例4.利用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1． 分析：找出角α的正余弦线，数形结合易证． 证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r(r=1）． 所以|sin α|＋|cos α|＝1. 当角α的终边落在一个象限时，如图所示，利用三角形两边之和大于第三边有: |sin α|＋|cos α| =|MP|十|OM|＞1. 综上有|sin α|＋|cos α|≥1． 点评:本题利用三角函数定义,把三角问题转化为代数问题而获解决,这种方法,值得重视.对于sin θ+cos θ>1,也可以利用三角函数线来证明,此外该结论还可推广,若θ为任意角,则有|sin θ|+| cos θ|≥1. [三角函数线基础练习一] 1、= 2205sin A ． 2 1 B ．2 1- C ． 2 2 D ．2 2- 2、角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为（ ） A ．π4 B ．3π4 C ．7π4 D ．3π4 或 7π 4 3、若0<α<2π，且sin α< 2 3 , cos α> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是（ ） A ．（－π３ ，π３ ） B ．（0，π３ ） C ．（5π３ ，2π） D ．（0，π３ ）∪（5π ３ ，2π） 4、若π4 <θ < π 2 ，则下列不等式中成立的是 （ ） A ．sin θ>cos θ>tan θ B ．cos θ>tan θ>sin θ C ． tan θ>sin θ>cos θ D ．sin θ>tan θ>cos θ 5、函数| tan |tan cos |cos ||sin |sin x x x x x x y + +=的值域是 （ ） A ．{1} B ．{1，3} C ．{-1} D ．{-1，3} 6、依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6 =sin 7π6 ；②cos （－π4 ）=cos π4 ；③tan π8 >tan 3π8 ；④sin 3π 5 >sin 4π 5 ．其中判断正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、若－2π３ ≤θ≤π 6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 ． 8、若∣cos α∣＜∣sin α∣，则∈α ． 9、利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合． ⑴ sin x ≥ 2 2 ；⑵ cos x ≤ 12 ；⑶ tan x ≥－1 ；（4）21sin ->x 且21cos >x ．
《三角函数线的应用》专题
《三角函数线的应用》专题 2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名 作为一次经历，失败有时比成功更有价值。 作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线． (1)－π4； (2)17π6； (3)10π3. 作出下列各象限的正弦线、余弦线和正切线． 关于三角函数线，要注意以下几点： （1）正弦线、余弦线、正切线都是 线段，利用它们的数量来表示 ，是数形结合的典型体现。 2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。特别要注意正切线必在过A （1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。 （3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在。 【类型一】求角的取值 求分别符合下列条件的各角的集合： （1）sin α=； （2）cos α=； （3）tan α=
【类型二】求角的范围 例2 在[0,2]π上满足1sin 2 x ≥的x 的取值范围 练习：在[0,2]π上满足1cos 2 x ≤-的x 的取值范围 【类型三】比较大小 例3 比较sin1155°与sin(－1654°)的大小。 练习1：下列不等式成立的是 A 、00sin 70sin170> B 、00sin130sin140< C 、00tan130tan140> D 、00cos130cos140< 练习2：已知,,42ππα??∈ ??? 比较cos tan αααα、 sin 、、 的大小关系 练习3：已知(0,)2π α∈，比较sin α，cos α，tan α。 【类型四】求函数的定义域
三角函数线的作用
新课程中“单位圆与三角函数线”的教学作用 高一数学组 刘华泉 在三角函数的教学中，三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）一直是与三角函数图像并驾齐驱的两大解题法宝，是数形结合思想的完美体现。但学生往往重后者而疏前者，因此老师们在“三角函数线的解题功能”方面有较多的探讨。如今，随着新课程改革三角函数定义的单位圆化，给了三角函数线更宽的舞台，在三角函数这一章节知识的展开中，三角函数线起到了前所未有的作用。本文旨在挖掘“单位圆——三角函数线”在教学中的功能。 教学作用一．三角函数“单位圆定义法”与原教材“终边定义法”之比较： “终边定义法（r y = αsin 等）”源于锐角三角函数，“终边定义法”需要经过“取点──求距离──求比值”等步骤，对应关系不够简洁；“比值”作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清晰； “从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系不一致，而且“比值”需要通过运算才能得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；“比值”的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与“终边定义法”的这些问题不无关系．用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点． （1）简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用“单位圆定义法”，对于任意角 ，它的终边与单位圆交点P(x ，y)唯一确定，这样，正弦、余弦函数中自变量 与函数值之间的对应关系，即 角（弧度）对应于点P 的纵坐标y ──正弦， 角 （弧度）对应于点P 的横坐标x ──余弦， 可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的．另外，“x= cos ，y= sin 是单位圆的自然的动态（解析）描述，其中，单位圆上点的坐标随着角 每隔2π（圆周长） 而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性．所以作为任意角三角函数的定义，当然是选择能够表现周期性的单位圆更为恰当。 另外，该定义可以在学诱导公式前求特殊角的三角函数值，也可以判断三角函数在各象限内的符号。 教学作用二．单位圆中理解弧度制： 学生在学习弧度制时，对于引进弧度制的必要性较难理解．“单位圆定义法”可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用圆的半径来度量角，当此圆为单位 圆时，由扇形弧长公式r l ?=α知，α=l 。所以，在单位圆中，角度α就 是弧长l 。这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数 （弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函数值的函数，这就与函数的一般定义一致了我们还可以这样来理解三角函数中自变量与 函数值之间的对应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点A （1，0 ） ，数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）被缠绕到单位圆上的点P(cos ，sin )． O x P Q 图1 α
三角函数应用举例
课题: §1.2.1解三角形应用举例 民和高级中学刘永宏 [教学目标] 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 [教学重点] 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题 [教学难点] 根据题意建立数学模型，画出示意图,能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件
Ⅱ.讲授新课 （1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角， 通过建立数学模型来求解 例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=? 51，∠ACB=? 75。求A、B 两点的距离(精确到0.1m) 启发提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。 例2、如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计分析：这是一道关于测量从一个可到达的 点到一个不可到达的点之间的距离的问 题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为 已知边，再根据三角形的内角和定理很容 易根据两个已知角算出AC的对角，应用 正弦定理算出AB边。 解：根据正弦定理，得 ACB AB ∠ sin = ABC AC ∠ sin AB = ABC ACB AC ∠ ∠ sin sin= ABC ACB ∠ ∠ sin sin 55= ) 75 51 180 sin( 75 sin 55 ? -? -? ?= ? ? 54 sin 75 sin 55≈ 65.7(m) 答:A、B两点间的距离为65.7米 变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C 的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的 北偏东30?，灯塔B在观察站C南偏东60?， 则A、B之间的距离为多少？ 解略：2a km 解：测量者可以在河岸边选定两点C、D， 测得CD=a，并且在C、D两点分别测得 ∠BCA=α， 老师指导学生 画图，建立数学 模型。 学会构建 数学模型，要学 会审题及根据 题意画方位图, 要懂得从所给 的背景资料中 进行加工、抽取 主要因素，进行 适当的简化。 可见，在研究三 角形时，灵活根 据两个定理可 以寻找到多种 解决问题的方 案，但有些过程 较繁复，如何找 到最优的方法， 最主要的还是 分析两个定理
三角函数在实际中的应用
专题3 锐角三角函数在实际中的应用 解题技巧： 1．如果图形不是直角三角形，一定要考虑添加适当的辅助线（作平行线或作垂线），构造直角三角形，然后选择恰当的三角函数（正弦、余弦或正切）； 2．在求线段长度的时候，如果不能直接求出长度，可以考虑列方程求值。 一仰角、俯角问题 1．某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）． （1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号） （2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7） 2．如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离．（参考数据：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，≈1.73，结果保留整数）
3．(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB. 4.一电线杆PQ立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点A的仰角为45°，向前走6m 到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°， （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度．（结果精确到1m） 5.如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机测量一岛屿两端A、B的距离，飞机以距海平面垂直同一高度飞行，在点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，已知岛屿两端A、B的距离541.91米，求飞机飞行的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）
关于初中数学三角函数公式的应用实例
关于初中数学三角函数公式的应用实例 初中数学三角函数公式的应用实例（1） 函数应用：仰角指视线在水平线上方的角;俯角指视线在水平线下方的角。下面为大家整合的就是初中三角函数公式的应用举例。 三角函数公式的应用 上面为大家带来的是三角函数公式的应用，相信同学们都已经掌握了吧，接下来的初中数学知识内容更加的精彩，请大家继续关注了。 初中数学正方形定理公式 关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。 正方形定理公式 正方形的特征： ①正方形的四边相等； ②正方形的四个角都是直角； ③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； 正方形的判定： ①有一个角是直角的菱形是正方形； ②有一组邻边相等的矩形是正方形。 希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式 同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的 内容讲解。 平行四边形 平行四边形的性质： ①平行四边形的对边相等； ②平行四边形的对角相等； ③平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形的判定： ①两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③对角线互相平分的四边形是平行四边形； ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都 能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。 初中数学直角三角形定理公式 下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学 习很好的帮助。 直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；
锐角三角函数的简单应用
锐角三角函数的简单应用(3) 【知识要点】 1．斜坡坡度i =斜坡的垂直高度斜坡的水平距离 2．通常我们将坡度i 写成1:m 的形式，坡度i 与坡角α之间的关系为tan i α=。 【典型例题】 1．小明沿着坡角为20°的斜坡向上前进80m, 则他上升的高度是( ). 2．如图是一个拦水大坝的横断面图,AD ∥BC, .斜坡AB=10m,大坝高为8m, (1)则斜坡AB 的坡度 (2)如果坡度 ,则坡角 (3)如果坡度 ,则大坝高度为___. 3．如图,水坝的横截面是梯形ABCD,迎水坡BC 的坡角 为30°,背水坡AD 的坡度 为1:1.2, 坝顶宽DC=2.5米,坝高4.5米. 求:(1)背水坡AD 的坡角 (精确到0.1°); (2)坝底宽AB 的长(精确到0.1米). 80.cos 20A m ?80.sin 20B m ?.80sin 20C m ?.80cos 20D m ?____. AB i =AB i =____.B ∠=1:2,8AB i AB m ==α i β
3．思考:在上题中,为了提高堤坝的防洪能力,市防汛指挥部决定加固堤坝,要求坝顶CD加宽0.5米,背水坡AD的坡度改为1:1.4,已知堤坝的总长度为5㎞,求完成该项工程所需的土方(精确到0.1米3) 若把此堤坝加高0.5米，需要多少土方？ 4．安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长. 课后练习： 【基础演练】 1.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为5 2米，则这个坡面的坡度为__________ 2.如图，一束光线照在坡度为 ,被斜 坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，则这束光线与坡面的夹角α是_________度.
高考数学知识点：三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)_知识点总结
高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）_知识点总结 高考数学知识点：三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x，y），过P点作x轴的垂线，垂足为M，过点A（1，0）作单位圆的切线,高二， 设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则有向线段MP、OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线，即：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT，如下图： 注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负。 关于三角函数线，要注意以下几点： （1）正弦线、余弦线、正切线都是有向线段，利用它们的数量来表示三角函数值，是数形结合的典型体现。三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下：正弦线MP、正切线AT 方向与y轴平行，向上为正，向下为负；余弦线OM在x轴上，向右为正，向左为负。（2）作三角函数线时，所用字母一般都是固定的，书写顺序也不能颠倒。特别要注意正切线必在过A（1，0）的单位圆的切线上（其中二、三象限角需作终边的反向延长线）。（3）对于终边在坐标轴上的角，有时三角函数线退化为一个点，有时又为整个半径。当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在。 （4）当时，正弦线、余弦线、正切线与角α并不是一一对应的。一般地，每一个确定的MP、OM、AT都对应两个α的值。 诱导公式： 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 规律：奇变偶不变，符号看象限。即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： 的三角函数值． (1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数
锐角三角函数的实际应用
广州卓越一对一初中数学教研部编著
1．边与边关系：a 2＋b 2＝c 2 2．角与角关系：∠A ＋∠B ＝90° 3．边与角关系，sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b ，cota ＝b a 4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角 叫做 仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角 叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。 坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i ，即i ＝AC BC ，坡度通常用1:m 的形式，例如上图的1:2 的形 式。 坡面与水平面的夹角叫做坡角。 从三角函数的概念可以知道， 坡度与坡角的关系是i ＝tanB 。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越 陡。 例：如图，若∠CAB = 90°，∠C = ∠α，∠BDA = ∠β，CD = m ，求AB.
解法：设AB = x ，在R t △BAD 中，tan tan AB x DA ββ = =， 在R t △ABC 中，tan tan AB x CA αα == ∵ CA = CD + DA ∴ tan tan x x m αβ =+ 通过解方程求出知数x 的值 例1：某人在D 处测得大厦BC 的仰角∠BDC 为30°,沿DA 方向行20米至A 处,测得仰角∠BAC 为45°,求此大厦的高度BC 。 变式训练1：（2011广东）如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路. 现新修一条路AC 到公路l . 小明测量出∠ACD =30o，∠ABD =45o，BC =50m . 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0.1m ；参考数据：414.12≈，732.13≈）. 变式训练2：如图所示，小明家住在32米高的A 楼里，小丽家住在B 楼里，B 楼坐落在A 楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30 ． （1）如果A B ，两楼相距A 楼落在B 楼上的影子有多长？ （2）如果A 楼的影子刚好不落． 在B 楼上，那么两楼的距离应是多少米？
