三角函数应用举例(1)仰角俯角
初三数学三角函数(含答案)
初中数学三角函数1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
a 2b 2c 24、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值； 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
tan A cot B cot A tan Bcot-1 ~3~6、 正弦、余弦的增减性：当0°w < 90°时，sin 随 的增大而增大，cos 随 的增大而减小7、 正切、余切的增减性：当0° < <90°时，tan 随 的增大而增大，cot 随 的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的 边和角。
依据：①边的关系： a 2b 2c 2;②角的关系：A+B=90 °；③边角关系：三角函数的定义。
（注意：尽量避免使用中间数据和除法）2、应用举例：（1）仰角：视线在水平线上方的角； 俯角：视线在水平线下方的角（2）坡面的铅直高度 h 和水平宽度I 的比叫做坡度（坡比）。
用字母i 表示，即i y 。
坡度一 般写成1: m 的形式，如i 1:5等。
把坡面与水平面的夹角记作 （叫做坡角），那么h + i tan 。
l3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图 3, OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
4、 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30° （东北方向）， 南 偏东45° （东南方向），南偏西60° （西南方向）， 北偏西60° （西北方向）。
铅垂线*视线 ‘ 仰角水平线俯角1*视线初三数学三角函数综合试题一、填空题： 1、在 Rt △ ABC 中/C = 90°, a = 2, b = 3,则 cosA =_, sinB =_ , tanB = ___ 2、直角三角形 3、已知tan ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm , / A 是锐角，则sinA = =—, 是锐角，贝U sin 12 + ) + cos 2(40 ° 4、 cos 2(50° — _______ ? 5、 如图1,机器人从A 点，沿着西南方向，行了个4,：2单位，至U 达 60°的方向上，贝U 原来 )—tan(30)tan(60 ° + 到原点O 在它的南偏东 保留根号).A 的坐标为B 点后观察 _ (结果 NMNC 0(2)10cm 周长为36cm 则一底角的正切值为_、3的山坡走了 50米，则他离地面 米高。
《三角函数的应用(1)》仰角俯角
学习目标
• 了解仰角、俯角的概念，能应用解直角三角形解 决一类观测实际问题
• 进一步了解数学建模思想，能将实际问题中的 数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系
解直角三角形：直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程
（1）三边之间的关系 ∠A＋ ∠ B＝90°
（2）两锐角之间的关系 a2+b2=c2
B
αD Aβ
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277（m）
答：这栋楼高约为277m.
C
跟踪练习2
意犹未尽
求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m).
解：如图，根据题意，可知 AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56°
在Rt△DBA中，DB=ABtan56° ≈20×1.4826 =29.652(m)；
小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮
小明算出该塔有多高吗?
A
D
C
B
解：由题意可知，∠AD′B′=30°，∠AC′B′=60°，D′C′=50m.
∴ ∠D′AB′=60°，∠C′AB′=30°.
设AB′=x m. ∵
A
∴D′B′=x·tan60°，C′B′=x·tan30°，
热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼 顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角 为60°，热气球与楼的水平距离为120m ，这栋楼有多高（结果取整数）？
在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出BD； 类似地可以求出CD，进而求出BC．
B αD Aβ
C
解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120m．
§7.6用三角函数解决实际问题3--仰角俯角
l.78m
参考数据： sin78°≈0.98 cos78°≈0.21 tan78°≈4.70
P C
30°
A
200米
答案: (100 3 300) 米
O
45°
B
合作与探究
变题3：直升飞机在高为200米的大楼AB左侧P 点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底 部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.
A
P
45° 30°
200米 D
答案: (300100 3) 米
O B
合作与探究
意犹未尽
5、一架直升机从某塔顶Ａ测得地面C、D两点的 俯角分别为30°、 45°，若C、D与塔底Ｂ共线， CD＝200米，求塔高AB？
A
C
D
B
D′
6、有一块三形场地ABC，测得其中AB边长为60 米，AC边长50米，∠ABC=30°，试求出这个三 角形场地的面积．
练习：为改善楼梯的安全性能,准备将楼梯的 倾斜角由60°调整为45°.已知调整后的楼梯 比原来多占地4米,求楼梯的高度. D
B
A
合作与探究
变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上 方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大 桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °， 求飞机的高度PO .
P
答案: (200 3 200) 米
45° 30°
O
B
400米
A
合作与探究
变题2：直升飞机在高为200米的大楼AB上方P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30°和45°，求飞机的高度PO .
28.2.2应用举例(仰角、俯角)教案
-学生对仰角和俯角的识别，特别是在复杂的实际问题中，如何准确判断和测量。
-在解决问题时，如何将实际问题抽象为数学模型，并选择合适的三角函数进行求解。
-对三角函数在不同角度下的值的变化规律的理解，以及在实际问题中的灵活运用。
举例解释：
-在识别仰角和俯角时，难点在于如何引导学生从复杂的实际情境中抽象出角度信息，如通过画图、实际操作等方式，帮助学生理解仰角和俯角的含义。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解仰角和俯角的基本概念。仰角是我们从水平面向上看时，视线与水平面的夹角；俯角则是我们从水平面向下看时，视线与水平面的夹角。它们在测量学、工程学等领域有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，如何利用仰角和俯角来测量一座山的高度。通过这个案例，大家可以看到仰角和俯角在实际问题中的具体应用。
-在将实际问题转化为数学模型时，难点在于如何引导学生建立正确的数学关系，如利用实际案例，展示如何从给定的信息中选取有用的数据，并运用三角函数进行求解。
-在理解三角函数值的变化规律时，难点在于如何让学生掌握角度与三角函数值之间的关系，特别是当角度在0°到90°之间变化时，三角函数值的变化规律。可以通过制作表格、绘制函数图像等方式，帮助学生理解和记忆。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调仰角和俯角的识别，以及如何利用三角函数求解相关问题。对于难点部分，我会通过实际案例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与仰角、俯角相关的实际问题，如测量教学楼的高度等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用三角板和直尺来模拟测量过程，演示仰角和俯角的计算原理。
解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)
计算角度证结果：检 查计算结果是 否满足三角形 内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方和等于 斜边的平方
正切定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方差等于 斜边的平方
正割定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的 准确性和稳定性
避免在危险区域 进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确 保人身安全
做好防护措施如 佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避 免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及 时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注 意测量误差对 仰角和俯角测 量结果的影响
测量环境：注 意测量环境的 影响如温度、 湿度、风速等
测量方法：注 意测量方法的 选择如直接测 量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
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01.
02.
三角函数之仰角俯角坡度
仰角俯角坡度
⑴:使学生了解仰角、俯角的概念，
复习：(1)勾股定理：
(2)锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系
仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水
平线下方的角叫做俯角．
、例题
例1热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
例22003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
例3如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
二用三角函数有关知识解决方位角问题
坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。
即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么
关系？
例4同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)。
仰角和俯角的计算公式
仰角和俯角的计算公式仰角和俯角是在物理学和工程学中经常用到的概念，特别是在测量和定位方面。
仰角是指观察者或测量仪器与水平线之间的夹角，而俯角则是指观察者或测量仪器与垂直线之间的夹角。
在实际应用中，我们经常需要计算仰角和俯角，以便进行准确的测量和定位工作。
本文将介绍仰角和俯角的计算公式及其应用。
仰角的计算公式。
在测量和定位工作中，我们经常需要计算观察点或测量点与水平线之间的夹角，即仰角。
仰角的计算公式如下：仰角 = arctan(高度/水平距离)。
其中，arctan表示反正切函数，高度表示观察点或测量点与水平线之间的垂直距离，水平距离表示观察点或测量点到目标点的水平距离。
举个例子，假设我们需要测量一座建筑物的仰角，观察点与建筑物的水平距离为100米，观察点与建筑物顶部的垂直距离为30米，则可以使用上述公式计算建筑物的仰角：仰角 = arctan(30/100) ≈ 16.7°。
通过计算，我们得知观察点与建筑物顶部的夹角约为16.7°，这样我们就可以准确地测量建筑物的高度。
俯角的计算公式。
俯角是指观察点或测量点与垂直线之间的夹角，在实际应用中，我们经常需要计算观察点或测量点与目标点之间的俯角。
俯角的计算公式如下：俯角 = arctan(高度/水平距离)。
与仰角的计算公式相似，俯角的计算公式也是使用反正切函数，高度表示观察点或测量点与目标点之间的垂直距离，水平距离表示观察点或测量点到目标点的水平距离。
举个例子，假设我们需要计算观察点与目标点之间的俯角，观察点与目标点的水平距离为150米，观察点与目标点的垂直距离为40米，则可以使用上述公式计算俯角：俯角 = arctan(40/150) ≈ 15.9°。
通过计算，我们得知观察点与目标点之间的俯角约为15.9°，这样我们就可以准确地定位目标点的位置。
仰角和俯角的应用。
仰角和俯角的计算公式在实际应用中有着广泛的应用，特别是在地理测量、建筑测量、导航定位等领域。
三角函数---仰角、俯角
解直角三角形的应用——仰角俯角如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）0米米CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为（）508000米座楼AB与CD相距50米，则楼CD的高度约为（）米．（结果保留三个有效数字）．（sin13°≈0.2250，cos13°≈0.9744，tan13°≈0.2309，sin52°≈0.7880，cos52°≈0.6157tan52°≈1.2799）如图，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，则山高CD为（）（（（如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB 约为_________m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离CD是_________m（取≈1.732，结果精确到0.1m）．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆低端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，如旗杆与教学楼的水平距离CD 为9m，则旗杆的高度是多少？（结果保留根号）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF 的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）。
高考数学 解三角形应用举例
第23讲 解三角形应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线！！！ 上方 ###的角叫仰角，在水平线！！！ 下方 ###的角叫俯角(如图①).2．方位角从指北方向！！！顺时针 ###转到目标方向线的水平角叫方位角，如B 点的方位角为α(如图②).3．方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α，即由指北方向！！！ 顺时针 ###旋转α到达目标方向. (2)北偏西α，即由指北方向！！！ 逆时针 ###旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似.4．坡度(比)坡角：坡面与水平面所成的！！！ 二面角 ###的度数(如图④，角θ为坡角).坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度(比)). 5．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)公式S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C 适用于任意三角形.( √ )(2)东北方向就是北偏东45°的方向.( √ ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角.( × )(4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( √ ) 解析 (1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立. (2)正确.数学中的东北方向就是北偏东45°或东偏北45°的方向. (3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为［0,2π)，而方向角大小的范围由定义可知为⎣⎡⎭⎫0，π2. 2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( B )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析 如图所示，∠ACB ＝90°.又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.3．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( A ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D ．2522m解析 由正弦定理得 AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B＝50×2212＝502(m).4．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C .解析 如图所示，由题意知∠C ＝45°， 由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222×32＝ 6. 5．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行！！！ 8 ###海里.解析 如图，由题意知在△ABC 中， ∠ACB ＝75°－60°＝15°，∠B ＝15°，∴AC ＝AB ＝8.在Rt △AOC 中，OC ＝AC ·sin 30°＝4. ∴这艘船每小时航行412＝8(海里).一 距离问题求解距离问题的一般步骤(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题. (2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素. (3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.【例1】 要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的点C ，点D ，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则点A ，B ###km.解析 如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝3(km). 在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5(km)，即A ，B 之间的距离为 5 km.二 高度问题高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.【例2】 要测量电视塔AB 的高度，在点C 测得塔顶A 的仰角是45°，在点D 测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为！！！ 40 ###m.解析 设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x .在Rt △ADB 中，由∠ADB ＝30°，得BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理，得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40 m.三 角度问题解决角度问题的注意点(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用. 【例3】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.解析 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°. 根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.1．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝( B )A ．217B ．2114 C ．32114D ．2128解析 如题图所示，在△ABC 中，AB ＝40海里，AC ＝20海里，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，故BC ＝207(海里).由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos (∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 第1题图第2题图2．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析 依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中， 由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.3．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ解析 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°，可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin (45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝252（3－1）sin （90°＋θ）， 即25sin 45°＝252（3－1）cos θ，得到cos θ＝3－1． 4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析 依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB .∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB，得600sin 45°＝CB sin 30°，有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.易错点 不注意实际问题中变量的取值范围错因分析：三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题.求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.【例1】 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度 的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解析 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°） ＝900t 2－600t ＋400 ＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B 处相遇.则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20. 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.【跟踪训练1】 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin ［π－(A ＋C )］＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m). 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙距离最短.(3)由BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m). 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内.课时达标 第23讲［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( B )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方.2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为(C)A．1千米B．2sin 10°千米C．2cos 10°千米D．cos 20°千米解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos 20°＝4cos210°，∴BD＝2cos 10°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(A)A．10 2 海里B．10 3 海里C．20 3 海里D．20 2 海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)，故选A．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度是(D)A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m解析由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).5．长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C1．4 m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α＝(A)A．2315B．516C．23116D．115解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1．4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即 3.52＝1．42＋2.82－2×1．4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝516，所以sin α＝23116，所以tan α＝sin αcos α＝2315.6．(2018·四川成都模拟)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(A)A．(30＋303) m B．(30＋153) mC．(15＋303) m D．(15＋153) m解析设建筑物高度为h，则htan 30°－htan 45°＝60，即(3－1)h＝60，所以建筑物的高度为h＝(30＋303)m.二、填空题7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile，此船的航速是！！！32###n mile/h.解析 设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝8 2 n mile ，∠BSA ＝45°，由正弦定理，得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32 n mile/h.8．某人在地上画了一个角∠BDA ＝60°，他从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为！！！ 16米 ###.解析 如图，设DN ＝x 米，则142＝102＋x 2－2×10×x cos 60°，∴x 2－10x －96＝0. ∴(x －16)(x ＋6)＝0.∴x ＝16. ∴N 与D 之间的距离为16米.9．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°.从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝！！！ 150 ###m.解析 在△ABC 中，AC ＝1002，在△MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA ＝1003，在△MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m.三、解答题10．已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇，岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314解析 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5海里，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°，所以BC 2＝49，BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得 sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BACBC ＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.11．(2018·广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1(百米).(1)求△CDE 的面积； (2)求A ，B 之间的距离.解析 (1)连接DE ，在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △ECD ＝12DC ·CE ·sin 150°＝12×sin 30°＝12×12＝14(平方百米).(2)依题意知，在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝1×tan 60°＝ 3. 在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°. 由正弦定理，得BC ＝CE sin ∠CBE·sin ∠CEB ＝1sin 30°×sin 45°＝ 2.因为cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24. 连接AB ，在△ABC 中，由余弦定理得， AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝ (3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3， 所以AB ＝2－3＝6－22(百米). 12．(2018·河北石家庄重点高中摸底)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值. 解析(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310 km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝⎝⎛⎭⎫33102＋⎝⎛⎭⎫9102＝335(km).故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∴∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，AE ＝65sin α. ∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α·sin α＝ 9325⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＋14≤9325⎝⎛⎭⎫12＋14＝273100(km 2). ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE 面积的最大值为273100km 2.。
锐角三角函数的实际应用
锐角三角函数的实际应用一、仰角、俯角问题例1. 某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD为公益广告牌的高，DM为楼房的高，且C、D、M三点共线．在楼房的侧面A处，测得点C与点D的仰角分别为45°和37.3°，BM＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)例2.如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)二、坡度、坡角问题例3. 如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度．(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)例4. 如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)三、测量问题例5、为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°.请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73；结果保留整数)例6、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、CB为三根垂直于A B的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)四、方向角问题例7：某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．例8：如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？巩固练习：1、如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD是60米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)2. 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角(即∠MAN＝30°)，在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内)，求这棵大树CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)3.如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4、如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1:3，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．5、如图，某军港有一雷达站，军舰停泊在雷达站的南偏东方向36海里处，另一艘军舰位于军舰的正西方向，与雷达站相距海里．求：（1）军舰在雷达站的什么方向？（2）两军舰的距离．（结果保留根号）6、（某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C测得教学楼AB的顶点A的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A的仰角为45°。
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A
C
从D看B的仰角是 ∠BDE .
水平线
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部
的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气
球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果
取整数）
分析：我们知道，在视线与水平线所
仰角
水平线
成的角中视线在水平线上方的是仰角
B
，视线在水平线下方的是俯角，因此
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
我的收获
模型一
模型二
A
B
模型三
C
A
D
C
Байду номын сангаас
D
B
模型四
总结
1、弄清俯角、仰角的意义，明确各术语与示 意图中的什么元素对应，只有明确这些概念， 才能恰当地把实际问题转化为数学问题；
2、认真分析题意、画图并找出要求的直角三角 形；
当堂反馈
3.如图，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰 角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=(4_0__3___1_.5_)_m （结果保留根号）．
4.如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角 是30∘,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是 45∘,已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是 _4_0__3_m(结果保留根号)
解决问题）
变式2： 站在一栋楼的顶端A处，看另一栋楼楼 顶的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60° ，这两栋楼间的水平距离为240m，楼BC有多高 ？（注：此题可以转化为变式1的解法）
当堂反馈
1．如图（2），在高出海平面100米的悬崖顶A处， 观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为 45°，则船与观测者之间的水平距离BC=__10_0__米. 2．如图（3），两建筑物AB和CD的水平距离为30 米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯 角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
3、选择合适三角函数值，使计算尽可能简单； 4、根据题目中的对精确度的要求保留，并注
明单位。
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
下课了!
径约为6 400km，π取3.142，结果取整数） 分析：从组合体中能直接看
到的地球上的点，应是视线
F
与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是 组合体的位置，FQ是⊙O的切 线，切点Q是从组合体中观测
P Q
α O·
地球时的 最远点． 的
长就是地面上P、Q两点间的距
离，为计算 的长需先求出
∠POQ（即a）的度数.
54°45°
D 40m
C
tan 54 40 1.38 40 55.2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：棋杆的高度为15.2m.
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另 一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，
tan
B
┌
A
C
例题
例3： 2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫一号”
目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫一号”
在离地球表面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行
到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球上表面
最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？（地球半
28．2.2 应用举例（1） 仰角、俯角与解直角三角形
靳卯升 初三数学组
一复习引入
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
Ｂ
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
二、学习新知 （一）仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
如图，BCA=DEB=90，
FB//AC // DE，
F
B
从A看B的仰角是_∠__B_A_C_；
从B看A的俯角是 ∠FBA .
DE
从B看D的俯角是 ∠FBD ；
解：在图中，设∠POQ=a FQ是⊙O的切线，△FOQ是直
角三角形．
∵
COS a = OQ
OF
6400 = 6400+343
≈ 0.9491
a 18.36
F
∴ 弧PQ的长为 18.36 6400 2051 180
P Q
α
O·
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的 最远点距离P点约2051km
，在图中，a=30°,β=60°
αD
Aβ
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求 俯角
出BD；类似地可以求出CD，进而
求出BC．
C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
tan a BD , tan CD
AD
AD
BD AD tan a 120 tan30
5.如图,某高速公路设计中需要测量某条江的宽度 AB,测量人员使用无人机测量,在C处测得A,B两点 的俯角分别为45∘和30∘.若无人机离地面的高度CD 为1200米,且点A,B,D在同一水平直线上,求这条江
的宽度AB长为___1_2_0_0（____3_-m1）(结果保留根号).
图3
6.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角 分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD 上，则树高AB=100( 3 1)m（结果保留根号）．
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处
A
观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角 为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
B
解：在△BCD中∠ACD=90° ,∠BDC=45°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
tan ADC AC DC
AC tan ADC DC
120 3 40 3 3
CD AD tan 120 tan 60
B
αD Aβ
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
C
160 3 277
答：这栋楼高约为277m
变式1：热气球的探测器显示，从热气球看一 栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯 角为60°，这栋楼高160 3m， 热气球与楼的 水平距离为多少米 ？ （注：至少用两种方法
∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精
确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
AB 140°
C
E
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
∴△BDE 是RT△
∵ cos BDE DE
50°
BD
D
∴ DE=COS∠BDE×BD
cos50 520 0.64520 332.8
a
(3)边角之间的关系:
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3
（2）若∠B=60°，AC=3，则BC= 3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3tan
（4）若∠A=α°，BC=m，则AC= m