现代控制理论状态反馈与状态观测器
现代控制理论 状态反馈与状态观测器
五、带观测器的状态反馈系统 • 在状态反馈中,不采样原系统的状态进行反 馈而采用状态观测器估计的状态进行反馈, 其结构图如下图所示.
• 状态估计器
x ( A GC ) x Bu Gy ˆ ˆ ˆ y Cx
• 原系统
x Ax Bu ˆ x Ax Bkx Bv y Cx ˆ x ( A Bk ) x Bk ( x x) Bv u v kx ˆ
• 传函不变,即
y C (sI A Bk ) B.v
1
• 显然系统的特性由矩阵的特征多项式
ˆ A Bk A 0 A GC Bk
决定.
• 由
ˆ det[ I A] det( I A Bk ) det( A GC ) 0
• 注意上述方法仅适用于SISO系统.
4.几点说明
(1).对SISO系统来说,状态反馈只改变极点位 臵,不影响零点. (2).由于改变了极点,因此可能出现零极点对 消,从而影响系统的可观性.
(3).从实现的角度,状态反馈比输出反馈 困难,复杂. (4)对SISO系统来说,极点配臵只改变了极 点在S平面上的位臵,显然不采用这种方法 难于达到系统动静性能的一致. (5).对MIMO来说,极点配臵的方法与SISO 方法是一致的,但SISO的k阵是唯一的,而 MIMO的k阵是非唯一的.
• 系统的状态估计器极点可任意配臵的充要 条件是:该系统的状态是可观的.
(3).状态估计器的设计方法. • 仿照状态反馈的极点配臵设计方法,只需先 进行可控性检验,改成可观性检查即可,其余 步骤相同.
四、降维观测器设计
• 一般情况下观测器是建立在对原系统模拟基 础上的，因而其维数和受控系统维数是相同 的，称为全维观测器（或估计器）。
现代控制理论状态反馈和状态观测器的设计实验报告
本科实验报告课程名称：现代控制理论实验项目：状态反馈和状态观测器的设计实验地点：中区机房专业班级：自动化学号：学生姓名：指导教师：年月日现代控制理论基础一、实验目的（1）熟悉和掌握极点配置的原理。
（2）熟悉和掌握观测器设计的原理。
（3）通过实验验证理论的正确性。
（4）分析仿真结果和理论计算的结果。
二、实验要求（1）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态反馈阵K。
（2）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态观测器阵L。
（3）在计算机上进行分布仿真。
（4）如果结果不能满足要求，分析原因并重复上述步骤。
三、实验内容（一）、状态反馈状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入叠加形成控制作为受控系统的控制输入，采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，而且也是实现解耦和构成线性最优调节器的主要手段。
1.全部极点配置给定控制系统的状态空间模型，则经常希望引入某种控制器，使得该系统的闭环极点移动到某个指定位置，因为在很多情况下系统的极点位置会决定系统的动态性能。
假设系统的状态空间表达式为（1）其中 n m C r n B n n A ⨯⨯⨯::;:;: 引入状态反馈，使进入该系统的信号为Kx r u -=（2）式中r 为系统的外部参考输入，K 为n n ⨯矩阵. 可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为（3）可以证明，若给定系统是完全能控的，则可以通过状态反馈实现系统的闭环极点进行任意配置。
假定单变量系统的n 个希望极点为λ1,λ2, …λn, 则可以求出期望的闭环特征方程为=)(*s f (s-λ1)(s-λ2)…(s-λn)=n n n a s a s +++-Λ11这是状态反馈阵K 可根据下式求得K=[])(100*1A f U c -Λ（4）式中[]bA Ab b U n c 1-=Λ，)(*A f是将系统期望的闭环特征方程式中的s 换成系统矩阵A 后的矩阵多项式。
例1已知系统的状态方程为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=•111101101112 采用状态反馈，将系统的极点配置到-1，-2，-3，求状态反馈阵K..其实，在MATLAB的控制系统工具箱中就提供了单变量系统极点配置函数acker(),该函数的调用格式为K=acker(A,b,p)式中，p为给定的极点，K为状态反馈阵。
现代控制理论---状态反馈和状态观测器
现代控制理论基础
主讲人: 主讲人:荣军 mail:rj1219 163. 1219@ E-mail:rj1219@
第五章 系统的状态反馈及观测器
在第二章， 在第二章，研究的是在己知系统的结构和参数情况下系统的 运动，从而了解系统的运动形态。 运动，从而了解系统的运动形态。第三章介绍了系统的能控性和 能观测性。第四章是系统稳定性问题。 能观测性。第四章是系统稳定性问题。如果将上述研究的内容概 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下， 括起来说，就是在已知系统的结构和参数情况下，研究系统的性 能或特性，即所谓系统分析问题。 能或特性，即所谓系统分析问题。 本章将研究线性定常系统的综合。 本章将研究线性定常系统的综合。这是一个与系统分析相反 的命题，是在给定被控对象的情况下， 的命题，是在给定被控对象的情况下，通过设计控制器的结构和 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。 参数，使系统满足预先规定的性能指标要求。采用的方法是先测 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人， 量系统的状态，再用状态来确定被控对象上所加的控制输人，从 而构成状态反馈系统。 而构成状态反馈系统。
第五章 系统的状态反馈及观测器
采用状态反馈， 采用状态反馈，对系统能控性和能观测性有 无影响呢?这是本章讨论的重要内容之一 这是本章讨论的重要内容之一。 无影响呢 这是本章讨论的重要内容之一。同时 研究一个能控的系统， 研究一个能控的系统，引入状态反馈可以任意配 置状态反馈系统的极点， 置状态反馈系统的极点，保证系统具有所希望的 瞬态性能和稳态性； 瞬态性能和稳态性；对于系统的状态变量无法测 量但又要用它来实现反馈的情况， 量但又要用它来实现反馈的情况，通过状态重构 方法。设计状态观测器。 方法。设计状态观测器。
现在控制理论第五章状态反馈与状态观测器
(5-5)
引出的反馈系数，则
变换后k的0， 状态， 反kn馈1系统动态方程为 ：
x1， ，xn
式中：
xAbkxbv
y Cx
0
1
0
0
0
1
Abk
0
0
0
a0k0 a1k1 a2k2
(5-6)
(5-7)
0
0
1
an1kn1
I A (5 -b 9)k n a n 1 k n 1 n 1 a 2 k 2 2 a 1 k 1 1
过 行
待设 矩阵
计的 ，负
参 反
y Cx 馈至系统的参考输入，于是存在
01 式中v为纯量， 为 为 维行矩阵，为 环状态阵，
维向量， 为
维矩阵， 为
维向量， 为
维矩阵。
为闭环特征多项式。
维向量， 为闭
02 用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能 控
03
证明 ：0
若1式
(
k0, ,kn1
k
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，
实现闭环极点任意配置的状态反馈阵 K为 pn维 。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。 状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所 包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任 何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。若不能控 状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
0
1
0
A
h
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
现代控制理论(II)-讲稿-课件-ppt--3
现代控制工程基础 这种输出反馈系统的状态方程为 dX(t)/dt=AX(t)+Bu(t)=(A+BHC)X(t)+BGr(t) or X(k+1)=AX(k)+Bu(k)=(A+BHC)X(k)+BGr(k)
从而，这种输出反馈系统的传递函数矩阵为 从而，这种输出反馈系统的传递函数矩阵为(D=0)
GH ( s ) = C ( sI − ( A + BHC )) −1 BG
现代控制工程基础
例：设系统（A,B,C）为 设系统（ ）
0 1 A= , 1 0 0 B = , 1 C = [0 1]
试分析采用状态反馈K=[k1 k2]后的可控性和可观性。 后的可控性和可观性。 试分析采用状态反馈 后的可控性和可观性 解：容易验证原系统具有可控性和可观性，因为 容易验证原系统具有可控性和可观性，
*证明参见郭雷主编《控制理论导论》p51-55。 证明参见郭雷主编《控制理论导论》 证明参见郭雷主编 。
现代控制工程基础
（2）状态反馈保持系统的输入解耦零点不变 ） 证明：设原系统不完全可控， 是系统的一个不可控振型（ 证明：设原系统不完全可控，so是系统的一个不可控振型（系统的一 个特征值），即它是系统的一个输入解耦零点， 个特征值），即它是系统的一个输入解耦零点，就有 ），即它是系统的一个输入解耦零点 rank[soI-A B]<n 那么，根据状态反馈不改变系统的可控性性质， 那么，根据状态反馈不改变系统的可控性性质，就有 rank[soI- (A+BK) BG]=rank[soI-A B] <n 也是状态反馈系统的一个输入解耦零点，反之也然。 即 so也是状态反馈系统的一个输入解耦零点，反之也然。证毕
现代控制理论 状态反馈与状态观测器
• 所谓状态观测器是物理上可以实现的动力 学系统,它在被观测系统输入量和输出量的 激励下,产生一组逼近于被观测系统的状态 变量的输出.
• 这组输出的状态变量便可作为被观测系统 状态变量的估计值.
2.极点配置条件
• 若被控系统0(A, B) 是状态完全能控的,那么 反馈系统的极点必是可以任意配置的,或者 说,能使闭环系统极点任意配置的条件是被 控系统完全可控.
• 注意:
(1).对不可控的系统则不可能采用状态反馈 方法重新配置所有极点. (2).状态反馈可改变系统的极点,但不改变零 点.
• 以上是状态观测器的整个设计思想和目的.
• 估计的模型
xˆAxˆBuG(yCxˆ) (2) (AGC)xˆBuGy
(1).G的选择原则.
由(1)和(2)建立误差方程 定义 exxˆ 则 exxˆ(AG C)e显然误差e的特性是由
(A-GC)的特征值决定,显然G选择的原则是使 e tt1 0,t1 足够地小,从而G的选择也是使 A-GC的特征根按要求放在合适的位置上.
自动控制原理Ⅱ
第六章 状态反馈与状 态观测器
主要讲述:
1).状态反馈. 2).极点配置. 3).状态观测器.
一.系统的状态反馈
• 对于方程
x Ax Bu
y
Cx
• 系统的性质完全是由A决定的,因此要改变 系统的性质,只需改变A的形式.
• 从数学上来讲,即构造u,从而导致下列方程 成立
四、降维观测器设计
x Ax Br
y
Cx
• A 是满足要求的方阵
现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计
现代控制实验状态反馈器和状态观测器的设计现代控制实验中，状态反馈器和状态观测器是设计系统的重要组成部分。
状态反馈器通过测量系统的状态变量，并利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合，以优化系统的性能指标。
状态观测器则根据系统的输出信息，估计系统的状态变量，以便实时监测系统状态。
本文将分别介绍状态反馈器和状态观测器的设计原理和方法。
一、状态反馈器的设计：状态反馈器的设计目标是通过调整反馈增益矩阵，使得系统的状态变量在给定的性能要求下，达到所需的一组期望值。
其设计步骤如下：1.系统建模：通过对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。
通常表示为：ẋ=Ax+Buy=Cx+Du其中，x为系统状态向量，u为控制输入向量，y为系统输出向量，A、B、C、D为系统的状态矩阵。
2.控制器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个适当的闭环极点位置，并计算出一个合适的增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法、最优控制法等。
3.状态反馈器设计：根据控制器设计得到的增益矩阵，利用反馈回路将状态变量与控制输入进行耦合。
状态反馈器的输出为：u=-Kx其中，K为状态反馈增益矩阵。
4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的性能表现，并根据需要对状态反馈器的增益矩阵进行调整。
二、状态观测器的设计：状态观测器的设计目标是根据系统的输出信息，通过一个状态估计器，实时估计系统的状态变量。
其设计步骤如下：1.系统建模：同样地，对被控对象进行数学建模，得到描述系统动态行为的状态空间表达式。
2.观测器设计：根据系统的动态性能要求，选择一个合适的观测器极点位置，以及一个合适的观测器增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法、最优观测器法等。
3.状态估计：根据观测器设计得到的增益矩阵，通过观测器估计系统的状态变量。
状态观测器的输出为：x^=L(y-Cx^)其中，L为观测器增益矩阵，x^为状态估计向量。
4.性能评估与调整：通过仿真或实验，评估系统的状态估计精度，并根据需要对观测器的增益矩阵进行调整。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一节 状态反馈与极点配置
一、状态反馈系统的动态方程 以单输入-多输出受控对象动态方程为例：
x&Axbu
(5-1)
yCx
将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵， 负反馈至系统的参考输入，于是存在
u v kx
(5-2)
状态反馈系统动态方程为：
x&
Axb
vkx
Abk
0 1 0 L
0 0 0 L
A
M
M
MO
0
0
0L
a0
a1
a2
L
0
0
M
1
an1
0
0
b M
0
1
10
C
20
M
q0
11 L
1,n1
21 L
2,n1
ML
M
q1
L
M
q,n1
若在变换后的状态空间内引1n维状态反馈矩阵 k ：
k
k0
k1 L
kn1
(5-5)
其中 k0，L ，kn1分别为由状态变量 x1，L ，xn 引出的反
选择状态反馈阵元素时，要防止数值过大，以免对动 态性能产生不良影响及物理实现不易。配置极点时也并非 离虚轴愈远愈好，以免造成频带过宽使抗干扰性降低。
例5-1设受控对象传递函数为：
y u
s s
s
s
10
1
s
2
试用状态反馈使闭环极点配置在 2,1 j 。
解： 传递函数无零、极点对消，故可控。写出能控标准形实现
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实 现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为 pn 维。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈 配置极点使系统稳定。状态变量受控情况下，引入状态反馈 表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特 性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。不能 控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点 位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、 能观测部分有关的缘故。若不能控状态变量是稳定的状态变 量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
x
bv
(5-10)
与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵 k为：
k kP
(5-11)
需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并
不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态
反馈系统闭环特征多项式
I
A
bk
，这时，其系数为
k0,L , kn1
的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定k。
n1L
a2
k2
2
a1
k1
1
a0
k0
0
(5-9)
显见，任意选择k 阵的 n 个元素 k0，L ，kn1，可使特征方程的 个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配 置。
将逆变换 x Px 代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反 馈系统状态方程：
x&
A
bkP
(a1
k1)s
a0
k0
q,,n1sn1
M L
q1s
q0
（5-13）
显见式（5-12）与式(5-13)的分子部分相同。要注意到， 闭环零点对系统动态性能影响很大，在规定待配置的极点 时，必须充分考虑零点的影响。
状态反馈不一定能保持受控对象原有的能观测性。不 难想象，当任意配置极点导致零、极点相消时，可将原有 的能观测性变为不能观测的；也有能能使原有的不能观测 性变为能观测的。若受控对象不含零点，状态反馈自然能 保持原有能观测性。
x& 1 0
x& 0
2
x& 0
3
1 0 2
x 0 1 0
1 x 0 u 2
3 1 x
3
y 10
0
0
xbv
(5-3)
y Cx
(5-4)
式中v为纯量，x 为 n1 维向量，A为nn 维矩阵，b 为n1
维矩项向阵式量。。，Ak为bk1为n维闭行环矩状阵态，阵y为，Iq1 A 维b向k量 为，C闭为环特q征n多维
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条 件是：受控对象能控
证明： 若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能 控标准形，有
经典控制理论中用调节开环增益或串、并联校正装 置配置极点时，其可调参数有限，而状态反馈的待选参 数多了，能使系统性能改善得更好，不过实现状态反馈 也是相当复杂的，尤其在系统阶次较高时，测量全部状 态变量是需要克服的障碍。
三、状态反馈系统的其它特性
单输入-多输出或单输出系统，引入状态反馈后， 系统闭环零点没有改变，但该性质不适用于多输入-多 输出系统。如式(5-1)所示对象经 P1 变换后传递矩阵 为：
G1
C
sI
A
1b
10
11 L
sn
1 an1sn1L
M
a1s
a0
q0
M
q1
L L
1 1,n1 s M M
q,n1 sn1
1,,n1sn1L
11s 10
sn
1 an1sn1L
M
a1s
a0
q,,n1sn1L
q1s
q0
(5-12)
而引入状态反馈阵k 后的传递函数阵G2为：
G1C[sI (Abk )n1L
M
(a1
k1)s
a0
k0
q0
M
q1
L L
1,n1
M
q,n1
1
s
M
sn1
1,,n1sn1L
11s 10
1 sn (an1kn1)sn1L
馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为 ：
式中：
x&
A
bk
xbv
y Cx
0
1
0L
0
0
1L
A
bk
M
M
MO
0
0
0L
a0
k0
a1 k1
a2 k2
L
(5-6)
(5-7)
0
0
M
1
an1 kn1
该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不 变。特征方程为：
I
A
bk
n
an1
kn1
第五章 状态反馈与状态观测器
闭环系统性能与闭环极点位置密切相关。经典控制理论 经常利用串联、并联校正装置及调整开环增益使系统具有希 望的闭环极点位置；现代控制理论利用状态变量揭示系统内 部特性以后，建立了利用状态反馈这一新方式来配置极点， 显出更多的优越性。
为利用状态变量进行反馈必须测量状态变量，但不是所有状 态变量在物理上都能测量，于是进一步提出用状态观测器给出 状态估值的问题。因此，极点配置与状态观测器设计是设计系 统的主要内容，它们以能控性、能观测性为条件，能构应用在 许多复杂的控制系统，如导弹的大迎角控制。