C语言-递推递归

走上第1级台阶，只有“一步1级”1种 走上第 级台阶，只有“一步 级 种 级台阶 走法， 走法，u1=1； ；
1 2 3
走上第2级台阶，从平地起步， 2步和 步和“ 走上第2级台阶，从平地起步，有“一步1级”走2步和“一步 级台阶 一步1级 2级”走1步这两种走法，u2=2； 步这两种走法， 级 步这两种走法 ； 走上第3级台阶，或者从台阶 一步 一步1级 步上来， 走上第 级台阶，或者从台阶2“一步 级”走1步上来，或者从 级台阶 步上来 台阶1“一步 级”走1步上来，u3=u2+u1=2+1=3； 台阶 一步2级 步上来， ； 一步 步上来 走上第n级台阶，只能从第 级 一步1级 步上来， 走上第 级台阶，只能从第n-1级“一步 级”走1步上来，或者 级台阶 步上来 从第n-2级台阶 一步2级 级台阶“ 步上来， 从第 级台阶“一步 级”走1步上来，un=un-1+un-2 (n>2)； 步上来 ；
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骨牌铺放
2(n-1) 2(n-2)
1、如果用一个骨牌直接覆盖最左边一列，则剩下的2(n-1)个方格有 、如果用一个骨牌直接覆盖最左边一列，则剩下的 个方格有f(n-1) 个方格有 种铺法； 种铺法； 2、如果用两个骨牌横向覆盖，则剩下的2(n-2)个方格有 、如果用两个骨牌横向覆盖，则剩下的 个方格有f(n-2)种铺法； 种铺法； 个方格有 种铺法 3、第1列没有其他铺法，因此，f(n)=f(n-1)+f(n-2)； 、 列没有其他铺法， 列没有其他铺法 因此， ；
第n个月 1 2 3 4 5 6 7 …
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大兔对数 0 0 1 1 2 3 5
中兔对数 0 1 0 1 1 2 3
小兔对数 1 0 1 1 2 3 5
总对数
1 1 2 3 5 8 13
Fibnacci 数列
1 f n= 1 f +f n−2 n −1 n =1 n=2 n≥3
A B C
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递归
• 当有n个盘子需要移动时，通常的方法如下： （1）把A柱上n-1个盘子借助C柱移动到B柱上。只有 这样，C柱才能为空，则A柱上的第n个盘子（最大 的那个）才能直接移动到C柱上。 （2）将A柱上的剩下的第n个盘子移动到C柱上。这个 盘子已最后到位，不需要再移动了。 （3）再将B柱上的n-1个盘子借助A柱移动到C柱。
/*借助 ，把n-1个盘子从 移动到 借助C， 个盘子从A移动到 借助 个盘子从 移动到B*/ /*把第 个盘子从 移动到 把第n个盘子从 移动到C*/ 把第 个盘子从A移动到
/*借助 ，再把 个盘子从 移动到 借助A，再把n-1个盘子从 移动到C*/ 个盘子从B移动到 借助
scanf("%d",&n); /*盘子个数 盘子个数*/ 盘子个数 hanoi(n,'A','B','C');
//找不到为-1,找到则为0~n-1的数值
特点：用所给关 特点： 键字与线性表中 各元素的关键字 逐个比较， 逐个比较，直到 成功或失败为止。 成功或失败为止。 特点：从前到后， 特点：从前到后， 或从后到前。 或从后到前。
A
B
C
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递归
• (1)假如只有一个盘子的话，可以直接将 盘子从A柱移动到C柱，即A C。
A
B
C
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递归
• • • • (2)假如有两个盘子，则： A B A C B C
A
B
C
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递归
• (3)假如有三个盘子，则情况开始复杂，移动 顺序为： • A C • A B • C B • A C • B A • B C • A C
显然可以得到如下公式: 显然可以得到如下公式:
化简后的公式: F(n)=10+(n-1)*2
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斐波那契级数-递推的经典问题
• 一对新生小兔，一个月后长成中兔，从第三个月开始长成大 一对新生小兔，一个月后长成中兔， 兔并每个月生一对小兔。按此规律，一年后共有多少对兔子。 兔并每个月生一对小兔。按此规律，一年后共有多少对兔子
班长
fact(2) =2*fact(1)
设计递归程序的重点 是给下级安排工作
班委
fact(1) =1*fact(0)
同学
fact(0) =1
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递归
int SearchBin(int *r,int k,int low,int high) //递归 递归 { if(row>high) return 0; //failed mid=(low+high)/2; if(k==r[mid]) return mid; //success else if(k>r[mid]) return SearchBin(*r,k,mid+1,high); else return SearchBin(*r,k,low,mid-1); } }
n=0 1 n!= n(n − 1)! n ≥ 1
printf("%d!=%d\n",5,fact(5));
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递归
院长
fact(5) =5*fact(4)
主任
n=0 1 n!= n(n − 1)! n ≥ 1
教师
fact(4) =4*fact(3)
fact(3) =3*fact(2)
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A
B
C
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递归
void hanoi(int n,char A,char B,char C)
移动到C*/ 移动到 /*借助 ，把n个盘子从 借助B， 个盘子从A 借助 个盘子从
{ if(n==1) move(A,C); else { hanoi(n-1,A,C,B); move(A,C); hanoi(n-1,B,A,C); } }
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递推
• 有5人坐在一起，当问第5个人多少岁,他说 比第4个人大2岁，问第4个人多少岁,他说比 第3个人大2岁，依此下去，问第一个人多少 岁，他说他10岁，最后求第5个人多少岁？ • 如果所坐的不是5人而是n人，写出第 n个人的年龄表达式。
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…….
x
x+2
4
分析思路： 分析思路：
S1=0, S2=1, 封信， 只1封信，不会装错 2封信， 2封信，互相装错 封信
S3=2(S2+S1)=2, 3封信，a->B,b->C,c->A或a->C,c->B,b->A 封信， >B,b->C,c->A或 >C,c->B,bS4=3(S3+S2)=9
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递归
f (1) = 1 n =1 f ( n) = f ( 2) = 1 n=2 f (n) = f (n − 2) + f (n − 1) n ≥ 3
int func(int n) /*求斐波那契数列的第n个数*/ { int result; if(n==1) result=1; else if(n==2) result=1; else result=func(n-1)+func(n-2); /*递归*/ return result; } 2012-3-20
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递归
• Hanoi（汉诺塔）问题：三根柱子A、B、C，其中A柱 上有64个大小不等的圆盘，并且大的在下，小的在上。 要求把这64个圆盘从A柱移动到C柱上，每次只能移 动一个圆盘，移动时可以借助B来进行，但在任何时 候，任何柱上的圆盘都必须保持大盘在下，小盘在上。 求移动的过程。
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第二讲
基础算法
计算机科学与技术 陈叶芳
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目录
• 递推 • 递归 • 排序与检索
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递推
• 指一个序列 1,u2,u3,…,un-1,un，后面的 指一个序列u 每一项都能按公式由前面的一项或连 续的几项推算出来， 续的几项推算出来，或者前面的每一 项都能按公式由后面的一项或连续的 几项推算出来。前者叫“顺推” 几项推算出来。前者叫“顺推”，后 者叫“逆推” 者叫“逆推”。 • 递推关系可用它前面1项表示的叫一阶 递推关系可用它前面 项表示的叫一阶 递推数列，可用它前面2项表示的叫二 递推数列，可用它前面 项表示的叫二 阶递推数列。 阶递推数列。
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A
B
C26
排序与检索
• 查找表:用于查找的数据集合,由同一类型数据元 素构成.
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排序与查找
列表：同一类型的数据元素（或记录）构成的集合。 列表 可利用任何数据结构实现。 关键字 ：数据元素的某个数据项的值。 查找：根据给定的关键字，在特定列表中确定与与之 查找 相同的数据元素，并返回该数据元素在列表中的位置。
即：1、1、2、3、5、8、13、21、34…
关键： 关键：确定问题的递归特性 关键： 关键：分析出递归公式 关键： 关键：分析出初始条件
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例-巧妙推算走楼梯
• 楼梯有 级台阶，如果一步走1级或 级，试 楼梯有n级台阶，如果一步走 级或 级或2级 级台阶 n 共有多少种不同的走法？ 问：共有多少种不同的走法？
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例-巧妙推算走楼梯
初始条件： 初始条件：u1=1；u2=2; ； 1、2、3、5、8、13、21、34、55 、 、 、 、 、 、 、 、
1 2 3 n