三角函数线应用举例

一.求三角函数的定义域例1.求下列函数的定义域：分析: 首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x 满足条件的终边范围.解: （1）如图1，(2）如图2，点评: 三角函数线的主要作用是解三角不等式，比较大小及求函数定义域.二.解三角不等式例2.已知|cos θ|≤|sin θ|，求θ的取值范围.分析: 我们可以在单位圆中作出正弦线和余弦线绝对值相等的角，再找出满足|cos θ|≤|sin θ|的θ角范围.解：如图3所示，根据|cos θ|＝|sin θ|，即θ角正弦线的绝对值和θ角余弦线的绝对值相等，则θ角的终边落在y=x 和y=-x 上，满足|cos θ|≤|sin θ|的θ角的终边落在阴影部分，点评:本题主要考查根据正弦线和余弦线作出角θ的范围，再写出角θ的集合.三. 比较大小例3.比较下列各组数的大小：分析:我们可以考虑利用三角函数线，根据正弦线、余弦线、正切线来比较它们的大小.解：（1）如下图所示，在单位圆中作出的余弦线OM 2和OM 1，∵OM 1<OM 2，（2）如下图所示，sin ＝MP ，tan ＝AT ，∵MP<AT ， ∴sin <tan .点评: 本题主要考查正弦线、余弦线、正切线的应用比较大小的.四.证明三角不等式图1 x=21图2例4.利用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1． 分析：找出角α的正余弦线，数形结合易证．证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r(r=1）．所以|sin α|＋|cos α|＝1.当角α的终边落在一个象限时，如图所示，利用三角形两边之和大于第三边有: |sin α|＋|cos α| =|MP|十|OM|＞1.综上有|sin α|＋|cos α|≥1．点评:本题利用三角函数定义,把三角问题转化为代数问题而获解决,这种方法,值得重视.对于sin θ+cos θ>1,也可以利用三角函数线来证明,此外该结论还可推广,若θ为任意角,则有|sin θ|+| cos θ|≥1.[三角函数线基础练习一]1、=2205sinA ．21B ．21-C ．22D ．22-2、角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为（ ） A ．π4 B ．3π4 C ．7π4 D ．3π4 或 7π43、若0<α<2π，且sin α<23, cos α> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是（ ）A ．（－π３ ，π３ ）B ．（0，π３ ）C ．（5π３ ，2π）D ．（0，π３ ）∪（5π３，2π）4、若π4 <θ < π2 ，则下列不等式中成立的是 （ ）A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ． tan θ>sin θ>cos θD ．sin θ>tan θ>cos θ5、函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x xx x x x y ++=的值域是 （）A ．{1}B ．{1，3}C ．{-1}D ．{-1，3}6、依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6 =sin 7π6 ；②cos （－π4 ）=cos π4 ；③tan π8 >tan 3π8 ；④sin 3π5 >sin4π5．其中判断正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7、若－2π３ ≤θ≤π6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 ．8、若∣cos α∣＜∣sin α∣，则∈α ． 9、利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．⑴ sin x ≥22；⑵ cos x ≤ 12 ；⑶ tan x ≥－1 ；（4）21sin ->x 且21cos >x ．基础练习一参考答案CDDCDB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1； Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,43,4ππππ。

（1）()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ243,24； （2）()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ235,23； （3）()Z k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞++-,4ππ； （4）()Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ23,26。

[三角函数线基础练习二]1．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等 [答案] B[解析] 三角形的内角有可能是π2，属非象限角；终边在第二象限的角不一定是钝角；终边相同的角不一定相等，故A 、C 、D 都不正确． 2．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在直线y ＝x 上D ．在直线y ＝x 或y ＝－x 上 [答案] B[解析] ∵sin α＝1或sin α＝－1，∴角α的终边在y 轴上．3．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是( )A ．sin1>sin1.2>sin1.5B ．sin1>sin1.5>sin1.2C ．sin1.5>sin1.2>sin1D ．sin1.2>sin1>sin1.5 [答案] C[解析] 数形结合可知，C 正确．4．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是a 、b 、c ，则它们的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a[答案] B[解析] 如图，AT >MP >OM ，即c >a >b.5．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 [答案] D[解析] 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角．6．a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c[答案]D[解析] ∵π4<2π7<π2，作出角2π7的三角函数线如图可知， cos 2π7<sin 2π7<tan 2π7，∴选D.7．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )A ．若α、β是第一象限角，则cos α>cos βB ．若α、β是第二象限角，则tan α>tan βC ．若α、β是第三象限角，则cos α>cos βD ．若α、β是第四象限角，则tan α>tan β [答案] D[解析] 如图(1)，α、β的终边分别为OP 、OQ ，sin α＝MP >NQ ＝sin β，此时OM <ON ，∴cos α<cos β，故A 错；如图(2)，OP 、OQ 分别为角α、β的终边，MP >NQ ，∴AC <AB ，即tan α<tan β，故B 错； 如图(3)，角α，β的终边分别为OP 、OQ ，MP >NQ 即sin α>sin β，∴ON >OM ，即cos β>cos α，故C 错，∴选D.8．若α∈[0,2π)，且cos α≥32，则α的取值范围是______． [答案] [0，π6]∪[11π6，2π)[解析] 如图，OM 为[0,2π)内的角π6和11π6的余弦线，欲使cos α≥32，角α的余弦≥OM ，当OM 伸长时，OP 与OQ 扫过部分为扇形POQ ，∴0≤α≤π6或11π6≤α<2π.9．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－1，22 [解析] 如图可知sin 3π4＝22，sin 3π2＝－1，∴－1<sin θ<22. 10．已知点P (tan α，sin α－cos α)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是______________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 [解析] ∵点P 在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0， (1)sin α－cos α>0， (2)由(1)知0<α<π2或π<α<3π2，(3)由(2)知sin α>cos α，作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sin α>cos α的α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，(4) 由(3)、(4)得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4. [点评] 要准确应用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式须熟记以下几种情形：11．利用单位圆写出满足sin α<22，且α∈(0，π)的角α的集合是__________________________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π[解析] 作出正弦线如图．MP ＝NQ ＝22， 当sin α<22时，角α对应的正弦线MP 、NQ 缩短， ∴0<α<π4或3π4<α<π.12．利用三角函数线比较下列各组数的大小 ：(1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5.[解析] 如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan 2π3＝AT ；4π5的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin 4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′，由图可见，MP >M ′P ′>0，AT <AT ′<0，∴(1)sin 2π3>sin 4π5.(2)tan 2π3<tan 4π5.13．求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． [解析] 如图(1)． ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.∴函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．(2)如图(2)．∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.∴函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，π3＋2k π∪⎝ ⎛ 2π3＋2k π，⎭⎪⎫4π3＋2k π(k ∈Z )，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋k π，π3＋k π(k ∈Z )．14．利用单位圆中的三角函数线解不等式(组)：(1)3tan α＋3>0；(2)⎩⎨⎧2sin x －2>02cos x ≤1.[解析] (1)要使3tan α＋3>0，即tan α>－33. 由正切线知k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋π2，k ∈Z .(2)不等式组即为⎩⎪⎨⎪⎧sin x >22cos x ≤12区域(Ⅰ)为sinx >22，区域(Ⅱ)为cos x ≤12.区域(Ⅰ)与(Ⅱ)公共部分为不等式组的解，即不等式组解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋3π4，k ∈Z .15．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．[解析] (1)当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点A (1,2)，由r ＝|OA |＝12＋22＝5得， sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2.(2)当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点B (－1，－2)， 由r ＝|OB |＝(－1)2＋(－2)2＝5得，sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2.。