D．3﹣13．（2020春•沙坪坝区校级期末）正数m，n满足m+n＝2，则+的最小值为（ ） A． B． C． D．24．（2020春•西安区校级期末）已知0＜x＜1，则的最小值为（ ）A．9 B． C．5 D．5．（2020春•南昌期末）已知a，b＞0，且满足a2+ab＝1，则3a+b的最小值为（ ） A． B． C．2 D．26．（2020春•九龙坡区校级期中）若x，y∈R+，且，则3x+4y的最小值是（ ）A．5 B． C． D．7．（2019秋•南城县校级期末）已知正数x，y满足x+y＝1，且≥m，则m的最大值为（ ） A． B． C．2 D．48．（2019秋•淮安期末）函数y＝2x+（x＞1）的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．89．（2019秋•诸暨市期末）已知a，b＞0，a+b＝1，则的最小值是（ ） A． B． C． D．10．（2020•兖州区模拟）已知正数m，n满足m（n﹣1）＝8n，则m+2n的最小值是（ ） A．18 B．16 C．8 D．1011．（2020春•宣城期末）已知x＞0，y＞0，2x+y＝2xy，若x+ay的最小值为8，则正实数a的值为（ ）A．2 B． C．3 D．12．（2020春•如皋市期末）设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（ ）A．有最小值为4 B．有最小值为C．有最小值为 D．无最小值13．（2020春•浙江期末）实数x，y，x＞﹣1，且满足xy+y＝﹣x+3，则x+y的最小值是（ ）A．1 B． C．2 D．314．（2020•镇海区校级模拟）若a＞0，b＞0，且，则a2+b2的最小值为（ ）A．2 B． C．4 D．15．（2020春•工农区校级期末）若正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，则的最大值为（ ） A． B． C． D．116．（2020春•南关区校级期中）若x＞0，则的最小值为（ ）A． B． C．1 D．17．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知实数x，y满足x+y＝1，﹣1＜x＜1，则的最小值为（ ） A． B． C．5 D．218．（2020春•昌吉市期中）若a＞0，b＞0，a+2b＝3，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．919．（2020•滨海新区模拟）已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（ ） A．13 B．11 C．10 D．920．（2020•和平区二模）已知a，b＞0，，则当取最小值时，的值为（ ） A．2 B． C．3 D．421．（2020春•四川月考）已知实数a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+的最小值为（ ） A． B． C． D．22．（2020•邯郸模拟）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ）A． B． C． D．23．（2020•济宁模拟）已知实数a，b满足ab＞0，则﹣的最大值为（ ） A．2﹣ B．2+ C．3﹣2 D．3+224．（2019秋•梅河口市校级期末）已知a，b为正数，4a2+b2＝7，则的最大值为（ ） A． B． C． D．225．（2019秋•开封期末）已知m＞0，n＞0，，若不等式m+n≥﹣x2+2x+a对已知的m，n及任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A．[8，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，8]26．（2019秋•楚雄州期末）已知x＞0，y＞0，若不等式恒成立，则正数m的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．827．（2020•湖北模拟）若不等式﹣m≥0对x∈（0，）恒成立，则实数m的最大值为（ ）A．7 B．8 C．9 D．1028．（2019秋•滨海新区期末）若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（ ）A．4 B． C．2 D．429．（2020春•重庆期末）已知关于x的一元二次不等式kx2﹣x+1＜0的解集为（a，b），则2a+b的最小值是（ ）A．6 B．5+2 C．3+2 D．330．（2020春•襄城区校级月考）若正实数x，y满足4x+y＝xy，且恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A．[﹣1，4] B．（﹣1，4） C．[﹣4，1] D．（﹣4，1）31．（2020春•浙江期中）已知正实数x，y，z满足x2+y2+z2＝1，则u＝的最小值是（ ） A．9 B．3 C．4 D．532．（2020春•驻马店期末）已知正实数x，y满足x+2y＝2xy．则x+y的最小值为（ ）A．4 B． C． D．33．（2020春•渝中区校级期末）已知实数a＞0，b＞0，＝，则a+2b的最小值为（ ） A．2 B．6 C．3 D．334．（2020春•合肥期末）已知a＞0，b＞0，且不等式≥恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．[﹣4，4] B．（﹣∞，4] C．[﹣4，+∞） D．[﹣3，3]35．（2020春•丽水期末）已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1，则的最小值为（ ） A． B．+ C．3+2 D．236．（2020春•路南区校级月考）若a，b为大于1的实数，且满足a+b＝ab，则的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．837．（2020•浙江模拟）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（ ）A． B． C．﹣2 D．238．（2019秋•越城区校级期末）已知x，y都是正实数，则+的最大值为（ ） A． B． C． D．39．（2020春•湖北期末）若x＞0，y＞0，且＝1，则2x+y的最小值为（ ） A．2 B．2 C． D．4+240．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为 ．参考答案1．（2020春•西城区校级月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若11==a ba bαβ++，，则α+β的最小值是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，若11==a ba bαβ++，∴α+β＝a+b++＝1+＝3+≥3+2＝5，当且仅当，也即当a＝b＝时，α+β取最小值5．故选：C．2．（2020春•蚌埠期末）已知x+1＞y＞0，则x++的最小值为（ ） A．﹣1 B． C．2﹣1 D．3﹣1解：根据题意，x++＝+++﹣1＝（+）+（+）﹣1，又x+1＞y＞0，则+≥2＝2，当且仅当x+y+1＝2时等号成立，+≥2＝，当且仅当x﹣y+1＝时等号成立，故x++＝（+）+（+）﹣1≥3﹣1，当且仅当x+1＝，y＝时等号成立．故选：D．3．（2020春•沙坪坝区校级期末）正数m，n满足m+n＝2，则+的最小值为（ ） A． B． C． D．2解：∵正数m，n满足m+n＝2，∴（m+1）+（n+2）＝5，+＝1，∴+＝（+）（+）＝++≥+2＝，当且仅当m＝，n＝时“＝”成立，故选：B．4．（2020春•西安区校级期末）已知0＜x＜1，则的最小值为（ ）A．9 B． C．5 D．解：因为＝+＝（+）（x+1﹣x）＝++．∵0＜x＜1，∴x＞0且1﹣x＞0，，当且仅当，即时，取得最小值2．∴的最小值为．故选：B．5．（2020春•南昌期末）已知a，b＞0，且满足a2+ab＝1，则3a+b的最小值为（ ） A． B． C．2 D．2解：∵a2+ab＝1，∴．即3a+b＝＝．当且仅当a＝时取等号．∴3a+b的最小值为，故选：C．6．（2020春•九龙坡区校级期中）若x，y∈R+，且，则3x+4y的最小值是（ ）A．5 B． C． D．解：∵x，y∈R+，且，∴3x+4y＝＝＝，当且仅当，即时等号成立，故选：A．7．（2019秋•南城县校级期末）已知正数x，y满足x+y＝1，且≥m，则m的最大值为（ ） A． B． C．2 D．4解：根据题意，正数x，y满足x+y＝1，则＝+＝（y+1）+﹣4+（x+1）+﹣4＝（+）﹣5，又由+＝（+）[（x+1）+（y+1）]＝[8++]≥，当且仅当x＝y＝时等号成立，则＝（+）﹣5≥﹣5＝，即的最小值为，若≥m，则m的最大值为；故选：B．8．（2019秋•淮安期末）函数y＝2x+（x＞1）的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8解：因为y＝2x+＝2（x﹣1）++2＝6，当且仅当2（x﹣1）＝即x＝2时取等号，此时取得最小值6．故选：C．9．（2019秋•诸暨市期末）已知a，b＞0，a+b＝1，则的最小值是（ ） A． B． C． D．解：∵a，b＞0，a+b＝1，∴由权方和不等式可得，（，“＝”），故选：A．10．（2020•兖州区模拟）已知正数m，n满足m（n﹣1）＝8n，则m+2n的最小值是（ ） A．18 B．16 C．8 D．10解：∵正数m，n满足m（n﹣1）＝8n，∴．∴m+2n＝≥10+＝18，当且仅当，即m＝12，n＝3时取等号，∴m+2n的最小值为18．故选：A．11．（2020春•宣城期末）已知x＞0，y＞0，2x+y＝2xy，若x+ay的最小值为8，则正实数a的值为（ ）A．2 B． C．3 D．解：因为x＞0，y＞0，2x+y＝2xy，所以＝2，x+ay＝（x+ay）（）×＝（2a+1+）≥（2a+1+2）＝，当且仅当时取等号，由题意可得，＝8，则正实数a＝．故选：D．12．（2020春•如皋市期末）设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（ ）A．有最小值为4 B．有最小值为 C．有最小值为 D．无最小值解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝1，∴b＝1﹣2a＞0，解得0＜a＜．∴＝+＝+﹣2＝（a+1﹣a）（+）﹣2＝3++﹣2≥2+1＝2+1，当且仅当a＝﹣1，b＝3﹣2时取等号．∴有最小值2+1． 故选：B．13．（2020春•浙江期末）实数x，y，x＞﹣1，且满足xy+y＝﹣x+3，则x+y的最小值是（ ）A．1 B． C．2 D．3解：实数x，y，x＞﹣1，且满足xy+y＝﹣x+3，∴3﹣（x+y）＝xy≤，化为：（x+y+6）（x+y﹣2）≥0，∵x＞﹣1，∴y＝＞0，∴x+y+6＝x+1++4≥8．解得x+y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号．∴x+y的最小值是2．故选：C．14．（2020•镇海区校级模拟）若a＞0，b＞0，且，则a2+b2的最小值为（ ）A．2 B． C．4 D．解：∵a＞0，b＞0，且，∴≥2，可得ab≥2．当且仅当a＝b＝时取等号．∴a2+b2≥2ab≥4，当且仅当a＝b＝时取等号．则a2+b2的最小值为4，故选：C．15．（2020春•工农区校级期末）若正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，则的最大值为（ ）A． B． C． D．1解：因为正数x，y满足x+4y﹣xy＝0，所以x+4y＝xy即＝1，x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+4＝9，当且仅当且＝1，即y＝3，x＝6时取等号，此时x+y取得最小值9，则的最大值为．故选：A．16．（2020春•南关区校级期中）若x＞0，则的最小值为（ ）A． B． C．1 D．解：因为x＞0，则＝＝，当且仅当即x＝1时取等号，故选：D．17．（2020春•沙坪坝区校级期中）已知实数x，y满足x+y＝1，﹣1＜x＜1，则的最小值为（ ） A． B． C．5 D．2解：由x+y＝1可得x+1+y＝2，则＝（）（x+1+y）×＝（+5），当且仅当且x+y＝1即x＝﹣，y＝时取等号，故选：A．18．（2020春•昌吉市期中）若a＞0，b＞0，a+2b＝3，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9解：∵（）（a+2b）＝（312）≥×（15+2＝9等号成立的条件为，即a＝b＝1时取等，所以的最小值为9．故选：D．19．（2020•滨海新区模拟）已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为（ ） A．13 B．11 C．10 D．9解：由＝＝1∵a+b＝1，∴＝（）（a+b）＝5+，当且仅当b＝，a＝时取等号． ∴的最小值为9+1＝10故选：C．20．（2020•和平区二模）已知a，b＞0，，则当取最小值时，的值为（ ） A．2 B． C．3 D．4解：由得，，等号成立时，即b＝2a，此时故选：C．21．（2020春•四川月考）已知实数a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+的最小值为（ ） A． B． C． D．解：因为a＞0，b＞1满足a+b＝5，则+＝（+）[a+（b﹣1）]×，＝，当且仅当时取等号，故选：A．22．（2020•邯郸模拟）设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（ ） A． B． C． D．解：当m+n＝2时，，因为，当且仅当m+1＝n+2，即时取等号，则，即最小值为．故选：D．23．（2020•济宁模拟）已知实数a，b满足ab＞0，则﹣的最大值为（ ） A．2﹣ B．2+ C．3﹣2 D．3+2解：∵ab＞0，则﹣＝＝＝＝3， 当且仅当时取等号，此时取得最大值为3．故选：C．24．（2019秋•梅河口市校级期末）已知a，b为正数，4a2+b2＝7，则的最大值为（ ） A． B． C． D．2解：因为4a2+b2＝7，则＝＝≤＝2，当且仅当4a2＝1+b2时，取得最大值．故选：D．25．（2019秋•开封期末）已知m＞0，n＞0，，若不等式m+n≥﹣x2+2x+a对已知的m，n及任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A．[8，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，8]解：∵，当且仅当时等号成立，∴﹣x2+2x+a≤9，即a≤x2﹣2x+9＝（x﹣1）2+8，∴a≤8．故选：D．26．（2019秋•楚雄州期末）已知x＞0，y＞0，若不等式恒成立，则正数m的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8解：因为x＞0，y＞0，正数m；∴＝，因为不等式恒成立，所以，即，解得，所以m≥4．故选：B．27．（2020•湖北模拟）若不等式﹣m≥0对x∈（0，）恒成立，则实数m的最大值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10解：根据题意，x∈（0，），则1﹣4x＞0，则＝+＝[4x+（1﹣4x）]（+）＝5++≥5+2×＝9，当且仅当1﹣4x＝2x时等号成立，则的最小值为9，若不等式﹣m≥0对x∈（0，）恒成立，即式≥m恒成立，必有m≤9恒成立， 故实数m的最大值为9；故选：C．28．（2019秋•滨海新区期末）若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（ ）A．4 B． C．2 D．4解：因为x2+xy﹣2＝0，所以＝，所以3x+y＝3x+＝2x+≥4，当且仅当x＝1时等号成立，故选：A．29．（2020春•重庆期末）已知关于x的一元二次不等式kx2﹣x+1＜0的解集为（a，b），则2a+b的最小值是（ ）A．6 B．5+2 C．3+2 D．3解：由（a，b）是不等式kx2﹣x+1＜0的解集，所以a，b是方程kx2﹣x+1＝0的两个实数根， 所以a+b＝，ab＝，且k＞0；所以a+b＝ab，且a＞0，b＞0；即+＝1；所以2a+b＝（2a+b）•（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当b＝a时“＝”成立；所以2a+b的最小值为3+2．故选：C．30．（2020春•襄城区校级月考）若正实数x，y满足4x+y＝xy，且恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A．[﹣1，4] B．（﹣1，4） C．[﹣4，1] D．（﹣4，1）解：因为正实数x，y满足4x+y＝xy，所以，所以x+＝（x+）（）＝2+＝4，当且仅当且，即x＝2，y＝8时取得等号，此时取得最小值4，因为恒成立，所以4＞a2﹣3a，解可得，﹣1＜a＜4．故选：B．31．（2020春•浙江期中）已知正实数x，y，z满足x2+y2+z2＝1，则u＝的最小值是（ ） A．9 B．3 C．4 D．5解：∵正实数x，y，z满足∴x2+y2+z2＝1，∴0＜z＜1，0＜1﹣z＜1，由基本不等式可得，z（1﹣z）＝，当z＝1﹣z即z＝时取等号，∵x2+y2+z2＝1，∴1﹣z2＝x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y＝时取等号，∴＝≥1，∴，则u＝＝4，当且仅当x＝y＝，z＝时取等号，此时取得最小值4．故选：C．32．（2020春•驻马店期末）已知正实数x，y满足x+2y＝2xy．则x+y的最小值为（ ）A．4 B． C． D．解：∵正实数x，y满足x+2y＝2xy，∴＝2，即+＝2，∴x+y＝（）•（+）＝+1++≥+2＝+，当且仅当x2＝2y2时，等号成立，则x+y的最小值为+，故选：D．33．（2020春•渝中区校级期末）已知实数a＞0，b＞0，＝，则a+2b的最小值为（ ） A．2 B．6 C．3 D．3解：令s＝a+1，t＝b+1，则s＞1，t＞1，且＝，∴a+2b＝（s﹣1）+2（t﹣1）＝s+2t﹣3，而s+2t＝2（s+2t）•（）＝2（1+++2）≥2×（3+2）＝2（3+），当且仅当＝，即s＝t时，等号成立．∴s+2t的最小值为2（3+），∴a+2b＝s+2t﹣3≥2（3+）﹣3＝3+4．故选：D．34．（2020春•合肥期末）已知a＞0，b＞0，且不等式≥恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A．[﹣4，4] B．（﹣∞，4] C．[﹣4，+∞） D．[﹣3，3]解：因为a＞0，b＞0，且不等式≥恒成立，所以≥m2，即10+≥m2，因为10+＝16，当且仅当即a＝b时取等号，m2≤16，所以﹣4≤m≤4．故选：A．35．（2020春•丽水期末）已知实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1，则的最小值为（ ） A． B．+ C．3+2 D．2解：因为实数x，y满足x＞y＞0，且x+y＝1，所以x＞1﹣x＞0，解可得1＞x＞＞y＞0，则＝＝，＝（）[（3﹣2x）+（2x﹣1）]，＝[3+]＝，当且仅当＝时取等号，故选：B．36．（2020春•路南区校级月考）若a，b为大于1的实数，且满足a+b＝ab，则的最小值是（ ）A．2 B．4 C．6 D．8解：若a，b为大于1的实数，且满足a+b＝ab，所以（a﹣1）（b﹣1）＝1，即，故＝4（b﹣1）+（a﹣1）＝4b+a﹣5，同时a，b为大于1的实数，且满足a+b＝ab，整理得．所以4a+b＝＝4+，（当且仅当a＝2b时，等号成立） 故4b+a﹣5的最小值为9﹣5＝4．故选：B．37．（2020•浙江模拟）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（ ）A． B． C．﹣2 D．2解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，∴＝（a﹣）2+，由柯西不等式得，[（a﹣）2+][22+（）2]≥[2（a﹣）+b•]2＝|2a+b|2故当|2a+b|最大时，有＝，∴a＝b，c＝10b2，∴＝﹣+＝（）2﹣＝（）2﹣2，当b＝时，取得最小值为﹣2． 故选：C．38．（2019秋•越城区校级期末）已知x，y都是正实数，则+的最大值为（ ） A． B． C． D．解：因为x，y都是正实数，则+＝＝1+＝1+≤．当y＝2x时取等号，∴+的最大值为．故选：B．39．（2020春•湖北期末）若x＞0，y＞0，且＝1，则2x+y的最小值为（ ） A．2 B．2 C． D．4+2解：（法一）＝1可变形为，所以2x+y＝（4x+2y）＝[（3x+3）+（x+2y）]﹣＝[（3x+3）+（x+2y）]（）﹣＝[4+]﹣≥﹣＝，当且仅当x+2y＝3x+3即x＝，y＝时取等号，（法二）原式可得y＝，则2x+y＝2x+＝≥2+＝+， 当且仅当，即x＝时取“＝”故选：C．40．（2020•天津）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则++的最小值为 4．解：a＞0，b＞0，且ab＝1，则++＝+＝+≥2＝4，当且仅当＝，即a＝2+，b＝2﹣或a＝2﹣，b＝2+取等号，故答案为：4。
均值不等式
基本不等式的变形及推广1 应用均值不等式求最值的问题(1)利用均值不等式求函数最值的步骤: 一正,二定,三相等 (2)先变形再利用均值不等式求函数最值: (3)取不到等号时用函数单调性求最值: 2)0,0(<<-≤+b a ab b a 一不正：常用二不定，需变形；三不等，常用函数单调形。
3 重要不等式： （1）ab b a 222≥+ （2）)0,0(2≥≥≥+b a ab b a （当且仅当a=b 时，取“=”号）222(3)(,)a b c ab bc ca a R b R ++≥++∈∈例题讲解例1：①实数x 、y 、m 、n 满足m2+n2=a,x2+y2=b ， 且a ≠b ，求mx+ny 的最大值。
②若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是_____则a ＋b 的取值范围是____ ③若正数a ，b ，c 满足a(a+b+c)+bc=4，则2a+b+c 的取小值是 ________ ④若正数a>b>0满足 )(162b a a a -+的最小值（5）已知a>b>c,则使不等式ca k cb ba -≥-+-11成立的最大实数k 的值是_______.例题2：①如果a ＋2b ＝1，则y ＝2a ＋4b 的最小值是 。
②已知x>1,y>1,且log3x ·log3y ＝1，则xy 的最小值是 。
③函数y ＝log2x+ logx(2x)的值域是 。
已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，证明不等式 nn na a a a )1(...321≤22112222b a b a ab ba ba ab+≤+≤≤+=+练 习1、已知x ，y 都是正数，（1）如果xy ＝P 是定值，则当 时，22y x + 有最 值 ； （2）如果 22y x +＝S 是定值，则当 时，xy 有最 值 ； （3）如果22y x +＝S 是定值，则当 时，x ＋y 有最 值 ； （4）如果x ＋y ＝S 是定值，则当 时， 22y x +有最 值 ；例题讲解2(1)已知a,b,c,d 都是正数, 求证:44abcd d c b a ≥+++(2)已知a,b,c 都是正数, 求证:（1）abc c b a 3333≥++；（2）33abc cb a ≥++公式推广：1 对于n a a a a n ,...,,321个正数，na a a a A n++++=...321为n 个正数的算术平均数。
均值不等式应用(技巧)
均值不等式应用（技巧）Wekede 整理一．均值不等式1.（1）若Rb a ∈,，则abba222≥+ (2)若Rb a ∈,，则222b aab+≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则abb a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba(当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或(当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245yx x =-+-的最大值。
均值不等式应用求最值的技巧-题型分析
x· ≤ ＝ ＝ 即x ＝ ·x ≤
技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
.
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
技巧九、取平方
5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝ ＋ 的最值.
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ≤ ，本题很简单＋ ≤Fra bibliotek＝ ＝2/
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W＞0，W2＝3x＋2y＋2 · ＝10＋2 · ≤10＋( )2·( )2＝10＋(3x＋2y)＝20
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单调性。例：求函数 的值域。
解：令 ，则
^
因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。
因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。
所以，所求函数的值域为 。
均值不等式最值恒成立
均值不等式一、 重点考点1.不等式成立问题 （1）恒成立问题① 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > ② 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < （2）能成立问题① 若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； ② 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. （3）恰成立问题① 若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； ② 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 2.不等式最值问题常用方法：配凑法（凑系数，凑项，分离）、整体代换、换元、取平方、倒数二、典型例题（一）不等式恒成立常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法例1、（1）设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是________)21,⎡-+∞⎣（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围________1a <（3）若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是_____3[2,)2-（4）若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.12m >-(5)已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围________1a >（二）最值问题 1. 配凑 ① 凑系数例2、当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
均值不等式的应用——分式二次型函数求最值
1平均值不等式平均值不等式是一类重要的不等式，通常用来证明最大值和最小值及求解最大值和最小值等相关问题。
简单说，平均值不等式一般式如下：$$\begin{align*}\frac{x_1+x_2+x_3+.....+x_n}{n}\geqq\sqrt[n]{x_1x_2x_3....x_n}\end{align*}$$上式中$n$为等式右边的$x_i$（$i=1,2,3,...,n$）的个数。
2分式二次函数求最值分式二次函数的定义为：$$f(x)=\frac{a_1x^2+a_2x+a_3}{b_1x^2+b_2x+b_3}$$其中$a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$均为常数。
求函数$f(x)$的极值点，通常有两种方法：一种是求函数$f(x)$的导函数$f'(x)$并解出导函数等于0的解；另一种就是使用平均值不等式求函数$f(x)$的极值。
在此使用平均值不等式来证明分式二次函数求最值。
$$\begin{align*}\frac{a_1x^2+a_2x+a_3}{b_1x^2+b_2x+b_3}\geqq\sqrt[2]{(a_1x^2+a_2x+a_3)\ast(b_1x^2+b_2x+b_3)}\end{align*}$$根据平均值不等式，令两边取对数：$$\begin{align*}\ln(a_1x^2+a_2x+a_3)-\ln(b_1x^2+b_2x+b_3)\geqq0 \end{align*}$$再令$y=a_1x^2+a_2x+a_3$,将以上等式转化为：$$\begin{align*}f''(y)=(a_1-b_1)y+(a_2-b_2)\geqq0\end{align*}$$因此，等式右边单调递增，此时$y$取最大或最小时，则等式右边$x$可取得最大值或最小值，即：$$\begin{align*}\frac{a_1x^2+a_2x+a_3}{b_1x^2+b_2x+b_3}\end{align*}$$也可取得极大值或极小值，证毕。
高中数学：用均值不等式求最值的常用技巧
高中数学：用均值不等式求最值的常用技巧运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。
多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。
掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。
1. 凑系数例1 当时，求的最大值。
利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，本题是积的形式，但其和不是定值。
注意到为定值，故需将“x”项凑上一个系数即可。
解：由，知，当且仅当时取等号。
其最大值是8。
小结：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2 求的最值。
分析：由题意知，首先要调整符号，而不是定值，需对进行凑项才能得到定值，然后用均值不等式。
解：∵，∴，即。
，当且仅当，即时等号成立。
∴函数有最大值。
3. 分离例3 经过长期观测可知，在交通繁忙的时段内，某路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式为。
在该时段内，当汽车的平均速率为多大时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）分析：只要把分子上的变量分离出来，转化到分母上就可以用均值不等式求解。
解：依题意得：。
当且仅当，即时，上式等号成立。
∴当时，（千辆/小时）。
4. 平方例4 求函数的最大值。
分析：注意到与的和为定值，只要对解析式两边取平方，即可用均值不等式求解。
解：。
当且仅当，即时取等号。
又，可知，故。
5. 统一例5 已知正数，满足，求的最大值。
分析：把所求式的变量x都移到根号里，同时凑系数满足已知条件使和为常数，用均值不等式求积的最大值。
解：∵，∴。
∴。
当且仅当且时等号成立，又因，为正值，可解得，时等号成立。
故有最大值为。
6. 代换例6 已知正数、满足，求的最小值。
分析：将看作，1用已知条件整体代换，可用均值不等式求解。
解：。
由题意知，当且仅当且时等号成立，又因、为正数，解得，，故最小值是18。
7. 构造例7 已知，求的最小值。